Xác suất Thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội. XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ được viết theo chương trình Xác suất Thống kê (A) và (B), được Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm 1995. Như vậy tài liệu này có thể phục vụ cho việc học tập của tất cả các đối tượng sinh viên. Cuốn sách này cố gắng trình bày các vấn đề lý thuyết một cách vừa đủ. Cuối mỗi chương đều có bài tập. Số bài tập tuy không nhiều nhưng được chọn đầy đủ các dạng. Hệ thống bài tập này có thể giúp các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán và ôn tập khi thi kết thúc môn học. Trước khi xuất bản, tài liệu đã được chúng tôi sử dụng giảng dạy nhiều năm tại Trường Đại học Bách khoa, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Kinh tế, Đại học Sư phạm và một số trường đại học dân lập ở TP Hồ Chí Minh. Mặc dù đã được chỉnh sửa nhiều lần, nhưng chúng tôi biết rằng khó tránh hết được các thiếu sót. Vì vậy chúng tôi rất mong và biết ơn các ý kiến nhận xét, đánh giá của bạn đọc về quyền sách này. Mọi ý kiến xin gửi về: Bộ môn Toán ứng dụng Trung tâm giáo dục thường xuyên, Trường Đại học Bách khoa Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 268 Lý Thường Kiệt, Q.10.
Trang 1
NGUYEN BINH HUY (CHU BIEN)
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trang 3GT.06.T(V) —,
Trang 4MỤC LỤC LO! NOI BAU
Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp
1.2 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 1.8 Định nghĩa xác suất
1.4 Xác suất có điểu kiện
Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTƠ NGẪU NHIÊN
2.1 Đại lượng ngẫu nhiên
2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất
2.3 Vectơ ngẫu nhiên
2.4 Hàm đại lượng ngẫu nhiên -
Phép toán trên các đại lượng ngẫu nhiên
Chương 3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
3.1 Kỳ vọng 3.2 Phương sai
3.3 Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
3.4 Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều Chương 4 CAC QUY LUAT PHAN PHỐI
4.1 Các phân phối rời rạc
4.2 Các phân phối liên tục
4.3 Các định lý giới hạn
4.4 Các công thức gần đúng Chương 5 LÝ THUYẾT MẪU
5.1 Một số khái niệm vê mẫu 5.2 Các đặc trưng mẫu
5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu 5.4 Đa giác đổ Tổ chức đồ
Chương 6 LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
6.1 Ước lượng điểm
Trang 5Chương 7 KIỂM ĐỊNH GIA THIET THONG KE 7.1 Kiểm định tỷ lệ
7.2 Kiểm định giá trị trung bình
7.3 Kiểm định phương sai
7.4 Kiểm định quy luật phân phối 7.5 Kiểm định tính độc lập
Chương 8 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU
Trang 6LỜI NÓI ĐẦU
Xác suất - Thếng kê la một môn học quan trọng đối uới sinh uiên cúc nganh khoa học tự nhiên, kỹ thuật, hinh tế uò cả một số ngành khoa học xã hội
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ được uiết theo chương trình Xác suất - Thống bê (A)
va (B), dugc Bộ Giáo duc vad Đào tao ban hành năm 1995 Như uậy tài liệu này có thể phục uụ cho uiệc học tộp của tốt cả các đối tượng sinh uiên
Cuốn sách này cố gắng trình bày các uốn đề lý thuyết một cách uừa đủ Cuối mỗi chương đều có bài tộp Số bài tập tuy không nhiều nhưng được chọn đây đủ các dạng Hệ thốug bài tập này có thể giúp các bạn sinh uiên rèn luyện kỹ năng uận dụng lý
thuyết uào uiệc giỏi các bài toán uà ôn tập khi thi kết thúc môn học
Trước khi xuất bản, tài liệu đã được chúng tôi sử dụng giảng dạy nhiều năm tợi Trường Đại học Bách khoa, Đại học Khoa học Tự nhiền, Đại học Kinh tế, Đại học Sư phạm uò một số trường đại học dân lập ở TP Hô Chí Minh Mặc dù đã được chỉnh sửa
nhiều lần, nhưng chúng tôi biết rằng khó tránh hết được các thiếu sót Vì uậy chúng tôi rất mong.uè biết ơn các ý kiến nhộn xét, đúnh giú của bạn đọc uề quyển sách này
Mọi ý kiến xin gửi uề: Bộ môn Toán ứng dụng - Trung tâm giáo dục thường xuyên, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 268 Lý Thường Kiệt, Q.10
Điện thoại: (08) 8645134
Trang 7Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 1.1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HOP 1.1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân 1- Quy tắc cộng
Nếu một công việc được chia ra & trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có mị cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n; cách thực hiện xong công việc, , trường hợp È có n„ cách thực hiện xong công việc và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có mì + nạ + + nụ cách thực hiện xong công việc : Ví dụ 1.1 Có bao nhiêu số có ba chữ số có tổng các chữ số bằng 4? Giải Số cần tìm có dạng abe : - Trường hợp ø = 4: có một số (400) - Trường hợp ø = 3: có hai số (310, 301)! - Trường hợp ø = 2: có ba số (220, 211, 202) - Trường hợp ø = 1: có bốn sé (130, 121, 112, 103) Vậy theo quy tắc cộng, có 1 + 2 + 3 + 4 = 10 số thỏa mãn bài toán 3- Quy tắc nhân
Nếu một công việc chia ra & giai đoạn, giai đoạn 1 có m; cách thực hiện, giai đoạn 2 có n; cách thực hiện, , giai đoạn È có nạ cách thực hiện, thì có mị.nạ n¿ cách thực hiện xong công việc
Ví dụ 1.2 Một thiết bị được tạo bởi ba bộ phận Bộ phận 1 có 10 loại, bộ phận 2 có sáu loại, bộ phận 3 có hai loại Hỏi thiết bị trên có bao nhiêu loại?
