ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Kinh Doanh - Tiếp Thị - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật Trang 1 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- TRẦN THỊ CHÂU ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 2 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ CHÂU MSSV: 2112020103 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC S PHẠM TOÁN KHÓA: 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 - 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 3 MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 5 1.2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 5 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 5 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................. 6 1.5. Lịch sử nghiên cứu ........................................................................................... 6 1.6. Đóng góp của đề tài .......................................................................................... 6 1.7. Cấu trúc đề tài .................................................................................................. 6 PHẦN 2. NỘI DUNG .............................................................................................. 7 CHƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 7 1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn .......................................................................... 7 1.1.1. Định nghĩa 1.1. ............................................................................................... 7 1.1.2. Công thức nghiệm .......................................................................................... 7 1.1.3. Công thức Vi-ét .............................................................................................. 7 1.2. Tam thức bậc hai .............................................................................................. 8 1.2.1. Định nghĩa 1.2. ............................................................................................... 8 1.2.2. Một số tính chất .............................................................................................. 8 1.3. Bất phƣơng trình bậc hai .............................................................................. 12 1.3.1. Định nghĩa 1.3. ............................................................................................. 12 1.4. Tính đơn điệu hàm số .................................................................................... 12 1.4.1. Định nghĩa 1.4. ............................................................................................. 12 1.4.2. Định lí 1.5. .................................................................................................... 12 2.1. Phƣơng pháp tam thức bậc hai trong phƣơng trình. ................................. 13 2.2. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phƣơng trình bậc hai....... 18 2.3. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến hệ phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình. ......................................................................................................... 22 2.4. Ứng dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức ..................... 25 2.5. Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất........ 31 Trang 4 2.6. Ứng dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số. .................................................................................................................... 36 PHẦN 3. KẾT LUẬN ............................................................................................ 42 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 43 Trang 5 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong chương trình THPT. Qua toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác, giúp người học phát triển, hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất, để giúp người học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề được đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện. Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong chương trình toán học lớp 9 các em đã làm quen với tam thức bậc hai và phương trình bậc hai. Song việc ứng dụng và vận dụng chúng trong việc giải các loại khác như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Chính vì lẽ đó trong quá trình giáo viên giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận dụng nó vào giải các loại toán khác. Với những lí do đã nêu trên và lòng say mê tìm tòi nghiên cứu nên tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng tam thức bậc hai giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông” để làm đề tài khoá luận tốt nghiệp, nhằm giúp tôi có cái nhìn tổng thể, sâu sắc hơn về ứng dụng tam thức bậc hai. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán cụ thể liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình, hệ bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng tam thức bậc hai giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số. Trang 6 - Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán trong chương trình THPT. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5. Lịch sử nghiên cứu Đã có những công trình nghiên cứu liên quan tới một số vấn đề tam thức bậ c hai của tác giả như: - Sách Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, một số ứng dụng tam thức bậc hai, Nhà xuất bản đại học sư phạm, năm 2004. 1.6. Đóng góp của đề tài - Định dạng các dạng bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng tam thức bậc hai. - Giải chi tiết các bài toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằ ng công cụ tam thức bậc hai cho các bạn đọc quan tâm. - Thống kê các dạng và phương pháp giải phương trình, bất phương trình, bất đẳ ng thức… bằng tam thức bậc hai hay gặp ở toán bồi dưỡng học sinh giỏi và các kì thi. - Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về tam thức bậc hai. 1.7. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: - Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị. - Chương 2: Ứng dụng tam thức bậc hai. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. Trang 7 PHẦN 2. NỘI DUNG CHƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn 1.1.1. Định nghĩa 1.1. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:2 0a x b x c   (1). Trong đó:, , ; 0a b c a   là các hệ số của phương trình (1),x là ẩn số. 1.1.2. Công thức nghiệm Ta có2 4b ac   là biệt thức của phương trình bậc hai:2 0.a x b x c   i) Nếu0 thì phương trình bậc hai (1) vô nghiệm. ii) Nếu0  thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép1 2 2 b x x a    . iii) Nếu0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt1,2 , 2 b x a     (không mất tính tổng quát giả sử1 2x x ). 1.1.3. Công thức Vi-ét Định lí 1.1. Nếu phương trình:2 0a x b x c   , với0a  có hai nghiệm1x và2x thì:1 2 1 2. b S x x a c P x x a            Hệ quả 1. (1) có hai nghiệm trái dấu0.P  2. (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 0P       3. (1) có hai nghiệm dương 0 0 0 P S          4. (1) có hai nghiệm âm 0 0 0 P S          Trang 8 1.2. Tam thức bậc hai 1.2.1. Định nghĩa 1.2. Tam thức bậc hai đối vớix là biểu thức có dạng  2 f x a x b x c   , trong đó a, b, c là những hệ số,0a  . Hàm số tương ứng  2 f x a x b x c   được gọi là hàm số bậc hai và phương trình2 0a x b x c   được gọi là phương trình bậc hai. Các bất phương trình dạng  0f x  (tương ứng     0, 0, 0f x f x f x   ) được gọi chung là các bất phương trình bậc hai. Biến đổi tam thức bậc hai về dạng:  22 2 2 2 2 2 2. 2 4 4 2 4 b b c b b f x a x x a x a a a a a a                        . Trong đó2 4b ac   được gọi là biệt thức của f x . Nếu12b b thì:  22 2 '''' 2 1 1 1 1 2 2 2 2. b b c b b f x a x x a x a a a a a a                        , trong đó'''' 2 1b a c   được gọi là biệt thức thu gọn của f x . 1.2.2. Một số tính chất Định lí 1.2. (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử). Xét tam thức bậc hai  2 f x a x b x c   , khi đó: i) Nếu0 thì f x không phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất. ii) Nếu0  thì  2 2 b f x a x a        . iii) Nếu0 thì    1 2f x a x x x x   với1,2 2 b x a     . Đặc biệt, điều kiện cần và đủ để f x là b iểu thức chính phương (là bình phương đúng của một nhị thức) là đồng thời xảy ra0a ,0  . Khi đó:  2 2 b f x a x a           . Định lí 1.3. (Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai). Cho tam thức bậc hai  2 , ( 0)f x ax bx c a    . Khi đó: i) Nếu0 thì  0, .a f x x   Trang 9 ii) Nếu0  thì  0, .af x x   Dấu đẳng thức xảy ra khi2 b x a   . iii) Nếu0 thì  0f x  có hai nghiệm phân biệt1 2x x  0,af x x  thỏa mãn điều kiện1x x hoặc2x x .  0,af x x  thỏa mãn điều kiện1 2x x x  .  0f x  tại1x x hoặc2x x . Chứng minh Ta có:  2 2. 2 4 b af x a x a a             Từ đó: i) Nếu0 thì  2 2. 2 4 b af x a x a a             > 0,.x  ii) Nếu0  thì  2 2. 0 2 b af x a x a         ,.x   0 2a b a f x x    iii) Nếu0 thì  2 2 2. 2 2 b af x a x a a                     2 2 1 2 1 2 2a 2a , b b a x x a x x x x x x                   Ta lập bảng xét dấu của a f x :x1x2x1x x - 0 + +2x x - - 0 +  2 2x x x x  + 0 - 0 +    2 2.f x a x x x x   cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a Dựa vào bảng xét dấu ta có: Trang 10   1 2 0 x x af x x x         0a f x 1 2x x x  .   0f x  tại1x x hoặc2x x . Nhận xét Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi (luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi0  . Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó, ta có: 2 2 0 , 0 0 0 , 0 0 a x a x b x c a x a x b x c                      Định lí 1.4. (Định lí đảo). Xét một tam thức bậc hai f x  ax2 + bx + c 0a  . Nếu tồn tại một số  nào đó sao choa. ( ) 0f   thì có kết luận sau: a. Tam thức  0f x  có hai nghiệm x1; x2, 1 2x x . b. Số nằm giữa 2 nghiệm này:1x x1 do đó:2x1x Vậy: Nghiệm của (10) là:1 2x x x  Trường hợp 5: Với m = 0, ta có:   '''' 0, 0 0 0 0 0 f x x a f x khi x              Nghiệm của (10) là x = 0. Trường hợp 6: Với m > 0, ta có:    '''' 0 0, 10 0 f x x a         vô nghiệm, + Kết luận: Với m - 2, nghiệm của (10) là:x  . Với2 1m    , nghiệm của (10) là:2 1x x x x   . Với m = - 1, nghiệm của (10) là:1.x  Với1 0m   , nghiệm của (10) là:1 2x x x  . Với m = 0, nghiệm của (10) là: x = 0. Với m > 0, (10) vô nghiệm. Ví dụ 2.11. Tìm m để bất phương trình:   2 1 3 4x 5x x m x     nghiệm đúng với2, 2 3 .x        Giải Viết lại bất phương trình dưới dạng:     2 2 2 2 4 3 4x 5 0 4 5 4x 5 2 0 11x x m x x x m x              Trang 21 Đặt2 4 5, 1.t x x t    Khi đó bất phương trình (11) được viết lại:  2 2...

