ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Kỹ thuật TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- BÙI THỊ HẰNG MY ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2015 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi tại trường Đại Học Quảng Nam. Với tình cảm chân thành tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, các cô trong trường Đại Học Quảng Nam đã quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Tiến Sĩ: Võ Thị Hoa. Mặc dù bận rất nhiều công việc cô vẫn quan tâm, khích lệ để tôi có cách làm việc khoa học, hiệu quả hơn và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Lý - Hóa - Sinh nói chung và bộ môn Vật Lý đã giành thời gian đã dành thời gian quý báu để đọc, nhận xét và tham gia hội đồng chấm luận văn này, giúp cho việc nghiên cứu luận văn tốt nghiệp của tôi được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng tôi xin gởi lời cảm ơn đến những người bạn thân thương của lớp ĐHSP Vật Lý K12 và những người thân trong gia đình, bạn bè và mọi người xung quanh đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Do thời gian làm khóa luận ngắn và đây là lần đầu tiên đi sâu nghiên cứu một đề tài khoa học nên tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để đề tài khóa luận của tôi được hoàn chỉnh hơn nữa. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn Người thực hiện Bùi Thị Hằng My 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả nêu trong đoạn văn này là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Người thực hiện Bùi Thị Hằng My 3 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1. Đồ thị hàm số݂ ሺݔሻ ൌ 4ݔ ଷ ݔ6 ൅ ଶ െ 9 ݔ൅ 2 …………………………26 Hình 2.2. Đồ thị hàm݂ ݃,ሻݔሺ ሻݔሺ ݄,ሻݔሺ ………………………………………….26 Hình 2.3. Đồ thị hàm ݔ2 ݊݅ܵ൅ ݔ ݊݅ܵൌ ሻݔሺݕ ………………………………..…27 Hình 2.4. Đồ thị hàm ݐ2 ݊݅ܵൌ ݕ ;ݐ ݊݅ܵൌ ݔ ݅ớݒሻ ݔሺݕ .........................................27 Hình 2.5. Đồ thị hàm hai biến ba chiều݂ ሺݔ, ݕሻ ൌ ௫ మ ସ ൅ ௬ మ ଵ଺ ݎݐê ݊đ݋ạ ݊ሾ െ5,5ሿ ...28 Hình 2.6. Đồ thị tham số: 5ݐ ൌ ݖ ,ݐ ݊݅ܵൌ ݕ ,ݐݏ݋ ܿൌ ݔ trong khoảng biến thiên của t từ: 0,8 Pi…………………………………………..…………………….…28 Hình 2.7. Đồ thị sóng hình Sin…………………………………………...……..30 Hình 2.8. Đồ thị đường xoắn ốc…………………………………..…………….30 Hình 3.1. Đồ thị bài 1…………………………………………………………...37 Hình 3.2. Đồ thị bài 2…………………………………………………………...38 Hình 3.3. Đồ thị bài 3………………………………………………..………….38 Hình 3.4. Đồ thị bài 4…………………………………………………..……….39 Hình 3.5. Đồ thị bài 5…………………………………………………...………39 Hình 3.6. Đồ thị bài 6……………………………………………………….…..40 Hình 3.7. Đồ thị bài 7……………………………………………………….…..40 Hình 3.8. Đồ thị bài 8……………………………………………………….…..41 Hình 3.9. Đồ thị bài 9………………………………………………………...…44 Hình 3.10. Đồ thị bài 11………………………………………………….……..44 Hình 3.11. Đồ thị bài 12…………………………………………………….…..45 Hình 3.12. Hình cho bài 17……………………….…………………………….46 Hình 3.13. Hình cho bài 18……………………………………………………..46 Hình 3.14. Đồ thị bài 13……………………………………….………………..51 Hình 3.15. Đồ thị bài 14………………………………………………………...52 Hình 3.16. Đồ thị bài 15…………………………………………...……………52 Hình 3.17.Đồ thị bài 16……………………………………………...………….53 Hình 3.18. Đồ thị bài 17……………………………………………...…………53 Hình 3.19. Đồ thị bài 18………………………………………………...………54 4 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Các lực cơ học………………………...……………………………...10 Bảng 2.1: Một số hàm cơ bản trong Mathematica………………...…………….21 Bảng 2.2: Các tùy chọn với PlotLegend và ShowLegend………………...…….29 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN……………………………………….…………………….……..i LỜI CAM ĐOAN…………………………………….………...…...……….….ii DANH MỤC CÁC HÌNH………………………….…………………….….…..iii DANH MỤC CÁC BẢNG…………………………………...…………………iv PHẦN 1.MỞ ĐẦU ................................................................................................ 5 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 5 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................................... 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 6 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 6 6. Lịch sử nghiên cứu ........................................................................................... 6 7. Đóng góp của đề tài .......................................................................................... 6 8. Cấu trúc khóa luận........................................................................................... 7 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ PHẦN CƠ HỌC................................. 8 1.1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM .......................................................................... 8 1.1.1. Chuyển động thẳng đều ............................................................................. 8 1.1.2. Chuyển động thẳng biến đổi đều .............................................................. 8 1.1.2.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều ............................................................. 8 1.1.2.2. Sự rơi tự do ............................................................................................... 9 1.1.3. Chuyển động tròn đều ............................................................................. 10 1.1.4. Ghi chú ...................................................................................................... 11 1.2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM .............................................................. 11 1.2.1. Sự tương tác giữa các vật ........................................................................ 