Trang 88 CHUONG 1 1.1.2 Chỉnh hợp Một chỉnh hợp chập È từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm È phần tử khác nhau lấy từ ø phần tử đã cho Số các chỉnh hợp chập È từ ø phần tử ký hiệu là A} Công thức tính: nl ke cả " 7 A, =n(n-)) (n ke Dei Ví dụ 1.8 Một lớp học có 50 sinh viên Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó đời sống? Giải Mỗi cách chọn ban cán sự tương ứng với một cách chọn ba phần tử khác nhau cá kể thứ tự từ 50 phần tử Do đó số cách chọn là: AS, =50.49.48=117600 1.1.3 Chỉnh hợp lặp Một chỉnh hợp lặp chập È từ ø phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm & phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho
Số các chỉnh hgp lap chap & tit n phần tử ký hiệu là An
Công thức tính:
An =n*
Ví dụ 1.4 Có bao nhiêu cách để tám người lên năm toa tàu?
Giải Mỗi cách để tám người lên tàu tương ứng với một cách chọn tám phần tử có kể thứ tự không cần khác nhau từ năm phần tử Do đó số cách lên tàu là:
A5 =58 =390625 1.1.4 Hoán vị
Một hoán vị từ ø phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho
Trang 9ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 9 1.1.5 Tổ hợp Một tổ hợp chập b từ n phan tử là một tập con gồm * phần tử lấy từ n phần tử đã cho Số tổ hợp chập È từ n phần tử ký hiệu là C/ Công thức tính &_ n{n—1) (n—h+1) — nị _— Cu= kl “Enh! ae
Ví dụ 1.6 Một lớp có 50 sinh viên Hồi có bao nhiêu cách chọn ba người trực lớp? Giải Mỗi cách chọn ba người trực lớp tương ứng với một cách chọn một tập con có ba phần tử từ 50 phân tử Do đó số cách chọn là: cà = 0.20 4S =19600 1.1.6 Công thức nhị thức Newton (a+b)" = ».Ca"-kph k=0 +z)" = 3`C}x! =C2+C}x+C2x?+ +C2+" (*) k=o Ví dụ 1.7 Chứng minh a) C2+Ch+ 4C% = 2" b) 1C} +2.C? + +n.C7 = n2"~1
Giải a) Nhận được từ đẳng thức (*) bằng cách cho x = 1 b) Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo x
n(1+z)*~!=1,C} +2.C2x+ +nCjx"~1 Cho x = 1 ta có đẳng thức cần chứng minh
1.2 BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO
1- Phép thử ngẫu nhiên Biến cố
Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó
Mỗi kết quả của phép thử gọi là một biến cố
Ví dụ 1.8 a) Để nghiên cứu hiện tượng ngẫu nhiên về sự xuất hiện sấp hay ngửa khi tung một đồng tiền, ta tiến hành phép thử t: tung một đồng tiền Kết quả nhận được
Trang 1010 CHUONG 1 b) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp, ta được các biến cố A: sinh viên đó
là nữ; B: sinh viên đó là nam; C: sinh viên đó là sinh viên giỏi 2- Các loại biến cố
Biến cố được chia thành các loại sau:
- Biến cố trống (hay biến cố không thể có): là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử thực hiện, ký hiệu-là ® - Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn luôn xảy ra khi phép thử thực hiện, ký hiệu là Q - Biến cố ngẫu nhiên: là biến- cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra tùy thuộc vào từng phép thử Ví dụ 1.9 Trong ví dụ 1.8a, nếu đồng tiền có cả hai mặt đều ngửa, thì S là biến cố trống, N là biến cố chắc chắn Trong ví dụ 1.8b, nếu lớp học đó không có nam thì A là biến cố chắc chắn, 8 là biến cố trống Nói chung, các biến cố trong ví dụ 1.8 là biến cố ngẫu nhiên 3- Biến cố bằng nhau
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố Ö nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu là A c Ö
Nếu đồng thời có Ác B và B c A thì các biến cố A và Ö gọi là bằng nhau, ký `
hiệu là A = Ö š
Ví dụ 1.10 Tung một con súc sắc Gọi A; là biến cố được i nut (i = 1,6), B là biến cố
được số nút chia hết cho 3, C là biến cố được số nút chắn, P¿ là biến cố được số nút nguyên tố chẵn Khi đó ta có 4¿cC, AạcB Aạc P;, Pạc Á;, A;=P; Từ các định nghĩa, với mọi biến cố A ta có AcQ, QCA Do các quan hệ này nên ta có: các biến cố trống đều bằng nhau và các biến cố chắc chắn đều bằng nhau
4- Các phép toán trên biến cố
Cho hai biến cố A và B Khi đó ta gọi:
Tổng của A và B, hay A cộng B, là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra, ký
hiệu A + B
Trang 11ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT it
Tích của A va B, hay A nhân ð, là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra,
ký hiệu A.B hoặc AB
Cho một biến cố A Khi đó ta gọi đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra nếu A xảy ra, ký hiệu A