NỘI DUNG

1.1 Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: a x 2 b x c 0 (1) Trong đó: a b c, ,  ; a0 là các hệ số của phương trình (1), x là ẩn số

Ta có  b 2 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai: a x 2 b x c 0. i) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) vô nghiệm ii) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép 1 2

  iii) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt

 (không mất tính tổng quát giả sử x 1  x 2 )

1.1.3 Công thức Vi-ét Định lí 1.1 Nếu phương trình: a x 2 b x c 0, với a0 có hai nghiệm x 1 và x 2 thì:

1 (1) có hai nghiệm trái dấu  P 0.

2 (1) có hai nghiệm cùng dấu 0

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: a x 2 b x c 0 (1) Trong đó: a b c, ,  ; a0 là các hệ số của phương trình (1), x là ẩn số

Ta có  b 2 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai: a x 2 b x c 0. i) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) vô nghiệm ii) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép 1 2

  iii) Nếu 0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt

 (không mất tính tổng quát giả sử x 1  x 2 )

1.1.3 Công thức Vi-ét Định lí 1.1 Nếu phương trình: a x 2 b x c 0, với a0 có hai nghiệm x 1 và x 2 thì:

1 (1) có hai nghiệm trái dấu  P 0.

2 (1) có hai nghiệm cùng dấu 0

Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f x    a x 2  b x c  , trong đó a, b, c là những hệ số, a0

Hàm số tương ứng f x    a x 2  b x c  được gọi là hàm số bậc hai và phương trình a x 2 b x c 0 được gọi là phương trình bậc hai

Các bất phương trình dạng f x    0 (tương ứng f x    0, f x    0, f x    0 ) được gọi chung là các bất phương trình bậc hai

Biến đổi tam thức bậc hai về dạng:

Trong đó  b 2 4ac được gọi là biệt thức của f x  

   được gọi là biệt thức thu gọn của f x  

1.2.2 Một số tính chất Định lí 1.2 (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử)

Xét tam thức bậc hai f x    a x 2  b x c  , khi đó: i) Nếu 0 thì f x   không phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất ii) Nếu 0 thì   2

 Đặc biệt, điều kiện cần và đủ để f x   là biểu thức chính phương (là bình phương đúng của một nhị thức) là đồng thời xảy ra a0,  0 Khi đó:   2

    Định lí 1.3 (Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai f x    ax 2  bx c  , ( a  0) Khi đó: i) Nếu 0 thì a f x      0, x ii) Nếu 0 thì af x      0, x Dấu đẳng thức xảy ra khi

  a iii) Nếu 0 thì f x    0 có hai nghiệm phân biệt x 1 x 2

  0, af x  x thỏa mãn điều kiện x x 1 hoặc x 2  x

  0, af x  x thỏa mãn điều kiện x 1  x x 2

Ta lập bảng xét dấu của a f x   : x  x 1 x 2  xx 1 - 0 + + xx 2 - - 0 +

   2  2  f x a xx xx cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a

Dựa vào bảng xét dấu ta có:

Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi (luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi  0 Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a Do đó, ta có:

        Định lí 1.4 (Định lí đảo)

Xét một tam thức bậc hai f x    ax 2 + bx + c  a  0  Nếu tồn tại một số  nào đó sao cho a ( )f  0 thì có kết luận sau: a Tam thức f x    0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 ,  x 1 x 2  b Số  nằm giữa 2 nghiệm này: x 1 <  < x 2

Giả sử rằng  0  a f x      0, x Không tồn tại  thỏa mãn a ( )f  0

(điều này mâu thuẫn với giả thiết)

Cũng theo định lý thuận ta có f x   có hai nghiệm x x 1 , 2 và f x   thay dấu như sau: x x 1 x 2

  f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Số  phải nằm giữa 2 nghiệm x 1 <  < x 2

Chú ý: Trong chương trình lớp 10 hiện tại định lí đảo không được sử dụng, do vậy khi gặp bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực , ta không được sử dụng định lí đảo Ở đây để giải quyết vấn đề này ta sẽ sử dụng định lí Vi-ét hoặc tịnh tiến về gốc tọa độ

