Từ thực trạng cuộc sống và những quan ngại về ảnh hưởng của chi tiêu gây racho mọi người xung quanh, cùng với những đề xuất của giảng viên cũng như yêucầu của bài thảo luận, Nhóm 2 xin đ
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ước lượng bằng khoảng tin cậy
1.1.1 Ước lượng giá trị trung bình
Giả sử trên một đám đông ĐLNN X có E(X) = μ và Var(X) = σ 2 Trong đó μ chưa biết, cần ước lượng Từ đám đông ta lấy ra mẫu kích thước n: W=(X1,
Từ mẫu X2, ,Xn, chúng ta có thể tính toán trung bình mẫu X´ và phương sai mẫu điều chỉnh S’2 Dựa vào các đặc trưng mẫu này, chúng ta sẽ xây dựng thống kê G phù hợp Chúng ta sẽ xem xét lần lượt ba trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, σ 2 đã biết
Vì X N( μ , σ 2 ) và ta có X ´ N( μ , σ 2 / n ) Khi đó:
+ Khoảng tin cậy đối xứng (lấy α 1 = α 2 = α 2 )
Để xác định các phân vị chuẩn u 1−α/2 và u α /2 với độ tin cậy 1 – α, ta có P(U > u 1−α /2) = 1 - α /2 và P(U > u α /2) = α /2 Do hàm mật độ của phân phối chuẩn hóa là hàm chẵn, ta có mối quan hệ u 1−α /2 = - u α /2.
P( −u α /2 < U < u α /2) = 1- α Viết lại biểu thức trên dưới dạng:
Thay biểu thức của U từ (1) vào công thức trên và biến đổi tương đương ta có:
√ n u α /2 (4) Vậy khoảng tin cậy với độ tin cậy 1 – α của μ là
Từ (3) ta có: Độ tin cậy của ước lượng là 1 – α
Khoảng tin cậy đối xứng của μ là ( X ´ - ε ; X ´ – ε ) (5) Độ dài của khoảng tin cậy là 2 ε
Sai số của ước lượng là ε , được tính bằng công thức (4)
Sai số của ước lượng được xác định bằng một nửa độ dài của khoảng tin cậy Do đó, nếu khoảng tin cậy đối xứng được cho là (a,b), thì sai số có thể được tính bằng công thức: ε = b−a.
2 (6) Ở đây ta có bài toán cần giải quyết:
Bài toán 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy 1 – α , cần tìm sai số hoặc khoảng tin cậy.
Để xác định khoảng tin cậy cho giá trị trung bình μ, trước tiên ta cần biết độ tin cậy 1 – α, từ đó tính được α /2 và tra bảng để tìm giá trị u α /2 Sau khi có u α /2, ta sử dụng công thức (4) để tính ε Cuối cùng, nếu cần thiết, ta có thể xác định khoảng tin cậy (5) cho μ.
Khoảng tin cậy (5) là một khoảng ngẫu nhiên, trong khi μ là một giá trị xác định Đối với mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, , Xn), khi độ tin cậy 1 – α gần 1, theo nguyên lý xác suất lớn, ta có thể coi biến cố (μ - ε < X̄ < μ + ε) sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử Chính xác hơn, với xác suất 1 – α, khoảng tin cậy ngẫu nhiên (5) sẽ xác định đúng E(X) = μ.
Khi thực hiện lấy mẫu, ta thu được mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) và từ đó xác định giá trị trung bình mẫu cụ thể ´x Dựa trên độ tin cậy 1 – α, ta có thể xác định khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng thể μ, được biểu diễn bằng (´x – ε, ´x + ε).
Bài toán 2 yêu cầu biết kích thước mẫu n và sai số ε để xác định độ tin cậy Nếu có khoảng tin cậy đối xứng (a,b), ta có thể tính sai số ε theo công thức (6).
(4) ta tìm được u α /2= ε √ n σ , tra bảng tìm được α /2 từ đó tìm được độ tin cậy 1 – α
Để xác định kích thước mẫu n trong bài toán 3, trước tiên cần biết độ tin cậy 1 – α và sai số ε Từ độ tin cậy này, chúng ta có thể tính được α và sau đó tìm giá trị u α /2 Cuối cùng, sử dụng công thức (4), kích thước mẫu n có thể được tính bằng công thức n = σ.