Với các biến cố A, 8, C tùy ý ta có các biến cố sau: 1-A+B=B+A, AB=BA : 2- (A+B)+C= A +(B+C), (A.B).C = A.(B.C) 8- AŒđ+C)=A.B+A.C, A +(B.C) = (A + B)(A + C) 4- A-(B+C)=(A- B).(A - C), A - (B.C) = (A - B) + (A - C) 5- AcBthìA+B=B, AB=A „ Dll =A 7- A+A=Q, AA=0 Vi AcA, ®cA vad Ac Q nén theo 5- ta cé: A+A=A, AA=A A+đ=A, Ao=â A+Q=O, AQ=A Vỡ A=Q-A nên theo 4- ta có:
8- A+B=A.B, A.B=A+B (quy tắc đối ngẫu)
Với các biến cố Á, Aa, ., Á„ ta có: Ai+¿+ +Áa là biến cố xảy ra khi có ít nhất một biến cố A; xảy ra ( = 1,n ) Aj Ag An là biến cố xảy ra khi tất cả các A; déu xay ra (i = 1n) Zt, oA, = Ai As An AyAy A, =-Ai+Aa+ + An
Ví dụ 1.11 Với các ký hiệu như trong ví dụ 1.10 ta có:
As+Aa=B, Á;¿+ A¿+ As=C
A; Aj = © v6i moi i#j
B.C = Ag
Trang 1212 CHƯƠNG 1 Ví dụ 1.12 Bắn ba phát vào bia Gọi A; là biến cố phát thứ i tring (¿=1,3) Hãy biểu dién qua Aj, Ag, A3 cdc bién cé: A: cả ba phát đều trúng B: có ít nhất một phát trúng C: có một (và chỉ một) phát trúng D: có nhiều nhất hai phát trúng Giải Ta có: A=Ai4;4; B=Ai+As+4s= Ai.A2.A3 C=A,A2As3 + Ai A, As + Ai A2A3 D=A,+A2+A3=A,A,A ð- Nhóm đây đủ các biến cố
Hai biến cố A và ÖB gọi là xưng khắc nếu A.B=œ
Các biến cố Á, Áạ, , Áa gọi là đôi một xung khắc nếu bai biến cố khác nhau bat
kỳ trong đó đều xung khắc, tức là
A; :Aj = P v6i moi i #7
Cac bién cé Aj, Ag, ., An goi 14 mot nhém ddy dd cdc bién cé néu ching đôi một
xung khắc và ít nhất một trong chúng chắc chắn xảy ra, tức là
Aj.Aj =® vdi moi it j A, + Ag + +A, =Q
Vi du 1.13 a) Ai, Ao, As, Ay, As, Ás trong ví dụ 1.10 là một nhóm đầy đủ các biến cố b) Với mọi biến cố A, hai biến cố A,A là một nhóm đầy đủ các biến cố 1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUAT 1.3.1 Các định nghĩa xác suất 1- Định nghĩa cổ điển Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng xảy ra của chúng ngang bằng nhau Ta gọi một trường hợp là /huận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra
Ví dụ 1.14 Tung một con súc sắc (cân đối, đồng chất) thì được 1 nút, 2 nut, ., 6 nút
là đồng khả năng; được 1 nút và được số nút lẻ là không đồng khả năng; được 1 nút là
Trang 13ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 13
Định nghĩa 1.1 Giả sử phép thử có n trường hợp đồng khả năng, trong số đó có m
trường hợp thuận lợi cho biến cố A Khi đó ta gọi xác suất của biến cố A là:
P(A)=^=”
tr
Như vậy, xác suất của biến cố A là tỷ số về khả năng biến cố xuất hiện Ví dụ 1.15 a) Tung một đồng tiên cân đối, đồng chất
Gọi 6S là biến cố được mặt sấp, N là biến cố được mặt ngửa Ta có 1 1 ?0)==, PWN) =5 b) Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất, với ký hiệu như trong vi du 1.10, ta có P(A,) = P(A2) = P(As) = 3 2_1 3_1 P(B)=—=—„, P (B) 673° (C) sa =—==—
Ví dụ 1.16 Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 nữ Chọn ngẫu nhiên ba người
trực lớp Tính xác suất của biến cố A: trong ba người được chọn có đúng một người nữ
Giải Số trường hợp đồng khả năng: chọn ba người từ 30 người là Cặa Số trường hợp
thuận lợi cho biến cố A là C}).C?› Từ đó xác suất của biến cố A là:
Củ.Cần _ 95
P(A) =—10 20 _“—
Là ci, — 203
2- Định nghĩa hình học
Ta gọi độ đo của một tập trên một đường là độ dài, trong một mặt là diện tích,
trong không gian là thể tích của tập đó
Trong mặt phẳng các tập nằm trên một đường có độ đo bằng 0, trong không gian các tập nằm trên một mặt có độ đo bằng 0
Định nghĩa 1.2 Giả sử các trường hợp đồng khả năng đặt tương ứng với các điểm tạo thành một tập có độ đo M, các trường hợp thuận lợi cho biến cố A tương ứng với các
điểm tạo thành một tập có độ đo m Khi đó ta gọi xác suất của biến cố A là:
m PA=
Ví dụ 1.17 (Bài toán gặp gỡ) Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm theo quy ước như sau:
- Mỗi người độc lập đến điểm hẹn trong khoảng từ 7 giờ đến 8 giờ
Trang 14-14 CHƯƠNG 1 Tính xác suất hai người gặp nhau
Giải Gọi 7 + x, 7 + y là thời điểm mà hai người này đến điểm hẹn, 0 < z, y < 1 Các trường hợp đồng khả năng tương ứng với các điểm (x, y) tạo thành hình vuông có cạnh bằng 1, có điện tích (độ đo) bằng 1 Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A (hai người gặp nhau) tương ứng với các điểm (z, y) thỏa mãn 1 lx-3|<; Các điểm này tạo thành hình có gạch chéo trong hình vẽ Diện tích hình này là 2 1" 3 (a(2) 22 (3) <3 y 1 _ 3/4 _3 A từ đó: Paya =F 1C 0 12 Ñ x 8- Định nghĩa thống kê Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau biến cố A xuất hiện k lần Khi đó ta gọi ƒ,(A)~È n
là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử
P(A)= lim ƒ„(A) neo
