SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Giáo Dục - Đào Tạo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ THANH NGA SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện NGUYỄN THỊ THANH NGA MSSV: 2117010133 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2017 – 2021 Cán bộ hướng dẫn ThS. CAO TRUNG THẠCH MSCB: …. Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nỗ lực, khóa luận tốt nghiệp đã được hoàn thành. Ngoài sự cố gắng của bản thân, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ cũng như học hỏi được nhiều kinh nghiệm quý từ phía các thầy cô giáo trường Đại học Quảng Nam. Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo ThS. Cao Trung Thạch là người đã giúp đỡ tôi tận tình trong suốt thời gian vừa qua để tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Cuối cùng, tôi xin gửi đến những người thân yêu và bạn bè một lời cảm ơn chân thành vì mọi người đã luôn khích lệ, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng tìm tòi và tiếp nhận những ý kiến đóng góp của thầy giáo hướng dẫn nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung và chỉnh sửa. Kính mong nhận được các lời nhận xét, góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Sử dụng hàm đặc trưng trong giải toán ở trường THPT” là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai. Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về công trình nghiên cứu của riêng mình Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 Người cam đoan Nguyễn Thị Thanh Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................ 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 2 6. Cấu trúc luận văn ..................................................................................................... 2 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................. 3 1.1. Khái niệm hàm số .................................................................................................. 3 1.2. Tính đơn điệu của hàm số ...................................................................................... 3 1.3. Cực trị của hàm số ................................................................................................. 4 1.4. Định lý Lagrange ................................................................................................... 6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ............................................................................................ 7 Chương 2. SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT...................................................................................................... 8 2.1. Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức ....................................... 8 2.1.1. Đề xuất quy trình ............................................................................................... 8 2.1.2. Ví dụ áp dụng..................................................................................................... 8 2.1.3. Sáng tạo đề toán ............................................................................................... 12 2.2. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải phương trình .................................................. 13 2.2.1. Đề xuất quy trình ............................................................................................. 13 2.2.2. Ví dụ áp dụng................................................................................................... 13 2.2.3. Sáng tạo đề toán ............................................................................................... 20 2.3. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình .............................................. 21 2.3.1. Đề xuất quy trình ............................................................................................. 21 2.3.2. Ví dụ áp dụng................................................................................................... 22 2.3.3. Sáng tạo đề toán ............................................................................................... 30 2.4. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải bất phương trình............................................. 32 2.4.1. Đề xuất quy trình ............................................................................................. 32 2.4.2. Ví dụ áp dụng................................................................................................... 32 2.4.3. Sáng tạo đề toán ............................................................................................... 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................................... 39 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 41 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Toán học là môn học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó, mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Kiến thức về bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này. Hiện nay, giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới. Để kịp với xu hướng này, rất nhiều yêu cầu được đặt ra. Một trong số đó chính là làm sao để có được những phương pháp giải toán hay, nhanh mà vẫn cho kết quả chính xác. Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng là phương pháp giải toán đáp ứng được những yêu cầu đó. Trong những năm gần đây, việc sử dụng hàm đặc trưng để giải bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình trong các đề thi đại học, cao đẳng và trong các đề thi học sinh giỏi được sử dụng khá phổ biến. Hàm đặc trưng có thể nói là sáng kiến tuyệt vời để giải toán. Thay vì việc tìm cách biến đổi những bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình khó, phức tạp đã có cách hay hơn cả. Đó là sử dụng hàm đặc trưng để đưa hai vế của bài toán về cùng một “ dạng”. Sau đó, bài toán sẽ được chuyển về dạng vô cùng đơn giản để giải quyết. Đây là một phương pháp toán hay, yêu cầu khả năng tư duy phán đoán của học sinh. Nó giúp cho việc giải bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình không còn đáng sợ nữa. Nó đơn giản hóa biểu thức và đưa về dạng tối giản hơn bao giờ hết. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hàm đặc trưng để giúp người học phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất nhằm rút ngắn thời gian trong quá trình giải toán, đem lại kết quả chính xác cao và tạo hứng thú cho người học nên Tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình là: “Sử dụng hàm đặc trưng trong giải toán ở trường THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vận dụng hiệu quả hàm số trong chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm số, bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình trong chương trình môn toán THPT. + Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu sử dụng hàm số trong chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường THPT. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu + Hệ thống các kết quả quan trọng về hàm số thường được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường THPT; + Sưu tầm, đề xuất các ví dụ đa dạng về chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình mà việc giải chúng liên quan đến tính chất hàm số. 5. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận; + Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu; + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường THPT. 3 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Khái niệm hàm số Cho ,D D   . Một hàm số xác định trên D là một quy tắc f cho tương ứng mỗi số x D với một và duy nhất chỉ một số y   . Ta kí hiệu: :f D    .x y f x Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay miền xác định), x được gọi là biến số,  0 0y f x gọi là giá trị của hàm số tại 0x x . Một hàm số có thể được cho bằng một công thức hay bằng biểu đồ hay bằng bảng. Lưu ý rằng, khi cho một hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta vẫn hiểu tập xác định D là tập hợp các số x   mà các phép toán trong công thức có nghĩa. 1.2. Tính đơn điệu của hàm số  Định nghĩa Hàm số f xác định trên K . Với mọi 1 2,x x thuộc K mà 1x > 2x - Nếu    1 2f x f x thì f tăng trên K . - Nếu    1 2f x f x thì f giảm trên K .  Chú ý: - Hàm số tăng hoặc giảm trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K . - K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng .K - Nếu f tăng trên K thì  '''' 0f x  , với mọi x thuộc K . - Nếu f giảm trên K thì  '''' 0f x  , với mọi x thuộc K .  Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng .K - Nếu  '''' 0f x  với mọi x thuộc K thì f tăng trên K . - Nếu  '''' 0f x  với mọi x thuộc K thì f giảm trên K . Chú ý: Nếu  '''' 0,f x  x K  (hoặc  '''' 0f x  , x K  ) và  '''' 0f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f tăng (hoặc giảm) trên K . 4 1.3. Cực trị của hàm số  Khái niệm cực trị hàm số: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D  D   và 0 .x D + 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa điểm 0x sao cho  ;a b D và    0f x f x với mọi    0; \x a b x . Khi đó  0f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . + 0x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa điểm 0x sao cho  ;a b D và    0f x f x với mọi    0; \x a b x . Khi đó  0f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. Nếu 0x là điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Như vậy, điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D  D   .  Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: - Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm 0x thì   '''' 0 0.f x  - Chú ý: + Đạo hàm '''' f có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm 0x . + Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. + Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.  Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: - Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  ;a b chứa điểm 0x và có đạo hàm trên các khoảng  0;a x và  0 ;x b . Khi đó: + Nếu         '''' 0 0 '''' 0 0 0, ; 0, ; f x x a x f x x x b        thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x . Nói một cách khác, nếu  '''' f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x . 5 x a 0x b  '''' f x    f x  f a  f b  0f x + Nếu         , 0 0 , 0 0 0, ; 0, ; f x x a x f x x x b        thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x . Nói một cách khác, nếu  '''' f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x . x a 0x b  , f x    f x  0f x  f a  f b - Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  ;a b chứa điểm   '''' 0 0, 0x f x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0x . + Nếu   '''''''' 0 0f x  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0x . + Nếu   '''''''' 0 0f x  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0x .  Quy tắc tìm cực trị: - Quy tắc 1 : Áp dụng định lý 2 + Tìm  '''' f x . + Tìm các điểm  1, 2,3...ix i  tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. 6 + Xét dấu của  '''' f x , nếu  '''' f x đổi dấu khi qua điểm 0x thì hàm số có cực trị tại điểm 0x . - Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3 + Tìm  '''' f x . + Tìm các nghiệm  1, 2,3...ix i  của phương trình  '''' 0f x  . + Với mỗi ix tính  '''''''' if x .  Nếu  '''''''' 0if x  thì hàm số đạt cực đại tại điểm ix .  Nếu  '''''''' 0if x  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ix . 1.4. Định lý Lagrange Định lý: Nếu  f x là hàm liên tục trên đoạn  ;a b , khoảng  ;a b thì tồn tại  ;c a b sao cho      '''' . f b f a f c b a    7 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày về khái niệm hàm số, tính đơn điệu của hàm số, điều kiện cần và đủ đề hàm số đơn điệu, cực trị của hàm số, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị và quy tắc tìm cực trị. Từ cơ sở lý thuyết này, ta có thể giải quyết được nhiều phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức bằng hàm đặc trưng. Sử dụng hàm đặc trưng nhằm hình thành cho học sinh có một tư duy sáng tạo và linh hoạt khi giải toán. 8 Chương 2. SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT  Hàm đặc trưng là hàm số đặc trưng cho mỗi bài toán cần giải. 2.1. Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức 2.1.1. Đề xuất quy trình - Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng    f a f b với ,a b I . - Bước 2: Xét hàm số  y f t trên miền xác định D .  Tính '''' y và xét dấu '''' y .  Kết luận hàm số  y f t là hàm số đơn điệu trên D . - Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã được chứng minh. 2.1.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh rằng:    2 3 2 3 . a a ba b a b a a      Phân tích: Đối với bài toán này, ta chỉ cần ln (lôgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức sẽ thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau: Bài giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với:      ln 2 3 ln 2 3a b a b a a a a b         ln 2 3 ln 2 3 . a b a b a a a b a        Xét hàm số đặc trưng    ln 2 3t t f t t   với  0; .t   Bất đẳng thức trên trở thành:    .f a b f a  Mặt khác, ta có    '''' 22 3 2 ln 3 ln : 2 3 2 3 2 3 t t t t t t t t t t f t t            . Do   2 0;1 2 3 t t t   và   3 0;1 2 3 t t t   , suy ra    '''' 0, 0; .f t t    Do đó hàm số  f t nghịch biến trên khoảng  0; . Mà    .a b a f a b f a     9 Vậy    2 3 2 3 a a ba b a b a b      (đpcm). Ví dụ 2: Xét số thực 0.x  Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 . 1 x x x x                Phân tích: Tương tự bài 1, ta chỉ cần ln (lôgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức sẽ thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau: Bài giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với:   1 1 ln 1 1 ln 1 . 1 x x x x                Xét hàm số đặc trưng   1 ln 1 , 0.f t t t t         Ta có    '''' 1 ln 1 ln . 1 f t t t t      Xét hàm số   lng t t với 0t  , do  g t liên tục trên  ; 1t t  và có đạo hàm trên  ; 1t t  nên theo định lý Lagrange tồn tại  ; 1c t t  sao cho:          '''' ''''ln 1 ln 1 1 1 ln 1 ln 0, 0. 1 1 1 t t g c f t t t t t t c t t                  Do đó hàm số  f t đồng biến trên  0; . Mà    1 1 .x x f x f x     Vậy 1 1 1 1 1 1 x x x x                (đpcm). Ví dụ 3: Xét các số thực ,a b thỏa mãn .a b Chứng minh bất đẳng thức:    2 2 2015 1 2015 1 .b a a a b b     Phân tích: Đối với bài toán này, ta chỉ cần ln (lôgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức và chuyển vế sao cho thích hợp sẽ thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau: Bài giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với:    2 2 ln 1 ln 2015 ln 1 ln 2015.a a a b b b       Xét hàm số     2 ln 1 ln 2015, .f t t t t t      10 Ta có   '''' 2 1 ln 2015 1 ln 2015 0, . 1 f t t t          Do đó hàm số  f t nghịch biến trên . Mà    .a b f a f b   Suy ra    2 2 2015 1 2015 1 .b a a a b b     Đẳng thức xảy ra khi .a b Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số dương , ,a b c ta luôn có: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . a b c a b c b c c a a b b c c a a b            Phân tích: Để làm xuất hiện hàm đặc trưng đối với bất đẳng thức trên ta chỉ cần biến đổi một cách đơn giản như sau: Bài giải Với mọi số dương , ,a b c và 0s t  ta chứng minh: . s s s t t t s s s s s s t t t t t t a b c a b c b c c a a b b c c a a b            Thật vậy, xét hàm số   , 0. x x x x x x x x x a b c f x x b c c a a b        Ta có:          '''' 2 2 2 ln ln 0. x x x x x x x x x x x sym c a b f x a b a b a b b c a c          Do đó hàm số  f x đồng biến trên  0;  , mà    0s t f s f t    , hay . s s s t t t s s s s s s t t t t t t a b c a b c b c c a a b b c c a a b            Đẳng thức xảy ra khi .a b c  Do đó (áp dụng với 3, 2s t  ): 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . a b c a b c b c c a a b b c c a a b            Dấu " " xảy ra khi .a b c  Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức  , 0,11 ln ln 4; . 1 1 x yy x y x y x x y               11 Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên ta phải xét hai trường hợp y x và y x sau đó biến đổi ta sẽ thấy xuất hiện hàm đặc trưng cần xét, cụ thể: Bài giải Xét hai trường hợp: + Nếu y x thì    1 ln ln 4 1 1 y x y x y x       ln 4 ln 4 1 1 y x y x y x       . + Nếu y x thì    1 ln ln 4 1 1 y x y x y x       ln 4 ln 4 . 1 1 y x y x y x       Xét hàm đặc trưng    ln 4 , 0,1 . 1 t f t t t t     Ta có           2 '''' 2 11 4 0, 0,1 1 1 t f t t t t t t          suy ra hàm số  f t đồng biến trên   0,1 . Mặt khác  f t liên tục trên  0,1 . Suy ra    f y f x nếu y x và    f y f x nếu y x . Vậy  , 0,11 ln ln 4; 1 1 x yy x y x y x x y               (đpcm). Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi ,a b   , ta có . 1 1 1 a b a b a b a b        Phân tích: Nhìn vào bài toán, ta thấy ngay hàm đặc trưng cần xét là:   . 1 t f t t   Bài giải Xét hàm số   1 t f t t   trên khoảng  0; . Ta có     '''' 2 1 0, 0. 1 f t t t      Do đó hàm số  f t đồng biến trên khoảng  0; . 12 Từ đó suy ra    f a b f a b   với mọi , .a b   (1) Mặt khác: . 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b              (2) Từ (1) và (2) ta có: 1 1 1 a b a b a b a b        (đpcm). BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Chứng minh bất đẳng thức:     . y xx x y y a b a b   2. Chứng minh bất đẳng thức:       sinsin sin , 0; . x xx x x x a b a b x      3. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện 0x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 6 6 6 3.x y y z z x x y z         2.1.3. Sáng tạo đề toán Ví dụ 1: Xét   ln t f t t  có     '''' 2 2 1 ln 1 ln 0 t e f t f t t t       nghịch biến trên  ;e  . Sau đó thay vì chứng minh một bất đẳng thức quen thuộc nào đó, chẳng hạn: .a b (1) Ta sẽ chuyển yêu cầu bài toán qua  f x . (1)    f a f b     ln ln ln ln ln ln .b a b aa b b a a b a b a b a b         Ta được bài toán: Chứng minh bất đẳng thức: , .b a a b a b e    Ví dụ 2: Xét    ln 1 t c f t t   (Với c: hằng số) có           '''' 2 ln 1 ln 1 0 1 t t t t t c c c c f t f t t c        nghịch biến trên  0; . Sau đó thay vì chứng minh một bất đẳng thức quen thuộc nào đó, chẳng hạn: 1 4 1 4 .a b    (2) (2)    1 4 1 4a b f f                ln 1 4 ln 1 4 ln 1 4 ln 1 4 1 4 1 4 a b b a b a a b a b a b             1 4 1 4 1 1 2 2 . 2 2 2 2 b a b aa b a b a b a b                              13 Ta được bài toán: Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 2 2 2 2 b a a b a b               , 0.a b   2.2. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải phương trình 2.2.1. Đề xuất quy trình - Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng:    , ,f u f v u v D  , trong đó    , .u u x v v x  - Bước 2: Xét hàm số  y f t trên miền xác định D .  Tính '''' y và xét dấu '''' y .  Kết luận hàm số  y f t là hàm số đơn điệu trên D . - Bước 3: Kết luận.  Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v .  Giải phương trình u v .  Kết luận nghiệm của phương trình đã cho. 2.2.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Giải phương trình 33 6 5 5 5x x x     .x   Phân tích: Nếu cộng 6 5x  vào 2 vế của phương trình, ta sẽ thấy ngay hàm đặc trưng cần xét. Cụ thể như sau: Bài giải TXĐ: D   . 33 6 5 5 5x x x    3 3 6 5 6 5 .x x x x      (1) Xét hàm số   3 f t t t  với t  . Ta có  '''' 2 3 1 0,f t t t      suy ra hàm số  f t đồng biến trên . Mặt khác  f t là hàm liên tục trên . Do đó phương trình (1)    3 6 5f x f x   14    3 3 2 6 5 6 5 0 1 5 0 1 .1 21 2 x x x x x x x x x                   Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 21 1; 2 S          . Ví dụ 2: Giải phương trình       2 8 2 6 5 0x x x x x       (2). Phân tích: Đối với bài toán này, ta chuyển  6 5x x  qua vế phải của phương trình, sau đó phân tích hai vế ta sẽ thấy hàm đặc trưng xuất hiện, cụ thể như sau: Bài giải Điều kiện: 5.x        2 2 8 2 6 5x x x x         2 2 2 1 2 5 1 5 .x x x x             (2a) Xét hàm số    2 1f t t t  với .t   Ta có  '''' 2 3 1,f t t t     suy ra hàm số đồng biến trên . Mặt khác  f t là hàm liên tục trên . Do đó      2 2 5a f x f x   2 0 5 2 5 1. 4 5 0 x x x x x x             Vậy tập nghiệm của phương trình là:  1 .S  Ví dụ 3: Giải phương trình 3 2 3 23 3 2 2 3 1 3 1 2x x x x x x         .x   Phân tích: Để làm xuất hiện hàm đặc trưng, một cách đơn giản ta chỉ cần chuyển 2 x qua vế phải, chuyển 3x qua vế trái thì sẽ thấy ngay hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau: 15 Bài giải TXĐ: .D   3 2 3 23 3 2 2 3 1 3 1 2x x x x x x        3 3 2 23 3 2 3 2 3 1 1 2.x x x x x x         (3) Xét hàm số   3 1f t t t   liên tục trên . Ta có     '''' 2 3 1 1 0, 3 1 f t t t        suy ra hàm số  f t đồng biến trên . Do đó phương trình (3)    3 2 2 3 1f x x f x     3 2 3 2 2 1 1 2 2 3 1 2 3 1 0 2 2 2 0 . 2 1 5 2 x x x x x x x x x x x                         Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 1 5 ; . 2 2 S          Ví dụ 4: Giải phương trình 2 23 33 3 2 1 2 1 2 .x x x x      (4) Phân tích: Đối với bài toán này, ta để ý thấy biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ, ở vế trái là  2 1 1x x    và vế phải là  2 2 2 1 2 1x x   . Từ đó ta suy nghĩ ngay đến hàm đặc trưng cần xét là:   3 3 1 , .f t t t t      Bài giải Phương trình (4) được viết lại như sau: 2 23 33 3 1 1 1 2 1 2 .x x x x       (4a) Xét hàm số   3 3 1f t t t   liên tục trên . Ta có     '''' 2 2 3 3 1 1 1 1 . . 0 3 31 f t tt     , t   suy ra hàm số  f t đồng biến trên  . Do đó phương trình (4a)     2 1 2f x f x   2 2 1 2 2 1 0 1 . 1 2 x x x x x x               16 Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 ;1 . 2 S        Ví dụ 5: Giải phương trình  3 2 3 4 2 3 2 3 1x x x x x       .x   Phân tích: Nhìn vào bài toán ta thấy vế trái là đa thức có bậc 3, vế phải có bậc 3 2 nên có thể gây khó khăn khi dùng tính đơn điệu của hàm số. Nhưng ở vế phải, nếu ta xem 3 1y x  thì vế phải cũng có thể coi là một đa thức bậc 3 theo y , và khi đó ta sẽ tách biểu thức ở vế phải như sau:       3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1.x x x x x x             Vì vậy, ta sẽ nghĩ đến việc phân tích vế trái được thành dạng:     3 m px u n px u   , trong đó sẽ xác định được ngay 1, 1m n  . Lúc này, ta phải tìm ,p u sao cho     33 2 3 4 2 1. 1.x x x px u px u          3 2 3 2 2 2 3 3 4 2 3 3 .x x x px p u x pu p x u u          Từ đó đồng nhất hệ số, ta cũng có hệ phương trình: 2 2 3 1 3 3 1 . 13 4 2 p p u p upu p u u               Do đó     33 2 3 4 2 1 1 .x x x x x       Bài giải Điều kiện: 1 . 3 x   ()  3 2 3 4 2 3 2 3 1x x x x x            3 3 1 1 3 1 3 1.x x x x        (5) Xét hàm số   3 f t t t  với .t   Ta có  '''' 2 3 1 0,f t t t      suy ra hàm số  f t đồng biến trên . Mặt khác  f t là hàm liên tục trên . Do đó phương trình (5 )    1 3 1f x f x    17   2 2 1 1 0 1 3 1 1 0 03 1 1 1 x x x x x x x xx x x                          0 1 x x      ( thỏa mãn điều kiện ()). Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:  0;1 .S  Ví dụ 6: Giải phương trình 3 2 3 15 78 141 5 2 9x x x x      .x   Phân tích: Hoàn toàn tương tự ví dụ 5, ta cũng sẽ tìm được 5, 1, 5.n m p u    Bài giải TXĐ: .D         333 2 3 3 3 15 78 141 5 2 9 5 5 5 2 9 5 2 9.x x x x x x x x             (6) Xét hàm số   3 5f t t t  với t .  Ta có  '''' 2 3 5 0,f t t t      suy ra hàm số  f t đồng biến trên . Mặt khác  f t là hàm liên tục trên . Do đó phương trình       3 6 5 2 9f x f x         3 3 3 2 2 5 2 9 5 2 9 11 5 15 73 116 0 4 11 29 0 4; . 2 x x x x x x x x x x x                             Vậy tập nghiệm của phương trình là: 11 5 4; . 2 S          Ví dụ 7: Giải phương trình   3 4 1 2 1 0x x x x     (7). Phân tích: Khi gặp phương trình này thì đa số học sinh sẽ đặt ẩn phụ 2 1 0t x   và đưa về giải phương trình với ẩn phụ t là: 6 4 3 2 3 4 2 0t t t t t      . Đến đây thì các em không thể giải tiếp vì phương trình này không rơi vào dạng đặc biệt nào, cũng không nhẩm được nghiệm. Lúc này giáo viên có thể giới thiệu cho học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số ở một dạng hơi khác. Trước hết chưa vội đi vào tìm lời giải cho bài toán mà giáo viên có thể cho học sinh tiếp cận các bài toán dạng này ở góc độ người ra đề. Chẳng hạn, xét hàm   3 f x x trên  . Ta có  '''' 2 3 0,f x x x     18 hàm số f đồng biến trên  . Do đó    f u f v u v   . Bây giờ cho 2u x , 1v x  và biến đổi ta được phương trình   2 8 1 1x x x x    () là phương trình tương đương với phương trình 2 1x x  nhưng phức tạp hơn rất nhiều. Tất nhiên người ra đề sẽ không yêu cầu giải phương trình 2 1x x  (vì phương trình này quá dễ) mà sẽ yêu cầu giải phương trình (). Như vậy vấn đề mấu chốt để giải được phương trình () chính là phát hiện ra hàm   3 ,f x x công việc này gần như đi ngược lại với quá trình suy nghĩ của người ra đề, cho nên nếu phương trình có một biểu thức phức tạp rất có thể đó là biểu thức u hoặc v ; nếu phương trình chứa hai biểu thức phức tạp thì có thể một biểu thức là u , biểu thức còn lại chính là v . Quay trở lại bài toán, thoạt nhìn thì rất khó có thể phát hiện ra hàm cần xét nhưng nếu đặt 2 1 2 1 0 2 y y x x       , phương trình trở thành: 2 3 1 4 1 0 2 y x x y               33 3 3 8 2 2 2x x y y x x y y        . Từ đó có ngay hàm cần xét là   3 ,f t t t t    . Bài giải Điều kiện: 1 2 x   . Khi đó       3 3 7 2 2 2 1 2 1x x x x      . Xét hàm số   3 f t t t  với t   . Ta có:   2 '''' 3 1 0,f t t t      suy ra hàm số  f t đồng biến trên  . Do đó:       2 2 0 1 5 7 2 2 1 2 2 1 . 44 2 1 x f x f x x x x x x              Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 4 S          . Ví dụ 8: Giải phương trình    2 2 2 3 4 12 11 3 9 2 5 3 0 8x x x x x x         .x   19 Phân tích: Vì phương trình này chứa hai biểu thức có căn, nên đầu tiên ta sẽ nghĩ đến việc chuyển mỗi căn ở một vế của phương trình, do đó phương trình (8) có thể viết lại như sau:     2 2 8 2 3 4 12 11 5 3 3 9 2.x x x x x x         Ở biểu thức trong căn ở vế trái phương trình ta có thể viết lại như sau:   2 2 4 12 11 2 3 2.x x x     Ở vế phải của phương trình ta có thể viết lại như sau:     2 2 3 9 2 3 3 2.x x x x      Vậy còn lại số hạng 5 3x  ta cũng có thể biễu diễn được qu...

Tiêu đề	Sử Dụng Hàm Đặc Trưng Trong Giải Toán Ở Trường Trung Học Phổ Thông
Tác giả	Nguyễn Thị Thanh Nga
Người hướng dẫn	ThS. Cao Trung Thạch
Trường học	Trường Đại Học Quảng Nam
Chuyên ngành	Sư Phạm Toán
Thể loại	Khóa Luận Tốt Nghiệp Đại Học
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Quảng Nam

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	624,72 KB