Ví dụ 1.1 Cho phương trình: x 2  2 mx  4 m   3 0   1

Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x x 1 , 2  x 1 x 2  theo Vi-ét ta có:

Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2:

Vậy: Với m > 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 1.2 Tìm m để bất phương trình: x 2  2  m  1  x  m 2  2 m  0 (2) nghiệm đúng

Vì   '  m  1  2  m 2  2 m   1 0 nên bất phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 m x, 2  m 2

Do đó bất phương trình (2) có tập nghiệm  x x 1; 2 , với 2 nghiệm của tam thức

Do đó để bất phương trình có nghiệm đúng   x   0;1 x 1  0 1 x 2

Vậy: Với 1  m 0 bất phương trình có nghiệm đúng   x   0;1

Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng

  0,   0,   0,   0 f x  f x  f x  f x  , trong đó f x là một tam thức bậc hai  

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Tính đơn điệu hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu

Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K, ta có

  với mọi  x 0 mà x  x K Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K , ta có

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I, I 

 Nếu f '   x  0 với mọi xI thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

 Nếu f '   x  0 với mọi xI thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

 Nếu f '   x  0 với mọi xI thì hàm số f không đổi trên khoảng I

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

Phương pháp tam thức bậc hai trong phương trình

Bài toán 2.1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó

Bước 1: Nếu phương trình quy về bậc hai thì ta chuyển về phương trình bậc hai, chuyển điều kiện nghiệm từ ẩn cũ về ẩn mới

Bước 2: Xét tam thức bậc hai và giải điều kiện của bài toán (dù tam thức theo ẩn cũ hay ẩn mới thì vấn đề bây giờ chỉ đối với tam thức đang xét)

Ví dụ 2.1 Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt:

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt: 0 x 1 x 2

Kết luận, với 0 m 1 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 2.2 Cho phương trình:  m  1  x 2  2  m  1  x    m 2 0 (2)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x 1 ; 2 thỏa mãn 4 x 1x 2 7x x 1 2

Phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 :

Khi đó phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn:

Theo yêu cầu bài toán:

Kết luận: Với m = - 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.3 Tìm m để phương trình:

Có 3 nghiệm phân biệt x x x 1 , 2 , 3 sao cho x 1 2 x 2 2 x 3 2 28

       Để phương trình (3) có ba nghiệm thì phương trình (3 ) phải có 2 nghiệm phân ' biệt khác 1

Theo Vi-ét, phương trình (3 ) có hai nghiệm phân biệt ' x x 1 , 2 luôn thỏa mãn:

Với yêu cầu bài toán

  Kết luận: Với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.4 Tìm m để phương trình: mx 4  2  m  1  x 2    m 1 0 4   có hai nghiệm phân biệt

Phương trình được viết lại: f t    mt 2  2  m  1  t    m 1 0   4 '

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với m = 0, ta được:

Trường hợp 2: Với m0, (4) có hai nghiệm phân biệt

 có nghiệm kép t 1  t 2 0 hoặc  4 có hai nghiệm phân biệt ' t 1  0 t 2

TH1:  4 có hai nghiệm phân biệt ' t 1  0 t 2

Vậy: Với 0 m 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.5 Giải và biện luận phương trình:

Giải Đặt tx 2 2mx2, phương trình (5) được viết lại:

 Đạo hàm: f ' 5 ln 5 1 0, t     x D Hàm số tăng trên D

Từ phương trình   5 ta có: ' f t    f  2 t   m 2    t 2 t       m 2 t m 2 0

Xét phương trình  5 , ta có: ''   ' m 2 m

Phương trình  5 vô nghiệm '' Phương trình (5 ) vô nghiệm '

- Với m = 0 phương trình  5 có nghiệm kép '' x 0 0

- Với m = 1 phương trình  5 có nghiệm kép '' x 0  1

     thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

 Với m = 0, phương trình đã cho có nghiệm képx 0 0

 Với m = 1, phương trình đã cho có nghiệm képx 0  1

 Với 0 < m < 1, phương trình đã cho vô nghiệm

 Với m > 1 hoặc m < 0, phương trình đã cho có hai nghiệm:

Bài toán 2.2 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hoặc vô nghiệm

Ví dụ 2.6 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương trình sau vô nghiệm:

Vì a, b, c là độ dài của 3 cạnh trong một tam giác nên:

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2.7 Cho a, b, c thỏa mãn: 3a + 4b + 6c = 0 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm f x    a x 2  b x c   0

Vậy phương trình f x    0 luôn có nghiệm

Ví dụ 2.8 Cho 3 số dương a, b, c và phương trình: 2 5

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm

   (Theo bất đẳng thức TBC – TBN)

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phương trình bậc hai

Sử dụng tam thức bậc hai để tìm miền nghiệm của bất phương trình bậc hai hay bất phương trình quy về bậc hai (không chứa tham số) là một mảng kiến thức cực kì quan trọng trong chương trình toán phổ thông Để tìm nghiệm của bất phương trình chỉ cần dựa vào bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng

Trong phần này tác giả chỉ đề cập đến bất phương trình bậc hai hoặc bất phương trình quy về bậc hai có chứa tham số

Bài toán 2.3 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình luôn có nghiệm hoặc luôn vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó

Ví dụ 2.9 Cho bất phương trình: x 2  6x    7 m 0   9

Tìm m để bất phương trình: a) Có nghiệm b) Có đúng một nghiệm c) Có nghiệm là một đoạn độ dài bằng 1

Giải a) Bất phương trình x 2 6x 7  m 0 có nghiệm khi:

Vậy m2 bất phương trình (9) có nghiệm b) Bất phương trình (9) có đúng một nghiệm khi:

Vậy m2 bất phương trình (9) có nghiệm c) Bất phương trình (9) có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 khi   ' 0 và

     ' 0 m 2 phương trình tương ứng có hai nghiệm

Vậy với 7 m 4thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.10 Giải và biện luận bất phương trình:

Lập bảng xét dấu của a và : m  -2 -1 0 

Trường hợp 1: Với m < - 2, ta có:

Trường hợp 2: Với m = - 2, ta có:

Trường hợp 3: Với 2   m 1, ta có:

Khi đó f x    0 có hai nghiệm phân biệt

Trường hợp này a < 0 nên x 2 < x 1 do đó: x 2 x 1

Vậy: Nghiệm của bất phương trình (10) là: xx 2  x x 1

Trường hợp 4: Với 1  m 0, ta có:

 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Trường hợp này a > 0 nên x 2 > x 1 do đó: x 2 x 1

Trường hợp 5: Với m = 0, ta có:

Trường hợp 6: Với m > 0, ta có:

Ví dụ 2.11 Tìm m để bất phương trình:  x  1  x  3   m x 2  4x  5 nghiệm đúng với

Viết lại bất phương trình dưới dạng:

Khi đó bất phương trình (11) được viết lại: f t     t 2 mt   2 0   11 '

Bất phương trình (11) nghiệm đúng với x    2, 2 3

Vậy: Với m1 bất phương trình nghiệm đúng với     x  2, 2 3

Ví dụ 2.12 Tìm m để bất phương trình:  3  2  x 2  1   3  2  3 x m    12 nghiệm đúng với mọi x    0, 2

Vì  3  2   1 nên bất phương trình (12) tương đương với:

  Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x    0, 2 :

 Kết luận: Với m 1 thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 2.13 Tìm a để bất phương trình: log a  x 2  4 x    a 1  0 nghiệm đúng với mọi x

Bất phương trình tương đương với:

     Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

 đúng với mọi x (II loại vì 1 x 4a không đúng)

Kết luận: Với a > 4, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến hệ phương trình, hệ bất phương trình

Bài toán 2.4 Tìm điều kiện của tham số để hệ bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 2.14 Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Gọi S 1 , S 2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2)

Giải (1)    2 x 3m 2 Tập nghiệm của (1) là: S 1    2,3 m 2 

Giải (2)       x m 2 m m 3 Tập nghiệm của (2) là: S 2  \ m2,m3

S S   vì khoảng  m  2, m  3  có độ dài bằng 1, còn   2,3m 2  có độ dài 2.

