Khảo sát sự lan truyền của sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng và không có nguồn phát .... Điều kiện bờ tổng quát: khi có điện tích mặt tại bờ khi không có điện tích
TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Khái niệm
Trường tĩnh điện là một trường dừng được tạo ra xung quanh các điện tích đứng yên Các vectơ ̅ ̅ không đổi theo thời gian.
Định luật Coulomb
Hình 2.1 Tương tác giữa hai điện tích đặt cách nhau một khoảng r
Nếu ta có 2 điện tích đặt cách nhau khoảng cách sẽ tương tác nhau một lực hướng dọc theo đường thẳng nối các điện tích ấy: ̅ ̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅
Trong đó: - : độ lớn các điện tích
- : khoảng cách giữa 2 điện tích
- ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ : lực tác dụng của lên và của lên
- : là hằng số điện môi
Các đại lượng cơ bản
a Vectơ cường độ điện trường ̅: Đặt 1 điện tích thử (ngoài điện tích Q) vào 1điểm trong không gian, thì điện tích thử sẽ chịu 1 lực tác dụng: ̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅
Như vậy, ̅ là vectơ cùng phương, cùng chiều với ̅ trong môi trường đồng nhất, đẳng hướng (ε = const) Vectơ ̅ không phụ thuộc vào môi trường mà chúng ta khảo sát.
Các tính chất của trường tĩnh điện
“Thông lượng của vectơ điện cảm ̅, qua 1 mặt kín S bằng tổng điện tích chứa trong thể tích giới hạn bởi mặt kín đó, không phụ thuộc vào sự sắp xếp của chúng”
∮ ̅ ̅̅̅̅ ∑ ∫ với ρ: mật độ điện tích khối Áp dụng biến đổi Gauss cho vế trái:
Ý nghĩa: ̅ chứng tỏ trường tĩnh điện là trường có nguồn ở vị trí khảo sát Nguồn của điện trường là điện tích b Tính chất thế của trường tĩnh điện: r 1 r 2 r o
Hình 2.2 Mô tả dịch chuyển của điện tích thử q từ vị trí 1 sang vị trí 2
Giả sử trong trường của điện tích điểm có điện tích dịch chuyển Xét công của lực dịch chuyển ấy: ̅ ̅̅̅
Trường tĩnh điện là một trường thế bởi công của trường sinh ra để dịch chuyển một điện tích từ vị trí 1 sang vị trí 2 Công không phụ thuộc vào dạng đường đi, chỉ phụ thuộc vị trí điểm đầu và cuối
Nếu khảo sát theo 1 vòng kín, ta thấy:
Hình 2.3 Khảo sát quãng đường dịch của điện tích thử q
Sự dịch chuyển của điện tích theo đoạn 1-2-3 cùng chiều điện trường
Trên đoạn 3-4-1, các điện tích dịch chuyển ngược chiều điện trường
∮ ̅ ̅ ∮ ̅ ̅ Giả thiết = 1 đơn vị điện tích dương
∮ ̅ ̅ Áp dụng biến đổi Stokes:
Ý nghĩa: Rotary của điện trường bằng 0 chứng tỏ trương tĩnh điện là trường không xoáy, nghĩa là đường sức không khép kín c Khái niệm thế U:
Thế của trường tại một điểm M được tính bằng công của trường dịch chuyển một điện tích đơn vị điện tích dương từ vị trí M ra xa vô cùng d Khái niệm hiệu điện thế:
Hiệu điện thế giữa 2 điểm A và B nằm trong trường tĩnh điện được xác định bằng công của TTĐ dịch chuyển điện tích điểm có giá trị 1 đơn vị điện tích dương từ A đến B
( ) e Mối liên hệ giữa ̅ và U: ̅
Phương trình Laplace: đối với những điểm mà mật độ điện tích ở đó bằng
Trong hệ tọa Đề-các :
Laplace: f Năng lượng của trường tĩnh điện:
5 Điều kiện bờ (biên) của trường tĩnh điện
Xét điều kiện bờ của trường tĩnh điện là xét sự thay đổi của trường khi đi từ môi trường này sang môi trường khác
Người ta chứng minh được:
Bờ giữa điện môi – điện môi
- Nếu trên bờ không có điện tích mặt (ρ = 0):
Bờ giữa điện môi – kim loại:
6 Hệ thống phương trình của trường tĩnh điện
Phương trình Ý nghĩa vật lý ̅ Hoặc ̅
Biểu thị tính chất không xoáy của điện trường Điện trường là 1 trường thế, cường độ trường có thể được biểu thị qua Gradient của một hàm thế vô hướng
13 ̅ Với ̅ ̅ Điện trường là trường có nguồn Nguồn của các điện trường chính là các điện tích Điều kiện bờ tổng quát:
(khi có điện tích mặt tại bờ)
(khi không có điện tích mặt)
Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm liên tục khi chuyển từ môi trường này sang môi trường kia
Thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm liên tục khi chuyển từ môi trường này sang môi trường kia nếu tại bờ không có điện tích và bị gián đoạn nếu ở bờ có điện tích tự do
Thành phần pháp tuyến của điện trường luôn bị gián đoạn tại bờ
1 Một quả cầu khối lượng rỗng tích điện có bán kính a, giả sử điện tích phân bố đều trên bề mặt của nó với mật độ điện tích là
Hãy xác định trương do quả cầu tạo ra ở bề ngoài và bên trong quả cầu
- Trường do quả cầu tích điện tạo ra là trường tĩnh điện
Xác định trường bên ngoài quả cầu tại : Áp dụng định lý thông lượng của Gauss:
∮ ̅ ̅̅̅̅ ∑ ( ∫ ) Vectơ ̅̅̅̅ : vectơ bề mặt, nó vuông góc với dS
Xác định trường bên trong quả cầu tại :
Hệ thống phương trình của trường tĩnh điện
Phương trình Ý nghĩa vật lý ̅ Hoặc ̅
Biểu thị tính chất không xoáy của điện trường Điện trường là 1 trường thế, cường độ trường có thể được biểu thị qua Gradient của một hàm thế vô hướng
13 ̅ Với ̅ ̅ Điện trường là trường có nguồn Nguồn của các điện trường chính là các điện tích Điều kiện bờ tổng quát:
(khi có điện tích mặt tại bờ)
(khi không có điện tích mặt)
Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm liên tục khi chuyển từ môi trường này sang môi trường kia
Thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm liên tục khi chuyển từ môi trường này sang môi trường kia nếu tại bờ không có điện tích và bị gián đoạn nếu ở bờ có điện tích tự do
Thành phần pháp tuyến của điện trường luôn bị gián đoạn tại bờ
1 Một quả cầu khối lượng rỗng tích điện có bán kính a, giả sử điện tích phân bố đều trên bề mặt của nó với mật độ điện tích là
Hãy xác định trương do quả cầu tạo ra ở bề ngoài và bên trong quả cầu
- Trường do quả cầu tích điện tạo ra là trường tĩnh điện
Xác định trường bên ngoài quả cầu tại : Áp dụng định lý thông lượng của Gauss:
∮ ̅ ̅̅̅̅ ∑ ( ∫ ) Vectơ ̅̅̅̅ : vectơ bề mặt, nó vuông góc với dS
Xác định trường bên trong quả cầu tại :
TỪ TRƯỜNG TĨNH
Định luật Ampere, Vectơ từ cảm
Trong đó: ̅: vectơ từ cảm (T: Tesla) à: hệ số từ chuẩn Trong chõn khụng: ̅: vectơ mật độ dòng điện (nguồn gốc tạo ra từ trường) r: khoảng cách từ nguồn điện để tính trường V: thể tích chứa nguồn điện
Vectơ từ trường
- Vectơ từ trường ̅ khụng phụ thuộc vào tớnh chất của mụi trường (à)
- ̅và ̅ cùng phương, chiều trong môi trường đồng nhất, đẳng hướng (à=const)
Tính chất
4.1.1 Khái niệm: Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang điện Biên độ, pha, hướng không đổi theo thời gian
4.1.3 Phương trình bảo toàn điện tích:
=> biến đổi Gauss vế trái :
∫ ∫ (thay đổi thứ tự tích phân và vi phân ở vế phải)
̅ Đây là biểu thức vi phân của phương trình bảo toàn điện tích Chứng tỏ dòng điện có nguồn, nguồn của nó là sự biến đổi mật độ điện tích theo thời gian
4.1.4 Định luật Ohm: ̅ ̅ σ : điện dẫn suất của môi trường
: môi trường điện môi lý tưởng
∞ : môi trường dẫn điện lý tưởng
4.2 Tính chất của từ trường tĩnh
4.2.1 Định luật bảo toàn dòng điện của Ampere:
Hình 3.2 Các thành phần dòng điện bao quanh bởi vòng kín ̅ ̅ ∑ (định lý về lưu số cường độ từ trường) Ở đây ∑ là tổng đại số các dòng điện bị bao quanh bởi đường vòng như hình 2.2:
Nếu môi trường khảo sát có dòng điện phân bố với mật độ ̅ , thì khi lấy tích phân đường của từ trường theo một vòng khép kín bao quanh một diện tích S:
∮ ̅ ̅ ∫ ̅ ̅̅̅̅ Áp dụng biến đổi Stokes cho vế trái:
Ý nghĩa: Rotary của vectơ cường độ từ trường có giá trị khác không chứng tỏ từ trường là 1 trường xoáy Các đường sức của từ trường là những đường khép kín trong không gian bao quanh các dòng điện tạo ra nó
4.2.2 Tính chất liên tục của từ thông:
Thông lượng của một vectơ cảm ứng qua S Ta có, tổng số đường sức đi vào mặt
S bằng tổng số đường sức đi ra khỏi mặt ấy
Vậy, tổng số đường sức thâm nhập vào một mặt kín bất kì sẽ bằng:
∮ ̅ ̅̅̅̅ Áp dụng biến đổi Gauss vào vế trái ̅ ̅̅̅̅ ∫ ̅
Ý nghĩa: ̅ nói lên tính chất từ trường là trường không có nguồn ở vị trí khảo sát
4.2.3 Năng lượng của từ trường:
(môi trường đồng nhất, đẳng hướng: ̅ ̅ cùng phương, chiều)
4.2.4 Điều kiện bờ của từ trường:
Người ta chứng minh được: a Tại bờ giữa điện môi – điện môi: b Tại bờ giữa điện môi – kim loại: là mật độ dòng điện mặt, nghĩa là dòng điện chảy trên mặt một đơn vị chiều rộng của bề mặt, ở trong một lớp vỏ vô cùng mỏng của mặt dẫn điện lý tưởng
4.2.5 Hệ thống phương trình của từ trường tĩnh:
Phương trình Ý nghĩa vật lý
Nguyên lý liên tục của từ thông
Từ trường là trường không có nguồn Trong thiên nhiên không có từ tích là nguồn của từ trường
Định luật bảo toàn dòng điên Ampere:
Từ trường là trường xoáy Đường sức từ khép kín Tại mỗi điểm, cường độ xoáy bằng mật độ dòng điện tại điểm ấy
Điều kiện bờ tổng quát:
(bờ giữa điện môi – kim loại)
(bờ giữa điện môi – điện môi)
Thành phần pháp tuyến của ̅ liên tục khi chuyển từ môi trường này sang môi trường khác
Thành phần tiếp tuyến của ̅ liên tục giữa 2 bờ điện môi nhưng gián đoạn tại bờ giữa kim loại và điện môi, khoảng gián đoạn có giá trị bằng mật độ dòng điện mặt
Cho một dây dẫn thẳng, tiết diện tròn có bán kính a, trên dây có dòng điện không đổi, biên độ Hãy xác định trường tạo ra ở điểm cách trục dây một khoảng: a b
Giải: a Dòng điện không đổi tạo ra xung quanh nó một từ trường tĩnh Áp dụng định luật Ampere, ta có:
Phương và chiều của ̅ được chỉ ra như hình vẽ… b Ta có:
VD2: Một dây dẫn thẳng đồng trục tiết diện tròn, vỏ có bán kính r 1 , lõi có bán kính r 2 Dòng điện trên vỏ và lõi ngược chiều nhau có biên độ tương ứng là I 1 và I 2 Hãy xác định trường tạo ra bởi dây dẫn ở điểm cách trục dây một khoảng : a) > r 1 b) < r 2 c) r 2 < d < r 1
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN
Dòng điện dịch
Là sự biến thiên của điện trường theo thời gian: ̅ ̅ ̅
Phương trình Maxwell thứ nhất
Xuất phát từ định luật bảo toàn dòng điện của Ampere (theo Maxwell, mật độ dòng điện toàn phần gồm 2 số hạng: mật độ dòng điện dẫn ̅ và mật độ dòng điện dịch)
Sự biến thiên của ̅ theo thời gian tạo ra từ trường xoáy, (1) gọi là phương trình Maxwell thứ nhất
Dạng lượng giác Dạng phức
Phương trình Maxwell thứ hai
Xuất phát từ định luật Faraday, nếu qua mặt giới hạn bởi đường vòng dây dẫn có từ thông biến đổi theo thời gian thì vòng dây sẽ sản sinh một sức điện động cảm ứng bằng:
Biết rằng sức điện động có thể được coi như lưu số của vectơ ̅theo vòng dây dẫn, ta viết được:
∫ ̅ ̅̅̅̅ ∫ ̅ ̅̅̅̅ Áp dụng biến đổi Stok cho vế trái:
Sự biến thiên của ̅ tạo ra điện trường xoáy, (2) là phương trình Maxwell thứ 2.
Hệ phương trình Maxwell
Là cơ sở tạo ra sóng điện từ
Nguyên lý đổi lẫn
Giả thiết đối với môi trường điện môi lý tưởng và khi không có nguồn ngoài ( ̅ ), hpt Maxwell được viết như sau:
Ta thấy hệ thống này sẽ không biến đổi nếu trong các phương trình trên ta thay: ̅ ̅ : thực hiện phép đổi lẫn Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải những bài toán thực tế của điện động lực học
Tổng quát, khi ̅ thì hpt Maxwell không còn dạng đối xứng Vì vậy, muốn thực hiện đổi lẫn, giả sử trong tự nhiên có từ tích nghĩa là có mật độ từ tích và mật độ dòng từ ̅̅̅̅ Khi đó hệ phương trình Maxwell được viết như sau:
(III): hệ phương trình Maxwell đầy đủ và có tính chất đổi lẫn
Nếu thay ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ thì (III) sẽ không đổi Phép biến đổi (*) gọi là nguyên lý đổi lẫn
Ý nghĩa: o Giảm ẵ cho cụng việc giải hệ phương trỡnh Maxwell
25 o Nếu ta đã xác định nghiệm của điện trường thì theo (*) ta có thể xác định được kết quả đối với từ trường.
Điều kiện bờ của trường điện từ biến thiên
Gồm các điều kiện bờ của điện trường và từ trường a Điều kiện bờ của điện trường: b Điều kiện bờ của từ trường: o Khi cả 2 môi trường là điện môi: ̅ o Khi môi trường 1 là điện môi, môi trường 2 là dẫn điện lý tưởng:
Năng lượng của trường điện từ
Gồm năng lượng của điện trường và từ trường
∫ (trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng)
Phương trình bảo toàn năng lượng của trường điện từ - Vectơ Poynting
9.1 Phương trình bảo toàn năng lượng của trường điện từ
Xuất phát từ phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Nhân vô hướng đẳng thức (3) với ̅ và đẳng thức (4) với ̅, lấy (3) – (4): ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Lấy tích phân theo thể tích hai vế:
[ ∫ ] Áp dụng phép biến đổi Gauss cho vế trái:
∮ ̅ ̅̅̅̅ ∫ ̅ ̅ Đây là phương trình bảo toàn năng lượng của trường điện từ
: sự biến thiên năng lượng trường điện từ theo thể tích V theo thời gian t
̅ ̅̅̅̅ : thông lượng của vectơ ̅ chảy qua mặt kín giới hạn bởi thể tích
∫ ̅ ̅ : tổn hao năng lượng dưới dạng nhiệt của dòng điện trong thể tích
Phương trình (*) cho thấy rằng sự biến đổi của năng lượng trường điện từ trong một thể tích V nào đấy một phần do biến thành nhiệt và một phần do năng lượng thoát qua mặt bao bọc thể tích ra không gian bên ngoài
Xét 2 trường hợp riêng của sự dịch chuyển năng lượng:
Hình 4.1 Khảo sát sự biến thiên của năng lượng trường điện từ trong thể tích V (a) Tăng dần theo thời gian và (b) Giảm dần theo thời gian
28 a) Năng lượng trường điện từ trong V tăng theo thời gian (Hình 4.1a)
=> ̅ ̅̅̅̅ ngược chiều ̅đi từ ngoài vào trong V => chứng tỏ năng lượng thâm nhập vào V) b) Năng lượng trường điện từ trong V giảm theo thời gian (Hình 4.2b)
=> ̅ ̅̅̅̅ cùng chiều ̅đi từ trong V ra ngoài
- Vectơ ̅ có hướng trùng hướng di chuyển của năng lượng trường điện từ
- ̅chính là vectơ mật độ năng lượng của trường điện từ
- Hướng của ̅ chính là hướng truyền sóng điện từ
- Khi sóng điện từ lan truyền trong không gian, ̅, ̅ luôn vuông góc với hướng truyền sóng (Hình 3.3)
Hình 3.3 Mô tả hướng di chuyển của sóng điện từ qua vectơ Poynting
Hệ phương trình Maxwell dưới dạng phức
Ta có: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Thay các giá trị trên vào hệ phương trình Maxwell ta được:
SÓNG PHẲNG
