Giáo trình toán cao cấp trường đh kinh tế nghệ an

Giáo trình gồm 9 chương: Chương 1: Tập hợp và quan hệ Chương 2: Hàm số và giới hạn Chương 3: Đạo hàm và vi phân Chương 4: Phép toán tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phư

TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ

Tập hợp

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1.1 Tập hợp và phần tử

Thuật ngữ “Tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học Chúng ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập hợp các nghiệm của phương trình, tập hợp các học sinh trong lớp học Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn

Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó Chẳng hạn khi nói về tập hợp các số tự nhiên, các đối tượng của tập hợp là các số tự nhiên; khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh trong lớp học đó

Các đối tượng của tập hợp đã cho được gọi là các phần tử của tập hợp đó Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, C  và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c  Để nói rằng a là một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”)

Ngược lại nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì viết: a  A (đọc là “ a không thuộc A ”)

Ví dụ 1.1: Ở trong chương trình phổ thông ta đã biết các tập hợp sau:

Tập hợp các số tự nhiên;

Tập hợp các số nguyên;

Tập hợp các số hữu tỉ;

Tập hợp các số thực

Cho tập hợp A nghĩa là xác định tất cả các phần tử của nó Có hai cách cho tập hợp:

Cách 1: Cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp

+) Nếu A là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 6 thì ta viết:

+) Có thể liệt kê các phần tử của tập hợp các số tự nhiên và tập các số nguyên như sau:

Cách 2: Cho tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất của các phần tử của nó

Nếu P(x) là mệnh đề chỉ tính chất của x và A là tập hợp các phần tử x có tính chất P(x) thì ta viết:

+) Nếu A là tập hợp tất cả các số nguyên chẵn thì ta viết:

A=  n chẵn +) Có thể mô tả tập hợp các số hữu tỉ như sau:

Nếu A là tập hợp hữu hạn, tức là có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó thì ta ký hiệu Alà số phần tử của tập hợp A

Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không chứa phần tử nào

Có duy nhất một tập rỗng và được ký hiệu là  Như vậy || = 0

Viết A   (đọc là A không rỗng) nghĩa là A chứa ít nhất một phần tử

1.1.1.3 Tập con và đẳng thức tập hợp

+) Giả sử cho hai tập hợp A và B Nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử của B thì ta nói A là tập con của B, ký hiệu A  B (đọc là A con B) hoặc B  A

+) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A B và B  A, ký hiệu

+) Nếu tập hợp A không bằng tập hợp B thì ta viết A  B

+) Tập A được gọi là tập con thật sự của tập hợp B nếu A  B nhưng A 

Quy ước: Tập hợp  là tập con của mọi tập hợp

1.1.1.4 Biểu đồ Venn Để dễ hình dung về tập hợp và mối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh họa Thông thường ta xét các tập hợp phần tử của một tập hợp bao trùm, gọi là không gian hay vũ trụ Tập không gia được mô tả bằng tập hợp các điểm của hình chữ nhật Mỗi tập hợp trong không gian được minh họa bằng một tập hợp điểm giới hạn bằng một đường khép kín bên trong hình chữ nhật Cách minh họa ước lệ như vậy được gọi là

Ví dụ, biểu đồ Venn ở hình dưới mô tả hai tập hợp A, B, trong đó A là tập con của B

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp

1.1.2.1 Phép hợp và phép giao

Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của ít nhất một trong các tập hợp đó, ký hiệu A B

Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số

Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B, ký hiệu A  B

Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số

- Các tính chất cơ bản của phép hợp và phép giao tập hợp

1.1.2.2 Phép trừ tập hợp và phần bù của tập hợp

- Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B

Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8} Ta có:

- Phần bù của tập hợp

Cho tập hợp E và A là tập con của E, nghĩa là A E Lúc đó E\ A được gọi là phần bù của A trong E, ký hiệu A

Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất cả các số thực , tập hợp các số vô tỉ là phần bù của tập hợp tất cả các số hữu tỉ Định lý 1 (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu)

- Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của chúng

- Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của chúng

Ta chứng minh đẳng thức đầu còn đẳng thức sau tương tự

Quan hệ

- Tích Descartes của 2 tập hợp

Tích Descartes của hai tập hợp X và Y là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x; y) trong đó x là một phần tử của tập X và y là một phần tử của tập Y

Tích Descartes của X và Y được gọi tắt là tích của X và Y Ký hiệu tích của hai tập hợp X và Y là X Y :

Chú ý: Ký hiệu (x; y) chỉ một cặp có thứ tự : x là phần tử đứng trước, y là phần tử đứng sau Với x và y là hai phần tử khác nhau thì (x; y) và (y; x) là hai cặp có thứ tự khác nhau Từ hai tập hợp X và Y ta có hai tập tích X Y và Y X

- Tích Descartes của n tập hợp

Tích Descartes của n tập hợp X 1; X 2;; X n là tập tất cả các bộ n phần tử có thứ tự (x 1; x 2; ; x n ) trong đó x k là phần tử của tập hợp X k ( k = 1; 2; …; n), ký hiệu là X 1 X 2  X n

X ´ X ´ ẳ ´ X = x x ẳ x x ẻ X k = n Tích đề các X   X X (n lần) viết gọn là X n

Theo nghĩa thông thường, quan hệ trong một tập hợp là một tính chất đặc trưng hay một quy ước liên kết các phần tử của tập hợp đó Quan hệ hai ngôi liên kết các phần tử theo từng cặp Chẳng hạn, quan hệ hôn nhân trong cộng đồng người liên kết hai người có đăng ký kết hôn; quan hệ chia hết liên kết các số nguyên theo từng cặp ( p; q), trong đó p là số chia hết cho q Một cách khái quát, một quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một quy tắc xác định những cặp phần tử ( x; y) có quan hệ với nhau theo quy tắc đó Nếu xem mỗi cặp phần tử (x; y) của tập hợp X là một phần tử của tập tích X 2 thì mỗi quan hệ xác định một tập hợp   X 2 Ta có thể đồng nhất mỗi quan hệ trong tập hợp X với một tập con  của tập tích X 2 Định nghĩa 1 Quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một tập con của tập hợp X 2

Trong tập hợp số thực , quan hệ “không lớn hơn” là tập hợp:

Cho   X 2 là một quan hệ trong tập hợp X Nếu ( x; y) thì ta nói phần tử x có quan hệ  với phần tử y và viết xy Định nghĩa 2 Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có các tính chất sau:

- Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ  với chính nó)

- Tính đối xứng : xy thì yx ( nếu x có quan hệ  với y thì y cũng có quan hệ  với x )

- Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z )

Quan hệ “ x đồng dạng với y ” là một quan hệ tương đương trong tập hợp tất cả các tam giác

Quan hệ “ x là bạn của y ” trong tập hợp các sinh viên của một trường đại học không phải là quan hệ tương đươngvì quan hệ này không có tính bắc cầu

1.2.2.3 Quan hệ thứ tự: Định nghĩa 3 Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất sau:

- Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ  với chính nó)

- Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z )

- Tính đối xứng: Nếu xy và yx thì x = y (phần tử x trùng với phần tử y)

+) Quan hệ “ x  y ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số thực

+) Quan hệ “ p chia hết cho q ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số tự nhiên

Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng bất kỳ Định nghĩa 4 Một ánh xạ f từ tập X vào tập hợp Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y thuộc tập Y Để nói rằng f là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, ta dùng ký hiệu:

: f X →Y Phần tử yY tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f được gọi là ảnh của phần tử x Để nói rằng y là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f thì ta viết: y = f(x) Khi đó f: X → Y x  y = f(x)

Tập hợp X được gọi là nguồn hoặc gọi là miền xác định của f và Y gọi là đích hay miền lấy giá trị của f

+) Phép đặt tương ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng P với hình chiếu vuông góc N của nó trên một đường thẳng   P là một ánh xạ từ P vào  Ánh xạ này được gọi là phép chiếu vuông góc Điểm N là ảnh của điểm M qua phép chiếu đó

+ là một ánh xạ xác định trên tập số tự nhiên nhận giá trị trên tập các số hữu tỷ

1.2.3.2 Ảnh và nghịch ảnh của một tập hợp

Cho ánh xạ f: X → Y Định nghĩa 5 Ảnh của một tập hợp A  X qua ánh xạ f là tập hợp ảnh của tất cả các phần tử xA Ảnh của tập hợp A được ký hiệu f(A): f(A) = {y  Y  tồn tại xA sao cho y = f(x)}

Khi đó f([ 1; 3]) − = [0; 9]; f([1; 2]) = [1; 4]; f([ 2; 1 ]) − − = [1; 4] Định nghĩa 6 Nghịch ảnh của một tập hợp B  Y qua ánh xạ f là tập hợp tất cả các phần tử của X có ảnh thuộc tập B

Nghịch ảnh của tập B được ký hiệu là f −1 (B): f − 1 (B) = {xX f(x)B}

Nghịch ảnh của tập hợp một phần tử BY được gọi là nghịch ảnh của phần tử b và được ký hiệu là f −1 (b): f − 1 (b) = {x X  f(x) = b}

Ví dụ 1.14: Với f là ánh xạ cho ở ví dụ trên, ta có: f − 1 (1) ={ 1; 1 }− ; f − 1 ([1; 4]) = − −  2; 1    1; 2

Sau đây là một số tính chất cơ bản của ảnh và nghịch ảnh Định lý 2 Với mọi ánh xạ f: X → Y ta luôn có:

1.2.3.3 Đơn ánh, toàn ánh và song ánh

- Ánh xạ đơn ánh Ánh xạ f :X→Y được gọi là đơn ánh, nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của tập X luôn có ảnh khác nhau, nghĩa là:

1 2 ( )1 ( 2); x x  f x  f x  x x 1 ; 2 X Nói cách khác, f là đơn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y Y hoăc là tập trống, hoặc chỉ có một phần tử duy nhất

Ví dụ 1.15: Ánh xạ f :[0; π]→ là một đơn ánh x y=cosx

- Ánh xạ toàn ánh Ánh xạ f X: →Yđược gọi là toàn ánh, nếu ảnh của tập hợp X là toàn bộ tập hợp Y: f X( )=Y

Nói cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y Y đều không rỗng:

Ví dụ 1.16: Ánh xạ f : → −[ 1;1] là toàn ánh (nhưng không phải là đơn ánh) x y=cosx

- Ánh xạ song ánh Ánh xạ f X: →Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh

Ví dụ 1.17: Ánh xạ f :[0;1]→ −[ 1;1] là một song ánh x y=cosx

1.2.4 Ánh xạ ngược Định nghĩa 7 Giả sử ánh xạ f X: →Y là một song ánh Khi đó mỗi phần tử y Y đều có nghịch ảnh không rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch ảnh của nó là một phần tử duy nhất xX (do f là đơn ánh) trong trường hợp này ta có ánh xạ

1: f − Y →X đặt tương ứng mỗi phần tử y Y với phần tử x= f − 1 ( )y ánh xạ f − 1 được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f

Ví dụ 1.18: Gọi X là tập hợp sinh vên của một lớp học và Y là danh sách gọi tên đầy đủ (gồm họ, tên đệm, tên) của các sinh viên đó Giả sử lớp học không có hai sinh viên nào trùng tên Khi đó, ánh xạ X →Yđặt tương ứng mỗi sinh viên với tên gọi của sinh viên đó trong danh sách là một song ánh Ánh xạ ngược của song ánh f là ánh xạ f − 1 đặt tương ứng mỗi tên trong danh sách với sinh viên có tên đó.

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số

2.1.1.1 Khái niệm biến số Định nghĩa 1 Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất kỳ thuộc một tập số X   cho trước (X Ì ¡ ) Tập hợp X được gọi là miền biến thiờn ( MBT ) và mỗi số thực x 0 ẻ X được gọi là một giỏ trị của biến số đú

Từ biến số nhiều khi được gọi tắt là biến Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: x, y, z… Thông thường, người ta chỉ xét các biến số mà MBT của nó có ít nhất hai số Một biến số chỉ nhận một giá trị duy nhất được gọi là hằng số

Trong giải tích toán học, ta thường xét các biến số thay đổi giá trị một cách liên tục, với MBT là một khoảng số Các khoảng số được ký hiệu như sau: Khoảng đóng ( đoạn ): [ ; ]a b ={ :x a£ £x b}

Khái niệm hàm số được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, để biểu diễn quan hệ chi phối lẫn nhau giữa các biến số Định nghĩa khái niệm hàm số bằng ngôn ngữ hình thức toán học có nội dung như sau: Định nghĩa 2 Cho hai tập hợp X Y, Ì ¡ Ánh xạ

( ) f X Y x y f x ® a được gọi là một hàm số biến số thực

Tập hợp X được gọi là miền xác định ( MXĐ ) của hàm số f Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x, ký hiệu f(x) Khi nói đến các hàm số khác nhau, ta sử dụng các ký hiệu khác nhau: f, g,

… Định nghĩa 3 Miền giá trị ( MGT ) của một hàm số f là tập hợp tất cả các số thực là giá trị của hàm số đó tại ít nhất một điểm thuộc miền xác định của nó

Miền giá trị của hàm số f xác định trên miền X được ký hiệu là f(X):

2.1.2.2 Hàm số dạng biểu thức Ở bậc học phổ thông, học sinh đã được làm quen với các biểu thức chứ biến số, từ những biểu thức có một phép toán đến những biểu thức có nhiều phép toán phối hợp, chẳng hạn như:

, , ,log ,sin ,cos , tan ,cot , n n x x x a a x x x x x

3 1 ax bx c x ax bx c px q x

Ta gọi miền xác định tự nhiên của một biểu thức f(x) là tập hợp tất cả các số thực mà khi gán cho x thì biểu thức đó có nghĩa (tất cả các phép toán trong biểu thức đó đều thực hiện được) Mỗi biểu thức f(x) là một hàm số xác định trờn tập con X bất kỳ của MXĐ tự nhiờn của nú: mỗi số thực x 0 ẻ X đặt tương ứng với giá trị tính toán của biểu thức đó khi gán x= x 0

- là một hàm số với MXĐ tự nhiên là tập hợp tất cả các số thực x thỏa mãn điều kiện:

- Theo biểu thức đó, ta dễ dàng tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ thuộc MXĐ, chẳng hạn:

Phương pháp xác định hàm số bằng biểu thức là một phương pháp phổ biến trong toán học cũng như trong các lĩnh vực ứng dụng toán học Khi xem xét các hàm số cho bằng biểu thức, ta cần lưu ý những điểm sau:

- Về nguyên tắc, MXĐ của một hàm số là một tập số thực cho trước, còn biểu thức giữ vai trò quy tắc tương ứng f trong định nghĩa hàm số Do đó, khi một hàm số xác định trên tập X Ì ¡ được cho bằng một biểu thức f(x), tập X có thể chỉ là một tập con nào đó của MXĐ tự nhiên của biểu thức đó Tuy nhiên, trong toán học nhiều khi người ta cho trước một biểu thức f(x) và xét biểu thức đó như một hàm số Trong trường hợp này, ta đồng nhất MXĐ của hàm số với MXĐ tự nhiên của biểu thức f(x)

- Một hàm số có thể được cho dưới dạng phân rã MXĐ thành các tập con rời nhau và trên mỗi tập con đó, quy tắc xác định giá trị tương ứng của hàm số tại mỗi điểm được biểu diễn bằng một biểu thức riêng

= ùùớùùợ + ³ là một hàm số xác định trên ¡ : giá trị của hàm số tại mỗi điểm x được tính theo công thức f x( )= x 2 + 3 khi x thuộc khoảng [0;+ ¥ ), và theo công thức ( ) 1 2 f x = - xkhi x thuộc khoảng (- ¥ ;0)

2.1.2.3 Quan hệ hàm số giữa các biến số

Trong lĩnh vực khoa học, người ta phân tích quy luật thay đổi giá trị của các đại lượng đo được bằng số dưới dạng các biến số có quan hệ với nhau: sự thay đổi giá trị của biến số này kéo theo sự thay đổi giá trị của biến số kia theo một quy luật nhất định Chẳng hạn, trong kinh tế, chúng ta thấy khi giá trị hàng hóa thay đổi thì lượng hàng hóa mà người sản xuất muốn bán ra thị trường và lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua cũng thay đổi theo; khi thu nhập của các hộ gia đình thay dổi thì lượng tiêu dùng của họ cũng thay đổi… Sự phụ thuộc của một biến số này vào một biến số khác thường được biểu diễn dưới dạng hàm số

Cho hai biến số x và y với miền biến thiên là tập hợp các số thực X và Y, trong đó biến x có thể nhận giá trị tùy ý trong miền biến thiên X của nó Ta nói x là biến độc lập hay đối số Định nghĩa 4 Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến số y là hàm số của biến số x, khi và chỉ khi tồn tại một quy tắc hoặc quy luật f sao cho mỗi giá trị của biến số x trong miền biến thiên X của nó được đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị của biến số y

Theo định nghĩa thì quy tắc f chính là một hàm số xác định trên miền biến thiên X của biến x và giá trị của hàm số f tại điểm x chính là giá trị tương ứng của biến số y:

( ) xa y= f x Để nói một cách khái quát rằng y là hàm số của x (y phụ thuộc hàm số vào x) ta có thể viết : y = y(x)

Dãy số và giới hạn của dãy số

2.2.1 Dãy số Định nghĩa 11 Một hàm số xác định trên tập các số tự nhiên dương ¥ * gọi là một dãy số ( dãy vô hạn các số thực )

Một dãy số được ký hiệu x n , số x n ở vị trí thứ n được gọi là số hạng thứ n của dãy

+ cho dãy số tương ứng:

2 3 4 1 n n+ số hạng đầu tiên của dãy 1 1 x = 2, số hạng thứ n của dãy là n 1 x n

2.2.2 Giới hạn của dãy số:

2.2.2.1 Khái niệm dãy số hội tụ

Khái niệm giới hạn trong toán học biểu diễn xu hướng biến thiên của một biến số ngày càng tiến gần đến một số nào đó Từ “ tiến gần ” bao hàm khái niệm về khoảng cách Như ta đã biết, khoảng cách giữa hai số a và b được hiểu theo nghĩa khoảng cách giữa hai điểm tương ứng trên trục số và được xác định theo công thức:

Giới hạn của dãy số x n biểu diễn xu hướng biến thiên của x n khi n lớn vô hạn Định nghĩa 12 Ta nói rằng dãy số x n có giới hạn a, hay x n hội tụ đến a, nếu khoảng cách giữa x n và a có thể thu hẹp một cách tùy ý bằng cách lấy n đủ lớn, tức là với mọi số e> 0 bé tùy ý, tồn tại một số n 0 > 0 sao cho với mọi n> n 0 thì x n - a < e (2.2.1) Để nói dãy sốx n hội tụ đến a, ta dùng ký hiệu lim n n x a ® ¥ = hoặc x n ® a khi n ® ¥

Bất đẳng thức (2.2.1) có thể viết dưới dạng:

Khoảng V a e ( )= (a- e;a+ e) được gọi là lân cận bán kính e của điểm a. Để chứng minh dãy số x n hội tụ đến a, theo định nghĩa, ta phải chỉ ra số n 0 tương ứng với mỗi số e> 0 sao cho bất đẳng thức (2.2.1) thỏa mãn với mọi n> n 0

+) Xét dãy số có số hạng tổng quát x n = c ( c là hằng số )

Vậy, theo định nghĩa: lim n c c ® ¥ +) Xét dãy số có số hạng tổng quát: 1 n x n n

= + ị = - Khoảng cách giữa xn và số 1 có thể thu hẹp tùy ý: d n < 0,1 khi n > 10 d n < 0,01 khi n > 100 d n < 0,001 khi n > 1000

Với e là một số dương bất kỳ, 1 0 1

= - = < > = ( ký hiệu [x] chỉ phần nguyên của số thực x ) Theo định nghĩa, ta có lim 1 1 n n ® ¥ n

2.2.2.2 Nguyên lý hội tụ Định lý sau đây dược gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số: Định lý 1 Một dãy số x n hội tụ đến một số a nào đó khi và chỉ khi với mọi số

0 e> luôn tồn tại tương ứng một số tự nhiên n 0 đủ lớn sao cho bất đẳng thức: n m n x + - x < e thỏa món với mọi n> n 0 và với mọi mẻ Ơ

Tiêu chuẩn Cauchy nói rằng một dãy số hội tụ khi và chỉ khi bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, khoảng cách giữa hai số hạng bất kỳ của dãy số đó nhỏ tùy ý

Ví dụ 2.12: Xét dãy số có số hạng tổng quát: x n = -( 1) n - 1 :

1; 1;1; 1; - - Với mọi số tự nhiên n ta có

1 ( 1) n ( 1) n 2 n n x + - x = - - - - Từ đây suy ra: với số e< 2 thì bất đẳng thức x n + 1 - x n < e không bao giờ thỏa mãn Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy số đã cho không hội tụ, tức là không tồn tại số a sao cho: lim( 1) n 1 n - a ® ¥ - 2.2.2.3 Giới hạn vô hạn

Trên đây là định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (giới hạn a là một số thực) Khái niệm dãy số có giới hạn vô hạn được định nghĩa như sau: Định nghĩa 13 Ta nói rằng dãy số x n có giới hạn vô hạn nếu x n có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn Tức là với mọi số E0lớn tùy ý, bao giờ cũng có thể tìm được một số tự nhiên n 0 đủ lớn sao cho n  x E bắt đầu từ khi n > n 0 Một dãy số có giới hạn vô hạn còn được gọi là vô cùng lớn (VCL)

Nếu dãy số x n có giới hạn vô hạn thì ta viết: lim→+ n =  n x hoặc x n → khi n→ +

Nếu dãy số x n có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là x n > 0 hoặc x n

< 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết tương ứng lim→+ n = + n x hoặc lim

Chú ý: Ta dùng ký hiệu + (dương vô cực) và − (âm vô cực) để chỉ các đầu mút của trục số, và ký hiệu  có nghĩa là + hoặc − Các ký hiệu này chỉ mang ý nghĩa hình thức để diễu đạt ý niệm vô hạn, không nằm trong phạm vi hệ thống số thực Do đó, nếu không có quy ước bổ sung thì ta không thể áp dụng các phép toán số học đối +và −

Xét dãy số có số hạng tổng quát x n = An k (n ), với A  0 và k > 0 là các hằng số cho trước Với E là một số dương bất kỳ, ta có

Theo E > 0, ta lấy n0 là phần nguyên của số

A Khi n > n 0, bất đẳng thức n  x E được thỏa mãn Vậy, theo định nghĩa: lim ( 0, 0).