Vậy, hệ có nghiệm với mọi m

Ví dụ 2.15 Xác định m sao cho:

Vì x 2    x 1 0, x nên bất phương trình tương đương với:

 Để bất phương trình (15) đúng với mọi x

Vậy: Với -3 < m < 6 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 2.16 Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Gọi S 1 và S 2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2)

Vậy hệ có nghiệm khi

Vậy hệ có nghiệm khi 3 5

Bài toán 2.5 Chứng minh hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2.17 Xác định m để hệ phương trình:

Biến đổi hệ phương trình về dạng:

Khi đó: x , y là nghiệm của phương trình: 2 36

2 t  t m  Theo yêu cầu bài toán, hệ phương trình vô nghiệm  Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy: Với m < 18 hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2.18 Chứng minh hệ phương trình:

2 a ay az x bx c y by c z bz c x

Không mất tính tổng quát giả sử a0(a0 xét tương tự)

Giả sử hệ có nghiệm  x y z 0, 0, 0  Khi đó cộng ba phương trình của hệ ta được:

 ax 2  bx   c   ay 2  by   c   az 2  bz  c     x y z

 ax 2 bx c x   ay 2 by c y   az 2 bz c z  0

Ta có:  f t    b1  2 4a c0 (theo giả thiết)

Có nghĩa là không xảy ra f x   0  f y   0  f z   0 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ứng dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức

Việc chuyển hoá từ bất phương trình sang bất đẳng thức cần được đặt ra khi xét tình huống sau đây:

- “Bất phương trình f x    0 đúng với mọi x” tương ứng với phát biểu “Bất đẳng thức

- “Bất phương trình f x    0   x   a b , ” tương đương với phát biểu “   x   a b , ta có bất đẳng thức f x    0 ”

Chú ý: Không phải bất đẳng thức nào cũng chuyển về dạng tam thức bậc hai mà chỉ có một số lớp bất đẳng thức mà thôi

Muốn chứng minh f x      0, x , ta chứng minh 0

Hoặc chứng minh f x      0, x , ta chứng minh 0

Chú ý: Tương tự ta cũng có bài toán:

Muốn chứng minh f x      0, x , ta chứng minh 0

Hoặc chứng minh f x      0, x , ta chứng minh 0

Ví dụ 2.19 Chứng minh rằng: a b,  : 2a 2 5b 2 2ab2a8b 5 0

Muốn chứng minh f a     0, a b ,  , ta chứng minh  f a   0

Ví dụ 2.20 Chứng minh rằng: x y,  ,  x  y  2  xy   1 ( x  y ) 3   20

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.21 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh rằng:

Bất đẳng thức (21) ax  by  x  y   c y x  a x 2   a   b c xy   by 2  0 21   '

 Nếu y = 0 thì bất đẳng thức   21 '  a x 2  0,  x (*)

    (do y 2 0) Đặt x t  y, thì bất đẳng thức   21 '  at 2   a   b c t    b 0

2 2 2a a b c ca cb b a a c b b c c c a ab cb ca

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên   t 0

Từ (*) và (**) bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.22 Tìm m để: A9x 2 20y 2 4z 2 12xy6 zx myz0 với mọi x, y, z không đồng thời bằng không

Viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng một tam thức bậc hai đối với ẩn x

Mặt khác: g y    16 y 2   m  4  yz  3z 2  0,  y ta phải có:

- Nếu z0, thì biểu thức ban đầu có dạng:

A x  y  xy x y  y  x y z, , , không đồng thời bằng 0

Vậy với 4 8 3     m 4 8 3 thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.23 Cho a 3 36 và abc = 1

Từ giả thiết, ta có 1 bc a nên (21)   2   2 3 0

Nên f b   c    0 a hay bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.24 Cho ABC, chứng minh rằng:

Xét tam thức:   2  cos cos  2sin 2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.25 Cho b > c > d Chứng minh rằng: Với mọi a , ta luôn có:

Do vậy để chứng minh bất đẳng thức (25) ta chỉ cần chứng minh  ' f a   0

Suy ra f a     0 a , vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.26 Chứng minh rằng, x y z, , không đồng thời bằng không, ta có bất đẳng thức sau:

Xem vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai của x, còn y, z là những tham số, ta được một bất đẳng thức bậc hai mà x là ẩn số f(x) = 5x 2 + 2(3y - 4z)x + 5y 2 + 5z 2 - 8yz (26 ) '

Ta lại tiếp tục xem  ' f x   là một tam thức bậc hai của y, còn z là tham số

Nếu z0 thì  ' g y   0: do đó  ' f x   < 0 với mọi y Hay f x     0 x y z , ,

- Nếu y0 thì  ' x < 0: Bất đẳng thức (26 ) được chứng minh '

Vậy bất đẳng thức (26) đúng với mọi x, y, z không đông thời bằng không

Ví dụ 2.27 Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có:

Giải Đặt vế trái của bất đẳng thức   27 :

             Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhia – cốp - xki cho 8 số: b, c, d, e, 1, 1, 1, 1

