MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM ĐIỂM CAO

Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Quản trị kinh doanh UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM Sinh viên thực hiện VATTHANA TAYXAYAVONG MSSV: 2115020139 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hƣớng dẫn ThS. PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ Quảng Nam, tháng 5 năm 2019 MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................1 1.2. Mục tiêu của đề tài ..................................................................................................1 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................1 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................1 1.5. Đóng góp của đề tài ...............................................................................................2 1.6. Cấu trúc đề tài ........................................................................................................2 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ..............................................................................3 CHƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY .................................................................................3 1.1. Số phức .....................................................................................................................3 1.1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................3 1.1.2. Biểu diễn hình học số phức ...................................................................................3 1.1.3. Môđun của số phức................................................................................................3 1.1.4. Số phức liên hợp ....................................................................................................4 1.2. Cộng, trừ và nhân số phức ........................................................................................4 1.2.1. Phép cộng và phép trừ ...........................................................................................4 1.2.2. Phép nhân ..............................................................................................................4 1.3. Phép chia số phức .....................................................................................................4 1.4. Phƣơng trình bậc hai .................................................................................................4 1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm ...................................................................................4 1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực ......................................................................5 1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng ..............................................................5 1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác ...............................................................................5 1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác .........................................................6 1.6. Các tính chất của số phức .........................................................................................6 1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp ....................................................8 CHƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM .....................................9 2.1. Dạng toán về các phép toán trên số phức .................................................................9 2.2. Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó. ...........................................................11 2.3. Dạng toán về tập hợp điểm .....................................................................................18 2.4. Dạng toán về phƣơng trình, hệ phƣơng trình ẩn số phức .......................................25 2.5. Dạng toán về dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng. ......................................31 Phần 3. KẾT LUẬN ......................................................................................................36 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................37 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên phát triển tƣ duy cho học sinh, là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hằng ngày của mỗi ngƣời. Số phức đóng vai trò rất quan trọng trong toán học, sự xuất hiện của số , một ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, dẫn đến việc hình thành số phức với là các số thực đã giải quyết rất nhiều vấn đề mà tập hợp số thực không giải quyết đƣợc.. Hiện nay, hầu hết các cấp học trung học phổ thông và đại học trên thế giới đều có giảng dạy liên quan đến số phức. Riêng ở Việt Nam, số phức đƣợc đƣa và giảng dạy bậc trung học phổ thông, trong sách giáo khoa giải tích 12, sau đó số phức còn xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia với mật độ xuất hiện chiếm 10 trong tổng số điểm của bài thi. Nhằm mục đích sƣu tầm, phân loại, nêu ra các phƣơng pháp giải tƣơng ứng về các dạng số phức thƣờng xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam, giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn cho kì thi của mình; em chọn đề tài “Một số dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam” làm đề tài khóa luận của mình. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu : Các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. - Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay và một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận. - Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp. - Phƣơng pháp logic. - Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia. 2 1.5. Đóng góp của đề tài 1.5.1. Về mặt lý luận Tìm hiểu về lý thuyết số phức, các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. 1.5.2. Về mặt lý luận Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên cũng nhƣ giáo viên. 1.6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1: Lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay. Chƣơng 2: Một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong kỳ thi T rung học phổ thông quốc gia ở Việt Nam. 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY 1.1. Số phức 1.1.1. Khái niệm số phức Số phức là một biểu thức có dạnga bi , trong đó và là những số thực và số thỏa2 1i   . Kí hiệu số phức đó là và viếtz a bi  . đƣợc gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phứcz a bi  . Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau..         a c a bi c di b d 1.1.2. Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phứcz a bi  hoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực ; .a b Oxy Điểm ;M a b trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu diễn số phứcz a bi  . 1.1.3. Môđun của số phứcb a M x y 0b a M x y 0 4 Giả sử số phứcz a bi  đƣợc biểu diễn bởi điểm ;M a b trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơOM đƣợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu làz .z =OM haya bi =.OM Dễ thấy:2 2 .a bi a b   1.1.4. Số phức liên hợp Cho số phứcz a bi  . Ta gọia bi là số phức liên hợp của và kí hiệu là.z a bi  1.2. Cộng, trừ và nhân số phức 1.2.1. Phép cộng và phép trừ Phép cộng và phép trừ hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức. Cho hai số phứcz a bi  vàz c di   ta có:                . . z z a bi c di a c b d i z z a bi c di a c b d i                   1.2.2. Phép nhân Phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay2 1i   trong kết quả nhận đƣợc. Cho hai số phứcz a bi  vàz c di   ta có:       . . .z z a bi c di ac bd ad bc i        1.3. Phép chia số phức Chia số phứcc di cho số phứca bi khác 0 là tìm số phức sao cho c di a bi z   . Số phức đƣợc gọi là thƣơng trong phép chiac di choa bi và kí hiệu là:          2 2 . c di a bi ac bd i ad bcc di z a bi a bi a bi a b              1.4. Phƣơng trình bậc hai 1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm Tƣơng tự căn bậc hai của số thực dƣơng, từ đẳng thức2 1i   , ta nói là một căn bậc hai của 1; cũng là một căn bậc hai của 1, vì 2 1i   . Từ đó, ta xác định đƣợc căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn: Căn bậc hai của -2 là ±i2 vì (±i2 )2 = -2; 5 Căn bậc hai của -3 là ±i3 vì (±i3 )2 = -3; Căn bậc hai của -4 là ±i4 vì (±i4 )2 = -4. Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là.i a 1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phƣơng trình2 ax 0bx c   với, , , 0a b c a  . Xét biệt thức2 4b ac   của phƣơng trình. Ta thấy: Khi ∆ = 0, phƣơng trình có một nghiệm . 2 b x a   Khi ∆ > 0, có hai căn bậc của ∆ là  và phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt, đƣợc xác định bởi công thức1,2 . 2 b x a     Khi ∆ < 0 phƣơng trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ lài  . Khi đó, phƣơng trình có hai nghiệm phức xác định bởi công thức1,2 . 2 b i x a     1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng 1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác Acgumen của số phức0z : Cho số phức0z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số . Số đo (rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z.y xO φ r M(a+bi) 6 CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng2 ,k k    (Ngƣời ta nói: Acgumen của0z  xác định sai khác2 , .k k   ) Dạng lượng giác của số phức: Dạng cos sinz r i    , đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức0z  , trrong đó r > 0, là acgumen củaz . 1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác Nếu cos sinz r i    , cos sin ( 0, 0)z r i r r          thì   cos sin ,zz rr i               cos sin ( 0) z r i r z r               1.6. Các tính chất của số phức Cho số phức Tính chất 1: Số phức là số thực =̅ Chứng minh: Ta có:0       z z a bi a bi bz a . Vậy là số thực. Tính chất 2: Số phức là số ảozz . Chứng minh: Ta có: z z . Vậy là số ảo. Tính chất 3: Cho số phức có số phức liên hợp làz và module làz . Khi đó:2 .z z z . Chứng minh: Ta có: .z = ( )( ) (1)2 z =  2 2 2 a b = (2) Từ (1) và (2) suy ra2 .z z z Tính chất 4:1 2 1 2z z z z   . Chứng minh:1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a a b b i a a b b i         . (1)1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )z z a bi a b i a a b b i         . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2z z z z   . 7 Tính chất 5:1 2 1 2.z z z z . Chứng minh:1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z a bi a b i a a bb a b a b i a a bb a b a b i           . (1)1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( )z z a bi a b i a a bb a b a b i       . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2.z z z z . Tính chất 6:1 1 2 2 ( ) z z z z  . Chứng minh:1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z a b i a a b b a b a b i a a b b a b a b i z a b i a b a b a b               . (1)1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( )( ) ( )( ) z a b i a b i a b i a a b b a b a b i a b i a b i a b i a b a bz               . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 1 2 2 ( ) z z z z  . Tính chất 7:1 2 1 2z z z z . Chứng minh:1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) . ( ) ( ) ( ) ( ) , (2) z z a b i a b i a a b b a b a b i z z a a b b a b a b a a a b a b b b z z a b a b a a a b a b b b                        Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2z z z z . Tính chất 8:1 1 2 2 z z z z  . Chứng minh:1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ,(1) ( ) z a b i a b i a b i a a b b a b a b i z a b i a b i a b i a b z a a b b a b a b a b a b a b z a b a b a b a b z a b a b z a b                                 2 1 2 2 2 2 ,(2) a b Từ (1) và (2) suy ra1 1 2 2 z z z z  . 8 Tính chất 9:1 2 1 2z z z z   . Chứng minh:              2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 2 ( )( ) 4 8 4 4 2 8                                        z z z z a a b b a b a b a a b b a b a b a b a b a a b b a b a b a a a a b b b b a a a b b a b b a b a a b b     2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 2 2 0.      b a a b b a 1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp Đƣờng thẳng: song song hoặc trùng trục ảo . song song hoặc trùng trục thực . ( ) Đƣờng tròn:    2 2 2 0 0x x y y R    có tâm0 0( ; )I x y bán kính R. Hình tròn    2 2 2 0 0x x y y R    có tâm0 0( ; )I x y bán kính R. Hình elip2 2 2 2 1. x y a b   Đƣờng hyperbol:2 2 2 2 1. x y a b   Đƣờng parabol2 2 ( 0).y px p  9 CHƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM 2.1. Dạng toán về các phép toán trên số phức Nhận dạng: Đây là các bài toán về thực hiện các phép tính trên số phức. Phƣơng pháp: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Với dạng này, dù là tính toán trên số phức, nhƣng thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực mà học sinh đã đƣợc học từ những ngày đầu tiên đến trƣờng. Chỉ khác là, ngƣời học hãy xem số phức là một kí hiệu mà bình phƣơng bằng âm 1. Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116) Cho hai số phức1 4 3z i  và2 7 3z i  . Tìm số phức1 2z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (4 3 ) (7 3 ) (4 7) ( 3 3) 3 6 .z z z i i i i              Vậy Bài 2.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hai số phức1 2 3z i  và2 4 5z i   . Tìm số phức1 2z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (2 3 ) ( 4 5 ) (2 4) (3 5) 2 2z z z i i i i              Vậy z = -2 – 2i. Bài 3.(Trích đề thi thử THPTSGD Nam Định - năm 2017-2018) Cho hai số phức1 1 2z i  và2 3z i  . Tìm số phức 2 1 z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có: 2 1 3 (3 )(1 2 ) 1 7 . 1 2 5 5 5 z i i i z i z i          Vậy1 7 5 5 z i  Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018) Cho hai số phức1 1z i  và2 2 3z i  . Tìm số phức liên hợp của số phức1 2w z z  . 10 Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (1 ) (2 3 ) (1 2) (1 3) 3 2 . 3 2 . w w z z i i i i i                Vậyw 3 2 .i  Bài 5. (Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Nguyên lần 3 năm 2017-2018) Cho hai số phức1 2 2z i  và2 3 3z i   . Tìm số phức1 2w z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (2 2 ) ( 3 3 ) (2 3) ( 2 3) 5 5 .w z z i i i i              Vậy1 2w 5 5 .z z i    Bài 6. Tìm số phức cho bởi1 3 . 3 i z i    Bài giải: Ta có:2 2 1 3 (1 3 )(3 ) 6 8 3 4 . 3 3 ( 1) 10 5 5 i i i i z i i             Vậy3 4 . 5 5 z i  Bài 7. Xét đa thức2 ( ) (3 4 ) 1 5f z z i z i     . Tính0( )f z với0 2 3 .z i  Bài giải: Ta có: 2 0( ) (2 3 ) (3 4 )(2 3 ) 1 5 4 12 9 ( 6 17 ) 1 5 0.f z i i i i i i i                Vậy0( ) 0.f z  Nhận xét: Thay z0 vào đa thức rồi giải nhƣ phƣơng pháp trên. Bài 8. Tính2 3 4 2012 1 ... .T i i i i i       Bài giải: Ta có:2013 2 3 2012 1 (1 )(1 ... ).i i i i i i        Mà2013 2 1006 1 1 ( ) 1 .i i i i     Nên2 3 2012 1 ... 1.i i i i      Vậy T = 1. Nhận xét: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán. 11 Bài 9. Tính2012 (1 ) .A i  Bài giải: Ta có:2012 2 1006 1006 1006 2 503 1006 (1 ) (1 ) (2 ) 2 .( ) 2 .A i i i i        Vậy1006 2 .A   Bài 10. Tính giá trị biểu thức sau:5 7 9 2009 4 5 6 2010 ... . ... i i i i P i i i i          Bài giải: Ta có:2 1003 5 7 9 2009 5 2 4 2004 5 2 1 ( ) ... (1 ... ) . 1 i i i i i i i i i i i i              Và2007 2 1003 4 5 6 2010 4 2 2006 4 1 1 .( ) 1 ... (1 ... ) . 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i                   Suy ra5 7 9 2009 4 5 6 2010 ... (1 ) 1. ... 1 i i i i i i P i i i i i               Vậy P = -1. Nhận xét: Biến đổi về dạng cấp số cộng rồi sử dụng công thức cấp số cộng để giải bài toán tính biểu thức. 2.2. Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó. Nhận dạng: Dạng này gồm các bài toán về: Xác định phần thực, phần ảo của số phức; Hãy biểu diễn hình học số phức; Tính môđun của số phức; Tìm số đối của số phức; Tìm số phức liên hợp; Tìm số phức nghịch đảo; Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức. Phƣơng pháp: Sử dụng các tính chất về số phức liên hợp, môđun của số phức, số phức nghịch đảo, hai số phức bằng nhau để giải bài toán. Bài 1. (Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối B) Tìm số phức thỏa mãn:(2 ) 10z i   và. 25z z  . Bài giải: Gọi , ,z x yi x y  .z x yi   Theo đề ta có:(2 ) 10z i      2 2 – 2 – 1 10  x y   2 2 2 1 10.x y     (1) Lại có:. 25z z   25x yi x yi    122 2 25.x y   (2) Giải hệ (1) và (2) ta đƣợc ( ) ( ) hoặc ( ) ( ) Vậy hoặc Bài 2. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối A) Tìm phần ảo của số phức biết2 ( 2 ) .(1 2 )z i i   . Bài giải: Ta có:2 ( 2 )i = 1 +2 2 .i =>2 ( 2 ) .(1 2 )z i i   = (1 +2 2i )(1 2i ) = 52 .i Suy ra: z = 52 .i Vậy phần ảo của số phức z bằng2. Bài 3. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối D) Tìm số phức thỏa mãn:2z  và là số thuần ảo. Bài giải: Gọi , ,z a bi a b   Ta có:2 2 z a b  và Theo đề ta có:2z  =2 2 a b => (1) Có là số thuần ảo nên (2) Giải hệ gồm (1) và (2) ta đƣợc:          ; 1;1 ; 1; 1 ; 1;1 ; 1; 1a b      . Vậy các số phức cần tìm là1 2 3 41 ; 1 ; 1 ; 1z i z i z i z i          . Bài 4.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối A) Tìm số phức thỏa mãn:22 z z z  . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b  z a bi   Ta có:22  z z z      2 2 2 2      a bi a b a bi 132 2 2 2 2      a b abi a b a bi2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 0 a b a b a ab b a b b a                        ; 0 ; 0 ; ; 1 1 1 1 ; ); ; ). 2 2 2 2 ( ; (       a b a b a b Vậy hoặc1 1 2 2 z i    hoặc1 1 . 2 2   z i Bài 5.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối B) Tìm số phức biết5 3 1 0 i z z     . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b   và2 2 0a b z a bi   Ta có:5 3 1 0     i z z5 3 1 0        i a bi a bi2 2 5 3 0      a b i a bi2 2 ( 5) ( 3) 0      a b a b i2 2 5 0 3 0           a b a b2 2 0 3          a a b( ; ) ( 1; 3);( ; ) (2; 3).a b a b      Vậy1 3z i   hoặc2 3. z i Bài 6. (Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối D) Tìm số phức , biết(2 3 ) 1 9z i z i    . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b  z a bi   Ta có:(2 3 ) 1 9 (2 3 )( ) 1 9          z i z i a bi i a bi i 143 (3 3 ) 1 9 3 1 3 3 9 2 . 1 a b a b i i a b aa b a b                       Vậy Bài 7.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối A) Cho số phức thỏa5( ) 2 1 z i i z     . Tính môđun của số phức2 w 1 z z   . Bài giải: Đặt , , , 1z a bi a b z    .z a bi   Theo đề ta có:5( ) 2 1     z i i z(3 2) ( 7 6) 3 2 0 7 6 0 1 . 1 a b a b i a b a b a b                      Do đó,1z i  Suy ra: 22 w 1 1 1 1 2 3 .z z i i i          Vậyw 2 3 13.i   Bài 8. (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D) Cho số phức thỏa2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i       . Tính môđun của số phứcw 1 .  z i Bài giải: Theo đề ta có:2(1 2 ) (2 ) 7 8 (2 ) 4 7 3 2 1              i i z i i z i z i i Do đó,w 1 3 2 1 4 3z i i i i        2 2 w 4 3 5    Vậyw 5. 15 Bài 9.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối D) Cho số phức z thỏa điều kiện(1 )( ) 2 2i z i z i    . Tìm môđun của số phức2 2 1 w .    z z z Bài giải: Ta có:(1 )( ) 2 2 (3 ) 1 3          i z i z i i ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM Sinh viên thực hiện VATTHANA TAYXAYAVONG MSSV: 2115020139 CHUYÊN NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hƣớng dẫn ThS PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ Quảng Nam, tháng 5 năm 2019 MỤC LỤC Phần 1 MỞ ĐẦU 1 1.1 Lý do chọn đề tài 1 1.2 Mục tiêu của đề tài 1 1.3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu 1 1.5 Đóng góp của đề tài .2 1.6 Cấu trúc đề tài 2 Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY 3 1.1 Số phức .3 1.1.1 Khái niệm số phức .3 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức 3 1.1.3 Môđun của số phức 3 1.1.4 Số phức liên hợp 4 1.2 Cộng, trừ và nhân số phức 4 1.2.1 Phép cộng và phép trừ 4 1.2.2 Phép nhân 4 1.3 Phép chia số phức .4 1.4 Phƣơng trình bậc hai .4 1.4.1 Căn bậc hai của số thực âm 4 1.4.2 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực 5 1.5 Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng 5 1.5.1 Số phức dƣới dạng lƣợng giác .5 1.5.2 Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác 6 1.6 Các tính chất của số phức 6 1.7 Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp 8 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƢỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM .9 2.1 Dạng toán về các phép toán trên số phức 9 2.2 Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó 11 2.3 Dạng toán về tập hợp điểm 18 2.4 Dạng toán về phƣơng trình, hệ phƣơng trình ẩn số phức .25 2.5 Dạng toán về dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng .31 Phần 3 KẾT LUẬN 36 Phần 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên phát triển tƣ duy cho học sinh, là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hằng ngày của mỗi ngƣời Số phức đóng vai trò rất quan trọng trong toán học, sự xuất hiện của số , một ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, dẫn đến việc hình thành số phức với là các số thực đã giải quyết rất nhiều vấn đề mà tập hợp số thực không giải quyết đƣợc Hiện nay, hầu hết các cấp học trung học phổ thông và đại học trên thế giới đều có giảng dạy liên quan đến số phức Riêng ở Việt Nam, số phức đƣợc đƣa và giảng dạy bậc trung học phổ thông, trong sách giáo khoa giải tích 12, sau đó số phức còn xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia với mật độ xuất hiện chiếm 10% trong tổng số điểm của bài thi Nhằm mục đích sƣu tầm, phân loại, nêu ra các phƣơng pháp giải tƣơng ứng về các dạng số phức thƣờng xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam, giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn cho kì thi của mình; em chọn đề tài “Một số dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam” làm đề tài khóa luận của mình 1.2 Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu : Các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân 1.3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam - Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay và một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận - Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp - Phƣơng pháp logic - Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia 1 1.5 Đóng góp của đề tài 1.5.1 Về mặt lý luận Tìm hiểu về lý thuyết số phức, các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam 1.5.2 Về mặt lý luận Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên cũng nhƣ giáo viên 1.6 Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1: Lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay Chƣơng 2: Một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia ở Việt Nam 2 Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY 1.1 Số phức 1.1.1 Khái niệm số phức Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó và là những số thực và số thỏa i2  1 Kí hiệu số phức đó là và viết z  a bi đƣợc gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phức z  a bi Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau a  c a  bi  c  di   b  d 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức y bM 0 a x Mỗi số phức z  a bi hoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực a;b Oxy Điểm M a;b trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu diễn số phức z  a bi 1.1.3 Môđun của số phức y bM 0 a x 3 Giả sử số phức z  a bi đƣợc biểu diễn bởi điểm M a;b trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM đƣợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z z = OM hay a bi = OM Dễ thấy: a  bi  a2  b2 1.1.4 Số phức liên hợp Cho số phức z  a bi Ta gọi a bi là số phức liên hợp của và kí hiệu là z  a bi 1.2 Cộng, trừ và nhân số phức 1.2.1 Phép cộng và phép trừ Phép cộng và phép trừ hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức Cho hai số phức z  a bi và z  cdi ta có: z  z  a  bi  c  di  a  c  b  d i z  z  a  bi  c  di  a  c  b  d i 1.2.2 Phép nhân Phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2  1 trong kết quả nhận đƣợc Cho hai số phức z  a bi và z  c di ta có: z.z  a bi.c  di  ac bd   ad bci 1.3 Phép chia số phức Chia số phức c  di cho số phức a  bi khác 0 là tìm số phức sao cho c  di  a  bi z Số phức đƣợc gọi là thƣơng trong phép chia c  di cho a  bi và kí hiệu là: z  c  di a  bi  c  dia bi a  bia bi  a2 b2 ac  bd   i ad bc 1.4 Phƣơng trình bậc hai 1.4.1 Căn bậc hai của số thực âm Tƣơng tự căn bậc hai của số thực dƣơng, từ đẳng thức i2  1, ta nói là một căn bậc hai của 1; cũng là một căn bậc hai của 1, vì i2  1 Từ đó, ta xác định đƣợc căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn: Căn bậc hai của -2 là ±i 2 vì (±i 2 )2 = -2; 4 Căn bậc hai của -3 là ±i 3 vì (±i 3 )2 = -3; Căn bậc hai của -4 là ±i 4 vì (±i 4 )2 = -4 Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là i a 1.4.2 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phƣơng trình ax2  bx  c  0 với a,b,c  , a  0 Xét biệt thức   b2  4ac của phƣơng trình Ta thấy: Khi ∆ = 0, phƣơng trình có một nghiệm x  b 2a Khi ∆ > 0, có hai căn bậc của ∆ là   và phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt, đƣợc xác định bởi công thức x1,2  b   2a Khi ∆ < 0 phƣơng trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆ Tuy nhiên, trong trƣờng hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là i  Khi đó, phƣơng trình có hai nghiệm phức xác định bởi công thức b  i  x1,2  2a 1.5 Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng 1.5.1 Số phức dƣới dạng lƣợng giác Acgumen của số phức z  0: y M(a+bi) r φ O x Cho số phức z  0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số Số đo (rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z 5 * CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng   k2 , k  (Ngƣời ta nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k2 ,k  ) Dạng lượng giác của số phức: Dạng z  r cos  i sin, đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức z  0 , trrong đó r > 0,  là acgumen của z 1.5.2 Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác Nếu z  r cos  i sin, z  rcos i sin(r  0,r  0) thì zz  rr cos    i sin    , z  r cos   isin  (r  0) zr 1.6 Các tính chất của số phức Cho số phức Tính chất 1: Số phức là số thực  =̅ Chứng minh: Ta có: z  z  a bi  a bi b  0  z  a Vậy là số thực Tính chất 2: Số phức là số ảo  z  z Chứng minh: Ta có: z  z  Vậy là số ảo Tính chất 3: Cho số phức có số phức liên hợp là z và module là z Khi đó: z.z  z 2 Chứng minh: Ta có: .z = ( )( ) (1) z 2 =  a2  b2  = (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra z.z  z 2 Tính chất 4: z1  z2  z1  z2 Chứng minh: z1  z2  (a1  a2)  (b1  b2)i  (a1  a2)  (b1  b2)i (1) z1  z2  a1 b1i  a2 b2i  (a1  a2)  (b1  b2)i (2) Từ (1) và (2) suy ra z1  z2  z1  z2 6 Tính chất 5: z1z2  z1.z2 Chứng minh: z1.z2  (a1  b1i)(a2  b2i)  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i (1) z1.z2  (a1 b1i)(a2 b2i)  (a1a2 b1b2)  (a1b2  a2b1)i (2) Từ (1) và (2) suy ra z1z2  z1.z2 Tính chất 6: ( z1 )  z1 z2 z2 Chứng minh: ( z1 )  ( a1  b1i )  ( 2 2 (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i )  2 2 a1a2  b1b2  2 2 a1b2  a2b1 i (1) z2 a2  b2i a2  b2 a2  b2 a2  b2 z1  a1  b1i  (a1  b1i)(a2  b2i)  2 2 a1a2  b1b2  2 2 a1b2  a2b1 i (2) z2 a2  b2i (a2  b2i)(a2  b2i) a2  b2 a2  b2 Từ (1) và (2) suy ra ( z1 )  z1 z2 z2 Tính chất 7: z1z2  z1 z2 Chứng minh: z1z2  (a1  b1i)(a2  b2i)  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i  z1z2  (a1a2  b1b2 )2  (a1b2  a2b1)2  (a1a2 )2  (a1b2 )2  (a2b1)2  (b1b2 )2 , (1) z1 z2  a12  b12 a22  b22  (a1a2 )2  (a1b2 )2  (a2b1)2  (b1b2 )2 , (2) Từ (1) và (2) suy ra z1z2  z1 z2 Tính chất 8: z1  z1 z2 z2 Chứng minh: z1  a1  b1i  (a1  b1i)(a2  b2i)  2 2 (a1a2  b1b2 )  (a2b1  a1b2 ) i z2 a2  b2i (a2  b2i)(a2  b2i) a2  b2  z1  ( 2 2 a1a2  b1b2 )2  ( 2 2 a2b1  a1b2 )2  (a12  b12 )(a22  b22 )  a12  b12 , (1) z2 a2  b2 a2  b2 (a22  b22 )2 a22  b22 z1  a12  b12  a12  b12 , (2) z2 2 2 a22  b22 a2  b2 Từ (1) và (2) suy ra z1  z1 z2 z2 7