Tùy theo dấu của A ta có thể viết: lim→+ k = + n An nếu A > 0 lim

2.2.3 Đại lượng vô cùng bé

2.2.3.1 Khái niệm vô cùng bé Định nghĩa 14 Một dãy số  n được gọi là vô cùng bé (VCB) khi và chỉ khi nó hội tụ đến 0: lim 0

Nói một cách trực tiếp,  n là một VCB khi và chỉ khi, với mọi số  > 0 luôn tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho

Từ định nghĩa giới hạn và định nghĩa VCB suy ra: Định lý 2 Dãy số x n hội tụ đến điểm a khi và chỉ khi dãy số  n = x n – a là một VCB Nói cách khác, dãy số x n hội tụ đến điểm a khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng x n = +a  n , trong đó  n là một VCB

2.2.3.2 Một số tính chất của vô cùng bé

+) Nếu  n và  n là các VCB thì  n  n cũng là VCB

Thật vậy nếu  n và  n là các VCB thì với mọi số  > 0 ta tìm được các số tự nhiên n 1 và n 2 sao cho , 1

 Gọi n 0 là số lớn hơn trong hai số n 1 và n 2 ta có:

+) Nếu  n là VCB và u n bị chặn thì  n u n cũng là VCB

Thật vậy, dãy số u n bị chặn nghĩa là tồn tại hằng số K > 0 sao cho

 ,  u k K n Nếu  n là một VCB thì với mọi số  > 0 ta tìm được số tự nhiên n 0 sao cho n  , n n 0

2.2.4 Các định lý cơ bản về giới hạn

2.2.4.1 Các tính chất cơ bản của dãy số hội tụ Định lý 3 Nếu dãy số x n hội tụ đến số a thì nó không thể hội tụ đến một số ba Nói cách khác, giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất Định lý 4 Nếu dãy số x n hội tụ thì nó bị chặn, tức là tồn tại các hằng số A, B sao cho A x n  B với mọi n

Hệ quả Nếu  n và  n là các VCB thì   n n cũng là các VCB Định lý 5 Nếu lim n n x a

→+ = và a > p ( a < q ) thì x n > p ( x n < q ) bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi Đặc biệt, nếu a > 0 ( a < 0 ) thì x n > 0 ( x n < 0 ) khi n đủ lớn Định lý 6 Nếu x n  y n với mọi n và cả hai dãy số x y n , n đều hội tụ thì: lim n lim n n x n y

2.2.4.2 Các quy tắc tính giới hạn Định lý 7 Giả sử các dãy số x n và y n có giới hạn hữu hạn: lim n n x a

Hệ quả Nếu dãy số x n hội tụ thì lim n lim n n cx c n x

→+ = →+ (c là hằng số bất kỳ)

Chú ý: Định lý 7 cho ta quy tắc tính giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của các dãy số Quy tắc đó được chứng minh với điều kiện các dãy số x n và y n có giới hạn hữu hạn, đối với thương còn có giả thiết giới hạn ở mẫu số khác 0 Trong những trường hợp sau đây, ta không có quy tắc nhất định để xác định giới hạn ( người ta gọi là các dạng vô định ) :

+) Giới hạn của dãy số n n x y khi cả hai dãy số x n và y n cùng hội tụ đến 0 ( gọi là dạng vô định 0

+) Giới hạn của dãy số n n x y khi cả hai dãy số x n và y n cùng có giới hạn vô hạn ( gọi là dạng vô định 

+) Giới hạn của dãy số x y n n khi dãy x n hội tụ đến 0 và dãy y n có giới hạn vô hạn ( gọi là dạng vô định 0.);

+) Giới hạn của dãy số x n − y n khi cả hai dãy số x n và y n cùng có giới hạn vô hạn ( gọi là dạng vô định  − )

Khi gặp các dạng vô định, ta phải tìm cách biến đổi để đưa về dạng xác định ( khử dạng vô định )

Ví dụ 2.14: Giới hạn sau đây có dạng vô định 

= + − Để khử dạng vô định, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho n 3 :

Sử dụng định lý 5, ta xác định được 2 1

4 2 b= Định lý 8 Nếu u n x n v n với mọi n và cả hai dãy số u v n , n cùng hội tụ đến a thì dãy số x n cũng hội tụ đến a Định lý 9 Giả sử dãy số x n = f n( ) đơn điệu tăng ít nhất theo nghĩa rộng :

- Nếu dãy số đó bị chặn trên, tức là x n M, =n 1, 2,3 thì nó có giới hạn hữu hạn khi n→ 

- Nếu dãy số đó không bị chặn trên thì lim n n x

Tương tự, một dãy số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng ) có giới hạn hữu hạn nếu nó bị chặn dưới và có giới hạn là − nếu nó không bị chặn dưới.

Giới hạn của hàm số

2.3.1 Khái niệm giới hạn của hàm số

2.3.1.1 Định nghĩa giới hạn Định nghĩa giới hạn của dãy số có thể xem như định nghĩa giới hạn của hàm số đối số rời rạc f(n), với n biến thiên trên tập hợp số tự nhiên, khi n tiến ra vô hạn Ta sẽ sử dụng khái niệm giới hạn của dãy số để định nghĩa giới hạn của một hàm số đối số liên tục y = f(x), với miền xác định là các khoảng số thực

Lý thuyết giới hạn đề cập đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tiến dần đến một điểm a cố định, tức là khi khoảng cách x- a thu hẹp một cách tùy ý Ta gọi đó là quá trình x tiến đến a và viết x® a Để xét giới hạn của hàm số y = f(x) khi x® a, ta giả thiết rằng hàm số được xác định trong các khoảng (c; a) và (a; b), còn tại chính điểm a, hàm số có thể xác định hoặc không xác định Quá trình x® a được xem xét với giả thiết xạ a

Một phương pháp xem xét giới hạn của hàm số f(x) khi x® a là “dẫn” biến độc lập x theo một dãy số x n có giới hạn bằng a ( x n được lấy từ MXĐ của hàm số và x n  a ) và xét giới hạn của dãy các giá trị tương ứng của hàm số

( ) n n y = f x Định nghĩa 15 Nếu với mọi dãy số x n có giới hạn bằng a, dãy giá trị tương ứng của hàm số, tức là dãy số y n = f(x n ) , luôn có cùng một giới hạn b thì ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn b khi x® a và ký hiệu như sau: lim ( ) x a f x b ® = hoặc f x( )® b khi x® a Định nghĩa nêu trên áp dụng cho cả trường hợp a hoặc b, hoặc cả hai là ¥ hoặc ± ¥ Với a là một số thực thì giới hạn của hàm số khi x® a còn được gọi là giới hạn tại điểm a

Với x n là dãy số bất kỳ có giới hạn bằng 2, dãy giá trị tương ứng của hàm số là:

( ) 2 2 1 n n n y = f x = x + Theo quy tắc tính giới hạn của dãy số ta có

2 2 2 lim n lim(2 n 1) 2 lim n 1 2.2 1 9 n y n x n x ® ¥ = ® ¥ + = ® ¥ + = + Vậy theo định nghĩa: ( 2 ) lim 22 1 9 x x ® + Khái niệm giới hạn của hàm số có thể định nghĩa tương đương bằng ngôn ngữ khoảng cách, không sử dụng khái niệm giới hạn của dãy số Trương hợp a, b là các số thực, định nghĩa 1 tương đương với định nghĩa sau đây: Định nghĩa 16 Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x® a nếu khoảng cách giữa f(x) và b có thể thu hẹp một cách tùy ý bằng cách thu hẹp tương ứng khoảng cách từ x đến a, tức là: với mọi số e> 0 bé tùy ý, bao giờ cũng tìm được tương ứng một số d> 0 đủ bé sao cho bất đẳng thức:

( ) f x - b < e được thoả mãn khi x thuộc MXĐ của hàm số và 0< x- a < d

Ví dụ 2.16: Sử dụng định nghĩa, hãy chứng minh: lim(22 1) 3 x x ® - Trong ví dụ này f x( )= 2x- 1 Ta có :

Với mọi số e> 0, ta chọn

Theo định nghĩa, ta có điều phải chứng minh

Trong định nghĩa nêu trên chúng ta xét quá trình x® a không phân biệt x < a hay x > a Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình với ký hiệu như sau :

+) Quá trình x tiến đến a về phía phải, tức là x® a với điều kiện x > a, được ký hiệu là x® +a 0 hoặc x® a +

+) Quá trình x tiến đến a về phía trái, tức là x® a với điều kiện x < a, được ký hiệu là x® -a 0 hoặc x® a -

Giới hạn của hàm số f(x) khi x® a + và khi x® a - được gọi tương ứng là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm a :

Giới hạn bên phải : lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x

Giới hạn bên trái : lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x

< ® = ® Định lý 10 Điều kiện cần và đủ để lim ( ) x a f x b ® = là: lim ( ) lim ( ) x a f x x a f x b

+ - ® = ® 2.3.2 Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

2.3.2.1 Giới hạn tại một điểm thuộc miền xác định

Giới hạn của hàm số sơ cấp cơ bản f(x) tại một điểm a thuộc MXĐ của nó được tính theo công thức : lim ( ) ( ) x a f x f a ® Ví dụ 2.17:

8 2 9 lim 8 2; lim 2 x 2 4; lim log log 9 2; x x x x x v v ® = = ® = = ® = 2.3.2.2 Giới hạn tại các đầu mút của khoảng xác định và khi x® ¥

+) với a > 1: lim x ; lim x 0 x a x a ® + ¥ = + ¥ ® - ¥ +) Với 0 < a < 1: lim x 0; lim x x a x a ® + ¥ = ® - ¥ = + ¥

+) Các hàm số sin ,cos , tan , cot x x x x không có giới hạn khi x® ± ¥

+) Hàm số tanxcó giới hạn vô hạn khi ( ) x p2 k k đ + p ẻ Â

+) Hàm số cot x cú giới hạn vụ hạn khi xđ kp (kẻ Â)

- Các hàm lượng giác ngược:

+) lim cot 0, lim cot x arc x x arc x p ® + ¥ = ® - ¥ 2.3.3 Các định lý cơ bản về giới hạn

2.3.3.1 Tính chất của hàm số có giới hạn hữu hạn

Tất cả các định lý về tính chất của các dãy số có giới hạn hữu hạn (dãy số hội tụ) đều có thể mở rộng cho hàm số có đối số liên tục Định lý 11 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x® a thì nó chỉ có một giới hạn duy nhất trong quá trình đó Định lý 12 Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn khi x® a thì nó bị chặn trong miền X = { x ẻ Ă :0 < x - a < d } với d là một số dương đủ nhỏ. Định lý 13 Nếu lim ( ) x a f x b ® = và b > p ( b < q ) thì với d là một số dương đủ nhỏ, ta cũng có:

( ) ( ) , :0 f x > p f x < q " ẻx xẻ Ă < x- a < d Định lý 14 Nếu f x( )³ g x( ) với mọi x ẻ { x ẻ Ă :0 < x - a < d } và cả hai hàm số f(x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi x® a thì lim ( ) lim ( ) x a f x x a g x ® ³ ®

2.3.3.2 Các quy tắc tính giới hạn

Quy tắc 1 Nếu khi x® a các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn là các số thực là b và c thì:

+) lim [ ( ) ] lim ( ) x a kf x k x a f x kb ® = ® = ( k là hằng số );

Quy tắc 2 Nếu lim ( ) x a j x b ® = nhưng hàm số u= j ( )x không nhận giá trị b tại những điểm x gần a, đồng thời hàm số f(u) có giới hạn khi u® b thì

Nếu hàm số sơ cấp ( biểu thức hữu hạn ) f(x) xác định tại điểm x = a thì : lim ( ) ( ) x a f x f a ® Quy tắc 4 Với giả thiết f x( )ạ 0:

( ) x ® a f x Quy tắc 5 Nếu lim ( ) 0 x a f x ® = và g(x) là một hàm số bị chặn thì: lim ( ) ( ) 0 x a f x g x ® 2.3.3.3 Các dạng vô định

Khi tính giới hạn, ta cần lưu ý các dạng vô định, tức là các dạng giới hạn không thể xác định được theo một quy tắc nhất định Để tính các giới hạn đó, ta phải biến đổi về dạng cho phép áp dụng các quy tắc tính giới hạn nêu trên Các dạng vô định có thể gặp:

0 và ¥ ¥ xảy ra khi tính giới hạn của biểu thức ( )

( ) f x g x , trong đó cả hai hàm số f(x) và g(x) có cùng giới hạn 0 hoặc có cùng giới hạn vô hạn

- Dạng ¥ - ¥ xảy ra khi tính giới hạn của hiệu f(x) –g(x), trong đó f(x) và g(x) cùng dấu và có cùng giới hạn vô hạn

- Dạng 0.¥ xảy ra khi tính giới hạn của tích f(x)g(x), trong đó hàm số f(x) có giới hạn 0 và hàm số g(x) có giới hạn vô hạn

- Các dạng 1 ,0 , ¥ 0 ¥ 0 xảy ra khi tính giới hạn của biểu thức [ f x ( ) ] g x ( ) , trong đó f(x) là một hàm số dương Ta gặp:

2.3.4 Hai giới hạn cơ bản dạng vô định

1 0 lim 1 1 lim 1 t x t t e x ® ± ¥ ® ổ ửữ ỗ + ữ= + ỗ ữ ỗố ứ (Dạng 1 Ơ )

2.3.5 Vô cùng bé và vô cùng lớn

2.3.5.1 Khái niệm vô cùng bé

Khái niệm vô cùng bé (VCB) mà ta đã nói đến trong trường hợp dãy số (hàm số đối số tự nhiên) có thể mở rộng cho hàm số đối số liên tục như sau Định nghĩa 17 Hàm số (x) gọi là vô cùng bé khi x® anếu và chỉ nếu: lim ( ) 0

Ví dụ 2.18: Theo các công thức giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản, ta có:

+) Các hàm số x k (k > 0), sin ,tan x x là các VCB khi x® 0

+) Các hàm số x k (k > 0), sin , x arccotxlà các VCB khi x → +

Từ định nghĩa suy ra: Định lý 15 Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) cú giới hạn b ( bẻ Ă ) khi x® a là a( )x = f x( )- b là VCB khi x® a

Nói cách khác, điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có giới hạn b khi x® a là a

( ) ( ) f x x b trong đó a( )x là VCB khi x® a

2.3.5.2 Xếp bậc các vô cùng bé

Giả sử (x), (x) là hai VCB khi x® a Định nghĩa 18

+) (x) là VCB bậc cao hơn (x) nếu và chỉ nếu ( ) lim 0

+) (x) là VCB bậc thấp hơn (x nếu và chỉ nếu ( ) lim → ( ) =  x a x x

 +) (x) và (x là hai VCB cùng bậc nếu và chỉ nếu lim ( ) ( 0, ),

 Đặc biệt, khi A = 1, ta nói rằng (x) và (x) là hai VCB tương đương và viết a( )x : b( )x Chú ý Để nói rằng (x) là VCB bậc cao hơn (x), ta viết a( )x = o[ ( )]b x

Ví dụ 2.19: Dễ thấy 1 – cos x và 2x đều là những VCB khi x → 0

→ → = nên 1– cosx là VCB bậc cao hơn 2x

Chú ý: Từ định nghĩa và từ các công thức về giới hạn ta có các tương đương cơ bản sau: sinx  x khi x® 0 tanx  x khi x® 0

2 x khi x® 0 arcsinx x khi x® 0 arctanx x khi x® 0 log (1 ) ~ a ln x x

+ a ln(1 +x)~ x khi x® 0 (với 0  a  1) (a x – 1)  xlna, (e x – 1)  x khi x® 0 (với 0  a 1)

(1 + x)  − 1  x khi x® 0 a n x n + + a p x p  a p x p khi x® 0 (với n > p > 0; a p 0) Định lý 16 (Về thay thế các VCB tương đương)

Nếu (x), (x) là hai VCB khi x® a, (x)  1 (x), (x)   1 (x) khi x® a và tồn tại 1

Thật vậy, vì (x)   1 (x), (x)  1 (x), ta có

Ta có: tanx  x và 1 cos ~ 2

→ x x x Định lý 17 (Qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao)

(i) Nếu (x), (x) là các VCB khi x® a, (x) là VCB bậc cao hơn (x) thì

(ii) Nếu (x), (x) là các VCB cùng bậc nhưng không tương đương khi x® a, (x)  1 (x), (x)  1 (x) khi x® a thì (x) −(x)  1 (x) − 1 (x) Chứng minh:

(i) Thật vậy, ta có (x) + (x) ( ) lim lim 1 1

  (vì (x) là VCB bậc cao hơn (x))

Chú ý: Trong (ii) cho ta thấy rằng, không được thay thế tương đương từng số hạng trong biểu thức hiệu của hai VCB tương đương

Ta thấy tanx ~ x, sinx ~ x và tanx ~ sinx khi x → 0

+) Khử dạng vô định ta có

0 0 sin (1 cos ) sin 1 2sin 2 1 lim lim

+) Nếu ta thay thế tương đương các số hạng ở tử số thì kết quả A = 0, làm như vậy là sai

2.3.5.3 Vô cùng lớn Định nghĩa 19 Một hàm số A(x) có giới hạn vô hạn khi x® a được gọi là một vô cùng lớn (VCL) trong quá trình đó