Hay bất đẳng thức (27) được chứng minh

Cho bất đẳng thức:  0 hoặc  0

Ta chứng minh f x      0, x hoặc f x      0, x (tuỳ vào dấu của hệ số a) từ đó suy ra     0  0 

Bước 1: Xét một tam thức bậc hai f x   có  là vế trái của bất đẳng thức

Bước 3: Do đó chứng minh được     0  0 

Ví dụ 2.28 Cho 4 số a, b, x, y  , chứng minh rằng:

Xét tam thức bậc hai: f t     a 2  b t 2  2  2 a  x  by t    x 2  y 2 

+ a 2 b 2     0 a b 0 Bất đẳng thức luôn đúng

+ a 2 b 2 0 khi đó f t   là một tam thức bậc hai

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2.8 Cho hàm số f x    ax 2  b x  c , a  0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn    , 

Không mất tính tổng quát ta xét trường hợp a > 0 ( a< 0 xét tương tự)

Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số, ta cần phân biệt 3 trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Nếu hoành độ của đỉnh parabol 0  , 

- GTNN của hàm số là f min  f x   0 đạt được khi xx 0

- GTLN của hàm số là f m ax max f     ,f  

+ Trường hợp 2: Nếu hoành độ của đỉnh parabol 0

- GTNN của hàm số f min  f   đạt được khi x

- GTLN của hàm số f m ax  f   đạt được khi x

+ Trường hợp 3: Nếu hoành độ của đỉnh parabol 0

- GTNN của hàm số f min  f   đạt được khi x

- GTLN của hàm số f m ax  f   đạt được khi x

Ví dụ 2.29 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hàm số yx 2 2ax3 có hoành độ đỉnh x 0   a  a 1,a2

Trong lời giải trên bằng việc đánh giá được:

1 1 2 a  x    a 2 a Chúng ta thấy ngay được GTLN, GTNN cần tìm của hàm số trên tập D    a 1, a  2 

Ví dụ 2.30 Tìm a để GTLN của hàm số y  x 2 2ax2 trên tập D    1,3 có giá trị bằng 5

Hàm số y  x 2 2ax2 có hoành độ đỉnh x 0  a

Ta xét ba trường hợp:

    không thỏa mãn điều kiện (***)

Vậy với a = - 2 hoặc a  3 thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài toán 2.9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Không mất tính tổng quát, ta xét a > 0, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt t x 2 với điều kiện t0

Bước 2: Khi đó, bài toán được chuyển về bài toán 2.9 với điều kiện t > 0

Ví dụ 2.31 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: yx 4 4x 2 2 với 1  x 2

Ta được y  t 2 4t 2 hoành độ đỉnh parabol t 0  2 nằm ở bên trái   1, 4

Vậy: min  1 7 y  y  đạt được khi t 1 x 2    1 x 1 m ax  4 34 y  y  đạt được khi t 4 x 2   4 x 2

Ví dụ 2.32 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

Biến đổi hàm số về dạng:

  os 4  1 os 2    os 4 2 os 2 f x ac xb c x  ab c x bc xb Đặt tcos 2 x, điều kiện 0 t 1, ta được:

Hoành độ của đỉnh của parabol 0 b  0,1 t  a b

  ax ax 0 , 1 f m m f f b đạt được khi: os 2 0 c x   x 2 k

Bài toán 2.10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho hàm số

Bước 2: Chuyển hàm số về dạng: A y x   2  B y x C y       0   *

Bước 3: Gọi y là tham số và x là ẩn, ta đi tìm điều kiện của y để phương trình (*) có nghiệm, từ đó nhận được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

Ví dụ 2.33 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 2 2 1

Trường hợp 1: Với y = 0, ta được

Trường hợp 2: Với y0, phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

Ví dụ 2.34 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Ta đi tìm y để phương trình:

Trường hợp 1: Với 20 y 3 , ta được:

Trường hợp 2: Với 20 y 3 khi đó (*) có nghiệm

Hay: y m ax 7 đạt được khi 5

Bài toán 2.11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x y   , hoặc f x y z  , , 

Bước 1: Chuyển hàm số về dạng:

Bước 2: Gọi y hoặc yz là tham số và x là ẩn, sau đó ta đi tìm 

Bước 3: Xét , từ đó nhận được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

Ví dụ 2.35 Cho , ,x y z tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Biến đổi biểu thức S về dạng:

Ví dụ 2.36 Giả sử x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:

Hãy tìm GTLN, GTNN của biểu thức S   x y 1

  36   x   y 1  2  5  x      y 1  4 y 2 (36 ) ' Đặt S   x y 1 khi đó phương trình  36 trở thành: ' S 2  5S 4    y 2   36 ''

Như vậy với x y, ta luôn có:

Do đó: S min  4 đạt được khi x + y + 1 = - 4

2.6 Ứng dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số

Bài toán 2.12 Cho hàm số bậc 3: y  f x m  ,  Tìm điều kiện của m để hàm số luôn đồng biến, luôn nghịch biến trên hoặc trên   a b hoặc trên ,   a b ,

Bước 1: Tìm y ' (y ' là một tam thức bậc hai)

Bước 2: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải quyết yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.37 Tìm m để hàm số: 1 3 2 y 3m x m x x luôn nghịch biến

- Hàm số luôn nghịch biến   y ' 0,   x g x     m x 2  2 m x   1 0,  x   *

TH1: m  0, khi đó: y '    1 0, x hàm số luôn đồng biến (không thỏa mãn bài toán)

Vậy hàm số luôn nghịch biến khi 0 m 1.

Ví dụ 2.38 Tìm điều kiện của m để hàm số: y  x 3  3 x 2   m  1  x  4 nghịch biến trong khoảng   1;1 

Giả sử y ' có hai nghiệm x x 1, 2  x 1x 2 

Theo Vi-ét ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng   1;1 

Vậy yêu cầu bài toán   m 10

Ví dụ 2.39 Tìm m để hàm số:

      Để hàm số đồng biến   x 2 y '   0 x 2

   thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.40 Cho hàm số: 1  2 1  3  1  2 2x 1    40 1  y 3 m  x  m x   m  Tìm các giá trị của m để hàm số (40): a) Nghịch biến trên khoảng   ; 2  b) Nghịch biến trên khoảng  2;  

1 4 2 6 4 4 10 y g t  m  t  m  m x m  m a) Hàm số (40) nghịch biến trong khoảng   ; 2  :

   thì hàm số (40) nghịch biến trong khoảng   ; 2  b) Hàm số (40) nghịch biến trong khoảng  2;   :

 Kết luận: Với 1  m 1 thì hàm số (40) nghịch biến trong khoảng  2; 

Bài toán 2.13 Tìm điều kiện m để hàm số a 2 d x b x c y x e

  ; a d, 0 đồng biến, nghịch biến trên D

Ví dụ 2.41 Tìm m để hàm số:

Khi đó bất phương trình: f x    0 trở thành: g t    0 , với:

Hàm số (41) đồng biến trong khoảng  1;   :    

 Kết luận: Với m0 hàm số đồng biến với mọi x    1, 

Ví dụ 2.42 Cho hàm số: 2 2 3 2   42

  a) Tìm điều kiện để hàm số (42) nghịch biến trên   ;1  b) Tìm điều kiện để hàm số (42) nghịch biến trên  1;  

Khi đó bất phương trình: f x    0 trở thành:

Hàm số (42) nghịch biến trên   ;1       y ' 0, x  ;1 

Kết luận: Với m 2 3 thì hàm số (42) nghịch biến trên   ;1  b) Hàm số (42) nghịch biến trên  1;  

Kết luận: Với m 2 3 thì hàm số (42) nghịch biến trên  1;  

Chú ý: Ba ví dụ 2.40, ví dụ 2.41 và ví dụ 2.42 ngoài cách giải trên ta có thể giải quyết bài toán bằng định lí Vi-ét

Khoá luận tam thức bậc hai và ứng dụng đã giải quyết được những vấn đề sau:

 Tổng quan các tính chất cơ bản của tam thức bậc hai

 Giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tính đơn điệu của hàm số bằng công cụ tam thức bậc hai cho các bạn đọc quan tâm

Tôi hy vọng qua đề tài này phần nào đó có thể giúp bạn đọc cảm thấy yêu thích tam thức bậc hai bởi vì nó là một công cụ giải quyết một loạt các bài toán quan trọng trong chương trình đại số và giải tích trung học phổ thông

PHẦN 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, một số ứng dụng tam thức bậc hai, Nhà xuất bản đại học sư phạm, năm 2004

[2] Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cần – Trần Quốc Anh, Phương pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị, năm 1997

[3] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Đại số nâng cao lớp 10, Nhà xuất bản Giáo Dục, năm 2012

[4] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Giải tích lớp 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục, năm