Theo định lý Bernoulli (định lý 4.15 chương 4), giới hạn này luôn tồn tại Trong thực tế người ta thường lấy:
P(A)xf,(A)
với n khá lớn
Ví dụ 1.18 Theo dõi mỗi 10.000 bé mới sinh, thấy có 5097 bé trai Ta có xác suất
sinh con trai là gần bằng:
5097
=——— 10000 °°? = 0,5097
4- Dinh nghĩa xác suất theo tiên đề
Xác suất của một biến cố A dù định nghĩa theo cổ điển, hình học hay thống kê đều có ba tính chất sau đây
Trang 15ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 15
(iii) Néu A va Ö xung khắc thì: P (A + B) = P (A) + P (B)
Từ đó ta có thể đưa ra định nghĩa xác suất theo phương pháp tiên để nhằm thống nhất các định nghĩa (định nghĩa cổ điển, định nghĩa hình học và định nghĩa thống kê)
Định nghĩa 1.3 Ký hiệu <# là tập hợp các biến cố trong một phép thử Ta gọi xác suất là một quy tắc đặt mỗi A e <⁄ với một số P (A) thỏa mãn các tiên đề:
Œ) 0<P(A)<1, Aec#
(D P(Q@)=1, P(®)=0
(II) Với mọi dãy biến cố đôi một xung khắc (A„) c Z#
?[Š^)-Š re
Bởi vì (T) - (HI) = (i) — (iii) nén mọi xác suất đều có các tính chất (¡) - (ii) Nếu
hit han thi (i) — (iii) > (I) — II) Do đó trong trường hợp này, có thể dùng (¡) —
Gii) thay cho (I) — (TH) trong định nghĩa xác suất
1.8.2 Xác suất của biến cố đối lập Định lý 1.1 Với mọi biến cố A ta có: P(A)=1-P(A) Chứng minh Theo (iii) va (i): P(A+A)=P(A)+P(Ä) P(A+A)=P(Q)=1 do đó: P(A)+P(A)=1 1.3.3 Định lý cộng xác suất
Theo (ii) ta có định lý cộng trong trường hợp các biến cố đôi một xung khắc Định lý 1.2 Nếu A¡, 4;, , A„ là các biến cố đôi một xung khắc thì
P (A, + Ag + + An) = P (Ai) + P (Ag) + + P (Aa)
Trang 1616 ; CHUONG 1 Do A và BA xung khắc nén theo (iii): P(A+B)=P(A)+P(BA) U tương tự B=BA + BA nên P (B) = P(BA) +P (BA) hay ' P (BA) = P (B) - P (AB) (1.2) từ (1.1) và (1.2) ta có: P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A.B) Áp dụng định lý 1.3 và bằng quy nạp ta có:
Dinh ly 1.3’ Cho Aj, Ay, ., A„ là các biến cố bất kỳ, khi đó
P(Ai+As+ + An) “2,0 )—5)P(A;Aj)+ 5) P(A,A¡A,)
ig
+ +(—1)"”1P(Ai4; A„)
Ví dụ 1.19 “Trong 50 học sinh của lớp có 20 giỏi văn, 25 giỏi toán, 10 giỏi cả văn và toán Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp Tính xác suất học sinh này giỏi văn hoặc giỏi toán
Giải Gọi A và B lần lượt là biến cố học sinh được chọn giỏi văn và giỏi toán
Khi đó A + B là biến cố học sinh được chọn giỏi văn hoặc giỏi toán Theo định lý 1.3:
P(A+B) = P(A)+ P(—B)- P(A.B)=20 50 50 50 ¿ 25 _ 19 _ o7
1.4 XÁC SUAT CO BIEU KIỆN
1.4.1 Định nghĩa và công thức tính
Cho hai biến cố A và B Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là
xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P (A/B) Ví dụ 1.20 Với các ký hiệu như trong ví dụ 1.8, ta có: A A 1 B 1 P| l=0: —2|=-~; = |== (2)-9: (2) 3 P(B)°§ P(AB) Định lý 1⁄4 P(A/B)= paờy w=
Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp phép thử có ø trường hợp đồng khả
Trang 17ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 17
b _ b/n P(AB)
/B)=—=———n=
NỔ HỘI mm/ín P(BP)
1.4.2 Định lý nhân xác suất Tính độc lập của các biến cố Định lý 1.5 Với các biến cố tùy ý A và B, ta có:
P (AB) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B) Chứng minh Theo định lý 1.4 P (AB) = P (B)P (A/B) vi P (AB) = P (BA) nên ta cũng có P (AB) = P (A)P (B/A) Áp dụng định lý 1.5 và bằng quy nạp ta có
Định lý 1.5' P (AA; Az) = P (A)P (Az/A) P (Az/A¿4a Áz—)
Bây giờ ta đưa ra điều kiện để xác suất của tích bằng tích của các xác suất
Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc
vào sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia, tức là ` P (A/B) = P (A) va P (B/A) = P (B)
Chú ý rằng chỉ cần thỏa mãn một trong hai điều kiện này thì sẽ thỏa mãn điều kiện kia Thật vậy, nếu P (A/B) = P (A) thì
_P(AB)_P(B).P(A/B)_P(B)P(A)_
Bay P(A) —~PA) le
Các biến cé Ai, Ag, ., An goi 1A déc lap todn thé néu xdc sua&t của mỗi biến cố trong đó không phụ thuộc vào sự xảy ra hay không xảy ra của một tổ hợp bất kỳ của
các biến cố khác
Từ định lý 1.5 va 1.5’ ta c6
Dinh ly 1.6 Néu A va B déc lap thi
P (AB) = P (A)P (B)
Néu Aj, Ag, An déc lap toan thé thi:
P (Aj, Ag, «.-, An) = P (Ay)P (Ap) P (An)
Chú ý rằng nếu A, B độc lập thì các cặp A, B; A, B; A, B cùng độc lập Tính độc lập toàn thể của nhiều biến cố cũng có tính chất tương tự
Ví dụ 121 Có ba hộp bi, mỗi hộp bi có 10 bi Trong hộp thứ ¡ có ¡ bi dd, 10 - i bi
xanh (i=1,3) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi
a) Tính xác suất cả ba bi lấy ra đều đồ
b) Tính xác suất ba bi lấy ra có hai đỏ, một xanh
910001848
[tau VIEN TRUNG TAM DHQG-HC
Trang 1818 CHUONG 1 e) Biết ba bi lấy ra có hai đỏ, một xanh, tính xác suất bi lấy ra từ hộp thứ hai màu xanh : Giải Gọi A; là biến cố bi lay ra từ hộp ¿ là bi đồ (¿=1,3) Ta nhận xét rằng A¡, Ao, As độc lập toàn thể a) Biến cố ba bi lấy ra đều đỏ là A¡Az4a 123 3 10 10 10 b) Biến cố ba bi lấy ra có hai đỏ, một xanh là: F= AIAsAs+ Ai 2a + A1AgA,
P (4424;) = P (AUP (A2)P (As) = =0,006
vì #' là tổng của ba biến cố đôi một xung khắc nên:
P(F)= P (Ai Ag As) + P (Ay Ag As) + P (A sAdAs) ot Ft 8 3,9 2 3 20090 10 10 10 101010 10 10 10 e) Ta cần tính P (Az/F') Theo công thức tính xác suất có điều kiện P(Aa.F)_ P(AIA2Aa) 0/024 6 P(A2/F)= PŒ) PŒ) 0092 23
Vi du 1.22 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm trong đó có ba phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm ra kiểm tra đến khi gặp đủ ba phế phẩm thì dừng lại
a) Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ ba b) Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ tư
c) Biết đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ tư, tính xác suất ở lần kiểm tra thứ hai
gặp phế phẩm
Giải Gọi A; là biến cố lần kiểm tra thứ ¿ gặp phế phẩm, i=1,10
a) Biến cố dừng lại ở lần kiểm tra thứ ba là A¡¿4z4a
P (AyAgAs) = P (ÁP (AJ/A,)P (AJA¡A›)= 19:38 = a
b) Biến cố dừng lại ở lần kiểm tra thứ tư là
F = A, Ap AsAq + ÁIÁ2Á¿Á¿ + ÁIA¿Ás¿
ta có P(A, A, A3Aq) = P(A,)P(Ag / A,)P(As / AyAg)P(Ay / Ay Ao As)
-3 271, 1 10°9°8°7 120
tương tự ta cũng có
Trang 19ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 19
Vì Ƒ là tổng của ba biến cố đôi một xung khắc nên PŒ)=3.-L~.L 120 40 c) Ta can tinh: P(Ay.F)_ P(A\ApAsAy +A1AgAgAy) 2799 _ 2 P(Ag/F) = = = =e Ohh =a PF) 31 8 “120
1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayès
Cho Aj, Ag, ., An 1A m6t nhém day đủ các biến cố (phần 1.2)
Dinh ly 1.7
a) Với mọi biến cố F' ta có
PŒể) = P (A)).P Œ/A)) + P (A¿).P (EF/A¿) + + P (An).P (F/A,)
(công thức xác suất đầy đủ) b) Với mỗi k (k = 1,n), ta có P(A,).PUF/ Ay) P(Ay)PUP/ Ay) PUP) Š PAj)PŒ/A,) ¿=1 P(A, / F)= (công thức Bayès) Chứng minh
a)Tacé: F = F.Q = F(A, +A;+ +4,)= FA, +FA,+ 4+FA,
Vì FA;, FA;, FA„ đôi một xung khắc nên
P (F) = P (FA)) + P (FA2) + + P (FA,)
= P (A,).P (FIA,) + P (Ag).P (F/A2) + + P (An)P (F/An)
b) Theo định lý 1.4 và 1.5 ta có
P(A,F)_P(A,).P(F/A,)
P(A,/F)=
VN P(F) P(F)
Vi du 1.23 C6 20 kién hang, méi kiện có 10 sản phẩm Trong số đó có tám kiện loại 1, mỗi kiện có một phế phẩm; bảy kiện loại 2, mỗi kiện có ba phế phẩm; năm kiện loại 3, mỗi kiện có năm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một kiện, rồi từ kiện lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm
Trang 2020 l CHƯƠNG 1
Giải Goi A; la biến cố kiện lấy ra thuộc loai i (i=1,3) Khi d6 Aj, Ao, As là một nhóm
đây đủ các biến cố Gọi # là biến cố sản phẩm lấy ra từ kiện là phế phẩm a) Theo công thức xác suất đầy đủ
P (F) = P (A,).P (F/A,) + P (A).P (F/A¿) + P (A3).P (F/A3) "` 20° 10° 20 10 20 10 b) Theo công thức Bayés: 321 _P(4¿).PŒ/A;) _ 200 _ 7 P(As!F)= PP 54 “8 200 1.4.4 Dãy phép thử Bernoulli Công thức Bernoulli 1- Công thức Bernoulli Một dãy n phép thử gọi là một dãy ø phép thử Bernoulli néu: - Các phép thử độc lập với nhau - Trong mỗi phép thử, xác suất của biến cố Á mà ta quan tâm có xác suất P (A) = p không đổi
Xác suất p gọi là xác suất thành công, số lần A xuất hiện trong ø phép thử gọi là số lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli
Ký hiệu P„(È) = P„(È, p) là xác suất để có È lần thành công, q = 1 - p
Dinh ly 1.8 P,(k,p)=Cip*q""*, k=0,n (công thức Bernoulli)
Chứng minh Ký hiệu 4; là biến cố phép thử thứ ¿ thành công (¿=1,w) Gọi F là biến
cố có b lần thành công thì # là tổng của CŸ biến cố đội một xung khắc có dạng Aj Aj Ay Aigner Ain trong đó: {i,,i9, ,i,}={1,2, ,7} Do tính độc lập nên P(A, Ay aa Aig) =P (Aj, ) P (Aj, )P (Aigs1) P (Aig) = p*(- p)?* từ đó P„(b,p) = C} p*q"~*
Ký hiệu P„ (È, ka) là xác suất để có từ k; đến È; lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli Theo công thức Bernoulli ta có
T,(hị;)= Stee 2
Trang 21ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 21 Ví dụ 1.24 Hàng trong kho có 20% phế phẩm a) Lấy ngẫu nhiên năm phế phẩm Tính xác suất trong năm sản phẩm này: 1) Có hai phế phẩm 2) Có ít nhất một phế phẩm ` b) Cần lấy ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 0,99?
Giải a) Số phế phẩm trong năm sản phẩm lấy ra là số lần thành công trong dãy năm
Trang 2222 CHƯƠNG 1 Vi du 1.25 Tung một con súc sắc 500 lần Số mặt 6 nút có khả năng xuất hiện nhất là bao nhiêu?
Giải Số mặt 6 nút xuất hiện là số lần thành công trong dãy 500 phép thử Bernoulli với xác suất thành công p = 1/6 Theo định lý 1.9, số có khả năng nhất là: [500.2 - 2] = [89,5] = 82 hoặc 82 + 1 = 83 BÀI TẬP 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
a) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0 và khác 1?
b) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0, khác 1 và tổng của bảy chữ số đó là số chắn? e) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đâu khác 0, khác 1 và bảy chữ số đôi một khác nhau? a) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số _ đầu tiên là chữ số lẻ?
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó có
đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)?
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên
phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm sáu ghế Người ta muốn
xếp chỗ ngồi cho sáu học sinh trường A và sáu học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bat ett hai hoc sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường
với nhau
b) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau
Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao cho A va B ngồi cạnh
nhau, còn C và D thì không ngồi cạnh nhau?
Một loại biển số xe gồm một số kí hiệu và bốn chữ số sau cùng (ví dụ như 50AB,
3507; 60NN, 0369; .) Hỏi có thể có:
a) Bao nhiêu biển số xe cùng một loại?
b) Bao nhiêu biển số xe cùng loại mà có bốn số sau cùng đều khác nhau?
Để lập 700 bảng đăng ký, mỗi bảng gồm ba ký số, cần phải dùng ít nhất bao nhiêu chữ số nếu:
Trang 23ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT : es 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 Có bao nhiêu trường hợp ta nhận được các số khác nhau khi tung cùng một lúc: a) Hai súc sắc? l b) Ba súc sắc? Cho P Œz, y, z) là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ nguyên dương chỉ gồm một chữ số Hỏi:
a) Có bao nhiêu điểm như vậy?
b) Có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất mấy điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox?
e) Có bao nhiêu hệ gồm một số điểm như vậy mà trong mỗi hệ không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox?
Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó có bốn điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng
có bất cứ ba điểm nào nữa thẳng hàng Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? Tính tổng: a) C84 Ch 44 Ch ni 1 1 b) C2 +5Cn tet On ©) Š(;Ƒ ¿=0
Một lô 20 bóng đèn, trong đó có sáu bóng 110V và 14 bóng 220V Hỏi:
a) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn từ lô ra?
b) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có hai bóng 110V?
e) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có ít nhất hai bóng 110V?
Có bao nhiêu cách sắp xếp 15 cuốn sách khác nhau vào ba ngăn kéo sao cho ngăn thứ nhất có sáu cuốn, ngăn thứ hai có bảy cuốn?
Có bao nhiêu người tham gia vào cuộc đấu cờ, nếu biết rằng cuộc đấu đó có tất cả 10 ván cờ và mỗi đấu thủ phải đấu với mỗi đấu thủ khác một ván? Giải các phương trình: a) Ad») +C¥-? =101 a Cr ce) Cems) CM CLG) =5:5:3, theo các biến m, n b) =1
Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có năm chỗ ngồi có đánh số Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có bốn người muốn quay mặt về hướng tàu đi, ba người muốn quay mặt về hướng ngược lại Hỏi có thể có
Trang 2424 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.28 CHƯƠNG 1
Mô tả biến cố đối lập của các biến cố sau:
a) Hai mat hình lật lên khi tung hai đồng tiển kim loại
b) Được bi trắng khi rút một bi từ hộp gồm hai bi trắng, ba bi đen và bốn bi đỏ e) Khi bắn ba phát thì trúng cả ba
d) Ít nhất một phát trúng khi bắn năm phát
e) Trúng không quá hai phát khi bắn năm phát Ð) Đấu thủ thứ nhất thắng trong một ván cờ vua
Bắn ba phát vào bia Gọi A, là phát thứ ¡ trúng ( = 1, 2, 3) Biểu diễn các biến cố sau qua các 4; và các biến cố đối lập của chúng: a) Cả ba phát đều trúng b) Cả ba phát đều trật e) Ít nhất một phát trúng d) Ít nhất một phát trật e) Không ít hơn hai phát trúng Ð Không quá một phát trúng
g) Trúng không sớm hơn phát thứ ba
Một lớp học có 36 học sinh, trong đó có một nửa là nam, một nửa là nữ được chia
đôi một cách ngẫu nhiên ra thành hai nửa: nửa 1 và nửa 2 Tìm xác suất để trong mỗi nửa số nam và số nữ bằng nhau
Một nhà có 10 lầu, bảy người vào thang máy ở tầng trệt Tìm xác suất để mỗi người lên một lầu (coi rằng mỗi người lên một lầu độc lập với nhau)
Lấy ngẫu nhiên một số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0 và khác 1 a) Tìm xác suất để được bảy chữ số đó đều khác nhau
b) Tìm xác suất để số điện thoại đó chia hết cho 5ð e) Tìm xác suất để tổng của bảy chữ số đó là một số lẻ
Có một lô bóng đèn màu gồm 36 bóng, trong đó có bốn bóng màu xanh Lấy ngẫu
nhiên lần lượt, khơng hồn lại hai bóng Tìm xác suất sao cho
a) Lần thứ 2 lấy được bóng màu xanh, nếu chưa biết lần thứ nhất bóng màu gì b) Lần thứ 2 lấy được bóng màu xanh, nếu lần thứ nhất lấy được bóng màu xanh
Trang 25ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 25 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30
Trong một hộp c6é m bi trang va n - m bi đen Rút ngẫu nhiên n viên bi theo cách rút có hoàn lại (mỗi lần rút một bi xem nó màu gì, ghi lại rồi trả vào hộp) Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Lần rút thứ k được bi trắng
b) Lân rút thứ k và thứ m đều được các viên bi trắng
e) Tròn ø lần rút được đúng ¿ viên bi trắng
Trong mặt phẳng ta kẻ những đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng
2a, gieo ngẫu nhiên một cây kim có độ dài bằng 2 (ý < ø) lên mặt phẳng ấy Tìm xác suất để cây kim cắt một đường thẳng
Chọn ngẫu nhiên một điểm A trên đoạn [0, 1], tức là với cùng một khả năng
như nhau A có thể là bất cứ điểm nào trong [0, 1] Điểm A chia đoạn {[0, 1]
thành hai đoạn nhỏ: gọi 7¡ là độ dài đoạn ngắn hơn và 7; là độ dài đoạn dài hơn Tìm P (T; < x) va P (T2< x) cho mọi số thực z
Cho hình vuông mỗi cạnh dài một đơn vị Lấy ngẫu nhiên một điểm A trong
hình ấy, tức là với cùng một khả năng như nhau A có thể là bất cứ điểm nào trong hình vuông Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Khoảng cách từ A đến một cạnh hình vuông không qua x
b) Khoảng cách từ A đến cạnh gần nhất không quá x
ce) Khoảng cách từ A đến tâm hình vuông không qua x
d) Khoảng cách từ A đến một đỉnh cố định của hình vuông không qua x
Bồ ngẫu nhiên năm lá thư vào năm phong bì đã đề địa chỉ trước Tìm xác suất để: a) Cả năm lá đều đúng người nhận b) Lá thư thứ nhất đúng người nhận e) Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đúng người nhận d) Chỉ một lá thư đúng người nhận Xếp ngẫu nhiên năm người lên bảy toa tàu được đánh số Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Năm người lên cùng một toa
b) Năm người lên năm toa đầu
c) Năm người lên năm toa khác nhau
đ) A và B cùng lên toa đầu
e) A va B lén cùng toa
f) A va B lén cùng toa, ngồi ra khơng có ai khác lên toa này
Cho một hộp bi cùng cỡ gồm ba bi xanh, bốn bi trắng và năm bi đỏ Từ hộp rút ngẫu nhiên, lần lượt khơng hồn lại từng bi cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại
Tìm xác suất để:
a) Có hai bi trắng và một bi xanh được rút ra
Trang 2626 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 CHUONG 1
Bắn ba phát vào máy bay dịch, phát thứ nhất trúng đích với xác suất 0,5; phát
thứ hai trúng đích với xác suất 0,6 và phát thứ ba trúng đích với xác suất 0,8
Biết rằng khi bị trúng một phát, máy bay rơi với xác suất 0,3; khi bị trúng hai
phát máy bay rơi với xác suất 0,6; khi bị trúng ba phát thì chắc chắn máy bay
rơi Tìm xác suất để máy bay rơi
Có hai hộp, hộp 1 chứa hai bi trắng tám bi đen, hộp 2 chứa ba bỉ trắng hai bi đen Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một bi bỏ đi, sau đó số bi còn lại của hai hộp bỏ chung vào một hộp rỗng thứ ba Từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra một bi Tìm xác
suất để bi lấy được là trắng Có 12 cái hộp gồm
a) Sáu hộp thành phần A¡: mỗi hộp chứa sáu bi trắng, bốn bi đen
b) Ba hộp thành phần A;: mỗi hộp chứa hai bi trắng, tám bi đen e) Hai hộp thành phần A;: mỗi hộp chứa sáu bi trắng, sáu bi đen d) Một hộp thành phần A„: chứa bốn bi trắng, sáu bi đen
Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một bi thì thấy được bi trắng Tìm xác suất để bi đó được lấy ra từ hộp có thành phần 4a
Hai xạ thủ mỗi người bắn trúng một phát đạn vào bia, xác suất trúng đích của
người thứ nhất là 0,9 và người thứ hai là 0,7 Tính các xác suất: a) Có đúng một phát trúng
b) Cả hai phát đều trúng e) Có ít nhất một phát trúng
Có một chuyến tàu hỏa gồm n toa dừng bánh tại một ga Có # hành khách mới lén tau (k > n) Coi rang mỗi người có thể lên một toa bất kỳ, hãy tính xác suất
sao cho mỗi toa đều có hành khách mới ngồi
Để sản xuất một loại sản phẩm, có thể dùng một trong hai máy Tỉ lệ phế phẩm
đối với máy thứ nhất là 0,03; đối với máy thứ hai là 0,02 Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy thứ nhất và 1/3 sản phẩm của máy thứ hai, người ta rút hú họa một sản phẩm Tính xác suất sao cho sản phẩm đó không phải phế phẩm Có hai lô chỉ tiết, một lô gồm 12 chiếc và lô kia gồm 10 chiếc, mỗi lô có một phế phẩm Rút hú họa một chỉ tiết từ lô thứ nhất trộn vào lô thứ hai rồi tiếp đó từ lô thứ hai rút ra hú họa một chỉ tiết Hãy tính xác suất để chiếc đó là phế phẩm Có một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và (-) Qua thống kê cho biết
là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu (.) và 1/3 tín hiệu (-) bị méo Biết rằng tỉ số
các tín hiệu chấm và vạch trong tin truyền đi là 5 : 3 Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu:
Trang 27ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 27
1.39 Trong số 18 xạ thủ, năm người bắn trúng đích với xác suất 0,8; bảy người bắn trúng đích với xác suất 0,7; bốn người bắn trúng đích với xác suất 0,6 và hai người bắn trúng đích với xác suất 0,5 Chọn hú họa một xạ thủ và cho anh ta bắn một phát, nhưng kết, quả không trúng bia Hỏi xạ thủ ấy có khả năng thuộc nhóm nào nhiều nhất?
