Chuoi so chuoi ham

Tài liệu này giúp người đọc hiểu về chuỗi số, chuỗi hàm một cách chi tết và bài bản 4.1. Chuỗi số 4.1.1. Khái niệm • Cho dãy số vô hạn {an} = {a0, a1, · · · , an, · · · }, với n ≥ 0. Biểu thức a0 + a1 + · · · + an + · · · = X +∞ n=0 an, (∗) được gọi là một chuỗi số. Khi đó, a0, a1, · · · , an, · · · được gọi là các số hạng của chuỗi (∗) và số hạng an, với số tự nhiên n bất kỳ, được gọi là số hạng tổng quát hoặc số hạng thứ n

n

• Nếu khi n → ∞, mà Sn → S, với S hữu hạn thì ta nói chuỗi (∗) hội tụ Khi

đó S được gọi là tổng của chuỗi (∗), và ta viết S =

+∞

X

n=0

an

Ngược lại, nếu Sn → ±∞ hoặc không tồn tại lim

n→∞ Sn thì ta nói chuỗi (∗) phân

kỳ hoặc không hội tụ Trong trường hợp Sn → ±∞, ta vẫn viết

b) Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ?

Chú ý:Tổng các số hạng của cấp số nhân như sau: Cho cấp số nhân {bn} vớicông bội q 6= 1 Khi đó bn = qn−1b1 và

b1 + b2 + · · · + bn = b1 − bn+1

1 − q =

b1(1 − qn)

1 − q .

VD 2 Cho hàm số f (x) xác định trên R Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau

∞

X

n=0

[f (n) − f (n + 1)]

Giải: Với mỗi n, ta có

Nếu lim

n→+∞ f (n) = A với A hữu hạn thì lim

n→+∞Sn = f (0) − A và chuỗi hội tụ vàtổng bằng f (0) − A

Nếu lim

n→+∞ f (n) hoặc bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì chuỗi số phân kỳ

7

c.an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chú ý: Với một chuỗi số, ta có thể bắt đầu chỉ số n từ số tự nhiên n0 nào

đó miễn sao các số hạng an xác định với mọi n ≥ n0

d) Nếu thay đổi một số hữu hạn các số hạng đầu tiên của chuỗi số thìtính chất hội tụ hoặc phân kỳ là không thay đổi

9

Chú ý: Khi thực hành tiêu chuẩn phân kỳ, ta thực hiện như sau:

ĐIỀU KIỆN CẦN

13

(−1)n.2n + 3

n + 3

15

Ån + 3

n + 2

ãn

> 0 Do đó chuỗi số phân kỳ

BT 1 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

4.1.3 Chuỗi số dương và một số tiêu chuẩn khảo sát hội tụ

• Chuỗi số có tất cả các số hạng đều dương được gọi là một chuỗi số dương

• Cho chuỗi số dương

Chuỗi đặc biệt: Cho số thực a 6= 0 và hai số thực p, q.

a) Chuỗi Riemann mở rộng là chuỗi số có dạng

Tiêu chuẩn so sánh 1:Cho hai chuỗi số dương

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN

VD 7 Dựa vào kết quả về chuỗi số Rieman và chuỗi số

+∞

X

n=1

a.qn, khảo sát sự hội

tụ của chuỗi số dương

a.qn, khảo sát sự hội

tụ của chuỗi số dương

+∞

X

n=1

n + 1n.3n

BT 2 Dựa vào kết quả về chuỗi số Rieman và chuỗi số

+∞

X

n=1

a.qn, khảo sát sự hội

tụ của chuỗi số dương

+∞

X

n=1

2n + 3nn.(3n + 1).

Hướng dẫn: Sử dụng đánh giá 2

n + 3nn.(3n + 1) >

3n + 1n.(3n + 1) =

1

n, với mọi n ≥ 1.

23

Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho hai chuỗi số dương

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN

VD 9 Cho chuối số dương

ã.b) Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ?

25

VD 10 Cho chuối số dương

+∞

X

n=1

12.3n + 5.

3n2.3n =

1

2.b) Ta thấy hai chuỗi số dương

+∞

X

n=1

12.3n + 5 và

2 > 0 Suy ra hai chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

27

Khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của chuỗi số dương

Khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của chuỗi số dương

CHÚ Ý VỀ ÁP DỤNG TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2

29

VD 11 Khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

31

VD 13 Khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

Xét 0 < a < 1, ta có lim

n→+∞

lnp(n+1)

n21

BT 3 Khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của các chuỗi số sau:

Tiêu chuẩn D’Alembert:Cho chuỗi số dương

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN

VD 16 Sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert, khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

n + 23(n + 3) =

1

3 < 1.

Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số hội tụ

VD 17 Sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert, khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

Tiêu chuẩn Cauchy:Cho chuỗi số dương

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN

VD 18 Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi số phân kỳ.

VD 19 Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của

Số hạng tổng quát là bn =

Å n + 13n + 1

1

3 < 1.

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi số hội tụ

43

Tiêu chuẩn tích phân Cauchy:Cho hàm số liên tục f : [1, +∞) → (0, +∞)thỏa mãn các điều kiện sau:

a) lim

x→+∞f (x) = 0;

b) f (x) đơn điệu giảm

Khi đó, chuỗi số dương

MỘT VÀI TIÊU CHUẨN

VD 20 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

xp dx hội tụ khi p > 1; phân kỳ khi p ≤ 1.

Theo tiêu chuẩn tích phân Cauchy,

4.1.3.Chuỗi số mang dấu bất kỳ

sin n

n2

(−1)n

n3

≤ 1

n3, với mọi n ≥ 1.

d) Sử dụng đánh giá

(−1)n cos 2n

n2

≤ 1

n2, với mọi n ≥ 1

51

• Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng

Cách nhận biết: Số hạng tổng quát của chuỗi số có dạng ±(−1)n.an, với an ≥

{an} đơn điệu giảm và thỏa mãn lim

n→∞ an = 0 thì chuỗi số đan dấu hội tụ

và có tổng S thỏa mãn |S| ≤ a1

Nếu chuỗi số đan dấu ±

Ta thấy chuỗi số là chuỗi số đan dấu

Đặt bn =