Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THƠNG QUA KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LĨNH VỰC: TỐN HỌC Tác giả: Nguyễn Văn Hậu - 0814271188 Trần Đình Hồng - 0852630715 Năm thực hiện: 2022 Hưng Nguyên, tháng năm 2022 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Tổng quan tính đề tài PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Tư 2.1.2 Tư sáng tạo 2.1.3 Một số đặc trưng tư sáng tạo 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.2.1 Thực trạng phát triển tư duy, tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông 2.2.2 Năng lực học, giải tốn tính loại góc trong hình học khơng gian trường trung học phổ thông 2.3 Cơ sở lí thuyết góc hình học khơng gian 2.3.1 Tích vơ hướng hai vectơ 2.3.2 Các cách xác định góc hai đường thẳng khơng gian 2.3.3 Góc hai đường thẳng mặt phẳng 2.3.4 Góc hai mặt phẳng 2.4 Giải pháp thực 2.4.1 Rèn luyện phát triển tính mềm dẻo tư sáng tạo thông qua khai thác tốn góc hình học khơng gian 2.4.2 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh thơng qua giải tốn góc hình học khơng gian nhiều cách khác 27 2.4.3 Hướng dẫn học sinh phân tích tốn, tìm phương thức giải sáng tạo, độc đáo 42 2.4.4 Thực nghiệm sư phạm 47 PHẦN III KẾT LUẬN 50 3.1 Kết luận 50 3.2 Hướng phát triển đề tài 50 3.3 Bài học kinh nghiệm 50 3.3.1 Đối với giáo viên 50 3.3.2 Đối với học sinh 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh QG Quốc gia SKKN Sáng kiến kinh nghiệm TDST Tư sáng tạo THPT Trung học phổ thông PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu chung giáo dục phổ thông 2018 mơn Tốn nói riêng giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất lực người học thông qua nội dung giáo dục với kiến thức, kỹ bản; trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ học để giải vấn đề học tập đời sống Điều địi hỏi học sinh khơng cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức học biết kết nối kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức Vì lẽ việc đổi phương pháp dạy học dạy học mơn Tốn trở nên quan trọng thiết nhiệm vụ người giáo viên dạy Tốn Thực tế cho thấy có nhiều giáo viên nặng nề truyền thụ kiến thức, chưa sử dụng phương pháp dạy học tích cực Phần lớn học sinh giải trực tiếp tập mà chưa khai thác tiềm tập Học sinh giải vấn đề cách rời rạc chưa xâu chuỗi chúng lại với thành hệ thống kiến thức lớn Do chưa phát triển tư sáng tạo cho học sinh Vì việc bồi dưỡng, rèn luyện thao tác tư việc làm quan trọng với học sinh phổ thông Điều giúp học sinh tích lũy nhiều kiến thức, phát vấn đề nhanh giải vấn đề có tính lơgic Qua bước hình thành phát triển tư sáng tạo cho người học Trong chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian chủ đề khó lại ln có mặt kỳ thi Học sinh giỏi THPT QG Không mà tốn hay, có nhiều cách giải độc đáo, giải tạo nhiều hứng thú cho người học Đặc biệt tốn xác định tính loại góc hình học khơng gian lại gây nhiều khó khăn lúng túng cho học sinh THPT Để học tốt chủ đề HS việc nắm vững hệ thống kiến thức cần có thêm nhiều kỹ giải tốn, có tư sáng tạo Ngược lại học sinh học tốt mơn tốn nói chung chủ đề hình học khơng gian nói riêng góp phần phát triển lực tư sáng tạo Vì vậy, trình dạy học chủ đề GV biết cách khai thác sáng tạo tốn góc hình học khơng gian từ tập đơn giản khơng giúp cho HS học tập có hiệu mà cịn tạo hứng thú học tập góp phần quan trọng việc rèn luyện bồi dưỡng tư sáng tạo cho em Với lí trên, tơi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh thơng qua khai thác tốn góc Hình học khơng gian” 1.2 Tổng quan tính đề tài Thứ nhất, đề tài trình bày sở lí luận thực tiễn vấn đề phát triển lực tư cho học sinh thông qua khai thác sáng tạo tốn xác định tính loại góc hình học khơng gian Thứ hai, đề tài xây dựng lớp toán định hướng xử lý tốn xác định tính loại góc hình học khơng gian Thứ ba, đề tài xây dựng lớp toán ứng dụng tốn liên quan đến góc để xử lý tốn hình học khơng gian Thứ tư, đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, nâng cao kết kì thi THPT Quốc gia PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Tư “Tư q trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước chủ thể nhận thức chưa biết” [1] 2.1.2 Tư sáng tạo Tư sáng tạo dạng tư có tính linh hoạt, độc lập tính phê phán, đặc trưng sản sinh ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Ý tưởng thể chỗ phát vấn đề mới, tìm hướng mới, cách giải vấn đề tạo kết [5] 2.1.3 Một số đặc trưng tư sáng tạo - Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ quen Vận dụng linh hoạt thao tác tư bản, kinh nghiệm, kỹ có vào giải tốn - Tính nhuần nhuyễn: Biết xét tốn nhiều góc độ, từ đề xuất nhiều cách giải khác cho toán lựa chọn nhiều cách giải tối ưu - Tính độc đáo: Biết tìm phương thức giải lạ, độc cải tiến cách giải có để trở nên tối ưu 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.2.1 Thực trạng phát triển tư duy, tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn Tốn, giao lưu chun mơn với nhiều trường bạn tơi thấy vấn đề phát triển tư tốn học cho học sinh cịn nhiều hạn chế Nó xảy phương pháp giảng dạy giáo viên cách học tập học sinh Về giáo viên: Trong q trình dạy học luyện tập trường phổ thơng, nhiều GV chữa tập đơn lẻ cho học sinh, tập mang tính áp dụng, rập khn, máy móc cách giải chưa thực trọng để khai thác, phát triển sáng tạo tốn Do khơng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Về học sinh: Học sinh THPT ngại học Toán, yếu Toán kiến thức bị hổng từ cấp dưới, chưa chịu khó suy nghĩ, tư q trình học tập; Học sinh cịn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, sáng tạo thân; Rất nhiều học sinh chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp vào hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức nên kết học tập chưa cao; Đa số học sinh học tập giải tập Toán, quan tâm đến kết toán hay sai, hài lịng với lời giải mình; tìm tịi lời giải khác, không khai thác để phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy nhiều tính tích cực, độc lập sáng tạo thân 2.2.2 Năng lực học, giải toán tính loại góc trong hình học khơng gian trường trung học phổ thông Qua kiểm tra 15 phút ba lớp - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên năm học 2020 - 2021 Kết quả: Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu 12A1 22,5% 24,5% 43,8% 9,2% 12A2 5,4% 15,6% 58,8% 20,2% 12 C 4,8% 15,2% 58,9% 21,1% 2.3 Cơ sở lí thuyết góc hình học khơng gian 2.3.1 Tích vơ hướng hai vectơ   Cho a b hai vectơ không gian      a.b  a b cos a ,b 2.3.2 Các cách xác định góc hai đường thẳng khơng gian Cách Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O bất kì, sau dựng hai đường thẳng a  b qua O đồng thời a //a, b //b Khi a,b  a ,b  Cách   Tìm hai vectơ phương u1, u2 hai đường thẳng a, b Khi góc   u1 u hai đường thẳng xác định cos a , b    u1 u2 Nhận xét: 0  a,b  90 2.3.3 Góc hai đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng  a) Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  ta nói góc chúng 90 b) Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng  góc chúng góc đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng  Nhận xét: Với   d,() A điểm tuỳ ý đường thẳng d , H hình chiếu A  , d    O ta có: sin   d A,  AO ; cos  OH OA 2.3.4 Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 0 b Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác H nằm mặt phẳng  có diện tích S đa giác H  hình chiếu vng góc H mặt phẳng  Khi diện tích S  H  tính theo cơng thức: S   S cos  Với  góc   Nhận xét: Khi cos   S S 2.4 Giải pháp thực Để phát triển phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh, trình dạy học luyện tập dạy học tập tốn, giáo viên ln trọng định hướng để học sinh rèn luyện thao tác tư duy, tìm tịi nhiều cách giải cho tốn, khai thác phát triển để sáng tạo nhiều toán chọn phương pháp giải tối ưu, độc đáo từ toán cho Trong phạm vi đề tài, lựa chọn số biện pháp sau thơng qua khai thác tốn góc hình học khơng gian 2.4.1 Rèn luyện phát triển tính mềm dẻo tư sáng tạo thơng qua khai thác tốn góc hình học khơng gian Từ sở lí luận, theo tơi, giáo viên (GV) rèn tính mềm dẻo TDST cho HS theo quy trình giải tốn gồm bước sau: - Bước 1: Phân tích tìm lời giải toán (xét xem toán thuộc dạng nào? Chọn lựa, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải) - Bước 2: Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học để trình bày lời giải tốn - Bước 3: Khai thác toán dựa trên: + Sự linh hoạt chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác; + Sử dụng thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái qt hóa để khai thác tốn theo hướng sau: Hướng 1: Phát biểu toán tương tự; Hướng 2: Khái qt hóa tốn; Hướng 3: Thay đổi giả thiết để có tốn nghiên cứu ứng dụng toán Trong đề tài này, tơi đưa ba kiểu tốn định hướng cho HS khai thác tốn tương ứng với ba loại góc khơng gian trình bày SGK Hình học lớp 11 hành Đó góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng Bài tốn Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD H lấy điểm S thay đổi khác H , đặt x  SH (x  0) , gọi  góc SC SAD Tính sin  - Bước 1: Phân tích tìm lời giải tốn Đây tốn thuộc dạng tính góc đường thẳng mặt phẳng không gian Với kiến thức học GV định hướng cho HS dễ dàng sử dụng cách tính góc đường thẳng mặt phẳng qua khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau Góc đường thẳng d với mặt phẳng (P) tính theo cơng thức: sin   d M, P MI Trong : I giao điểm d với mặt phẳng (P) M điểm đường thẳng d khác I Cụ thể: * Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD ) * sin   d C , SAD SC - Bước 2: Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học để trình bày lời giải tốn Lời giải S K N B C H D M A * Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD ) Ta có d H , SAD  HN Mà BC / /AD  d C , SAD  d B, SAD  2d H , SAD Đặt x  SH (x  0) Tam giác SHM vuông H HN đường cao nên HN  sin   SH HM  SM d C , SAD SC  3ax 3a  4x  d C , SAD 3ax (4x  3a )(x  7a )   3ax 3a  4x 3ax 4x  21a  31a 2x - Bước 3: Khai thác toán Sử dụng thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái qt hóa để khai thác tốn theo hướng sau: Hướng 1: Đặc biệt hoá toán Rõ ràng hướng khai thác đặc biệt hình chóp cho cho đáy hình vng, hình chữ nhật; ta cho độ dài cạnh x  SH (x  0) giá trị cụ thể đó; hay ta làm ngược lại cho góc yêu cầu tính khoảng cách, diện tích, thể tích; u cầu tích góc đường thẳng với mặt phẳng khác… Như ta có kho tốn góc đường thẳng mặt phẳng với mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng với cách giải tương tự nhờ khoảng cách đơn giản dễ dàng xác định góc Chẳng hạn như: Ví dụ Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD H lấy điểm S cho SH  a , gọi  góc SC SAD Tính tan  Hướng 2: Khai thác kết toán: Căn vào kết toán ta dễ dàng đánh giá 3ax sin    sin   4x  21a  31a 2x 2 3ax 2 2 21.a x  31.a x Dấu đẳng thức xảy x  12  sin   21  31 21 a Vậy  lớn sin  lớn SH  Do ta tạo tốn sau: 21 a Ví dụ Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD H lấy điểm S thay đổi khác H Tính theo a độ dài SH để góc SC SAD có số đo lớn (Đây đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm học 2015 -2016) Lời giải vắn tắt Đặt x  SH (x  0) Theo Ví dụ ta có sin   Do sin   3ax 2 2 21.a x  31.a x Dấu đẳng thức xảy x   sin   3ax 4x  21a  31a 2x 12 21  31 21 a Vậy  lớn sin  lớn SH  21 a Ví dụ Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD H lấy điểm S thay đổi khác H Tính thể tích khối chóp S ABCD góc SC SAD có số đo lớn Lời giải vắn tắt Theo Ví dụ Ta có  lớn sin  lớn Ta có SH  21 a , S ABCD  2a 1 21 189 VS ABCD  SH SABCD  2a 3.4 a  a 3 4 Bài tốn Cho hình chóp tam giác S ABC Có SA  a, BC  b Gọi V , d thể tích khối chóp S ABC khoảng cách SA BC Gọi  góc SA BC Tính sin  theo V , a,b d - Bước 1: Phân tích tìm lời giải tốn Đây tốn thuộc dạng tính góc hai đường thẳng khơng gian GV gợi ý cho HS thơng qua định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian để xác định góc chúng Khi xác định góc việc tính tốn trở nên dễ dàng Dựng hình bình hành SABD Khi góc SA BC bù với góc DBC Vì SD / /AB VS ABC  VD.ABC  VE BCD - Bước 2: Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học để trình bày lời giải tốn Lời giải S D E d C A F B Bằng bù với φ 10 Dựng hình bình hành SABD Khi góc SA BC bù với góc DBC Vì SD / /AB nên VS ABC  VD ABC , SA / /BD  VA.BCD  VE.BCD Do ta có V  VE BCD Mà d SA, BC  d E , BCD d 1 SBCD  BD.BC sin   SABC sin   a.b.sin  2 1 Suy V  VE BCD  d E, BCD SBCD  a.b.d sin  Do sin   6V a.b.d - Bước 3: Khai thác toán Sử dụng thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác tốn theo hướng sau: Nhận xét Từ kết toán ta thấy có hệ thức liên hệ 6V đại lượng đẹp sin   hay V  a.b.d sin  Do a.b.d khai thác toán theo hướng sau: Hướng Đặc biệt hoá toán Thứ Ta cho tất cạnh hình chóp giả thiết a Khi ta có kết cho tứ diện cạnh a sau: S a E a 2 C A F B * Ta dễ dàng tính d  a 2 11 * Góc SA BC 90 * Do V  a a3 a.a sin 90  12 Kết Thể tích cho tứ diện cạnh a là: V  a3 12 GV gợi ý HS đề xuất tốn theo ý tưởng sau: 1) Một tứ diện biết độ dài cạnh ta tính thể tích nhờ Kết 2) Một tứ diện biết độ dài cạnh ta tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy thơng qua thể tích nhờ Kết 3) Một số hình đa diện ta phân chia thành hình chóp tạo hình tứ diện sau áp dụng Kết Và cịn nhiều tốn khác liên quan đến hình tứ diện đều biết số kiện Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A 2a 3 B 2a C a3 D a3 Lời giải a3 a  12 Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , M trung điểm BC Thể tích V khối chóp M ABC bao nhiêu? Áp dụng Kết ta tích khối tứ diện V  A V  3a 24 B V  a3 C V  2a 12 D V  2a 24 Lời giải D M A C B 12 1 a3 a3 Ta có VM ABC  VABCD   2 12 24 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BD Lấy điểm không đổi P cạnh AB (khác A, B ) Thể tích khối chóp PMNC A 16 B C 3 D 27 12 A P M N B D C Ta có VPCMN  VDPMN  VMCND  VABCD 3 27 27 Mặt khác VABCD  nên VMCND    12 12 12 16 Ví dụ Cho tứ diện S ABC có SA  , SB  , SC  ASB  BSC  CSA  60 Tính thể tích khối tứ diện S ABC A 12 B Lời giải C D VS AB C  SB  SC  1 2       VS ABC  6VS AB C    VS ABC SB SC 12 13