Mối liên hệ giữa VCL và VCB: Định lý 18 Nếu A(x) là một VCL khi x® a và A(x)  0 thì 1

 A x là VCB khi x® a Ngược lại, nếu ( )x là VCB khi x® a và ( )x 0 thì

A x  x là một VCL trong quá trình đó

Hàm số liên tục

2.4.1 Khái niệm hàm số liên tục

2.4.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 20 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 thuộc miền xác định của nó nếu và chỉ nếu :

Nếu đẳng thức (2.4.1) không được thỏa mãn thì ta nói rằng hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x 0 và điểm x 0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số đó Điểm x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) trong các trường hợp sau : +) f(x) không xác định tại điểm x 0 ;

+) f(x) không có giới hạn hoặc giới hạn vô hạn khi x® x 0 ;

+) f(x) xác định tại điểm x 0 và có giới hạn hữu hạn khi x® x 0 , nhưng

Ví dụ 2.24: Theo định lý về quy tắc tính giới hạn của hàm sơ cấp tại một điểm thuộc MXĐ thì mọi hàm sô sơ cấp đều liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ của nó

+) Nếu đẳng thức (2.4.1) được thỏa mãn với vế trái là giới hạn bên trái hoặc giới hạn bên phải của hàm số f(x) tại điểm x 0 thì ta nói tương ứng : Hàm số f(x) liên tục bên trái hoặc liên tục bên phải tại điểm x 0

+) Ta đã biết, hàm số f(x) có giới hạn b tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của nó tại điểm đó đều bằng b, do đó hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi nó đồng thời liên tục bên trái và liên tục bên phải của điểm đó

2.4.1.2 Số gia của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có thể diễn đạt bằng ngôn ngữ số gia như sau : Định lý 19 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi số gia

2.4.1.3 Liên tục trên một miền Định nghĩa 21 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên một miền X nếu và chỉ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền đó

Trường hợp miền X là một trong các khoảng hữu hạn [a; b], [a; b) hoặc (a; b] thì tại các đầu mút a và b ta chỉ có thể xét giới hạn một phía, do đó khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng được áp dụng với quy ước:

+) Điều kiện liên tục tại mút trái a (nếu khoảng đó đóng tại a) được hiểu theo nghĩa liên tục phải

+) Điều kiện liên tục tại mút phải b (nếu khoảng đó đóng tại b) được hiểu theo nghĩa liên tục trái

Theo quy ước này, hàm số f(x) liên tục được gọi là liên tục trên khoảng đóng [a; b] khi và chỉ khi nó liên tục cả hai phía tại mọi điểm x( ; )a b , liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

2.4.2 Các phép toán sơ cấp đối với hàm số liên tục Định lý 20 Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 thì

+) Các hàm số f x( )+g x( ), f x( )−g x( ),, f x g x( ) ( ) liên tục tại x 0 ;

( ) f x g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 Định lý 21 Nếu hàm số ( )x liên tục tại điểm x 0 và hàm số f(u) liên tục tại điểm tương ứng u 0 =(x 0 ) thì hàm hợp f   ( ) x  liên tục tại điểm x 0

2.4.3 Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng

2.4.3.1 Định lý về giá trị trung gian Định lý 22 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], f(a)  f(b) thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa hai giá trị f(a) và f(b), tức là với mọi số  giữa f(a) và f(b) bao giờ cũng có thể tìm được ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f c( )=

Hệ quả Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và giá trị của nó tại hai đầu mút trái dấu nhau thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

(a; b), tức là tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f(c) = 0

2.4.3.2 Tính bị chặn của hàm số liên tục trên một khoảng đóng Định lý 23 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì:

+) f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b], tức là trên đoạn này tồn tại các điểm c c 1 , 2 sao cho:

Chú ý: Một hàm số liên tục trên một khoảng không đóng hoặc khoảng vô hạn thì chưa chắc đã bị chặn và chưa chắc có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng đó Chẳng hạn:

= x liên tục trong khoảng (0; 1) nhưng không bị chặn trong khoảng đó

+) Hàm số g(x) = x liên tục và bị chặn trong khoảng (0; 1) nhưng không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong khoảng đó.

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Đạo hàm của hàm số

3.1.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Xét hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) Nếu xuất phát từ điểm

0 ( ; ) x  a b ta cho biến độc lập thay đổi giá trị đến điểm x( ; )a b thì biến phụ thuộc y sẽ thay đổi giá trị từ f x( 0 )đến f x( ) Hiệu số  = −x x x 0 chỉ lượng thay đổi giá trị của biến độc lập, được gọi là số gia đối số, còn hiệu số

 =  = = +  chỉ lượng thay đổi giá trị tương ứng của y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số

 =   − (3.1.1) biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi giá trị từ điểm đến điểm x 0 đến điểm x Nếu tỷ số này có giới hạn hữu hạn khi  →x 0 thì trị số giới hạn cho biết tốc độ biến thiên tức thời của hàm số đó tại điểm x 0 Định nghĩa 1 Nếu tỷ số (3.1.1) có giới hạn hữu hạn khi  →x 0: lim0 x y k

  thì số k được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0

Ký hiệu: f x’( ) 0 , y’(x ) 0 hoặc dy x( 0 ) dx ,

Ví dụ 3.1: Cho hàm số f x( )= x 2 , tại điểm x 0 bất kỳ, ta có:

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

 tồn tại, thì giá trị đó được gọi là đạo hàm bên trái của f(x) tại x 0 Ký hiệu là f x'( 0 - 0)

 tồn tại, thì giá trị đó được gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại x 0 Ký hiệu là f x'( 0 + 0)

3.1.1.2 Tính liên tục của hàm số có đạo hàm Định lý 1 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại điểm đó

Thật vậy, f(x) có đạo hàm tại x 0 có nghĩa là 0

 →  = 0 Suy ra hàm số liên tục tại x 0

Chú ý: Điều ngược lại không đúng Thật vậy hàm số f x( )= x liên tục tại x 0, nhưng không có đạo hàm tại x = 0 vì ta có y x

 Vậy khi x → 0 ta được f '(0 + 0) = 1  − 1 = '(0 - 0) f  không tồn tại đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 0

3.1.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một miền

Theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là một số thực xác định Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc một miền X thì mỗi giá trị x  X cho tương ứng một giá trị xác định của đạo hàmy', do đó ta có hàm số:

Ta gọi hàm số này là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên miền X

+) Đạo hàm của hàm số y= x 2 là hàm số y'= 2 (x xẻ Ă )

+) Đạo hàm của hàm số y=sinx là hàm số y'= cos (x xẻ Ă )

3.1.2 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

(C là hăng số) (cos )'x = - sinx

3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm

3.1.3.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lý 2 Nếu hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại x 0 thì tại điểm đó

+) u x( )± v x( ) cũng có đạo hàm và ( u ± v)'= u'± v';

+) u(x)v(x) cũng có đạo hàm và (uv)’ = u’v + uv’;

( ) u x v x cũng có đạo hàm, trừ khi v(x) = 0 và

3.1.3.2 Đạo hàm của hàm hợp Định lý 3 Xét hàm số hợp y = f[u(x)] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và hàm y = f(u) có đạo hàm tại điểm tương ứng u 0 = u(x 0 ) thì hàm số hợp y = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x 0 và y x'( )= y u u x'( ) '( )

3.1.3.3 Đạo hàm của biểu thức lũy thừa mũ và phương pháp logarit hóa

Biểu thức lũy thừa mũ là biểu thức có dạng y = u v trong đó u = u(x), v = v(x) là các hàm số đối số x và u(x) > 0 Do cả cơ số u và lũy thừ v đều phụ thuộc x nên khi tính đạo hàm của biểu thức loại này ta không thể áp dụng trực tiếp các công thức đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lũy thừa Để tính đạo hàm Ta viết lại biểu thức hàm số dưới dạng: ln y v ln u y= e = e

Với giả thiết các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm, ta có

Ta cũng có thể tính đạo hàm của hàm số y = u v bằng phương pháp logarit hóa như sau:

- Lấy logarit Napeir hai vế: lny = v(x)lnu(x)

- Lấy đạo hàm hai vế theo biến x: ' '

Từ kết quả đạo hàm hai vế, suy ra biểu thức y'

Ví dụ 3.3: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y = ( sin x ) x b) y= x e 2 x 3 cosx

 y ' = ( lnsin x + cot x gx ) (sin ) x x b) y= x e 2 x 3 cosx  lny = 2lnx + x 3 + lncosx

Vi phân của hàm số

3.2.1 Khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm

3.2.1.1 Khái niệm hàm khả vi và vi phân

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trong khoảng XÌ ¡ Ta đã biết, nếu f(x) liờn tục tại điểm điểm x 0 ẻ Xthỡ số gia f x( 0 )= f x( 0 +  −x) f x( 0 )là

VCB khi  →x 0 Định nghĩa 2 Hàm số f(x) được gọi là khả vi tại điểm x 0 nếu tồn tại số thực k sao cho:

Tích k x trong biểu thức (3.2.1) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x 0 và được ký hiệu là df(x 0): df x( 0 )= k x

Ví dụ 3.4: Xét hàm số f x( )= x 2 Tại điểm x0 bất kỳ, ta có:

=  +  Theo định nghĩa, f(x) là hàm khả vi tại x 0 và df x( 0 )=2x 0 x

3.2.1.2 Liên hệ với đạo hàm Định lý 4 Hàm số f(x) khả vi tại điểm x 0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó Khi đó hằng số k trong hệ thức (3.2.1) chính là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0 , tức là df x( 0 )= f x'( 0 )x (3.2.2)

Theo định lý tại mục (3.2.2), vi phân của hàm số f(x) tại điểm x (nếu nó khả vi) được tính theo công thức: df x( )= f x'( )x (3.2.3) Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng X thì biểu thức vi phân df x( )= f x'( )x là một hàm số đối số x xác định trên khoảng X (x là số gia bất kỳ, không phụ thuộc vào X) Áp dụng công thức trên cho hàm số f(x) = x ta có dx=  = x x' x

Vậy, vi phân của biến độc lập x bằng số gia của nó, do đó trong biểu thức

(3.2.3), người ta thường viết dxthay cho x

Do đó, biểu thức vi phân của hàm số y = f(x) thường được viết dưới dạng: df x( )= f x dx'( ) hoặc dy= y dx ' x ( 3.2.4)

3.2.2 Các quy tắc tính vi phân

3.2.2.1 Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lý 5 Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm đó ta có: d u( ± v)= du± dv;

( ) d ku = kdu ( k là hằng số ) ; d uv( )= udv+ vdu; d u vdu 2 udv v v ổ ửữ - ỗ =ữ ỗ ữỗố ứ (v ≠ 0)

3.2.2.2 Tính bất biến của biểu thức vi phân

Nếu y = f(x) là hàm số khả vi của biến độc lập x thì vi phân của nó được tính theo công thức (3.2.4) Ta hãy xét trường hợp x là hàm số khả vi của một biến độc lập t nào đó : x= j ( )t Khi đó y là hàm số của biến độc lập t :

Theo công thức tính vi phân và theo quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có

( ) ( ) t x t x t x dy= y dt= y x dt= y x dt= y dx

Như vậy : Biểu thức vi phân( 3.2.4) vẫn giữ nguyên dạng trong trường hợp x không phải là biến độc lập mà phụ thuộc vào một biến độc lập khác Nói cách khác, biểu thức vi phân ( 3.2.4) bất biến đối với phép đổi biến số x= j ( )t

Các định lý cơ bản về hàm số khả vi

Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng X Nếu f(x) đạt cực trị tại một điểm c bên trong khoảng X ( c không trùng với các đầu mút của khoảng X ) và nếu tại điểm c tồn tại đạo hàm hữu hạn f’(c) thì đạo hàm tại đó phải bằng không

Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử f(x) đạt cực đại tại x = c Vậy với mọi x ≠ 0 khá bé ta có f(c + x) – f(c) < 0

D (3.3.2) theo giả thiết f c'( ) hữu hạn nên từ (3.3.1)và (3.3.2)suy ra f c'( ) = 0.■

Nếu hàm số f(x): a) Liên tục trên đoạn [a ; b]; b) Khả vi trong khoảng mở (a ; b); c) Thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b); thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f’(c) = 0

Chứng minh: Nếu f(x) là hàm hằng trên đoạn [ ; ]a b thì f x'( )= 0, x  (a; b) Vậy ta có thể giả sử f(x) không là hàm hằng trên [ ; ]a b

Vì f(x) liên tục trên đoạn [ ; ]a b nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó Mà f(x) không là hằng số nên tồn tại c  (a; b) sao cho tại c hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(c) lớn nhất trên

[ ; ]a b Khi đó theo định lý Fermat ta cóf c'( )= 0 ■ Ý nghĩa hình học: Nếu cung AB của đườngy= f x( ) với

A a f a B b f b liên tục, có tiếp tuyến tại mọi điểm và nếu f a( )= ( ) f b thì trên cung ấy có ít nhất một điểm C có hoành độ c  (a; b), ở đó tiếp tuyến song song với trục Ox, tất nhiên tiếp tuyến ấy cũng song song với dây cung AB

Nếu hàm số f(x): a) Liên tục trên đoạn [a; b]; b) Khả vi trong khoảng mở (a; b); thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) (3.3.3) Chứng minh:

Thấy rằng hàm h(x) thỏa mãn định lý Rolle nên tồn tại c  (a; b) sao choh c'( )= 0

- , c  (a; b).■ Ý nghĩa hình học: Chú ý rằng

- là hệ số góc của dây cung

AB, còn f c'( )là hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số f(x) tại x = c Nếu hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện a) và b) thì trên cung AB của đường cong f(x) với

A a f a B b f b có ít nhất một điểm C có hoành độ c  (a; b), ở đó tiếp tuyến song song với dây cung AB

Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagange Thật vậy, nếu f a( )= ( ) f b thì từ công thức (3.3.3) ta có ngay f c'( )= 0

Nếu các hàm số f(x), g(x) thỏa mãn các điều kiện: a) Liên tục trên đoạn [a; b]; b) Khả vi trong khoảng (a; b) và g’(x) ≠ 0, x  (a; b); thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho

Vì g(x) thỏa mãn định lý Lagrange nên  c (a; b) sao cho g b( ) – ( ) g a = '( )(g c b- a).

Mặt khỏc, vỡ g c'( )ạ 0 nờn từ hệ thức trờn suy rag a( )ạ g b( )

Bây giờ ta xét hàm số ( ) ( )

- Thử trực tiếp, thấy rằng hàm số h(x) thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle, do đó  c (a; b) sao cho: h c'( )= 0

Chú ý: Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange, vì nếu chọn g(x) = x, ta cóg'(x)= 1, g'(c)= 1, g(a)= a, g(b)= b Thế vào công thức (3.3.4), ta được công thức (3.3.3)

Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng: sinx- siny £ x- y

Giải: Xét hàm sốy = sinx, hàm số này thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange trên đoạn [a; b] tùy ý Áp dụng định lý Lagrange trên đoạn [x; y] (hay [y; x]), ta có: sin – sin x y = cos c x ( – , y ) c ẻ ( x y ; )

Ví dụ 3.5: Xác định điểm C của định lý Lagrange với hàm số f x( )= x 2 trên đoạn[ - 1;3 ]

Giải: Dễ thấy hàm số f x( )= x 2 thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange.Ta cú f x'( )= 2 x Suy ra tồn tại c ẻ ( - 1; 3 ) sao cho

Đạo hàm và vi phân cấp cao

Như ta đã biết, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm XÌ ¡ thì đạo hàm y'= f'(x) là một hàm số đối số x xác định trong miền X, do đó ta có thể lấy đạo hàm của hàm số y'= f'(x) Đạo hàm của đạo hàm của hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số đó Tiếp theo, ta lại có thể xét đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x) như một hàm số đối số x và lấy đạo hàm của nó Định nghĩa 3 Đạo hàm của đạo hàm cấp n 1- của hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số đó

( ) d y d f x dx = dx ; +) Đạo hàm cấp 3 : y'''= f '''( )x hoặc

+) Đạo hàm cấp n : y ( ) n = f ( ) n ( )x hoặc n n ( ) n n d y d f x dx = dx ;

Ví dụ 3.6: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) y = e kx b) y = sinx c)y a bx c

= + (a, b, c là các hằng số, ab ≠ 0)

Giải: a) Ta cóy'= ke kx ; ''y = k e 2 kx ; ; y ( ) n = k e n kx b) Ta có ' cos sin y = x= ổỗỗỗốx + p2 ửữữữứ

Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng X thì vi phân dy là một hàm số của biến x: dy= f x dx'( ) , trong đó vi phân dx của biến độc lập x là số gia Dx, không phụ thuộc x Khái niệm vi phân cấp cao được định nghĩa tương tự đạo hàm cấp cao Định nghĩa 4 Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp

Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) được ký hiệu d y d f x n , n ( ):

Trong công thức vi phân dy= y x dx'( ) , đạo hàm y' phụ thuộc x, còn x d = Dx là số gia bất kỳ của biến độc lập x, không phụ thuộc x Do đó, khi xem dy như một hàm số của x thì dx được xem như hằng số Ta có:

= = = Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh công thức tính vi phân cấp n của một hàm số theo đạo hàm cấp n của nó:

Ứng dụng của đạo hàm trong việc tính giới hạn dạng vô định

3.5.1 Tính các giới hạn dạng vô định dạng 0

Quy tắc L’Hospital cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử các dạng vô định dạng 0

0 và ¥ ¥ khi tính giới hạn của hàm số Định lý 6 Giả sử a) Các hàm số f(x), g(x) khả vi trong lân cận V() của điểm x 0 (có thể trừ điểm x 0 ), g’(x) ≠ 0 trong lân cận ấy; b)

0 0 lim ( ) lim ( ) 0. x x f x x x g x ® = ® Khi đó nếu tồn tại

'( ) x x f x g x ® thì cũng tồn tại giới hạn

Chú ý: (1) Quy tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

(2) Khi áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới hạn vẫn còn dạng vô định trong các loại trên, thì ta có thể áp dụng tiếp quy tắc L’Hospital với điều kiện của định lý

Ví dụ 3.7: Tìm các giới hạn sau a)

1 cos lim limcos lim sin 1 cos cos (1 cos )

0 0 0 sin 1 cos sin 1 lim lim lim

6cos3 sin3 lim lim cos lim

3 3 3.2cos sin cos 3 x x x tgx x x x tg x x x x p p p ® ® ®

2 2 sin6 6cos6 lim lim 3 sin2 2cos2 x x x x x x p p ® ®

3.5.2 Các dạng vô định khác

Tất cả các dạng vô định khác đều có thể biến đổi về dạng 0

0 hoặc ¥ ¥ +) Dạng vô định 0. là dạng giới hạnlim( )f g , trong đó f = f(x) có giới hạn 0 và hàm số g = g(x) có giới hạn là ¥

Gặp dạng vô định trên ta biến đổi về dạng

+) Dạng vô định ¥ - ¥ là dạng giới hạn lim ( f - g ), trong đó f = f(x), g = g(x) là hai hàm số cùng dấu và cùng có giới hạn là ¥

Gặp dạng vô định trên ta biến đổi về dạng

+) Các dạng vô định 0 0 , 1  ,  0 xuất hiện khi tính giới hạn của biểu thức f g , trong đó f = f(x) > 0 và g = g(x)

Gặp dạng vô định này ta khử dạng vô định như sau:

Từ hàm số y = f(x) g(x) , ta lấy logarit Napier hai vế được ln y = g x( )ln ( )f x Do đó:

Do tính chất của hàm liên tục ta có:

Ví dụ 3.8: Tìm giới hạn các sau a) 2 lim0 x x x ® ; b)

Giải: a) Ta có 2 lim0 x x x ® 2 0 lim( ln ) x x x e ®

2 ln lim ln 2lim 2lim 2

1 x 2 1 limx x - e - ® Chú ý: Định lý L’Hospital là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần của sự tồn tại giới hạn của tỷ số

2 sin cos ( )' x x x x = x- x Suy ra không tồn tại giới hạn

( )' x x x , do đó không thể áp dụng quy tắc L’Hospital được.

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

Nguyên hàm và tích phân bất định

4.1.1 Nguyên hàm của hàm số

4.1.1.1 Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa 1 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khoảng

X nếu với mọi x  X, ta có:

Ví dụ 4.1: Hàm số sinxlà nguyên hàm của hàm sốcos x trên toàn trục số vì:

4.1.1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát Định lý 1 Giả sử hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) trong một khoảng X

- Hàm số F(x) + C với C là hằng số tùy ý, cũng là một nguyên hàm của f(x);

- Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng: F(x) + C, trong đó C là một hằng số tùy ý

4.1.2.1 Định nghĩa tích phân Định nghĩa 2 Tích phân bất định của hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số đó và ký hiệu là: ò f x dx( )

+) Dấu  gọi là dấu tích phân;

+) f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân;

+) f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân;

+) x gọi là biến số lấy tích phân

4.1.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

Từ định nghĩa tích phân bất định, dễ dàng suy ra các tính chất sau: a) ( ò f x dx ( ) ) ' = ( ) f x hay d ( ò f x dx( ) )= ( )f x dx ; b) ò dF x( ) = ( ) F x + C ; c) ũ af x dx( ) = a ũ f x dx( ) ( ằ );a là h ng số d) ò [ f x ( ) ± ( ) g x dx ] = ò f x dx ( ) ± ò g x dx ( )

4.1.3 Các công thức tích phân cơ bản

Với a là một hằng số dương, ta có các công thức sau:

1dx ln x C x = + ò ò tan xdx = - ln cos x + C x x a a dx (a 1 và a 0) lna C

= + ạ > ò ò cot xdx= ln sin x + C x x e dx= e + C ò 2 2

= - + ò sinxdx = - cos x + C ò ò a 2 dx - x 2 = 2 1 a ln a a - + x x + ; C cosxdx = sin x + C ò ò a 2 dx - x 2 = arcsin a x + ; C

Ví dụ 4.4 : Tính 2 2 sin cos dx x x ò

Giải: Vì 1= sin 2 x + cos 2 x nên

1 sin cos 1 1 tan cot sin cos sin cos cos sin x x dx dx dx x x C x x x x x x ổ ử

Ví dụ 4.5 : Tính cos2 cos sin

2 2 cos sin cos sin sin cos cos sin x x

Các phương pháp tính tích phân bất định

4.2.1 Phương pháp đổi biến số

Xét tích phân sau I = ò f x dx( )

Giả sử x = ( )j t là một hàm số liên tục, có đạo hàm liên tục và có hàm số ngược Khi đó dx = '( )j t dt Trong trường hợp đó ta có công thức ò f x dx ( ) = ò f [ j ( ) t ] j '( ) t dt

Trong dạng này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn ò f [ j ( ) t ] j '( ) t dt = F ( ) t + C

Vậy trở lại biến cũ t = j - 1 ( ) x ta được:

Giải: Hàm số dưới dấu tích phân xác định khi x−1,1 Để khử căn, ta đổi biến số x= sint với ; t é p p2 2ù ê ú ẻ -ờở ỳỷ Ta cú : cos , dx = tdt 1- x 2 = cos 2 t = cos t = cost vì ; t é p p2 2ù ê ú ẻ -ờở ỳỷ

Trở về biến số x, ta có : arcsin t = x, cos t = 1- x 2 , sin2t= 2sin cost t = 2x 1- x 2 Vậy

Giải: Đổi biến sốx = a.tant, với , tẻ -ổỗỗỗố p p2 2ửữữữứ, ta cú 2 cos dx adt

Trở về biến số x, ta có :

Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx có thể viết dưới dạng:

( ) ( ) '( ) , f x dx= gj x j x dx thì ta thực hiện phép biến đổi j ( )x = tvà được :

+ + ò ò , mà 3 x 2 = ( x 3 )', nên ta đổi biến số x 3 = t

Ta có 3x 2 dx = dt, do đó:

Ví dụ 4.9: Tính ( ln x ) 2 dx ò x Giải: Đặt t = lnx, ta có dx. dt= x

+ + và (1+ e x )'= e x , nên nếu đổi biến số

4.2.2 Phương pháp tính tích phân theo từng phần

Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàm u x v x'( ), '( )liên tục

Khi đó từ công thức vi phân của một tích: d(uv) = udv + vdu

Suy ra : ò udv= ò d uv( )- ò vdu  ò udv = uv - ò vdu (4.2.1)

Công thức (4.2.1) được gọi là công thức tính tích phân từng phần

Chú ý: Công thức (4.2.1) thường được áp dụng trong việc tính v nếu biết dv dễ dàng và khi việc tính ò vdu đơn giản hơn việc tính ò udv

Ví dụ 4.11: Tính các tích phân sau a)ò xsinx dx b) ò xarctanx dx c) ò e - 2 x cosx dx

Giải: a) ò xsinx dx = ò xd ( cos ) - x = - x cos x + ò cos xdx = - x cos x + sin x + C b) ũ xarctanx dx = ũ arctan x d ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ x 2 2 = x 2 2 arctan x - ũ x 2 2 x 2 1 + 1 dx

2 2 x x- x- x + C c) ò e - 2 x cosx dx = ò e - 2 x d (sin ) x = e - 2 x sin x + 2 ò sin xe - 2 x dx

Chú ý: Phương pháp tính tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng sau đây:

+)ò P x n ( )cosaxdx,ò P x n ( )sinaxdx,ò P x e dx n ( ) ax : Đặt u = P n (x)

+)ò P x n ( )arccosax dx,ò P x n ( )arcsinax dx,ò P x arc n ( ) cotx dx,

P x x dx P x xdx ò ò Đặt dv = P n (x)dx

(trong đó a là hằng số, P n (x)là đa thức bậc n đối với x)

2 3 x u x dv e dx ỡù = - ùớù ùợ  du 2 x xdx v e ì ùùớ ù ùợ Theo cụng thức (4.2.1) ta được:

( x 2 - 3 ) e dx x = ( x 2 - 3 ) e x - 2 xe dx x ò ò Đặt u x x dv e dx ỡ =ùù ớù ùợ  du x dx v e ì ùùớ ù ùợ

Do đó: ò ( x 2 - 3 ) e dx x = ( x 2 - 3 ) e x - 2 ( xe x - ò e dx x )

( 5 1) u x dv x x dx ỡ =ùù ớù = + - ùợ  3 2

3 2 du dx x x x v x ỡùù ùùùớ ùù = + - ùùùợ

Khi đó ò(x 2 + 5x- 1)lnxdx = é ê ê x 3 3 + 5 2 x 2 - x ù ú ú ln x - ( x 3 2 - 5 2 x + 1) dx ở ỷ ũ

Một số dạng tích phân cơ bản

4.3.1 Tích phân của các phân thức hữu tỷ

4.3.1.1 Phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất

Tích phân P x ( ) dx ax+ b ò (P(x) là một đa thức) có thể tính dễ dàng bằng cách biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng:

+ + trong đó Q(x) là thương của phép chia đa thức và c là số dư của phép chia Tích phân của đa thức Q(x) có thể tính dễ dàng, còn tích phân của hạng thức thứ hai được tính theo công thức:

Ví dụ 4.14: Tính tích phân

4.3.1.2 Phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai

Bằng cách chia đa thức, ta có thể biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng:

+ + + + trong đó nhị thức Mx+ Nlà phần dư của phép chia Để tính tích phân 2 Mx N

+ + ò ta biến đổi phân thức dưới dấu tích phân như sau:

Mx N dx dx x px q x px q

M x p dx Mp dx x px q N x px q ổ ử

= + + + ỗỗố - ữữứ + + Sau khi khai triển ta được

+ + ò có thể tính được như sau : +) Trường hợp 1 Tam thức x 2 + px+ q có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2:

+) Trường hợp 2 Tam thức x 2 + px+ q có nghiệm kép x 0:

+) Trường hợp 3 Tam thức x 2 + px+ q không có nghiệm thực:

4.3.2 Tích phân của một số biểu thức lượng giác

4.3.2.1 Tích phân dạng I = ò R(sin ;cos )x x dx, ở đây R là một hàm số theo biến cosx, sinx

- Phương pháp giải tổng quát: Đặt tan

= - + thay vào ta đưa I về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ

+) Nếu R(sin ;cos )x x là hàm lẻ đối với biến sinx, tức là

R- x x = - R x x thì dùng phép đặt t = cosx

+) Nếu R(sin ;cos )x x là hàm lẻ đối với biến cosx, tức là

R x- x = - R x x thì dùng phép đặt t = sinx

+) Nếu R(sin ;cos )x x là hàm chẵn đối với biếnsin ,cosx x, tức là:

R- x- x = R x x thì dùng phép đặt t= tanx

Ví dụ 4.16: Tính tích phân

Ví dụ 4.17: Tính tích phân sin

Giải: 1 sinx là hàm lẻ đối với biến sin x nên ta đặt t = cosx- dt = sinxdx sin

= ũ x = ũ sin sin xdx 2 x = ũ 1 - - dt t 2 = 1 2 ũ ổ ỗ ỗỗố t -1 1 - t +1 1 ửữ ữữứ dt = 1 2 ln t t - + 1 1 + C

Ví dụ 4.18: Tính tích phân cos3

+ là hàm lẻ đối với biến cosx nên ta đặt t = sinx cos dt = xdx cos3

= x ũ + = ũ (1 sin - 4+ 2 x sin ) cos x x dx = ũ (1 - 4+ t dt 2 ) t = ũ ổ ỗ ỗỗố4 - t - 4 15+ t ử ữ ữữứ dt

Ví dụ 4.19: Tính tích phân 2 2 sin 2sin cos cos

Giải: Dễ thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với biến sinxvàcosx Vậy, đặtt= tanx

(tan ) cos (tan 2 tan 1) (tan 2 tan 1)

Cả ba trường hợp này ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng như sau:

[ ] cos cos 1 cos( ) cos( ) ax bx= 2 a+ b x+ a- b x

[ ] sin os 1 sin( ) sin( ) axc bx= 2 a+ b x+ a- b x

[ ] sin sin 1 os( ) os( ) ax bx= 2 c a- b x- c a+ b x

Khi lấy tích phân, thì vế phải của các biểu thức trên là các tích phân cơ bản

4.3.3 Tích phân của một số biểu thức chứa căn

Trong phần này ta chỉ xét các tích phân của một số biểu thức vô tỷ có dạng sau:

4.3.3.1 Tích phân dạng , , , m r n s ax b ax b

= ờờ ỗỗố + ữữứ ỗỗố + ữữứ ỳỳ ê ú ở ỷ ò trong đó R là hàm số hữu tỷ đối với x, m ax b n cx d ổ + ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố + ứ , , , r ax b s cx d ổ + ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố + ứ

Gặp trường hợp này ta đặt t k ax b cx d ổ + ửữ

= ỗỗỗố + ữữứ, trong đú k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số m r

Khi đó đưa tích phân đã cho về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ đối với ẩn t

Ví dụ 4.20: Tính tích phân

Vậy đặt x = t 6 dx= 6t dt 5 , x= t 3 , 3 x 2 = t 4 thay vào I ta được:

4.3.3.2 Tích phân dạng I = ò R x( , ax 2 + bx+ c dx)

Trong đó R là hàm hữu tỷ đối với x và ax 2 + bx+ c

Khi gặp tích phân dạng này chúng ta biến đổi tam thức bậc hai ax 2 + bx + c về dạng tổng hay hiệu hai bình phương Khi đó hàm R trở thành một trong ba trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: R x ( ; ( kx + l ) 2 + m 2 ) trường hợp này đặt: tan kx + l= m t, với t  −  

+)Trường hợp 2: R x ( ; ( kx + l ) 2 - m 2 ) trường hợp này ta đặt: cos kx l m

+)Trường hợp 3: R x ( ; m 2 - ( kx + l ) 2 ) trường hợp này ta đặt: sin kx + l= m t, với t  −  

(với a, b, c, k, l, m là các hằng số; ak ≠ 0)

Ví dụ 4.21: Tính tích phân

Giải: Ta có (5+ 2x+ x 2 )= 4+ (1+ x) 2 Đặt : 1 + x= 2tan t  2 2 cos dx dt

Mặt khác ta có sin t = 1- cos 2 t 2 2 tan 1

+ + + thay vào kết quả trên ta được:

Tích phân xác định

4.4.1 Khái niệm tích phân xác định

4.4.1.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong:

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên [a; b] Hãy tính diện tích hình thang cong aABb giới hạn bởi trục Ox, đường cong y = f(x) và hai đường thẳng x

Chia tùy ý đoạn [a; b] thành n đoạn chia nhỏ bởi các điểm chia: a = x 0 < x 1 < < x i < x i+1 < < x n–1

Từ các điểm chia ấy, dựng những đường thẳng vuông góc với trục

Ox Khi đó, hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ

Diện tích của hình thang cong nhỏ thứ x y

A B x 1 x i  i x i+1 x n-1 y = f(x) i có thể xem như gần đúng bằng diện tích hình chữ nhật có kích thước là x i = x i + 1 – x i và f( i ), với  i là điểm bất kỳ thuộc đoạn [x i ; x i + 1 ] Do đó, diện tích S của hình thang cong aABb gần đúng bằng:

Dễ thấy rằng nếu độ dài các đoạn nhỏ x i càng nhỏ thì độ chênh lệch giữa

S và S n càng bé Do đó, diện tích S của hình thang cong aABb được xem như là giới hạn của tổng S n khi maxx i → 0

4.4.1.2 Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a; b] Chia một cách tùy ý đoạn [a; b] bởi các điểm chia: a = x 0 < x 1 < < x i < x i+1 < < x n–1 < x n = b

Trên mỗi đoạn nhỏ [x i ; x i +1 ], lấy một điểm bất kỳ  i và lập tổng

Nếu n →  sao cho maxx i → 0, I n dần tới một giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và cách chọn  i trong đoạn [x i ; x i +1 ] thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

Khi đó ta nói rằng:

+) Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a; b]

+) Đoạn [a; b] gọi là khoảng lấy tích phân,

+) a là cận dưới, b là cận trên, x là biến số lấy tích phân,

+) f(x) là hàm số dưới dấu tích phân,

+) f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

- Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, nó chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) và các cận lấy tích phân Tức là trong ký hiệu

( ) b a f x dx ò ta có thể thay đổi biến số x bởi một biến số khác, chẳng hạn là t, z hay u, thì giá trị tích phân của nó không thay đổi Ta có:

- Với bài toán tính diện tích hình thang cong đã xét ở trên ta có diện tích S của hình thang được tính bằng công thức:

- Trong định nghĩa trên ta luôn giả thiết a < b Nếu a > b thì ta có: ò ( ) = - ò ( ) b a a b f x dx f x dx Đặc biệt nếu a = b thì: ( ) 0 a a f x dx ò

4.4.2 Điều kiện khả tích Định lý 2 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b] Định lý 3 Nếu f(x) bị chặn trong [a; b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong đoạn [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b] Định lý 4 Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a; b] thì khả tích trong [a; b]

Ví dụ 4.22: Tính tích phân b x a

Hàm số f x( )= e x liên tục trên đoạn [a; b] nên nó khả tích trên đoạn [a; b] Ta có:

= ồ D ò , giới hạn ở vế phải không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và cách chọn các điểm  i Vì vậy, ta sẽ chia đoạn [a; b] và chọn điểm  i một cách đặc biệt để việc tính toán được đơn giản Ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia: x 0 = a, x 1 = a + x, , x i = a + ix, ,x n = a + nx với x b a n

D = - và chọn điểm  i  x i (i = 0, 1, 2, , n – 1) Khi đó, ta có:

Biểu thức trong dấu ngoặc là một cấp số nhân, số hạng đầu là 1, công bội là x

Nhận xét: Việc tính tích phân xác định trực tiếp từ định nghĩa như trong ví dụ trên là rất khá phức tạp ngay cả khi hàm số dưới dấu tích phân là hàm số sơ cấp cơ bản e x Ở phần tiếp theo sẽ đưa ra phương pháp tính tích phân xác định đơn giản hơn

4.4.3 Các tính chất của tích phân xác định

Căn cứ vào định nghĩa của tích phân xác định, có thể chứng minh được các tính chất sau:

Giả sử các tích phân xác định sau đây đều tồn tại Khi đó: a ( ) ( ) b b a a kf x dx= k f x dx ò ò (k là hằng số); b [ ( ) 1 2 ( )] 1 ( ) 2 ( ) b b b a a a f x ± f x dx= f x dx± f x dx ò ò ò ; c ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx= f x dx+ f x dx ò ò ò ; đẳng thức này đúng ngay cả khi c không nằm giữa a và b

Giả sử các tích phân sau đây đều tồn tại và a < b Khi đó: d Nếu f(x)  0, x  [a; b] thì ( ) 0; b a f x dx³ ò e Nếu f(x)  g(x), x  [a; b] thì ( ) ( ) ; b b a a f x dx³ g x dx ò ò f Nếu m  f(x)  M, x  [a; b], m, M là các hằng số thì:

( ) ( ) ( ). b a m b- a £ ò f x dx£ M b- a g Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì    [a; b] sao cho:

Chú ý: Tính chất này còn được gọi là định lý về giá trị trung bình

Giá trị của hàm số f(x) tại điểm : 1

( ) ( ) b a f f x dx b a x - ò gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

4.4.4 Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm Công thức Newton - Leibnitz

Cho đến nay, ta xét hai khái niệm nguyên hàm và tích phân xác định một cách độc lập Thực chất hai khái niệm ấy có mối liên hệ với nhau Trong mục này, ta sẽ thiết lập mối quan hệ ấy

4.4.4.1 Đạo hàm của tích phân theo cận trên

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên [a; b] Xét tích phân ( ) x a f t dt ò với a

 x  b Nếu giữ cận dưới a cố định, để cận trên thay đổi thì giá trị của tích phân phụ thuộc vào x Đặt ( ) ( ) x a

Hàm số I(x) xác định trên [a; b] Nó có tính chất sau: Định lý 5 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì

Chứng minh: Cho x một số gia x sao cho x + x  [a; b] Khi đó ta có:

Theo tính chất g của tích phân xác định, ta có: I(x) = f()x,  là một điểm nằm giữa x và x + x Do đó:

Khi x → 0 thì x + x → x, suy ra  → x Vì hàm số f(x) liên tục tại x nên

Nhận xét: Từ định lý trên ta suy ra rằng nếu f(x) liên tục trên [a; b] thỡ" ẻx ; [ a b ], hàm số ( ) ( ) x a

I x = ò f t dt là một nguyên hàm của f(x) Vậy có thể khẳng định rằng mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn ấy

4.4.4.2.Công thức Newton - Leibniz Định lý 6 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì:

( ) b a f x dx ò F(b) − F(a) (4.4.1) Chứng minh: Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Mặt khác, theo định lý 4, ( ) ( ) x a

I x = ò f t dt cũng là một nguyên hàm của f(x) Do đó:

Công thức (4.4.1) được gọi là công thức Newton – Leibniz

Ký hiệu F(b) – F(a) = F(x) b a Khi đó công thức (4.4.1) được viết là :

4.4.5 Phương pháp đổi biến số

Cho tích phân I = ( ) b a f x dx ò , trong đó hàm số f(x) liên tục trên [a; b]

Thực hiện phép đổi biến số x = (t) Nếu: a) () = a, () = b; b) (t) và ’(t) liên tục trên [; ]; c) f[(t)] liên tục trên [; ], thì ta có công thức ( ) ( ( )) '( ) b a f x dx f t t dt b a j j ò = ò

Thật vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F[(t)] là một nguyên hàm của f[(t)]’(t) Áp dụng công thức Newton – Leibniz, ta có:

