Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình gồm 9 chương: Chương 1: Tập hợp và quan hệ Chương 2: Hàm số và giới hạn Chương 3: Đạo hàm và vi phân Chương 4: Phép toán tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phư
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU - Chương TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ - 1.1 Tập hợp - 1.1.1 Các khái niệm - 1.1.2 Các phép toán tập hợp - 1.2 Quan hệ - 1.2.1 Tích Descartes - 1.2.2 Quan hệ - 1.2.3 Ánh xạ - 1.2.4 Ánh xạ ngược - 11 CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN - 12 2.1 Các khái niệm hàm số biến số - 12 2.1.1 Biến số - 12 2.1.2 Quan hệ hàm số - 12 2.1.3 Đồ thị hàm số - 15 2.1.4 Khái niệm hàm ngược - 16 2.1.5 Một số đặc trưng hàm số - 18 2.1.6 Các hàm số sơ cấp - 21 2.2 Dãy số giới hạn dãy số - 23 2.2.1 Dãy số - 23 2.2.2 Giới hạn dãy số: - 23 2.2.3 Đại lượng vô bé - 26 2.2.4 Các định lý giới hạn - 27 2.3 Giới hạn hàm số - 29 2.3.1 Khái niệm giới hạn hàm số - 29 2.3.2 Giới hạn hàm số sơ cấp - 31 2.3.3 Các định lý giới hạn - 32 2.3.4 Hai giới hạn dạng vô định - 34 2.3.5 Vô bé vô lớn - 34 2.4 Hàm số liên tục - 38 2.4.1 Khái niệm hàm số liên tục - 38 2.4.2 Các phép toán sơ cấp hàm số liên tục - 39 2.4.3 Các tính chất hàm số liên tục khoảng - 39 Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN - 41 3.1 Đạo hàm hàm số - 41 3.1.1 Khái niệm đạo hàm - 41 3.1.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp - 43 3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm - 43 3.2 Vi phân hàm số - 44 3.2.1 Khái niệm vi phân liên hệ với đạo hàm - 44 3.2.2 Các quy tắc tính vi phân - 45 3.3 Các định lý hàm số khả vi - 46 - - 3.3.1 Định lý Fermat - 46 3.3.2 Định lý Rolle - 47 3.3.3 Định lý Lagrange - 47 3.3.4 Định lý Cauchy - 48 3.4 Đạo hàm vi phân cấp cao - 49 3.4.1 Đạo hàm cấp cao - 49 3.4.2 Vi phân cấp cao - 50 3.5 Ứng dụng đạo hàm việc tính giới hạn dạng vơ định - 51 3.5.1 Tính giới hạn dạng vơ định dạng ¥ - 51 ¥ 3.5.2 Các dạng vô định khác - 52 Chương PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN - 55 4.1 Nguyên hàm tích phân bất định - 55 4.1.1 Nguyên hàm hàm số - 55 4.1.2 Tích phân bất định - 55 4.1.3 Các cơng thức tích phân - 56 4.2 Các phương pháp tính tích phân bất định - 57 4.2.1 Phương pháp đổi biến số - 57 4.2.2 Phương pháp tính tích phân theo phần - 59 4.3 Một số dạng tích phân - 61 4.3.1 Tích phân phân thức hữu tỷ - 61 4.3.2 Tích phân số biểu thức lượng giác - 63 4.3.3 Tích phân số biểu thức chứa - 65 4.4 Tích phân xác định - 67 4.4.1 Khái niệm tích phân xác định - 67 4.4.2 Điều kiện khả tích - 69 4.4.3 Các tính chất tích phân xác định - 70 4.4.4 Liên hệ tích phân xác định nguyên hàm Công thức Newton - Leibnitz - 71 4.4.5 Phương pháp đổi biến số - 72 4.4.6 Phương pháp tính tích phân phần - 74 4.4.7 Tích phân suy rộng - 74 4.5 Một số ứng dụng tích phân xác định - 78 4.5.1 Tính diện tích hình phẳng - 78 4.5.2 Tính thể tích vật trịn xoay - 79 Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - 81 5.1 Các khái niệm - 81 5.1.1 Hàm số hai biến số - 81 5.1.2 Hàm số n biến số - 83 5.2 Giới hạn tính liên tục - 84 5.2.1 Giới hạn hàm số hai biến số - 84 5.2.2 Giới hạn hàm n biến - 88 5.23 Hàm số liên tục - 89 5.3 Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến - 89 - - 5.3.1 Số gia riêng số gia toàn phần - 90 5.3.2 Đạo hàm riêng - 90 5.3.3 Đạo hàm riêng hàm hợp - 91 5.3.4 Vi phân - 92 5.3.5 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao - 93 5.4 Cực trị hàm nhiều biến - 95 5.4.1 Khái niệm cực trị điều kiện cần - 95 5.4.2 Điều kiện đủ - 97 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - 99 6.1 Các khái niệm - 99 6.1.1 Các khái niệm chung - 99 6.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp - 103 6.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp - 103 6.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp không - 104 6.3 Phương trình vi phân cấp hai - 107 6.3.1 Khái quát chung phương trình vi phân cấp - 107 6.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai - 108 6.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số - 112 Chương KHÔNG GIAN VECTƠ - 121 7.1 Khái niệm không gian vectơ - 121 7.1.1 Định nghĩa - 121 7.1.2 Các tính chất - 122 7.1.3 Một số ví dụ không gian vectơ - 122 7.2 Không gian vectơ - 123 7.2.1 Định nghĩa - 123 7.2.2 Định lý - 123 7.3 Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh - 124 7.3.1 Tổ hợp tuyến tính - 124 7.3.2 Hệ sinh - 124 7.4 Họ véctơ độc lập tuyến tính Cơ sở số chiều không gian véctơ 125 7.4.1 Họ véctơ độc lập tuyến tính - 125 7.4.2 Cơ sở Số chiều không gian vectơ - 126 Quy ước: dim() = - 126 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC - 127 8.1 Ma trận phép tốn tuyến tính ma trận - 127 8.1.1 Các khái niệm ma trận - 127 8.1.2 Các dạng ma trận - 129 8.1.3 Các phép toán ma trận - 132 8.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận - 135 8.2 Định thức - 136 8.2.1 Định thức ma trận vuông - 136 8.2.2 Các tính chất định thức - 139 8.2.3 Phương pháp tính định thức biến đổi sơ cấp - 141 8.4 Ma trận nghịch đảo - 143 - - 8.4.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo - 143 8.4.2 Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo - 144 8.4.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo - 145 8.5 Hạng ma trận - 145 8.5.1 Khái niệm hạng ma trận - 145 8.5.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận - 146 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - 148 9.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp - 148 9.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính - 148 9.1.2 Hệ phương trình dạng tam giác dạng hình thang - 150 9.1.3 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính - 153 9.2 Hệ phương trình tuyến tính - 157 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 159 - - - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực đời sống, xã hội Các toán kinh tế, kế toán, toán khoa học kỹ thuật, giải nhằm phục vụ lợi ích người Để kịp thời phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập sinh viên hệ Đại học, biên soạn giáo trình sở Giáo trình Tốn cao cấp viết cho hệ Cao đẳng Trong giáo trình chúng tơi cố gắng trình bày kiến thức tốn thật đơn giản khơng phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống chúng Những khái niệm Toán học bản, phương pháp bản, kết chương trình bày đầy đủ Một số định lý không chứng minh, ý nghĩa định lý quan trọng giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa đưa Giáo trình gồm chương: Chương 1: Tập hợp quan hệ Chương 2: Hàm số giới hạn Chương 3: Đạo hàm vi phân Chương 4: Phép tốn tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phương trình vi phân Chương 7: Không gian vectơ Chương 8: Ma trận định thức Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính Chương trình bày tóm tắt nội dung bao qt, thuộc tảng tốn học nói chung: tập hợp, khái niệm phép tốn hai ngơi tập hợp, khái niệm ánh xạ Chương trình bày khái niệm hàm số giới hạn - - Chương 3, chương có số kiến thức đề cập bậc phổ thơng, kiến thức chúng tơi trình bày cách xác có mở rộng Những kiến thức trình bày gọn kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội Một vài ví dụ thực tế giới thiệu, qua sinh viên thấy việc cần thiết phải nắm kiến thức chương nhằm phục vụ cho việc học tập nghiên cứu môn học chuyên ngành Chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông Tên chương “ Hàm số nhiều biến số ” nội dung chương đề cập đến hàm số hai biến số Chương chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Mỗi dạng phương trình nêu có ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải nhận dạng phương trình Chương trình bày số khái niệm không gian vectơ Chương 8, chương trình bày kiến thức khái niệm nêu tên chương Các chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thơng nên trình bày kỹ, sau mục có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm kiến thức tạo lập kỹ vận dụng kiến thức để làm tập Cuốn giáo trình biên soạn thời gian ngắn, chắn cịn nhiều sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để sách ngày hoàn thiện Các tác giả - - Chương TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.1.1 Tập hợp phần tử Thuật ngữ “Tập hợp” dùng rộng rãi tốn học Chúng ta thường nói tập hợp số nguyên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp học Tập hợp khái niệm tốn học, dùng làm sở cho khái niệm khác thân khơng định nghĩa qua khái niệm đơn giản Khi nói tập hợp ta đối tượng có tính chất Chẳng hạn nói tập hợp số tự nhiên, đối tượng tập hợp số tự nhiên; nói tập hợp học sinh lớp học, đối tượng tập hợp học sinh lớp học Các đối tượng tập hợp cho gọi phần tử tập hợp Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp chữ in hoa A, B, C ký hiệu phần tử chữ in thường a, b, c Để nói a phần tử tập hợp A ta dùng ký hiệu: a A (đọc là: “ a thuộc A ”) Ngược lại a phần tử tập hợp A viết: a A (đọc “ a khơng thuộc A ”) Ví dụ 1.1: Ở chương trình phổ thơng ta biết tập hợp sau: Tập hợp số tự nhiên; Tập hợp số nguyên; Tập hợp số hữu tỉ; Tập hợp số thực Cho tập hợp A nghĩa xác định tất phần tử Có hai cách cho tập hợp: Cách 1: Cho tập hợp cách liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.2: +) Nếu A tập hợp số nguyên dương nhỏ ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5} +) Có thể liệt kê phần tử tập hợp số tự nhiên tập số nguyên sau: = { 0; 1; 2; } - - = { 0; 1; 2; 3 } Cách 2: Cho tập hợp cách tính chất phần tử Nếu P(x) mệnh đề tính chất x A tập hợp phần tử x có tính chất P(x) ta viết: A = x p( x) Ví dụ 1.3: +) Nếu A tập hợp tất số nguyên chẵn ta viết: A = n Z n ch½n +) Có thể mơ tả tập hợp số hữu tỉ sau: p = p, q Z ; q q Nếu A tập hợp hữu hạn, tức liệt kê tất phần tử ta ký hiệu A số phần tử tập hợp A 1.1.1.2 Tập rỗng Tập A gọi tập rỗng khơng chứa phần tử Có tập rỗng ký hiệu Như || = Viết A (đọc A không rỗng) nghĩa A chứa phần tử 1.1.1.3 Tập đẳng thức tập hợp +) Giả sử cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập B, ký hiệu A B (đọc A B) B A (đọc B chứa A) +) Hai tập hợp A B gọi A B B A, ký hiệu A = B +) Nếu tập hợp A không tập hợp B ta viết A B +) Tập A gọi tập thật tập hợp B A B A B Quy ước: Tập hợp tập tập hợp 1.1.1.4 Biểu đồ Venn Để dễ hình dung tập hợp mối liên hệ tập hợp, người ta dùng tập hợp điểm mặt phẳng để minh họa Thông thường ta xét tập hợp phần tử tập hợp bao trùm, gọi không gian hay vũ trụ Tập không gia mơ tả tập hợp điểm hình chữ nhật Mỗi tập hợp không gian minh họa tập hợp điểm giới hạn đường - - khép kín bên hình chữ nhật Cách minh họa ước lệ gọi Biếu đồ Venn Ví dụ, biểu đồ Venn hình mơ tả hai tập hợp A, B, A tập B A B 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Phép hợp phép giao - Phép hợp Hợp hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử tập hợp đó, ký hiệu A B Như vậy: A B ={x A x B} Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = {0; 1; 3; 5; 7} A B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} - Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A B Như vậy: A B ={x A x B} Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = { 0; 1; 3; 5; 7} A B = {0; 1; 3} - Các tính chất phép hợp phép giao tập hợp +) Tính giao hốn A B = B A; A B = B A - - +) Tính chất kết hợp A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C +) Tính chất phân phối A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) 1.1.2.2 Phép trừ tập hợp phần bù tập hợp - Hiệu hai tập hợp Hiệu tập hợp A tập hợp B tập hợp gồm tất phần tử thuộc tập hợp A không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B Vậy: A\ B = { x A x B } Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8} Ta có: A\ B = { 1; 3; 5} B \ A = { 6; 8} - Phần bù tập hợp Cho tập hợp E A tập E, nghĩa A E Lúc E\ A gọi phần bù A E, ký hiệu A Nhận xét: A E; A = E \ A = A Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất số thực , tập hợp số vô tỉ phần bù tập hợp tất số hữu tỉ Định lý (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu) Với A E; B E, ta có A B = A B; A B = A B Nghĩa là: - Phần bù hợp tập hợp giao phần bù chúng - Phần bù giao tập hợp hợp phần bù chúng Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức đầu đẳng thức sau tương tự Xét x E, ta có: x A B x A B ( x A x B) ( x A x B) x A B; x A B ( x A x B) ( x Avà x B) x A B x A B; Vậy: - -