De hsg toan 8 vong 1 nam 2023 2024 truong thcs tran mai ninh thanh hoa

Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 b) Cho 1 1 1 2; a b c abc. a b c + + = + + = Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c + + = + + Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 3x – 10. Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương Bài 4: (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. a) Chứng minh rằng: EF = AO. b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IGMP Bài 5: (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 , , 1 ≤ ≤ a b c . Chứng minh rằng: a b c 1 ab bc ac 2 2 2 + + ≤ + + + Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.2 PGDĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH Biểu chấm gồm 02 trang HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 VÒNG I NĂM HỌC 2023 – 2024 Bài Nội dung cần đạt Điểm Bài 1 4,0đ a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 2,0 Ta có: M = 2(x3 – y3) – 3(x + y)2 = 2(x – y)(x2 + xy + y2) – 3(x2 + 2xy+ y2) M = (x – y)2 Mà x – y = 2 nên M = (x – y)2 = 4. Vậy với x – y = 2 thì M = 4. 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Cho 1 1 1 2; a b c abc. a b c + + = + + = Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c + + = + + 2,0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 1 2( ) 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Vì a b c a b c a b c ab bc ca a b c a b c abc Mà a b c abc a b c a b c a b c   + + = ⇒ + + = ⇒ + + + + + =     + + ⇒ + + + = + + = + + = ⇒ + + = + + 0,75 0,5 0,75 Bài 2 4.0đ a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 2,0 Đặt x – 3 = a; 2x – 1 = b thì 3x – 4 = a + b. Ta có: 3 3 3 3 0 3 0 1 ( ) 3 ( ) 0 0 2 1 0 2 0 3 4 0 43 x a x a b a b ab a b b x x a b x x  =   = − =  + = + ⇒ + = ⇒ = ⇒ − = ⇒ =           + = − =   =  Vậy 1 4 3; ; 2 3 x   ∈    1,5 0,5 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 3x – 10. 2,03 Ta có: g(x) = (x +5)(x – 2) f(x) chia hết cho g(x) nên f(x) = (x +5)(x – 2).k(x) => f(2) = 0 và f(5) = 0 Từ f(2) = 0 => 8a + 4b + 10 – 50 = 0 => 2a + b = 10 (1) Từ f(5) = 0 => 125a + 25b – 25 – 50 = 0 => – 5a + b = 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 1; b = 8 Vậy a = 1; b = 8 thì f(x) chia hết cho g(x). 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 4,0đ a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. 2,0 Ta có: B = (n – 2)(n2 + n – 5) B là số nguyên tố nên (n – 2) và (n2 + n – 5) là ước của 1 + Nếu (n – 2) = 1 thì n = 3 khi đó B = 7 (chọn) Nếu (n – 2) = 1 thì n = 1 khi đó B = 3 (chọn) Nếu n2 + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0 Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại) Vậy n = 3 và n = 1 thì B là số nguyên tố. 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương 2,0 Ta có: C n n n n n n n n n 2 2 7 2 7 = + + + + = 4 3 2 4 3 2 2 + + + + + = + + + n n n n 2 2 ( 1) ( +1) 7. Đặt n(n+1) = y ta có C = y2 + y + 7 Vì C là số chính phương nên : 7 ( ) 4 4 4 28 4 (2 1) 27 2 2 2 2 2 2 (2 2 1)(2 2 1) 27 2 2 1 2 2 1; 2 2 1 2 2 1 4 2 2 1 1 7 ) 2 2 1 27 6 6 ( 1) 6 ( ) 2; 3 2 2 1 1 ) 2 2 1 27 Ta có y y k k N k y y k y k y k y Vì k y k y k y k y k k y k k y y Khi y ta có n n n Z n n k y k k y + + = ∈ ⇔ = + + ⇔ − + = ⇔ − − + + = − − < + + − − + + + =   − − = =   ⇒   + + = = = + = ∈ ⇒ = = −  − − = −  ⇒  + + = − 7 ( ) 6 2 2 1 9 3 ) ( 1) 1 ( ) 2 2 1 3 1 2 2 1 3 3 ) ( ) 2 2 1 9 1 loai y k y k n n loai k y y k y k loai k y y  = −   =   − − = =   ⇒ ⇒ + =   + + = =   − − = − = −   ⇒   + + = − = Vậy n = 2; n = 3 thì C là số chính phương. 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx4 Bài 4.1 4,0đ vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. a) Chứng minh rằng: EF = AO. b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. 4,0 I E F D M B O H C A Câu 1 4,0đ 1. a) Ta có: Mà OA=OB nên OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại E và EA= EB. => BEO  = 900 OD AB; AB ⊥ AC=>OD ⊥ AC tại F=> AFO = 900 Mà BAC GT  = 90 ( ) 0 => AEOF là hình chữ nhật => AO = FE 0,5 0,5 1,0 1. b) Ta có ∆AOC cân ở O nên đường cao OD đồng thời là phân giác => ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ AOD COD OCD DC BC BM CD  900 và AD = CD. Gọi giao điểm của AI và BC là H. . ; ; . ; . IM BM AM MB CD IA CD IH CD BM IC CD AD IA AM AM CD Do IA CD IA DC MD MD IH IC AD IH CD Do IH MB MA MB CD AD MB MC MD MA MD AM CD IH IH IA EA EB IE BC MD ⇒ = = ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ Từ IEBC; EFBC=> E, I, F thẳng hàng. 0,5 0,5 0,5 0,55 Bài 4.2 2,0đ 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IGMP 2,0 G D K I N P M 2. Ta có: ND là phân giác của tam giác MNP 5 5 5 : 2,5 ( ) 7 12 12 MD MN MD Ta có MD MP cm DP NP MP = = ⇒ = ⇒ = = MI là phân giác của tam giác MND 5 : 2 (1) 2,5 IN MN Ta có ID MD = = = Gọi K là trung điểm của MP. Vì G là trọng tâm của ∆ MNP nên GN 2 (2) NK = Tù (1) và (2) GN IN IG DK NK ID ⇒ = ⇒ Hay IG MP 0,5 0,5 1,0 Bài 5 2,0đ Do: 0 , , 1 ≤ ≤ a b c 2 2 2 2 2 ( 1);( 1);( 1) 0 ( 1)( 1)( 1) 0 ( 1)( 1)( 1) 1 1 0 1 1 1 1 0 , , 1 ; ; a b c a b c Do a b c a b c abc ab ac bc a b c abc ab ac bc a b c abc ab ac bc a b c ab ac bc abc ab ac bc a b c ab ac bc Do a b c a a b b c c a b − − − ≤ ⇒ − − − ≤ − − − = + + + − − − − ⇒ + + + − − − − ≤ ⇒ + + + − − − ≤ ⇒ + + ≤ + + + − ≤ + + + ⇒ + + ≤ + + + ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒ + + ≤ + + + c ab ac bc

1

PGD&ĐT TP THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2023 – 2024 (VÒNG I)

Ngày thi 02 tháng 12 năm 2023

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Cho x – y = 2 Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 b) Cho 1 1 1 2; a b c abc

a +b +c = + +a b c

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 3x – 10

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố

b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương

Bài 4: (6,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC Vẽ tia Bx vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D,

AC ở F Đường thẳng MO cắt AB ở E

a) Chứng minh rằng: EF = AO

b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng

2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP Chứng minh rằng: IG//MP

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a b c , , ≤ 1 Chứng minh rằng:

a + b + c ≤ + 1 ab bc ac + +

- Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

2

PGD&ĐT TP THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

Biểu chấm gồm 02 trang HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM

KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG I

NĂM HỌC 2023 – 2024

Bài 1

4,0đ

a) Cho x – y = 2 Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x 3 – y 3 ) – 3( x + y) 2 2,0

Ta có:

M = 2(x3 – y3) – 3(x + y)2 = 2(x – y)(x2 + xy + y2) – 3(x2 + 2xy+ y2)

M = (x – y)2

Mà x – y = 2 nên M = (x – y)2 = 4

Vậy với x – y = 2 thì M = 4

0,5 0,5 0,5 0,5

b) Cho 1 1 1 2; a b c abc

a b c+ + = + + = Chứng minh:

a +b +c = + +a b c

2,0

2

Vì

a b c

Mà a b c abc

+ +

+ + =

0,75 0,5 0,75

Bài 2

4.0đ

a) Tìm x biết: (x – 3) 3 + (2x – 1) 3 = (3x – 4) 3 2,0

Đặt x – 3 = a; 2x – 1 = b thì 3x – 4 = a + b

Ta có:

3

1

2

3

x

x



 =



 =



Vậy 3; ;1 4

2 3

x ∈  

1,5

0,5

b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax 3 + bx 2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức

3

Ta có: g(x) = (x +5)(x – 2)

f(x) chia hết cho g(x) nên f(x) = (x +5)(x – 2).k(x)

=> f(2) = 0 và f(-5) = 0

Từ f(2) = 0 => 8a + 4b + 10 – 50 = 0 => 2a + b = 10 (1)

Từ f(-5) = 0 => -125a + 25b – 25 – 50 = 0 => – 5a + b = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 1; b = 8

Vậy a = 1; b = 8 thì f(x) chia hết cho g(x)

0,25

0,75 0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 3

4,0đ

a) Tìm số tự nhiên n để B = n 3 – n 2 – 7n + 10 là số nguyên tố 2,0

Ta có: B = (n – 2)(n2 + n – 5)

B là số nguyên tố nên (n – 2) và (n2 + n – 5) là ước của 1

+ Nếu (n – 2) = 1 thì n = 3 khi đó B = 7 (chọn)

Nếu (n – 2) = -1 thì n = 1 khi đó B = 3 (chọn)

Nếu n2 + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0

Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại)

Vậy n = 3 và n = 1 thì B là số nguyên tố

0,5

0,5 0,5 0,5

b) Tìm n nguyên để C = n 4 + 2n 3 + 2n 2 + n +7 là số chính phương 2,0

Ta có: C = n4 + 2n3 + 2n2 + 7n + =n4 + 2n3 + n2 +n2 + 7n +

2 ( 1) 2 ( +1) 7

= + + + Đặt n(n+1) = y ta có C = y2 + y + 7

Vì C là số chính phương nên

*)

*)

⇒

− − = −



⇒



7

6

loai y

loai

= −



 =



⇒

Vậy n = 2; n = - 3 thì C là số chính phương

0,25 0,5

0,5

0,5

0,25

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC Vẽ tia Bx

4

Bài 4.1

4,0đ

vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC)

Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M Đường thẳng

qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F Đường thẳng MO cắt

AB ở E

a) Chứng minh rằng: EF = AO

b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng

4,0

E

D M

B

A

Câu 1

4,0đ

1 a) Ta có:

Mà OA=OB nên OM là trung trực của AB => OM⊥AB tại E và EA= EB

=>BEO = 90 0

OD // AB; AB⊥AC=>OD⊥AC tại F=> AFO =90 0

Mà BAC= 90 ( 0 GT)

=> AEOF là hình chữ nhật => AO = FE

0,5 0,5

1,0

1 b) Ta có ∆AOCcân ở O nên đường cao OD đồng thời là phân giác

=>∆AOD= ∆COD⇒OCD = 90 0 ⇒DC BC⊥ ⇒BM CD/ / và AD = CD

Gọi giao điểm của AI và BC là H

/ /

IM BM AM

MB CD IA CD IH CD BM

IC CD AD

IA AM AM CD

Do IA CD IA

DC MD MD

Do IH MB MA MB CD AD

AM CD

IH IH IA EA EB IE BC

MD

Từ IE//BC; EF//BC=> E, I, F thẳng hàng

0,5

0,5 0,5 0,5

5

Bài 4.2

2,0đ

2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm Gọi I là

giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP

Chứng minh rằng: IG//MP

2,0

G

D K I

M

2 Ta có: ND là phân giác của tam giác MNP

MI là phân giác của tam giác MND

5

2,5

IN MN

Ta có

ID MD= = =

Gọi K là trung điểm của MP

Vì G là trọng tâm của ∆MNP nên GN 2 (2)

NK =

Tù (1) và (2) GN IN IG DK/ /

NK ID

0,5

0,5

1,0

Bài 5

2,0đ

Do: 0 ≤a b c, , ≤ 1

( 1);( 1);( 1) 0 ( 1)( 1)( 1) 0

1

0,5 0,5 0,5 0,5