Ví dụ 4.23: Tính tích phân

I dx x ò + Giải: Đặt x = tant dx = (1 + tan ) 2 t dt Đổi cận

1 4 x t x t p ỡ = ị ùùùớ ù = ị ùùợ Thay vào I ta được:

Nếu hàm dưới dấu tích phân f(x) có dạng f(x) = g[(x)]’(x) thì để tích phân ( ) [ ( )] '( ) b b a a f x dx= gj x j x dx ò ò ta đổi biến số (x) = t Nếu (x) biến thiên đơn điệu và có đạo hàm ’(x) liên tục trên [a; b] còn g(t) liên tục trên [(a),

(b)], ta có công thức: ( ) b a f x dx ò = [ ( )] '( ) b a gj x j x dx ò =

Ví dụ 4.24 : Tính tích phân

Giải: Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận:

2 1 x t x p t ỡ = ị ùùùớ ù = ị ùùợ thay vào I ta được:

4.4.6 Phương pháp tính tích phân từng phần

Giả sử u(x) và v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] Từ công thức tính tích phân từng phần đối với tích phân bất định và công thức Newton – Leibniz, suy ra công thức: b b b a a a udv= uv - vdu ò ò

Ví dụ 4.25: Tính tích phân

1 du dx u x dv dx x v x ỡ = ỡùù ù ù ù ị + í í ù = ù ùợ ù =ùợ

4.4.7.1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn

Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng [ ; a+ ¥ ) Khi đó, với mọi [ ; ) tẻ a+ Ơ tồn tại tớch phõn:

F t = ò f x dx Định nghĩa 3 Giới hạn của tích phân F(t) khi t® ¥ được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên khoảng [ ; a+ ¥ ) và ký hiệu như sau:

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng (4.4.2) hội tụ Ngược lại, nếu giới hạn ở vế phải là vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân đó phân kỳ

Tích phân của hàm số f(x) trên các khoảng (- ¥ ; ],(a - ¥ + ¥; )được định nghĩa tương tự:

Tương tự như tích phân thông thường, ta có thể sử dụng công thức

= + ò ò ò a a f x dx f x dx f x dx nếu cả hai tích phân ở vế phải hội tụ ( a là một số bất kỳ )

0 0 lim lim arctan lim arctan( ) arctan0

Ví dụ 4.27: Xét sự hội tụ của

= = ùớ - ùù ũ ùợ t dx t khi

Kết luận: Tích phân suy rộng

= ò hội tụ khi a > 1 và phân kỳ khi a £ 1

4.4.7.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

Các hàm số không bị chặn trên đoạn [a; b] không khả tích, tức là tích phân xác định trên đoạn đó không tồn tại theo nghĩa thông thường Ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp này

Giả sử hàm số f(x) liờn tục tại mọi điểm x ẻ [ a b ; ), nhưng f(x) cú giới hạn vô hạn khi x® b - Ta gọi điểm b là điểm kỳ dị của hàm số f(x) Với mọi

[ ; ) tẻ a b , hàm số f(x) liờn tục trờn [ ; ]a t , do đú tồn tại tớch phõn:

I t = ò f x dx Định nghĩa 4 Giới hạn của tích phân I(t) khi t® b - được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên đoạn [ ; ]a b và ký hiệu như sau:

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng (4.4.3) hội tụ Ngược lại, nếu giới hạn ở vế phải là vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân đó phân kỳ

Trường hợp hàm số f(x) liờn tục tại mọi điểm xẻ ( ; ]a b và cú giới hạn vụ hạn khi x® a + ( a là điểm kỳ dị ), tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên đoạn [ ; ]a b được định nghĩa tương tự:

Trường hợp hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và có giới hạn vô hạn trong cả hai quá trình x® a + và x® b - ( cả a và b đều là điểm kỳ dị ), tích phân suy rộng được định nghĩa như sau:

Tương tự như tích phân thông thường, ta có thể sử dụng công thức

( ) = ( ) + ( ) ò ò ò b c b a a c f x dx f x dx f x dx nếu cả hai tích phân ở vế phải hội tụ ( a < c < b )

1 lim lim arcsin lim ( arcsin )

Ví dụ 4.29: Xét sự hội tụ của ,

Giải: Hàm số dưới dấu tích phân trở nên vô cùng khi x = b

Với   1, ta có: ( ) 1 lim lim

( ) b a dx b x ò - lim ( ) c c b a dx b x ® - ò - lim[ln( ) ln( )] c b b c b a ® -

( ) b a dx b- x a ò hội tụ nếu  < 1, phân kỳ nếu   1.

Một số ứng dụng của tích phân xác định

4.5.1 Tính diện tích hình phẳng

- Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong liên tục y = f(x) là

- Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x =a, x = b và hai đường cong liên tục y = f(x), y = g(x) là

Ví dụ 4.30: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 và đường thẳng x + y = 3

Giải: Hoành độ giao điểm của đường cong và đường thẳng là nghiệm của hệ: x 2 + 1 = 3 – x  

Ví dụ 4.31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (x + 1) 2 , x = siny, y 0 với 0  y  1

4.5.2 Tính thể tích vật tròn xoay

- Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x) và các đường thẳng x = a, x = b, y = 0 (a < b) quanh trục Ox là:

- Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường cong x = (y) và các đường thẳng y = a, y = b, x = 0 (a < b) quanh trục Oy là:

Ví dụ 4.32: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong a) y = x 2 , y = 0, x = 1 quay quanh trục Ox b) y = cosx, y = 0, )

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Các khái niệm cơ bản

5.1.1 Hàm số hai biến số

5.1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số

Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị của biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Ví dụ: sản lượng, tức là số lượng sản phẩm của một nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào như lao động, vốn, …

Khái niệm hàm số n biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào n biến số khác Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n = 2

Cho một cặp biến số có thứ tự (x; y), ta có thể đồng nhất mỗi cặp số với một điểm M(x; y) của mặt phẳng Mặt phẳng tọa độ được gọi là không gian hai chiều và ký hiệu là ¡ 2 Theo quan điểm này, một cặp biến số (x; y) được xem như một biến điểm M(x; y) với miền biến thiên là một tập hợp D của không gian ¡ 2 Định nghĩa 1 Một hàm số f của biến điểm M(x; y), với miền biến thiênDÌ ¡ 2 , là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x; y) D với một và chỉ một số thực z

Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm M(x; y) được gọi là giá trị của hàm f tại M(x; y) và được ký hiệu là f(M) hoặc f(x; y) Hàm f được xác định như trên được gọi là hàm số hai biến số x và y x, y được gọi là các biến số độc lập; z là biến số phụ thuộc hàm số vào các biến x, y

Khi cho một hàm hai biến, các cách diễn đạt sau là như nhau:

- Hàm số f xác định trên miền DÌ ¡ 2 ;

5.1.1.2 Miền xác định của hàm số

Miền xác định của hàm hai biến z = f(x; y) là miền biến thiên của biến điểm M Nếu biểu diễn hình học thì miền biến thiên là một tập hợp trong mặt phẳng tọa độ

Thông thường một hàm của hai biến x, y được cho dưới dạng một biểu thức f(x; y) Mỗi biểu thức có một miền xác định tự nhiên của nó Miền xác định tự nhiên của một biểu thức tập hợp tất cả các cặp số thực (x; y) mà biểu thức đó có nghĩa khi ta gán các giá trị x, y Nói chung miền xác định của một hàm hai biến cho dưới dạng biểu thức có thể là tập con D bất kỳ của miền xác định tự nhiên của biểu thức đó Ta quy ước, nếu không nói gì thêm về miền xác định của một biểu thức thì miền xác định của nó được hiểu là miền xác định tự nhiên

Ví dụ 5.1: Miền xác định của hàm số z = x + y là toàn bộ mặt phẳng x0y

Ví dụ 5.2: Miền xác định của hàm số z = ln 4 ( - x 2 - y 2 ) là tập tất cả các điểm

M(x; y) thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 < 4 Như vậy miền xác định là hình tròn có tâm ở gốc tọa độ có bán kính r = 2, không kể các điểm trên đường tròn

5.1.1.3 Đồ thị hàm hai biến Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) trong không gian ba chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y và trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z

Miền xác định D của hàm số z = f(x; y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (0xy) Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng một giá trị của hàm số z, theo đó ta có tương ứng một điểm P(x; y; z) trong không gian Định nghĩa 2 Đồ thị của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm P(x; y; z) trong không gian, trong đó M(x; y) là điểm bất kỳ thuộc miền xác định D và z là giá trị của hàm số tại điểm đó

Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z = 4 - x 2 - y 2 là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và bán kính R = 2

Cho z = f(x; y) là hàm số xác định trong miền D và z 0 là một giá trị cố định của hàm số đó Định nghĩa 3 Đường mức của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm M(x ; y) thỏa mãn điều kiện : f(x; y) = z 0 , với z0 là một giá trị cố định Nói cách khác, đường mức của hàm hai biến z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng ( 0xy ) mà tại đó hàm số nhận cùng một giá trị z 0 cố định

Thông thường đường mức của một hàm hai biến là một đường trên mặt phẳng Mỗi giá trị z 0 cố định tương ứng với một đường mức

Ví dụ 5.4: Các đường mức của hàm số z= 2x+ 3y là các đường thẳng có phương trình 2x+ 3y= z 0 , với z 0 là hằng số trên hình 5.1 là các đường mức của hàm số này ứng với các giá trị z 0 = 6;z 0 = 0;z 0 = - 6

Theo phương pháp tọa độ, mỗi điểm trên mặt phẳng được đồng nhất với một bộ hai số thực có thứ tự (x; y) và mỗi điểm trong không gian ba chiều được đồng nhất với bộ ba số có thứ tự (x; y; z)

Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách giữa hai điểm M(x; y) và M’(x’; y’) được xác định theo công thức:

Tương tự, trong không gian ba chiều khoảng cách giữa hai điểm M(x; y; z) và M’(x’; y’; z’) được xác định theo công thức:

Một cách tổng quát ta có định nghĩa điểm n chiều và không gian n chiều như sau: Định nghĩa 4 Mỗi bộ n số thực cú thứ tự ( ;x x 1 2 ; ẳ; )x n được gọi là một điểm n chiều Để gỏn tờn cho điểm n chiều ( ;x x 1 2 ; ẳ; )x n ta dựng cỏc chữ cỏi in hoa, chẳng hạn điểm X thì ta viết:

X= x x ẳ x hoặc X x x( ; 1 2 ; ẳ; )x n Định nghĩa 5 Không gian điểm n chiều (gọi tắt là không gian n chiều) là tập hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa hai điểm

X x x ẳ x và X x'( ' ; ' ; 1 x 2 ẳ; ' )x n được xỏc định theo cụng thức: d X X( ; ')= (x 1 ' - x 1 ) 2 + (x 2 ' - x 2 ) 2 + + (x n ' - x n ) 2 (5.1.1)

Không gian n chiều được ký hiệu là ¡ n

Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách trong không gian ¡ n , xác định theo công thức (5.1.1), thỏa mãn các tính chất đã biết của khoảng cách trong không gian hai chiều và không gian ba chiều:

Với bất kỳ ba điểm X, X’, X” thuộc không gian ¡ n ta có:

5.1.2.2 Khái niệm hàm số n biến số Định nghĩa 6 Một hàm số f của biến điểm X x x( ; 1 2 ; ẳ; )x n , với miền biến thiờn D  Ă n , là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm X x x( ; 1 2 ; ẳ; )x n  D với một và chỉ một số thực z

Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm

X x x ẳ x được gọi là giỏ trị của hàm f tại X và được ký hiệu là f(X) hoặc f(x 1; x 2; …; x n ) Hàm f được định nghĩa như trên được gọi là hàm số n biến số

Các khái niệm khác của hàm số n biến số được định nghĩa tương tự như đã định nghĩa ở hàm hai biến số.

Giới hạn và tính liên tục

5.2.1 Giới hạn của hàm số hai biến số

5.2.1.1 Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng Định nghĩa 7 Dãy điểm M n (x n ; y n ) gọi là dần tới điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) khi n → +, nếu lim n 0 n d ® + ¥ Nếu gọi d n là khoảng cách giữa hai điểm M 0 và M n : d n = (x n - x 0 ) 2 + (y n - y 0 ) 2

Khi đó ta kí hiệu lim n 0 n M M ® + ¥ = hoặc M n ® M 0 khi n® + ¥

Rõ ràng dãy điểm M n (x n ; y n ) dần tới điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) khi và chỉ khi lim n 0 n x x ® + ¥ = và lim n 0 n y y ® + ¥ Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M 0 , có thể trừ tại điểm M 0

5.2.1.2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa 8 Hàm số f(M) được gọi là giới hạn L khi điểm M(x; y) dần tới điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu với mọi dãy điểm M n (x n ; y n ) thuộc lân cận V, dần tới điểm

M0(x0; y0) ta luôn có lim ( n ; n ) n f x y L ® + ¥ Khi đó ta viết:

( ; )lim( ; ) ( ; ) x y x y f x y L ® Định nghĩa 9 Hàm số f(M) được gọi là có giới hạn L khi M(x; y) dần đến

M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu với mọi  > 0, tồn tại  > 0 sao cho:

( 0 ; ) ( ) , d M M < dị f M - L < e và được ký hiệu là:

Trong định nghĩa trên điều kiện d(M 0 ; M) <  có thể được thay thế bởi điều kiện |x – x 0| < , |y – y 0| < 

Ví dụ 5.5: Chứng minh rằng

 , nếu x- 1< d, y- 2 < d thì5x- 2y+ -1 2 < e Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5.6: Chứng minh không tồn tại giới hạn 2 2

= ỗỗỗố ữữứđ khi n → , ta cú (f(x n , y n )) 2

1  lim ( ; ) 1. n n 2 n f x y ® + ¥ Mặt khác với dãy ( x ’ ; ’ n y n ) 1 2 , (0;0) n n ổ ửữ

= ỗỗỗố ữữứđ khi n → , ta cú lim ( ' ; ' ) 2 n n 5 n f x y ® + ¥ =  1 lim ( ; ) n n 2 n f x y ® + ¥ Vậy theo định nghĩa 2, ta suy ra không tồn tại giới hạn 2 2

Chú ý: Các định lý về giới hạn của tổng, thương, tích đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số hai biến số và được chứng minh tương tự

Giới hạn được định nghĩa ở trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép tại điểm (x 0 ; y 0 ) (các quá trình x → x 0 , y → y 0 diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau) Ngoài giới hạn kép ta còn xét giới hạn lặp như sau:

Với y cố định, y  y 0 ta tính giới hạn

0 lim ( ; ) ( ), x x f x y j y ® = sau đó tính tiếp giới hạn

0 lim ( ) y y j y M ® = Trong trường hợp này ta viết:

0 0 lim lim ( ; ) y y x x f x y M ® ® Tương tự, ta có:

0 0 lim lim ( ; ) x x y y f x y N ® ® Chú ý: Nói chung giới hạn lặp và giới hạn kép là khác nhau, thậm chí các giới hạn lặp với thứ tự khác nhau cũng khác nhau

Ví dụ 5.7: Cho hàm số

0 0 0 0 lim(lim ( ; )) lim(lim ( ; )) 0 x y f x y y x f x y ® ® = ® ® = trong khi đó

0 0 0 0 lim(lim ( ; )) lim(lim ( ; )) 0 x y f x y y x f x y ® ® = ® ® còn giới hạn

0 0 lim ( ; ) x y f x y ® ® không tồn tại vì các dãy

1 1 1 1 x ;y = ; , x’ ;y’ ; n n n n ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ = ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ đều hội tụ tới điểm (0, 0) khi n → , còn các dãy tương ứng các giá trị của hàm lại hội tụ những giá trị khác nhau f(x n ; y n ) = 1 → 1,

Ví dụ 5.8: Xét hàm số ( )

Giải: Hàm số không có giới hạn kép tại điểm (0;0) Thật vậy: Lấy hai dãy:

= ỗỗỗố ữữứ đều hội tụ tới điểm (0; 0) khi n → , cũn các dãy tương ứng các giá trị của hàm lại hội tụ những giá trị khác nhau f(x n ; y n ) = 1 → 1; f(x’ n ; y’ n ) 3

Vậy giới hạn kép tại điểm ( 0; 0) là không tồn tại

Các giới hạn lặp trong trường hợp này cũng khác nhau:

= = " ạ ị = Ví dụ 5.9: Tính giới hạn

5.2.2 Giới hạn của hàm n biến

5.2.2.1 Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều

Khái niệm giới hạn của dãy điểm trong không gian n chiều được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trên mặt phẳng

X X X , trong đó X x k ( k 1 ;x k 2 ; ;x kn ) (k= 1,2,3 ) là các điểm trong không gian ¡ n , ta gọi tắt là dãy điểm X k Định nghĩa 10 Ta nói dãy điểm X k hội tụ đến điểm A a a( ; 1 2 ; ;a n ) hay điểm A là điểm giới hạn của dãy điểm X k ( khi k® ¥ ) nếu và chỉ nếu: lim ( k ; ) 0 k d X A ® ¥ Khi đó ta ký hiệu: lim k k X A ® ¥ = hoặc X k ® Akhi k® ¥ Tương tự như trên mặt phẳng, ta có thể chứng minh được rằng dãy điểm

X x x x k= hội tụ đến điểm A a a( ; 1 2 ; ;a n ) khi và chỉ khi lim ki i , 1,2, , k x a i n ® ¥ = " 5.2.2.2 Giới hạn của hàm số

Khái niệm giới hạn của hàm số 2 biến số mà ta định nghĩa trên đây được chuyển tổng quát cho trường hợp hàm số n biến số bằng cách thay biến điểm hai chiều M(x; y) bằng biến điểm n chiều X x x( ; 1 2 ; ;x n ) và thay điểm M 0(x 0; y 0) bằng điểm A a a( ; 1 2 ; ;a n )

Hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm số một biến số Định nghĩa 11 Hàm số f X( )= f x x( ; 1 2 ; ;x n ) được gọi là hàm liên tục tại điểm X x x( ; 1 2 ; ;x n ) nếu và chỉ nếu l imf ( ) ( )

X X X f X ® Nếu hàm số f(X) liên tục tại mọi điểm thuộc miền DÌ ¡ n thì ta nói rằng nó liên tục trong miền đó Một hàm số không liên tục được gọi là hàm gián đoạn

Các định lý về hàm số liên tục một biến có thể phát triển tương tự cho hàm số n biến số Chẳng hạn, các định lý về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục có nội dung như sau: Định lý 1 Các hàm số f(X) và g(X) của biến điểm n chiều liên tục tại điểm

+) Các hàm số f X( )+ g X( ), ( )f X - g X( ), ( ) ( )f X g X liên tục tại điểm

+) Với giả thiết g X( )ạ 0, hàm số ( )

( ) f X g X cũng liên tục tại điểm X

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

5.3.1 Số gia riêng và số gia toàn phần

Cho hàm z = f(x; y) và điểm M(x; y) thuộc miền xác định Nếu cố định y cho x thay đổi một số gia x thì giá trị của hàm thay đổi một lượng tương ứng:

Ta gọi  x z là số gia riêng theo biến x tại điểm (x; y) của hàm f(x; y)

Tương tự, nếu cố định x cho y thay đổi một số gia y thì giá trị của hàm thay đổi một lượng tương ứng:

Ta gọi yz là số gia riêng theo biến y tại điểm (x; y) của hàm f(x; y)

Số gia toàn phần biểu thị lượng thay đổi giá trị thay đổi của hàm số khi cả hai biến x, y cùng thay đổi, về mặt hình học có nghĩa là điểm M(x; y) biến thiên tới điểm M 1(x + x; y + y) Số gia toàn phần được tính như sau:

Ví dụ 5.10: Với hàm z = xy ta có:

5.3.2 Đạo hàm riêng Định nghĩa 12 Cho hàm số z = f(x; y) xác định trên D Ì ¡ 2 và M(x; y)  D Đạo hàm riêng của hàm z = f(x; y) theo biến x tại điểm (x; y) là giới hạn của tỷ số giữa số gia riêng theo biến x của hàm số và số gia x khi x → 0

Ký hiệu z ' x hoặc f x y x ' ( ; ) , hoặc z, f x x ả ả ả ả Vậy:

= ả D D Đạo hàm riêng của hàm z = f(x; y) theo biến y tại điểm (x; y) là giới hạn của tỷ số giữa số gia riêng theo biến y của hàm số và số gia y khi y → 0

Ký hiệu z y ' hoặc f x y y ' ( ; ) , hoặc z, f y y ả ả ả ả Vậy:

Chú ý: i) Các đạo hàm riêng của hàm n (n  3) biến được định nghĩa tương tự hàm hai biến ii) Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm theo quan điểm một biến số, khi ta xem một trong các biến độc lập là đối số, các biến còn lại được cố định giá trị

Do đó khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào ta chỉ xem như hàm chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến khác được xem là không đổi, rồi áp dụng qui tắc tính đạo hàm của hàm một biến

Ví dụ 5.11: Các đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy là:

Ví dụ 5.12: Các đạo hàm riêng của hàm số z = cos( ) xy là: sin( ), sin( ). ả ả

5.3.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Giả sử z = f(u; v), với u = u(x; y), v = v(x;y) là các hàm của hai biến x, y

= z f u x y v x y là hàm hợp của hai biến x, y qua hai biến trung gian u, v Định lý 2 Nếu hàm f cú cỏc đạo hàm riờng ả , ả ả ả f f u v liên tục và u, v có các đạo hàm riờng ả , ả , ả , ả ả ả ả ả u u v v x y x y trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng f , f x y ả ả ả ả và ta có:

. f f u f v x u x v x f f u f v y u y v y ỡ ả ả ả ả ả ùù = + ùù ả ả ả ả ả ùớù ả ả ả ả ả ù = + ùù ả ả ả ả ả ùợ

Chú ý: Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm n biến (n  3)

Ví dụ 4: Cho hàm z = e u lnv, với u = x + y, v = xy Khi đó ta có:

Giả sử hàm z = f(x; y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng liên tục tại

M 0(x 0; y 0)  D Xét số gia toàn phần của hàm số tại M 0:

Do f f x ' , y ' là các hàm số liên tục tại điểm M 0(x 0 ; y 0) nên ta có:

( ; )= ; + b, y y f x c f x y trong đó ,  là các vô cùng bé khi x → 0, y → 0

Nếu x, y có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có:

Df x( 0 ; )y 0 ằ (f x x ' 0 ; ) y 0 D +x f x y ' ( 0 ; ) y 0 Dy (5.3.1) Định nghĩa 13 Nếu hàm số y = f(x; y) xác định trong miền D và có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm M 0(x 0 ; y 0)  D thì biểu thức ở vế phải của công thức gần đúng (5.3.1) được gọi là vi phân toàn phần của hàm số y = f(x ; y) tại điểm

M 0(x 0 ; y 0) và được ký hiệu dz hoặc df(x 0 ; y 0)

Do x, y là các biến độc lập, ta có dx = x, dy = y Vì vậy biểu thức vi phân toàn phần được viết dưới dạng:

Chú ý: i) Đối với hàm n biến (n > 2) công thức tính vi phân được định nghĩa một cách tương tự

5.3.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

5.3.5.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm hai biến số z = f(x; y) Cỏc đạo hàm riờng ả , ả ả ả z z x y là những đạo hàm riêng cấp một Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai, được ký hiệu như sau:

'' ( ; ) yx z z z x y x y x y ả ảổ ửỗỗỗ ữữữữ= ả ả ốả ứ ả ả

2 yy ( ; ) y ( ; ). z z z x y z x y y y y ả ảổ ửỗỗỗ ữữữữ= ả = ả ốả ứ ảCác đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng cấp ba, cứ tương tự như vậy ta có đạo hàm riêng cấp 4, cấp 5, …, cấp n Các đạo hàm riêng từ cấp hai trở lên sẽ được gọi là đạo hàm riêng cấp cao

Ví dụ 5.13 : Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = x 2 y 3

Ví dụ 5.14: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = e xy

Các đạo hàm riêng cấp hai,

2 2 z , z y x x y ả ả ả ả ả ả được gọi là đạo hàm hỗn hợp Các đạo hàm hỗn hợp nói chung khi trình tự lấy đạo hàm khác nhau thì có thể không bằng nhau, khi nào thì chúng bằng nhau? Ta công nhận định lý Schwarz sau: Định lý 3 Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M, hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng

2 2 z , z y x x y ả ả ả ả ả ả và nếu cỏc đạo hàm riờng đú liờn tục tại M(x; y) thỡ

Giả sử hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục cấp một và cấp hai trên miền D Ì ¡ 2 Khi đó vi phân toàn phần: z z , dz dx dy x y ả ả

= + ả ả là một hàm hai biến xác định trên D Định nghĩa 14 Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số z f(x; y) được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm số đó và được ký hiệu d 2 z hoặc d 2 f(x; y): d z 2 = d dz ( ) = ( ) dz dx ' x + ( ) dz dy ' y (5.3.2)

( ) dz ' x = ( z dx ' x + z dy ' y ) ' x = z dx '' xx + z dy '' yy ,

( ) dz ' y = ( z dx x ' + z dy ' y ) ' y = z dx '' xy + z dy '' yy ,

= xx + yx + xy + yy d z z dx z dydx z dxdy z dy

= z '' xx ( ) dx 2 + 2z dydx xy '' + z '' yy ( ) dy 2

Tổng quát, vi phân toàn phần cấp n (n > 1) của hàm hai biến z = f(x; y) là vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp n- 1 của nó và ký hiệu là

Cực trị của hàm nhiều biến

5.4.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần

Khái niệm cực trị địa phương của hàm số n biến số được định nghĩa tương tự như cực trị của hàm số một biến số

Cho hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n )= f X( ), xác định và liên tục trong miền

D= X= x x x a < x < b i= n Định nghĩa 16 Ta nói rằng hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n ) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm X x x( ,1 2, ,x n )ẻ D nếu tồn tại số r > 0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức

( , , , n ) ( , , , n ) f x x x £ f x x x ³ Được thỏa mãn tại mọi điểm X x x( , 1 2 , ,x n ) của miền D mà khoảng cách đến điểm X x x( ,1 2, ,x n ) nhỏ hơn r:

( , ) d X X < r Điểm X x x( ,1 2, ,x n ) mà tại đó hàm số f x x( , 1 2 , ,x n ) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó Nói cách khác điểm cực đại (điểm cực tiểu) địa phương của một hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lơn nhất (nhỏ nhất) trong phạm vi bán kính r nào đó Điều kiện cần của cực trị

Giả sử hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n )= f X( ) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong miền:

Với các giả thuyết nêu trên ta có định lý sau đây: Định lý 4 Điều kiện cần để hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n ) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm X x x( ,1 2, ,x n )ẻ D là tại điểm đú tất cả cỏc đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:

Với mỗi i cố định (i = 1, …, n) ta xét hàm số một biến x i :

Nếu hàm số f X( )= f x x( , 1 2 , ,x n ) đạt giá trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm X x x( ,1 2, ,x n )ẻ D thỡ bất đằng thức (5.4.1) thỏa món khi X D và

Khi x i - x i < r Điều này chứng tỏ hàm số (x i ) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) tại điểm x i Theo định lý về điều kiện cần để hàm một biến đạt cực trị ta có:

'( )x i f x x'( , , ,x n ) 0 j = Định lý đã được chứng minh Định nghĩa 17 Điểm X thỏa mãn điều kiện (5.4.1) được gọi là điểm dừng của hàm số f(X) Định lý trên cho thấy hàm số f(X) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng Tuy nhiên, đây mới chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điều kiện đủ Điều kiện đủ dưới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực trị hay không Chú ý, điều kiện đủ chỉ được áp dụng sau khi điều kiện cần đã được thỏa mãn (chỉ áp dụng cho các điểm dừng)

5.4.2.1 Điều kiện đủ tổng quát

Giả sử X x x( ,1 2, ,x n ) là một điểm dừng của hàm số

( , , , n ) w= f x x x và tại đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, khi đó vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số n biến số w= f x x( , 1 2 , ,x n ) có dạng:

Trong đó a ij là các đạo hàm riêng cấp 2:

- Nếu d f X 2 ( ) luôn luôn nhận giá trị dương thì điểm dừng

X x x x là điểm cực tiểu của hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n );

- Nếu d f X 2 ( ) luôn luôn nhận giá trị âm thì điểm dừng X x x( ,1 2, ,x n ) là điểm cực đại của hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n );

- Nếu d f X 2 ( ) không xác định thì điểm dừng X x x( ,1 2, ,x n ) không phải là điểm cực trị của hàm số w= f x x( , 1 2 , ,x n );

5.4.2.2 Trường hợp hàm số hai biến số

Giả sử M 0(x 0; y 0) là một điểm dừng của hàm số z = f(x; y) và tại đó tất cả các đạo hàm riêng cấp hai đều tồn tại và liên tục

Khi đó ta thừa nhận kết quả sau:

- Nếu D > 0 thì điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị của hàm số z = f(x; y) và hơn thế

M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực đại nếu a 11 < 0;

M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực tiểu nếu a 11 > 0

- Nếu D < 0 thì điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) không phải là điểm cực trị của hàm số z = f(x; y)

- Nếu D = 0 ta không có kết luận gì về cực trị tại điểm tới hạn: hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại đó

Vậy để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta phải xét các điều kiện cần, sau đó dùng điều kiện đủ để kiểm tra và đi đến kết luận

Ví dụ 5.17: Tìm cực trị của hàm số

10 2 z = + x + y- x - yGiải: Các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai:

1 2 , 2 2 , 2, 0, 2. x y xx xy yy z = - x z = - y z = - z = z = - Các điểm dừng của hàm số được xác định từ hệ:

Ta có một điểm dừng (1/2; 1)

Tại điểm dừng (1/2;1) ta có:

Do D = 4 = 4 > 0, a 11 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm (1/2; 1) và z max =

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Các khái niệm cơ bản

6.1.1.1 Khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa 1 Một phương trình mà đối tượng phải tìm là hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình đó dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân các cấp được gọi là phương trình vi phân

6.1.1.2 Phân loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân được chia thành hai loại: Phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 2 Phương trình vi phân với hàm số cần tìm là hàm số một biến số được gọi là phương trình vi phân thường

Ví dụ 6.1: Các phương trình sau là phương trình vi phân thường: y'= x 2 + y 2 (6.1.1) x dy 2 - y dx 2 = 0 (6.1.2)

2 2 d y y dx = (6.1.3) Định nghĩa 3 Phương trình vi phân với hàm số cần tìm là hàm số nhiều biến số được gọi là phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 6.2: Các phương trình sau là phương trình đạo hàm riêng: z z x y z ả ả

6.1.1.3 Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm phải tìm có mặt trong phương trình đó

Ví dụ 6.3: Trong các phương trình nêu trên, các phương trình (6.1.1), (6.1.2) là phương trình vi phân thường cấp 1, (6.1.3) là phương trình vi phân thường cấp 2; phương trình (6.1.4) phương trình đạo hàm riêng cấp 1, phương trình (6.1.5) phương trình đạo hàm riêng cấp 2

Trong khuôn khổ giáo trình này, chúng tôi chỉ đề cập đến phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát sau:

6.1.1.4 Nghiệm, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng của phương trình vi phân Định nghĩa 4 Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó Định nghĩa 5 Nếu hàm số y = ( ;j x C C 1 ; 2 ; ;C n ) thỏa mãn ( 6.1.6) hoặc (6.1.7) với mọi C i ẻ Ă thỡ nú được gọi là nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh đó cho

Nhận xét: Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp n là một hàm chứa n tham số thực tùy ý

Trong công thức nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n, nếu cho các C i những giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng của phương trình đã cho

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân có đồ thị là một đường cong nào đó trong mặt phẳng tọa độ 0xy và gọi là đường cong tích phân của phương trình Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cho ta một họ các đường cong tích phân Nhiều khi từ ( 6.1.6) hoặc (6.1.7) ta tìm được họ đường cong cho bởi:

F( ; ;x y C C 1 ; 2 ; ;C n )= 0 (6.1.8) là họ các đường cong tích phân của phương trình đã cho thì (6.1.8) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình ( 6.1.6) hoặc (6.1.7) Từ (6.1.8) cho các C i những giá trị cụ thể thì ta được một đường cong tích phân hoàn toàn xác định thỏa mãn phương trình đã cho và nó được gọi là tích phân riêng của phương trình đã cho Định nghĩa 6 Giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

6.1.2 Phương trình vi phân cấp một

Phương trình vi phân cấp một tổng quát thường được cho dưới một trong các dạng sau:

- Dạng đã giải theo đạo hàm

M x y dx( ; ) + N x y dy( ; ) = 0 (6.1.11) Ở dạng (6.1.9), (6.1.10) thay cho ký hiệu dy dx ta có thể dùng ký hiệu y'

6.1.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân cấp một

Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là một hàm số (x) xác định trong khoảng (a; b) mà khi thay y = j ( ) x , y ' = j ' ( ) x (hoặc dy = j ' ( ) x dx ) vào phương trình vi phân thường cấp một ta được một đồng nhất thức

Ví dụ 6.4: Hàm số 1 y= x xác định trên ¡ \{0}, là một nghiệm của phương trình

Vì 1 2 1 dx d x x ổ ửữỗ + ỗ ữỗố ứữ = 2 2

0 dx dx x - x Ví dụ 6.5: Hàm số y = Ce 2x , C là hằng số bất kỳ, là nghiệm của phương trình

Ví dụ 6.6: Xét phương trình y'= f x( ) Khi đó hàm sốy= ò f x dx( ) là nghiệm của phương trình

6.1.2.3 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Do việc tìm nghiệm của phương trình vi phân dẫn đến việc lấy tích phân bất định, nên trong biểu thức nghiệm có hằng số C bất kỳ:

Họ các hàm số y = j ( x C ; ) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường cấp 1 Khi gán cho C = C 0 một giá trị cụ thể thì

( ; 0 ) y= j x C được gọi là một nghiệm riêng của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng:

F được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó Mỗi tích phân ứng với một giá trị xác định của C được gọi là tích phân riêng của phương trình

Xét phương trình vi phân cấp 1 dưới dạng:

( ; ) x dy f x y d = (6.1.12) Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (6.1.12) thỏa mãn điều kiện: y = y 0 khi x = x 0 (6.1.13) được gọi là Bài toán Cauchy Điều kiện (6.1.13) được gọi là điều kiện ban đầu ( điều kiện Cauchy) Điều kiện ban đầu là một bộ hai số thực (x 0; y 0) cho trước, trong đó y 0 là giá trị của hàm phải tìm tại điểm x 0

Ta thừa nhận định lý sau: Định lý 1 (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp

( ) y'= f x; y Giả sử f(x; y) liên tục trong một miền D và (x 0 ;, y 0 ) là một điểm nào đó của D Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x 0 , tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x), lấy giá trị y 0 khi x = x 0 Ngoài ra nếu f ( ; ) y x y ả ả cũng liờn tục trong miền D thì nghiệm ấy là duy nhất.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

6.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

- Định nghĩa 7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng: dy ( ) ( ) p x y q x dx+ = (6.2.1) trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục

Nếu q(x)  0, phương trình (6.2.1) có dạng dy ( ) 0 p x y

Phương trình (6.2.2) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

Nếu q(x)  0 thì phương trình (6.2.1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

- Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Xét y  0, từ phương trình (6.2.2)suy ra dy ( ) 0 dy ( ) p x dx p x dx y + = ị y = -

Tích phân hai vế ta được: ln y ( ) p x dx

(trong đó C là một hằng số tùy ý khác không)

Nhận thấy y = 0 cũng là nghiệm của (6.2.2) Vậy nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (6.2.2)có dạng: y= C e - ũ p x dx ( ) , C ẻ Ă (6.2.3)

Ví dụ 6.7: Giải phương trình 2 dy 0 dx- x y Giải: Từ 2 2 dy 0 dy y dx dx- x = ị y = x tớch phõn hai vế ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:

6.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

6.2.2.1 Liên hệ với phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình tuyến tính (6.2.1) với q(x) không đồng nhất bằng 0

Trong trường hợp này ta gọi phương trình tuyến tính thuần nhất (6.2.2) có cùng vế trái với phương trình (6.2.1) là phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết của nó

6.2.2.2 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất liên kết để tìm nghiệm tổng quát của nó

Bước 2: Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (6.2.1) bằng phương pháp biến thiên hằng số Tức là cho hằng số tùy ý C trong (6.2.3) biến thiên, nghĩa là ta tìm hàm số C(x) sao cho y = ( ).C x e - ò p x dx ( ) (6.2.4) thõa mãn phương trình không thuần nhất (6.2.1) Từ (6.2.4), ta có

' '( ) p x dx ( ) ( ) p x dx y = C x e - ò - C x p x e - ò Thế vào phương trình (6.2.1) ta được

C x q x eò dx C ị = ũ + trong đó C là một hằng số tùy ý Thế vào (6.2.4) ta được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (6.2.1) y= e - ò p x dx ( ) éêC+ q x e( ) ò p x dx ( ) dxùú ê ú ở ũ ỷ

Ví dụ 6.8: Giải phương trình dy 2 y x dx- x =

Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: y = Cx 2

Ta tìm nghiệm không thuần nhất dưới dạng: y = C(x)x 2

Thay vào phương trình đã cho ta được:

2 ( ) ( ) dC x x xC x C x x x dx + - x ( ) 1 dC x dx x Û Suy ra C x( )= lnx + C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Nhận xét: Nhận thấy rằng số hạng thứ hai trong vế phải của (6.2.5) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (6.2.2), còn số hạng đầu là một nghiệm riêng của phương trình (6.2.1) được suy ra từ nghiệm tổng quát (6.2.5) bằng cách cho C = 0 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm nào đó của phương trình không thuần nhất

Ví dụ 6.9: Tìm nghiệm của phương trình 2 3

Phương trình thuần nhất liên kết có dạng

+ Lấy nguyên hàm hai vế, ta được ln y ln( 1)2

C= x+ hay y = C(x + 1) 2 , trong đó C là hằng số tùy ý Bây giờ ta tìm hàm số C(x) sao cho y = C(x).(x+1) 2 là nghiệm của phương trình không thuần nhất Ta có

' '( ).( 1)2 2 ( )( 1). y = C x x+ + C x x+ Thế vào phương trình không thuần nhất, ta được

C x = x + x+ C C là hằng số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Cho x = 0 vào hai vế, ta được C 21 Vậy ta được nghiệm riêng

Phương trình vi phân cấp hai

6.3.1 Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2

6.3.1.1 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Phương trình vi phân cấp 2 có dạng tổng quát:

Trong đó hàm số F xác định trong miền D nào đó của không gian ¡ 4 Trong phương trình (6.3.1) có thể vắng mặt một số trong các biến x y y, , ' nhưng y'' nhất thiết không được vắng mặt

Việc xét phương trình tổng quát (6.3.1) khá phức tạp, do đó người ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải ra được đối với đạo hàm cấp hai:

Việc giải phương trình vi phân cấp hai thường qua hai lần lấy tích phân bất định, do đó nghiệm của nó có dạng: y = (x; C 1; C 2) (6.3.3) trong đó C 1, C 2 là các hằng số bất kỳ

Họ hàm số (6.3.3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai Khi gán cho mỗi ký hiệu C 1,C 2 một số bất kỳ thì ta dược một nghiệm của phương trình Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C 1,

C 2 một giá trị xác định được gọi là nghiệm riêng của phương trình

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp hai được đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (6.3.2) thỏa mãn các điều kiện: y = , 'y y 0 = y 0 ' khi x = x 0 (6.3.4) trong đó x 0, y 0 và y ' 0 là các số thực cho trước Điều kiện (6.3.4) được gọi là điều kiện ban đầu (điều kiện Cauchy) Chú ý rằng điều kiện ban đầu (6.3.4) bao gồm giá trị của hàm phải tìm và giá trị của đạo hàm của nó tại một điểm x 0 cho trước Bộ ba số thực (x 0 ; ; )y 0 y ' 0 được gọi là bộ giá trị ban đầu

Khi tìm được ngiệm tổng quát của phương trình (6.3.2) để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu (6.3.4) ta tìm C 1, C 2 từ hệ:

( ; ; ) '( ; ; ) x C C y x C C y j j ì ùùớ ù ùợ Định lý 2 (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm số f x y y( ; ; ') ở vế phải của phương trình (6.3.2) xác định, liên tục trong một lân cận V của điểm M (x ; y ; y ) 0 0 0 ' 0 và tồn tại các hằng số K,

Khi đó, trong một khoảng (x 0 −;x 0 +) với  đủ nhỏ, tồn tại một và chỉ một nghiệm của phương trình (6.3.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( 6.3.4)

6.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

6.3.2.1 Định lý tồn tại và duy nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: y''+ p x y( ) '+q x y( ) = f x( ) (6.3.5) trong đó p(x), q(x) và f(x) là các hàm số liên tục cho trước Định lý tồn tại và duy nhất đối với phương trình (6.3.5) có nội dung như sau: Định lý 3 Nếu các hàm p(x), q(x), f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b] thì với x 0  (a; b) và y 0 , y là các số thực bất kỳ, tồn tại duy nhất một nghiệm của 0 ' phương trình (6.3.5) thỏa mãn điều kiện:

6.3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Trong trường hợp đặc biệt nếu f(x)  0, thì phương trình (6.3.5) có dạng: y''+ p x y( ) '+q x y( ) =0 (6.3.6) Phương trình (6.3.6) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý 4 Nếu y(x) là nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì C.y(x), với C là hằng số bất kỳ, cũng là nghiệm của phương trình đó

Chứng minh: Nếu y(x) là nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì ta có:

Khi đó với mọi hằng số C ta có:

Vậy C y(x) là nghiệm của phương trình (6.3.6) ■ Định lý 5 Nếu y 1 (x), y 2 (x) là nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì y 1 (x) + y 2 (x), cũng là nghiệm của phương trình đó

Chứng minh: Nếu y 1(x), y 2(x) là nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì ta có:

Vậy y 1(x) + y 2(x) là nghiệm của phương trình (6.3.6) ■ Định lý 6 Nếu phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) có nghiệm phức y(x)

= u(x) + iv(x) thì phần thực u(x) và phần ảo v(x) của nghiệm phức là các nghiệm thực của phương trình đó

Chứng minh: Nếu phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) có nghiệm phức y(x) = u(x) + iv(x) thì ta có:

 + + + + +  Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đồng nhất thức sau thỏa mãn:

Vậy u(x), v(x) là các nghiệm của phương trình (6.3.6) ■ Định nghĩa 8 Hai hàm số y 1 (x), y 2(x) được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên đoạn [a; b] nếu tồn tại các số c 1, c 2 trong đó có ít nhất một số khác không, sao cho trên đoạn đó: c 1 y 1 (x) + c 2 y 2(x)  0

Ngược lại, nếu đồng nhất thức chỉ thỏa mãn khi c 1 = c 2 = 0 thì ta nói rằng y 1(x), y 2(x) là các hàm độc lập tuyến tính Định lý 7 Nếu y 1 (x), y 2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính trên đoạn [a; b] của phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì:

Chứng minh: Giả sử tồn tại x0 sao cho W(x 0) = 0 Khi đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số là ma trận của định thức W(x 0) có nghiệm không tầm thường, do đó tồn tại các số C 1, C 2 không đồng thời bằng 0 sao cho: y 1(x 0)C 1 + y 2(x 0)C 2 = 0 và y ’ 1 (x 0)C 1 + y ’ 2(x 0)C 2 = 0 (6.3.7)

Do y 1(x), y 2(x) là hai nghiệm của phương trình (6.3.6) nên theo định lý 2 và định lý 3, hàm y(x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) cũng là nghiệm của phương trình này Theo (6.3.7) thì y(x 0) = y’(x 0) = 0 Mặt khác ta thấy phương trình (6.3.6) có nghiệm

(x)  0 cũng thỏa mãn điều kiện đó Do đó, theo định lý tồn tại và duy nhất thì y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)  0, điều này trái với giả thiết y 1(x), y 2(x) độc lập tuyến tính Vậy không thể tồn tại x 0  [a; b] sao cho W(x 0) = 0, tức là:

W(x) ≠ 0 x  [a; b] ■ Định lý 8 Nếu y 1 (x), y 2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) thì y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), C 1 , C 2 là các hằng số bất kỳ, là nghiệm tổng quát của phương trình đó

Chứng minh: Theo định lý 1 và định lý 2 thì y = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x), với C 1, C 2 là các hằng số bất kỳ, là nghiệm của phương trình (6.3.6) Ta cần chứng minh mọi nghiệm riêng của phương trình (6.3.6) đều biểu diễn được dưới dạng trên

Gọi ỹ(x) là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình (6.3.6) Lấy bất kỳ điểm x 0  [a; b], vì y 1(x), y 2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tuyến tính thuần nhất (6.3.6) nên theo định lý 5, W(x 0) ≠ 0 Do vậy hệ gồm hai phương trình:

1( )0 1 2( )0 2 ( ), ( )0 1 0 1 2( )0 2 '( ),0 y x C + y x C = y x y x C + y x C =y x là hệ Cramer, do đó có nghiệm duy nhất C~ )

( ) ( ) ( ) y x =C y x +C y x là nghiệm duy nhất của phương trình (6.3.6) thỏa mãn điều kiện y(x 0) = ỹ(x 0) vày' x( ) 0 = y' x( ) 0 Từ đây suy ra:

6.3.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Khái niệm về không gian vectơ

Cho V là một tập hợp khác rỗng mà trên đó phép cộng hai phần tử thuộc

V ( kí hiệu “ + ”) và phép nhân một phần tử thuộc V với một số (kí hiệu “ ”) được định nghĩa sao cho thỏa mãn 8 tiên đề:

Khi đó V cùng với hai phép toán trên được gọi là không gian vectơ, các phần tử của V được goi là các vectơ

Tiên đề 1 nói rằng phép cộng các vectơ có tính chất kết hợp

Tiên đề 2 chỉ ra rằng phép cộng các vectơ có tính chất giao hoán

Phần tử thỏa mãn tiên đề 3 được gọi là vectơ không

Với mỗi vectơ a V , vectơ a'V thỏa mãn tiên đề 4 được gọi là vectơ đối của vectơ a và được ký hiệu là −a

Tính chất 1 Vectơ không là duy nhất

Giả sử   1 ; 2 đều là vectơ không của không gian vectơ V, ta sẽ chứng minh

   (1) khi coi  2 là vectơ không Mặt khác, nếu coi  1 là vectơ không ta lại có   1 + 2 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Vậy vectơ không là duy nhất

Tính chất 2 Vectơ đối của vectơ a là duy nhất

Giả sử ', ''a a là hai vectơ đối của vectơ a Ta sẽ chứng minh a'=a'' Thật vậy:

Tính chất 3 Với mỗi vectơ v thuộc không gian vectơ V, ta có: 0v=

Gọi v' là vectơ đối của vectơ v Cộng hai vế của đẳng thức trên với v' ta được:

Tính chất 4 Với mỗi vectơ v thuộc không gian vectơ V, ta có: ( 1)v− = −v

Theo tính chất 3 ta có 0v=  − (1 1)v=  + − 1v ( 1)v=  + − v ( 1)v= Suy ra điều phải chứng minh

7.1.3 Một số ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 7.1: Không gian vectơ thực n

Cho n = x=( ;x x 1 2; ;x n ) x i   Trong n phép cộng hai phần tử và phép nhân một phần tử với một số thực được định nghĩa như sau:

Dễ dàng kiểm tra hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề của một không gian vectơ nên n là một không gian vectơ và gọi không gian vectơ thực n Mỗi một vectơ trong n là một bộ gồm n số thực có thứ tự ( còn được gọi là một điểm của n ), vectơ không trong n là  =(0;0; ;0)(còn gọi là gốc của n )

Ví dụ 7.2: Không gian các vectơ hình học trong không gian

Cho V là tập các vectơ hình học trong không gian Vì phép cộng các vectơ và phép nhân một số với một vectơ như đã biết thỏa mãn 8 tiên đề nói trên nên V là một không gian vectơ

Ví dụ 7.3: Không gian các số phức

Tập các số phức C với phép cộng các số phức cũng như phép nhân một số thực với một số phức lập thành không gian vectơ.

Không gian vectơ con

Giả sử V là không gian vectơ với hai phép toán: Cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số thực W là một tập hợp con của V Nếu với hai phép toán trên

W cũng là một không gian vectơ thì W gọi là không gian con của V

Như vậy, theo định nghĩa, muốn kiểm tra W  V là không gian con của V, ta phải chứng minh rằng hai phép toán đã định nghĩa trong V cũng thỏa mãn 8 tiên đề của không gian vectơ đối với W Việc làm này rất mất thời gian, Định lý sau đây giúp cho việc kiểm tra dễ dàng hơn

7.2.2 Định lý 1 Giả sử V là không gian vectơ W là một tập hợp con khác rỗng của V Nếu:

(ii) u  W,  R u  W thì W là không gian con của V

Ví dụ 7.4: 3 là một không gian vectơ (xem ví dụ 1)

Khi đó W là một không gian con của 3

Thật vậy, nếu x =( ;x x 1 2 ; ), x 3 y =( ; ; )y 1 y 2 y 3  W và  thì ta có:

Chú ý: Hai tập V, {} là hai không gian con tầm thường của V.

Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh

7.3.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa 3 V là một không gian vectơ.S = x x 1; ; ;2 x n V Biểu thức:

1 1 2 2 n n x=c x +c x + +c x với c i  , i =1; n là một vectơ thuộc V và gọi là một tổ hợp tuyến tính của họ

Ví dụ 7.5: Trong không gian vectơ 2 :

Vectơ (x; y) là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ i = (1; 0), j = (0; 1), vì x.i + y.j = x(1; 0) + y(0; 1) = (x; y)

Vectơ (7;− 3)là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x 1 =(1; 1) vàx 2 =(1; 1)− , vì:

2x +5x =2(1; 1)+5(1; 1)− =(7; 3).− Định nghĩa 4 Giả sử S = x x 1; ; ; 2 x n là một họ vectơ của không gian vectơ

V Tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của họ S gọi là bao tuyến tính của họ

S Ký hiệu là span S ( ) Định lý 2 Nếu S là một họ vectơ của không gian vectơ V thì W = span(S) là một không gian con của V

Vì x 1 = 1.x 1  W nên W   Bây giờ ta kiểm tra các điều kiện i) và ii) của định lý 1

Do đó W đóng kín đối với hai phép toán trong V nên W là không gian con của V

7.3.2 Hệ sinh Định nghĩa 5 Nếu span(S) = V, tức là mọi vectơ x  V đều có thể biểu diễn được dưới dạng:

1 1 2 2 n n x=c x +c x + +c x ta nói rằng họ S sinh ra V hay S là một hệ sinh của V

Ví dụ 7.6: Trong không gian vectơ 2 , xét hai vectơ i = (1; 0); j = (0; 1) Mọi vectơ trong 2 đều có dạng:

( 1; 2 ) 1 ( )1; 0 2 ( )0; 1 1 2 x x x =x +x = x i+x j nên họ S = {i; j} là một hệ sinh của 2

Họ véctơ độc lập tuyến tính Cơ sở và số chiều của không gian véctơ -

7.4.1 Họ véctơ độc lập tuyến tính Định nghĩa 6 Ta nói hệ vectơ S = x x 1; ; ; 2 x n của không gian vectơ V là độc lập tuyến tính, nếu c x 1 1 +c x 2 2 + + c x n n =  = c 1 c 2 = = c n =0, (7.4.1) trong đó c 1, c 2, , c n là các số thực

Nếu tồn tại số c i  0 (i =1, 2, , n) sao cho c x 1 1 +c x 2 2 + + c x n n = , ta nói hệ S là phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 7.7: Trong không gian vectơ 3 , họ bốn vectơ x 1(1; 1; 1), x 2(1; 1; 0), x 3(1; 0; 0), x 4(3; 2; 0) có độc lập tuyến tính không?

Giải: Hệ thức (7.4.1) ở đây là: c 1(1; 1; 1) + c 2(1; 1; 0) + c 3(1; 0; 0) + c 4(3; 2; 0) = 0

+ + +  + +   Đây là hệ gồm 3 phương trình thuần nhất 4 ẩn số Hệ này có vô số nghiệm Vậy hệ bốn vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 7.8: Trong không gian 3 , họ ba vectơ e 1(1; 0; 0), e 2(0; 1; 0), e 3(0; 0; 1) độc lập tuyến tính (việc chứng minh tương tự như ví dụ 6)

Nhận xét: i) Mọi họ chứa vectơ  đều phụ thuộc tuyến tính, vì 1. =  ii) Nếu họ S phụ thuộc tuyến tính thì mọi họ chứa nó cũng phụ thuộc tuyến tính iii) Nếu họ S độc lập tuyến tính thì mọi họ con khác rỗng của S cũng độc lập tuyến tính iiii) Nếu họ S = x x; 2; ;x n phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một số ck  0 sao cho ta có (7.4.1) Từ hệ thức đó rút ra:

  Vậy một vectơ của họ S là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của họ

7.4.2 Cơ sở Số chiều của không gian vectơ Định lý 3 Cho V là không gian vectơ sinh bởi n vectơ Nếu S là một họ m vectơ độc lập tuyến tính trong V thì m  n Định nghĩa 7 Họ các vectơ S = e 1; ; ; e 2 e n được gọi là cơ sở của không gian vectơ V nếu thỏa mãn các điều kiện

(i) Họ S độc lập tuyến tính;

(ii) Họ S là hệ sinh của V Định lý 4 Nếu  e e 1; 2; ; e n  và  f f 1; 2; ; f m  là hai cơ sở của V thì n = m Định nghĩa 8 Nếu  e e 1; 2; ; e n là một cơ sở của không gian vectơ V, ta nói V là không gian vectơ n chiều, n gọi là số chiều của V và ký hiệu là dim(V) = n

Nhận xét: Trong không gian vectơ n chiều, mọi hệ vectơ S gồm n vectơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở

Ví dụ 7.9: Trong không gian n , họ vectơ  e e 1; 2; ; e n , trong đó

( ) ei = 0; ; 0; 1; 0; 0 (số 1 ở vị trí thứ i) là một cơ sở và gọi là cơ sở chính tắc Định lý 5 Nếu hệ S = e 1; ; ; e 2 e n  là một cơ sở của không gian vectơ n chiều V thì mọi vectơ x  V đều có thể diễn một cách duy nhất dưới dạng x=c e 1 1 +c e 2 2 + + c e n n , (7.4.2) trong đóc c 1 , 2 , , c n 

Và khi đó bộ số ( ; ; ; )c c 1 2 c n gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở S.

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Ma trận và các phép toán tuyến tính đối với ma trận

8.1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

8.1.1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 1 Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m n (cỡ m n )

Khi cho một ma trận, ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc dấu ngoặc vuông Ma trận cấp m n có dạng tổng quát như sau:

Ta có thể dùng các chữ cái in hoa: A, B, C để đặt tên các ma trận và viết:

Các số trong ma trận được gọi là các phần tử của nó Ở dạng tổng quát (8.1.1) phần tử nằm ở hàng i cột j ( 1≤ i ≤ m , 1≤ j ≤ n) được ký hiệu là a ij

Ta có thể dùng ký hiệu:

A=[a ij mxn ] (8.1.2) để nói rằng A là một ma trận cấp m  n mà phần tử nằm trên dòng i cột j được ký hiệu là a ij

Hai cách viết (8.1.1) và (8.1.2) là tương đương nhau và được dùng khi nói đến một ma trận tổng quát nào đó Khi cấp của ma trận và các phần tử đã được xác định bằng số ta thường sử dụng cách viết dạng (8.1.1)

  là ma trận cấp 2 x 3 và a 11 = 2; a 12 = 1; a 13 = 0; a 21 = 1; a 22 = 5; a 23 = 6

8.1.1.2 Đẳng thức ma trận Định nghĩa 2 Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau Để nói rằng hai ma trận A và B bằng nhau, ta viết A = B

Chú ý: Khái niệm hai ma trận bằng nhau chỉ áp dụng cho ma trận cùng cấp

Trong tập hợp các ma trận cấp m n một đẳng thức ma trận tương ứng với một hệ m n đẳng thức số

     =  8.1.1.3 Ma trận không và ma trận đối

Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 Trong tập hợp tất cả các ma trận m n (m, n cố định ) có một ma trận không duy nhất

Kí hiệu: O m x n hoặc O (nếu cấp của ma trận đã cho được xác định)

Ma trận đối của ma trận A là ma trận cùng cấp với ma trận A mà mỗi phần tử của nó là số đối của phần tử tương ứng của ma trận A

Ký hiệu: Ma trận đối của A là −A

8.1.1.4 Hệ vectơ dòng và vectơ cột của ma trận

Lý thuyết ma trận và lý thuyết về không gian vectơ n có liên hệ chặt chẽ với nhau Để làm rõ mối quan hệ này, ta xét một ma trận cấp m n bất kỳ:

Ta có thể xem mỗi dòng của ma trận A là một vectơ n chiều và mỗi cột của nó như một vectơ m chiều Như vậy, mỗi ma trận cấp m n cho tương ứng một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều và một hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều

Khi sử dụng các thuật ngữ như hai dòng (cột) bằng nhau, tổng của các dòng (cột), tích của một dòng (cột) với một số, các dòng (cột) phụ thuộc tuyến tính v.v ta hiểu các thuật ngữ đó như nói về các vectơ

Ma trận chữ nhật là ma trận có số dòng và số cột khác nhau

Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau Một ma trận có số dòng và số cột bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát như sau:

Trong ma trận vuông A, đường chéo thứ nhất nối góc trên bên trái với góc dưới bên phải được gọi là đường chéo chính, đường chéo thứ hai được gọi là đường chéo phụ Vị trí của các phần tử a ij so với đường chéo chính được xác định theo chỉ số i, j như sau:

+) a ij thuộc đường chéo chính khi và chỉ khi i = j;

+) a ij nằm trên đường chéo chính khi và chỉ khi i < j;

+) a ij nằm dưới đường chéo chính khi và chỉ khi i > j

Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 Có hai loại ma trận tam giác

Ma trận tam giác trên:

Ma trận tam giác dưới:

8.1.2.4 Ma trận đường chéo, và ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 Ma trận đường chéo cấp n có dạng

Trường hợp đặc biệt khi a 11 = a 22 = a 33 =  = a nn thì ma trận chéo được gọi là ma trận vô hướng

Ma trận đường chéo có tất cả các phần tử của đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị Mỗi cấp ma trận vuông có một ma trân đơn vị được kí hiệu là E

Gọi e ij là phần tử thuộc hàng i và cột j của ma trận đơn vị E, ta có:

8.1.2.5 Ma trận dòng và ma trận cột

Ma trận chỉ có một dòng duy nhất (ma trận cấp 1n) được gọi là ma trận dòng

Ma trận chỉ có một cột duy nhất (ma trận m1) được gọi là ma trận cột

Cho ma trận A=[a ij m n ]  , ta gọi ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận A A ' ( t ) có cấp nm, được suy ra từ ma trận A bằng cách xoay các dòng thành các cột với thứ tự tương ứng

Ma trận A=[a ij m n ]  được gọi là ma trận bậc thang, nếu ma trận thỏa mãn hai tính chất sau: i) Các dòng khác không (tức là tồn tại phần tử khác không) (nếu có) luôn ở trên các dòng có các phần tử bằng không (gọi tắt là hàng không); ii) Trên hai dòng khác không thì phần tử khác không đầu tiên (tính từ bên trái sang) ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên (tính từ bên trái sang) ở dòng trên

Ví dụ 8.7: Các ma trận sau là ma trận bậc thang:

8.1.3 Các phép toán đối với ma trận

- Định nghĩa 3 Cho hai ma trận cùng cấp m n : A=[a ij m n ]  ,B=[b ij m n ]  Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m n , ký hiệu là A + B và được xác định như sau:

- Tính chất 1 Cho A, B, C là các ma trận bất kỳ cấp m n , ta luôn có:

8.1.3.2 Phép nhân ma trận với một số

- Định nghĩa 4 Cho ma trận A=[a ij m n ]  và một số thực  Tích của ma trận A và số  là một ma trận cấp m n , ký hiệu A và được xác định như sau:

- Tính chất 2 Cho A, B là hai ma trận cùng cấp m n ; α,  là các số bất kỳ, ta luôn có:

- Định nghĩa 5 Cho ma trận A cấp m  n và ma trận B cấp n  p:

Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận có cấp mp, ký hiệu là AB và được xác định như sau:

  trong đó: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +  + a in b nj , (i=1; ;m j =1; )p

Chú ý: Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa, ta cần lưu ý mấy điểm sau

+) Tích AB có nghĩa khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận

A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (ma trận B)

+) Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Cấp của ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau ( A =[a ij m n ]  ; B =[ ]b ij m n   =C A B =[ ]c ij m p  ).

