Với ý nghĩa là một môn học nghiên cứu các hệ thống tạo và biến đổi tín hiệu, nội dung cơ sở lý thuyết mạch basic circuits theory chủ yếu đi sâu vào các phương pháp biểu diễn, phân tích,
CÁC KHÁI NIỆM VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MẠCH
KHÁI NIỆM TÍN HIỆU
Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin, ví dụ như điện áp và dòng điện trong các mạch điện có thể đại diện cho tín hiệu tiếng nói, âm nhạc hoặc hình ảnh Về mặt toán học, tín hiệu có thể được mô tả chính xác hoặc gần đúng bằng hàm của các biến độc lập.
Xét về mặt thời gian, mặc dù các tài liệu có sự khác biệt, nhưng trong bài viết này, chúng ta sẽ thống nhất định nghĩa cho một số loại tín hiệu chính.
Hình 1.1 minh họa một số dạng tín hiệu liên tục theo thời gian, bao gồm: Hình 1.1a thể hiện tín hiệu bất kỳ, với tín hiệu tiếng nói là ví dụ điển hình Hình 1.1b mô tả tín hiệu điều hòa, trong khi Hình 1.1c trình bày dãy xung chữ nhật tuần hoàn Cuối cùng, Hình 1.1d thể hiện tín hiệu dạng hàm bước nhảy đơn vị, được ký hiệu là u(t) hoặc 1(t).
Còn hình 1.1e mô tả tín hiệu dạng hàm xung đơn vị, còn gọi hàm delta Hàm này có phân bố Dirac và ký hiệu là δ(t):
Cần lưu ý rằng tín hiệu liên tục về mặt thời gian không nhất thiết phải có các giá trị liên tục Chỉ khi biên độ của tín hiệu này liên tục tại mọi thời điểm, thì nó mới được coi là tín hiệu liên tục thực sự.
Hình 1.1 Một số dạng tín hiệu liên tục theo thời gian
Tín hiệu rời rạc là một hàm toán học trong đó biến thời gian chỉ nhận các giá trị rời rạc Thông thường, tín hiệu rời rạc đơn giản nhất được định nghĩa tại các điểm thời gian cụ thể t = n.Ts, với n là số nguyên.
Hình 1.2a Minh họa tín hiệu rời Hình 1.2b Minh họa tín hiệu số nhị phân
Tín hiệu số là tín hiệu rời rạc với giá trị nằm trong một tập hữu hạn xác định Khi tập giá trị chỉ bao gồm hai giá trị là 0 và 1, tín hiệu đó được gọi là tín hiệu số nhị phân Hình 1.2b minh họa cho ví dụ này.
Lấy mẫu là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục s(t) thành tín hiệu rời rạc s(n) Tín hiệu rời rạc s(n) được gọi là phiên bản được mẫu hóa từ tín hiệu gốc s(t), cho phép xử lý và phân tích tín hiệu một cách hiệu quả hơn.
Quá trình lấy mẫu đều giữa tín hiệu gốc s(t) và tín hiệu s(n) được xác định bởi biểu thức liên quan, trong đó Ts đại diện cho bước lấy mẫu hay chu kỳ lấy mẫu Quá trình này có thể được mô hình hóa thành bộ lấy mẫu, với phần tử hạt nhân là một chuyển mạch hoạt động đóng/ngắt theo chu kỳ Ts.
Hình 1.3 Mô hình hóa quá trình lấy mẫu
Chuyển đổi AD là quá trình số hóa tín hiệu liên tục, chuyển đổi tín hiệu s(t) thành tín hiệu số tương ứng Quá trình này thường diễn ra trong các hệ thống
Ngược lại quá trình chuyển đổi AD là quá trình chuyển đổi DA Đây là quá trình phục hồi tín hiệu liên tục s(t) từ tín hiệu số tương ứng
Xử lý tín hiệu là quá trình biến đổi, phân tích và tổng hợp tín hiệu để cung cấp thông tin cho nhiều mục đích khác nhau Các hệ thống như khuếch đại và chọn lọc tín hiệu, điều chế và giải điều chế, cũng như phân tích, nhận dạng và tổng hợp thông tin, đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực như an ninh-quốc phòng, chẩn đoán bệnh, và dự báo thời tiết hoặc động đất.
Quá trình tạo ra, tiếp thu và xử lý tín hiệu diễn ra phức tạp trong các thiết bị và hệ thống khác nhau Phân tích trực tiếp các thiết bị và hệ thống điện thường gặp nhiều khó khăn Do đó, các hệ thống điện thường được mô phỏng qua một mô hình thay thế để dễ dàng nghiên cứu và hiểu biết.
Mạch điện, từ góc độ hệ thống, được xem như một mô hình toán học chính xác hoặc gần đúng của hệ thống điện, thực hiện các toán tử trên tín hiệu đầu vào để tạo ra phản ứng mong muốn ở đầu ra Mô hình này thường được mô tả bằng một hệ phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các tín hiệu trong hệ thống Trong miền thời gian, hệ thống mạch liên tục được đặc trưng bởi phương trình vi tích phân, trong khi hệ thống mạch rời rạc được mô tả bằng phương trình tượng trưng cho các hiện tượng vật lý Ví dụ, hình 1.4 minh họa một mạch điện liên tục thực hiện toán tử tích phân, với mối quan hệ vào/ra được biểu diễn qua đẳng thức: ura = k ∫ uv dt.
Hình 1.5 minh họa mô hình tương đương của biến áp thường, trong đó bao gồm các thông số quan trọng như điện trở R và điện cảm.
L và M là những thông số đặc trưng cho các tính chất vật lý khác nhau của phần tử này, và hiệu quả của chúng phụ thuộc vào các điều kiện làm việc cụ thể.
Hình 1.5 Một mô hình tương đương của biến áp thường
Cần phân biệt giữa phần tử và thông số trong lĩnh vực điện Phần tử là mô hình vật lý của các linh kiện như dây dẫn, tụ điện, cuộn dây, biến áp, diode, và transistor, trong khi thông số là đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất của phần tử đó Mỗi phần tử có thể có nhiều thông số khác nhau Việc vẽ mạch tương đương của các phần tử thể hiện các tính chất điện thông qua các thông số như điện áp (e), dòng điện (i), điện trở (r), điện dung (C), cảm kháng (L), và các thông số khác Để biểu diễn cách đấu nối, các ký hiệu của thông số được nối tiếp nhau trong mạch nối tiếp, trong khi trong mạch nối song song, các cặp đầu tương ứng được kết nối Sơ đồ mạch điện sử dụng các đoạn liền nét để nối các ký hiệu thông số, đại diện cho các dây nối có tính chất dẫn điện lý tưởng.
CÁC THÔNG SỐ TÁC ĐỘNG VÀ THỤ ĐỘNG CỦA MẠCH
Xét về mặt phản ứng của phần tử khi chịu tác động kích thích, các thông số thụ động
Hình 1.9 Kí hiệu điện trở a Thông số không quán tính (điện trở):
Điện trở (r) là thông số không quán tính, thể hiện tính chất của phần tử khi điện áp và dòng điện tỉ lệ trực tiếp với nhau Nó được ký hiệu theo hai kiểu khác nhau và có đơn vị đo là ôm (Ω), với thứ nguyên là vôn/ampe Ngược lại, thông số g = 1 được gọi là điện dẫn, có đơn vị là Simen (S) và thứ nguyên là 1/Ω.
Dòng điện và điện áp trên phần tử thuần trở luôn trùng pha, dẫn đến năng lượng nhận được luôn dương Điều này đặc trưng cho sự tiêu tán năng lượng dưới dạng nhiệt.
Các thông số quán tính trong mạch gồm có điện dung, điện cảm và hỗ cảm
Điện dung là thông số quan trọng phản ánh tính chất của phần tử khi dòng điện trong nó tỉ lệ với tốc độ biến thiên của điện áp Đơn vị đo điện dung là fara, với thứ nguyên là ampe.giây/vôn.
Trong đó: là điện tích tích luỹ được trên phần tử ở thời điểm t và năng lượng tích luỹ trên C:
Thông số C đại diện cho sự tích lũy năng lượng điện trường mà không gây ra đột biến điện áp trên phần tử, thuộc loại thông số quán tính Đồng thời, điện áp trên phần tử thuần dung chậm pha π/2 so với dòng điện.
Điện cảm (L) là một thông số quan trọng thể hiện tính chất của phần tử khi điện áp tỉ lệ với tốc độ biến thiên của dòng điện Đơn vị đo điện cảm là henry (H), với thứ nguyên vôn x giây/ampe Điện cảm được xác định theo công thức cụ thể, như minh họa trong hình 1.11.
Hình 1.11 Kí hiệu điện cảm và năng lượng tích luỹ trên L:
Thông số L đại diện cho sự tích lũy năng lượng từ trường, không gây ra đột biến dòng điện trên phần tử và thuộc loại thông số quán tính Về mặt thời gian, điện áp trên phần tử thuần cảm nhanh pha so với dòng điện.
Hai cuộn dây ghép hỗ cảm đặt gần nhau sẽ tạo ra điện áp hỗ cảm khi có dòng điện chạy trong chúng, bất kể chúng có được nối điện hay không Cụ thể, dòng điện i1 trong cuộn dây thứ nhất sẽ sinh ra điện áp hỗ cảm trên cuộn dây thứ hai, như minh họa trong hình 1.12.
Ngược lại, dòng điện i2 chạy trong phần tử điện cảm thứ hai sẽ gây ra trên phần tử thứ nhất một điện áp hỗ cảm là:
Do tác dụng đồng thời của các thông số điện cảm và hỗ cảm, mỗi phần tử sẽ có một điện áp tự cảm và một điện áp hỗ cảm tương ứng Tổng hợp các yếu tố này dẫn đến việc hình thành một hệ phương trình.
M = k L1 L2, với k là hệ số ghép có giá trị nhỏ hơn 1 Khi các dòng điện cùng chảy vào hoặc cùng chảy ra khỏi các đầu cùng tên, điện áp hỗ cảm sẽ được lấy dấu.
‘+’, nếu ngược lại lấy dấu ‘-’ Trong các sơ đồ, các đầu cùng tên thường được ký hiệu bằng các dấu *
Cách mắc Thông số điện trở Thông số điện cảm Thông số điện dung
Bảng 1.1 Thông số của các phần tử mắc nối tiếp và song song
1.2.2 Các thông số tác động cuả mạch điện
Thông số tác động, hay còn gọi là thông số tạo nguồn, đặc trưng cho khả năng của phần tử trong việc tự tạo ra hoặc cung cấp năng lượng điện khi bị kích thích bởi các tác nhân không điện bên ngoài Phần tử này được gọi là nguồn điện Các thông số tác động đặc trưng cho nguồn điện có thể bao gồm nhiều yếu tố khác nhau.
Sức điện động của nguồn là một đại lượng vật lý quan trọng, được định nghĩa là điện áp hở mạch của nguồn Đơn vị đo của sức điện động là "vôn" và được ký hiệu là V.
+ Dòng điện nguồn (ing): một đại lượng vật lý có giá trị là dòng điện ngắn mạch của nguồn, đo bằng đơn vị “ampe” và được ký hiệu là A
Sự xác định các thông số tạo nguồn dẫn đến sự phân loại nguồn tác động thành hai loại sau:
+ Nguồn điện áp, bao gồm nguồn áp độc lập & nguồn áp phụ thuộc (tức là nguồn áp có điều khiển)
+ Nguồn dòng điện, bao gồm nguồn dòng độc lập & nguồn dòng phụ thuộc (tức là nguồn dòng có điều khiển)
Nguồn điện lý tưởng không có tổn hao năng lượng, tuy nhiên trong thực tế, cần xem xét đến tổn hao năng lượng do nội trở trong của nguồn (Rng) gây ra.
Trong tài liệu này, qui ước chiều dương sức điện động của nguồn ngược lại với chiều dương dòng điện chạy trong nguồn a Nguồn độc lập
Hình 1.13 Nguồn áp độc lập Hình 1.14 Nguồn áp nối với tải
Bây giờ ta xét điện áp mà nguồn này cung cấp cho mạch ngoài (hình 1.14):
Trong trường hợp nguồn áp lý tưởng với nội trở bằng không, điện áp cung cấp cho mạch ngoài không bị ảnh hưởng bởi tải.
• Nguồn dòng độc lập: ký hiệu nguồn dòng độc lập có hai kiểu như hình 1.15
Hình 1.15 Nguồn dòng độc lập Hình 1.16 Nguồn dòng nối với tải Bây giờ ta xét dòng điện mà nguồn này cung cấp cho mạch ngoài (hình 1.16):
Trong trường hợp nguồn dòng lý tưởng với nội trở bằng vô hạn, dòng điện cung cấp cho mạch ngoài không bị ảnh hưởng bởi tải.
Trong các ứng dụng cụ thể, các nguồn tác động thường được phân loại rõ ràng thành nguồn một chiều, nguồn xoay chiều và nguồn xung Cần lưu ý rằng, ngoại trừ nguồn lý tưởng, nguồn áp có thể chuyển đổi thành nguồn dòng và ngược lại Điều này hoàn toàn có thể được bạn đọc tự minh chứng.
BIỂU DIỄN MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ
Trong phân tích mạch điện, phương pháp sử dụng số phức là một trong những kỹ thuật hiệu quả nhất Do đó, sinh viên cần nắm vững kiến thức toán học liên quan đến số phức trước khi tiếp cận nội dung này.
1.3.1 Cách biểu diễn phức các tác động điều hoà
Theo lý thuyết chuỗi và tích phân Fourier, tín hiệu ngẫu nhiên có biên độ hữu hạn có thể phân tích thành các thành phần dao động điều hòa Do đó, việc phân tích hoạt động của mạch, đặc biệt là mạch tuyến tính, dưới tác động bất kỳ có thể được chuyển thành phân tích phản ứng của mạch trước các tác động điều hòa Dựa trên công thức của Euler: exp(jϕ) = cosϕ + jsinϕ, bất kỳ dao động điều hòa x(t) với biên độ Xm, tần số góc và pha đầu ϕ0 [rad] có thể được biểu diễn dưới dạng phức trong miền tần số, từ đó cho phép xác định biểu thức thời gian của nó.
Phân tích nguồn tác động thành các thành phần điều hòa và biểu diễn chúng dưới dạng phức giúp đơn giản hóa việc tính toán các thông số trong mạch điện Khi các nguồn tác động có cùng tần số, thành phần exp(jωt) không cần thiết phải đưa vào các biểu thức tính toán, lúc này biên độ phức hoàn toàn đặc trưng cho các thành phần dòng và áp trong mạch.
1.3.2 Trở kháng và dẫn nạp
Định luật Ôm tổng quát có thể được biểu diễn dưới dạng phức, trong đó Z là toán tử biến đổi dòng điện phức thành điện áp phức, được gọi là trở kháng của mạch và đo bằng ôm (Ω) Ngược lại, toán tử là đại lượng biến đổi điện áp phức thành dòng điện phức, được gọi là dẫn nạp của mạch và đo bằng Siemen (S) Các đại lượng này được thể hiện dưới dạng phức.
R là điện trở,X là điện kháng,G là điện dẫn và B là điện nạp
Như vậy, từ các biểu thức trên ta có thể rút ra:
Sau đây ta xét trở kháng và dẫn nạp của các phần tử lý tưởng tương ứng với các tham số thụ động:
-Đối với phần tử thuần trở:
-Đối với phần tử thuần dung:
- với phần tử thuần cảm:
Nhờ vào cách biểu diễn phức, chúng ta có thể thay thế phép lấy đạo hàm bằng toán tử nhân p và phép lấy tích phân bằng toán tử nhân 1/p, trong đó p=jω Tổng quát hơn, p là một biến nằm trên mặt phẳng phức, và nội dung này sẽ được trình bày chi tiết trong các chương sau.
-Trở kháng tương đương của nhiều phần tử:
+Trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.24):
+Trường hợp mắc song song (hình 1.25):
1.3.3 Đặc trưng của mạch điện trong miền tần số số (trong miền tần số).
CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MẠCH
Sau khi xây dựng mạch tương đương của hệ thống, việc phân tích được thực hiện dựa trên các định luật cơ bản liên quan đến yếu tố hình học của sơ đồ mạch Những khái niệm hình học này tạo nền tảng cho việc phân tích mạch một cách thuận tiện.
+ Nhánh: là phần mạch gồm các phần tử mắc nối tiếp trong đó có cùng một dòng điện chảy từ một đầu tới đầu còn lại của nhánh
+ Nút: là giao điểm của các nhánh mạch
Cây là một cấu trúc bao gồm nhiều nhánh kết nối qua các nút mà không tạo thành vòng kín Trong một cây cụ thể, nhánh thuộc cây được gọi là nhánh cây, trong khi nhánh không thuộc cây được gọi là nhánh bù cây.
+ Vòng: bao gồm các nhánh và các nút tạo thành một vòng khép kín Vòng cơ bản
Trong lý thuyết mạch điện, một vòng chỉ chứa một nhánh bù cây Nếu mạch điện có Nnh nhánh và Nn nút, thì số nhánh bù cây Nb và số vòng cơ bản Nv được xác định theo công thức liên quan Để làm rõ, chúng ta sẽ xem xét mạch điện trong hình 1.26.
TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN VÀ NHÂN QUẢ CỦA MẠCH ĐIỆN
Một phần tử được coi là tuyến tính khi các thông số của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện Ngược lại, nếu các thông số này phụ thuộc, phần tử đó sẽ là không tuyến tính Một mạch điện được gọi là tuyến tính khi các thông số của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện trong mạch Do đó, để mạch điện được xem là tuyến tính, tất cả các phần tử trong mạch phải là tuyến tính; chỉ cần một phần tử không tuyến tính xuất hiện, mạch đó sẽ không còn được coi là tuyến tính Điều này đặc biệt quan trọng khi xem xét các phần tử thụ động.
Điện trở được coi là phần tử tuyến tính khi đặc tuyến Vôn-Ampe của nó là một đường thẳng, thể hiện mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện Ngược lại, nếu đặc tuyến Vôn-Ampe không phải là đường thẳng mà là một đường cong, điện trở sẽ trở thành phi tuyến, và mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện sẽ được biểu diễn dưới dạng một hàm.
Tụ điện được phân loại thành hai loại chính: tuyến tính và phi tuyến Một tụ điện được gọi là tuyến tính khi có mối quan hệ tỉ lệ giữa điện áp và điện tích Ngược lại, nếu mối quan hệ này không tỉ lệ mà là hàm số phức tạp, tụ điện sẽ được coi là phi tuyến.
* Các tính chất của các phần tử và mạch tuyến tính bao gồm:
+Có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng
+Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử là một đường thẳng
+Phương trình của mạch là phương trình vi phân tuyến tính
+Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch không phát sinh ra các hài mới
* Đối với mạch không tuyến tính, thì các tính chất nói trên không còn đúng nữa:
-Không áp dụng được nguyên lý xếp chồng
-Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử không là đường thẳng
-Phương trình của mạch là phương trình vi phân không tuyến tính
-Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch có thể phát sinh ra các hài mới
Một mạch được coi là bất biến khi các thông số của nó không thay đổi theo thời gian Ngược lại, nếu một trong các thông số bị ảnh hưởng bởi thời gian, mạch đó sẽ là mạch không bất biến Đối với mạch bất biến, giả sử không có năng lượng ban đầu, nếu y(t) là đáp ứng của mạch với tác động x(t), thì y(t-t1) sẽ là đáp ứng tương ứng của mạch với tác động x(t-t1).
Mạch điện được coi là có tính nhân quả khi đáp ứng ra không thể xảy ra trước tác động ở đầu vào, giả thiết không có năng lượng ban đầu Tuy nhiên, tính chất tuyến tính và bất biến của mạch chỉ đúng trong những điều kiện làm việc nhất định; khi các điều kiện này thay đổi, các tính chất đó có thể không còn đúng nữa Do đó, việc phân chia giữa tính tuyến tính và không tuyến tính, cũng như bất biến và không bất biến, chỉ mang tính chất tương đối.
KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TƯƠNG HỖ CỦA MẠCH ĐIỆN
Phần tử tương hỗ là phần tử có tính chất dẫn điện hai chiều, thoả mãn điều
Zlk: trở kháng chung giữa vòng l và vòng k,
Zkl: trở kháng chung giữa vòng k và vòng l,
YMN: dẫn nạp chung giữa nút M và nút N,
YNM: dẫn nạp chung giữa nút N và nút M
Trong mạch tương hỗ, dòng điện trong vòng l, do nguồn trong vòng k sinh ra, bằng dòng điện trong vòng k, khi nguồn đó chuyển sang vòng l Tương tự, dòng điện trong nhánh i, do nguồn E trong nhánh j sinh ra, cũng bằng dòng điện trong nhánh j khi nguồn đó chuyển sang nhánh i Các phần tử và mạch tuyến tính có tính chất tương hỗ, như R, L, C, giúp việc phân tích mạch trở nên dễ dàng hơn Ngược lại, đối với các phần tử và mạch không tương hỗ như đèn điện tử, tranzito, và điốt, việc phân tích trở nên phức tạp hơn và yêu cầu các thông số bổ sung.
CÔNG SUẤT TRONG MẠCH ĐIỆN ĐIỀU HÒA
Xét một đoạn mạch như hình 1.28 Ở chế độ xác lập điều hòa, dòng điện và điện áp trên mạch được biểu diễn dưới dạng:
-công su ấ t t ứ c th ờ i trên đoạn mạch tại thời điểm t là:
Trong khoảng thời gian T = t – t, đoạn mạch nhận được năng lượng tính bằng công thức trong đó U và I là giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện, ϕ là góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện trong mạch.
Công suất tác dụng mang lại ý nghĩa thực tiễn hơn so với công suất tức thì Trong các mạch thụ động, sự lệch pha giữa áp và dòng điện luôn được duy trì trong giới hạn cho phép.
Thực chất P chính là tổng công suất trên các thành phần điện trở của đoạn mạch Đơn vị công suất tác dụng tính bằng W
-Công su ấ t ph ả n kháng trên đoạn mạch này được tính theo công thức:
Trong mạch thụ động, công suất phản kháng (Qr) có thể là dương hoặc âm Khi mạch có tính cảm kháng, điện áp nhanh pha hơn dòng điện, dẫn đến Qr có giá trị dương Ngược lại, nếu mạch có tính dung kháng, điện áp chậm pha hơn dòng điện, khiến Qr có giá trị âm Qr thể hiện công suất luân chuyển giữa nguồn và các thành phần điện kháng trong mạch, được tính bằng hiệu đại số giữa công suất trên các thành phần điện cảm và điện dung Khi Qr bằng không, công suất trên các thành phần điện cảm và điện dung cân bằng, cho thấy mạch chỉ có tính thuần trở Đơn vị đo công suất phản kháng là VAR.
Công suất biểu kiến, hay còn gọi là công suất toàn phần, được tính bằng công thức và có đơn vị đo là VA Đây là một đại lượng mang tính chất hình thức, phản ánh công suất trong mạch khi dòng điện và điện áp được đo riêng biệt mà không xem xét đến sự lệch pha giữa chúng Công suất trong mạch còn có thể được biểu diễn dưới dạng số phức.
Mặc dù Qr không phải là công suất tiêu tán, nhưng thực tế cho thấy dòng điện luân chuyển năng lượng giữa các thành phần điện kháng và nguồn gây ra sự tiêu hao công suất nguồn do nội trở trên các đường dây dài tải điện Để nâng cao hiệu suất truyền tải điện năng và giảm dòng điện trên đường dây, trong kỹ thuật điện, người ta thường áp dụng các biện pháp đặc biệt nhằm cải thiện hệ số công suất.
1.7.2 Điều kiện để công suất trên tải đạt cực đại
Xét một nguồn điều hòa với sức điện động E (giá trị hiệu dụng) và nội trở trong của nguồn được xác định là Z R ng = ng + jX ng Trong trường hợp không chú trọng đến hiệu suất của nguồn, điều kiện cần thiết là trở kháng tải nối với nguồn phải thỏa mãn một số yêu cầu nhất định.
Z t = Z ng * = R ng -jX (1.48) t khi đó công suất trên tải sẽ đạt cực đại và có giá trị bằng:
KỸ THUẬT TÍNH TOÁN TRONG LÝ THUYẾT MẠCH
1.8.1 Kỹ thuật chuẩn hóa qua các giá trị tương đối
Giá trị của các phần tử và thông số trong mạch điện thường nằm trong khoảng rộng và liên quan đến giá trị mũ của 10, gây khó khăn cho tốc độ tính toán Để khắc phục vấn đề này, lý thuyết mạch thường áp dụng một số kỹ thuật tính toán, đặc biệt là việc sử dụng các giá trị chuẩn hóa.
Nguyên tắc cơ bản là chọn các giá trị chuẩn phù hợp để thay thế cho việc tính toán trên các giá trị thực tế, từ đó giảm độ phức tạp trong các biểu thức tính toán Sau khi hoàn tất các phép tính, kết quả sẽ được chuyển đổi về giá trị thực.
= /
Trong mạch điện tuyến tính với các thông số R, L, C và ω, việc lựa chọn bốn giá trị chuẩn là rất quan trọng Bốn giá trị này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, ảnh hưởng đến hiệu suất và tính ổn định của mạch.
Như vậy trong bốn giá trị chuẩn, có hai giá trị được chọn tự do và hai giá trị chuẩn còn lại được suy ra từ hệ thức trên
Để chuẩn hóa các thông số của mạch điện hình 1.29, chúng ta có thể tùy ý chọn hai giá trị chuẩn, ví dụ như Rch = 100Ω và Lch = 4mH Từ đó, chúng ta sẽ có hai giá trị chuẩn còn lại.
Từ hệ đơn vị chuẩn, chúng ta có thể biểu diễn giá trị các phần tử của mạch điện bằng các giá trị đã được chuẩn hoá, tức là các giá trị tương đối Việc tính toán dựa trên các giá trị tương đối này giúp đơn giản hoá quá trình tính toán.
Trong lý thuyết mạch, các đại lượng thường có giá trị rộng và các khâu khuếch đại thường được nối theo kiểu dây chuyền Việc sử dụng đơn vị lôgarit giúp thuận tiện cho việc tính toán và biểu diễn các đặc tuyến Dưới đây là một số đại lượng logarit thường được sử dụng.
Quan hệ giữa dB và Np:
Quan hệ giữa [oct] và [D]:
CÁC THÍ DỤ MINH HỌA
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính điện cảm tương đương của hai phần tử điện cảm L1 và L2 trong hai cấu hình mắc khác nhau: mắc nối tiếp và mắc song song, với giả định rằng giữa chúng tồn tại một hỗ cảm M Việc phân tích này giúp làm rõ cách thức hoạt động của các mạch điện cảm trong các tình huống cụ thể.
Giải: a Trong trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.31): mặt khác: 1 2 td ( 1 2 2 )di td di u u u L L L M L dt dt
= + = = + ± Từ các phương trình trên rút ra: trong đó: Z1=jωL1, Z2=jωL2 là trở kháng của hai phần tử trong cách biểu diễn phức
ZM=jωM là trở kháng hỗ cảm giữa hai phần tử Ztd =jωLtđ là trở kháng tương đương của hai phần tử
Dấu ‘-‘ được lấy khi dòng điện cùng chảy vào hoặc cùng chảy ra khỏi các đầu có ký hiệu
‘*’, nếu ngược lại thì biểu thức lấy dấu ‘+’
Thí dụ 1.2: Tính trở kháng của đoạn mạch hình 1.33, biết R0Ω, XL Ω, XC=5Ω (lấy theo giá trị môđun)
Thí dụ 1.3 : Cho mạch điện hình 1.34, trong đó:
Z 1 5j ; Z 3 3j ; Z= − Ω = + Ω = + Ω 6 6j Điện áp vào có biên độ phức: a Xác định U1(t), i1(t), i2(t) và i3(t) b Tính công suất tác dụng của đoạn mạch
1( ) 3sin( 15 ) ( ) 2sin(2 15 ) ( ) sin(3 15 ) i t = ωt+ i t = ωt+ i t = ωt+ b.Công suất tác dụng
Thí dụ 1.4: Cho mạch điện như hình 1.35, với các số liệu viết dưới dạng phức:
Giải: a Sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số r, Xl, Xc có dạng như hình 1.36, lấy đơn vị là Ω b Ta có:
Biểu thức thời gian của điện áp và dòng điện trong mạch được xác định thông qua sơ đồ tương đương chi tiết với các tham số g, BL, BC Khi dòng điện điều hòa có giá trị hiệu dụng là 5A chạy qua mạch, ta có thể viết biểu thức thời gian của điện áp đặt trên hai đầu mạch điện.
Giải: a Sơ đồ tương đương chi tiết của mạch theo các tham số g, BL, BC có dạng như hình 1.38, (đơn vị là Siemen) b Ta có:
Thí dụ 1.6: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC nối tiếp như hình 1.39
Giải: Trở kháng của mạch:
Mối tương quan giữa các thành phần trở kháng trong mạch được thể hiện trên mặt phẳng phức, như hình 1.40a Hình 1.40b mô tả đặc tính của các thành phần điện kháng theo tần số Khi tần số nhỏ hơn f0, điện kháng XC lớn hơn điện kháng XL, dẫn đến giá trị X âm, cho thấy mạch có tính điện dung và điện áp chậm pha hơn so với dòng điện Ngược lại, khi tần số lớn hơn f0, điện kháng XC sẽ nhỏ hơn điện kháng XL.
XL, khi đó X có giá trị dương, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện
Tại tần số cộng hưởng của mạch 0 1 f 2 π LC
= , cân bằng với XC, thành phần điện kháng
Khi mạch đạt điều kiện triệt tiêu, trở kháng của mạch ở mức tối thiểu và thuần trở, dẫn đến dòng điện đạt cực đại và đồng pha với điện áp Khi tần số thay đổi khỏi giá trị cộng hưởng, điện kháng X tăng, làm tăng trở kháng và giảm dòng điện trong mạch Sự phụ thuộc của biên độ dòng điện vào tần số tạo ra tính chọn lọc tần số của mạch, như được minh họa trong Hình 1.41 với nguồn tác động là nguồn áp lý tưởng.
Dải thông của mạch được xác định bởi các tần số biên f1 và f2, còn gọi là tần số cắt, tại vị trí mà biên độ đặc tuyến giảm 3dB (tương đương 0,7I0) Đại lượng Q phản ánh tính chọn lọc tần số của mạch, hay còn gọi là phẩm chất của mạch tại tần số cộng hưởng Khi giá trị Q tăng, dải thông của mạch trở nên hẹp hơn, đồng nghĩa với việc độ chọn lọc cao hơn.
-Tại tần số cộng hưởng, điện áp trên L và C ngược pha nhau và đều gấp Q lần điện áp tác
Tại tần số cộng hưởng, điện áp tổng U sẽ đạt giá trị cực tiểu, trong khi đó, điện áp tại L và C lại ngược pha nhau, có độ lớn bằng nhau và gấp Q lần điện áp tổng.
Vì vậy người ta nói mạch RLC nối tiếp là mạch cộng hưởng điện áp
Thí dụ 1.7: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC song song như hình 1.42
Giải: Dẫn nạp của mạch:
Mối tương quan giữa các thành phần dẫn nạp của mạch được thể hiện trên mặt phẳng phức, với đặc tính các thành phần điện nạp theo tần số được mô tả trong hình 1.43b Khi tần số nhỏ hơn f0, BL lớn hơn BC, dẫn đến B có giá trị âm, mạch đạt cực đại và đồng pha với dòng điện Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện nạp B của mạch tăng, làm giảm trở kháng và điện áp trên mạch Hình 1.44 minh họa tính chọn lọc tần số của mạch với nguồn tác động là nguồn dòng lý tưởng.
- Phẩm chất của mạch (tại tần số cộng hưởng):
Khi Q tăng thì dải thông càng hẹp, độ chọn lọc của mạch càng cao
Tại tần số cộng hưởng, dòng điện trong các thành phần của mạch đạt giá trị cực đại, với dòng điện trên cuộn cảm (L) và tụ điện (C) có pha ngược nhau, và cả hai đều lớn hơn Q lần so với dòng điện tác động.
Tại tần số cộng hưởng, dòng điện tổng I trong mạch RLC song song đạt mức cực tiểu, nhưng vẫn tồn tại một dòng điện luân chuyển khép kín trong LC với độ lớn gấp Q lần so với dòng điện tổng Do đó, mạch RLC song song được gọi là mạch cộng hưởng dòng điện.
Các đặc tính đầy đủ về điện ở chế độ xác lập điều hòa của các mạch dao động đơn có thể tìm thấy trong phần phụ lục
TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG I
CÁC PH ƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐI ỆN
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH CƠ BẢN
Xét bài toán tổng quát:
Để phân tích mạch điện với Nn nút và Nnh nhánh, cần xác định dòng điện chạy qua từng nhánh Các thông số nguồn được giả thiết dưới dạng hiệu dụng phức
Trong mạch hình 2.2, có tổng cộng 8 biến số tương ứng với 8 dòng điện chạy trong 8 nhánh khác nhau Để giải bài toán này, có một số phương pháp cơ bản có thể áp dụng.
2.2.1 Phương pháp dòng điện nhánh
Áp dụng trực tiếp hai định luật Kirchhoff để thiết lập hệ phương trình trạng thái của mạch, trong đó ẩn số là các dòng điện nhánh Lưu ý rằng sẽ có [N n - 1] phương trình theo định luật thứ nhất.
[ N nh − N n + 1 ] phương trình theo định luật 2 Cụ thể như sau:
Bước đầu tiên trong việc thiết lập mạch là đặt tên cho các nút (A, B, C, D, O) và chọn một nút làm gốc, cụ thể là nút O Cây tương ứng với nút gốc O sẽ bao gồm các nhánh lẻ, trong khi các nhánh chẵn sẽ là các nhánh bù cây.
Bước 2: Tùy ý giả định chiều dòng trong các nhánh, ví dụ như trong 8 nhánh theo hình 2.2b Lưu ý rằng việc chọn chiều dòng chỉ ảnh hưởng đến việc viết phương trình, trong khi dấu của kết quả cuối cùng sẽ cho biết chiều thực tế của dòng trong các nhánh.
Theo định luật 2 cho các vòng đã lập, các phương trình cho các nhánh được thiết lập như sau: Đối với V1: \(Z I_2 \cdot 2 + Z I_3 \cdot 3 - E_1 Z I_1 \cdot 1 = 0\); cho V2: \(Z I_4 \cdot 4 + Z I_5 \cdot 5 + E_5 - Z I_3 \cdot 3 = 0\); cho V3: \(Z I_6 \cdot 6 + Z I_7 \cdot 7 + E_7 - E_5 Z I_5 = 0\); và cho V4: \((Z I_8 \cdot 8 - E_8)(Z I_7 \cdot 7 + E_7) - E_1 Z I_1 \cdot 1 = 0\) Bước tiếp theo là giải hệ phương trình đã thành lập để tính dòng điện trong các nhánh.
Thí dụ 2.1:Tính dòng trong các nhánh của mạch điện như hình 2.3a bằng phương pháp dòng điện nhánh (giả thiết nguồn tác động là một chiều có giá trị 10V)
+Đặt tên các nút là A, O Chọn O làm gốc
+Giả định chiều dương dòng trong các nhánh và thành lập 2 vòng của mạch như hình 2.3b
Thay số liệu của mạch ta được:
Giải hệ ta có : Điều này chức tỏ dòng I 3 thực tế chạy ngược lại
2.2.2 Phương pháp dòng điện vòng
Định luật Kirchhoff cung cấp cơ sở để thiết lập các phương trình cho mạch điện Cụ thể, định luật Kirchhoff 1 cho phép tạo ra [N n - 1] phương trình độc lập, trong khi định luật Kirchhoff 2 hỗ trợ trong việc phân tích dòng điện và điện áp trong mạch.
Các phương trình độc lập được xác định bởi [N nh − N n + 1] cho phép biến đổi mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trong các nhánh Từ đó, các phương trình này được chuyển đổi về dạng có thể giải theo các ẩn số mới, tạo nền tảng cho các phương pháp phân tích mạch điện Điện áp nút và dòng điện vòng là hai khái niệm quan trọng trong quá trình này.
Bước 2: Thành lập hệ gồm [N nh − N n + 1] phương trình cho mạch dựa trên các vòng kín, trong đó ẩn số là các dòng điện vòng giả định, chỉ áp dụng định luật Kirchhoff 2 Để minh họa quy luật thành lập hệ phương trình, chúng ta sẽ xem xét một vòng cụ thể, chẳng hạn vòng thứ tư (IV4) Định luật 2 áp dụng cho vòng bốn, với ẩn số thực (dòng điện nhánh) được diễn đạt như sau:
Chú ý rằng: I 8 =I ; I V4 7 = I V4 −I ; v I V3 à 1 = −( I V1 + I ) V4 Khi đó, phương trình của vòng bốn được viết lại theo các ẩn số mới (là dòng điện vòng giả định) như sau:
Từ quy luật đó, ta viết được hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch như sau :
Bước 3: Giải hệ phương trình dòng điện vòng để xác định giá trị các dòng điện vòng giả định Bước 4: Chuyển đổi kết quả trung gian để tìm dòng điện trong các nhánh cụ thể.
Hệ phương trình dòng điện vòng có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình ma trận, cụ thể là ma trận trở kháng vòng Ma trận vuông này có những đặc điểm riêng biệt.
-Nằm trên đường chéo chính là các trở kháng vòng
-Hai bên đường chéo là trở kháng chung đối xứng nhau qua đường chéo chính
Thídụ 2.2: Tính dòng trong các nhánh của mạch điện trong thí dụ 2.1 bằng phương pháp dòng điện vòng
Giải: Thành lập 2 vòng, tương ứng I V1 và I V2 như hình 2.5 Hệ phương trình được viết thành:
Thay số liệu, ta có:
Trong bài toán mạch điện hình 2.6, chúng ta cần viết hệ phương trình dòng điện vòng mà không tính đến hỗ cảm giữa các cuộn cảm Sau đó, khi tính đến sự ghép hỗ cảm, các giá trị được cho là: R1 = Ω1, R2 = Ω1, XL1 = Ω1, XL2 = Ω2, XM = Ω1, và E1V Các phương trình dòng điện vòng sẽ được xác định khác nhau trong hai trường hợp này Cụ thể, thành phần −jXIMv2 đại diện cho điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv2 chạy trong XL2 gây ra trên XL1, trong khi thành phần −jXIMv1 là điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv1 chạy trong XL1 gây ra trên XL2 Cuối cùng, áp dụng quy tắc Crame, chúng ta có thể tính toán được các giá trị cần thiết.
Để giải bài toán, trước tiên chúng ta cần chuyển đổi nguồn dòng Ing2 thành dạng nguồn áp, cụ thể là E2 = I Rng2 Sau đó, mạch điện sẽ được vẽ lại như hình 2.8 Tiếp theo, chúng ta sẽ lập hệ phương trình cho dòng điện vòng trong mạch mới này.
Theo quy tắc Crame ta có:
Các công thức biến đổi vòng của mạch điện:
Chú ý rằng dòng điện trong R2 của mạch điện ban đầu sẽ được tính theo công thức:
Thí dụ 2.5: Tính dòng các điện nhánh của mạch điện hình 2.9 với các số liệu nguồn dưới dạng hiệu dụng phức:
Giải: Ta sẽ sử dụng phương pháp dòng điện vòng để giải bài toán này:
Giải hệ phương trình này theo phương pháp định thức:
Theo các công thức biến đổi vòng của mạch điện ta tính được các dòng điện hiệu dụng phức:
2.2.3 Phương pháp điện áp nút
PHƯƠNG PHÁP NGUỒN TƯƠNG ĐƯƠNG
Trong một số trường hợp, phân tích mạch chỉ yêu cầu tính toán trên một nhánh hoặc phần cụ thể, không cần thiết phải tính toán toàn bộ dòng và áp của tất cả các nhánh Việc áp dụng các phương pháp truyền thống có thể dẫn đến các phép tính không cần thiết và kết quả thừa Phương pháp nguồn tương đương, dựa trên định lý Thevenin-Norton, giúp giải quyết các bài toán này một cách đơn giản hơn Cụ thể, nó cho phép thay thế mạch tương đương bằng một nguồn áp có sức điện động bằng điện áp hở mạch trên cặp điểm AB, hoặc một nguồn dòng có dòng điện nguồn bằng dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB, với trở kháng trong của nguồn bằng trở kháng tương đương nhìn từ cặp điểm đó.
Định lý Thevenin-Norton cho phép chuyển đổi mạch điện chứa nguồn thành hai sơ đồ tương đương, bao gồm sơ đồ tương đương nguồn áp và sơ đồ tương đương nguồn dòng Theo nguyên tắc ngắn mạch các nguồn sức điện động và hở mạch các nguồn dòng, nếu phần mạch chỉ chứa các phần tử tuyến tính, nguồn tương đương cũng sẽ là nguồn tuyến tính Điều này có thể suy ra từ việc mở rộng định nghĩa của nguồn điện, như được mô tả trong hình 2.17.
Thevenine), và sơ đồ tương đương nguồn dòng (còn gọi là sơ đồ Norton)
NortonHình 2.17: Minh họa định lý Thevenine-Norton
Giải: Ta thấy ở đây chỉ tính dòng chạy qua một nhánh, do đó để đơn giản hãy áp dụng phương pháp nguồn tương đương
-Trước hết cắt bỏ Z3, phần mạch còn lại chính là phần mạch có chứa nguồn như hình 2.18b -Xác định điện áp hở mạch trên cặp điểm AB:
Hình 2.18 b -Xác định Z t AB đ nhìn từ cặp điểm AB, ngắn mạch nguồn sđđ E & E 1 5 như hình 2.18c:
-Từ đó suy ra được dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB là:
Sơ đồ tương đương Thevenine và Norton có dạng như hình 2.18d
Rõ ràng việc tính dòng trên Z3 lúc này trở nên đơn giản hơn nhiều:
Thí dụ 2.13: Cho mạch điện hình 2.19a, với các số liệu:
R =R = 10 ; RΩ = R 20 ; I= Ω = 3A; E 30V.= Hãy tính dòng điện iR2 bằng nguyên lý nguồn tương đương
Biến đổi tương đương thành sơ đồ Thevenine hoặc Norton:
- Tính điện áp hở mạch tại cặp điểm AB như hình 2.19b
- Tính dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB như hình 2.19c, ta có:
- Tính điện trở tương đương nhìn tại cặp điểm AB như hình 2.19d, ta được: Rtd Ω
- Tổng hợp, sơ đồ tương đương Thevenine và Norton có dạng như hình 2.19e:
Hình 2.19e Vậy ta tính được: I = 0.5A (A sang B) R 2
Thí dụ 2.14: Cho mạch điện hình 2.20, hãy tính dòng I0 bằng phương pháp nguồn tương đương
-Ngắt R 0 và X 0 ra khỏi mạch Để tính U hmAB , thì trước hết ta tính dòng điện vòng I v chạy trong mạch theo công thức:
Để tính Z t AB đ, sau khi ngắn mạch hai nguồn sđđ, ta xem xét cặp điểm AB, từ đó có thể vẽ lại sơ đồ hình 2.21a thành hình 2.21b.
Hình 2.21b theo kết quả của thí dụ đã xét trong chương I, áp dụng trong trường hợp cụ thể này ta có:
Như vậy theo sơ đồ tương đương Thevenine ở hình 2.21c ta tính được kết quả cuối cùng:
Thí dụ 2.15 Cho mạch điện như hình 2.22 Hãy xác định các thông số của mạch
Ngắn mạch nguồn E, nhìn từ cặp điểm AB ta xác định được nội trở của nguồn tương đương:
PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG NGUYÊN LÝ XẾP CHỒNG
Trong chương I, chúng ta đã thảo luận về khái niệm phần tử tuyến tính và mạch tuyến tính Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của mạch tuyến tính là khả năng áp dụng nguyên lý xếp chồng để phân tích các đáp ứng và quá trình năng lượng trong hệ thống.
Nội dung nguyên lý xếp chồng
Trong hệ thống tuyến tính, đáp ứng y_i tương ứng với tác động x_i có thể được biểu diễn bằng công thức a.y_1 + b.y_2 = y, với y là đáp ứng tương ứng của tác động a.x_1 + b.x_2 Khi đó, các nguồn không hoạt động sẽ trở thành ngắn mạch nếu là nguồn sức điện động và hở mạch nếu là nguồn dòng.
Nguyên lý xếp chồng áp dụng cho dòng điện nhánh, dòng điện vòng và điện áp tại nút Bài viết sẽ trình bày nguyên lý này thông qua các thí dụ minh họa cụ thể.
Thí dụ 2.16: Cho mạch điện tuyến tính như hình 2.23a, hãy tính dòng điện chạy qua
Z3bằng cách áp dụng nguyên lý xếp chồng
Giải: Nếu nguồn E1 gây nên trong Z3 một dòng điện I 3E1 nguồn E5 gây nên trong Z3 một dòng điện I3E5 thì dòng tổng qua Z3 sẽ là sự xếp chồng của I 3E1 và I 3E5
-Để tính dòngI 3E1 trước hết ta ngắn mạch nguồn E5, khi đó mạch trở thành như hình 2.23b: và ta có:
Như vậy nếu tính đến chiều dòng điện ta sẽ có:
Cho mạch điện như hình 2.24a với các số liệu:
R = R = Ω 4 ; R =R = Ω 2 E 6V = (nguồn một chiều) I ng4 = 3A (nguồn một chiều) Hãy tính dòng điện IR3
Sau một vài phép tính đơn giản, ta có dòng điện trên R3 là I3.1 =0,5A (chiều từ A sang B)
- Khi Ing4 tác động, E1 bị ngắn mạch, lúc này mạch có dạng như hình 2.24c Ta cũng dễ dàng tìm được dòng điện trên R 3 là I 1A 3.2 = (chiều từ B sang A)
- Vậy khi cả hai nguồn đồng thời tác động, ta có dòng điện tổng hợp trên R3 là:
TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG II
• Phương pháp dòng điện nhánh, dòng điện vòng và điện áp nút là các phương pháp cơ bản để phân tích mạch
Phương pháp dòng điện nhánh áp dụng cả hai định luật Kirchhoff, với ẩn số là các dòng điện nhánh Số lượng phương trình trong mạch tương ứng với số nhánh của mạch Tuy nhiên, phương pháp này trở nên không thuận lợi khi số nhánh trong mạch gia tăng.
• Để giảm số phương trình của mạch, có thể sử dụng các phương pháp khác bằng cách đưa vào các ẩn số trung gian:
- Nếu ẩn trung gian là các dòng điện giả định chạy trong các vòng kín, thì hệ gồm nh n
N −N +1 phương trình Cơ sở là định luật kirchhof 2 Phương pháp này không thuận lợi đối với mạch có chứa nguồn dòng
Nếu ẩn trung gian là điện áp tại các nút, hệ phương trình sẽ có Nn-1 phương trình, dựa trên định luật Kirchhoff 1 Tuy nhiên, phương pháp này không hiệu quả cho các mạch có ghép hỗ cảm.
Phương pháp biến đổi tương đương mạch điện, chẳng hạn như phương pháp nguồn tương đương, cho phép chuyển đổi mạch điện phức tạp thành cấu trúc cơ bản hơn Tuy nhiên, phương pháp này không phù hợp trong một số trường hợp ghép hỗ cảm.
Việc áp dụng nguyên lý xếp chồng trong phân tích mạch tuyến tính chịu tác động phức tạp giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.
Việc lựa chọn phương pháp phân tích phù hợp để đạt hiệu quả tối ưu phụ thuộc vào từng mạch và yêu cầu cụ thể của bài toán.
• Có những bài toán, nếu cần thiết, có thể phải vận dụng nhiều phương pháp để đạt được kết quả nhanh nhất.
HI ỆN TƯỢNG QUÁ ĐỘ TRONG CÁC MẠCH RLC
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Việc phân tích mạch điện trong miền thời gian thường gặp khó khăn do tính toán các phương trình vi phân và tích phân Tuy nhiên, nhờ vào cách biểu diễn trong miền tần số ω, bắt nguồn từ cặp biến đổi Fourier, chúng ta có thể thay thế các phép tích phân và vi phân bằng các phép toán đại số đơn giản hơn.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp toán tử hóa mạch điện thông qua biến đổi Laplace, mở rộng khái niệm đã được thực hiện với biến đổi Fourier Nội dung sẽ được trình bày một cách ngắn gọn và rõ ràng.
3.1.1 Biến đổi Laplace thuận trong đó p là một đại lượng phức được định nghĩa: p= σ+jω và nó được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 3.1
Như vậy F(p) là một hàm phức của biến phức p Có nghĩa là với mỗi giá trị phức j j j p = σ + j ω ta sẽ có F p( ) j = aj+jb j tổng quát cũng là một số phức
Biến đổi Laplace một phía của f(t) được định nghĩa với F(p) phụ thuộc vào giá trị của f(t) khi t≥0, bắt đầu từ lân cận trái 0 Khác với biến đổi hai phía, biến đổi Laplace một phía cho phép tổ hợp rõ ràng các giá trị đầu của f(t) và các đạo hàm của nó trong miền p, điều này làm cho nó trở nên đặc biệt hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân có điều kiện đầu Do đó, tài liệu này chỉ tập trung vào Biến đổi Laplace một phía.
Mặc dù ảnh F(p) của hàm gốc x(t) chỉ được định nghĩa trong vùng hội tụ của biến phức p, trong hầu hết các ứng dụng, không cần phải xem xét vùng hội tụ này Do đó, trừ trường hợp đặc biệt, vùng hội tụ của các biến đổi Laplace sẽ không được đề cập trong tài liệu này Biến đổi Laplace được coi là sự tổng quát hóa của biến đổi Fourier; nhiều hàm có biến đổi Laplace nhưng không có biến đổi Fourier Tuy nhiên, có thể tính toán trực tiếp biến đổi Fourier từ biến đổi Laplace bằng cách thay thế p = jω.
3.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace có nhiều tính chất tương tự như biến đổi Fourier, với một số điểm khác biệt Dưới đây là mô tả các tính chất chính của biến đổi Laplace.
LT =e − X p chú ý rằng không có kết quả cho trường hợp dịch trái trong miền thời gian
+Thay đổi thang tỉ lệ trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số thực dương a, ta có:
+Nhân với hàm mũ: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số a thực hoặc phức bất kỳ, ta có:
+Nhân với hàm điều hòa: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số thực ω bất kỳ, ta có:
+Vi phân trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có:
+Tích phân trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có:
+Giá trị đầu: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có:
Giá trị cuối là bảng biến đổi Laplace của các hàm thông dụng, trong đó việc sử dụng hàm bước nhảy đơn vị u(t) nhằm loại bỏ phần tín hiệu ứng với t m) Điểm không của F(p) là các nghiệm pi của đa thức H1(p), tại đó F(pi)=0 Ngược lại, điểm cực của hàm mạch là các nghiệm pk của đa thức H2(p), nơi F(pk)=∞ Các giá trị pi và pk có thể là nghiệm đơn, nghiệm bội, nghiệm thực hoặc các cặp nghiệm phức liên hợp, và sẽ trở nên phức tạp hơn khi có sự kết hợp của nhiều loại nghiệm.
3.1.4.3 Phương pháp Heaviside Ý tưởng của Heaviside là xuất phát từ hàm mạch F(p) có dạng phân thức hữu tỷ, để tìm ra hàm gốc f(t) trước hết phải phân tích F(p) thành những phân thức tối giản Sau đó dựa vào bảng các hàm gốc - ảnh cơ bản đã biết để xác định các hàm gốc thành phần, sau đó sử dụng tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace để tổng hợp Để phân tích thành các phân thức tối giản, ta sẽ phải xét tới các điểm cực pk là nghiệm của H2(p) Sau đây là một số trường hợp thường gặp: a Trường hợp H2(p) chỉ có các nghiệm đơn:
Viết lại H2(p) dưới dạng tích: H2(p)=(p-p1)(p-p2) (p-pn)
Khi đó có thể khai triển:
Theo hàm gốc - ảnh (trường hợp số 6):
Khi F(p) chỉ có các nghiệm đơn, để chứng minh Ak có dạng (3.19), ta nhân cả hai vế của (3.19) với (p-pk) Khi p tiến đến pk, vế phải của biểu thức chỉ còn lại Ak, dẫn đến giới hạn có dạng nhất định Áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta có thể khẳng định rằng công thức đã được chứng minh.
Thí dụ 3.1: Tìm hàm gốc khi biết
Như vậy H2(p) có 3 nghiệm đơn p1= 0, p2= -1, p3= -3 Do đó:
Giải: Trước hết ta xử lý đưa mẫu số về dạng chuẩn với các hệ số bằng 1 và đặt hàm mạch:
Nghiệm của H2(p) là các nghiệm đơn nằm bên trái mặt phẳng phức:p = 0, p = - 2, p = - 3, p = - 4 1 2 3 4
Từ công thức Heaviside cho trường hợp nghiệm đơn ta có:
Thay số ta được: b Trường hợp H2(p) có cặp nghiệm phức liên hợp: khi đó H2(p) có thể viết dưới dạng:
Coi như trường hợp hai nghiệm đơn, ta có:
Giải: Đặt hàm mạch có dạng: có nghiệm phức liên hợp:
Vậy : c.Trường hợp H2(p) có nghiệm bội pl (bội r):
H2(p) có thể viết dưới dạng: H2(p)=(p-pl) r
Lúc đó F(p) có thể khai triển dưới dạng:
Nếu pl là số thực, từ bảng hàm gốc - ảnh ta suy ra được:
Cách xác định Ak : Nhân cả hai vế của (3.24) với (p p− l ) r khi đó:
Tổng quát hoá ta có:
Thí dụ 3.4: Tính u(t) nếu biết ảnh của nó là
Giải: H2(p) = p2 có nghiệm p1=0 (bội r = 2), do đó có thể triển khai: suy ra trong đó
-Chú ý: Trong trường hợp H2(p) có nhiều loại nghiệm thì hàm gốc cần tìm chính là sự xếp chồng của các hàm gốc thành phần
Thí dụ 3.5: Tính hàm gốc nếu biết ảnh của nó:
Trong đó các hệ số được tính theo biểu thức:
Thí dụ 3.6: Tính i(t) nếu biết ảnh của nó:
Thí dụ 3.7: Tính f(t) nếu biết ảnh của nó:
Thí dụ 3.8: Tính i(t) nếu biết ảnh của nó là: trong đó:
3.1.5 Mối quan hệ giữa vị trí các điểm cực và tính xác lập của hàm gốc
Giới hạn khi t→∞ của f(t) có thể xác định từ vị trí các điểm cực của F(p) trên mặt phẳng phức, như minh họa trong hình 3.2 Để f(t) không tiến tới vô hạn khi t→∞, điều kiện cần là các điểm cực phải nằm bên nửa trái của mặt phẳng phức, và tối đa là trên trục ảo.
Hàm gốc f(t) sẽ hội tụ về 0 khi t→∞ khi và chỉ khi mọi điểm cực nằm trên nửa trái mặt phẳng phức, tức là Re[pk]0 sẽ tạo ra điện áp đầu ra tương ứng.
Nếu U 1 = 0 thì U ra =AU 2 nghĩa là điện áp ra đồng pha với điện áp vào, do đó đầu vào (+) được gọi là đầu vào không đảo pha (P)
Nếu U 0 2 = thì U A.U ra = − 1 nghĩa là điện áp ra ngược pha với điện áp vào, do đó đầu vào (-) được gọi là đầu vào đảo pha (N)
Mạch khuếch đại thuật toán lý tưởng có hệ số khuếch đại A bằng ∞, với dòng điện ở đầu vào bằng không, trở kháng vào là ∞ và trở kháng ra bằng không Tuy nhiên, trong thực tế, hệ số khuếch đại của mạch là một số hữu hạn và phụ thuộc vào tần số Mô hình của mạch thực tế được mô tả trong hình 5-40, với đặc tuyến tần số của A có dạng gần đúng Để đảm bảo mạch hoạt động trong miền tuyến tính, cần điều chỉnh mức điện áp vào (ΔU) để điện áp ra không vượt quá ngưỡng bão hòa dương VH hoặc bão hòa âm.
VL Điều này có thể thực hiện được nhờ các vòng hồi tiếp âm trong mạch
Thí dụ 5-9: Hãy xét chức năng của mạch điện hình 5-41a
Nếu coi KĐTT là lý tưởng và làm việc trong miền tuyến tính thì ta có: và khi đó điểm N được gọi là điểm đất ảo
Từ đó ta rút ra:
-Nếu Z1, Z2 là thuần trở thì chức năng của mạch là khuếch đại đảo pha
-Nếu thay Z1 là thuần trở, Z2 là thuần dung khi đó hàm truyền đạt của mạch:
Nghĩa là mạch trên thực hiện chức năng của mạch tích phân Trong miền tần số mạch đóng vai trò là bộ lọc thông thấp tích cực bậc 1
Thí dụ 5-10: Hãy xác định hàm truyền đạt điện áp của mạch điện hình 5-41b, coi KĐTT là lý tưởng và làm việc trong miền tuyến tính
Dòng điện chạy trong nhánh hồi tiếp:
Hàm truyền đạt của mạch là:
Việc thay đổi tính chất của nhánh hồi tiếp cho phép mạch thực hiện nhiều thuật toán ứng dụng khác nhau, minh chứng cho tính đa năng của linh kiện này Để hiểu rõ hơn về các ứng dụng của mạch khuếch đại thuật toán và transistor, cũng như các thông số của mạch tương đương trong từng cách mắc, học sinh nên tham khảo thêm các giáo trình và tài liệu liên quan trong các học phần tiếp theo.
MẠNG BỐN CỰC CÓ PHẢN HỒI
Mạng bốn cực có phản hồi là cấu trúc phổ biến trong các hệ thống mạch, trong đó một phần tín hiệu ra được đưa trở lại để điều khiển đầu vào Mô hình tổng quát của mạng bốn cực có phản hồi được minh họa trong hình vẽ 5-42.
Giả thiết: M4C ban đầu có hệ số truyền đạt hở:
Khâu phản hồi có hệ số hồi tiếp:
Như vậy, hệ thống kín (có phản hồi) sẽ có hệ số truyền đạt mới:
Trong trường hợp hồi tiếp âm (tín hiệu hồi tiếp làm suy yếu tín hiệu vào), khi đó
1−Kuururβ >1, trị số hàm truyền đạt của hệ kín sẽ nhỏ hơn so với hệ hở
Trong trường hợp hồi tiếp dương (tín hiệu hồi tiếp làm tăng cường tín hiệu vào), khi đó
1−Kuururβ >1, khi đó trị số hàm truyền đạt của hệ kín sẽ chỉ phụ thuộc vào khâu hồi tiếp
Hồi tiếp nối tiếp dòng điện là tín hiệu phản hồi liên tục với tín hiệu đầu vào và tỷ lệ với dòng điện đầu ra Mô hình của loại hồi tiếp này được thể hiện qua hình 5.43b.
Hồi tiếp song song điện áp là tín hiệu hồi tiếp đồng thời với tín hiệu đầu vào và có tỉ lệ tương ứng với điện áp đầu ra Mô hình này được thể hiện trong hình 5.43c.
Hồi tiếp song song dòng điện là một quá trình trong đó tín hiệu hồi tiếp xảy ra đồng thời với tín hiệu vào và tỷ lệ của nó phụ thuộc vào dòng điện đầu ra Mô hình minh họa cho khái niệm này được thể hiện trong hình 5.43d.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT MẠNG BỐN CỰC
Nội dung chính của phần này tập trung vào các ứng dụng của mạng bốn cực, đặc biệt là các ứng dụng của mạng bốn cực thụ động và tương hỗ.
5.4.1 Mạng bốn cực suy giảm
Mạng bốn cực suy giảm là các mạch chia điện áp chính xác, giữ nguyên nội trở Ri của nguồn Để đảm bảo hiệu quả, mạch suy giảm cần đáp ứng các yêu cầu cụ thể.
-Mạch suy giảm phải là bốn cực đối xứng với trở kháng đặc tính bằng điện trở trong của a Sơ đồ hình T (hình 5-44a): b Sơ đồ hình π (hình 5-44b):
Thí dụ 5-11: Hãy tính mạch suy giảm làm việc với nguồn có điện trở trong là
Ri `0 ,Ω suy giảm đặc tính là 2,75 Nêpe
Giải: Theo các điều kiện của bài toán:
Vậy các phần tử của mạch suy giảm theo sơ đồ hình T là:
Tương tự bạn có thể tính các phần tử của mạch suy giảm theo sơ đồ hình π
5.4.2 Mạng bốn cực phối hợp trở kháng
Khác với bốn cực suy giảm, bốn cực phối hợp trở kháng có nhiệm vụ kết hợp với nguồn để điều chỉnh nội trở trong (Ri1) thành giá trị mới (Ri2) hoặc biến đổi trở kháng tải thành trở kháng nguồn Điều này cho phép tối ưu hóa hiệu suất của hệ thống Hai sơ đồ chính của bốn cực phối hợp trở kháng là sơ đồ hình T và sơ đồ hình π, mỗi sơ đồ có những đặc điểm riêng biệt, giúp người dùng dễ dàng hiểu và áp dụng trong thực tiễn.
Để tính mạch phối hợp trở kháng giữa nguồn có điện trở trong 5000Ω và tải 75Ω, cần lưu ý rằng điện áp ra chậm pha hơn điện áp vào 45 độ Việc xác định trở kháng tổng hợp sẽ giúp tối ưu hóa hiệu suất hoạt động của mạch.
Giải: Theo các điều kiện của bài toán ta có:
Vậy các phần tử của mạch phối hợp trở kháng theo sơ đồ hình T là:
Bạn có thể tính toán các phần tử của mạch phối hợp theo sơ đồ hình π, trong đó một số khoảng tần số nhất định (dải thông) được cho phép đi qua, trong khi các dao động có tần số nằm trong các khoảng còn lại (dải chắn) sẽ bị chặn Mạch lọc tần số lý tưởng có cấu trúc là một bốn cực với đặc tính suy giảm đáp ứng các yêu cầu nhất định.
0 trong dai thong ( ) (5-107) trong dai chan a ω = ⎨ ⎧
⎩∞ Hay nói một cách khác, hệ số truyền đạt điện áp của mạch lọc tần số thoả mãn:
Đặc tính tần số K(ω) của mạch lọc lý tưởng được thể hiện trong hình 5-46 Đối với mạch lọc thụ động, tính chất chọn lọc lý tưởng chỉ đạt được khi các phần tử cấu thành mạch là thuần kháng và tải phối hợp trong dải thông là thuần trở Chúng ta sẽ xem xét các mạch lọc có sơ đồ hình cái thang như hình 5-47a, vì cấu trúc này giúp mạch lọc hoạt động ổn định và được ứng dụng rộng rãi trong thực tế Để phân tích một mạch lọc phức tạp, thường áp dụng phương pháp cắt thành các đoạn nhỏ đơn giản theo các sơ đồ hình T, hình π, hình Γ thuận hoặc hình Γ ngược (hình 5-47b) kết nối với nhau theo kiểu dây chuyền.
Để xác định điều kiện về dải thông của mạch lọc với cấu trúc các phần tử tạo thành Z, Z a b đã cho, cần chú ý đến các yếu tố trong dải thông Trong dải thông này, các yếu tố quan trọng cần đảm bảo sẽ được xem xét.
⎧ ⎨ =⎩ Rút ra hai điều kiện trong dải thông:
Thứ nhất: Các phần tử Z , Z a b là thuần kháng
Thứ hai: Z T( )và Z T d ( ) phải thuần trở và điều kiện này sẽ tương đương với: Đây là điều kiện dải thông của mạch lọc có kết cấu hình cái thang
Tại tần số ωc của mạch lọc, ta sẽ có: c M ạ ch l ọ c lo ạ i k
Mạch lọc loại k là loại mạch lọc thuần kháng nói trên có các phần tử thoả mãn điều kiện:
Hình 5-48 mô tả một mắt lọc hình T và hình π của mạch lọc thông thấp
Tần số cắt của mạch lọc được xác định theo công thức:
Hình 5-49 mô tả mắt lọc hình T và hình π của mạch lọc
Tần số cắt của mạch lọc được xác định theo công thức:
Hình 5-50 mô tả sơ đồ mạch lọc
Tần số cắt của mạch lọc được xác định theo công thức:
Dải thông của mạch lọc thông dải: ω c 1 ≤ ≤ω ω c 2
Và ta có quan hệ sau:
Tương tự để thoả mãn điều kiện của mạch lọc loại k, cần có thêm điều kiện:
Tần số cắt của mạch lọc được xác định theo công thức:
Dải thông của mạch lọc thông dải có hai khoảng:ω ω ω ω≤ c 1 ; ≥ c 2
Và ta cũng có quan hệ: e Tính ch ấ t c ủ a m ạ ch l ọ c lo ạ i k
Ta sẽ xét trở kháng đặc tính và truyền đạt đặc tính của từng loại mạch lọc
-Trong dải chắn ( ) : Z Tω > ωc đ ( ) mang tính điện cảm
-Trong dải thông( ) : Z (T)ω < ω c đ mang tính điện trở và được tính theo công thức:
Sự phụ thuộc của Z T đ ( ) theo tần số được biểu thị trong hình 5-52 b
* Xét trở kháng đặc tính của mắt lọc hình π (hình 5-53a):
-Trong dải chắn ( ) : Z ( ) ω > ω c đ π mang tính điện dung
-Trong dải thông( ) : Z (ω < ω c đ π) mang tính điện trở và được tính theo công thức:
Sự phụ thuộc của Z ( ) đ π theo tần số được biểu thị trong hình 5-53 b
* Bây giờ ta xét sang truyền đạt đặc tính:
-Trong dải thông ( ) :ω < ω c suy giảm đặc tính a =0, khi đó:
Trong dải chắn, khi tần số ω lớn hơn tần số cắt ωc, điện áp tại cửa ra giảm đáng kể, cho phép bỏ qua sự dịch pha với điện áp vào Theo quy ước, giá trị b được giữ nguyên tại ωc, dẫn đến thời gian trễ tgb bằng 0 và thời gian hồi thg bằng tha.
Hình 5-54 biểu diễn sự phụ thuộc của a và b theo tần số trong các dải khác nhau
-Trong dải chắn ( ) : Z (T)ω < ω c đ mang tính điện dung
-Trong dải thông ( ) : Z Tω > ωc đ ( ) mang tính điện trở và được tính theo công thức:
Sự phụ thuộc của Z T đ ( ) theo tần số được biểu thị trong hình 5-55 b
* Xét trở kháng đặc tính của mắt lọc hình π (hình 5-56a):
Sự phụ thuộc của Z ( ) đ π theo tần số được biểu thị trong hình 5-56 b
* Bây giờ ta xét sang truyền đạt đặc tính:
-Trong dải thông ( ) : ω > ω c suy giảm đặc tính a =0, khi đó:
-Trong dải chắn ( ) :ω < ω c người ta cũng quy ước b giữ nguyên giá trị của nó tại ω c , sao cho sang dải chắn tgb =0 và thg = tha Khi đó:
Hình 5-57 biểu diễn sự phụ thuộc của a và b theo tần số trong các dải khác nhau
Xét mắt lọc hình T và hình π của mạch lọc thông dải (hình 5-58):
Do tính toán phức tạp, bài viết này không thực hiện tính toán trực tiếp mà dựa vào tính chất tương đương của các mạch lọc thông thấp và thông cao ở các đoạn tần số khác nhau.
-Trên đoạnω > ω 0 : nhánh Z a mang tính điện cảm, còn Z b mang tính chất điện dung, do đó mạch lọc thông dải sẽ tương đương như một mạch lọc thông thấp
Xét mắt lọc hình T và hình π của mạch lọc chắn dải (hình 5-60):
Mạch lọc chắn dải tương tự như mạch lọc thông dải, vì nó có tính chất tương đương với các mạch lọc thông thấp và thông cao ở các đoạn tần số khác nhau.
Hình vẽ 5-61 biểu diễn sự phụ thuộc của các thông số đặc tính của mạch lọc chắn dải theo các dải tần số khác nhau
Bộ lọc loại K có các thông số đặc tính được xác định dựa trên điều kiện phối hợp trở kháng ở cả hai cửa, nhưng việc thực hiện điều kiện này rất khó khăn Thông thường, trở kháng tải và nội kháng của nguồn có giá trị thuần trở cố định, hoặc nếu có phụ thuộc tần số thì cũng theo quy luật riêng Mặc dù trở kháng đặc tính của mạch lọc loại K có tính chất thuần trở trong dải thông, nhưng nó vẫn bị ảnh hưởng nhiều bởi tần số Do đó, nhược điểm của bộ lọc loại K là trở kháng đặc tính và sự truyền đạt tín hiệu bị tác động đáng kể bởi tần số.
Thí dụ 5-13: Tính các phần tử của mạch lọc thông thấp loại k có dải thông từ 0 đến
1000Hz, trở kháng đặc tính ở đầu dải thông là 600Ω Vẽ khâu T và π của mạch lọc
Để xây dựng bộ lọc m, các phương pháp chuyển từ bộ lọc loại k được áp dụng.
- Chuy ể n n ố i ti ế p: Bao gồm các bước như sau:
+Chọn khâu cơ bản hình T và tính toán dựa vào trở kháng của nhánh
+Giữ lại một phần trên nhánh nối tiếp, sao cho trở kháng của nó trở thành:
+Chuyển một phần của Z a xuống nhánh song song sao cho tạo thànhZ ' b
+Xác định Z ' b dựa vào điều kiện cân bằng các trở kháng đặc tính của các khâu loại k và loại m:
Bây giờ ta tính Z ' b , điều kiện trên được viết thành:
Khâu lọc m nối tiếp được xây dựng với cấu trúc hình T, như mô tả trong Hình 5-63, thể hiện quá trình chuyển đổi nối tiếp.
Bao gồm các bước như sau:
+Chọn khâu cơ bản hình π và tính toán dựa vào dẫn nạp của nhánh
+Xác định Y ' a dựa vào điều kiện cân bằng các trở kháng đặc tính của các khâu loại K và loại M:
Bây giờ ta tính Y ' a , điều kiện trên được viết thành:
Trong phần trước, chúng ta đã phân tích cách xây dựng mạch lọc loại M từ mạch lọc loại K, với lưu ý rằng điều kiện cân bằng trở kháng của các khâu loại K và M giúp hai loại mạch lọc có cùng dải thông Tuy nhiên, điều này chưa thể hiện rõ sự cải tiến của mạch lọc loại M so với loại K Do đó, chúng ta sẽ xem xét các thông số đặc tính của mạch lọc M từ một góc độ khác, bắt đầu với trở kháng đặc tính của mắt lọc hình π trong cách chuyển nối tiếp Nếu chú ý đến điều kiện cân bằng trở kháng, chúng ta sẽ có những nhận định quan trọng.