2 u 2 α/ 2 ε 2 (7) Đó chính là kích thước mẫu tối thiểu cần tìm.
Nếu giữ nguyên kích thước mẫu n và giảm sai số ε, thì giá trị u α/2 sẽ giảm, dẫn đến giảm độ tin cậy Ngược lại, nếu giữ kích thước mẫu n không đổi và tăng độ tin cậy 1 – α, giá trị u α/2 cũng sẽ giảm, làm tăng sai số ε.
Khi chưa biết σ nhưng có kích thước mẫu lớn (n > 30) và biết độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh s’, ta có thể ước lượng σ bằng cách lấy σ ≈ s’ Điều này bởi vì S’² là ước lượng không lệch tốt nhất cho σ².
Chú ý 4: Trong trường hợp đã biết μ , cần ước lượng X ´ thì từ công thức (2) ta có
2 ) = 1 – α Vậy khoảng tin cậy 1 - α của X ´ tương ứng là
+ Khoảng tin cậy phải (lấy α 1 = 0, α 2 = α ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của μ )
Ta vẫn dùng thống kê ở (1) Với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn u α sao cho
P( U < u α )= 1- α Thay biểu thức của U từ (1) vào công thức trên ta có
√ n u α < μ ) = 1 – α Vậy khoảng tin cậy phải với độ tin cậy 1 – α của μ là
+ Khoảng tin cậy trái ( lấy α 1 = α , α 2 = 0 dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ )
Ta vẫn dùng thống kê ở (1) với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được u α sao cho
P(- u α < U) = 1- α Thay biểu thức của U từ (1) vào công thức trên ta có
P(- u α < X− ´ μ σ /√ n ) = 1- α Biến đổi tương đương ta được
√ n u α ) = 1- α Như vậy khoảng tin cậy trái 1- α của μ là
Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai σ 2 chưa biết
Ta xây dựng thống kê:
Phân phối T theo quy luật Student có số bậc tự do là n - 1 Đối với khoảng tin cậy đối xứng, với độ tin cậy 1 - α, ta xác định các phân vị t 1−α/2 (n−1) và t α/2 (n−1) sao cho P(T > t 1−α/2 (n−1)) = 1 - α/2 và P(T > t α/2 (n−1)) = α/2 Do hàm mật độ của phân phối Student là hàm chẵn, ta có t 1−α/2 (n) = - t α/2 (n).
Khi đó ta có P(|T| < t α/ ( n−1 2 ) ) = 1 - α Biến đổi tương đương ta được: P(| X - μ | < S ' √ n t α/2 ( n−1 ) ) = 1 - α (10)
Vậy khoảng tin cậy của μ là ( X - S '
Từ (11) ta có: Độ tin cậy của ước lượng là 1 - α
Khoảng tin cậy đối xứng của μ là ( X - ε ; X + ε ) Độ dài của khoảng tin cậy: 2 ε
Sai số của ước lượng là ε , được tính bằng công thức 7.14
Ta có 3 bài toán cần giải quyết Riêng bài toán 3 (Bài toán xác định kích thước mẫu) ta sẽ giải quyết bằng phương pháp mẫu kép như sau:
Bước 1: Điều tra một mẫu sơ bộ kích thước k ≥ 2; W1 = (X1, X2, ,Xk) Từ mẫu này ta tìm được phương sai mẫu điều chỉnh là:
Bước 2: Giả sử mẫu cần tìm có kích thước n: W1 = (X1, X2, ,Xn).
Do T ~ T ( k−1 ) , ta có thể tìm được phân vị t (k−1) α/ 2 sao cho:
P(|T| < t α/2 ( k−1 )) = 1 - α Thay giá trị của T trong biểu thức (13) vào công thức trên và biến đổi tương đương ta có: P(| 1 n ∑ i=1 n X i − μ | < √ S n ' t α/2
Công thức 7.16 cung cấp giá trị tối thiểu cho kích thước mẫu cần tìm Trong thực tế, với mẫu sơ bộ W1 = (X1, X2,…, Xk), chỉ cần điều tra thêm mẫu có kích thước n – k là đủ.
Khoảng tin cậy phải (lấy α 1 = 0, α 2 =α ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của μ )
Ta vẫn dùng thống kê 7.11 Với độ tin cậy 1 - α cho trước, ta tìm được phân vị t α ( n−1 ) sao cho
P(T < t α ( n−1 )) = 1 - α Thay biểu thức của T từ 7.11 vào công thức trên ta có:
Vậy khoảng tin cậy phải của μ là ( X - S '
Khoảng tin cậy trái (lấy α 1 = α , α 2 = 0; dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ )
Ta vẫn dùng thống kê 7.11 Với độ tin cậy 1 - α cho trước, ta tìm được phân vị t α ( n−1 ) sao cho
P( - t α ( n−1 ) < T) = 1− α Thay biểu thức của T từ 7.11 vào công thức trên ta có:
Vậy khoảng tin cậy trái của μ là ( −∞ ; X + S '
Khi kích thước mẫu n tăng lên, phân phối Student sẽ nhanh chóng tiệm cận với phân phối chuẩn Vì vậy, khi n lớn hơn 30, chúng ta có thể sử dụng phân vị chuẩn u α thay cho phân vị Student t α (n−1).
Chú ý 4: Khi n > 30 ta vẫn có thể dùng thống kê ở 7.11, nhưng người ta thường dùng thống kê ở 7.3 và lấy σ ≈ s '
Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối của X trên đám đông, nhưng kích thước mẫu n>30
Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu X ´ có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số E( X ´ ) = μ và Var( X ´ ) = σ 2 n Do đó
U= X− ´ μ σ /√ n N(0,1) (15) Khi đó ta có thể tìm được phân vị u α /2 sao cho
P(| U |< u α /2) ≈ 1 – α (16) Thay biểu thức của U ở (15) vào (16) và biến đổi ta được
Ta có khoảng tin cậy đối xứng của μ là: ( X ´ – ε ; X ´ + ε )
Các phần còn lại được giải quyết tương tự như trong trường hợp 1.1.1.
Đối với bài toán 3 về ước lượng kích thước mẫu, do chưa xác định được quy luật phân phối xác suất của biến X và kích thước mẫu cần tìm, chúng ta cần giả định rằng X có phân phối chuẩn Qua đó, chúng ta trở lại với trường hợp 1.1.1 để tiếp tục phân tích.
Chú ý: Nếu σ chưa biết, vì n>30 nên ta có thể lấy σ ≈ s’.
Trong nghiên cứu một đám đông có kích thước N với M phần tử mang dấu hiệu A, ta có thể tính tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A bằng công thức P(A) = M/N = p Tuy nhiên, do không thể điều tra toàn bộ đám đông, tỷ lệ p thường chưa được xác định Để khắc phục điều này, ta tiến hành lấy mẫu kích thước n từ đám đông và thực hiện khảo sát, trong đó ghi nhận số phần tử mang dấu hiệu A là nA.
A Khi tần suất xuất hiện dấu hiệu A trên mẫu là f = n A n Ta đi ước lượng p thông qua f Khi n khá lớn thì f ≈ f − p
+ Khoảng tin cậy đối xứng (lấy α 1 = α 2 = α/2)
Với độ tin cậy 1 – α cho trước, ta tìm được phân vị chuẩn uα/2, lập luận tương tự như mục 1.1.1 ta có
P(|U| < uα/2) ≈ 1 – α (19) Thay biểu thức của U trong (18) vào (19) và biến đổi ta có:
Biến đổi tương đương, ta được
Trong đó ε = √ pq n u α/2 (22) là sai số của ước lượng
Kiểm định giả thuyết về các tham số
1.2.1 Kiểm định giá trị trung bình
Giả sử chúng ta đang nghiên cứu dấu hiệu X với kỳ vọng E(X) = à và phương sai Var(X) = σ², trong đó à chưa được xác định Từ một nguồn thông tin nào đó, ta có à = à0, nhưng điều này đang bị nghi ngờ Với mức ý nghĩa α đã cho, chúng ta cần kiểm định giả thuyết H0: à = à0 Để thực hiện kiểm định giả thuyết này, từ tổng thể, chúng ta lấy một mẫu kích thước n: W = (X1, , Xn) và từ mẫu đó, ta tính giá trị trung bình mẫu X´ = 1/n ∑ i=1 n Xi.
( Xi− ´ X ) 2 Ta lần lượt xét những trường hợp sau:
Trường hợp 1: ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với σ 2 đã biết
Vỡ X cú phõn phối chuẩn nờn ta cú X ´ N(à, σ n 2 ) Xõy dựng tiờu chuẩn kiểm định:
Nếu H0 đúng, ta có U N (0,1) Tùy thuộc vào đối thuyết H1 ta có những bài toán sau:
Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα/2 sao cho
Vì α khá nhỏ, theo nguyên lý xác suất, biến cố (|U| > uα/2) có thể được coi là không xảy ra trong một lần thực hiện thử nghiệm Do đó, nếu trong một lần lấy mẫu, ta tìm thấy giá trị utn, điều này cho thấy sự khác biệt giữa trung bình mẫu X và giá trị trung bình giả thuyết μ0 được chuẩn hóa bằng độ lệch chuẩn σ.
√ n mà |utn| > uα/2 thì giả thuyết H0 tỏ ra không đúng, ta có cơ sở để bác bỏ H0 Do đó ta có miền bác bỏ Wα = {uutn : |utn| > uα/2}
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, , xn) Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H0 (trong thực hành vẫn chấp nhận H0)
Theo quy tắc kiểm định trên ta mắc sai lầm loại 1 với xác suất bằng α.
Bài toán 2: Với mức ý nghĩa α cần kiểm định
Ta vẫn dùng TCKĐ cũ Nếu H0 đúng thì U N(0,1).
Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho
Vì α khá nhỏ, theo nguyên lý xác suất, ta có thể coi biến cố (U > uα) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử Do đó, nếu trong một lần lấy mẫu ta tìm được giá trị utn, ta có thể tính toán bằng công thức X ´ − μ 0 σ.
√ n mà utn > uα thì giả thuyết H0 tỏ ra không đúng, ta có cơ sở để bác bỏ H0 Do đó ta có miền bác bỏ
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, , xn) Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H0 (trong thực hành vẫn chấp nhận
Bài toán 3: Với mức ý nghĩa α cần kiểm định
Ta vẫn dùng TCKĐ cũ Nếu H0 đúng thì U N(0,1).
Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho
Vì α rất nhỏ, theo nguyên lý xác suất, ta có thể xem biến cố (U < -uα) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử Do đó, nếu trong một lần lấy mẫu, ta tìm được giá trị utn, thì công thức sẽ là X− ´ μ 0 σ.
√ n mà utn < -uα thì giả thuyết H0 tỏ ra không đúng, ta có cơ sở để bác bỏ H0 Do đó ta có miền bác bỏ
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, , xn) Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H0 (trong thực hành vẫn chấp nhận
Giả định rằng trong một đám đông, tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p, với p là xác suất để chọn ngẫu nhiên một phần tử A Nếu p = p0 được xác định nhưng có sự nghi ngờ về giá trị này, ta cần kiểm định giả thuyết H0: p = p0 với mức ý nghĩa α Để thực hiện kiểm định, chọn một mẫu kích thước n từ đám đông và gọi f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu Khi kích thước mẫu n lớn, tỷ lệ f sẽ gần với phân phối chuẩn N(p, pq/n).
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định
√ p 0 n q 0 , trong đó q0 = 1 – p0. Nếu H0 đúng thì U ≈ N(0,1)
Bài toán 1: Xét giả thuyết H0: p = p0 và H1: p ≠ p0 với mức ý nghĩa α cho trước Để xác định phân vị chuẩn uα/2, ta cần thỏa mãn điều kiện P(|U| > uα/2) = α Do α thường nhỏ, theo nguyên lý xác suất nhỏ, miền bác bỏ được xác định là Wα = {uutn : |utn| > uα/2}, trong đó utn là giá trị thống kê từ mẫu.
Bài toán 2: Xét giả thuyết H0: p = p0 và H1: p > p0 Với mức ý nghĩa α đã cho, chúng ta xác định phân vị chuẩn uα sao cho P(U > uα) = α Tương tự như bài toán 1, miền bác bỏ được xác định là Wα = {uutn : utn > uα}.
Bài toán 3: { H H 0 : 1: p= p< p p 0 0 Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho P(U < -uα) = α Từ đó ta có miền bác bỏ Wα = {uutn : utn < -uα}.
So sánh mẫu trung bình
Xét biến X trong hai tổng thể với trung bình μ1 và μ2 cùng phương sai σ1 và σ2 Chúng ta lấy ngẫu nhiên hai mẫu có kích thước lần lượt là n1 và n2 Kết quả tính toán cho thấy hai mẫu này có trung bình là ¯x1 và ¯x2, cũng như độ lệch chuẩn s1 và s2.
Mục đích chính của chúng ta thường là so sánh giá trị trung bình của hai tổng thể với mức độ tin cậy 1−α (hay mức ý nghĩa α) đã xác định Do đó, giả thuyết không sẽ được thiết lập như sau:
Khi so sánh độ lệch chuẩn của biến X, việc xác định kích thước mẫu là rất quan trọng, vì mẫu nhỏ hay lớn sẽ yêu cầu các phương pháp kiểm định khác nhau Trong thống kê, các phương pháp này được phân loại thành kiểm định z (z-test) và kiểm định t (t-test), tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
1.3.2 So sánh hai số trung bình khi biết σ1và σ2
Khi ta đã biết độ lệch chuẩn σ1và σ2 của các tổng thể, ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định z sau:
Tiêu chuẩn z này tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn N(0,1)
1.3.2.1.So sánh hai số trung bình khi không biết σ1,σ2, mẫu lớn
Khi không biết độ lệch chuẩn, việc sử dụng mẫu lớn cho phép áp dụng tiêu chuẩn kiểm định z, trong đó σ được thay thế bằng s.
Tiêu chuẩn này cũng tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn.
1.3.2.2.So sánh hai số trung bình khi không biết σ1,σ2, mẫu nhỏ
Trong trường hợp này, ta lại có hai trường hợp nhỏ sau :
Phương sai hai tổng thể bằng nhau
Nếu chúng ta biết rằng phương sai của hai tổng thể là bằng nhau, nhưng không biết giá trị cụ thể, thì phương sai gộp (pooled variance) được định nghĩa như sau:
Và ta sử dụng tiêu chuẩn kiềm định t theo công thức sau:
Tiêu chuẩn này tuân theo phân phối Student với độ tự do của kiểm định là ν=n 1 +n 2 −2
Phương sai hai tổng thể không bằng nhau
Trong trường hợp này, ta dùng tiêu chuẩn kiểm định t tính theo công thức sau:
Tiêu chuẩn này có phân phối Student với độ tự do xác định theo công thức sau:
Khi ν không phải là số nguyên, ta phải làm tròn để có thể sử dụng bảng phân vị Student.
So sánh hai số trung bình ghép cặp
Trong một số trường hợp so sánh trung bình, các số liệu x1i và x2i của hai mẫu có sự tương ứng và có thể ghép thành từng cặp, chẳng hạn như kết quả đánh giá cảm quan của hai sản phẩm do cùng một người thực hiện Khi đó, kích thước của hai mẫu sẽ bằng nhau, tức là n1 = n2 = n.
So sánh trung bình trong trường hợp này được tiến hành như sau:
Với mỗi cặp số liệu, tính hiệu số d i =x1i−αx2i
Đặt giả thuyết không Ho : μ d =0
Giả thuyết đối nghịch có thể là μd≠0 hay μd0 tùy theo trường hợp cụ thể.
Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định :
Nếu mẫu có kích thước lớn, K có phân phối chuẩn tiêu chuẩn Nếu mẫu có kích thước nhỏ, K có phân phối Student.
II, ĐỀ TÀI THẢO LUẬN VÀ CÁC BÀI TOÁN Đề tài: Tiến hành khảo sát điều tra mẫu của các bạn sinh viên trường Đại học
Thương mại ở cơ sở Hà Nam để giải quyết các vấn đề:
Vấn đề 1: Ước lượng mức chi tiêu trung bình của hàng tháng của các bạn sinh viên nữ chưa có người yêu.
Vấn đề 2: Ước lượng tỉ lệ các bạn nam có người yêu.
Vấn đề 3: So sánh mức chi tiêu trung bình giữa các bạn nam chưa có người yêu và các bạn nữ chưa có người yêu.
Nhóm 2 đã lựa chọn mẫu ngẫu nhiên có kích thước là n = ? và xây dựng một biểu mẫu thống kê với các câu hỏi như sau:
1 Tên của cậu là gì?
2 Giới tính của cậu là gì?
3 Cậu đã có người yêu chưa?
4 Mỗi tháng cậu tiêu hết bao nhiêu tiền?
5 Việc chi tiêu như vậy có ảnh hưởng đến cuộc sống của cậu không?
Một bạn sinh viên giấu tên đang học tập tại trường Đại học Thương Mại cơ sở
Hà Nam, giới tính nam, trạng thái độc thân tham gia khảo sát cho biết chi tiêu trung bình một tháng là từ 1 đến 2 triệu đồng.
Nhóm 2 đã phân công nhiệm vụ cho từng thành viên, yêu cầu mỗi người gửi liên kết mẫu khảo sát đến sinh viên trường Đại học Thương Mại để thu thập ý kiến Kết quả, nhóm đã nhận được 183 câu trả lời, đáp ứng đủ kích thước mẫu đã đề ra.
Số sinh viên tham gia khảo sát: 183 sinh viên, trong đó:
-80 sinh viên là nam, chiếm khoảng 43.72%
-103 sinh viên là nữ, chiếm khoảng 56.28% và đây đều là sinh viên trường Đại học Thương Mại trong tình trạng:
-Độc thân: 141 sinh viên, chiếm 77.05 %
-Yêu đương: 42 sinh viên, chiếm 22.95 %
Sau khảo sát, kết quả thu được cho thấy, số sinh viên có chi tiêu hàng tháng từ:
-Từ 0 đến 1 triệu: 29 sinh viên, chiếm 15.85 %
-Từ 1 đến 2 triệu:87 sinh viên, chiếm 47.54 %
-Từ 2 đến 3 triệu: 41 sinh viên, chiếm 22.4 %
-Từ 3 đến 4 triệu: 26 sinh viên, chiếm 14.21 %
-Mục khác: 0 sinh viên, chiếm 0%
Từ đây cho thấy trong khảo sát, các bạn sinh viên tham gia khảo sát có mức chi tiêu trung bình hàng tháng không vượt quá 4 triệu đồng.
Kết quả khảo sát cho thấy, khi được hỏi “Việc có người yêu có làm ảnh hưởng đến việc chi tiêu của cậu không?”, nhiều người tham gia đã chia sẻ rằng mối quan hệ tình cảm có tác động đáng kể đến cách họ quản lý tài chính cá nhân.
-Có, tăng lên: 40 sinh viên, chiếm 21.857 %
-Có giảm xuống: 0 sinh viên, chiếm 0 %
-Không có người yêu: 141 sinh viên, chiếm 77.05% Ở đây, Nhóm 2 lấy độ tin cậy γ = 0,95 và α = 0,05 để thực hiện khảo sát các vấn đề trên.
CÁC BÀI TOÁN
Vấn đề 1: Ước lượng mức chi tiêu trung bình của hàng tháng của các bạn
viên nữ chưa có người yêu.
Chi tiêu hàng tháng (triệu đồng) 0-1 1-2 2-3 3-4
Số sinh viên nữ chưa có người 18 33 22 9 yêu
Ta có bảng sau: xi ni ni.xi ni.xi 2
Từ bảng trên ta tính được ´ x và s’ ´ x = 1 n ∑ i=1 k ¿ xi =1.7683 σ ≈ s ' = √ n−1 1 ¿ ¿ = 0.9303
Gọi X là chi tiêu trong một tháng của sinh viên nữ chưa có người yêu.
Gọi X ´ là chi tiêu trung bình trong một tháng của sinh viên nữ chưa có người yêu trên mẫu.
Gọi à là chi tiờu trung bỡnh trong một thỏng của sinh viờn nữ chưa cú người yêu trên đám đông.
Mặc dù ta chưa biết quy luật phân phối của X nhưng lại có n = 82 là khá lớn, nờn X ≈ N(à,σ 2 ) => X ´ ≈ N(à,σ 2 /n) và σ ≈ s '
Ta xây dựng thống kê U X ´ −μ σ
≈ N(0,1) và với độ tin cậy γ = 0,95 ta xác định phân vị uα/2 sao cho:
√ n u α/2 ) = γ Với mẫu cụ thể, ta có: n = 82, uα/2 = u0,025 = 1,96 và ´ x ≈ 1.7683, σ ≈ s ' = 0.9303
Vậy với độ tin cậy 95%, chi tiêu trung bình hàng tháng của các bạn nữ chưa có người yêu là từ 1.57 đến 1.97 triệu đồng
Vấn đề 2: Ước lượng tỉ lệ các bạn nam có người yêu
Nam chưa có người yêu
Gọi p là tỉ lệ sinh viên nam có người yêu trên đám đông.
Gọi f là tỉ lệ sinh viên nam có người yêu trên mẫu.
Do n là khá lớn, nên ta xem f ≈ N(p, pq n )
Ta xây dựng thống kê U f − p
Với độ tin cậy γ = 0,95 xác định phân vị uα/2 sao cho
Với mẫu cụ thể, ta có n = 80; f = n A n = 21 80 =0.2625 ; uα/2 = u0,025 = 1,96
Vậy với độ tin cậy 95%, tỉ lệ sinh viên nam trường Đại học Thương Mại có người yêu là khoảng 16.61%-35.89%.
Vấn đề 3: So sánh mức chi tiêu trung bình giữa các bạn nam chưa có người yêu và các bạn nữ chưa có người yêu
yêu và các bạn nữ chưa có người yêu.
Từ form khảo sát có bảng sau:
Nam chưa có người yêu 59 32.24 %
Nữ chưa có người yêu 82 44.808 %
Chúng tôi đã ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên nữ chưa có người yêu tại trường Đại học Thương Mại cơ sở Hà Nam, với độ tin cậy 95%, dao động từ 1.567 đến 1.970 triệu đồng Đồng thời, chúng tôi cũng tiến hành ước lượng mức chi tiêu trung bình của sinh viên nam chưa có người yêu tại cùng cơ sở này.
Chi tiêu hàng tháng (triệu đồng) 0-1 1-2 2-3 3-4
Số sinh viên nam chưa có người yêu
Ta có bảng sau: xi ni ni.xi ni.xi 2
Từ bảng trên ta tính được ´ x và s’ ´ x 2 = n 1
Với mức ý nghĩa α =0,05 cần kiểm định :{ H H 0 1 : : μ μ 1 1 =μ < μ 2 2
Vì σ 1 2 và σ 2 2 chưa biết nhưng n1= 82 >30, n2= 59 >30 nên ta lấy σ 1 2
Qua đó ta tính được: u tn = X 1 − X 2
√ 0.9303 82 + 0.6934 59 = - 0.8139 ¿−1.65 Suy ra : u tn ∈ W α => chấp nhận H 0 bác bỏ H 1
Kết luận: Dựa trên mức ý nghĩa 0,05, không thể khẳng định rằng chi tiêu trung bình của các sinh viên nữ chưa có người yêu thấp hơn so với các sinh viên nam chưa có người yêu.
Gọi X là chi tiêu trong một tháng của sinh viên nam chưa có người yêu.
Gọi là chi tiêu trung bình trong một tháng của sinh viên nam chưa có người yêu trên mẫu.
Gọi à là chi tiờu trung bỡnh trong một thỏng của sinh viờn nam chưa cú người yêu trên đám đông.
Mặc dù ta chưa biết quy luật phân phối của X như lại có n = ? là khá lớn, nờn X N(à,σ 2 ) => N(à,σ 2 /n) và
Ta xây dựng thống kê U = N(0,1) và với độ tin cậy γ = 0,95 ta xác định phân vị uα/2 sao cho:
P(-uα/2 < U < uα/2) = 1 – α = γ ó P(-uα/2 < < uα/2) = γ ú P( - uα/2 < à < + uα/2) = γ Với mẫu cụ thể, ta có: n = 59, uα/2 = u0,025 = 1,96 và = 0.69
Vậy với độ tin cậy 95%, chi tiêu trung bình hàng tháng của các bạn nam chưa có người yêu là từ 1.7129 đến 2.065 triệu đồng
Từ hai bài toán nhỏ ước lượng ở phía trên, ta rút ra được bảng so sánh sau:
Khoảng tin cậy mức chi tiêu trung bình của sinh viên nữ chưa có người yêu
Chi tiêu trung bình của sinh viên nữ chưa có người yêu trên mẫu
Khoảng tin cậy mức chi tiêu trung bình của sinh viên nam chưa có người yêu
Chi tiêu trung bình của sinh viên nam chưa có người yêu trên mẫu Trung bình m1 =(1.567,1.97) `x1=1.7683 m2=(1.7129,2.065) `x2=1.889 Ðộ lệch chuẩn s1 =0.9303 s’1=0.9303 s2=0.69 s’2=0.69
Xét về đám đông này, thì mức chi tiêu của các bạn sinh viên nữ chưa có người yêu thấp hơn các bạn nam chưa có người yêu.
Với độ tin cậy 95%, sự chênh lệch trong mức chi tiêu trung bình giữa các bạn nữ và nam chưa có người yêu dao động từ -0.1459.
Trong khoảng giá trị -0.065, không có sự xuất hiện của giá trị 0, điều này chỉ ra rằng không có sự cân bằng về chi tiêu giữa các bạn nữ chưa có người yêu và các bạn nam chưa có người yêu.
Ý NGHĨA RÚT RA TỪ KẾT QUẢ BÀI TOÁN
Mặc dù Nhóm 2 còn nhiều thiếu sót trong các bài toán và cách giải, nhưng dựa trên kết quả đạt được, nhóm đã rút ra một số kết luận quan trọng.
Tại trường Đại học Thương Mại cơ sở Hà Nam, sinh viên nữ chưa có người yêu có mức chi tiêu dao động từ 1.567 đến 1.97 triệu đồng Nhóm 2 đánh giá rằng đây là một mức chi tiêu ổn định và hợp lý cho sinh viên.
Tại trường Đại học Thương Mại cơ sở Hà Nam, tỉ lệ nam sinh có người yêu dao động từ 16.61% đến 35.89%, cho thấy đây là một con số khá cao trong môi trường học tập.
Có người yêu chắc chắn sẽ làm tăng chi tiêu cho sinh viên, chủ yếu do các hoạt động hẹn hò, đi chơi và mua sắm quà tặng, dẫn đến những khoản chi phí đáng kể.
Sinh viên nữ thường có xu hướng chi tiêu ít hơn sinh viên nam, điều này có thể xuất phát từ những nhu cầu khác nhau liên quan đến giới tính và sinh lý.
-Tiết kiệm chi tiêu cho sinh viên:
+ Mượn hoặc xin giáo trình từ những anh chị khóa trước, người quen.
+Phân biệt giữa “Cần” và “Thích”.
+Mua trước đồ thiết yếu khi đi chơi.
+Ý thức trong sinh hoạt chung (đóng quỹ phòng, thực hành tiết kiệm, …)
+Luôn ghi lại các khoản chi tiêu để điều chỉnh hợp lí.
+Làm một công việc bán thời gian.
+Chi tiêu hợp lí trong những buổi hẹn hò.
+Ăn uống lành mạnh và hạn chế ăn vặt.
-Nhà trường mở các buổi giao lưu sinh viên trong trường để tăng tỉ lệ sinh viên có người yêu.
Nhóm 2 đã thành công trong việc khảo sát và nghiên cứu với kích thước mẫu trung bình, ứng dụng kiến thức từ Toán Đại Cương Qua quá trình này, nhóm nhận thấy rằng việc áp dụng hợp lý các bài toán đơn giản vào thực tiễn giúp ước lượng và kiểm định các vấn đề có ý nghĩa thực tế Nhóm 2 cũng nhận ra lợi ích thực tiễn của Toán Đại Cương và đã đề xuất một số giải pháp.