Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
1,15 MB
Nội dung
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi với số hạng có dấu 12 Bài Chuỗi hàm số .17 Bài Chuỗi luỹ thừa 22 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 31 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp .38 Bài Phương trình vi phân cấp 49 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 61 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 68 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số .72 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 77 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 83 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 90 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản .97 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 103 Tài liệu tham khảo 113 Đề thi kỳ cuối kỳ …………………………………… 114 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi n an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi an phân kỳ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q , q 1 n 1 q Phân kỳ q lim Sn qn 1 q , q n 0 Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1 n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n2 n 1 Sn 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 Nhận xét: an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) an hội tụ nlim n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an khơng tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n n 1 lim Ví dụ 1 n 1 1 n 1 1 n Có lim 1 n 1 n =2k,k n =2k+1 Không tồn lim 1 n n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n 36 n n 1 (ĐS: 1) Ví dụ a (K50) n 1 n n 1 n (PK) b (K60) Tính chất Giả sử n (PK) an S1, bn S2, n 1 n n n 1 n 1 ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương Định nghĩa Các định lí so sánh Định nghĩa: an , an n 1 Nhận xét an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở bn hội tụ an n 1 hội tụ n 1 an phân kỳ bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ Ví dụ 3n n 2 n 1 Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n 3n 3n ln n 1 n ln n phân kỳ n n 2 0 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ ln n phân kỳ n 2 a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn an bn hội tụ n 1 phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ an bn : n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ n 1 n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 n2 2n3 n 1 Chuỗi dương n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 1 2n hội tụ n 1 n2 2n3 hội tụ n 1 Ví dụ np , p0 n 1 1 Khi p có n n p , n n p phân kỳ nên n n 1 np phân kỳ n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 2p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn p 2p 1 m 1 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn bn hội tụ n 1 hội tụ n 1 n Ví dụ ln 1 a(K49) 1) n 1 n2 (PK) 2) n 2 b(50) 1) n sin n 1 c(K51) 1) d(K52) 1) n (HT) 2) n 1 3) (PK) (HT) (PK) n 1 2) n e (PK) 1 n sin n n 1 (PK) n 2 n 2 n 1 n n 1 n 2) n n 1 (PK); n cos n n 1 n n 1 n 2 sin n 1 sin n7 2n3 (HT) n 1 e(K54) Xét hội tụ 1) ln n n5 (HT) 2) n 1 3) n ln 1 arctan2 n 1 n3 1 n 1 arcsin ln n n (PK) (HT) f(K56) Xét hội tụ 1) n ln n n 1 (PK) 2) n 1 ln n 1 n (HT) 3) sin n n n 1 (HT) g(K58) Xét hội tụ : 1) n 1 ln n 1 (HT) ( n 1) h(K60) Xét hội tụ n3 1) ln