Chứng minh rằnga ΔABCABC cân tại A thì ΔABCDMN cân tại D Trang 2 a Viết tên các cặp góc bằng nhau của ΔABCABC và ΔABCAMNb Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại QChứng minh AMA
CHƯƠNG IX TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 33 HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A LÝ THUYẾT 1) Định nghĩa Ví dụ 1: Cho Hình ΔABCABC ΔABCDEF có cạnh tương ứng song song góc tương ứng Cụ thể: AB ∥ DE , AC ∥ DF , BC ∥ EF A D B C A D , B E , C F E F Hình AB BC AC ; ; Quan sát hình vẽ cho biết giá trị tỉ số sau DE EF DF Hai tam giác Hình gọi hai tam giác đồng dạng Kết luận: ΔABCA ' B ' C ' gọi đồng dạng với ΔABCABC nếu: A ' B ' B 'C ' A'C ' BC AC A ' A , B ' B , C ' C + AB + Kí hiệu ΔABCA ' B ' C ' ∽ ΔABCABC ( viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng) Tỉ số Nhận xét: k A ' B ' B 'C ' A 'C ' AB BC AC gọi tỉ số đồng dạng ΔABCA ' B ' C ' với ΔABCABC ΔABCA ' B ' C ' ∽ ΔABCABC với tỉ số đồng dạng k ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' với tỉ số k Hai tam giác gọi hai tam giác đồng dạng với theo tỉ số đồng dạng k 1 Nếu ΔABCABC ∽ ΔABCDEF với tỉ số đồng dạng k ΔABCDEF ∽ ΔABCHIK với tỉ số động dạng h ΔABCABC ∽ ΔABCHIK theo tỉ số đồng dạng k h Ví dụ 2: Cho Hình A D a) Chỉ cặp tam giác đồng dạng b) Dùng kí hiệu tìm tỉ số đồng dạng F M E B C Q N Hình Ví dụ 3: Cho ΔABCABC ∽ ΔABCDMN Chứng minh a) ΔABCABC cân A ΔABCDMN cân D b) ΔABCABC vng B ΔABCDMN vng M A 2) Định lí Ví dụ 4: Cho ΔABCABC điểm M , N cạnh AB, AC cho MN ∥ BC N M Như Hình B C Hình a) Viết tên cặp góc ΔABCABC ΔABCAMN b) Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC Q AM AN MN Chứng minh AB AC BC c) Kí hiệu hai tam giác có hình Kết luận: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo tam giác đồng dạng với tam giác cho Cụ thể: ΔABCABC có MN ∥ BC với M AB, N AC ΔABCAMN ∽ ΔABCABC Chú ý: Định lí thay đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác Như Hình Khi MN ∥ BC ΔABCABC ∽ ΔABCAMN Ví dụ 5: Cho Hình a) ΔABCABC tam giác gì? b) ΔABCABC đồng dạng với tam giác nào? Vì sao? N B M A K B A H C C Hình Hình B BÀI TẬP MẪU ( BT SGK) Bài 1: Cho ΔABCABC ∽ ΔABCMNP , khẳng định sau không đúng? a) ΔABCMNP ∽ ΔABCABC b) ΔABCBCA ∽ ΔABCNPM c) ΔABCCAB ∽ ΔABCPMN d) ΔABCACB ∽ ΔABCMNP Bài 2: Khẳng định sau đúng? a) b) c) d) e) Hai tam giác đồng dạng với Hai tam giác đồng dạng với Hai tam giác đồng dạng với Hai tam giác vng đồng dạng với Hai tam giác đồng dạng Bài 3: Trong Hình , ΔABCABC khơng cân, M , N , P trung điểm BC , CA, AB Hãy tìm hình năm tam giác khác mà chúng đôi đồng dạng với Giải thích chúng đồng dạng Bài 4: Cho ΔABCABC cân A ΔABCMNP cân M Biết BAC PMN , AB 2 MN Chứng minh ΔABCMNP ∽ ΔABCABC tìm tỉ số đồng dạng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Trắc nghiệm Câu 1: ΔABCABC đồng dạng với ΔABCPMN nào? AB BC AC A P ,B M ,C N B A PM MN PN AB BC AC AB ∥ PM , BC ∥ MN C PM MN PN D A P , B M , C N Câu 2: ΔABCABC ∽ ΔABCDEF theo số tỉ đồng dạng k Vậy k tỉ số sau đây? AB AC DE DE k k k k BC DF AB DF A B C D Câu 3: ΔABCABC ΔABCA ' B ' C ' A ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' với k 1 B ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' với k 0 D Cả ba câu A, B, C sai C ΔABCABC không đồng dạng với ΔABCA ' B ' C ' Câu 4: ΔABCABC ∽ ΔABCDEF với tỉ số đồng dạng , ΔABCDEF ∽ ΔABCA ' B ' C ' với tỉ số đồng dạng Thì ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' theo tỉ số đồng dạng k bao nhiêu? A k 2 B k 1 C k 4 Câu 5: Cho Hình Biết DE ∥ BC kích thước hình Độ lớn đoạn AE AE AE A B AE AE C D Câu 6: Cho Hình Biết MN ∥ AB Chon khẳng định sai khẳng định sau A ΔABCMNC ∽ ΔABCABC B ΔABCAEM ∽ ΔABCABC C ΔABCMNC ∽ ΔABCAEM D k A E B C Hình A A M E H D Cả ba câu A, B, C sai C B N Hình B Câu 7: Hình ΔABCABC có HK đường trung bình Khi ΔABCABC ∽ ΔABCHKC theo tỉ số k bao nhiêu? B Câu 8: Cho Hình Độ lớn cạnh AC B AC 4 A AC 1,7 C AC 3, D AC 3,7 A k 2 k C K Hình C k 1 D k 0 A H 1,7 B Câu 9: Cho Hình 10 Biết ΔABCABC , ΔABCAPQ tam giác Cần thêm điều kiện để ΔABCABC ∽ ΔABCAPQ A AP ∥ BC AQ AC C DE // BC D 2 A C M P Hình Q B AB ∥ PQ B D Không cần thêm điều kiện 1 Câu 10: Cho Hình 11 Biết MB ∥ AD ∥ NC Khi BM CN A AD B AD C Hình 10 M N A B D Hình 11 C C BC D BC II Tự luận Bài 1: Cho hình sau, tam giác đồng dạng hình viết tỉ số đồng dạng ( Hình 12, 13) D E A A D B C E Bài 2: Cho hình sau, tam giác đồng dạng hình viết tỉ số đồng dạng ( Hình 14, 15) k B Bài 3: Cho ΔABCABC ∽ ΔABCDEF theo tỉ số đồng dạng C B Hình 13 Hình 12 A E a) ΔABCDEF ∽ ΔABCABC theo tỉ số động dạng bao nhiêu? b) Giả sử DE 10 cm Tính AB M A C D N C B Hình 15 Hình 14 BM BC Bài 4: Cho ΔABCABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB N A a) Chứng minh ΔABCNBM ∽ ΔABCABC ( Hình 16) MN b) Tính AC Bài 5: Cho ΔABCABC có AM đường trung tuyến Hạ BH , CK vng góc với AM ( Hình 17) a) Chứng minh ΔABCMBH ∽ ΔABCMCK b) Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt AC I Chứng minh AI KC MI AC N M B C Hình 16 A H B I C M Hình 17 K Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi O giao hai đường chéo a) Chứng minh ΔABCOAB ∽ ΔABCOCD ( Hình 18) A b) Từ O kẻ đường thẳng song song với DC cắt AD I I Chứng minh ΔABCDOI ∽ ΔABCDBA c) Chứng minh AB DO DB IO B O D C Hình 18 Bài 7: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Lấy I trung điểm DC IN ∥ BD N BC IM ∥ AC M AD A Từ I kẻ ( Hình 19) DM CN DA CB a) Chứng minh b) Chứng minh MI BD IN AC B N M D C I Hình 19 Bài 8: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M trung điểm CD AM cắt BD I , BM cắt AC K ( Hình 20) IM KM KB a) Chứng minh IA b) Chứng minh IK ∥ AB ∥ CD I c) IK cắt AD N Chứng minh I trung điểm KN A B K N I D C M Hình 20 Bài 9: Cho ΔABCABC Lấy D thuộc AB E thuộc BC Đường thẳng qua D song song với BC cắt AE G cắt AC I Đường thẳng qua E song song với AB cắt CD F ( Hình 21) A D GD EB a) So sánh GI với EC b) Chứng minh GF ∥ AC G I F B C E Hình 21 Bài 10: Cho ΔABCABC , trung tuyến AM Qua D thuộc BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB E cắt AC F F a) Chứng minh ΔABCBDE ∽ ΔABCBMA DF CD AM CM b) Chứng minh DE DF 2 c) Chứng minh AM AM A E B D M Hình 22 C Bài 34 BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC A LÝ THUYẾT 1) Trường hợp đồng dạng thứ tam giác Ví dụ 1: Cho ΔABCABC ΔABCDEF có kích thước Hình AB AC BC ; ; A DE DF EF Xác định tỉ số ΔABCABC ΔABCDEF có kích thước Hình D Thì chúng đồng dạng với B E C F Hình Kết luận: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh AB AC BC c c c Cụ thể ΔABCABC ΔABCDEF có DE DF EF ΔABCABC ∽ ΔABCDEF B Ví dụ 3: Cho Hình a) Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCHIK b) Chứng minh ΔABCHIK vuông 2) Trường hợp đồng dạng thức hai tam giác Ví dụ 4: Cho Hình AB BC a) So sánh tỉ số A ' B ' B ' C ' B ' b) So sánh hai góc B Hai tam giác có yếu tố Hình gọi hai tam giác đồng dạng Kết luận: I 10 A C H K Hình A' A cm cm B 600 cm C B' 600 C' 4.5 cm Hình Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với nhau/ A Cụ thể ΔABCABC ΔABCA ' B ' C ' có: AB BC B ' ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' c g c A ' B ' B ' C ' B Q P 4,5 Ví dụ 5: Cho Hình Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCAPQ Ví dụ 6: Cho ΔABCABC ∽ ΔABCDEF M , N trung điểm BC , EF Chứng minh ΔABCABM ∽ ΔABCDEN C B Hình A D B M C E Hình N F 3) Trường hợp đồng dạng thứ ba tam giác Ví dụ 7: Cho Hình 6, ΔABCABC ΔABCDEF có: F A D C Khi hai tam giác đồng dạng với Cách chứng minh sau: Trên AC lấy điểm F cho AF DF A D B FE E AB Từ F vẽ đường thẳng cho AFE DFE F E C Hình Khi EF ∥ BC hay ΔABCAEF ∽ ΔABCABC Mà ΔABCAEF ΔABCDEF Vậy ΔABCDEF ∽ ΔABCABC A F E B C Kết luận: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với Ví dụ 8: Cho tam giác Hình Chỉ tam giác đồng dạng Xét ΔABCABC ΔABCDFE có: A F ( kí hiệu) B E 700 C ΔABCABC ∽ ΔABCDFE g g D B 700 C E 700 F Hình Ví dụ 9: Cho ΔABCABC có AB AC Trên AC lấy điểm D cho ABD ACB A a) Chứng minh ΔABCABD ∽ ΔABCACB b) Chứng minh AB AD AC B BÀI TẬP MẪU ( BT SGK) Bài 1: Khẳng định sau chứng tỏ hai tam giác đồng dạng? a) b) c) d) D C B Hình Ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác Hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác có cặp góc Hai góc tam giác hai góc tam giác Hai cạnh tam giác hai cạnh tam giác Bài 2: Cho hai tam giác đồng dạng Tam giác thứ có độ dài ba cạnh cm, cm 10 cm Tam giác thứ hai có chu vi 33 cm Độ dài ba cạnh tam giác thứ hai ba sau đây? a) cm, 12 cm, 15 cm b) cm, 16 cm, 20 cm c) cm, cm, 18 cm d) cm, 10 cm, 15 cm Bài 3: Cho AM , BN , CP đường trung tuyến ΔABCABC Cho A ' M ', B ' N ', C ' P ' đường trung tuyến ΔABCA ' B ' C ' Biết ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' A'M ' B ' N ' C ' P ' BN CP Chứng minh AM Bài 4: Cho ΔABCABC có AB 12 cm, AC 15 cm Trên tia AB, AC lấy điểm M , N cho AM 10 cm, AN 8 cm Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCANM Bài 5: Cho góc BAC điểm M , N đoạn thẳng AB, AC cho ABN ACM a) Chứng minh ΔABCABN ∽ ΔABCACM b) Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh IB IN IC IM C BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Trắc nghiệm Câu 1: ΔABCABC ΔABCA ' B ' C ' đồng dạng theo trường hợp góc – góc nào? AB AC BC AB AC A A ' B ' A ' C ' B ' C ' B A ' B ' A ' C ' A A ' C A A ' C C ' D A B; A ' B ' AB BC Câu 2: ΔABCABC ΔABCDEF có DE EF Cần thêm yếu tố để hai tam giác đồng dạng E A A D B B ΔABCABC ∽ ΔABCHIK g g Câu 3: nào? A A B , H I C A B C , H I K D Cả A, B, C sai C C F B A I , C K D A H , C K ΔABCABC ∽ ΔABCDNM c g c Câu 4: Cho Hình Để cần yếu tố A A A D 70 B A D 70 , C M 40 BC AC 70 C NM DM B BC AC D NM DM C M 40 Câu 5: Cho Hình 10 Biết ΔABCABC , ΔABCADE hai tam giác cân Chọn kết luận câu sau ΔABCADE ∽ ΔABCABC g g 700 C M N Hình A với k 2 k ΔABCADE ∽ ΔABCABC c c c B với k ΔABCABC ∽ ΔABCADE c g c C với 700 400 A D cm E D cm B C Hình 10 ΔABCABC ∽ ΔABCADE g g k D với Câu 6: Hai tam giác vng đồng dạng cần thêm yếu tố sau A Một cặp góc nhọn B Hai cặp cạnh góc vng tỉ lệ với C Ba cặp cạnh tỉ lệ với D Cả A, B, C A Câu 7: Cho Hình 11 ΔABCABC ∽ ΔABCDEF D AM , AN hai tia phân giác A , D Khi ΔABCABM ∽ ΔABCDEN theo trường hợp nào? A g g B c g c C c c c D Cả A, B, C B E C M F N Hình 11 Câu 8: Cho Hình 12 Biết AB ∥ DE Chọn hệ thức sai câu sau A AB EC AC DC B AB DE BC DC C AC DE BC EC D AB AC DE DC E A B C D Hình 12 Câu 9: ΔABCABC ∽ ΔABCDEF theo tỉ số đồng dạng k 2 Khi chu vi ΔABCABC gấp lần chu vi ΔABCDEF ? A B C D Câu 10: Từ B C ΔABCABC kẻ đường vng góc xuống đường xuất phát từ A để hai tam giác đồng dạng A Đường cao B Đường trung tuyến C Đường phân giác D Cả B, C II Tự luận Bài 1: Cho ΔABCABC vuông A , M trung điểm AC Từ M vẽ đường thẳng d AC MN AB Trên d lấy điểm N cho N , B nằm khác phía AC B( Hình 13) a) Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCMNC b) AB cắt CN D Chứng minh ΔABCCMN ∽ ΔABCCAD Bài 2: Cho Hình 14 Chứng minh ΔABCABD ∽ ΔABCCEB Bài 3: Cho ΔABCABC nhọn có AB 2 cm , AC 4 cm Trên cạnh AC lấy điểm M cho ABM ACB ( Hình 15) a) Chứng minh ΔABCABM ∽ ΔABCACB b) Tính độ dài AM A D E N D A C M Hình 13 C B Hình 14 B cm A Bài 4: Cho ΔABCABC vng A , có AH đường cao, BD đường phân giác Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh ΔABCABD ∽ ΔABCHBI ( Hình 16) B b) Chứng minh ΔABCADI cân Bài 5: Cho ΔABCABC vng A có đường cao AH , đường phân giác BD cắt AH E ( Hình 17) E M Hình 15 A D I H B H Hình 16 a) Chứng minh ΔABCABD ∽ ΔABCHBE A C cm D Hình 17 C C IH AD b) Chứng minh IA CD c) Tính diện tích ΔABCBCD Bài 5: Cho ΔABCABC vng A có AB 4,5 cm, BC 7,5 cm Kẻ đường cao AH B cắt AC D , cắt AH K ( Hình 26) Tia phân giác góc B a) Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCHBA từ suy AB AH AC BH K b) Tính độ dài đoạn thẳng AH , BH , CH KH DA KA DC c) Chứng minh Bài 6: Cho ΔABCABC vuông A , đường cao AH Đường phân giác ABC cắt AC D cắt AH E ( Hình 27) a) Chứng minh ΔABCABC ∽ ΔABCHBA AB BC BH b) Biết AB 9 cm, BC 15 cm Tính DC , AD A E B B H A C D Hình 28 A D B H E C Hình 29 A a) Chứng minh ΔABCABH ∽ ΔABCACB suy AB AH AC b) Tính AC , BH biết AB 6 cm, BC 8 cm c) Đường phân giác góc CAB cắt BH BC D E Chứng minh DH EC EB DB C H Hình 27 b) Chứng minh BE BH BC c) Tính BC AH SCED d) Tia phân giác ABC cắt AC D Tính S ABC e) Bài 9: Cho ΔABCABC vuông B , đường cao BH D I HB AD AHC cắt AC D Chứng minh HC DC ( Hình 28) Bài 8: Cho ΔABCABC vng A có AB 3 cm, AC 4 cm , đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm E cho AB BE a) Chứng minh ΔABCHBA ∽ ΔABCABC ( Hình 29) C D Hình 26 A c) Gọi I trung điểm ED Chứng minh BIH ACB Bài 7: Cho ΔABCABC vuông A , đường cao AH , tia phân giác H H D B E Hình 30 C Bài 36 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG A LÝ THUYẾT 1) Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vng Định lí Nếu góc nhọn tam giác vng góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với ( Hình 1) B Cụ thể: ΔABCABC ΔABCDEF có: E A D 900 F C ( kí hiệu) ΔABCABC ∽ ΔABCDEF g g A C F D Hình Định lí Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với ( Hình 2) Cụ thể: ΔABCABC ΔABCDEF có: B E AB AC DE DF 2 A D 900 A C ΔABCABC ∽ ΔABCDEF c g c F D Hình Ví dụ 1: Cho ΔABCABC có đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh ΔABCBEA ∽ ΔABCBFH b) Chứng minh ΔABCAEF ∽ ΔABCABC A E F B 2) Trường hợp đồng dạng đặc biệt hai tam giác vng Định lí: H C D Hình Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với B E ΔABCABC Cụ thể: ΔABCDEF có: 10 A D 900 BC AC 2 A D C EF DF Hình ΔABCABC ∽ ΔABCDEF ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Chú ý: Nếu ΔABCABC ∽ ΔABCA ' B ' C ' theo tỉ số k AH , A ' H ' đường cao ΔABCABC AH k ΔABCA ' B ' C ' ΔABCABH ∽ ΔABCA ' B ' H ' theo tỉ số k A ' H ' Ví dụ 2: Một nhà mái lệch AB, CD thiết kế Hình cho CD 6 m, AB 4 m, HA 2 m, AC 1 m Chứng minh ABD CDB F C 1m 4m B A 6m 2m H Hình D