ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Kinh Doanh - Tiếp Thị - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật Trang 1 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- TRẦN THỊ CHÂU ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 2 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ CHÂU MSSV: 2112020103 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC S PHẠM TOÁN KHÓA: 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 - 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 3 MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 5 1.2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 5 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 5 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................. 6 1.5. Lịch sử nghiên cứu ........................................................................................... 6 1.6. Đóng góp của đề tài .......................................................................................... 6 1.7. Cấu trúc đề tài .................................................................................................. 6 PHẦN 2. NỘI DUNG .............................................................................................. 7 CHƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 7 1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn .......................................................................... 7 1.1.1. Định nghĩa 1.1. ............................................................................................... 7 1.1.2. Công thức nghiệm .......................................................................................... 7 1.1.3. Công thức Vi-ét .............................................................................................. 7 1.2. Tam thức bậc hai .............................................................................................. 8 1.2.1. Định nghĩa 1.2. ............................................................................................... 8 1.2.2. Một số tính chất .............................................................................................. 8 1.3. Bất phƣơng trình bậc hai .............................................................................. 12 1.3.1. Định nghĩa 1.3. ............................................................................................. 12 1.4. Tính đơn điệu hàm số .................................................................................... 12 1.4.1. Định nghĩa 1.4. ............................................................................................. 12 1.4.2. Định lí 1.5. .................................................................................................... 12 2.1. Phƣơng pháp tam thức bậc hai trong phƣơng trình. ................................. 13 2.2. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phƣơng trình bậc hai....... 18 2.3. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến hệ phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình. ......................................................................................................... 22 2.4. Ứng dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức ..................... 25 2.5. Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất........ 31 Trang 4 2.6. Ứng dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số. .................................................................................................................... 36 PHẦN 3. KẾT LUẬN ............................................................................................ 42 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 43 Trang 5 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong chương trình THPT. Qua toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác, giúp người học phát triển, hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất, để giúp người học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề được đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện. Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong chương trình toán học lớp 9 các em đã làm quen với tam thức bậc hai và phương trình bậc hai. Song việc ứng dụng và vận dụng chúng trong việc giải các loại khác như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Chính vì lẽ đó trong quá trình giáo viên giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận dụng nó vào giải các loại toán khác. Với những lí do đã nêu trên và lòng say mê tìm tòi nghiên cứu nên tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng tam thức bậc hai giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông” để làm đề tài khoá luận tốt nghiệp, nhằm giúp tôi có cái nhìn tổng thể, sâu sắc hơn về ứng dụng tam thức bậc hai. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán cụ thể liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình, hệ bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng tam thức bậc hai giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số. Trang 6 - Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán trong chương trình THPT. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5. Lịch sử nghiên cứu Đã có những công trình nghiên cứu liên quan tới một số vấn đề tam thức bậ c hai của tác giả như: - Sách Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, một số ứng dụng tam thức bậc hai, Nhà xuất bản đại học sư phạm, năm 2004. 1.6. Đóng góp của đề tài - Định dạng các dạng bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng tam thức bậc hai. - Giải chi tiết các bài toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằ ng công cụ tam thức bậc hai cho các bạn đọc quan tâm. - Thống kê các dạng và phương pháp giải phương trình, bất phương trình, bất đẳ ng thức… bằng tam thức bậc hai hay gặp ở toán bồi dưỡng học sinh giỏi và các kì thi. - Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về tam thức bậc hai. 1.7. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: - Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị. - Chương 2: Ứng dụng tam thức bậc hai. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. Trang 7 PHẦN 2. NỘI DUNG CHƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn 1.1.1. Định nghĩa 1.1. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:2 0a x b x c   (1). Trong đó:, , ; 0a b c a   là các hệ số của phương trình (1),x là ẩn số. 1.1.2. Công thức nghiệm Ta có2 4b ac   là biệt thức của phương trình bậc hai:2 0.a x b x c   i) Nếu0 thì phương trình bậc hai (1) vô nghiệm. ii) Nếu0  thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép1 2 2 b x x a    . iii) Nếu0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt1,2 , 2 b x a     (không mất tính tổng quát giả sử1 2x x ). 1.1.3. Công thức Vi-ét Định lí 1.1. Nếu phương trình:2 0a x b x c   , với0a  có hai nghiệm1x và2x thì:1 2 1 2. b S x x a c P x x a            Hệ quả 1. (1) có hai nghiệm trái dấu0.P  2. (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 0P       3. (1) có hai nghiệm dương 0 0 0 P S          4. (1) có hai nghiệm âm 0 0 0 P S          Trang 8 1.2. Tam thức bậc hai 1.2.1. Định nghĩa 1.2. Tam thức bậc hai đối vớix là biểu thức có dạng  2 f x a x b x c   , trong đó a, b, c là những hệ số,0a  . Hàm số tương ứng  2 f x a x b x c   được gọi là hàm số bậc hai và phương trình2 0a x b x c   được gọi là phương trình bậc hai. Các bất phương trình dạng  0f x  (tương ứng     0, 0, 0f x f x f x   ) được gọi chung là các bất phương trình bậc hai. Biến đổi tam thức bậc hai về dạng:  22 2 2 2 2 2 2. 2 4 4 2 4 b b c b b f x a x x a x a a a a a a                        . Trong đó2 4b ac   được gọi là biệt thức của f x . Nếu12b b thì:  22 2 '''' 2 1 1 1 1 2 2 2 2. b b c b b f x a x x a x a a a a a a                        , trong đó'''' 2 1b a c   được gọi là biệt thức thu gọn của f x . 1.2.2. Một số tính chất Định lí 1.2. (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử). Xét tam thức bậc hai  2 f x a x b x c   , khi đó: i) Nếu0 thì f x không phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất. ii) Nếu0  thì  2 2 b f x a x a        . iii) Nếu0 thì    1 2f x a x x x x   với1,2 2 b x a     . Đặc biệt, điều kiện cần và đủ để f x là b iểu thức chính phương (là bình phương đúng của một nhị thức) là đồng thời xảy ra0a ,0  . Khi đó:  2 2 b f x a x a           . Định lí 1.3. (Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai). Cho tam thức bậc hai  2 , ( 0)f x ax bx c a    . Khi đó: i) Nếu0 thì  0, .a f x x   Trang 9 ii) Nếu0  thì  0, .af x x   Dấu đẳng thức xảy ra khi2 b x a   . iii) Nếu0 thì  0f x  có hai nghiệm phân biệt1 2x x  0,af x x  thỏa mãn điều kiện1x x hoặc2x x .  0,af x x  thỏa mãn điều kiện1 2x x x  .  0f x  tại1x x hoặc2x x . Chứng minh Ta có:  2 2. 2 4 b af x a x a a             Từ đó: i) Nếu0 thì  2 2. 2 4 b af x a x a a             > 0,.x  ii) Nếu0  thì  2 2. 0 2 b af x a x a         ,.x   0 2a b a f x x    iii) Nếu0 thì  2 2 2. 2 2 b af x a x a a                     2 2 1 2 1 2 2a 2a , b b a x x a x x x x x x                   Ta lập bảng xét dấu của a f x :x1x2x1x x - 0 + +2x x - - 0 +  2 2x x x x  + 0 - 0 +    2 2.f x a x x x x   cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a Dựa vào bảng xét dấu ta có: Trang 10   1 2 0 x x af x x x         0a f x 1 2x x x  .   0f x  tại1x x hoặc2x x . Nhận xét Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi (luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi0  . Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó, ta có: 2 2 0 , 0 0 0 , 0 0 a x a x b x c a x a x b x c                      Định lí 1.4. (Định lí đảo). Xét một tam thức bậc hai f x  ax2 + bx + c 0a  . Nếu tồn tại một số  nào đó sao choa. ( ) 0f   thì có kết luận sau: a. Tam thức  0f x  có hai nghiệm x1; x2, 1 2x x . b. Số nằm giữa 2 nghiệm này:1x x1 do đó:2x1x Vậy: Nghiệm của (10) là:1 2x x x  Trường hợp 5: Với m = 0, ta có:   '''' 0, 0 0 0 0 0 f x x a f x khi x              Nghiệm của (10) là x = 0. Trường hợp 6: Với m > 0, ta có:    '''' 0 0, 10 0 f x x a         vô nghiệm, + Kết luận: Với m - 2, nghiệm của (10) là:x  . Với2 1m    , nghiệm của (10) là:2 1x x x x   . Với m = - 1, nghiệm của (10) là:1.x  Với1 0m   , nghiệm của (10) là:1 2x x x  . Với m = 0, nghiệm của (10) là: x = 0. Với m > 0, (10) vô nghiệm. Ví dụ 2.11. Tìm m để bất phương trình:   2 1 3 4x 5x x m x     nghiệm đúng với2, 2 3 .x        Giải Viết lại bất phương trình dưới dạng:     2 2 2 2 4 3 4x 5 0 4 5 4x 5 2 0 11x x m x x x m x              Trang 21 Đặt2 4 5, 1.t x x t    Khi đó bất phương trình (11) được viết lại:  2 2...

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN - - TRẦN THỊ CHÂU ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 1 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ CHÂU MSSV: 2112020103 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TOÁN KHÓA: 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS DƢƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 - 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 Trang 2 MỤC LỤC PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1 1.1 Lí do chọn đề tài 5 1.2 Mục đích nghiên cứu 5 1.3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 5 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu 6 1.5 Lịch sử nghiên cứu 6 1.6 Đóng góp của đề tài 6 1.7 Cấu trúc đề tài 6 PHẦN 2 NỘI DUNG 7 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Phƣơng trình bậc hai một ẩn 7 1.1.1 Định nghĩa 1.1 7 1.1.2 Công thức nghiệm 7 1.1.3 Công thức Vi-ét 7 1.2 Tam thức bậc hai 8 1.2.1 Định nghĩa 1.2 8 1.2.2 Một số tính chất 8 1.3 Bất phƣơng trình bậc hai 12 1.3.1 Định nghĩa 1.3 12 1.4 Tính đơn điệu hàm số 12 1.4.1 Định nghĩa 1.4 12 1.4.2 Định lí 1.5 12 2.1 Phƣơng pháp tam thức bậc hai trong phƣơng trình 13 2.2 Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phƣơng trình bậc hai 18 2.3 Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến hệ phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình 22 2.4 Ứng dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức 25 2.5 Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 31 Trang 3 2.6 Ứng dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số 36 PHẦN 3 KẾT LUẬN 42 PHẦN 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Trang 4 PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong chương trình THPT Qua toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác, giúp người học phát triển, hoàn thiện nhân cách của mình Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không quan tâm Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất, để giúp người học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề được đặt ra Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn Trong chương trình toán học lớp 9 các em đã làm quen với tam thức bậc hai và phương trình bậc hai Song việc ứng dụng và vận dụng chúng trong việc giải các loại khác như thế nào chưa được quan tâm nhiều Chính vì lẽ đó trong quá trình giáo viên giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận dụng nó vào giải các loại toán khác Với những lí do đã nêu trên và lòng say mê tìm tòi nghiên cứu nên tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng tam thức bậc hai giải một số dạng toán trong chương trình trung học phổ thông” để làm đề tài khoá luận tốt nghiệp, nhằm giúp tôi có cái nhìn tổng thể, sâu sắc hơn về ứng dụng tam thức bậc hai 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán cụ thể liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình, hệ bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số 1.3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng tam thức bậc hai giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số Trang 5 - Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán trong chương trình THPT 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu - Phân tích, tổng hợp các kiến thức - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia 1.5 Lịch sử nghiên cứu Đã có những công trình nghiên cứu liên quan tới một số vấn đề tam thức bậc hai của tác giả như: - Sách Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, một số ứng dụng tam thức bậc hai, Nhà xuất bản đại học sư phạm, năm 2004 1.6 Đóng góp của đề tài - Định dạng các dạng bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng tam thức bậc hai - Giải chi tiết các bài toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng công cụ tam thức bậc hai cho các bạn đọc quan tâm - Thống kê các dạng và phương pháp giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng tam thức bậc hai hay gặp ở toán bồi dưỡng học sinh giỏi và các kì thi - Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về tam thức bậc hai 1.7 Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: - Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Ứng dụng tam thức bậc hai Phần tài liệu tham khảo và phụ lục Trang 6 PHẦN 2 NỘI DUNG CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phƣơng trình bậc hai một ẩn 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: a x2  b x  c  0 (1) Trong đó: a,b, c ; a  0 là các hệ số của phương trình (1), x là ẩn số 1.1.2 Công thức nghiệm Ta có   b2  4ac là biệt thức của phương trình bậc hai: a x2  b x  c  0 i) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) vô nghiệm ii) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép x1  x2  b 2a iii) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2  b   , (không mất tính tổng quát giả sử x1  x2 ) 2a 1.1.3 Công thức Vi-ét Định lí 1.1 Nếu phương trình: a x2  b x  c  0 , với a  0 có hai nghiệm x1 và x2 thì: S  x1  x2   b a  P  x1.x2  c  a Hệ quả 1 (1) có hai nghiệm trái dấu  P  0   0 2 (1) có hai nghiệm cùng dấu   P  0   0  3 (1) có hai nghiệm dương  P  0 S  0   0  4 (1) có hai nghiệm âm  P  0 S  0 Trang 7 1.2 Tam thức bậc hai 1.2.1 Định nghĩa 1.2 Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f  x a x2  b x  c , trong đó a, b, c là những hệ số, a  0 Hàm số tương ứng f  x a x2  b x  c được gọi là hàm số bậc hai và phương trình a x2  b x  c  0 được gọi là phương trình bậc hai Các bất phương trình dạng f  x 0 (tương ứng f  x 0, f  x0, f  x0 ) được gọi chung là các bất phương trình bậc hai Biến đổi tam thức bậc hai về dạng:  2 b b2 c b2   b 2   f  x  a x  2 x  2   2   a  x    2   2a 4a a 4a   2a  4a  Trong đó   b2  4ac được gọi là biệt thức của f  x  2 b1 b12 c b12   b1 2 '  Nếu b  2b1 thì: f  x  a x  2 x  2   2   a  x    2  , trong đó  a a a a   a  a  '  b12  a c được gọi là biệt thức thu gọn của f  x 1.2.2 Một số tính chất Định lí 1.2 (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử) Xét tam thức bậc hai f  x a x2  b x  c , khi đó: i) Nếu  0 thì f  x không phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất  b 2 ii) Nếu  0 thì f  x  a  x    2a  iii) Nếu  0 thì f  x  a  x  x1  x  x2  với x1,2  b   2a Đặc biệt, điều kiện cần và đủ để f  x là biểu thức chính phương (là bình phương   b 2 đúng của một nhị thức) là đồng thời xảy ra a 0 ,   0 Khi đó: f  x   a  x     2a  Định lí 1.3 (Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f  xax2  bx  c, (a 0) Khi đó: i) Nếu  0 thì a f  x 0,  x Trang 8 ii) Nếu  0 thì af  x 0,  x Dấu đẳng thức xảy ra khi x   b 2a iii) Nếu  0 thì f  x  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2 af  x 0,  x thỏa mãn điều kiện x  x1 hoặc x2  x af  x 0,  x thỏa mãn điều kiện x1  x  x2 f  x  0 tại x  x1 hoặc x  x2 Chứng minh 2  b 2   Ta có: af  x  a  x      2a  4a  Từ đó: 2  b 2   i) Nếu  0 thì af  x  a  x     > 0,  x  2a  4a   b 2 ii) Nếu  0 thì af  x  a2. x    0 ,  x  2a  a f x  0  x   b 2a 2  b 2   2  iii) Nếu  0 thì af  x  a  x          2a   2a    a2  x  b    x  b    2a  2a    a2  x  x1  x  x2 ,  x1  x2  Ta lập bảng xét dấu của a f  x : x  x 1 x 2  x  x1 - 0 + + x  x2 - - 0 + 0 +  x  x2  x  x2  + 0 - f  x  a. x  x2  x  x2  cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a Dựa vào bảng xét dấu ta có: Trang 9  af  x 0  x  x1 x  x2  a f  x 0  x1  x  x2  f  x  0 tại x  x1 hoặc x  x2 Nhận xét Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi (luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi   0 Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a Do đó, ta có: x  2 a  0 x  , ax bxc0   0 2 a  0 , ax bxc0   0 Định lí 1.4 (Định lí đảo) nào đó Xét một tam thức bậc hai f  x  ax2 + bx + c a  0 Nếu tồn tại một số   sao cho a f ()  0 thì có kết luận sau: a Tam thức f  x  0 có hai nghiệm x1; x2,  x1  x2  b Số  nằm giữa 2 nghiệm này: x1 <  < x2 Chứng minh Thật vậy: Xét f  x = a x 2 + b x + c Giả sử rằng   0  a f  x  0,x  Không tồn tại  thỏa mãn a f ()  0 (điều này mâu thuẫn với giả thiết) Vậy   0 Cũng theo định lý thuận ta có f  x có hai nghiệm x1, x2 và f  x thay dấu như sau: x x 1 x 2 f  x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Số  phải nằm giữa 2 nghiệm x 1 <  < x 2 Chú ý: Trong chương trình lớp 10 hiện tại định lí đảo không được sử dụng, do vậy khi gặp bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực  , ta không được sử dụng định lí đảo Ở đây để giải quyết vấn đề này ta sẽ sử dụng định lí Vi-ét hoặc tịnh tiến về gốc tọa độ Trang 10