Câu 1: (5,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 3x 28 2 b) x + 6x + 7x – 6x + 1 4 3 2 2. Cho biểu thức: 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x A x x x x x x , với x x 0; 1 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A x 2 . c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 2: (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: 24 7 2 9 2 20 11 2 3 2 9 6 2 1 2 3 4 x x x x x x 2. Cho a b c , , là các số thỏa mãn điều kiện: a b c abc 3 3 3 3 và a b c 1. Tính giá trị biểu thức P a b c 5 6 2023 3. Tìm các số thực a và b sao cho đa thức f x x x x ax b ( ) 9 21 4 3 2 chia hết cho đa thức g x x x ( ) 2 2 . Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức B x x x 4 2 2 2 là số chính phương. 2. Với ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 x 2y 4z 1 Q 2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AE AB AF AC ; và AEF CED . b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Giao điểm của EF với AM là N. Chứng minh: HN.AD = AN.DM. c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng. Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m. Trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính 1 m. 9 Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bẩy đường tròn .. .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: .................... ĐỀ THI CHÍNH THỨCUBND HUYỆN YÊN MÔ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8 Năm học 2022 2023 (HDC gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 (5,0 điểm) 1. (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 3x 28 2 x 3x 28 x – 7x 4x – 28 2 2 0,25 x x 7 4 x 7 (x 7)(x + 4) 0,25 b) x + 6x + 7x – 6x + 1 4 3 2 x + 6x + 7x – 6x + 1= x 6x 9x – 2x 6x 1 4 3 2 4 3 2 2 0,5 x 3x – 2 x 3x 1 2 2 2 0,25 x 3x 1 2 2 0,25 2. (3,5 điểm) Cho biểu thức: 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x A x x x x x x , với x x 0; 1 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A x 2 . c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. a) (2,0 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 : : 2 1 1 1 1 1 A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0,5 2 2 2 1 1 2 : 1 1 x x x x x x x x 0,5 2 1 1 : 1 1 x x x x x x 0,25 2 1 1 1 1 x x x x x x 0,25 2 1 x x 0,25 Vậy với x x 0; 1 thì 2 1 x A x 0,25 b) (0,5 điểm) với x x 0; 1 0,25 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 1 x A x x x x x x x x x x 0 2( ) x ktm x tm . Vậy x = 2 là giá trị cần tìm. 0,25 c) (1,0 điểm). 2 1 1 1 1 x A x x x 0,25 Với x x 0; 1 và x là số nguyên, để biểu thức A có giá trị nguyên thì x 1 là Ư (1) =｛ 1;1｝ 0,25 x x 1 1 2(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 x x 1 1 0(không thỏa mãn) Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x 2 . 0,25 Câu 2 (4,0 điểm) 1 (1,5 điểm). Giải phương trình sau: 24 7 2 9 2 20 11 2 3 2 9 6 2 1 2 3 4 x x x x x x 24 7 2 9 2 20 11 2 3 2 9 6 2 1 2 3 4 x x x x x x (1) ĐK: , 10 9 2 , 3 2 , 1 2 x x x x 0,25 (1) 24 7 2 20 1 2 9 1 2 9 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 x x x x x x 0,25 24 7 2 20 1 2 1 1 x x 24 2x 20 24 2x 1 7 2x 1 2x 20 0,25 2x 19x 46 0 x 2 2x 23 0 2 0,25 x 2 TMÐKXÐ 23 x TMÐKXÐ 2 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 2 23 2 ; 0,25 2. (1,5 điểm) Cho a b c , , là các số thỏa mãn điều kiện: a b c abc 3 3 3 3 và a b c 1. Tính giá trị biểu thức P a b c 5 6 2023 Ta có a b c abc a b ab a b c abc 3 3 3 3 3 3 3 0 3 0,25 a b c ab a b c 3 3 3 0 0,25 a b c a b c a b c ab a b c 3 3 . . 3 0 a b c a b c ab bc ca 2 2 2 0 0,25 a b c ab bc ca 2 2 2 0 0,25 a b b c c a 2 2 2 0 a b c Mà a b c 1 nên 1. 3 a b c 0,25 Vậy 5 6 2023 678. 5 6 2023 2034 3 3 P a b c 0,25 2 (1,0 điểm). Tìm các số thực a và b sao cho đa thức f x x x x ax b ( ) 9 21 4 3 2 chia hết cho đa thức g x x x ( ) 2 2 . Ta thực hiện phép chia: 4 3 2 2 4 3 2 2 3 2 3 2 2 2 9 21 2 2 8 15 8 23 8 8 16 15 16 15 15 30 1 30 x x x ax b x x x x x x x x x ax b x x x x a x b x x a x b 0,5 Vì đa thức x x x ax b 4 3 2 9 21 chia hết cho đa thức x x 2 2 2, Nên a x b 1 30 0 1 0 1 30 0 30 a a b b . 0,25 Vậy a 1 và b 30 thì f x ( ) chia hết cho g x ( ) 0,25 Câu 3 (4,0 điểm) 1. (2.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức B x x x 4 2 2 2 là số chính phương. x x x 4 2 2 2 x x x x x x x x 4 3 2 3 2 2 2 2 4 2 2 4 2 x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x 1 2 2 2 2 0,5 Vì x 12 , B là số chính phương suy ra x x 2 2 2 là số chính phương 0,25 Đặt x x a a 2 2 2 2 a x x 2 2 2 1 1 a x 2 1 1 2 a x a x 1 1 1 0,5 Vì a x , nên: TH1: 1 1 1 1 a x a x 0 2 a x a x 1 1 1 a x x 0,25 TH2: 1 1 1 1 a x a x 2 0 a x a x 1 1 1 a x x 0,25 Vậy x 1 thì B 4 là số chính phương. 0,252. (2,0 điểm) Với ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 x 2y 4z 1 Q 2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2 Áp dụng bất đẳng thức AMGM cho hai số không âm, ta có 2x y 5 (x y ) (x 1) 4 2xy 2x 4 2(xy x 2), 2 2 2 2 2 6y z 6 (4y z ) 2(y 1) 4 4yz 4y 4 4(yz y 1), 2 2 2 2 2 3z 4x 16 (z 4x ) 2(z 4) 8 4zx 8z 8 4(zx 2z 2). 2 2 2 2 2 0,75 Suy ra 2 2 x x , 2x y 5 2(xy x 2) 0,25 Tương tự có 2 2 2y y , 6x z 6 2(yz y 1) 2 2 4z z . 3z 4x 16 zx 2z 2) 0,25 Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ở trên theo vế, ta được x y z P 2(xy x 2) 2(yz y 1) zx 2z 2 1 x y 2z 2 xy x 2 yz y 1 zx 2z 2 0,25 1 x xy 2z 2 xy x 2 xyz xy x zx 2z xyz 1 x xy 2 1 . 2 xy x 2 xy x 2 x xy 2 2 0,25 Đẳng thức xảy ra khi x y 1, z 2 . Vậy GTLN của Q là 2 khi x y 1, z 2 . 0,25 Câu 4 (6,0 điểm) N M K I H F E D C B A 0,25a) (1,75 điểm). a) Xét AEB và AFC có : EAB chung AEB AFC( 90 ) 0 Do đó AEB AFC( g.g) 0,5 AE AB AF AC 0,25 Xét AEF và ABC có : BAC chung AE AF AB AC (vì AE AB AF AC ) Do đó AEF ABC (c.g.c) 0,5 AEF ABC 0,25 Chứng minh tương tự ta được : CED CBA . Do đó AEF CED 0,25 b) (2,0 điểm). b) Vì BEF AEF BED CED 90 0 nên BEF BED EB là tia phân giác của góc DEF Tam giác NED có EH là tia phân giác của DEN nên: HN EN HD ED (1) 0,5 Vì EA EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của DEN AN EN AD ED (2) 0,5 Từ ( 1) và (2) suy ra HN AN HD AD , mà HD = DM ( Do M là điểm đối xứng của H qua D). 0,5 Nên HN AN HN.AD AN.DM DM AD 0,25 c) (2,0 điểm). a) HN AN AN HN AH AN AH DM AD AD DM AM AD AM AMI có HFMI( cùng AB) AF AH AI AM (định lí Ta lét), 0,25 Mà AN AH AD AM nên AF AN AI AD FN ID (định lí Ta lét đảo (3)) 0,25 AMK có HEMK (cùng AC) AE AH AK AM (định lí Ta lét), AIK có AF AH AE IK FE AI AM AK ( Định lí Ta lét đảo) (4) Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng. 0,25 (1,0 điểm).Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m. Trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính 1 m. 9 Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bẩy đường tròn. Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1m. 0,25 Vì đường kính của mỗi đường tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong chín đường thẳng vừa kẻ cắt. 0,25 Nếu mỗi đường thảng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không vượt quá 9.6 = 54. 0,25 Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn. 0,25 Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
UBND HUYỆN N MƠ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 – 2023 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu 1: (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x -3x - 28 b) x4 + 6x3 + 7x – 6x + x 1 x2 x x2 Cho biểu thức: A : , với x 0; x 1 x 2x x x x2 x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A x c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 11 2 x 12 x 3 2 x 32 x 9 2 x 92 x 20 24 Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 3abc a b c Tính giá trị biểu thức P 5a 6b 2023c Tìm số thực a b cho đa thức f ( x) x x3 21x ax b chia hết cho đa thức g ( x) x x Câu 3: (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên x để biểu thức B x4 x2 2x số phương Với ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz Tìm giá trị lớn biểu thức Q x 2y 4z 2 2x y 6y z 3z 4x 16 2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh: AE AB ; AEF CED AF AC b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD = AN.DM c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình vng có độ dài cạnh 1m Trong hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bẩy đường tròn / Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2022 - 2023 (HDC gồm 06 trang) UBND HUYỆN N MƠ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu Điểm (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x -3x - 28 x2 -3x - 28 x2 – 7x 4x – 28 x x x (x - 7)(x + 4) 0,25 0,25 b) x4 + 6x3 + 7x – 6x + x4 + 6x3 + 7x – 6x + 1= x 6x3 9x – 2x 6x x 3x – x 3x 0,5 0,25 x 3x 1 0,25 2 2 (3,5 điểm) x 1 x2 x x2 : Cho biểu thức: A , với x 0; x 1 x 2x x x x2 x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A x c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu (5,0 điểm) a) (2,0 điểm) x2 x x 1 x2 x2 x A : x 2x 1 x x x x x 12 x x 1 x x x : x x 1 x 1 x x 1 : x 1 x x 1 0,25 0,25 x2 x 1 Vậy với x 0; x 1 A b) (0,5 điểm) với x 0; x 1 0,5 0,5 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x2 : x x x 1 x 0,25 x2 x 1 0,25 0,25 x2 2x x2 x2 x x2 2x x x 2 x 1 x ktm Vậy x = giá trị cần tìm x 2(tm) A 2x 0,25 c) (1,0 điểm) A x2 x 1 x 1 x 1 0,25 Với x 0; x 1 x số nguyên, để biểu thức A có giá trị ngun x Ư (1) =｛1;-1｝ x x (thỏa mãn ĐKXĐ) x 1 x (không thỏa mãn) Vậy biểu thức A có giá trị nguyên x 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) Giải phương trình sau: Câu (4,0 điểm) 11 2 x 12 x 3 2 x 32 x 9 2 x 92 x 20 24 11 2 x 12 x 3 2 x 32 x 9 2 x 92 x 20 24 (1) ĐK: x , x , x , x 10 0,25 (1) 1 1 1 x x x x x x 20 24 0,25 1 24 2x 20 24 2x 1 2x 1 2x 20 x x 20 24 0,25 2x 19x 46 x 2x 23 0,25 x TMÐKXÐ x 23 TMÐKXÐ 0,25 23 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 2 ; 2 0,25 (1,5 điểm) Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 3abc a b c Tính giá trị biểu thức P 5a 6b 2023c Ta có a3 b3 c3 3abc a b 3ab a b c 3abc 0,25 a b c3 3ab a b c 0,25 3 a b c a b c a b c 3ab a b c a b c a b c ab bc ca 0,25 a2 b2 c2 ab bc ca 0,25 a b b c c a a b c 2 Mà a b c nên a b c 2023 2034 678 Vậy P 5a 6b 2023c 3 0,25 0,25 (1,0 điểm) Tìm số thực a b cho đa thức f ( x) x x3 21x ax b chia hết cho đa thức g ( x) x x Ta thực phép chia: x x3 21x ax b x2 x x x3 x x x 15 x3 23x ax b 0,5 8 x3 x 16 x 15 x a 16 x b 15 x 15 x 30 a 1 x b 30 Vì đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 , a a Nên a 1 x b 30 b 30 b 30 0,25 Vậy a b 30 f ( x) chia hết cho g ( x) 0,25 Câu (4,0 điểm) (2.0 điểm) Tìm tất số nguyên x để biểu thức B x4 x2 2x số phương x4 x2 x x x x x x x x x x x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 2x 2 2 Vì x 1 , B số phương suy x2 2x số phương Đặt x2 x a a a x x 1 0,5 0,25 0,5 a x 1 a x 1 a x 1 2 Vì a, x a x a x nên: TH1: a x a x a x 1 x a x 1 a x 2 a 1 x 1 a x 1 a x x 0,25 TH2: 0,25 Vậy x B số phương 0,25 (2,0 điểm) Với ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz Tìm giá trị lớn biểu x 2y 4z thức Q 2 2 2x y 6y z 3z 4x 16 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số khơng âm, ta có 2x y (x y ) (x 1) 2xy 2x 2(xy x 2), 6y z (4y z ) 2(y 1) 4yz 4y 4(yz y 1), 0,75 3z 4x 16 (z 4x ) 2(z 4) 4zx 8z 4(zx 2z 2) Suy x x , 2x y 2(xy x 2) 0,25 2y 4z y z , 2 6x z 2(yz y 1) 3z 4x 16 zx 2z 2) Cộng bất đẳng thức chiều theo vế, ta x y z P 2(xy x 2) 2(yz y 1) zx 2z Tương tự có 1 x y 2z xy x yz y zx 2z 1 x xy 2z xy x xyz xy x zx 2z xyz 0,25 0,25 0,25 1 x xy xy x xy x x xy Đẳng thức xảy x y 1, z 0,25 Vậy GTLN Q x y 1, z Câu (6,0 điểm) A E N F H K 0,25 B D I M C a) (1,75 điểm) a) Xét AEB AFC có : EAB chung AEB AFC( 900 ) Do AEB AFC( g.g) AE AB AF AC Xét AEF ABC có : BAC chung AE AB AE AF (vì ) AB AC AF AC Do AEF ABC (c.g.c) AEF ABC Chứng minh tương tự ta : CED CBA Do AEF CED b) (2,0 điểm) b) Vì BEF AEF BED CED 900 nên BEF BED EB tia phân giác góc DEF Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: HN EN (1) HD ED Vì EA EH nên EA tia phân giác đỉnh E DEN AN EN (2) AD ED HN AN Từ ( 1) (2) suy , mà HD = DM ( Do M điểm HD AD đối xứng H qua D) HN AN HN.AD AN.DM Nên DM AD c) (2,0 điểm) HN AN AN HN AH AN AH a) DM AD AD DM AM AD AM AF AH AMI có HF//MI( AB ) (định lí Ta lét), AI AM AN AH AF AN FN / /ID (định lí Ta lét đảo (3)) Mà nên AD AM AI AD AE AH AMK có HE//MK (cùng AC ) (định lí Ta lét), AK AM AF AH AE IK / /FE ( Định lí Ta lét đảo) (4) AIK có AI AM AK Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng (1,0 điểm) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho hình vng có độ dài cạnh 1m Trong hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bẩy đường trịn Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1m Vì đường kính đường trịn lớn 0,1m nên đường trịn bị chín đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thảng cắt không q đường trịn số đường trịn khơng vượt q 9.6 = 54 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường tròn 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý chấm bài: - - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm