I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Câu 1: Phân tích đa thức x x 3 − 9 thành nhân tử ta được A. x x ( − 9 . ) B. x x ( 2 − 9 . ) C. x x x ( − + 3 3 . )( ) D. x x x ( − + 9 9 . )( ) Câu 2: Số dư của phép chia x2023 + 2 cho x +1 là A. −1. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 3: Điều kiện có nghĩa của biểu thức 3 22 1 xy B x x x = + − + là: A. x ≠ 0. B. x ≠ ±1. C. x x ≠ ≠ ± 0; 1. D. x x ≠ ≠ − 0; 1. Câu 4: Cho a, b, c là các số thực sao cho ( 2 )( ) 2 1 1 1 1 1 ax b c x x x x + = + + − + − . Khi đó a b c + + bằng : A. 3 . 2 − B. 1 . 2 − C. 1 . 2 D. 3 2 . Câu 5: Cho 2 3 1 a C a + = − . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó S có mấy phần tử ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 6: Cho ∆ABC có: AB cm AC cm BC cm = = = 16 , 36 , 26 , trung tuyến AM , phân giác AD . Độ dài đoạn thẳng DM bằng: A. 5 . cm B. 8 . cm C. 9 . cm D. 13 . cm Câu 7: Hình thoi ABCD có góc A bằng 600 và AB cm = 6 3 thì diện tích hình thoi đó là: A. 54 3 . cm2 B. 50 . cm2 C. 60 . cm2 D. 27 3 . cm2 Câu 8: Gọi x0 là nghiệm của phương trình 43 46 49 52 57 54 51 48 x x x x + + + + + = + . Giá trị của biểu thức 20 1 7 2 P x = − + là: A. −100. B. −4993. C. 5007. D. 4993. Câu 9: Cho đa thức f x x x x ax b ( ) 3 3 = − + + + 4 3 2 và đa thức g x x x ( ) 3 2 = − + 2 . Biết f x g x ( ) ( ) . Khi đó a b + bằng A. −5. B. −1. C. 1. D. −6. Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x x = + 2 +5 10 là A. 15 . 4 B. 5. − 2 C. 15 . 4 − D. 25. 4 PHÒNG GDĐT SƠN ĐỘNG (Đề có 03 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 Môn: Toán – Lớp 8 Ngày thi: 12042023 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨCCâu 11: Cho hình thang ABCD ( ) AB CD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết S cm S cm OAB = = 4 ; 9 2 2 OCD . Diện tích ∆AOD bằng: A. 6 . cm2 B. 4 . cm2 C. 8 . cm2 D. 18 . cm2 Câu 12: Cho ∆ABC đồng dạng ∆MNP . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB AC MN NP . . . = B. AC NP BC MN . . . = C. AB MP MN AC . . . = D. AB MP MN BC . . . = Câu 13: Cho số nguyên x thỏa mãn phương trình 2 3 2 0. x x 2 − − = Chữ số tận cùng của (4 − x)2023 là chữ số: A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Câu 14: Năm nay, tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng. Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi Hoàng. Hỏi năm nay Hoàng bao nhiêu tuổi ? A. 10. B. 15. C. 5. D. 12. Câu 15: Các giá trị của x thỏa mãn 2 1 1 1 x x + < − là A. 1; . 1 2 x x − ≠ < B. x < −2. C. − < < 2 1. x D. − ≤ ≤ 2 1. x Câu 16: Tổng các nghiệm của phương trình (2 3 11 4 9 15 3 7 x x x x x 2 2 − + = − + + )2 ( )( ) là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 17: Cho a b < . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 . a b > B. − < − 2 2 . a b C. − + < − + 2 2023 2 2023. a b D. − + > − + 2 2023 2 2023. a b Câu 18: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). A. 12 . m B. 14 . m C. 16 . m D. 18 . m Câu 19: Cho x y + = 3 . Giá trị của biểu thức A x xy y x y = + + − − + 2 2 2 4 4 1 bằng: A. −2. B. 2. C. 3. D. −1. Câu 20: Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường cao AD (D BC ∈ ) . Tỉ số diện tích của tam giác ACD và tam giác ABD là: A. 4 . 3 B. 16 . 9 C. 3 . 4 D. 9 . 16II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1: (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x + + − = + + − + − − với x x x ≠ ≠ ≠ − 0; 1; 1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên. 2) Tìm số tự nhiên n để n n 2 + + 2 21 là số chính phương. Bài 2: (5,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : x x x xy 3 2 2 − + − 2 2) Giải phương trình x x x x ( + + + + = 2 2 2 1 0 )( 2 ) 3) Đa thức f x ( ) khi chia cho x +1 dư 5 , khi chia cho x2 +1 dư 2 3 x + . Tìm phần dư khi chia f x ( ) cho ( 1)( 1) x x + + 2 . Bài 3: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a , một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AD tại F . 1) Chứng minh: BE DF BC CD . . = 2) Chứng minh: 2 2 BE AE BF AF = 3) Xác định vị trí của đường thẳng d để DF BE = 4. . Bài 4: (1,0 điểm) Cho x y , 0 > thỏa mãn x y + ≥ 2 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của H x y 2 2 2 1 24 x y = + + + Hết Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:............................ Giám thị 1 (Họ tên và ký).............................................................................................................. Giám thị 2 (Họ tên và ký)
PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 12/04/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Câu 1: Phân tích đa thức x3 − x thành nhân tử ta A x ( x − ) ( ) C x ( x − 3)( x + 3) B x x − D x ( x − )( x + ) Câu 2: Số dư phép chia x 2023 + cho x + A −1 B A x ≠ B x ≠ ±1 C 2 xy Câu 3: Điều kiện có nghĩa biểu thức là: B = + x − x x +1 Câu 4: Cho a, b, c số thực cho A − Câu 5: Cho C = D C x ≠ 0; x ≠ ±1 D x ≠ 0; x ≠ −1 ax + b c Khi a + b + c : = + ( x + 1) ( x − 1) x + x − B − C D 2a + Gọi S tập hợp giá trị nguyên a để C nhận giá trị nguyên Khi S có a −1 phần tử ? B C D A = = cm, AC 36 cm, BC 26cm , trung tuyến AM , phân giác AD Độ dài đoạn thẳng Câu 6: Cho ∆ABC= có: AB 16 DM bằng: A 5cm B 8cm C 9cm D 13cm Câu 7: Hình thoi ABCD có góc A 60 AB = 3cm diện tích hình thoi là: A 54 3cm B 50cm Câu 8: Gọi x0 nghiệm phương trình P= − x02 + là: A −100 B −4993 C 60cm D 27 3cm x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 Giá trị biểu thức + = + 57 54 51 48 C 5007 D 4993 Câu 9: Cho đa thức f ( x) = x − x3 + x + ax + b đa thức g ( x) = x − x + Biết f ( x) g ( x) Khi a + b B −1 C A −5 Câu 10: Giá trị nhỏ biểu thức = A x + x + 10 A 15 B −5 C − 15 D −6 D 25 Câu 11: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) Gọi O giao điểm AC BD Biết = SOAB 4= cm ; SOCD 9cm Diện tích ∆AOD bằng: B 4cm C 8cm A 6cm Câu 12: Cho ∆ABC đồng dạng ∆MNP Khẳng định sau đúng? A AB AC = MN NP B AC.NP = BC.MN C AB.MP = MN AC D 18cm D AB.MP = MN BC Chữ số tận ( − x ) Câu 13: Cho số nguyên x thỏa mãn phương trình x − x − = 2023 chữ số: B C D A Câu 14: Năm nay, tuổi bố gấp lần tuổi Hồng Nếu năm tuổi bố gấp lần tuổi Hoàng Hỏi năm Hoàng tuổi ? A 10 B 15 Câu 15: Các giá trị x thỏa mãn A x ≠ 1; x < −1 C D 12 C −2 < x < D −2 ≤ x ≤ 2x +1 < x −1 B x < −2 Câu 16: Tổng nghiệm phương trình ( x − x + 11) = ( 4x A B − x + 15 ) ( x + ) là: C D C −2a + 2023 < −2b + 2023 D −2a + 2023 > −2b + 2023 C 16m D 18m Câu 17: Cho a < b Khẳng định sau đúng? A 2a > 2b Câu 18: B −2a < −2b Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vng để đo chiều cao dừa, với kích thước đo hình bên Khoảng cách từ vị trí gốc đến vị trí chân người thợ 4,8m từ vị trí chân đứng thẳng mặt đất đến mắt người ngắm 1,6m Hỏi với kích thước người thợ đo chiều cao bao nhiêu? (làm tròn đến mét) A 12m B 14m Giá trị biểu thức A = x + xy + y − x − y + bằng: Câu 19: Cho x + y = A −2 B 2 C D −1 C D Câu 20: Tam giác ABC vuông A có AC = cm, BC = 10 cm Đường cao AD ( D ∈ BC ) Tỉ số diện tích tam giác ACD tam giác ABD là: A B 16 9 16 II PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1: (4,0 điểm) = 1) Cho biểu thức P x +1 x2 + x − x2 + + : với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 x − x2 − x x2 − 2x + x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên 2) Tìm số tự nhiên n để n + 2n + 21 số phương Bài 2: (5,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 − x + x − xy 2) Giải phương trình x ( x + ) ( x + x + ) + = 3) Đa thức f ( x) chia cho x + dư , chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia f ( x) cho ( x + 1)( x + 1) Bài 3: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng d qua C cắt AB E AD F 1) Chứng minh: BE.DF = BC.CD BE AE 2) Chứng minh: = BF AF 3) Xác định vị trí đường thẳng d để DF = 4.BE 2 Bài 4: (1,0 điểm) Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ H = x + y + x + Hết -Cán coi kiểm tra khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) 24 y PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 Mơn: Tốn – Lớp PHẦN I TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Mỗi câu 0,3 điểm Câu 10 Đáp án C B C B D A A B B A Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A C D A C D D C A B PHẦN II TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài Bài 1: (4,0 điểm) Hướng dẫn Điểm Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: x +1 x2 + x − x2 = P + + : x − x2 − x x2 − 2x + x 1.a 2,0 điểm x( x + 1) x − x − x2 = P + + : ( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) 0,25 x( x + 1) x + : ( x − 1) x( x − 1) x( x + 1) x( x − 1) P= ( x − 1) x + 0,5 P= x2 P= x −1 Vậy P = 0,5 0,5 x2 ( với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ) x −1 0,25 0,25 1.b 1,0 điểm x2 = x +1+ x −1 x −1 Để P nhận giá trị nguyên 1 x − hay x − Ư(1) = 1,0 điểm ⇔ ( n + 1) + 20 = k ⇔ k − ( n + 1) = 20 ⇔ ( k − n − 1)( k + n + 1) = 20 Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: P = {−1;1} Giải được: x = (loại); x = (thỏa mãn) Vậy x = Đặt n + 2n + 21= k (k ∈ Z ) 2 Ta thấy k − n − + k + n + =2k nên k − n − k + n + tính chẵn lẻ Với n ∈ N ; k ∈ Z k − n − < k + n + n −1 k −n = k −= = k Mà 20 = 2.10 nên ⇔ ⇔ n + 10 k +n = k += = n Vậy n = thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài ( 5,0 điểm) x − x + x − xy 2 1,0 điểm = x ( x − x + − y ) 0,25 0,5 = x ( x − 1) − y = x ( x − − y )( x − + y ) 0,25 x ( x + ) ( x + x + ) + = ⇔ ( x + x )( x + x + ) + = 2,0 điểm 0,25 Đặt x + x = t phương trình trở thành t ( t + ) + = ⇔ t + 2t + = 0 ⇔ t + =0 ⇔ t =−1 ⇔ ( t + 1) = 0,75 Trả lại ẩn cũ ta được: x + x = −1 ⇔ x + x + = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = −1 0,75 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1} 0,25 Giả sử f ( x ) = ( x + 1) ( x + 1) g ( x ) + ax + bx + c + Vì f ( x ) chia cho x + dư nên f ( −1) = ⇔ a − b + c = (1) 2,0 điểm 0, Mà ( x + 1) ( x + 1) g ( x ) + a ( x + 1) + bx + c − a ( x + 1) ( x + 1) g ( x ) + a + bx + c − a f ( x) = = = b 2= b + Vì f ( x ) chia cho x + dư x + nên: (2) ⇔ c − a = c = a + Thay (2) vào (1) ta được: a − + a + = ⇔ a = ⇒ b = 2, c = Vậy đa thức dư là: x + x + Bài ( 4,0 điểm) 0,75 0,5 0,25 F D A C B E d 1,5 điểm = DFC (cùng phụ góc DCE ) Ta có: BCE Chứng minh được: ∆EBC ∆CDF ( g g ) ⇒ BE BC == > BE.DF = BC.CD CD DF 0,25 0,75 0,5 1,5 điểm EB BC AE BE Chứng minh ∆EBC ∆EAF ( g g ) = > == > = (1) EA FA FA BC 0,5 FD DC AE DC ∆FCD ∆FEA ( g g ) = > == > = FA AE FA FD 0,5 (2) AE BE DC BE Nhân (1) (2) theo vế ta được: (Vì BC = DC ) = = FA2 BC DF DF ⇒ đpcm BE AE AE BE a Để DF = BE = > = =2 = > = = > = = > BE = DF FA FA BC 2 1,0 điểm Vậy d qua C cắt AB E cho BE = a Bài (0,5 điểm) 24 2 Ta có: M = x + y + + x y = (x ) ( ) ( x − 1) + 1 24 + x − 2 + + y − 24 + ( x + y ) + 17 x y − 2x + + y − y + + = ( x − 1) + ( y − ) x + ( y − 2) y ≥ + + + + + 17 = 22 Dấu 2 " = " xảy ⇔ ( x − 1) = ( y − ) = + ( x + y ) + 17 ( x − 1) = ( y − 2) x y ⇔x= y = Vậy M nhỏ M = 22 ⇔ x = 1, y = 0,5 1,0 0,25 0,25 = x + y = 0,25 0,25 Lưu ý chấm bài: + Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng + Với học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình không chấm