11 1.2.2. Phép tổng hợp lực..................................................................................... 12 1.2.3. Khối lượng và quán tính .......................................................................... 12 1.2.4. Các định luật Niu-tơn .............................................................................. 13 1.2.5. Các lực cơ học ........................................................................................... 14 1.3. TĨNH HỌC .................................................................................................. 16 1.3.1. Cân bằng của một chất điểm ................................................................... 16 1.3.2. Cân bằng của vật rắn ............................................................................... 16 1.3.2.1. Trọng tâm của vật rắn............................................................................ 16 1.3.2.2. Cân bằng của một vật khi không có chuyển động quay....................... 17 1.3.2.3. Quy tắc hợp lực song song ..................................................................... 17 1.3.2.4. Cân bằng của một vật có trục quay cố định. Quy tắc momen lực ....... 17 1.3.2.5. Ngẫu lực ................................................................................................. 18 1.3.2.6. Các dạng cân bằng – Mức vững vàng của cân bằng ........................... 18 1.4. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ................................................................ 19 1.4.1. Định luật bảo toàn động lượng ............................................................... 19 1.4.2. Định luật bảo toàn năng lượng ............................................................... 19 1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ............................................................................ 22 CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA .............. 23 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA23 2.1.1. Giới thiệu................................................................................................... 23 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica ................................................... 24 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ NGỮ PHÁP CỦA MATHEMATICA ... 24 2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ..................................... 25 2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức ................................................... 25 2.3. TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRONG MATHEMATICA ............................... 26 2.3.1. Tính giới hạn ............................................................................................. 26 2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số........................................................................ 26 2.3.3. Tính tích phân .......................................................................................... 27 2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình .................................................. 27 2.4. CÁC KIỂU SỐ TRONG MATHEMATICA ............................................ 27 2.5. CÁC PHÉP TÍNH TOÁN SỐ HỌC .......................................................... 28 2.5.1. Số nguyên .................................................................................................. 28 2.5.2. Số hữu tỷ ................................................................................................... 28 2.5.3. Số vô tỷ ...................................................................................................... 28 2.5.4. Số phức ...................................................................................................... 29 2.6. ĐỒ HỌA VỚI MATHEMATICA ............................................................. 29 2.6.1. Đồ thị hàm một biến................................................................................. 29 2.6.2. Đồ thị hàm hai biến ( 3 chiều ) ................................................................ 32 2.6.3. Vẽ đồ thị động ........................................................................................... 33 2.7. MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ..... 35 2.8. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ............................................................................ 35 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC................................................................................... 37 3.1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM ........................................................................ 37 3.1.1. Phân loại bài tập phần “Động học chất điểm” ...................................... 37 3.1.2. Sử dụng phần mềm Mathematica để giải bài tập phần “Động học chất điểm”…….. ......................................................................................................... 38 3.1.3. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị bài tập “Động học chất điểm”……………………………………………………………………………41 3.2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM .............................................................. 45 3.2.1. Phân loại bài tập phần “Động lực học chất điểm” ................................ 45 3.2.2. Sử dụng phần mềm Mathematica để giải bài tập phần “Động lực học chất điểm” ........................................................................................................... 46 3.2.3. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị bài tập “Động lực học chất điểm” ........................................................................................................... 47 3.3. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ................................................................ 49 3.3.1. Phân loại bài tập “ Các định luật bảo toàn” .......................................... 49 3.3.2. Sử dụng phần mềm Mathematica để giải bài tập “Các định luật bảo toàn”………….. .................................................................................................. 50 3.3.3. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị bài tập “Các định luật bảo toàn” ............................................................................................................. 55 3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ............................................................................ 58 PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 59 1.1. KẾT LUẬN .................................................................................................. 59 1.2. KIẾN NGHỊ ................................................................................................. 59 PHẦN 4. HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................................... 60 PHẦN 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................. 61 5 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bước vào thế kỷ XXI, xã hội loài người đã có những bước phát triển vượt bậc về khoa học và công nghệ. Điều này đã mang đến cho con người những lợi ích rất thiết thực và quan trọng, góp phần nâng cao chất lượng cuộc sống của xã hội. Tuy nhiên nó cũng đặt ra những yêu cầu cao hơn về chất lượng, trình độ, kỹ năng của đội ngũ lao động. Việc nâng cao chất lượng giáo dục là một vấn đề đã và đang được quan tâm hàng đầu trong xã hội. Chính vì vậy, việc đổi mới công tác giáo dục và đào tạo đã diễn ra rất sôi động ở nhiều nước trên thế giới và khu vực. Theo xu hướng đó Đảng và nhà nước ta đã xác định " Giáo dục là quốc sách hàng đầu", đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự phát triển. Điều này đã đặt cho ngành giáo dục và đào tạo những nhiệm vụ rất khó khăn là phải đổi mới đồng bộ cả về mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện dạy học. Vật lý là một môn khoa học khó vì cơ sở của nó là toán học. Bài tập vật lý rất đa dạng và phong phú. Các bài toán về dao động, cơ học lượng tử nói chung cũng như các bài toán về cơ học nói riêng rất phong phú và đa dạng, có thể sử dụng nhiều phương pháp để giải. Để nghiên cứu, khảo sát các quá trình sử dụng các bài toán vật lý đòi hỏi phải tính toán các phép toán rất phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Vì vậy việc ứng dụng công nghệ thông tin vào để nghiên cứu các quá trình tính toán vật lý, sử dụng các công cụ tính toán sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lý được nhanh chóng và thuận tiện. Để làm được điều này, ngôn ngữ lập trình giải thích Mathematica nổi lên với ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng đồ thị siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh đã trở thành một công cụ đắc lực cho các nhà khoa học, các kỹ sư, các chuyên gia sinh học, giáo viên, các nhà tài chính…ngoài ra Mathematica còn có những ưu thế trong việc mô phỏng các hiện tượng, đồ họa đẹp, thân thiện và dễ sử dụng, có khả năng ứng dụng cao trong vật lý. Từ những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài: “ Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán cơ học”. 6 2. Mục đích nghiên cứu + Ứng dụng phần mềm Mathematica trong việc giải các bài toán về cơ học. + Làm rõ được ưu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết về cơ học. + Nghiên cứu sử dụng cú pháp cấu trúc câu lệnh của Mathematica. + Khai thác các tính năng vẽ đồ thị hai chiều, ba chiều trên Mathematica. + Nghiên cứu phần mềm Mathematica trong việc giải các bài toán về cơ học. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Các dạng chuyển động và các bài tập về cơ học. + Phần mềm Mathematica + Phương pháp giải các bài toán về cơ học khi sử dụng phần mềm Mathematica. 5. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp lý thuyết: Đọc và tìm hiểu ngôn ngữ lập trình Mathematica. + Phương pháp giải bài tập. + Phương pháp phân tích tổng hợp. 6. Lịch sử nghiên cứu + Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để giải bài toán chương dòng điện xoay chiều Vật lý 12 nâng cao ( Luận văn thạc sĩ chuyên nghành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý Nguyễn Thị Diệu Ly ). + Sử dụng phần mềm Mathematica trong dạy học phần “ Dao động và sóng điện từ ” chương trình sách giáo khoa vật lý 12 THPT ( Luận văn thạc sĩ chuyên nghành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn vật lý – Hoàng Việt Hưng ) . + Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để vẽ đồ thị ( Khóa luận tốt nghiệp, Phạm Thị Hạnh Thảo ) 7. Giả thuyết khoa học Đề tài được hoàn thành sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên chuyên nghành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng được cách học mới, đó là ứng dụng công nghệ thông tin trong việc giải quyết các bài toán Vật lý khó và phức tạp. 7 8. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có 3 phần: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. - Phần mở đầu trình bày: Lí do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, lịch sử nghiên cứu, đóng góp của đề tài và cấu trúc khóa luận. - Phần nội dung có 3 chương : + Chương 1: Cơ sở lý thuyết về cơ học + Chương 2: Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathematica. + Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán cơ học. - Phần kết luận: Trình bày các kết quả thu được từ nghiên cứu trên phần mềm Mathematica. 8 PHẦN 2. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ PHẦN CƠ HỌC 1.1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1.1. Chuyển động thẳng đều a) Định nghĩa: - Là chuyển động thẳng trên một đường thẳng trong đó vật đi được những quãng đường bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì. - Là chuyển động thẳng trong đó: ݒԦ = consݐԦ b) Vận tốc: - Vận tốc của chuyển động thẳng đều là đại lượng Vật Lý đặc trưng cho sự nhanh hay chậm của chuyển động và đo bằng thương số giữa quãng đường đi được và khoảng thời gian để đi hết quãng đường đó. ݒݐݏ݊݋ ܿൌ Ԧ Ԧ - Biểu thức: v = ௦ ௧ trong đó s: quãng đường (1.1) t : thời gian - Đơn vị : ms, kmh, cms. c) Gia tốc: v = const nên a = 0 d) Phương trình chuyển động: ݔ ൌ ݔ଴ ൅ ݒሺ ݐെ ݐ଴ ሻ (1.2) ݔ ൌ ݔ :ݕܽܪ ଴ ݐ ሺ ݐ .ݒ ൅଴ ൌ 0 ሻ (1.3) S = v.t ( đường thẳng ) (1.4) 1.1.2. Chuyển động thẳng biến đổi đều 1.1.2.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều a) Định nghĩa: - Là chuyển động thẳng trong đó vận tốc biến thiên (tăng hoặc giảm) được những lượng bằng nhau trong những khoảng thời gian bất kì. b) Vận tố c: Vận tốc trung bình - Vận tốc trung bình của một chuyển động thẳng biến đổi đều trên một quãng đường nhất định là một đại lượng đo bằng thương số giữa quãng đường đi được và khoảng thời gian để đi hết quãng đường đó. 9 - Biểu thức : ݒԦ௧௕ ൌ ௦ Ԧ ௧ hay ݒ௧௕ ൌ ௦ ௧ (1.5) Đơn vị : ms, kms. Vận tốc tức thời. - Vận tốc tức thời hay vận tốc tại một điểm đã cho trên quỹ đạo đo bằng thương số giữa quãng đường đi được rất nhỏ tính từ điểm đã cho và khoảng thời gian rất nhỏ để đi hết quãng đường đó. - Biểu thức : ݒԦ௧ ൌ ∆௦ Ԧ ∆௧ hay ݒ௧ ൌ ∆௦ ∆௧ (1.6) c) Gia tốc: - Gia tốc là một đại lượng Vật Lý đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm của vận tốc và đo bằng thương số giữa độ biến thiên của vận tốc và khoảng thời gian xảy ra sự biến thiên đó. - Biểu thức : Gia tốc là một đại lượng vectơ. ܽ Ԧ ൌ ௩ሬԦ೟ି ௩ ሬԦ బ ௧ି ௧ బ ൌ ∆௩ ሬԦ ∆௧ ݐݏ݊݋ ܿൌ Ԧ, trong đó : ݒԦ଴ là vận tốc ở thời điểm ݐ଴, ݒԦ là vận tốc ở thời điểm t. (1.7) Hướng :ܽ Ԧ ↑↑ ∆ݒԦ Độlớn: a = ௩೟ି ௩ బ ∆௧ (1.8) d) Phương trình chuyển động. Công thức vận tốc : ݒ௧ ݒ ൌ଴ ݐ െ ݐ ሺ ܽ൅ ଴ ሻ (1.9) Công thức đường đi : ݒ ൌ ݏ଴ ൅ ݐ ଵ ܽଶ ݐ ଶ (1.10) Phương trình chuyển động: ݔ ൌ ݔ଴ ݐ െ ݐ ሺݒ൅ ଴ ሻ ൅ ଵ ܽଶ ݐ െ ݐሺ ଴ ሻ ଶ (1.11) Liên hệ giữa a, v,s : ݒ ଶ ݒ െ଴ଶ ݏܽ2 ൌ (1.12) 1.1.2.2. Sự rơi tự do a) Định nghĩa: - Sự rơi tự do là sự rơi của các vật trong chân không chỉ dưới tác dụng của trọng lực. - Khi không có sức cản của không khí : Các vật có hình dạng và khối lượng khác nhau đều rơi như nhau. Mọi vật chuyển động ở gần mặt đất đều có gia tốc rơi tự do. 10 Vật rơi tự do chuyển động theo phương thẳng đứng . Chuyển động rơi tự do là chuyển động nhanh dần đều. b) Vận tốc và quãng đường đi được: Công thức tính vận tốc: v ൌ gt (1.13) Công thức tính quãng đường đi được: S ൌ ଵ ଶ gt ଶ (1.14) c) Gia tố c: Gia tốc của sự rơi tự do:݃ ൌ ଶ.ௌ ௧ మ (1.15) Ở cùng một nơi trên Trái Đất các vật rơi tự do có cùng gia tốc , gọi là gia tốc rơi tự do. Thường lấy g = 9,8 mݏ ଶ 1.1.3. Chuyển động tròn đều a) Định nghĩa: - Chuyển động tròn đều là chuyển động theo quỹ đạo tròn với vận tốc có độ lớn không đổi chỉ thay đổi phương. b) Vận tố c: Vận tốc dài : ൌ ݒ ∆௦ ∆௧ ሺ ݉ ݏሻ (1.16) Trong đó ݏ∆ là độ dài cung tròn mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian .ݐ∆ Vận tốc góc : Là đại lượng đo bằng thương số giữa góc quay φ của bán kính vật chuyển động ở tâm vòng tròn quỹ đạo và thời gian để quay góc đó. ߱ ሬሬԦ ൌ ఝ ௧ ݂ߨ2 ൌ ,݂ ൌ ଵ், → v = ଶగோ் = R߱ ሬሬԦ (1.17) Trong đó f là số vòng quay trong 1s và T là khoảng thời gian đi hết một vòng trên vòng tròn. c) Gia tốc: Gia tốc của chất điểm chuyển động tròn đều gọi là gia tốc hướng tâm, có phương vuông góc với tiếp tuyến quỹ đạo tại vị trí của chất điểm , có chiều hướng vào tâm đường tròn và có giá trị bằng ௩ మ ோ - Biểu thức :ܽ ௡ሬሬሬሬԦ ൌ ∆௩ ሬԦ ∆௧,ܽ ௡ ൌ ௩ మ ோ ܴ߱ൌ (1.18) Với R là bán kính quỹ đạo . 11 1.1.4. Ghi chú a) Chất điểm Trong trường hợp kích thước của vật nhỏ so với phạm vi chuyển động của nó ta có thể coi vật như một chất điểm, tức là vật có kích thước như một điểm hình học. b) Chuyển động tịnh tiến Chuyển động của một vật là tịnh tiến khi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của vật luôn song song với một phương nhất định. c) Hệ quy chiếu Khi ta chọn một vật làm mốc và gắn vào đó một trục tọa độ tức là ta đã chọn một hệ quy chiếu để xác định vị trí của một chất điểm. d) Qũy đạo Khi chất điểm chuyển động vạch nên một đường trong không gian gọi là quỹ đạo. e) Tính tương đối của chuyển động Mọi vật chuyển động và mọi trạng thái đứng yên đều có tính tương đối. - Tính tương đối của tọa độ: Đối với hệ quy chiếu ( hệ tọa độ) khác nhau thì tọa độ của vật sẽ khác nhau. - Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng một vật đối với hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau. - Công thức cộng vận tốc : ݒԦଵଷ ݒ ൌԦଵଶ ݒ ൅Ԧଶଷ (1.19) 1.2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 1.2.1. Sự tương tác giữa các vật - Tác dụng tương hỗ giữa các vật gọi là tương tác. - Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của vật này vào vật khác, kết quả là truyền gia tốc cho vật hoặc làm vật biến dạng. - Lực biểu diễn bằng một vectơ có: + Điểm đặt: là vị trí mà lực đặt lên vật. + Hướng: biễu diễn theo hướng tác dụng lực. + Độ lớn: độ dài vectơ lực tỉ lệ với độ lớn. 12 - Hai lực được coi là bằng nhau: nếu cho chúng lần lượt tác dụng vào một vật tại cùng một điểm, theo cùng một hướng thì chúng gây ra cho vật đó cùng một gia tốc hoặc cùng một mức độ biến dạng. - Hai lực cân bằng nhau: hai lực cùng đặt vào một vật và có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều nhau. - Một vật ở trong trạng thái cân bằng ( đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều ) là vì các lực tác dụng vào nó cân bằng nhau. - Đơn vị của lực trong hệ SI là Newtơn (N) 1.2.2. Phép tổng hợp lực - Là phép thay thế nhiều lực tác dụng vào vật bằng một lực tác dụng giống hệt như toàn bộ những lực ấy. Lực thay thế này gọi là hợp lực. - Quy tắc hình bình hành: tổng hợp hai lực có giá đồng qui. F ଵ ሬሬሬሬԦ ൅ ܨ ଶ ሬሬሬԦ ൌ ܨԦ - Phép phân tích lực là phép thay thế một lực bằng hai lực có tác dụng giống hệt như lực ấy. - Quy tắc hình bình hành : phân tích một lực thành hai lực đồng qui. FሬԦ ൌ F ଵ ሬሬሬሬԦ ൅ F ଶ ሬሬሬሬԦ 1.2.3. Khối lượng và quán tính - Quán tính: là tính chất của một vật muốn bảo toàn vận tốc của mình cả về hướng lẫn độ lớn. - Khối lượng: là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật. - Đơn vị (hệ SI): kilogam (kg) - Tính chất : + Là một đại lượng vô hướng, dương. 13 + Có tính chất cộng : khi nhiều vật được ghép lại thành một hệ vật thì khối lượng của hệ vật bằng tổng khối lượng các vật đó. - Khối lượng riêng: là khối lượng của vật có trong một đơn vị thể tích. ܸ݉ ൌ ܦ Đơn vị ( hệ SI) :݃݇ ݉ ଷ 1.2.4. Các định luật Niu-tơn - Định luật I Newtơn ( Định luật quán tính ). + Nếu một vật không chịu tác dụng của một vật khác thì nó giữ nguyên vị trí đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. + Vật cô lập có gia tốc bằng không. + Thực tế không có vật nào hoàn toàn bị cô lập. Định luật này là một sự khái quát hóa và trừu tượng hóa của Newtơn. + Tính đúng đắn của định luật này thể hiện ở chỗ hệ quả của nó phù hợp với thực tế. Ý nghĩa : - Định luật nêu lên tính chất quan trọng, là xu hướng bảo toàn vận tốc của mọi vật. Tính chất đó gọi là quán tính. - Quán tính có 2 biễu hiện : + Xu hướng giữ nguyên trạng thái đứng yên → vật có tính “ ì ” + Xu hướng giữ nguyên trạng thái chuyển động thẳng đều → vật có tính “ đà ” - Định luật II Newtơn. + Gia tốc của một vật luôn cùng chiều với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với lực tác dụng và tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó. ܽ Ԧ ൌ ܨ݉Ԧ + Đơn vị lực là Newtơn (N). + New tơn là lực truyền một khối lượng 1kg, một gia tốc bằng ݏ݉1 ଶ - Định luật III Newtơn. + Hai vật tương tác với nhau với những lực bằng nhau về độ lớn, cùng giá nhưng ngược chiều nhau. ܨԦଵଶ ܨെ ൌԦଶଵ 14 Đặc điểm của lực và phản lực: + Tương tác có tính chất hai chiều, các lực xuất hiện thành từng cặp. + Cặp lực trong tương tác có cùng bản chất. + Cặp lực trong tương tác đặt lên hai vật khác nhau nên không bù trừ lẫn nhau. 1.2.5. Các lực cơ học ( Bảng 1.1: Các lực cơ học ) Định nghĩa Biểu thức Lực hấp dẫn Định luật: “ Hai vật bất kỳ hút nhau với một lực tỉ lệ thuận với tích của hai khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng” ܨ௛ௗ ܩ ൌ ௠ భ ௠ మ ௥ మ (1.20) G = 6,68 10ି ݉ܰ ଵଵ ଶ ݃݇ ଶ: hằng số hấp dẫn. - Lực hấp dẫn là lực hút. - Công thức trên chỉ đúng đối với chất điểm hoặc đối với các vật hình cầu có khối lượng phân bố đều. Trọng lực - Là lực hút của trái đất tác dụng vào vật ở gần mặt đất. - Là trường hợp riêng của lực hấp dẫn. ܲ ݃݉ൌ ሬԦ Ԧ (1.21) M: khối lượng của vật ݃ Ԧ : gia tốc trọng trường. ܲ ሬԦ : trọng lực của vật + Điểm đặt của trọng lực : trọng tâm của vật. + Phương : thẳng đứng. + Chiều : hướng từ trên xuống dưới. Gia tốc của trọng lực: ݃ ܩ ൌ ெ ሺ ோା௛ ሻ మ ( 1.22) M :khối lượng trái đất ( M = 6. 10ଶସ kg ) R : bán kính trái đất. h : độ cao của vật so với mặt đất. 15 Lực đàn hồi - Là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng có xu hướng làm cho nó lấy lại hình dạng và kích thước cũ. - Lực đàn hồi xuất hiện khi vật bị biến dạng có chiều ngược chiều với sự biến dạng của vật. - Lực đàn hồi xuất hiện trong biến dạng của hai vật tiếp xúc, vuông góc với mặt tiếp xúc. - Lực dàn hồi tỉ lệ với độ dãn của lò xo. - Lực kế lò xo dùng để đo lực. Định luật Hooke: Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật đàn hồi. K: độ cứng (hay hệ số đàn hồi ) ܨԦ = - kݔԦ Độ lớn: F = - kx (1.23) Đơn vị : Nm Lực ma sát Lực ma sát trượt - Lực ma sát trượt xuất hiện khi vật này trượt lên vật kia và cản lại sự chuyển động tương đối của hai vật. - Hướng: tiếp tuyến với mặt tiếp xúc và ngược chiều chuyển động tương đối. - Độ lớn: ߤ ൌ ܨ ܰ௧ (1.24) ߤ ௧ : hệ số ma sát trượt ( thường ߤ ௧ < 1 ) tùy thuộc vào tính chất mặt tiếp xúc. N: áp lực ( lực nén vuông góc ) Lực ma sát nghỉ - Lực ma sát nghỉ luôn cân bằng với ngoại lực đặt vào vật (chưa chuyển động ) ܨԦ௠௦௡ ߤ ൌ ܰ௡ ሬሬԦ (1.25) - Phương: luôn nằm trong mặt tiếp xúc giữa hai vật. - Chiều: ngược chiều với ngoại lực. 16 Lực ma sát lăn - Là lực xuất hiện khi vật chuyển động lăn, có tác dụng cản lại chuyển động lăn. ܨ௠௦ ܰߤ ൌ (1.26) ߤ ≪ ߤ ௧ 1.3. TĨNH HỌC 1.3.1. Cân bằng của một chất điểm a) Điều kiện cân bằng - Điều kiện cân bằng của một chất điểm là hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên nó phải bằng không. - Biểu thức : ΣܨԦ௜ ൌ 0 b) Đặc điểm - Hai lực : + Biểu thức : ܨԦଵ ܨ ൅Ԧଶ ൌ 0 => ܨԦଵ ൌ െ ܨԦଶ (1.27) Điều kiện cân bằng của hai lực tác dụng vào chất điểm phải cùng phương, cùng độ lớn và ngược chiều. - Ba lực : + Biểu thức : ܨԦଵ ܨ ൅Ԧଶ ܨ ൅Ԧଷ ൌ 0 ; ܨԦଵଶ ܨ ൌԦଵ ܨ ൅Ԧଶ ܨԦଵଶ ܨ ൅Ԧଷ ൌ 0 ൌ൐ ܨԦଵଶ ൌ െ ܨԦଷ Điều kiện cân bằng của 3 lực tác dụng vào chất điểm là hợp lực của hai lực ܨԦଵଶ phải cùng phương, cùng độ lớn và ngược chiều với lực thứ ba ܨԦଷ ( đồng phẳng và đồng quy ) 1.3.2. Cân bằng của vật rắn 1.3.2.1. Trọng tâm của vật rắn - Vật rắn: Một vật được coi là vật rắn khi nó hoàn toàn không bị biến dạng, nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm bất kì của nó luôn luôn không thay đổi. - Trọng tâm của một vật rắn là điểm đặt của trọng lực đặt lên vật đó. - Các vật đồng chất và có dạng đối xứng hình học thì trọng tâm là tâm hình học của vật. Hình tròn có trọng tâm tại tâm. Hình chữ nhật, hình vuông có trọng tâm là giao điểm của hai đường chéo. 17 Hình tam giác có trọng tâm tại giao điểm của các đường trung tuyến. - Trọng tâm của một vật có đặc điểm là nếu tác dụng lên vật lực có đường tác dụng đi qua trọng tâm thì sẽ chuyển động tịnh tiến giống như một chất điểm chứ không quay. 1.3.2.2. Cân bằng của một vật khi không có chuyển động quay a) Điều kiện cân bằng của một vật rắn không quay Khi không có chuyển động quay, điều kiện cân bằng của vật là hợp lực của các lực đặt vào vật phải bằng không. b) Quy tắc hợp lực đồng quy - Tìm hợp lực của các lực đồng quy: tìm điểm đặt của hai lực trên giá của chúng đến điểm đồng quy. - Áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực. c) Hệ lực cân bằng - Hệ hai lực cân bằng: cùng giá, cùng độ lớn, ngược chiều. - Hệ ba lực cân bằng: có giá đồng phẳng và đồng quy, có hợp lực bằng không. 1.3.2.3. Quy tắc hợp lực song song - Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực có phương song song với hai lực và cùng chiều với hai lực. - Độ lớn bằng tổng độ lớn hai lực : ܨ ൌ ܨଵ ܨ ൅ଶ - Điểm đặt: Phía chia cho đoạn thẳng nối hai điểm theo tỉ số tỉ lệ nghịch với hai lực: ܨ݀ଵ ଵ ܨ ൌ݀ଶ ଶ (1.28) 1.3.2.4. Cân bằng của một vật có trục quay cố định. Quy tắc momen lực a) Tác dụng của lực đối với một vật có trục quay cố định - Lực chỉ gây ra tác dụng quay khi giá của lực không đi qua trục quay - Lực tác dụng có giá đi qua trục quay: vật sẽ đứng cân bằng. b) Cân bằng của một vật có trục quay cố định - Momen lực: + Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực đối với một trục . + Độ lớn: M = F.d (1.29) m : momen lực (Nm) 18 F : độ lớn lực tác dụng (N) d : khoảng cách từ giá của lực đến trục quay gọi là cánh tay đòn của lực ܨԦ (m) - Quy tắc momen lực: Điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định là tổng các momen lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các momen lực làm vật quay theo chiều ngược lại. 1.3.2.5. Ngẫu lực a) Định nghĩa Ngẫu lực là hai lực song song , ngược chiều, bằng nhau về độ lớn có giá khác nhau và đặt lên cùng một vật. b) Tác dụng của ngẫu lực - Trường hợp không có trục quay cố định: vật quay quanh một trục vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực. - Trường hợp vật có trục quay cố định: trọng tâm chuyển động tròn xung quanh trục quay. c) Momen ngẫu lực - Momen ngẫu lực đối với trục quay bất kì vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực. ݀.ܯ ൌ ܨ (1.30) - Đặc điểm: ngẫu lực không có hợp lực, không phụ thuộc vào vị trí trục quay. 1.3.2.6. Các dạng cân bằng – Mức vững vàng của cân bằng a) Các dạng cân bằng - Cân bằng không bền: Khi đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng, hợp lực hay momen lực khác không và có tác dụng đưa vật rời xa vị trí cao nhất so với các vị trí khác của trọng tâm. - Cân bằng bền: Khi đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng, hợp lực hay momen lực khác không và có tác dụng đưa vật trở lại vị trí cũ. Trọng tâm ở vị trí thấp nhất. - Cân bằng phím định: Khi đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng, hợp lực hay momen lực vẫn bằng không và vật đứng yên cân bằng ở vị trí mới. b) Mức vững vàng của cân bằng - Mật độ chân đế: là một đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm tiếp xúc giữa vật và mặt phẳng đỡ. 19 - Điều kiện cân bằng của một vật có mặt chân đế: vật sẽ cân bằng khi giá của trọng lực còn đi qua mặt chân đế. 1.4. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 1.4.1. Định luật bảo toàn động lượng a) Hệ kín: Hệ vật được gọi là hệ kín ( cô lập ) nếu các vật trong hệ chỉ tương tác với nhau, mà không tương tác với các vật ở ngoài hệ. b) Định luật bảo toàn động lượng - Động lượng ݌Ԧ: của vật là đại lượng vectơ đo bằng tích khối lượng m và vận tốc ݒԦ của vật đó. ݌Ԧ ൌݒ ݉ Ԧ (1.31) Đơn vị: kgms - Định luật bảo toàn động lượng: + Tổng động lượng của một hệ kín được bảo toàn. + Nếu hệ có hai vật : ݉ ଵ ݒԦଵ ݉ ൅ ଶ ݒԦଶ ݉ൌ ଵ ′ݒሬሬሬԦଵ ݉ ൅ ଶ ′ݒሬሬሬԦଶ (1.32) Hoặc: ݌Ԧଵ ݌ ൅Ԧଶ ′݌ൌ ሬሬሬԦଵ ′݌൅ ሬሬሬԦ ଶ (1.33) Với݉ ଵ ݉, ଶ: khối lượng của vật 1 và vật 2 ݒԦଵ ݒ ,Ԧଶ: vận tốc của vật 1 và vật 2 trước tương tác ′ݒሬሬሬԦଵ ′ݒ ,ሬሬሬԦ ଶ: vận tốc của vật 1 và vật 2 sau tương tác c) Dạng khác của định luật II Niu – tơn ܨ݉ൌ Ԧ ∆௩ ሬԦ ∆௧ ൌ ∆௉ ሬԦ ∆௧ ( vì ∆ܲ ሬԦ ൌ ݉∆ݒ Ԧ ) (1.34) => ܨԦ. ∆ ݐൌ ∆ܲ ሬԦ (1.35) d) Chuyển động bằng phản lực Chuyển động phản lực là loại chuyển động do tương tác bên trong mà một số bộ phận của tách khỏi vật chuyển động về một hướng, phần còn lại chuyển động theo hướng ngược lại. 1.4.2. Định luật bảo toàn năng lượng a) Công – công suất - Công: 20 + Định nghĩa: Công của lực F trên đoạn đường S là đại lượng đo bằng tích của lực với quãng đường đi và với cosin của góc tạo bởi hướng của lực và hướng của đường đi. + Biểu thức: A = Fscosα (1.36) Với A : công ( J) F : lực (N) s : quãng đường (m) - Công suất: + Định nghĩa: Công suất là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh hay chậm của một máy, đo bằng tỉ số giữa công thực hiện và khoảng thời gian để thực hiện công đó. + Biểu thức : ൌ ߩ ஺ ௧ (1.37) Với ߩ : công suất ( W) A : công ( J) t : thời gian (s) + Dạng khác : N = F.V (1.38) b) Công của trọng lực. Định luật bảo toàn công - Công của trọng lực: + Biểu thức: A = P.h = P(݄ ଵ ݄ ൅ ଶ ሻ (1.39) + Đặc điểm: Công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng đường đi mà bằng tích của trọng lực với độ cao h giữa điểm đầu và điểm cuối của vật. Nếu quỹ đạo kín, công của trọng lực bằng 0. Lực có tính chất như đặc điểm trên gọi là lực thế. - Định luật bảo toàn công: + Phát biểu: Công của lực phát biểu bằng về độ lớn với công của lực cản. ܣđ ܣ ൅௖ ൌ 0 ܣđ ൌ ܣ௖ (1.40) + Hiệu suất : thương số giữa công có ích và công toàn phần. c) Năng lượng – động năng và thế năng - Động năng: + Định nghĩa: Động năng của một vật là năng lượng mà vật đó có được do nó chuyển động. 21 + Biểu thức:ܹ đ ൌ ଵ ݉ଶ ݒ ଶ (1.41) + Tính chất : Động năng là một đại lượng vô hướng và là đại lượng dương. Đơn vị của động năng, công, năng lượng : Jun (J) - Định lý động năng: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật. ܹ∆ đ ܹ ൌ đଶ ܹ െ đଵ ܣ ൌ (1.42) + Nếu A> 0:ܹ đଶ ܹ ൐ đଵ : động năng tăng + Nếu A< 0:ܹ đଶ ܹ ൏ đଵ : động năng giảm - Thế năng: + Định nghĩa : Thế năng là năng lượng mà một hệ vật có do tương tác giữa các vật trong hệ và phụ thuộc vào vị trí tương đối của các vật. + Biểu thức : Thế năng hấp dẫn :ܹ ௧ ݄݃݉ൌ (1.43) Thế năng đàn hồi :ܹ ௧ ൌ ଵ ݇ଶ ݔ ଶ (1.44) Với x: độ biến dạng của vật k: độ cứng của vật d) Định luật bảo toàn cơ năng - Định luật bảo toàn cơ năng. + Cơ năng là tổng động năng và thế năng của vật. ܹ ܹൌ đ ܹ൅ ௧ (1.45) + Trường hợp trọng lực : ܹ ܹ ൌ đ ܹ൅ ௧ ốݏ ݃݊ằ ݄ൌ ݄ܽ ݕ ଵ ݉ଶ ݒ ଶ ốݏ ݃݊ằ ݄ൌ ݖ ݃݉൅ (1.46) + Trong trường hợp lực đàn hồi: ܹ ܹ ൌ đ ܹ ൅ ௧ ݄ܽ ݕ ଵ ݉ଶ ݒ ଶ ൅ ଵ ݇ଶ ݔ ଶ ốݏ ݃݊ằ ݄ൌ (1.47) - Định luật bảo toàn cơ năng tổng quát : Trong hệ kín không có lực ma sát, có sự biến đổi giữa động năng và thế năng nhưng cơ năng được bảo toàn. 22 e) Định luật bảo toàn năng lượng - Định luật bảo toàn năng lượng: Trong hệ kín có sự chuyển hóa năng lượng từ dạng này sang dạng khác nhưng năng lượng tổng cộng được bảo toàn. - Hiệu suất của máy : ൌ ܪ ேă௡௚ ௟ượ௡௚ ௥௔ ௖ủ௔ ௠á௬ ேă௡௚ ௟ượ௡௚ ௩à௢ ௖ủ௔ ௠á௬ ൌ ா ೝ ாೡ (1.48) - Ứng dụng: ܹ ܹൌ ᇱ ܳ൅ (1.49) W : cơ năng lúc đầu W’: cơ năng lúc sau Q : nhiệt lượng f) Định luật Bernouli - Sự chảy ổn định của chất lỏng: + Điều kiện chảy ổn định: Vận tốc chảy nhỏ. Vận tốc ở mỗi điểm của chất lỏng không đổi. Ma sát với thành ống và ma sát giữa các lớp chất lỏng không đáng kể. + Hệ thức giữa vận tốc chảy và tiết diện ống: ௩ భ ௩ మ ൌ ௌ భ ௌమ (1.50) - Định luật Bernouli Tổng áp suất động và áp suất tĩnh không đổi dọc theo ống nằm ngang. ߩ ൅ ݌ ௩ మ ଶ ốݏ ݃݊ằ ݄ൌ (1.51) Với p : áp suất tĩnh ݌đ ߩ ൌ ௩ మ ଶ : áp suất động (1.52) 1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương 1, đã trình bày một cách tổng quan về cơ sở lí thuyết của phần cơ học như: Động học chất điểm, động lực học chất điểm, tĩnh học, các định luật bảo toàn. Trong mỗi nội dung có nêu các dạng, các loại cơ bản mà học sinh thường gặp nhằm giúp các em có cái nhìn tổng quát về chương cơ học vật lý 10 trung học phổ thông. 23 CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA 2.1.1. Giới thiệu Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán cụ thể với thời gian nhanh nhất là điều cấp thiết. Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên là Macsyma, Reduce…. Ra đời từ những năm 60 của thế kỷ XX. Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho giải bài toán năng lượng cao. Nhược điểm của chúng là định hướng chạy trên các máy tính lớn. Thế hệ tiếp theo là Maple, Mathab, Mathematica …. Các ngôn ngữ này có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn chạy hoàn hảo trên các máy tính cá nhân. Nỗi bật lên là Mathematica với ưu điểm vược trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng tính toán không thua kém gì các ngôn ngữ khác. Mathematica là một ngôn ngữ lập trình mạnh với hơn 700 hàm có sẵn trong thư viện hàm sẽ giải quyết các vấn đề nêu trên. Mathematica là môi trường ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất cho các tính toán kỹ thuật. Được sử dụng trong khoa học, kỹ thuật, toán học và các lĩnh vực khác của kỹ thuật máy tính. Mathematica là thế hệ thứ 3 của dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng. Nó là ý tưởng của Stephen Wolfram và được phát triển tại trung tâm nghiên cứu Wolfram. Phiên bản đầu tiên Mathe ( ver 1.0) phát hành ngày 2661988. 24 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica Mathematica đưa ra một giao diện thân thiện với người sử dụng được đặt tên là bản ghi ( note book – thường được gọi tắt là nb ). Các bản ghi là dạng cửa sổ biễu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng file riêng của Mathematica có đuôi là .nb. Các bản ghi được tổ chức thành các ô ( cell ) một cách trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó ( số nhóm lồng tùy ý ). Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các nút lệnh Palettes và các nút lệnh Button. Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy ý biến theo ý mình. 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ NGỮ PHÁP CỦA MATHEMATICA Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông và được dùng để nhóm các toán tử, các vectơ, ma trận. Cú pháp hình thức như sau : Hàm expr. Ví dụ : Sinx Danh mục được liệt kê trong dấu ngoặc nhọn {…..} Ví dụ : {1,2,3…..}, {Sint, Cost}…. Dấu (….) dùng để nhóm các biểu thức lại. Ví dụ : Sinx(x+3 ) Mathematica phân biệt chữ hoa với chữ thường, chữ đầu của tên hàm phải được viết hoa. Ví dụ : Plot, Cos, Sin, Integrate… Phép nhân được hiển thị bởi một khoảng trắng hoặc bởi ký tự “ ”. Khi kết thúc một lệnh của Mathematica bằng dấu chấm phẩy thì kết quả không hiển thị trên màn hình. Sau khi viết lệnh nhấn Shift + Enter để thực hiện lệnh. Không được chạy nhiều chương trình cùng một lúc vì các biến vẫn còn lưu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phục chỉnh lại như sau EvaluationQuit KernelLocal. 25 2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica Lệnh trong Mathematica là các Cell gồm: Inn:= Nhập lệnh Outn= Trả về kết quả Trong đó n là số thứ tự câu lệnh. Lệnh trong Mathematica có thể sử dụng trực tiếp. Ví dụ : Để tính 5 + 6 ta nhập In1:=5 + 6 sẽ cho kết quả là Out1= 11 Ký hiệu dùng để lấy kết quả Cell liền kề trước đó. Ví dụ : In2:= + 2 Out2= 13 Trong Mathematica ta có thể gán kết quả cho một tên. Ví dụ : In4:= x = 5 Out4= 5 2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức Một số phép toán cơ bản: + : Phép cộng : Giai thừa - : Phép trừ = : Lớn hơn hoặc bằng ^ : Phép lũy thừa > : Lớn hơn Bảng 2.1: Một số hàm cơ bản trong Mathematica: Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica x Absx √ݔ Sqrtx hoặc x^(12) Sinx Sinxx Cosx Cosx 26 Tgx Tanx Cotgx Cotx Arcsinx ArcSinx Arccosx ArcCosx Arctgx ArcTanx Arctagx ArcCotx ݈ ݃݋ ௔ ݔ Logx Ln x Logx ܽ ௫ a^x݁ ௫ E^x hoặc Exp(x) Ta có thể vào Palettes → Other → Basic Math Input có sẵn trong Mathematica 8.0 để nhập nhanh hơn. Bảng Basic Math Input có dạng: 2.3. TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRONG MATHEMATICA 2.3.1. Tính giới hạn Để tính các giới hạn lim ݂௫→௔ ሻݔሺ , lim ௫→௔ ݂శ ሻݔሺ, lim ௫→௔ ݂ష ሻݔሺ Ta dùng các lệnh tương ứng sau đây: Limit fx,x→a Limit fx, x→a, Direction→1 Limit fx, x→a, Direction→-1 Ví dụ : Limit(1+xn)^n, n → Infinity=݁ ௫ 2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp 1 của hàm 1 biến f(x): Dfx,x Đạo hàm cấp n của hàm 1 biến f(x): Dfx, {x,n} Đạo hàm của hàm nhiều biến f(x,y,z) Ví dụ : Đạo hàm 2 lần theo x, 1 lần theo y và 4 lần theo z như sau : Df(x,y,z),{x,2},y,{z,4} Đạo hàm toàn phần : Dtf,{x,n}, n là bậc của đạo hàm 27 Dtf,{x,݊ ௫}, {y,݊ ௬},… đạo hàm nhiều biến. Ví dụ : Dta x + b,x= a + xDta, x + Dtb, x Dtx^2 y, x, y= 2x + 2yDtx, y + 2xDtx, yDty, x 2.3.3. Tính tích phân Để tính nguyên hàm của f(x) ta dùng lệnh : Integratef(x), x. Ví dụ : Để tính tích phân xác định của f(x) trên a,b ta dùng lệnh : Integratefx, {x,a,b}. Để tính tích phân xác định của f(x) xác định trên a,b kết quả hiển thị dưới dạng số thập phân ta dùng lệnh Nintegratefx, x,a,b Ví dụ : Integrate1(x^3 + 1 ), {x,0,1}= ଵ ଵ଼ (2√3 π + Log64) Lưu ý: Ta có thể sử dụng bảng BasicInput. Vào File → Palettes →BasicInput hoặc Palettes có sẵn trên thanh công cụ. 2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình Đầu tiên chúng ta làm quen với lệnh Solve: Cú pháp và cách lấy giá trị nghiệm hãy chú ý đến trường hợp có nghiệm bội như trong ví dụ sau đây : In1 := sol = Solveaݔ ଶ + bx + c == 0, x Out1= {{x → ି ௕ି √௕ మି ସ௔௖ ଶ௔ },{x → ି ௕ା √௕ మି ସ௔௖ ଶ௔ }} Theo ví dụ trên thì ta thấy cú pháp để giải một phương trình đơn một biến: Solveequation,variable. Cú pháp tổng quát đối với các đối số của lệnh Solve bao gồm một list các phương trình phụ thuộc vào một list các biến, có nghĩa là: Solveequationlist,variablelist. Ví dụ sau đây sẽ cho thấy được điều đó: In1 := Solve{ ݔ ଷ ݕ ൅ ଷ ൌ ൌ 1, ݔ ଶ ݕ ൅ ଶ == 1},{x, y} Out1ൌ ሼሼ ݔ→ 0, ݕ→ 1ሽ, ሼ ݔ→ 1, ݕ→ 0ሽ, ሼݔ → ଵ ଶ ሺെ2 െ ݅ √2ሻ, ݕ → ଵ ଶ ሺ െ2 ൅ ݅ √2ሻሽ, ሼݔ → ଵ ଶ ሺ െ 2 + i√2),y → ଵ ଶ( - 2 - i√2)}} 2.4. CÁC KIỂU SỐ TRONG MATHEMATICA Có 4 kiểu số thông dụng trong Mathematica: Integer: Số nguyên Rational: Số hữu tỷ Real: Số thực Complex: Số phức Để kiểm tra một số thuộc kiểu số nào đó ta dùng hàm Head. 28 Ví dụ : Head1234 trả về là Integer. Ngoài các kiểu số trên còn có một kiểu số đặc biệt được gọi là số ngẫu nhiên. Để tìm số ngẫu nhiên Mathematica cung cấp cho ta hàm Random. Random cho một số thực biến thiên trong đoạn 0, 1. Ví dụ : Random cho kết quả là 0.43165 Random Integer cho giá trị ngẫu nhiên là 0 hoặc 1. Random Kiểu số, khoảng biến thiên: cho giá trị ngẫu nhiên là “ kiểu số” và có giá trị nằm trong “ khoảng biến thiên”. Ví dụ : RandomInteger,{0,1000} cho kết quả là 347 2.5. CÁC PHÉP TÍNH TOÁN SỐ HỌC Như một máy tính tay, Mathematica có thể thực hiện được tất cả các phép tính: cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa… 2.5.1. Số nguyên Khi làm việc với số nguyên, Mathematica luôn hiển thị kết quả chính xác và đầy đủ trên màn hình, ngay cả khi tính toán với những số lớn. Ví dụ : In1:= 35^53 Out1= 68486717367040302472198227336551670995443520051360053457756293937 56389617919921875 2.5.2. Số hữu tỷ Số hữu tỷ là một số được biễu diễn bởi tỷ số của một số nguyên chia cho số nguyên khác 0. Thông thường khi sử dụng máy tính hay các phần mềm khác ta chỉ nhận được giá trị xấp xỉ, chẳng hạn 24 + 24144 thì ta được kết quả là : 0,6666667. Đối với Mathematica khi nói về số hữu tỷ là nói về phân số. Ví dụ : In1:=24 + 24144 Out1= 23 2.5.3. Số vô tỷ Mathematica luôn hiển thị kết quả một cách chính xác theo yêu cầu chính xác của người sử dụng nó. Nhưng số vô tỷ thì không thể được biểu diễn một cách 29 chính xác như số nguyên hoặc số hữu tỷ. Vì vậy Mathematica sẽ cho kết quả chính xác theo yêu cầu của người sử dụng. Ví dụ : Sqrt17 có nghĩa là : √17 Nếu cho tham số căn bậc hai là một số chấm động thì Mathematica sẽ cho kết quả xấp xỉ. In1:= Sqrt17 Out1= 4.123015625617661 2.5.4. Số phức Một số hàm thường dùng để làm việc với số phức: Re : Lấy phần thực của số phức Rm : Lấy phần ảo của số phức Conjugate : Tìm liên hợp của số phức Abs : Cho môđun của số phức Arg : Tính góc Round : Làm tròn số cả phần thực và phần phức Ví dụ : In1:= Re5 + 6 I Out1= 5 In2:=Im5 + 6 I Out2= 6 In3:= Conjugate5 + 6 I Out3= 5 – 6 I In4:= Abs5 + 6 I Out4= √61 In5:= Round2.8 + 7.2 I Out5= 3 + 7 I 2.6. ĐỒ HỌA VỚI MATHEMATICA 2.6.1. Đồ thị hàm một biến Vẽ đồ thị hàm một biến fx ta dùng lệnh: Plotf x, {x,a,b} : Vẽ đồ thị hàm fx trong khoảng a, b. - Ví dụ: Định nghĩa các hàm f, g, h 30 Cl...