Bài giảng giải tích 1 phần 2 pgs ts nguyễn xuân thảo

Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 8 §3.. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9

Trang 1

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI

BÀI 8

§3 Phương trình vi phân cấp hai

 Đặt vấn đề Bài trước đã học xong phương trình vi phân cấp một và có ứng dụng thú vị sau:

 Phương trình logistic được đưa ra (vào khoảng năm 1840) bởi nhà toán học và nhân chủng học người Bỉ P.F Verhulst và nó trở thành một mô hình cho sự tăng trưởng dân số

 Trong ví dụ sau đây chúng ta so sánh mô hình tăng trưởng tự nhiên và mô hình logistic cho dữ liệu điều tra dân số ở Mỹ vào thế kỷ 19, sau đó đưa ra dự án so sánh cho thế kỷ 20

Ví dụ Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu Nếu lấy P0 = 5,308

 Thế các dữ liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) và t = 100, P = 76212 (với thời điểm 1900) vào phương trình logistic dP kP M P

Sai số dạng mũ

Mô hình logistic Sai số logistic

5.308 6.929 9.044 11.805 15.409 20.113 26.253 34.268 44.730 58.387 76.212 99.479 129.849 169.492 221.237 288.780 376.943 492.023 642.236 838.308 1094.240

0.000 0.311 0.594 1.056 1.655 3.079 5.190 4.290 5.459 4.593 0.000 -7.251 -23.827 -46.289 -89.072 -137.454 -197.620 -288.721 -415.694 -589.598 -812.818

5.308 7.202 9.735 13.095 17.501 23.192 30.405 39.326 50.034 62.435 76.213 90.834 105.612 119.834 132.886 144.354 154.052 161.990 168.316 173.252 177.038

0.000 0.038 -0.097 -0.234 -0.437 0.000 1.038 -0.768 0.155 0.545 -0.001 1.394 0.410 3.369 -0.721 6.972 25.271 41.312 58.226 76.458 104.384

Trang 2

Hình 1.7.4 So sánh kết quả của mô hình dạng mũ và mô hình logistic

với dân số thực của nước Mỹ (tính theo triệu)

 Những dự đoán theo mô hình dạng mũ P t( )(5,308)e(0,026643)t và theo mô hình dạng logistic (2) đối chiếu với kết quả thống kê dân số thực của Mỹ, ta thấy

 Cả 2 mô hình đều cho kết quả tốt trong giai đoạn thế kỉ 19

 Mô hình dạng mũ cho số liệu phân kỳ ngay từ thập niên đầu tiên của thế kỉ 20, trong khi mô hình logistic có kết quả tương đối tốt cho tới tận những năm 1940

 Đến cuối thế kỉ 20 mô hình dạng mũ cho kết quả vượt quá xa dân số thực của

Mỹ, còn mô hình logistic lại cho số liệu dự đoán thấp hơn số liệu thực

 Sai số trung bình để đo mức độ cho phép của mô hình hợp lí với dữ liệu thực tế:

là căn bậc hai của trung bình các bình phương của các sai số thành phần

 Từ bảng 1.7.4 trên được: mô hình dạng mũ có sai số trung bình là 3.162, còn mô hình logistic có sai số trung bình là 0.452 Do đó mô hình logistic dự đoán tốc độ tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt thế kỷ 20 tốt hơn mô hình dạng mũ

 Về mặt hình học: Định lí trên khẳng định nếu (x0,y0,y0 ) D  trong U x ( 0,y0)

có đường tích phân duy nhất của phương trình (2) đi qua (x0,y0) và hệ số góc của tiếp tuyến của nó tại điểm này bằng y0

Định nghĩa Hàm y (( ,x C C1, 2) là nghiệm tổng quát của (2) 

Hàm ( ,x c10,c20) được gọi là nghiệm riêng

Định nghĩa Hệ thức ( , ,x y c c1, 2)0 xác định nghiệm tổng quát của (2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát Hệ thức ( , ,x y c10,c20) được gọi là tích phân riêng

 Một số ứng dụng

 Là mô hình toán học của những hệ cơ học và mạch điện : LIRI 1I  E t( ),

C

Trang 3

ở đó E(t) là điện áp (nguồn điện)

 Phương trình mô tả dao động tự do của chất điểm   

chất điểm có khối lượng m, các hằng số dương k c,

 Phương trình mô tả dao động cưỡng bức của chất điểm bởi tác động của ngoại lực

 Bài toán vận tốc vũ trụ cấp hai :     

Trang 4

x C

Trang 5

1

4

x c c c

Trang 6

v

kM c r

 Từ v(0)0 có v R( )v0   

2 0 12

2

6,68.10

m k

kg s , 

563.10

y

x)

b K51) 1 2yyy2 1,y 1 1,y 1 1 (  

2 12

Trang 7

Trang 8

BÀI 9

§3 Phương trình vi phân cấp hai (TT)

 Đặt vấn đề Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình

k là hệ số co dãn của lò xo; c là hệ số giảm xóc; m là khối lượng vật thể

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

a) Định nghĩa y  p x y( )   q x y( )  f x( ) (1)

b) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y p x y( )   q x y( )  0 (2)

Định lí 1 y1, y2 là các nghiệm của (2)  c y1 1  c y2 2 cũng là nghiệm của (2),

Chú ý Nếu W y( ,1 y2)  0 tại x0 nào đó thuộc a b;   độc lập tuyến tính

Định lí 3 Cho y1, y2 là các nghiệm của (2), W y( ,1 y2)  0 tại x0 a b; , các hàm p x( ), ( )q x liên tục trên a b;   W y( ,1 y2)  0, x a ; b

Định lí 4 Các nghiệm y1, y2 của (2) độc lập tuyến tính trên a b; 

Trang 9

Hệ quả Với giả thiết của định lí 6, nghiệm y2 tìm được theo công thức sau

e) y  2(1 tan2 x y)  0 (y  C1tanx C2(1 x tan )x )

f (K60) (x2  2 )x y  2(1 x y)   2y  0, biết y1  x  1 là nghiệm riêng

y là nghiệm của phương trình y  p x y( )   q x y( )  f x2( )

Thì có y  y1  y2 là nghiệm của phương trình y  p x y( )   q x y( )  f x1( )  f x2( )

Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

 Biết nghiệm tổng quát của (2) là y  c y1 1  c y2 2

C y C y

C y C y f x có C1  1( )x  K1, C2  2( )x  K2

 Nghiệm tổng quát của (1) là y  y1( ( )1 x  K1)  y2(2( )x  K2)

Nhận xét Phương pháp này cho ta cách tìm NTQ của (1), khi biết NTQ của (2)

Trang 10

12

2

C

x C

Trang 11

3) x y2   4xy  (x2  2)y  e x bằng cách đổi hàm số

2

z y x

k (K60) CMR mọi nghiệm của y  y  sin2016 x tuần hoàn trên 

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

Trang 12

BÀI 10

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

a) Phương trình thuần nhất ypyqy  0 (2)

Cách giải

 Giải phương trình đặc trưng k2 pk q 0 (3)

 (3) có hai nghiệm thực k1  k2  (2) có nghiệm tổng quát  1  2

 Nếu  là nghiệm đơn của (3)  nghiệm riêng của (1) có dạng Y  xe Q x  x n( )

 Nếu  là nghiệm kép của (3)  nghiệm riêng của (1) có dạng Y  x e2  x Q x n( )

Trang 13

2/ Khi f x( )P m( )cosx  x Q x n( )sin x

 Nếu i  không là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng của (1) có dạng

Giải  k2  1 0  k  i  y c1cosx c2sinx

 i  là nghiệm của phương trình đặc trưng  nghiệm riêng có dạng

Trang 14

A B C D

Giải  k2 9 0  k  3i  y C1cos 3x C2sin3x

 Y  Acos 2x Bsin 2x  Y  4 cos 2A x 4 sin 2B x

 5 cos 2A x5 sin 2B x cos 2x   1

Trang 15

3/ ( ) bất kì dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

4/ Vế phải là tổng của 1/ (hoặc 2/) và bất kỳ

Trang 16

(  1cos  2sin  3 ( 1)2 cos ln tan

I (K60) y4y3y 6 cos 2x 17 sin 2x (C e1 3x C e2 x 2cos 2x sin2x.)

Trang 17

BÀI 11

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

c) Phương trình Euler x y2 axyby 0, a b,  

2

d y dy

x y

dt dt

vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Ví dụ 1 Giải phương trình vi phân

2

d y dy

x y

dt dt

Trang 18

2

12

1/ Ví dụ 1 Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong

Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài ( ) bên phải

khối lượng m2 Ta kí hiệu x t( ) là hàm vị trí (sang phải) của

khối lượng m1 từ trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và

cân bằng với f t( ) 0) và y t( ) là vị trí của khối lượng m2 từ

2/ Ví dụ 2 Xét hai thùng nước muối được nối với nhau

như trong Hình 2 Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong

100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa y t( ) pounds

muối trong 200 gallon (gal = 4,54 lit ở Anh và = 3,78 lít ở

Mỹ) nước biển Nước biển trong mỗi thùng được giữ

nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang

thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2 Thêm nữa nước

nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và

nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút

I (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở R 2

Dòng điện chạy qua điện trở R là 1 I I1I theo 2

Trang 19

Trang 20

2

C y

Trang 21

Trang 22

Trang 23

BÀI 12 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE

§1 Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược

 Phép biến đổi Laplace

 Tính chất của phép biến đổi Laplace

 Phép biến đổi Laplace ngược

 Phép biến đổi Laplace: L f t  s  F s  biến phương trình vi phân với ẩn hàm

k k k

n n

k n

 Giải một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số

2 Phép biến đổi Laplace

Trang 24

3 Tính chất của phép biến đổi Laplace

Định lý 1 Tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace

b st

Trang 25

Trang 26

4 Phép biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa Nếu F s L f t  s thì ta gọi f t  là biến đổi Laplace ngược của



54

t

e s

Trang 27

Nhận xét Phép biến đổi ngược Laplace có tính chất tuyến tính

Thật vậy, ta có

+)  F  G L  f  L  g L  f   g

+) L L 1 F L 1 G 

+) Từ đó và từ định nghĩa có L 1 F  GL 1 F L 1 G

Định nghĩa Hàm số f t  được gọi là liên tục từng khúc trên a; bnếu như

 f t  liên tục trên mỗi khoảng nhỏ (ở đó a; b được chia thành hữu hạn khoảng nhỏ)

 f t  có giới hạn hữu hạn khi t tiến tới hai điểm biên của mỗi đoạn này

Hình 4.1.3 Đồ thị của hàm liên tục từng khúc

Các dấu chấm chỉ ra các giá trị mà hàm số gián đoạn

Hình 4.1.4 Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang

Định nghĩa Hàm f được gọi là bậc mũ khi t   nếu tồn tại các hằng số không

âm M c T, , sao cho f t  Me ct, t T

Định lý 2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace

Nếu hàm f liên tục từng khúc với t  0 và là bậc mũ khi t   thì tồn tại

 

f t  s , s c

Trang 28

Chứng minh +) Từ giả thiết f là bậc mũ khi t    f t  Me ct,  t 0

 Một hàm hữu tỉ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) là ảnh của phép biến đổi Laplace

 Định lí 2 không là điều kiện cần, ví dụ:

1 2

12

t

s s

Định lý 3 Sự duy nhất của biến đổi Laplace nghịch đảo

Giả sử rằng các hàm f t ,g t  thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 để tồn tại

     

F s L f t s , G s L g t  s Nếu F s G s ,  s c thì có f t  g t tại t mà cả hai hàm liên tục

Ví dụ 9 Dùng bảng tính biến đổi Laplace của các hàm số sau

a) f t( ) cos2t b) f t( )sin 2 cos 3t t c) f t( )cosh 32 t

1( )

F s

s s (f t( ) 1 cost)

Chú ý

 Hai hàm liên tục từng khúc, là bậc mũ và bằng nhau qua phép biến đổi Laplace chỉ

có thể khác nhau tại những điểm gián đoạn cô lập Điều này không quan trọng trong hầu hết các ứng dụng thực tế

 Phép biến đổi Laplace có một lịch sử khá thú vị: Xuất hiện đầu tiên trong nghiên cứu của Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người đã dùng

Trang 29

tích phân trong lý thuyết xác xuất của mình, nhưng việc vận dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân lại không thuộc về Laplace mà thuộc

về kĩ sư người Anh Oliver Heaviside (1850-1925)

Trang 30

BÀI 13

§2 Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu

 Phép biến đổi của đạo hàm

 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

 Những kĩ thuật biến đổi bổ sung

1 Đặt vấn đề

 Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

( ) ( ) ( ) ( )

ax t bx t cx t f t

với điều kiện x 0  x0, x 0  x0

 So sánh với các phương pháp giải đã học

 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính

2 Phép biến đổi của đạo hàm

Định lý 1 Cho f t  liên tục và trơn từng khúc với t  0 và là bậc mũ khi t   

(tức tồn tại hằng số không âm c M, và T thoả mãn:

Định nghĩa Hàm f được gọi là trơn từng khúc trên a; b  nó khả vi trên a; b

trừ ra hữu hạn điểm và f t  liên tục từng khúc trên a; b

3 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Hệ quả Phép biến đổi của đạo hàm bậc cao

Giả sử rằng các hàm số f f, , ,fn1 liên tục và trơn từng khúc với t  0 và là bậc

mũ khi t   Khi đó tồn tại L f n  t  với s c và có

Trang 31

!, 1,2,3,

Hình 4 2 4 Sử dụng biến đổi Laplace để giải một phương trình vi phân

thỏa mãn điều kiện ban đầu

Ví dụ 2 Giải phương trình

a) xx6x 0 với điều kiện x 0  2,x 0  1

 Ta có: L x t sX s  2

 L x t s X x2  sx 0 x 0 s X s2  2s 1

Trang 32

 Thay vào phương trình đã cho có

là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Ví dụ 3 Giải bài toán giá trị ban đầu

a) x4x  sin3 ,t x 0  x 0 0

Bài toán này gắn liền với quá trình chuyển động của một hệ vật – lò xo với tác động của lực bên ngoài)

Hình 4 2 2 Hệ vật – lò xo thỏa mãn bài toán điều kiện đầu trong Ví dụ 2

Điều kiện đầu của vật là vị trí cân bằng của nó

 Từ điều kiện ban đầu có: L x t s X s2  sx 0  x 0 s X s2  

 Từ bảng 4.1.2 có  



3sin3

3

t s

Trang 33

Nhận xét Như vậy phương pháp biến đổi Laplace cho lời giải trực tiếp tìm nghiệm

của bài toán giá trị ban đầu mà không cần phân biệt đó là phương trình vi phân thuần nhất hay là không thuần nhất

4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

 Phép biến đổi Laplace có khả năng biến đổi hệ phương trình vi phân tuyến tính thành một hệ phương trình đại số tuyến tính

Ví dụ 4 a) Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính     

với điều kiện ban đầu x 0  x 0  y 0  y 0 0

 Đây là bài toán giá trị ban đầu xác định hàm dịch chuyển x t  và y t  của hệ hai vật thể được chỉ ra trong Hình 4.2.5, giả sử rằng lực f t  40 sin 3t là tác động bất ngờ tới vật thể thứ hai tại thời điểm t = 0 khi cả hai vật thể đang ở trạng thái tĩnh tại

vị trí cân bằng của chúng

Hình 4 2 5 Hệ vật thể thỏa mãn điều kiện đầu trong Ví dụ 3

Cả hai vật thể đang ở vị trí cân bằng

 Từ điều kiện ban đầu có L x t s X s2  s x 0 x 0 s X s2  

 Tương tự L y t s Y s2  

 Do  

2

3sin 3

9

t s

L , thay vào hệ phương trình có hệ phương trình sau:

1209

2

1202

9

s s

Tiêu đề	Phương Trình Vi Phân Cấp Hai
Tác giả	PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Trường học	Hust
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	5,83 MB