n2 n 1 (PK) 2) ( n e 1) n 1 (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert a lim n 1 l n an Khi l an hội tụ n 1 Khi l an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a l , chọn > đủ bé để l + < n 1 < l + , n n0 n an an an 1 a a n n Mặt khác có an n n 1 an0 l an 0, n an 1 an an0 l < 1: Từ lim Do lim an l n an 1 a l , chọn đủ bé để l > n 1 l an + > an n an an l > 1: Từ lim phân kì Nhận xét Khi l = khơng có kết luận Ví dụ 1 n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1 lim : lim lim 0 1 n an n n 1 ! n ! n n 1 ! n n an n ! hội tụ n 1 3n Ví dụ n! n 1 3n an 0 n! an 1 3n 1 3n : an n 1! n ! n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 01 n an Chuỗi cho hội tụ lim Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi an 1.3.5 2n 1 1.3 1.3.5 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 1.3.5 2n 1 0 2.5.8 3n 1 an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n : an 2.5.8 3n 1 3n 2.5.8 3n 1 3n an 1 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim a(K49) 1) n n 1 3) n !3n n 7n n ! n 1 (PK) 2) c(K52) 3n 2n n 1 n 1 e(K60) n 1 2) 22n 1 n n 1 ln n 4) 2n !! n 1 2n 3n 2 d(K54) 1) (PK) (HT) nn n !3n nn ( n !)2 2n ! nn (HT) (HT) (HT) (PK) 2) n 1 (HT) b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an l n Nếu l (HT) 2n 1!! n 1 n (HT) n 2n 32n 1 b(K51) 1) n n 1 ln n 3) n n 1 n !2n an hội tụ n 1 n ! n nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an Nếu l phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, khơng có kết luận 2n Ví dụ 3n n 1 n 2n an 0, n lim n an n Chuỗi cho hội tụ na n 2n 3n n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì n n 1 n2 (PK) 2n ln n Ví dụ 3n n a(K49) 1) n cos n n 1 n 1 (HT) n n 5n n n 1 n 2 b(K52) 1) n n 1 nn 4 c(K54 ) n3 2) n n 1 nn 4 (HT) (PK) n n 5n n 1 n n 1 n2 n d(K60) 1) n 2 n 1 (HT) n2 n 1 2) 2n n 2 n 1 n2 (HT) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay khơng giữa: b f ( x ) dx f ( x ) dx blim a a k an klim an n 1 n n 1 n Hình 14.4 f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx , (HT) (HT) n2 n ln n 3) 2n n 2) n sin n n 1 (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nếu f(x) hàm liên tục, dương giảm với x lim f ( x ) , f(n) = an, x an f ( x ) dx hội tụ phân kỳ n 1 Ví dụ n ln n n 2 f (x) dương, giảm với x có lim f ( x ) x x ln x b b f ( x ) dx lim d ln x ln x b lim ln ln x lim ln ln b ln ln2 b n f ( x ) dx phân kỳ n ln n phân kỳ n 2 Tổng quát xét n ln n p hội tụ p > n 2 Ví dụ Chứng minh rằng: 1 ln2 1 1 1 1 1 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2n 2n 2n n 2 S2n 1 ln2n o(1) ln n o(1), voi lim ln n n n ln2 o(1) ln n Mặt khác ta có S2n 1 S2n , lim S lim S2n ln 2n n 2n 1 n 1 1n 1 ln2 n 1 1 ln2 Ví dụ 11 Xét hội tụ phân kì chuỗi số sau Ví dụ 10 Tương tự nhận 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n 1) n 1 n ln a(K51) b (K52) Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln n 3n (HT); 2) c(K60) (HT) n 1 (HT) n 2 1) n ln n n 2 ln 1 n n 2 (PK); 2) n ln2 n n 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 11 (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi số với số hạng có dấu Chuỗi với số hạng có dấu Chuỗi đan dấu Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối Đặt vấn đề Chuỗi với số hạng có dấu Định nghĩa: an gọi hội tụ tuyệt đối an n 1 hội tụ Chuỗi n 1 gọi bán hội tụ an an n 1 phân kì n 1 Định lý an hội tụ n 1 an hội tụ n 1 an hội tụ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tuyệt đối chuỗi số sau a) n n 1 n 1 c) n n sin ; b) 3 n n 1 (HTTĐ) d) n 1 e (K60) 1) (1)n n 1 3) ( 1)n c os n 2 5) n sin n n n 1 (HTTĐ) 2) 4) n n (PK) 2n sin( n5 1) (HTTĐ) n 1 n 2 (HTTĐ) (1)n n 2 (PK) cos( n3 1) sin n n sin n2 (HTTĐ) n 1 n 2 Hướng dẫn a) n n 1 n 1 n n +) n hội tụ n 1 2n +) a +) lim n 1 n an b) +) Xét n 2n n 1 n2 n ( 1) n 1 n 2n hội tụ sin n2 n 1 12 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn lim sin(2n 1) lim sin(2n 3) +) sin n +) Khơng có lim sin n n n lim cos(2n 1) n n Thật vậy, phản chứng có lim sin n lim sin2 (2n 1) cos2 (2n 1) (vơ lí) n n +) sin n2 phân kì n 1 Nhận xét 1/ Nếu an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert Cauchy n 1 an phân n 1 kì 2/ an an phân kì (đúng hay sai?) phân kì n 1 n 1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa 1 n 1 an , an gọi chuỗi đan dấu n 1 Chú ý 1 n an , an gọi chuỗi đan dấu n 1 Định lí Leibnitz Dãy an 1 n 1 giảm, an , lim an n 1 n 1 an hội tụ có n 1 an a1 n 1 Chứng minh: +) n 2m : Có S2m a1 a2 a3 a4 a2m 1 a2m S2m tăng S2m a1 a2 a3 a4 a5 a2m a2m 1 a2m a1 Từ lim S2m S có S a1 m +) n 2m 1: S2m 1 S2m a2m 1 Do lim a2m 1 lim S2m 1 S m m Định lí chứng minh Ví dụ Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ chuỗi số sau 13 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 1n 1 a) 2n n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 (Bán HT) (HTTĐ) 1n 1 3.5.7 2n (HTTĐ) e) 2.5.8 3n 1 n 1 f) 1 n 1 n 1 1.4.7 3n 7.9.11 2n g) 1n 1 tan n n n 1 k(K52) 1) n 1 (HTTĐ) n 1 sin 2n 1 i (K50) 1) (PK) n 2n n 1 n 1 n 1 1n 1 ln ln n n n 1 2) (HTTĐ) (HT) n 2 n (HT) n (HT) 3) 2n n n n n( 11) 1) n (PK) 2) n2 n 1 n 1 4) 1 1 (HT) n n 1 (Bán HT) (1)n n 1 (1) 1n 1 ln ln n n n 1 (PK) n 1 ln n l (K 55) Xét hội tụ 1) n 1n 1 ln n 4) n n 1 (Bán HT) m (K57) 1) n ln n 2n 1 (PK) 1n n 2) n 2 n 1 1 n n 1 n n n 1 2) n 1 , (HTTĐ) 2) (PK) (PK) n2 1n 1 h) n! n 1 3) (Bán HT) n 1n 1 n d) 6n n 1 n 1 n 1 n 1 2n 13 c) b) 1n 1 n 1 2 n2 (PK) 1.3.5 (2n 1) 3.5.8 (3n 1) n (K60) n 1) (1) ( n n ) (HT) n 2 3) (1) n ln(1 n2 n ) 2) (1) n2 n ln(1 n ) (HT) (HT) Hướng dẫn 14 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) +) 1n 1 n n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1n 1 n d) +) chuỗi đan dấu n n 1 chuỗi đan dấu +) 0 giảm có lim n n n +) Hội tụ theo Leibnitz +) n +) lim n 6n n 1 +) lim 1 n phân kì bán hội tụ n n 1 +) 1 n 1 n n 6n phân kì n 1 n 6n n phân kì 6n Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối a) an S chuỗi số nhận từ chuỗi cách đổi thứ tự số n 1 hạng nhóm tuỳ ý số hạng hội tụ tuyệt đối có tổng S b) Cho an S , an n 1 phân kì thay đổi thứ tự số hạng n 1 để chuỗi thu hội tụ có tổng số cho trước trở nên phân kì Định nghĩa Cho an , bn , ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n 1 n 1 n an bn ak bn 1k cn , cn k 1 n 1 n 1 n 1 c) n 1 an S1, bn S2 an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 Ví dụ a) Xét hội tụ tích chuỗi số sau: n n n 1 2n 1 n 1 n n2k k 1 b) Xét hội tụ chuỗi số ln2 1 tan n k k k n 1 k 1 c (K57) Xét hội tụ chuỗi số n 1 n k cos(k ) ( 1)n1k , 3 k 1 k k (n k ) ln(n k ) 15 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hướng dẫn a) +) n n 1 +) n hội tụ tuyệt đối 2n 1 hội tụ tuyệt đối n 1 +) . hội tụ n 1 n n n 1 n 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 16 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi hàm số Đặt vấn đề Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số un x xác định X , ta định nghĩa chuỗi hàm số u1 x u2 x un x (1) n 1 un x hội tụ x0 chuỗi số un x0 hội tụ n 1 n 1 un x phân kì x0 chuỗi số un x0 phân kì n 1 n 1 Tập điểm hội tụ (1) gọi tập hội tụ Tổng chuỗi hàm số hàm số xác định tập hội tụ Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau a) n 1 e) n 1 g) x n 1 b) cos nx n2 x2 c) ( ) f) n 1 sin 2n x 3n 1 1 nx ( x 1) 1 n 1 n cos x n 1 e n 1 n 1 n 5n x n n 1 ( x 3 ) h (K56) n 0 d) ( xn n! n 1 k 2 x k 2 ) 2 n ! 2 1 x 12n 1 2n ! n ( ) ( 1 x ) Hướng dẫn a) x n 1 n 1 +) Xét chuỗi số x0n 1 (2) n 1 +) (2) hội tụ với x0 b) +) Tại x0 1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x cos nx n2 x2 n 1 +) Xét chuỗi số cos nx0 n2 x02 n 1 (2) +) cos nx0 n +) Tập hội tụ 17 x02 n2 (2) hội tụ với x0 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau 1n 1 x 2n 3 a(K50) 1) ( 3 x ) d (K55) 1) 2n n n 1 2) n 1 3) tan x n n 1 ( ( x x 2 ) n n x 1 n x n k x k , k ) cot x n 2) ( x 1 x 3 ) n 1 n 1 b(K51)1) 2) n 2 n 1 n c (K52) 4x ( ; 1 ) x 5 n 1 n 1 1 x x n 1 ( k x n n 1 3) n x x 1 n 0 ln x n n 1 ( 0 ; ) 4) n enx k , k ) 1 ( \ ; e ) e ( x 0) n 1 ( x 1) n2 Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa un x hội tụ đến S x tập X bé tuỳ ý n 1 n0 : n n0 , ta có Sn x S x , x X Ý nghĩa hình học Với n đủ lớn, Sn x thuộc dải S x ; S x Tiêu chuẩn Cauchy un x hội tụ tập X bé tuỳ ý n 1 n0 : p q n0 , ta có Sp x Sq x , x X Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu có un x an , n , x X an n 1 un x hội tụ tuyệt đối X n 1 Tiêu chuẩn Dirichlet n un v n w n , Vn đơn điệu không tăng 0, wk k 1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm 1n 1 x n2 n 1 18 c, n Hội tụ hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) 1n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ,x a) c) n 1 e) sin nx n2 x , n 1 cos nx 3n +) n2 hội tụ x n2 n n 1 +) Chuỗi cho hội tụ tuyệt đối Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm x (HTĐ) b) xn 2n n n , n 1 , x x 2 ; 2 2n 1n 1 x , x 1; 1 d) n n 1 (HTĐ) (HTĐ) (HTĐ) nx n5 x , x (HTĐ) f) n 1 xn , x 0 n ! n 1 Hướng dẫn b) +) xn 2n n n n , x 2 4/3 +) n 4/3 hội tụ n 1 +) Chuỗi cho hội tụ hội tụ tuyệt đối 2 ; 2 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm 1 n xdx sin nx, x (HTĐ) a (K49) 1) n 1 x 1 n xdx 2) n 1 x cos nx, x (HTĐ) n n 1 2x 1 b (K50) 1) , x 1; 1 (HTĐ) n x n 1 n 1 2) n n 1 n2 n 2x , x 1; 1 (HTĐ) x 2 c (K51) Chứng minh chuỗi hàm x2enx hội tụ với x n 1 d (K52) 1) Chứng minh chuỗi 2) Chứng minh chuỗi 1n x n hội tụ n 0 n 1 x n hội tụ n 0 n e (K58) ( n 1 t sin t dt ) cos nx (HTKĐ) 19 ... ? ?1? ??n ? ?1 3.5.7 2n (HTTĐ) e) 2.5.8 3n 1? ?? n ? ?1 f) ? ?1? ?? n ? ?1 n ? ?1 1. 4.7 3n 7.9 .11 2n g) ? ?1? ??n ? ?1 tan n n n ? ?1 k(K52) 1) n ? ?1 (HTTĐ) n 1? ?? sin 2n ? ?1? ??... ? ?1 h) n! n ? ?1 3) (Bán HT) n ? ?1? ??n ? ?1 n d) 6n n ? ?1 n ? ?1 n ? ?1 n ? ?1 2n 1? ??3 c) b) ? ?1? ??n ? ?1 n ? ?1 2 n2 (PK) 1. 3.5 (2n 1) 3.5.8 (3n 1) n (K60) n 1) (? ?1) ( n n... minh rằng: 1 ln2 1 1 1 ? ?1 1 ? ?1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 ? ?1 ? ?1 2 ? ?1 ? ?1