Khảo sát sự lan truyền của sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng và không có nguồn phát
- : độ dẫn điện môi trường bằng 0
- Xác định phương truyền sóng (phương trình biểu thị sự phân bố của các thành phần trường trong không gian và thời gian
- Đưa ra các kết luận về sóng lan truyền (các đặc điểm)
Bước 1: Viết hệ phường trình Maxwell ứng với điều kiện khảo sát:
Bước 2: Chọn hệ tọa độ khảo sát là hệ tọa độ Đề-các sao cho hướng lan truyền
Oz => mặt phẳng đồng biên, đồng pha => song song với mặt phẳng xOy ̅ ̅ trên các mặt có biên độ, pha giống nhau và không phụ thuộc vào các tọa độ x, y
Sau đó, triển khai các hệ phương trình Maxwell trong hệ tọa độ vựa chọn
So sánh vế trái – vế phải (cân bằng 2 vế):
So sánh vế trái – vế phải (cân bằng 2 vế):
{ o Cách 2: Áp dụng nguyên lý đổi lẫn => Kết quả trương tự
Phương trình 3: ̅ Áp dụng nguyên lý đổi lẫn: sóng lan truyền trên là sóng điện từ ngang TEM
Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5), chia làm 2 nhóm:
Trong đó: Nhóm A biểu thị 2 thành phần
Nhóm B biểu thị 2 thành phần
Do 2 nhóm hệ phương trình A, B tương đương nên ta chỉ khảo sát nhóm A Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (1) và (5) theo t:
Nó mô tả sự phân bố thành phần điện trường theo không gian và theo thời gian Sự phõn bố này phụ thuộc vào mụi trường truyền súng à, ε
Các thành phần trường còn lại cũng được mô tả theo dạng phương trình trên
Giải và tìm nghiệm của phương trình sóng (7)
Đưa ra các kết luận a Nghiệm của phương trình (7) có dạng:
Mỗi thành phần (số hạng) trong (8) là 1 hàm sóng, hay còn gọi là một sóng
( ) : biểu diễn sóng truyền theo hướng z dương, gọi là sóng thuận
( ) : biểu diễn sóng truyền theo hướng z âm, gọi là sóng ngược b Các kết luận: i Sóng điện từ là TEM ii Sóng lan truyền có 2 thành phần: sóng thuận và sóng ngược iii Trở kháng sóng của môi trường:
Trong chân không: iv Vận tốc lan truyền sóng:
√ v Trường hợp sóng điều hòa:
Nếu nguồn bức xạ tạo bởi dòng điện biến thiên điều hòa thì các hàm sóng cũng là hàm điều hòa/ (F,ϕ)
( ) Đặt : hệ số lan truyền sóng – hệ số pha
Trong môi trường điện môi lý tưởng:
: sai pha theo khoảng cách lan truyền
Từ 2 hệ phương trình trên ta thấy ở mỗi điểm cố định bất kỳ, các thành phần trường có biên độ như nhau nhưng có góc pha phụ thuộc vào , bằng (hệ số là hệ số pha).
Phân cực
Trong quá trình sóng điện từ lan truyền trong không gian tự do, vectơ ̅ luôn có thể phân tích thành 2 thành phần: và
Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa biên độ và pha của hai thành phần này mà chúng ta nhận được sóng phân cực thẳng, tròn hay elip
Hình 5.2 Các dạng phân cực của sóng
Khi 2 thành phần và có pha bằng nhau hoặc khác nhau ta nhận được sóng phân cực thẳng:
Nhận xét: tại M ta khảo sát ̅ có pha không đổi, biên độ thay đổi theo t, đầu ra của ̅ trượt trên một đường thẳng, đầu vào qua điểm khảo sát => sóng phân cực thẳng
Trường hợp 2 thành phần có biên độ bằng nhau, góc pha khác nhau hay , ta sẽ nhận được phân cực tròn:
Nhận xét: tại điểm M ta khảo sát ̅ có biên độ không đổi, phương thay đổi theo thời gian Như vậy, đầu mút ̅ luôn quay quanh đường tròn tâm M bán kính
3.3 Sóng phân cực dạng Elip
Khi cả 2 thành phần không có mối liên hệ gì về biên độ và pha, chúng ta sẽ có sóng phân cực dạng elip Khi đó, ̅ quay quanh điểm khảo sát M và đầu mút của nó vạch lên một đường elip.
Giải hệ phương trình Maxwell bằng phương pháp thế
Bài toán khảo sát sóng phẳng khi có mặt của nguồn bức xạ (nguồn phát), có ̅ Khi đó hệ phương trình Maxwell:
39 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Một cách tổng quát: giả thiết trong tự nhiên có từ tích với mật độ từ tích và mật độ dòng từ ̅̅̅̅ Khi đó, hệ phương trình Maxwell được viết: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅
Giải hệ phương trình dầy đủ (II) người ta tách (II) thành 2 hệ phương trình con: a Hệ phương trình chỉ có nguồn điện: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ b Hệ phương trình khi chỉ có nguồn từ: ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅
Dựa vào nguyên lý đổi lẫn, người ta chỉ giải hệ phương trình (III) rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình (IV), công 2 hệ nghiệm (III) và (IV) => nghiệm hệ phương trình Maxwell đầy đủ (II)
Giải (III): bằng phương pháp thế
Dựa vào hằng đẳng thức trong giải tích vectơ: ̅̅̅ Đặt: ̅ ̅̅̅
Trong đó: ̅̅̅ là hàm vectơ thế bất kỳ
Thế (5) vào (2) của hệ (III) ta có: ̅
) Dựa vào hằng đẳng thức Đặt: ̅ ̅̅̅
Trong đó: là một hàm thế vô hướng bất kỳ
) Áp dụng phép biến đổi:
Vì ̅̅̅ và U là các hàm tùy ý nên ta có thể chọn chúng sao cho: ̅̅̅
Khi đó (7): ̅̅̅ ̅̅̅ ̅ Tiếp tục thay (6) vào (3):
Các phương trình (9) và (11) là những phương trình Dalamber có 2 vế
Cách giải gần đúng: để giải các pt trên ta giả thiết trường là trường chuẩn tĩnh, nghĩa là coi các nguồn trường (dòng ̅và ) biến thiên chậm đến mức trong thời gian sóng truyền từ nguồn tới điểm quan sát thì giá trị của nguồn coi như chưa kịp biến thiên, khi ấy các đạo hàm theo t bằng 0 ̅̅̅
Và các phương trình (9) và (11) trở thành:
{ ̅̅̅ ̅ Các phương trình này có nghiệm tương ứng
(từ ̅̅̅ và thay vào (5) và (6) => ̅ và ̅ cần tìm) Trong trường hợp trường biến thiên bình thường, cần chú ý tới sự chậm pha của trường, khi đó giá trị ̅ và ở thời điểm phải được xác định bởi ̅̅̅ và không ở cùng thời điểm mà ở thời điểm trước đó, với sự trễ pha thời gian:
: khoảng cách từ nguồn đến điểm khảo sát
Các nghiệm của phương trình thế diễn tả bởi (12) và (13) được gọi là các “thế chậm”
BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ
Trường bức xạ của dây dẫn có dòng điện
Giả thiết: dây dẫn đặt trong không gian rộng vô hạn và đẳng hướng để trường tại điểm khảo sát chỉ có một tia sóng tới a j q R
Hình 6.1 Khảo sát tia sóng tới tại điểm M trong hệ tọa độ vuông góc
Ta đặt dây dẫn trong hệ tọa độ vuông góc
+ Gốc 0: tại điểm chính giữa của dây
+ : k/c từ gốc 0 đến điểm khảo sát
+ : k/c từ điểm lấy tích phân đến điểm khảo sát
+ : k/c từ điểm lấy tích phân đén gốc 0
Dòng phân bố trong thể tích V với mật độ khối ̅ ( ̅̅̅̅) Trường của các dòng này có thể xác định qua vectơ thế ̅̅̅ ( ̅̅̅̅): ̅̅̅
45 ̅ ̅ ̅ √ Khi , triển khai biểu thức của thành chuỗi lũy thừa ⁄ (theo công thức chuỗi Taylor)
: hàm pha khoảng cách ̅̅̅̅ ∫ ̅ : hàm bức xạ ̅̅̅ ̅̅̅̅
Khi trường khu gần (khu vực gần với nguồn) không kể đến góc sai pha khoảng cách
Khi trường khu xa (trường bức xạ) phải kể đến góc sai pha khoảng cách
Phụ thuộc vào hướng khảo sát:
- Góc : góc hợp bởi Oz với 1 hướng nào đó, mặt phẳng chứa góc được gọi là mặt phẳng (phải chứa Oz)
- Góc : góc hợp bởi Ox với hình chiếu của M xuống mp xOy, mp chứa góc được gọi là mp (vuông góc với mp ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅: hàm phân bố mật độ dòng điện trong thể tích V và có thể lấy khả tích hay không ̅̅̅̅ chỉ tính được khi ̅ là hàm khả tích, tức:
+ ̅ là hàm không đổi + ̅ là hàm tuyến tính (sóng chạy) + ̅ là hàm điều hòa (sóng đứng) Đối với nguồn từ ̅̅̅̅: ̅̅̅̅
Từ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ta tính ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ rồi thay vào nghiệm tổng quát: ̅̅̅̅
Sử dụng: Nếu chỉ có nguồn điện : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Nếu chỉ có nguồn từ: ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Công thức chuyển đổi sang :
Công suất bức xạ - điện trở bức xạ
- Bao quanh nguồn một mặt cầu có bán kính rất lớn so với bước sóng
- Lấy diện tích trên mặt cầu (trên có ̅ ̅) d j d q
Hình 6.2 Khảo sát công suất bức xạ
Mật độ công suất trung bình trên :
| | Gọi ∑ : công suất bức xạ của nguồn năng lượng thoát ra ngoài mặt cầu:
Công thức này tính cho tất cả các nguồn bức xạ
Giả thiết: cho một dòng điện chạy qua 1 điện trở, trên điện trở có 1 công suất tổn hao
Nếu ta cho một dòng điện cao tần chạy qua đoạn dây thì trên dây đó sẽ bức xạ với công suất bực xạ là ∑ Công suất bức xạ như công suất tổn hao trên một điện trở:
∑ ∑ Điện trở đó gọi là điện trở bức xạ, ký hiệu: ∑ ∑ Điện trở bức xạ chỉ là một khái niệm không có thực, không đo được bằng thiết bị, không nhìn thấy được mà chỉ có trên tính toán theo biên độ dòng điện tại từng vị trí Mặt khác, trên dây dẫn có dòng điện cao tần nên tại các điểm khác nhau trên dây sẽ có biên độ dòng điện khác nhau ∑ khác nhau
Nếu dòng điện đầu vào cho ta điện trở bức xạ đầu vào ∑ và ∑ chính là trở kháng vào của Anten :
∑ ∑ là một thông số rất quan trọng của Anten
Nếu dòng điện ở điểm cực đại (điểm bụng) ta có:
∑ cho ta biết khả năng bức xạ của Anten
Đặc tính phương hướng của Anten
Trong nghiệm tổng quát, ta thấy các thành phần phụ thuộc vào hướng khảo sát
Gọi hàm là hàm phương hướng, đặt ̅ ̅ ̅ | |
Đặc tính phương hướng biên độ:
Đặc tính phương hướng pha: tham khảo
Đặc tính phương hướng biên độ: của 1 nguồn bức xạ (Anten) trong không gian là một bề mặt chứa các đầu mút vectơ biên độ của trường trong không gian
Thực tế, bề mặt rất phức tạp chỉ biểu diễn trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là:
Đồ thị phương hướng biên độ: của nguồn bức xạ trong một mặt phẳng nào đó là 1 đường vẽ bởi đầu mút vectơ biên độ của trường trong mặt phẳng đó
Thực tế , đồ thị phương hướng biên độ của Anten không phụ thuộc vào công suất đầu vào Anten Người ta đưa ra khái niệm “Hàm phương hướng biên độ chuẩn hóa”
Vì vậy, tất cả các đồ thị phương hướng biên độ đều được vẽ theo hàm chuẩn hóa
Hình 6.3 Búp sóng bức xạ và độ rộng chùm tia của đồ thị bức xạ anten
Để so sánh đồ thị phương hướng biên độ của các Anten với nhau khái niệm
“Độ rộng đồ thị phương hướng” gồm 2 mức:
+ Độ rộng ở mức bức xạ 0 : là góc hợp bởi 2 hướng mà tại đó biên độ trường giảm dần về 0
+ Độ rộng ở mức nửa công suất [ ⁄ ]: là góc hợp bởi 2 hướng mà tại đó công suất giảm đi hoặc biên độ trường giảm √ lần
Ý nghĩa: Cho biết khả năng tập trung năng lượng theo 1 hướng nào đó Nếu càng hẹp thì năng lượng tập trung tăng
Bức xạ của lưỡng cực điện
Định nghĩa: lưỡng cực điện là một đoạn dây dẫn rất mảnh, chiều dài , trên đó có dòng điện
- Dây dẫn mảnh tiết diện bé dòng điện mặt bằng 0
- Chiều dài dòng điện trên lưỡng cực đồng biên và đồng pha Để khảo sát ta đặt lưỡng cực dọc theo trục Oz, gốc tọa độ đặt tại điểm giữa lưỡng cực a
Vì dòng điện đồng biên đồng pha: ̅ Khi đó:
{ ̅ Thay vào nghiệm tổng quát: ̅̅̅̅
Nhận xét: trường bức xạ của lưỡng cực điện chỉ tồn tại ̅ trong mp (mp chứa dòng điện), chỉ tồn tại ̅ trong mp (mặt phẳng vuông góc với dòng điện)
Công suất bức xạ của lưỡng cực điện:
Thay vào công thức trên, thực hiện tích phân:
Công suất bức xạ của lưỡng cực điện phụ thuộc vào độ dài tương đối ( ) và biên độ dòng điện trong lưỡng cực
Trên lưỡng cực dòng điện đồng biên, đồng pha nên ∑ như nhau:
Đồ thị phương hướng của lưỡng cực: ̅ ̅ ̅ ̅ Hàm phương hướng chuẩn hóa:
| ̅ | | | | ̅ | ̅ ̅ biên độ của trường không phụ thuộc vào : bức xạ vô hướng q
Hình 6.4 Đồ thị phương hướng của lưỡng cực điện
- Bức xạ của lưỡng cực điện có tính phương hướng trong mp θ (mp chứa dòng điện)
- Bức xạ cực đại: , bức xạ bằng 0 ở
Bức xạ vô hướng trong mp φ (mp H).
Bức xạ của dây dẫn thẳng có dòng điện
Ta đặt dây dẫn dọc trục , gốc tọa độ trùng điểm giữa của dây Giả thiết dây dẫn rất mảnh dòng điện mặt bằng 0, độ dài của dây có thể so với
5.1 Bức xạ của dây dẫn thẳng có dòng điện:
Dòng điện trên tiết diện bằng 0 nên: ̅ {
Chuyển về tọa độ cầu:
⁄ là hàm phân bố dòng điện trên độ dài , xảy ra 2 trường hợp:
là hàm truyến tính (sóng chạy):
Với : biên độ dòng tại
là hàm điều hòa (sóng đứng):
( ) Với : biên độ dòng điện cực đại tại điểm b
5.2 Bức xạ của dây dẫn có dòng điện sóng chạy:
Thay vào hàm bức xạ ̅ và thực hiện tích phân: ̅ ∫ ̅
( ) ̅ ̅ Thay vào nghiệm tổng quát, ta có:
Hàm phương hướng: ̅ ̅ ̅ Hàm phương hướng biên độ chuẩn hóa:
Từ hàm phương hướng dây dẫn sóng chạy gồm nhiều lưỡng cực ghép lại với nhau thành hệ thống thẳng Trong đó:
- Khi | ̅ | cức đại tại ; | | không cực đại | | không cực đại
- Mặc khác | | cực đại tại mà | | | | không cực đại
- Hướng bức xạ cực đại nằm trong khoảng , không bao giờ cực đại tại
- Trên đồ thị phương hướng khi bé thì độ rộng sẽ rộng ra hướng bức xạ cực đại nghiêng về phía ⁄
Khi lớn độ rộng hẹp lại, hướng cực đại chính , đồng thời cực đại phụ tăng hiệu suất bức xạ
5.3 Bức xạ của dây dẫn có dòng điện sóng đứng
Thay ̅ ( ) vào hàm bức xạ và thực hiện tích phân:
Thay vào nghiệm tổng quát ta có: