Đang tải... (xem toàn văn)
Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 xác địnhnăng lực mô hình hóa là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêucầu: thiết lập được mơ hình tốn học để mơ tả tình
MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang Lí chọn đề tài phạm vi đối tượng nghiên cứu Mục tiêu phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lí luận 2 3 1.1 Khái niệm mơ hình hóa tốn học 1.2 Quy trình mơ hình hóa dạy học Tốn 1.3 Năng lực mơ hình hóa toán học Thực trạng vấn đề 2.1 Bài tốn mơ hình hóa chương trình mơn Tốn Việt Nam 2.2 Thực trạng toán thực tiễn phần hình học khơng gian chương trình sách giáo khoa phổ thông đề thi Giải pháp tổ chức thực 3.1 Hệ thống kiến thức cần thiết hình học khơng gian sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12 11 3.2 Tìm hiểu quan hệ giải tốn hình học khơng gian phát triển lực mơ hình hóa 13 3.3 Các bước thiết lập mơ hình hóa tốn hình học khơng gian 13 3.4 Một số ví dụ minh họa việc vận dụng bước thiết lập mơ hình hóa tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tiễn để phát triển lực mơ hình hóa cho học sinh 15 Thực nghiệm sư phạm 4.1 Mục đích nội dung thực nghiệm sư phạm 51 4.2 Tổ chức thực nghiệm đánh giá kết thực nghiệm sư phạm 53 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận 56 Một số kiến nghị 57 Tài liệu tham khảo 58 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, cơng nghệ, sản xuất đời sống Tốn học có vai trị đặc biệt thiết yếu ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày đại văn minh Vậy nên, việc rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn điều cần thiết phát triển xã hội, phù hợp với mục tiêu giáo dục Toán học Việc thực đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo, địi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang định hướng tiếp cận lực người học Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) xác định lực mơ hình hóa yếu tố cốt lõi lực toán học với yêu cầu: thiết lập mơ hình tốn học để mơ tả tình huống; đưa cách giải vấn đề toán học đặt mơ hình thiết lập Mơ hình dùng để mơ tả tình thực tiễn đó, mơ hình hóa tốn học hiểu sử dụng cơng cụ tốn học để thể dạng ngơn ngữ tốn học Trong đó, mơ hình hóa q trình tạo mơ hình nhằm hướng tới giải vấn đề Mơ hình hóa dạy học tốn q trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, giải tình nảy sinh từ thực tiễn cơng cụ tốn học Q trình địi hỏi kỹ thao tác tư tốn học phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa… Là giáo viên thực chương trình giáo dục mới, thân tự đặt câu hỏi: “Việc hình thành phát triển lực mơ hình hóa cho học sinh nào, thơng qua hoạt động nào?” Trong q trình dạy học, tơi nhận thấy việc dạy học sinh giải tốn hình học khơng gian phát triển tốt lực mơ hình hóa cho học sinh Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển lực mô hình hóa cho học sinh thơng qua dạy học giải tập hình học khơng gian” Phạm vi đối tượng nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu * Mơ hình, mơ hình hóa tốn học: - Khái niệm - Quy trình mơ hình hóa * Năng lực mơ hình hóa tốn học: - Khái niệm, biểu u cầu cần đạt - Các tốn hình học không gian ứng dụng thực tiễn 2.2 Phạm vi nghiên cứu - Tập trung nghiên cứu việc học sinh thiết lập mơ hình hóa tốn hình học khơng gian Mục tiêu phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn - Xác định dạng toán ứng dụng hình học khơng gian thực tiễn - Nghiên cứu bước thiết lập mơ hình hóa toán * Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp - lý thuyết Nghiên cứu ứng dụng thực tiễn Dự kiến đóng góp đề tài - Hệ thống hóa sở lí luận mơ hình hóa tốn học, quy trình mơ hình hóa tốn học; lực lực mơ hình hóa - Xác định biểu lực mơ hình hóa tốn học cần bồi dưỡng phát triển cho học sinh bậc trung học phổ thông - Thiết lập mơ hình số tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tiễn, qua phát triển lực mơ hình hóa cho học sinh PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm mơ hình hóa tốn học Mơ hình: Là vật thay mang đầy đủ tính chất vật thực tế Qua việc nghiên cứu mơ hình, nắm vững thuộc tính đối tượng cần nghiên cứu mà khơng cần tiếp xúc trực tiếp với vật thật Theo Kai Velten (2009), mơ hình tốt mơ hình đơn giản đáp ứng đầy đủ mục tiêu cần khảo sát Mơ hình tốn học: Hiện có nhiều định nghĩa mơ tả khái niệm Mơ hình hóa tốn học chia sẻ lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà tác giả lựa chọn Định nghĩa Singapore: “Mơ hình hóa tốn học q trình thành lập cải thiện mơ hình tốn học để biểu diễn giải vấn đề giới thực tiễn” Theo Nguyễn Danh Nam, “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải tình thực tế, người ta phải tốn học hóa tình đó, tức xây dựng mơ hình tốn học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình Quá trình gọi mơ hình hố tốn học.” Một vài cấu trúc tốn học dùng để mơ hình hố là: đồ thị, phương trình (cơng thức) hệ phương trình, bất phương trình, số, bảng số hay thuật tốn Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với giới thực, khả áp dụng ý tưởng toán học, đồng thời cung cấp tranh rộng lớn hơn, phong phú toán học, giúp việc học tốn trở nên ý nghĩa 1.2 Quy trình mơ hình hóa dạy học Tốn Theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mơ hình trung gian cách chuyển ngữ, loại bỏ thêm vào số kiện để vấn đề cần giải trở nên rõ ràng khả thi Có thể xuất nhiều mơ hình trung gian lúc, yêu cầu người học phải lựa chọn, trải qua Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian bước thành mơ hình t tốn học Trong đó, đối tượng, mối quan hệ diễn đạt ngơn ngữ tốn học Người học phải đối diện trước nhiều mơ hình tốn học Bước 3: Trước câu hỏi tốn học đặt bước 2, người học buộc phải huy động kiến thức toán học để đưa câu trả lời, mang chất toán học Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” bước biên dịch thành câu trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu Có thể xuất khả câu trả lời không phù hợp với bối cảnh thực tế ban đầu lời giải tốn học bước có vấn đề, mơ hình tốn học xây dựng bước chưa thoả đáng, mơ hình trung gian bước chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế 1.3 Năng lực mơ hình hóa tốn học 1.3.1 Năng lực Có nhiều định nghĩa khái niệm lực, chẳng hạn: Theo Xavier Roegiers (1996): “Năng lực tích hợp kĩ tác động cách tự nhiên lên nội dung loại tình cho trước để giải vấn đề tình đặt ra” Hồng Phê (2003) định nghĩa Từ điển tiếng Việt: “Năng lực phẩm chất tâm lí sinh lí tạo cho người khả hoàn thành loại hoạt động với chất lượng cao” Bùi Minh Hạc (1992) cho rằng: “Năng lực tổ hợp đặc điểm tâm lí người (cịn gọi tổ hợp thuộc tính tâm lí nhân cách), tổ hợp vận hành theo mục đích định tạo kết hoạt động đấy”… Từ khái niệm cách tiếp cận trên, rút số điểm chung lực sau: - Năng lực kết hợp kiến thức, kĩ sẵn có tiếp nhận thơng qua q trình học tập rèn luyện người học - Năng lực bao gồm yếu tố kiến thức, kĩ năng, thái độ thuộc tính cá nhân như: xúc cảm, động học tập, niềm tin, ý chí, - Năng lực hình thành phát triển nhằm giải hoạt động thực tiễn, bối cảnh điều kiện định 1.3.1 Năng lực toán học Năng lực toán học thuộc tính cá nhân, hình thành phát triển thơng qua q trình học tập rèn luyện Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Tốn góp phần hình thành phát triển cho học sinh lực toán học, gồm thành phần bản: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hố tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Khung đánh giá lực Tốn học chương trình đánh giá học sinh quốc tế ( PISA) đề cập đến mức độ lực toán phổ thông, thể cụ thể bảng đây: Cấp độ lực Đặc điểm Cấp độ - Nhớ lại khái niệm, đối tượng, định nghĩa vàtính chất tốn học Ghi nhớ, tái - Thực cách làm quen thuộc - Áp dụng thuật tốn tiêu chuẩn - Kết nối, tích hợp thông tin để giải vấn đề đơn giản Cấp độ - Tạo kết nối cách biểu đạt khác Kết nối, tích hợp - Đọc giải thích kí hiệu ngơn ngữ hình thức (tốn học) hiểu chúng với ngơn ngữ tự nhiên - Nhận biết nội dung toán học tình có tính vấn đề phải giải Cấp độ Khái qt hóa, tốn học hóa - Vận dụng kiến thức toán học để giải vấn đề thực tiễn - Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóa chứng minh tốn học 1.3.3 Năng lực mơ hình hóa Có nhiều định nghĩa khác lực mơ hình hóa tốn học, gồm có nhiều kĩ năng, thành phần Theo Blom Jensen, lực mơ hình hóa khả thực đầy đủ giai đoạn q trình mơ hình hóa tình cho trước Theo Maab, lực mơ hình hóa bao gồm kĩ khả thực trình mơ hình hóa nhằm đạt mục tiêu xác định Các nghiên cứu kĩ thành phần lực mơ hình hóa tốn học sau: (1) Đơn giản giả thuyết (2) Làm rõ mục tiêu (3) Thiết lập vấn đề (4) Xác định biến, tham số, số (5) Thiết lập mệnh đề tốn học (6) Lựa chọn mơ hình (7) Biểu diễn mơ hình thích hợp (8) Liên hệ lại vấn đề thực tiễn Các trình độ lực mơ hình hóa tốn học Xuất phát từ nghiên cứu mơ hình hóa tốn học nhiều nhà khoa học cơng bố, kết hợp với kinh nghiệm giáo dục, cho phân bậc lực mơ hình hóa tốn học người sau: Thành phần Trình độ Học sinh tiểu học Xác định mô Lựa chọn được: hình tốn học: phép tốn, cơng cơng thức, phương thức số học, sơ đồ, trình, bảng biểu, đồ bảng biểu, hình vẽ để thị,…cho tình trình bày, diễn đạt xuất (nói viết) toán thực nội dung, ý tưởng tiễn tình xuất tốn thực tiễn đơn giản Học sinh THCS Học sinh THPT Sử dụng mơ hình tốn học: cơng thức tốn học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn,…để mơ tả tình xuất số tốn thực tiễn khơng q phức tạp Thiết lập mơ hình tốn học: cơng thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,…để mơ tả tình đặt số toán thực tiễn Giải Giải Giải Giải vấn đề toán toán xuất vấn đề toán học vấn đề toán học học mơ hình từ lựa chọn mơ hình thiết mơ hình được thiết lập lập thiết lập Thể Nêu câu trả Thể lời giải Lí giải tính đánh giá lời giải lời cho tình tốn học vào ngữ cảnh đắn lời giải: ngữ cảnh xuất thực tiễn, làm quen với kết luận thu thực tế cải tiến toán thực tiễn việc kiểm chứng tính có ý nghĩa hay khơng, mơ hình đắn lời giải có phù hợp với thực tiễn cách giải hay không không phù hợp 1.3.4 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh Triết học cho “Phát triển” phạm trù tính chất biến đổi diễn giới “Phát triển” thuộc tính vật chất Mọi vật tượng thực không tồn trạng thái khác từ xuất đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc phát triển thống đấu tranh mặt đối lập “Phát triển” dạy học “rèn luyện” tri thức cập nhật sở có để củng cố, mở mang, phát triển thêm Nó làm tăng hệ thống tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu việc học tập Từ quan điểm hoạt động giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực hình thành, phát triển biểu hoạt động hoạt động người học” Bên cạnh đó, định hướng đổi dạy học giai đoạn là: “Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học” (Nghị số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013) Do đó, để phát triển lực cụ thể cho người học, người giáo viên (GV) cần tạo cho học sinh (HS) tình học tập mà đó, HS phải thể mức độ thành thạo kĩ tiến hành hoạt động đặc thù lực Dựa sở mối quan hệ mật thiết lực hoạt động, xác định chất việc bồi dưỡng lực toán học cho HS nhằm để nâng cao hiệu học tập, hồn thiện q trình dạy học Hay nói cách khái quát, phát triển lực toán học cho HS trình tổ chức, rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức, kĩ toán học để thực hoạt động học tập tương thích với thành tố biểu đặc trưng lực Dựa sở việc rèn luyện lực tốn học lực mơ hình hóa tốn học, khẳng định rằng: “Phát triển lực mơ hình hóa tốn học q trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ phẩm chất cần thiết cho hoạt động mô hình hóa tốn học để thực đầy đủ giai đoạn quy trình mơ hình hóa nhằm giải vấn đề toán học đặt ra.” THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.1 Bài tốn mơ hình hóa chương trình mơn Tốn Việt Nam Hiện nay, tốn có nội dung thực tiễn sách giáo khoa trường phổ thơng xác hóa lý tưởng hóa, thể qua điểm sau: tình ẩn chứa toán chưa hẳn xảy sống thực; chẳng hạn, tình diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều, Mặt khác, giả thiết tốn khơng thiếu, khơng thừa, lời giải cho kết nhằm trả lời cho câu hỏi thực tiễn, chí kết cịn "rất đẹp" Nói khơng có nghĩa tốn sách giáo khoa khơng có tác dụng dạy học; ngược lại, có tác dụng lớn việc rèn luyện cho học sinh khả vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn Những tốn có nội dung thực tiễn cầu nối nối liền tốn học với sống Các tốn có nội dung thực tiễn gần gũi với sống tốn có tính “mở”, thực giải chúng, học sinh phải tự mày mị tìm giả thiết kết luận Khi giải toán mở phía kết luận, HS cần phải mày mị biện luận trường hợp xảy Trong dạy học, GV nên ý đến loại toán chúng phản ánh thực tiễn cách chân thực Nó “giá” để giúp GV hình thành cho HS nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng 2.2 Thực trạng toán thực tiễn phần hình học khơng gian chương trình sách giáo khoa phổ thông đề thi 2.2.1 Trong chương trình sách giáo khoa hành Chương trình sách giáo khoa (SGK) phổ thơng hình học lớp 11, 12 toán liên hệ với thực tiễn đưa vào giảng dạy với số lượng ỏi Cụ thể, xét chương trình SGK Nâng cao sau: - SGK Hình học 11 Nâng cao có tốn chương Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng; khơng có tốn chương Đường thẳng, mặt phẳng không gian Quan hệ song song Vec tơ khơng gian Quan hệ vng góc - SGK Hình học 12 Nâng cao khơng có tốn liên hệ với thực tiễn Từ số liệu nhận thấy số lượng toán thực tiễn so với lượng lý thuyết khổng lồ mà học sinh học cịn q Vì vậy, học sinh cảm thấy mơn Toán chưa thực gần gũi cần thiết Bên cạnh đó, giáo viên gặp nhiều khó khăn việc đưa toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn việc tìm tịi ví dụ từ dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ tốn thực tiễn mà khơng biết tốn hấp dẫn lơi học sinh vào mơn học mình, giúp học sinh liên hệ kiến thức học vào tình bắt gặp sống Thay vào đó, lượng kiến thức tiết dạy nhiều, dạy thực hành chí khơng có tiết thực hành nên giáo viên thường dành thời gian trọng vào tốn sử dụng thuật giải, tốn tính tốn phức tạp, học sinh khơng biết học gì, học để làm có ứng dụng sống hay khơng? 2.2.2 Trong đề thi, kiểm tra Chúng ta biết, chương trình sách giáo khoa bậc phổ thơng chưa có đầu tư kĩ lưỡng số lượng, chất lượng toán thực tiễn dẫn đến vấn đề yêu cầu vận dụng Tốn học vào thực tiễn khơng đặt thường xuyên hình thức kiểm tra đánh giá Nói cách khác, thường khơng xuất đề thi kiểm tra Rõ ràng, Toán học bắt nguồn từ thực tiễn phát triển để giải vấn đề thực tiễn, việc kiểm tra đánh giá mơn học lại chẳng có chút liên quan đến thực tiễn Trong năm gần đây, với thay đổi phương thức kiểm tra, đánh giá, số đề thi đưa toán gắn với thực tiễn liên quan đến lãi suất kép tính diện tích thể tích nhờ ứng dụng tích phân cịn Vì vậy, cần phải thay đổi nữa, cần nhân rộng toán thực tiễn, đề thi có tốn thực tiễn để nhằm đánh giá lực phát giải vấn đề, lực mơ hình hóa tốn học liên hệ Tốn học vào tình thực tế cụ thể 2.3 Thực trạng lực mơ hình hóa toán học dạy học trư ng THPT 2.3.1 Học sinh Khi nghiên cứu lí thuyết thực hành dạy học, khó khăn thường gặp HS thiếu động lực để học Tốn, khơng đủ thời gian giải quyết, thiếu kĩ làm bài, thiếu công cụ, phương tiện mơ hình hóa tốn Ngồi khó khăn thường gặp trên, HS vấp phải nhiều biểu cụ thể quy trình mơ hình hóa Tốn học như: - Vấn đề hiểu tình huống: HS khơng tự nhận hết thông tin quan trọng tình cần chuyển đổi sang ngơn ngữ tốn học thường bị chi phối hình ảnh minh họa Do đó, dẫn đến xây dựng mơ hình tốn học chưa phù hợp - Vấn đề tốn học hóa: HS khó khăn việc đơn giản tốn, xử lí điều kiện tốn, chuyển tốn sang ngơn ngữ toán học - Vấn đề giải toán: HS quên kiến thức cũ, thiếu linh hoạt tìm phương pháp giải, có thói quen giải theo dạng, khả liên tưởng hạn chế - Kinh nghiệm thực tiễn HS: Mơ hình hóa chuyển đổi tốn học thực tiễn cần thiết, nhiên HS thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả liên hệ kiến thức liên mơn cịn yếu - Vấn đề đối chiếu thực tế: HS quan tâm đến kết tốn tìm mà khơng quan tâm việc trả lời cho kết tình huống; mối quan hệ kết yếu tố cho 2.3.2 Giáo viên Mặc dù mơ hình hóa (MHH) có ích dạy học Tốn GV lại gặp nhiều khó khăn, cụ thể như: - Lựa chọn vấn đề ngồi tốn học để ủy thác cho HS khơng phải dễ: Bài tốn liên hệ với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm Vì vậy, cần tình thực tiễn thật hay biến đổi đến mức phù hợp việc giảng dạy - Năng lực xây dựng phát triển tốn nảy sinh từ tình thực tế cịn hạn chế: GV khó để xây dựng lựa chọn mơ hình tốn học; HS thường khơng thích thử phương pháp - Nội dung kiến thức sách giáo khoa nhiều, tốn thực tế mang tính lí thuyết, thực hành, khơng có nội dung thi: Thơng thường khơng có nội dung thi không thực nghiêm túc GV HS Dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so với dạy học truyền thống - Hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống kiến thức liên mơn GV cịn hạn chế: Khơng HS mà GV hiểu không hết mô hình hóa Ngồi kinh nghiệm giảng dạy tốn liên hệ cịn ít, kĩ sử dụng cơng nghệ thơng tin mơ hình hóa cịn hạn chế, tài liệu tham khảo nên dạy học mơ hình hóa chưa phổ biến 10 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 3.1 Hệ thống kiến thức cần thiết hình học khơng gian sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12 a, Một số nội dung cần nắm quan hệ song song vng góc đường thẳng mặt phẳng khơng gian * Hai đường thẳng không gian song song với chúng đồng phẳng khơng có điểm chung * Hai đường thẳng vng góc khơng gian góc chúng 900 Chúng cắt chéo * Hai mặt phẳng song song không gian chúng điểm chung * Hai mặt phẳng vng góc với khơng gian góc chúng 900 Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng * Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng * Đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung b, Định nghĩa hình đa diện, khối đa diện * Hình đa diện tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất: - Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung - Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác * Mỗi hình đa diện chia khơng gian thành hai miền ngồi Hình đa diện miền tạo thành khối đa diện c, Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu * Mặt nón: Đường thẳng d, cắt O tạo thành góc với 00 900 , mặt phẳng (P) chứa d, quay xung quanh trục với góc khơng đổi, đường sinh d tạo thành mặt nón trịn xoay đỉnh O, trục , góc đỉnh 11 + Hình nón: Cho tam giác OAB, vuông A Đường gấp khúc OBA quay xung quanh OA tạo thành hình nón trịn xoay đỉnh O, đáy đường trịn tâm A, bán kính AB, OB đường sinh + Khối nón: Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón * Mặt trụ: Cho đường thẳng l // quay xung quanh , cách khoản R khơng đổi tạo thành mặt trụ trịn xoay, có l đường sinh, trục , bán kính mặt trụ R + Hình trụ: Khi cho đường gấp khúc OABO’của hình chữ nhật OABO’ quay xung quanh OO’tạo thành hình trụ trịn xoay trục OO’, đường sinh AB, bán kính OA + Khối trụ: Là phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ * Mặt cầu: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R Kí hiệu S(I; R) Ta có: S ( I ; R) M IM R + Khối cầu hình cầu tâm I, bán kính R tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(I; R) với điểm nằm mặt cầu • Diện tích mặt cầu: Sc 4 R • Thể tích mặt cầu: Vc R d, Một số nội dung cần nắm phương pháp tọa độ không gian * Hệ tọa độ không gian: Hệ gồm trục Ox; Oy; Oz đơi vng góc với gọi hệ trục tọa độ vng góc Oxyz không gian Với O 0;0;0 gốc tọa độ; Ox trục hoành; Oy trục tung; Oz trục cao Các mặt phẳng tọa độ Oxy ; Oyz ; Oxz đơi vng góc với + i , j, k vectơ đơn vị nằm trục Ox , Oy , Oz i j k ; j 0;1;0 ; k 0;0;1 + i 1;0;0 ; 2 i j k 1; i j , j k , k i * Tọa độ điểm: M x; y; z OM xi y j z.k 12 * Tọa độ vectơ: u x; y; z u x.i y j z.k Chú ý: + M Oxy z ; M Oyz x ; M Oxz y + M Ox y z ; M Oy x z ; M Oz x y + M x; y; z OM x; y; z Các tính chất phương pháp tọa độ không gian tương tự phương pháp tọa độ mặt phẳng, thêm thành phần cao độ 3.2 Tìm hiểu quan hệ giải tốn hình học khơng gian phát triển lực mơ hình hóa Như biết, Mơ hình hóa tốn học (MHHTH) lực đặc trưng dạy học Toán cần phát triển cho HS phổ thơng Để phát triển lực mơ hình hóa tốn học có nhiều cách tiếp cận Ở đây, tơi lựa chọn cách tiếp cận thông qua việc giải tốn hình học khơng gian Câu hỏi đặt giải tốn hình học khơng gian phát triển lực mơ hình hóa cho HS? Rõ ràng, từ toán thực tiễn có nhiều cách sử dụng ngơn ngữ cơng cụ tốn học để tìm cách giải Tuy nhiên, cách giải cần yếu tố biết yếu tố cần tìm tốn, mối quan hệ yếu tố làm để xác định bước giải tốn theo trình tự logic Các yếu tố tạo nên mơ hình tốn học tốn thực tiễn Do vậy, hướng dẫn HS vận dụng kiến thức, kĩ hình học khơng gian để giải tốn thực tiễn có liên quan Tùy theo mục đích yêu cầu dạy học, giáo viên phân loại hệ thống tập tiêu chí khác để giải tốn hình học không gian, tạo hứng thú niềm say mê toán học cho học sinh 3.3 Các bước thiết lập mơ hình hóa tốn hình học khơng gian Bước 1: Quan sát thu thập số liệu tình thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề Hai nhiệm vụ quan trọng bước quan sát thu thập số liệu Ở bước này, cần phát yếu tố có liên quan tình thực tiễn, yếu tố xác định, yếu tố cần tìm mối quan hệ yếu tố Bước 2: Từ yếu tố tình thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn tình thành tốn có liên đến hình học không gian Sắp xếp mối quan hệ kết nối chúng tạo thành sơ đồ logic phát biểu tốn ngơn ngữ tốn học Bước 3: Dùng cơng cụ tốn học – Hình học khơng gian vấn đề liên quan để giải toán thiết lập Bước 4: Đối chiếu kết lời giải với mơ hình thực tiễn kết luận Đánh giá lời giải đối chiếu với mơ hình thực tiễn tốn Từ đó, đưa kết luận MHHTH cho toán thực tiễn ban đầu 13 3.4 Một số ví dụ minh họa việc vận dụng bước thiết lập mơ hình hóa tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tiễn để phát triển lực mơ hình hóa cho học sinh Dạng Một số toán thực tế liên quan đến mơ hình hình chóp a, Kiến thức cần nắm hình chóp - Hình chóp khối đa diện có mặt đáy đa giác lồi, mặt bên tam giác có chung đỉnh đỉnh hình chóp - Có nhiều loại hình chóp khác nhau, tên gọi quy định theo đa giác mặt đáy Chẳng hạn, hình chóp tam giác có đáy hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy tứ giác lồi,… - Đường cao đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy - Nếu cạnh bên hay hợp với mặt đáy góc chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy - Nếu mặt bên hợp với đáy góc hay đường cao mặt bên xuất phát từ đỉnh hình chóp chân đường cao đường trịn nội tiếp đáy - Nếu hình chóp có mặt bên hay mặt chéo vng góc với đáy đường cao hình chóp đường cao mặt - Các loại hình chóp thường gặp: Trong thực tế, thường gặp kì quan hay cơng trình, vật dụng có hình dạng hình chóp đa giác hay hình chóp cụt * Hình chóp đa giác đều: Là hình chóp có đáy đa giác ( ví dụ, tam giác đều, hình vng, ngũ giác đều, lục giác đều, ) mặt bên tam giác cân Tâm đáy trùng với chân đường cao * Hình chóp cụt: Là phần chóp nằm đáy thiết diện cắt mặt phẳng song song với đáy hình chóp Hai đáy hai đa giác đồng dạng, mặt bên hình thang, đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm Nếu cắt từ hình chóp ta hình chóp cụt đều, bên hình thang cân - Các cơng thức liên quan đến hình chóp: * Diện tích xung quanh hình chóp đa giác đều: S xq p.d Trong S xq : diện tích xung quanh, p nửa chu vi đáy, d trung đoạn ( nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy) 14 * Diện tích tồn phần: Stp Sxq Sđáy * Thể tích khối chóp: V = 1/3.Sđáy h.(V thể tích khối chóp, h chiều cao) * Diện tích xung quanh hình chóp cụt tứ giác đều: S xq a b h a b h ( a, b độ dài cạnh hai đáy, h chiều cao mặt bên) * Diện tích tồn phần hình chóp cụt đều: Stp S xq S dl S dn , ( Sdl , Sdn diện tích đáy lớn diện tích đáy bé hình chóp cụt đều) * Thể tích khối chóp cụt đều: V h a2 ab b2 , ( a , b độ dài cạnh hai đáy, h chiều cao khối chóp cụt) b, Bài tập liên quan Ảnh chụp lại từ trang hanoiled.com Ví dụ 1: Hiện nay, nhà hàng, quán cafe, phòng khách,… ưa chộng treo đèn chùm thả phân tử, làm cho không gian nhìn đẹp sang trọng, lịch Biết rằng, loại đèn thả phân tử khung hình tứ diện có cạnh khung dài 30cm Chủ nhà muốn dán mặt khung loại gương phản quang sơn màu khác giúp phòng thêm lung linh hơn, giá tiền gương phản quang 300 ngàn đồng mét vuông, chủ nhà muốn dán đèn thêm tiền? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập tìm hiểu thơng tin qua số câu hỏi gợi ý như: - Đề yêu cầu cần xác định gì? Khung đèn có hình dạng? Cạnh bao nhiêu? Từ cạnh ta xác định gì? Tính chiều cao mặt khung đèn cần xác định gì? HS huy động kiến thức biết, tìm hiểu thơng tin xác định chiều cao mặt khung đèn Bước 2: GV giúp SV phát biểu tình thực tế ban đầu ngơn ngữ tốn học: “Cho tứ diện ABCD cạnh 30cm Tính diện tích tồn phần tứ diện?” Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải tốn tốn học + Vì tứ diện ABCD nên mặt tứ diện tam giác 15 + Gọi M trung điểm BC AM BC MB BC 15 cm + S ABC 1 AM BC 15.30 225 cm 2 S 4.S ABC 4.225 900 cm Bước 4: HS chủ động phân tích kiểm định lại kết thu bước để xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính tốn với vấn đề thực tế Trả lời: Chủ nhà cần chi thêm khoản là: 900 300 81 (ngàn đồng) 10000 Ảnh chụp lại từ trang https://m.vietnamnet.vn Ví dụ 2: Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng hình chóp tứ giác với phần đỉnh chìm mặt đất Chiều cao 30,7m tính từ mặt đất (gồm tầng nổi), độ sâu 11,5m (2 tầng hầm), diện tích sàn tầng 12.000m Một chủ quán có ý định thuê mặt tầng thượng để kinh doanh cafe sân vườn, giá thuê m 100 ngàn đồng/ năm, tiền lãi từ lượng khách quen biết cũ chủ quán khoảng 28 đến 30 triệu tháng, chưa kể lượng khách lạ Hỏi chủ quán cần chi khoảng tiền thuê mặt năm (Biết tổng tiền lãi bình quân gấp 1,5 lần tiền thuê chủ quán thuê để đổi địa điểm, khơng kể chi phí đầu tư ban đầu có sẵn qn cũ) Theo em, chủ quán có nên thuê tầng thượng để đổi địa điểm không? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập tìm hiểu thơng tin qua số câu hỏi gợi ý như: - Đề yêu cầu cần xác định gì? Hình dạng bảo tàng? Cạnh sàn tầng bao nhiêu? Từ cạnh ta xác định gì? Xác định cạnh tầng thượng khơng? HS huy động kiến thức biết, tìm hiểu thơng tin vẽ mơ hình minh họa xác định cạnh đáy Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình thực tế ban đầu ngơn ngữ tốn học: “Cho hình chóp tứ giác S ABCD Thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy tứ giác MNPQ có diện tích 12.000 m Biết khoảng cách từ (MNPQ) tới ( ABCD) 30,7m, từ (MNPQ) tới đỉnh S 11,5m Tính diện tích mặt đáy?” Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải toán toán học Từ giả thiết suy ABCD MNPQ hình vng, MN 12.000 40 15 m 16 Ta có (MNPQ) // ( ABCD) MN // AB MN 11,5 11,5 AB 30, 11,5 42, 2300 15 11,5 11,5 2300 15 MN 40 15 m ; S ABCD AB AB 1782,3 m 211 42,2 42,2 211 Số tiền cần trả để thuê mặt năm là: 1782,3.2.0,1 356,5 (đồng) + Tỉ số tiền lãi tiền thuê : 560 1,57 356,5 Bước 4: HS chủ động phân tích kiểm định lại kết thu bước để xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính tốn với vấn đề thực tế Trả lời: 356,5 triệu đồng nên thuê để đổi địa điểm Ảnh chụp lại từ trang kienviet.net Ví dụ Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng hình chóp tứ giác với phần mặt đất hình chóp cụt đều, góc cạnh bên mặt đáy 600 Chiều cao 30, 7m tính từ mặt đất (gồm tầng nổi), diện tích sàn tầng 12.000m Người ta dự định lắp điều hịa cho tồn khơng gian phía trong, phần mặt đất, giả thiết tường mỏng khơng đáng kể Ước tính 12.500m3 cần lắp điều hịa cơng suất lớn, hỏi cần phải lắp điều hòa để đảm bảo yêu cầu làm mát? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập tìm hiểu thơng tin qua số câu hỏi gợi ý như: - Hình dạng bảo tàng? Chiều cao? Tính đường chéo AC nghĩa cần xác định gì? HS huy động kiến thức biết, tìm hiểu thơng tin xác định được: Bảo tàng có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy bé hình vng có diện tích 12.000m , khoảng cách gữa hai đáy 30, 7m ; Góc cạnh bên mặt đáy 600 Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình thực tế ban đầu ngơn ngữ tốn học: “Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD.MNPQ , cạnh bên tạo với đáy góc 600 , đáy bé MNPQ có diện tích 12.000m , chiều cao 30, 7m Tính thể tích hình chóp cụt ABCD.MNPQ ?” Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải toán toán học + Gọi H , K hình chiếu M N mặt phẳng đáy lớn ( ABCD) H , K thuộc AC ; AH CK x MP HK AC x MP 17