Định thức

8.2.1 Định thức của ma trận vuông

8.2.1.1 Định nghĩa 6 Cho ma trận vuông A=[a ij n n ]  cấp n

+) Định thức của ma trận vuông A cấp n là một số thực, ký hiệu là det(A) (hoặc |A|) và được viết như sau: D = det(A) = |a ij |

+) Nếu trong ma trận A, ta bỏ đi hàng i cột j thì thu được một ma trận mới gồm (n−1)hàng và (n−1)cột, ký hiệu M ij và gọi là ma trận con (ma trận bù) ứng với phần tử a ij

Cho ma trận vuông cấp hai 11 12

Khi đó, định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp hai và được tính như sau:

Ví dụ 8.13: Tính định thức 1 2

Cho ma trận vuông cấp ba:A=[a ij ] 3 3  Khi đó, định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp ba và được tính như sau:

Sơ đồ (I) cho quy tắc tính các số hạng mang dấu cộng, sơ đồ (II) cho quy tắc tính các số hạng mang dấu trừ (mỗi dấu “•” trên sơ đồ tương ứng với mỗi phần tử của ma trận A)

Bước 1: Viết bổ sung cột 1 và cột 2 của ma trận A vào bên phải cột 3 của ma trận A

Bước 2: Tổng của các tích nằm trên đường nét liền ⎯ trừ cho tổng của các tích nằm trên đường nét đứt đoạn - - -

Ví dụ 8.14: Tính định thức của ma trận A

Từ (8.2.1), ta có thể viết lại dưới dạng sau:

Công thức (8.2.2) và (8.2.3) được gọi là công thức khai triển định thức cấp ba theo cột 1, đó cũng là công thức tính định thức cấp ba

Một cách tổng quát, ta có thể khai triển định thức cấp ba theo cột j bất kỳ như sau:

Tương tự ta có công thức khai triển định thức cấp ba theo hàng như sau:

Ví dụ 8.15 Tính định thức

Cách 2: Tính D bằng cách khai triển theo cột 1

Cho ma trận vuông cấp n: A=[a ij n n ]  Định thức của ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n, được tính theo công thức:

= − = (8.2.4) trong đó M ij là ma trận con cấp (n−1) tương ứng với phần tử a ij của ma trận A, j là chỉ số cột nào đó

Công thức (8.2.4) còn được gọi là công thức tính định thức cấp n bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ

Tương tự, ta có công thức tính định thức cấp n bằng phương pháp khai triển định thức theo một hàng i bất kỳ:

Ví dụ 8.16 Tính định thức

Ta tính D bằng cách khai triển theo cột 1

8.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức

Ta thừa nhận các định lý sau đây: Định lý 1 Cho ma trận vuông A cấp n, A’là ma trận chuyển vị của ma trận A Khi đó det(A’) = det(A)

D = 3 4 = − Định lý 2 Đổi chỗ hai dòng (hay hai cột) của một định thức, ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu

3 4 = − 4 3 Định lý 3 Một định thức có hai dòng (cột) như nhau thì bằng không Định lý 4 Một định thức có một dòng (cột) toàn là số 0 thì định thức đó bằng 0 Định lý 5 Khi nhân các phần tử của một dòng (cột) của định thức với một số k

 0 thì ta được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Hệ quả Khi các phần tử của một dòng (một cột) có một thừa số chung ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức

2 = Định lý 6 Khi hai dòng (cột) của một định thức tỉ lệ với nhau thì định thức đó bằng không Định lý 7 Khi tất cả các phần tử của một dòng (cột) của định thức có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức, chẳng hạn:

= + Định lý 8 Khi ta cộng bội k của một dòng vào một dòng khác (hay cộng bội k của một cột vào một cột khác) thì ta được một định thức mới bằng định thức cũ

= − Định lý 9 (Về các định thức có dạng tam giác) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo chính

8.2.3 Phương pháp tính định thức bằng biến đổi sơ cấp Để tính một định thức, ta có thể dùng định nghĩa hoặc công thức khai triển, cũng có thể áp dụng các tính chất của định thức mà tìm cách biến đổi để đưa về dạng đơn giản Cách dùng các biến đổi sơ cấp là một trong những cách như thế

Các biến đổi sơ cấp về dòng mà ta sẽ dùng trên định thức được liệt kê ở bảng dưới đây:

Biến đổi sơ cấp Tác dụng Lý do

1 Nhân một dòng với một số k  0 Định thức nhân với k Định lý 5

2 Đổi chỗ hai dòng Định thức đổi dấu Định lý 2

3 Cộng k lần dòng r vào dòng s Định thức không đổi Định lý 8

+) Nói nhân một dòng với một số k, nghĩa là nhân tất cả các phần tử của dòng đó với số k

+) Nói cộng k lần dòng r vào dòng s nghĩa là cộng k lần mỗi phần tử của dòng r với phần tử cùng cột với nó ở dòng s và đặt vào dòng s

- Để tính một định thức ta làm như sau:

Bước 1 Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng, tìm cách đưa dần định thức đã cho về dạng tam giác

Bước 2 Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu được đưa vào tính chất 9

Ví dụ 8.21Tính các định thức sau: a)

= (Đưa thừa số chung ( 3)− ở d 1 ra ngoài)

= (Đưa thừa số chung ở d 3 ra ngoài)

Ma trận nghịch đảo

8.4.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo

Trong tập hợp tất cả các số thực, số 1 giữ vai trò là phần tử trung hòa của phép nhân ( 1a =  a, a ) và được gọi là số đơn vị

Trong tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng cấp, ma trận đơn vị E cũng có vai trò tương tự:

Trong số học, số nghịch đảo của một số thực a0là số thực a − 1 thỏa mãn điều kiện a a − 1 =1 Khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cũng được định nghĩa tương tự: Định nghĩa 7 Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

Chú ý rằng khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông

Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có một ma trận nghịch đảo duy nhất

Thật vậy, giả sử X và Y đều là ma trận nghịch đảo của A (A, X, Y cấp n) nghĩa là có:

X(AY) = XE = X và (XA)Y = EY = Y

Do phép nhân ma trận cùng cấp có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này ta suy ra X = Y

Như vậy, nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo của nó được xác định Ta sẽ dùng ký hiệu A − 1 để chỉ ma trận nghịch đảo của ma trận A Theo định nghĩa ta có:

A A − = A A − = E 8.4.2 Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Xét ma trận vuông A cấp n: A=[a ij n n ]  , det(A)  0 Ở mục (8.2.1.1) ta đã có M ij suy từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j là ma trận bù ứng với phần tử a ij Đặt D ij = det(M ij ) là định thức con (hoặc phần bù) ứng với phần tử a ij c ij = − ( 1) i j + D ij ( 1)= − i j + det(M ij )là phần bù đại số của a ij Định lý 10 Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là det(A)  0 Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức:

- Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:

Bước 1 Tìm ma trận C =[ ]c ij n n  trong đó c ij = −( 1) i j + D ij , D ij (M ij ), sau đó lấy C '

Giải: Ta có det( )A = − 1 0 nên A − 1

8.4.3 Các tính chất của ma trận nghịch đảo

Ta thừa nhận các tính chất sau đây

+) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì :

Hệ thức thứ nhất suy ra trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo, hệ thức thứ hai suy ra từ mệnh đề nói về định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp:

AA − = →E A A − +) Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A và B có ma trận nghịch đảo thì ma trận AB cũng có ma trận nghịch đảo và

Hạng của ma trận

8.5.1 Khái niệm hạng của ma trận

Cho ma trận cấp m n bất kỳ

Gọi p là số nguyên dương thoả mãn p  min   m n ; Định nghĩa 8 Ma trận vuông cấp p suy từ A bằng cách bỏ đi (m – p) hàng và (n

– p) cột gọi là ma trận con cấp p của A Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A

Ví dụ 8.23: Xét ma trận cấp 34

Ta có: min{3; 4} = 3, do đó p = 1; 2; 3

Các định thức con cấp 3 của A là

Các định thức con cấp hai của A là:

2 1− Định nghĩa 9 Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A

Hạng của ma trận A được ký hiệu là ( )A (hoặcr A( ))

Ví dụ 8.24: Xét ví dụ trên: Các định thức con cấp 3 đều bằng không nhưng có định thức con cấp 2 khác không.Vậy ( )A =2 (chú ý: (A')=(A); A là ma trận vuông)

8.5.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

8.5.2.1 Phương pháp định thức bao quanh Định nghĩa 10 Ta nói định thức con D ( cấp r+1) của ma trận A là định thức bao quanh của định thức con D ( cấp r ) khi và chỉ khi D được thành lập bằng cách bổ sung thêm một dòng và một cột của A ngoài r dòng và r cột đã chọn để lập định thức D

Nếu D là một định thức con cấp r của ma trận cấp m n ( r < m và r < n ) thì để lập một định thức con cấp r+1 bao quanh D, ta có m−r cách chọn thêm một dòng và n−r cách chọn thêm một cột (ngoài các dòng và các cột đã chọn để lập định thức D), do đó số định thức con cấp r+1 bao quanh định thức D bằng (m−r n)( −r).

Mệnh đề Nếu ma trận A có một định thức con D0 cấp r mà mọi định thức con cấp r +1 bao quanh nó ( nếu có ) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r

Từ mệnh đề nêu trên, ta có thể tính hạng của một ma trận theo phương pháp lặp như sau:

Xuất phát từ một định thức con D0 cấp r của ma trận, ta chỉ cần tính các định thức con cấp r +1 bao quanh nó (nếu có) Nếu tất cả các định thức con cấp r +1 bao quanh D đều bằng 0, hoặc ma trận không có định thức con cấp

1 r + (khi r đã bằng số dòng hoặc số cột của ma trận), thì hạng của ma trận bằng r Nếu trong số các định thức con cấp r +1 bao quanh D có một định thức D nào đó khác 0 thì ta lại chuyển sang xét các định thức con cấp r+2 bao quanh

D (nếu có) Lặp lại quá trình này, sau một số hữu hạn bước ta sẽ xác định được hạng của ma trận

Ví dụ 8.25: Xét ma trận cấp 34

= =  ; Khi đó, ta tính các định thức con cấp 3 bao quanh D, thấy:

Nếu xóa đi các dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0 ở phía dưới dòng thứ s (nếu có) thì hạng của ma trận (8.5.1) không thay đổi (do mỗi dòng đó biểu diến tuyến tính qua các dòng còn lại), mặt khác ta thấy ma trận (8.5.1) có một định thức con khác 0:

=  Điều này chứng tỏ hạng của ma trận A bằng s

Do các phépbiến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính khác không hay bằng không của các định thức con của một ma trận, nên không thay đổi hạng của ma trận Vì vậy ta có thể áp dụng chúng để đưa một ma trận về dạng (8.5.1) rồi áp dụng suy ra hạng của ma trận đã cho

Ví dụ 8.26: Xét ma trận

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên tiếp

9.1.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

9.1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn x x 1 , 2 , ,x n là hệ có dạng tổng quát như sau:

(9.1.1) trong đó: a b ij , i là các hằng số cho trước: số a ij được gọi là các hệ số của ẩn x j trong phương trình thứ i, b i được gọi là số hạng tự do của phương trình thứ i ( i=1, 2, , ;m j =1, 2, ,n)

9.1.1.2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

Hệ phương trình (9.1.1) cho tương ứng hai ma trận:

Khi đó A được gọi là ma trận hệ số, A được gọi là ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (9.1.1)

9.1.1.3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính n ẩn (9.1.1) là một bộ n số có thứ tự (  1 ; 2 ; ; n ) mà khi gán x 1 = 1 ,x 2 = 2 , ,x n = n vào tất cả các phương trình của hệ thì ta được các đẳng thức đúng

Nghiệm của hệ phương trình (9.1.1) có thể viết dưới một trong ba dạng sau:

 = Giải một hệ phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó

9.1.1.4 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương Định nghĩa 2 Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ này đồng thời là nghiệm của hệ kia và ngược lại (hoặc cả hai hệ đều vô nghiệm)

Khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp sơ cấp, ta thường phải biến đổi hệ phương trình đó về dạng thuận tiện cho việc xác định nghiệm Định nghĩa 3 Một phép biến đổi biến một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ mới tương đương được gọi là phép biến đổi tương đương

9.1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa 4 Các phép biến đổi sau đây đối với một một hệ phương trình tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

+) Đổi chỗ hai phương trình của hệ

+) Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số  0

+) Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách lấy tích hai vế của một phương trình khác (trong hệ đó) với một số k rồi cộng vào hai vế tương ứng của phương trình đó Định lý 1 Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương

9.1.2 Hệ phương trình dạng tam giác và dạng hình thang Ý tưởng chung của phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm của một hệ phương trình nhiều ẩn số là khử dần các ẩn để quy về việc giải các phương trình một ẩn số Việc khử dần các ẩn số của một hệ phương trình tuyến tính sẽ dẫn đến một trong hai dạng cơ bản dưới đây (nếu hệ có nghiệm) Theo hình dạng của vế trái, ta gọi các hệ phương trình đó là hệ tam giác và hệ hình thang

9.1.2.1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác là hệ có dạng sau:

(9.1.2) trong đó tất cả các hệ số a 11 ,a 22 ,a nn đều khác 0 Đây là một hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, theo thứ tự từ trên xuống, các ẩn số mất dần ( a ij =0khi i j ) Phương trình cuối cùng của hệ chỉ còn lại một ẩn số Từ phương trình dưới cùng của hệ (9.1.2), ta xác định được: n n n nn x b a 

= − Tiếp theo, thay x n = n vào phương trình phía trên ta lại có một phương trình một ẩn số x n − 1 , từ đó xác định được x n − 1 = n − 1 Lặp lại quá trình này theo trình tự từ dưới lên ta tìm được:

Hệ phương trình (9.1.2) có một nghiệm duy nhất: (  1 ; 2 ; ; n )

Ví dụ 9.1: Giải hệ phương trình :

Giải Hệ phương trình đã cho có dạng tam giác Từ phương trình thứ ba, ta tìm được x 3 =4 Thay x 3 =4 vào phương trình thứ hai ta có:

7x −16= 5 x =3 Tiếp theo, thay x 3 =4, x 2 =3 vào phương trình thứ nhất, ta có

1 6 4 1 1 3 x − + =  x Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (3;2;4)

9.1.2.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang

Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang cũng có đặc điểm giống như hệ tam giác là các phương trình của hệ khuyết dần các ẩn số theo thứ tự từ trên xuống, nhưng hệ hình thang có số phương trình nhỏ hơn số ẩn, do vậy phương trình dưới cùng là phương trình nhiều ẩn số:

(mn a; ii   =0, i 1, 2, , )m Ở dạng (9.1.3) ta gọi m ẩn đầu x x 1 , 2 , ,x m là các ẩn chính và các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do Gán cho các ẩn tự do giá trị tùy ý

1 1, , m m n n x + = + x = và chuyển các số hạng chứa chúng sang vế phải ta được một hệ tam giác đối với các ẩn chính:

 Theo phương pháp giải hệ tam giác, ta xác định được giá trị của các ẩn

1, 2, , m x x x theo  m + 1 , , n Nghiệm của hệ (9.1.3) có dạng:

Hệ hình thang (9.1.3) có vô số nghiệm Nghiệm viết dưới dạng (9.1.4) với

( m + 1, , n ) là một bộ n−m hằng số bất kỳ, được gọi là nghiệm tổng quát

Mỗi bộ số thực ( m + 1 , , n ) gán cho các ẩn tự do cho tương ứng một nghiệm của hệ (9.1.3), gọi là nghiệm riêng của nó

Ví dụ 9.2: Giải hệ phương trình

Giải Đây là hệ hình thang với các ẩn chính là x x x 1 , 2 , 3 và các ẩn tự do x x 4 , 5 Chuyển các số hạng chứa các ẩn tự do sang vế phải và gán x 4 =,x 5 = , ta được hệ sau:

 Theo quy tắc giải hệ tam giác ta tìm được:

3 2; 3 4; 4 3 19 x = − + 2 + x = −  − + x =  −  − Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:

Mỗi bộ hai số ( ; )  cho tương ứng một nghiệm riêng Chẳng hạn, với

9.1.3 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Định lý sau đây cho phép ta căn cứ vào hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận mở rộng để nhận biết một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hay không ( Ta thừa nhận định lý này ) Định lý Cronecker – Capelli: Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số 9.1.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Phương pháp giải một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ bằng cách khử dần các ẩn số để đưa về dạng tam giác hoặc dạng hình thang được gọi là phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay phương pháp Gauss Nội dung phương pháp này như sau:

Xét hệ phương trình (9.1.1) Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử

11 0 a  (nếu không ta có thể đổi chỗ các phương trình hoặc sắp lại thứ tự các ẩn số để có được điều đó) Trước hết ta khử ẩn x 1 trong các phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống bằng cách cộng vào hai vế của phương trình thứ i (i = 2, 3, , m) tích các vế tương ứng của phương trình thứ nhất với số 1

−a Chú ý rằng, phép biến đổi sơ cấp là phép biến đổi tương đương, do đó sau m−1 phép biến đổi như vậy, ta được hệ tương đương:

= − = − = Trong hệ (9.1.5) có khả năng xuất hiện các phương trình với vế trái đồng nhất bằng 0 ( nếu trong hệ (9.1.1) có phương trình nào đó có vế trái tỷ lệ với vế trái của phương trình thứ nhất ):

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp riêng của hệ phương trình tuyến tính khi tất cả các số hạng tự do bằng 0:

Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần chú ý mấy đặc điểm sau:

+) Hệ phương trình tuyến tính (9.1.7) có ít nhất một nghiệm

(x =0;x =0; ;x n =0), gọi là nghiệm không, hay nghiệm tầm thường Do đó, đối với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có hai khả năng xảy ra: +) Hệ có một nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác);

+) Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang)

+) Mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn chắc chắn kết thúc ở dạng hình thang)

+) Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được xác định khi biết ma trận hệ số của nó và mọi phép biến đổi sơ cấp đều biến một hệ thuần nhất thành hệ thuần nhất tương đương Do đó, khi giải một hệ thuần nhất bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta chỉ cần biểu diễn các phép biến đổi trên ma trận hệ số

Ví dụ 9.6: Giải hệ phương trình

Giải: Ma trận hệ số:

Ma trận hệ số cuối cho hệ phương trình:

− + +  − −  Giải hệ này theo phương pháp đã biết, ta được nghiệm tổng quát: