MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM ĐIỂM CAO

Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Quản trị kinh doanh UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM Sinh viên thực hiện VATTHANA TAYXAYAVONG MSSV: 2115020139 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hƣớng dẫn ThS. PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ Quảng Nam, tháng 5 năm 2019 MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................1 1.2. Mục tiêu của đề tài ..................................................................................................1 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................1 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................1 1.5. Đóng góp của đề tài ...............................................................................................2 1.6. Cấu trúc đề tài ........................................................................................................2 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ..............................................................................3 CHƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY .................................................................................3 1.1. Số phức .....................................................................................................................3 1.1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................3 1.1.2. Biểu diễn hình học số phức ...................................................................................3 1.1.3. Môđun của số phức................................................................................................3 1.1.4. Số phức liên hợp ....................................................................................................4 1.2. Cộng, trừ và nhân số phức ........................................................................................4 1.2.1. Phép cộng và phép trừ ...........................................................................................4 1.2.2. Phép nhân ..............................................................................................................4 1.3. Phép chia số phức .....................................................................................................4 1.4. Phƣơng trình bậc hai .................................................................................................4 1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm ...................................................................................4 1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực ......................................................................5 1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng ..............................................................5 1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác ...............................................................................5 1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác .........................................................6 1.6. Các tính chất của số phức .........................................................................................6 1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp ....................................................8 CHƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM .....................................9 2.1. Dạng toán về các phép toán trên số phức .................................................................9 2.2. Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó. ...........................................................11 2.3. Dạng toán về tập hợp điểm .....................................................................................18 2.4. Dạng toán về phƣơng trình, hệ phƣơng trình ẩn số phức .......................................25 2.5. Dạng toán về dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng. ......................................31 Phần 3. KẾT LUẬN ......................................................................................................36 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................37 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên phát triển tƣ duy cho học sinh, là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hằng ngày của mỗi ngƣời. Số phức đóng vai trò rất quan trọng trong toán học, sự xuất hiện của số , một ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, dẫn đến việc hình thành số phức với là các số thực đã giải quyết rất nhiều vấn đề mà tập hợp số thực không giải quyết đƣợc.. Hiện nay, hầu hết các cấp học trung học phổ thông và đại học trên thế giới đều có giảng dạy liên quan đến số phức. Riêng ở Việt Nam, số phức đƣợc đƣa và giảng dạy bậc trung học phổ thông, trong sách giáo khoa giải tích 12, sau đó số phức còn xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia với mật độ xuất hiện chiếm 10 trong tổng số điểm của bài thi. Nhằm mục đích sƣu tầm, phân loại, nêu ra các phƣơng pháp giải tƣơng ứng về các dạng số phức thƣờng xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam, giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn cho kì thi của mình; em chọn đề tài “Một số dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam” làm đề tài khóa luận của mình. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu : Các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. - Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay và một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận. - Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp. - Phƣơng pháp logic. - Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia. 2 1.5. Đóng góp của đề tài 1.5.1. Về mặt lý luận Tìm hiểu về lý thuyết số phức, các dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia Việt Nam. 1.5.2. Về mặt lý luận Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên cũng nhƣ giáo viên. 1.6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1: Lý thuyết về số phức trong chƣơng trình sách giáo khoa ở Việt Nam hiện nay. Chƣơng 2: Một số dạng toán về số phức thƣờng gặp trong kỳ thi T rung học phổ thông quốc gia ở Việt Nam. 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM HIỆN NAY 1.1. Số phức 1.1.1. Khái niệm số phức Số phức là một biểu thức có dạnga bi , trong đó và là những số thực và số thỏa2 1i   . Kí hiệu số phức đó là và viếtz a bi  . đƣợc gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phứcz a bi  . Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau..         a c a bi c di b d 1.1.2. Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phứcz a bi  hoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực ; .a b Oxy Điểm ;M a b trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu diễn số phứcz a bi  . 1.1.3. Môđun của số phứcb a M x y 0b a M x y 0 4 Giả sử số phứcz a bi  đƣợc biểu diễn bởi điểm ;M a b trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơOM đƣợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu làz .z =OM haya bi =.OM Dễ thấy:2 2 .a bi a b   1.1.4. Số phức liên hợp Cho số phứcz a bi  . Ta gọia bi là số phức liên hợp của và kí hiệu là.z a bi  1.2. Cộng, trừ và nhân số phức 1.2.1. Phép cộng và phép trừ Phép cộng và phép trừ hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức. Cho hai số phứcz a bi  vàz c di   ta có:                . . z z a bi c di a c b d i z z a bi c di a c b d i                   1.2.2. Phép nhân Phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay2 1i   trong kết quả nhận đƣợc. Cho hai số phứcz a bi  vàz c di   ta có:       . . .z z a bi c di ac bd ad bc i        1.3. Phép chia số phức Chia số phứcc di cho số phứca bi khác 0 là tìm số phức sao cho c di a bi z   . Số phức đƣợc gọi là thƣơng trong phép chiac di choa bi và kí hiệu là:          2 2 . c di a bi ac bd i ad bcc di z a bi a bi a bi a b              1.4. Phƣơng trình bậc hai 1.4.1. Căn bậc hai của số thực âm Tƣơng tự căn bậc hai của số thực dƣơng, từ đẳng thức2 1i   , ta nói là một căn bậc hai của 1; cũng là một căn bậc hai của 1, vì 2 1i   . Từ đó, ta xác định đƣợc căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn: Căn bậc hai của -2 là ±i2 vì (±i2 )2 = -2; 5 Căn bậc hai của -3 là ±i3 vì (±i3 )2 = -3; Căn bậc hai của -4 là ±i4 vì (±i4 )2 = -4. Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là.i a 1.4.2. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phƣơng trình2 ax 0bx c   với, , , 0a b c a  . Xét biệt thức2 4b ac   của phƣơng trình. Ta thấy: Khi ∆ = 0, phƣơng trình có một nghiệm . 2 b x a   Khi ∆ > 0, có hai căn bậc của ∆ là  và phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt, đƣợc xác định bởi công thức1,2 . 2 b x a     Khi ∆ < 0 phƣơng trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ lài  . Khi đó, phƣơng trình có hai nghiệm phức xác định bởi công thức1,2 . 2 b i x a     1.5. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng 1.5.1. Số phức dƣới dạng lƣợng giác Acgumen của số phức0z : Cho số phức0z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số . Số đo (rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z.y xO φ r M(a+bi) 6 CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng2 ,k k    (Ngƣời ta nói: Acgumen của0z  xác định sai khác2 , .k k   ) Dạng lượng giác của số phức: Dạng cos sinz r i    , đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức0z  , trrong đó r > 0, là acgumen củaz . 1.5.2. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác Nếu cos sinz r i    , cos sin ( 0, 0)z r i r r          thì   cos sin ,zz rr i               cos sin ( 0) z r i r z r               1.6. Các tính chất của số phức Cho số phức Tính chất 1: Số phức là số thực =̅ Chứng minh: Ta có:0       z z a bi a bi bz a . Vậy là số thực. Tính chất 2: Số phức là số ảozz . Chứng minh: Ta có: z z . Vậy là số ảo. Tính chất 3: Cho số phức có số phức liên hợp làz và module làz . Khi đó:2 .z z z . Chứng minh: Ta có: .z = ( )( ) (1)2 z =  2 2 2 a b = (2) Từ (1) và (2) suy ra2 .z z z Tính chất 4:1 2 1 2z z z z   . Chứng minh:1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a a b b i a a b b i         . (1)1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )z z a bi a b i a a b b i         . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2z z z z   . 7 Tính chất 5:1 2 1 2.z z z z . Chứng minh:1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z a bi a b i a a bb a b a b i a a bb a b a b i           . (1)1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( )z z a bi a b i a a bb a b a b i       . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2.z z z z . Tính chất 6:1 1 2 2 ( ) z z z z  . Chứng minh:1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z a b i a a b b a b a b i a a b b a b a b i z a b i a b a b a b               . (1)1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( )( ) ( )( ) z a b i a b i a b i a a b b a b a b i a b i a b i a b i a b a bz               . (2) Từ (1) và (2) suy ra1 1 2 2 ( ) z z z z  . Tính chất 7:1 2 1 2z z z z . Chứng minh:1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) . ( ) ( ) ( ) ( ) , (2) z z a b i a b i a a b b a b a b i z z a a b b a b a b a a a b a b b b z z a b a b a a a b a b b b                        Từ (1) và (2) suy ra1 2 1 2z z z z . Tính chất 8:1 1 2 2 z z z z  . Chứng minh:1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ,(1) ( ) z a b i a b i a b i a a b b a b a b i z a b i a b i a b i a b z a a b b a b a b a b a b a b z a b a b a b a b z a b a b z a b                                 2 1 2 2 2 2 ,(2) a b Từ (1) và (2) suy ra1 1 2 2 z z z z  . 8 Tính chất 9:1 2 1 2z z z z   . Chứng minh:              2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 2 ( )( ) 4 8 4 4 2 8                                        z z z z a a b b a b a b a a b b a b a b a b a b a a b b a b a b a a a a b b b b a a a b b a b b a b a a b b     2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 2 2 0.      b a a b b a 1.7. Một số tập hợp điểm trong mặt phức thƣờng gặp Đƣờng thẳng: song song hoặc trùng trục ảo . song song hoặc trùng trục thực . ( ) Đƣờng tròn:    2 2 2 0 0x x y y R    có tâm0 0( ; )I x y bán kính R. Hình tròn    2 2 2 0 0x x y y R    có tâm0 0( ; )I x y bán kính R. Hình elip2 2 2 2 1. x y a b   Đƣờng hyperbol:2 2 2 2 1. x y a b   Đƣờng parabol2 2 ( 0).y px p  9 CHƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Ở VIỆT NAM 2.1. Dạng toán về các phép toán trên số phức Nhận dạng: Đây là các bài toán về thực hiện các phép tính trên số phức. Phƣơng pháp: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Với dạng này, dù là tính toán trên số phức, nhƣng thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực mà học sinh đã đƣợc học từ những ngày đầu tiên đến trƣờng. Chỉ khác là, ngƣời học hãy xem số phức là một kí hiệu mà bình phƣơng bằng âm 1. Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116) Cho hai số phức1 4 3z i  và2 7 3z i  . Tìm số phức1 2z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (4 3 ) (7 3 ) (4 7) ( 3 3) 3 6 .z z z i i i i              Vậy Bài 2.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hai số phức1 2 3z i  và2 4 5z i   . Tìm số phức1 2z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (2 3 ) ( 4 5 ) (2 4) (3 5) 2 2z z z i i i i              Vậy z = -2 – 2i. Bài 3.(Trích đề thi thử THPTSGD Nam Định - năm 2017-2018) Cho hai số phức1 1 2z i  và2 3z i  . Tìm số phức 2 1 z z z  . Bài giải: Theo đề, ta có: 2 1 3 (3 )(1 2 ) 1 7 . 1 2 5 5 5 z i i i z i z i          Vậy1 7 5 5 z i  Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018) Cho hai số phức1 1z i  và2 2 3z i  . Tìm số phức liên hợp của số phức1 2w z z  . 10 Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (1 ) (2 3 ) (1 2) (1 3) 3 2 . 3 2 . w w z z i i i i i                Vậyw 3 2 .i  Bài 5. (Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Nguyên lần 3 năm 2017-2018) Cho hai số phức1 2 2z i  và2 3 3z i   . Tìm số phức1 2w z z  . Bài giải: Theo đề, ta có:1 2 (2 2 ) ( 3 3 ) (2 3) ( 2 3) 5 5 .w z z i i i i              Vậy1 2w 5 5 .z z i    Bài 6. Tìm số phức cho bởi1 3 . 3 i z i    Bài giải: Ta có:2 2 1 3 (1 3 )(3 ) 6 8 3 4 . 3 3 ( 1) 10 5 5 i i i i z i i             Vậy3 4 . 5 5 z i  Bài 7. Xét đa thức2 ( ) (3 4 ) 1 5f z z i z i     . Tính0( )f z với0 2 3 .z i  Bài giải: Ta có: 2 0( ) (2 3 ) (3 4 )(2 3 ) 1 5 4 12 9 ( 6 17 ) 1 5 0.f z i i i i i i i                Vậy0( ) 0.f z  Nhận xét: Thay z0 vào đa thức rồi giải nhƣ phƣơng pháp trên. Bài 8. Tính2 3 4 2012 1 ... .T i i i i i       Bài giải: Ta có:2013 2 3 2012 1 (1 )(1 ... ).i i i i i i        Mà2013 2 1006 1 1 ( ) 1 .i i i i     Nên2 3 2012 1 ... 1.i i i i      Vậy T = 1. Nhận xét: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán. 11 Bài 9. Tính2012 (1 ) .A i  Bài giải: Ta có:2012 2 1006 1006 1006 2 503 1006 (1 ) (1 ) (2 ) 2 .( ) 2 .A i i i i        Vậy1006 2 .A   Bài 10. Tính giá trị biểu thức sau:5 7 9 2009 4 5 6 2010 ... . ... i i i i P i i i i          Bài giải: Ta có:2 1003 5 7 9 2009 5 2 4 2004 5 2 1 ( ) ... (1 ... ) . 1 i i i i i i i i i i i i              Và2007 2 1003 4 5 6 2010 4 2 2006 4 1 1 .( ) 1 ... (1 ... ) . 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i                   Suy ra5 7 9 2009 4 5 6 2010 ... (1 ) 1. ... 1 i i i i i i P i i i i i               Vậy P = -1. Nhận xét: Biến đổi về dạng cấp số cộng rồi sử dụng công thức cấp số cộng để giải bài toán tính biểu thức. 2.2. Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó. Nhận dạng: Dạng này gồm các bài toán về: Xác định phần thực, phần ảo của số phức; Hãy biểu diễn hình học số phức; Tính môđun của số phức; Tìm số đối của số phức; Tìm số phức liên hợp; Tìm số phức nghịch đảo; Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức. Phƣơng pháp: Sử dụng các tính chất về số phức liên hợp, môđun của số phức, số phức nghịch đảo, hai số phức bằng nhau để giải bài toán. Bài 1. (Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối B) Tìm số phức thỏa mãn:(2 ) 10z i   và. 25z z  . Bài giải: Gọi , ,z x yi x y  .z x yi   Theo đề ta có:(2 ) 10z i      2 2 – 2 – 1 10  x y   2 2 2 1 10.x y     (1) Lại có:. 25z z   25x yi x yi    122 2 25.x y   (2) Giải hệ (1) và (2) ta đƣợc ( ) ( ) hoặc ( ) ( ) Vậy hoặc Bài 2. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối A) Tìm phần ảo của số phức biết2 ( 2 ) .(1 2 )z i i   . Bài giải: Ta có:2 ( 2 )i = 1 +2 2 .i =>2 ( 2 ) .(1 2 )z i i   = (1 +2 2i )(1 2i ) = 52 .i Suy ra: z = 52 .i Vậy phần ảo của số phức z bằng2. Bài 3. (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối D) Tìm số phức thỏa mãn:2z  và là số thuần ảo. Bài giải: Gọi , ,z a bi a b   Ta có:2 2 z a b  và Theo đề ta có:2z  =2 2 a b => (1) Có là số thuần ảo nên (2) Giải hệ gồm (1) và (2) ta đƣợc:          ; 1;1 ; 1; 1 ; 1;1 ; 1; 1a b      . Vậy các số phức cần tìm là1 2 3 41 ; 1 ; 1 ; 1z i z i z i z i          . Bài 4.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối A) Tìm số phức thỏa mãn:22 z z z  . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b  z a bi   Ta có:22  z z z      2 2 2 2      a bi a b a bi 132 2 2 2 2      a b abi a b a bi2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 0 a b a b a ab b a b b a                        ; 0 ; 0 ; ; 1 1 1 1 ; ); ; ). 2 2 2 2 ( ; (       a b a b a b Vậy hoặc1 1 2 2 z i    hoặc1 1 . 2 2   z i Bài 5.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối B) Tìm số phức biết5 3 1 0 i z z     . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b   và2 2 0a b z a bi   Ta có:5 3 1 0     i z z5 3 1 0        i a bi a bi2 2 5 3 0      a b i a bi2 2 ( 5) ( 3) 0      a b a b i2 2 5 0 3 0           a b a b2 2 0 3          a a b( ; ) ( 1; 3);( ; ) (2; 3).a b a b      Vậy1 3z i   hoặc2 3. z i Bài 6. (Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối D) Tìm số phức , biết(2 3 ) 1 9z i z i    . Bài giải: Đặt , ,z a bi a b  z a bi   Ta có:(2 3 ) 1 9 (2 3 )( ) 1 9          z i z i a bi i a bi i 143 (3 3 ) 1 9 3 1 3 3 9 2 . 1 a b a b i i a b aa b a b                       Vậy Bài 7.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối A) Cho số phức thỏa5( ) 2 1 z i i z     . Tính môđun của số phức2 w 1 z z   . Bài giải: Đặt , , , 1z a bi a b z    .z a bi   Theo đề ta có:5( ) 2 1     z i i z(3 2) ( 7 6) 3 2 0 7 6 0 1 . 1 a b a b i a b a b a b                      Do đó,1z i  Suy ra: 22 w 1 1 1 1 2 3 .z z i i i          Vậyw 2 3 13.i   Bài 8. (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D) Cho số phức thỏa2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i       . Tính môđun của số phứcw 1 .  z i Bài giải: Theo đề ta có:2(1 2 ) (2 ) 7 8 (2 ) 4 7 3 2 1              i i z i i z i z i i Do đó,w 1 3 2 1 4 3z i i i i        2 2 w 4 3 5    Vậyw 5. 15 Bài 9.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối D) Cho số phức z thỏa điều kiện(1 )( ) 2 2i z i z i    . Tìm môđun của số phức2 2 1 w .    z z z Bài giải: Ta có:(1 )( ) 2 2 (3 ) 1 3          i z i z i i ...

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó và là những số thực và số thỏa i 2   1 Kí hiệu số phức đó là và viết z a bi đƣợc gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phức z a bi

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau

1.1.2 Biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức z a bihoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực   a b ;  Oxy Điểm M a b   ; trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi

LÝ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO

Số phức

Số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó và là những số thực và số thỏa i 2   1 Kí hiệu số phức đó là và viết z a bi đƣợc gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực và đƣợc gọi là phần ảo của số phức z a bi

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau

1.1.2 Biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức z a bihoàn toàn đƣợc xác định bởi cặp số thực   a b ;  Oxy Điểm M a b   ; trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng đƣợc gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi

Giả sử số phức z a bi đƣợc biểu diễn bởi điểm M a b   ; trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM đƣợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z z = OM hay a bi = OM

Cho số phức z a bi Ta gọi a bi là số phức liên hợp của và kí hiệu là z a bi

Cộng, trừ và nhân số phức

1.2.1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức Cho hai số phức z a bivà z  c di ta có:

Phép nhân hai số phức đƣợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay

2 1 i   trong kết quả nhận đƣợc Cho hai số phức z a bivà z  c di ta có:

. z z  a bi c di  ac bd  adbc i

Phép chia số phức

Chia số phức c di cho số phức a bi  khác 0 là tìm số phức sao cho

  c di  a bi z Số phức được gọi là thương trong phép chia c di cho a bi và kí hiệu là:

2 2 c di a bi ac bd i ad bc z c di a bi a bi a bi a b

Phương trình bậc hai

1.4.1 Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của số thực dương, từ đẳng thức i 2   1, ta nói là một căn bậc hai của 1; cũng là một căn bậc hai của 1, vì    i 2   1 Từ đó, ta xác định đƣợc căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:

Căn bậc hai của -2 là ±i 2 vì (±i 2) 2 = -2;

Căn bậc hai của -3 là ±i 3 vì (±i 3 ) 2 = -3;

Căn bậc hai của -4 là ±i 4 vì (±i 4) 2 = -4

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực âm là i a.

1.4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình ax 2  bx   c 0 với a b c , ,  , a  0 Xét biệt thức   b 2  4 ac của phương trình Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc của ∆ là   và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, đƣợc xác định bởi công thức

Khi ∆ < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆

Tuy nhiên, trong trường hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là  i Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức xác định bởi công thức

Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng

1.5.1 Số phức dưới dạng lượng giác

Cho số phức z0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số Số đo (rađian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z y

* CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng

   (Người ta nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k2 , k )

Dạng lượng giác của số phức:

Dạng z  r  cos   i sin  , đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức z0, trrong đó r > 0, là acgumen của z

1.5.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z  r  cos   i sin   , z   r   cos    i sin    ( r  0, r   0) thì

Các tính chất của số phức

Tính chất 1: Số phức là số thực  = ̅

Ta có: z       z a bi a bi b 0 za Vậy là số thực

Tính chất 2: Số phức là số ảo  zz

Ta có: z   z  Vậy là số ảo

Tính chất 3: Cho số phức có số phức liên hợp là z và module là z Khi đó:

Một số tập hợp điểm trong mặt phức thường gặp

Đường thẳng: song song hoặc trùng trục ảo song song hoặc trùng trục thực

( ) Đường tròn:  x  x 0   2  y  y 0  2  R 2 có tâm I x y( ; 0 0 ) bán kính R

Hình tròn  x  x 0   2  y  y 0  2  R 2 có tâm I x y( ; 0 0 ) bán kính R

Hình elip x 2 2 y 2 2 1. a b  Đường hyperbol: x 2 2 y 2 2 1. a b  Đường parabol y 2 2px p( 0).

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ

Dạng toán về các phép toán trên số phức

Nhận dạng: Đây là các bài toán về thực hiện các phép tính trên số phức

Phương pháp: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức Với dạng này, dù là tính toán trên số phức, nhƣng thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực mà học sinh đã được học từ những ngày đầu tiên đến trường Chỉ khác là, người học hãy xem số phức là một kí hiệu mà bình phương bằng âm 1

Bài 1 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116)

Cho hai số phức z 1   4 3 i và z 2  7 3i Tìm số phức z   z 1 z 2

Bài 2.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)

Cho hai số phức z 1   2 3 i và z 2   4 5i Tìm số phức z   z 1 z 2

Bài 3.(Trích đề thi thử THPTSGD Nam Định - năm 2017-2018)

Cho hai số phức z 1   1 2 i và z 2   3 i Tìm số phức 2

Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018)

Cho hai số phức z 1   1 i và z 2  2 3i Tìm số phức liên hợp của số phức

Bài 5 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Nguyên lần 3 năm 2017-2018)

Cho hai số phức z 1  2 2i và z 2   3 3i Tìm số phức w z 1 z 2

Bài 6 Tìm số phức cho bởi 1 3

Bài 7 Xét đa thức f z( )  z 2 (3 4 )i z 1 5i Tính f z ( ) 0 với z 0   2 3 i

Nhận xét: Thay z 0 vào đa thức rồi giải như phương pháp trên.

Nhận xét: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán

Bài 10 Tính giá trị biểu thức sau: 5 4 7 5 9 6 2009 2010

Nhận xét: Biến đổi về dạng cấp số cộng rồi sử dụng công thức cấp số cộng để giải bài toán tính biểu thức.

Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó

Nhận dạng: Dạng này gồm các bài toán về: Xác định phần thực, phần ảo của số phức; Hãy biểu diễn hình học số phức; Tính môđun của số phức; Tìm số đối của số phức; Tìm số phức liên hợp; Tìm số phức nghịch đảo; Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức

Phương pháp: Sử dụng các tính chất về số phức liên hợp, môđun của số phức, số phức nghịch đảo, hai số phức bằng nhau để giải bài toán

Bài 1 (Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối B)

Tìm số phức thỏa mãn: z  (2 i) 10 và z z 25

Giải hệ (1) và (2) ta đƣợc ( ) ( ) hoặc ( ) ( ) Vậy hoặc

Bài 2 (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối A)

Tìm phần ảo của số phức biết z( 2i) (1 2  2 )i

Vậy phần ảo của số phức z bằng  2.

Bài 3 (Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối D)

Tìm số phức thỏa mãn: z  2 và là số thuần ảo

2 2 z  a b và Theo đề ta có:

Có là số thuần ảo nên (2)

Giải hệ gồm (1) và (2) ta đƣợc:

     a b ; 1;1 ; 1; 1 ;  1;1 ;  1; 1  Vậy các số phức cần tìm là

Bài 4 (Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối A)

Tìm số phức thỏa mãn: z 2  z 2  z

Bài giải: Đặt z   a bi a b ,  ,      z a bi

Bài 5.(Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối B)

Bài giải: Đặt z a bi a b, ,   và a 2  b 2  0  z a bi

Bài 6 (Trích đề thi đại học năm 2011-2012 khối D)

Bài giải: Đặt z a bi a b, ,     z a bi

Bài 7.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối A)

 Tính môđun của số phức w    1 z z 2

Bài giải: Đặt z a bi a b, ,  ,z 1  z a bi.

Bài 8 (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D)

 Tính môđun của số phức w  z 1 i.

Bài 9 (Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối D)

Cho số phức z thỏa điều kiện (1  i z )(   i ) 2 z  2 i Tìm môđun của số phức

Bài 10 ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối A)

Cho số phức thỏa mãn điều kiện z   (2 i z )   3 5 i Tìm phần ảo, phần thực của

Bài giải: Đặt z   a bi a b ,  ,      z a bi

Vậy số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng -3

Bài 11 ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối B)

Cho số phức thỏa mãn điều kiện2 z  3(1  i z )   1 9 i Tìm môđun của số phức

Bài giải: Đặt z   a bi a b ,  ,      z a bi

Bài 12 ( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối D)

Cho số phức thỏa mãn điều kiện(3 z  z )(1   i ) 5 z   8 i 1 Tìm môđun của số phức

Bài giải: Đặt z   a bi a b ,  ,      z a bi

Bài 13 (Trích đề thi đại học năm 2015-2016)

Cho số phức   1– i z –1 5   i 0 Tìm phần thực, phần ảo của số phức

 Vậy số phức có phần thực là 3 và phần ảo là -2

Bài 14 (Trích đề thi đại học năm 2016-2017)

Cho số phức z 1 2i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w2zz

Vậy số phức w có phần thực là 3 và phần ảo là 2

Bài 15 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116)

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  2 i 2 2 và (z1) 2 là số thuần ảo

Mà (z1) 2 là thuần ảo nên (a 2      2a b 2 1) 0 (a 1) 2 b 2

Như vậy giả thiết tương đương với

Giải hệ trên ta đƣợc ba nghiệm:

Vậy có ba số phức thỏa yêu cầu bài toán là

Bài 16 ( Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP-Hà Nội-Lần 1- năm 2017-2018)

Cho số phức z 1 i Số phức nghịch đảo của

Vậy số phức nghịch đảo của là 1

Dạng toán về tập hợp điểm

Nhận dạng: Là dạng toán xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện K

Từ giả thiết, tìm hệ thức giữa Hệ thức này xác định một đường cong trong mặt phẳng phức(thực chất là mặt phẳng tọa độ )

Bài 1 ( Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối D)

Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z (3 4 )i 2

( ) ( ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I(3 ; -4) bán kính bằng 2

Bài 2 ( Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối B)

Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z i  (1 i z)

( ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I(0 ; -1) bán kính bằng 2.

Bài 3 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 101)

Xét các số phức thỏa mãn (z i z )( 2)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tâp hợp các điểm biển diễn các số phức

Theo đề ta có: (z i z )( 2)là các số thuần ảo nên:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm 1;1

Bài 4 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 102)

Xét các số phức thỏa mãn (z3 )(i z3)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

Bài giải: Đặt z   x yi x y ,  ,   z x yi

Theo đề ta có: ( z  3 )( i z  3)là các số thuần ảo nên:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm 3 3;

Bài 5 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 103)

Xét các số phức thỏa mãn ( z  2 )( i z  2),và là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

Ta có: ( z  2 )( i z   2) ( x   yi 2 )( i x    yi 2) ( x 2  y 2  2 x  2 ) (2 y  x  2 y  4) i Theo đề ta có: ( z  2 )( i z  2)là các số thuần ảo nên:

     Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I   1;1 bán kính 2.

Bài 6 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 104)

Xét các số phức thỏa mãn ( z  2 )( i z  2),và là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức đó

Theo đề ta có: ( z  2 )( i z  2)là các số thuần ảo nên:

     Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 bán kính 2.

Bài 7 ( Trích đề thi thử THPTQG năm 2018 Trường THPT Chuyên Thái

Trên mặt phẳng tọa độ , gọi A, B, C lần lƣợt là các điểm biểu diễn số phức

    Tìm số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC

Gọi là trọng tâm tam giác ABC, do đó có tọa độ là ( )

Vậy số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là 1 – 3i

Bài 8 (Trích đề thi thử SGD Bình Thuận năm 2017-2018)

Cho hai số phức z   3 5 ; w i    1 2 i Điểm biểu diễn số phức z  z wz trong mặt phẳng tọa độ 0xy có tọa độ là gì?

Vậy tọa độ điểm biểu diễn số phức z  z wz trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ là z   4; 6 

Bài 9 (Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)

Tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2 i 4

Bài giải: Đặt z   x yi x y ,  ,      z x yi

     Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2 i 4 là đường tròn tâm I(-2 ; -1) và bán kính R = 4

Bài 10 (Trích đề thi thử TT Diệu Hiền- Cần Thơ-Tháng 10- năm học 2017-

Cho các số phức thỏa mãn z i 5 Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz 1 ilà đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Vậy bán kính của đường tròn đó là 5

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i   z i 4

Khi đó, phương trình trở thành:

   Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z i   z i 4 trên mặt phẳng tọa độ là đường elip 2 2 1.

Bài 12 (Trích đề thi thử THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)

Tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn 2z   1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ

Bài giải: Đặt z   x yi x y ,  ,      z x yi

Do đó, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

2z   1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là đường parabol:

Bài 13 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 2 năm

Cho các số phức thỏa mãn ( z   2 i z )(    2 i ) 25 Biết rằng tập hợp điểm M biểu diễn số phức w2z 2 3ilà đường tròn tâm ( )và bán kính c Tính gía trị của biểu thức

Bài giải: Đặt w   x yi x y ,  ,   và z   a bi a b ,  ,  

    Suy ra, tập hợp điểm M biểu diễn số phức w2z 2 3ilà đường tròn tâm I(2 ; 5) và bán kính 10

Bài 14 Xác định tập hợp điểm M trên mặt phẳng biểu diễn số phức s trong đó

Theo đề ta có: (1  i 3) z    2 (1 i 3)( a bi  ) 2     (2 a b 3) (  a 3  b i ) Điểm biểu diễn M(x,y) có tọa độ

Vậy tập hợp điểm M là hình tròn tâm I(3; 3) bán kính bằng 4.

Dạng toán về phương trình, hệ phương trình ẩn số phức

Nhận dạng: Đây là các dạng toán về phương trình, hệ phương trình ẩn số phức Phương pháp:

- Đối với dạng phương trình bậc nhất thường có hai cách giải:

Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức

Cách 2: Thực hiện các bước sau:

Bước 2: Thay vào phương trình và sử dụng định nghĩa về sự bằng nhau của hai số phức tìm

- Đối với dạng phương trình bậc hai: Sử dụng kiến thức phần phương trình bậc hai của số thực chương 1 để giải

Bài 1 (Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối A)

Gọi là hai nghiệm phức của phương trình Tính giá trị biểu thức A  z 1 2  z 2 2

Phương trình có hai nghiệm phức

Vậy giá trị biểu thức cần tìm là A = 20

Bài 2 (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D)

Giải phương trình z 2 3(1i z)  5i 0 trên trường số phức

Ta có: Phương trình z 2 3(1i z)  5i 0 có biệt thức      2 i  1 i  2

Do đó, nghiệm của phương trình là

Vậy phương trình có nghiệm là

Bài 3 (Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa lần 1- năm 2017-2018)

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình bậc hai z 2  2 z   5 0 trên tập số phức

Ta có: phương trình z 2  2 z   5 0 có biệt thức        1 2 5 4 4 i 2

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là

Bài 4 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-

Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai z 2    z 1 0 trên tập số phức

Ta có: phương trình z 2    z 1 0 có biệt thức       ( 1) 2 4 3 3 i 2

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai là 1 3

Bài 5 (Trích đề thi thử SGD Hà Tĩnh Lần 2 - năm 2017-2018)

Gọi zo là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai z 2   z 10  0 trên tập số phức Tính iz 0

Ta có: phương trình z 2   z 10  0 có biệt thức

Suy ra  có căn bậc hai là 3i

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là z 1   1 3 ;i z 2   1 3 i

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai là z 0   1 3 i

Bài 6 (Trích đề thi thử THPT Chu Văn An-Hà Nội- năm 2017-2018)

Gọi là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z   5 0 Tính giá trị của biểu thức P(z 1 2 )z z 2 2 4 z 1

Ta có: Phương trình z 2  4 z   5 0 có biệt thức  có căn bậc hai là i

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là z 1  2 i z; 2  2 i.

Nhận xét: Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai ta tìm được các nghiệm, sau đó ta thay các nghiệm vào biểu thức ta sẽ tìm đƣợc giá trị biểu thức đó

Bài 7 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình- năm 2017-2018)

Gọi là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z   5 0 , trong đó có phần ảo dương Tìm số phức liên hợp của số phức z 1  2 z 2

Ta có phương trình z 2  2 z   5 0 có biệt thức        1 2 5 4 4i 2

Suy ra   có hai căn bậc hai là 2i

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là z 1   1 2 ;i z 2   1 2i.

Vậy số phức liên hợp của số phức z 1  2 z 2 là

Bài 8 (Trích đề thi thử THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)

Tính tổng các nghiệm phức của phương trình z 3  z 2   2 0.

 Vậy, tổng các nghiệm phức của phương trình z 3 z 2  2 0là:

Bài 9 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1-năm 2017-2018)

Gọi z z 1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 6z 5 0 trong đó z 2 có phần ảo âm Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Ta có: phương trình2z 2 6z 5 0 có biệt thức    3 2 2.5 1 i 2

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là 1 3 2 3

Vậy số phức có phần thực là -6 và phần ảo là -1.

Bài 10 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Điện Biên-lần 3-năm

Cho số phức và hai số Biết và là hai nghiệm phức của phương trình z 2 az b 0 Tìm giá trị của biểu thức T  z 1  z 2

{ ( ) Theo đề ta có: z 1 ; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 az b 0 nên

1  2 3  3 (3 2)   z z m n i a là số thực Suy ra

          z z m i m i m m m i b là số thuần thực Suy ra

Bài 11 Giải hệ phương trình

Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: z 1 2  z 2 2  2 z z 1 2  15 8  i Kết hợp với (1) ta có: z z 1 2  5 5 i

Khi đó ta có hệ phương trình:

Do đó z 1 , z 2 là nghiệm của hệ phương trình

∆ = ( ) Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Bài 12 Tìm căn bậc hai của số phức

Bài giải: Đặt z   a bi a b ,  ,   là căn bậc hai của số phức , tức là:

Vậy số phức i có hai căn bậc hai 2(1 ).

Dạng toán về dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng

Nhận dạng: Thường đặt câu hỏi “ Viết dạng lượng giác của …”

Phương pháp: Sử dụng kiến thức phần dạng lượng giác, các phép toán của dạng lượng giác và ứng dụng, phương trình bậc hai,… để giải bài toán

Bài 1 (Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối B)

Gọi là hai nghiệm phức của phương trình √ Viết dạng lƣợng giác của

Phương trình bậc hai: z 2 2 3iz 4 0có biệt thức ∆ = 4 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm là: z 1  1 i 3 và z 1   1 i 3.

Vậy dạng lƣợng giác của z 1 = 2(cos

Bài 2 (Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối A)

Cho số phức z 1 3i Viết dạng lƣợng giác của Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( )

Vậy dạng lƣợng giác của số phức là 2(cos sin )

  z i và số phức có phần thực là 16( 3 1) ; phần ảo là 16(1 3).

*Nhận xét: Có thể viết dạng lƣợng giác của số phức z 1 3i theo cách khác:

Từ đó suy ra: 2(cos sin ).

Bài 3 : Viết dạng lƣợng giác của số phức 1+i

Từ đó suy ra: 2(cos sin ).

Bài 5: Cho hai số phức z 1   1 3 ; i z 2   i Hãy viết dạng lƣợng giác của số phức z z 1 2

2 cos sin 1 cos sin 2 cos sin

Bài 6: Tìm phần thực phần ảo của

Bài 7: Viết dạng lƣợng giác của các số phức: a) z   1 i ; b) z   1 3 ; i c) z   (1 i )(1  3 ) i

Bài 8: Viết lƣợng giác của số phức 1 cos sin  0 