1.40 Tỉ lệ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30% Biết rằng tỉ lệ người bị viêm
họng trong số những người nghiện là 60%, còn tỉ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là 40%
a) Lấy ngẫu nhiên một người thấy rằng người ấy bị viêm họng Tính xác suất người ấy nghiện thuốc
b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc
1.41 Trong một thành phố nọ, người ta thống kê được như sau: Số con trong gia đình (n) 0 1 2 3 4 5 Tỉ lệ phần trăm gia đình có n con (trong tổng số các gia đình) 15 20 30 20 10 5 Cho rằng xác suất để một trẻ sinh ra là trai hoặc gái đều là 0,5 và không phụ thuộc vào các trẻ khác
a) Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong thành phố đó Tìm xác suất để gia đình
đó có đúng hai con gái (ngoài ra còn có những người con khác)
b) Chọn ngẫu nhiên một đứa con trong số những đứa con của các gia đình ấy Tìm xác suất để đứa con ấy thuộc gia đình có đúng 2 con gái như trong phần a)
1.42 Có hai hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa bốn bi trắng và sáu bi xanh, hộp 2 chứa năm
bi trắng và bảy bi xanh Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một bi thì được bi trắng, trả bi trắng đó vào hộp đã lấy ra Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra, là bi trắng
1.43 Xác suất để sản xuất ra một chỉ tiết điện tử loại tốt là 1/3 Tìm xác suất để trong một lô 15 chỉ tiết có:
a) Năm chỉ tiết loại tốt
b) Từ bốn đến bảy chỉ tiết loại tốt
1.44 Từ một ngăn gồm 20 quả cầu trắng và hai quả cầu đen, người ta rút ra 10 lần, mỗi lần một quả đồng thời hoàn lại sau khi rút Tính số lần chắc nhất xuất hiện một quả cầu đen và xác suất tương ứng
1.45 Ở một đoạn đường phố trong một giây có một xe qua với xác suất p, không có xe nào qua với xác suất g = 1 — p, không phụ thuộc vào khoảng thời gian khác Một người đi bộ muốn băng qua đường cần có ba giây không có xe nào di ngang qua
Trang 2828 CHUONG 1 a) 8 giây - b) 4 giây 1.46 c) 5 giây
Bài toán S.Pepys
Biến cố nào sau đây có xác suất lớn hơn:
a) Khi gieo 6 súc sắc cân đối, đồng chất thì có ít nhất một mặt trên có sáu chấm
b) Khi gieo 12 súc sắc cân đối, đồng chất thì có ít nhất hai mặt trên có sáu chấm
Trang 29Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VE0TØ NGẪU NHIÊN
2.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1- Định nghĩa uàè phân loại
Định nghĩa 2.1 Giả sử A¿, 4;, , A„ là một nhóm đây đủ các biến cố Khi đó có một
quy tắc X đặt mỗi biến cố với A; với một số z¡ (¿=1,z ) gọi là một đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên theo định nghĩa trên gọi là đại lượng ngẫu nhiên dạng bậc
thang Đại lượng ngẫu nhiên tổng quát là giới hạn của một dãy các đại lượng ngẫu nhiên bậc thang
Thông thường ta hiểu một cách nôm na, đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng đặt
tương ứng mỗi biến cố với một số, tuy nhiên giữa các số này có mối liên hệ chặt chẽ
chứ không phải tùy ý
Ví dụ 2.1 a) Tung một con súc sắc Gọi X là số nút xuất hiện Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên Tập giá trị của X là (1, 2, 3, 4, 5, 6} nên ta thường viết:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Tung một déng tién cho đến khi được mặt ngửa thì dừng Gọi X là số lần tung Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên:
= t2 se fd
Đại lượng ngẫu nhiên X có dạng:
= (x1, Xe, ., XnÌ hoặc: XE [Ky ds cans án suŸ
với các giá trị rời nhau, gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng ngẫu nhiên có miễn giá trị lấp đây một đoạn hay khoảng nào đó gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ 2.2 Trọng lượng của một loại sản phẩm, mực nước biển tại một thời điểm là
những ngẫu nhiên liên tục
2- Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rac
Cho X = (x1, x2, ., Xp) «.) là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Đặt p¡ = PŒX = z¡)
Trang 3030 x Xị XQ ae Xa P Px Pe ir Pa CHƯƠNG 2 Ví dụ 2.3 Gọi X là số nút xuất hiện khi tung một con xúc xắc Ta có bảng phân phối của X là: x 1 2 3 4 5 6 a2 6 dF 6 32 6 24 6 6 + 6
Vi du 2.4 Một hộp đựng bốn quả câu giống nhau đánh số 1, 2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên ra
hai quả Gọi X là tổng của hai số ghi trên hai quả đó Ta có bảng phân phối của X là: x 3 4 6 7 ø|| œ > | 2 1 6 6 + 4 6 6 Dinh ly 2.1 Bảng phân phối xác suất có các tính chất sau: (i) O<p,<1 (ii) ip, =1 i Chứng minh
(i) Là hiển nhiên
(ii) Đặt A; = (X = x;) thì các biến cố A; đôi một xung khắc và Ai =
i
nén: > 7: =>, P(A;) = PQ) =1
2.2 HAM PHAN PHOI XAC SUAT HAM MAT ĐỘ XÁC SUAT
1- Ham phân phối xúc suất
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên Ta gọi hàm:
F(x) = P(X < x)
là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
Định lý 2.2 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
(i) F(x) khéng giảm
(i) F(-#) = lim F(x)=0
F(+0) = lim F(x)=1
Trang 31ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTØ NGẪU NHIÊN 31 (iii) Pla < X <b) = F(b) - F(a)
Chứng minh
(i) Néua <b thi: (x<b) = (x<ø) +(œ<X<b)
là tổng của hai biến cố xung khắc Từ đó: P(X< b) = P(X<ø) + P(a < X < b) F(b) = F(a) + Plas X < b) vi: Plas X¥ <b)20 nén: F(a) < F0) (ii) F(-0) = P(®) = 0; F(+0) = P(Q) = 1 Gii) Theo chứng minh (i): F@®) = F(a) + P(a < X < b) do đó: Plas X <b) = F(b)-F(@)
Nhận xét: Từ (¡) và (ii) ta có: 0 < F(+) < 1 Tính chất (¡) và (ii) gọi là tính chất đặc trưng của hàm phân phối xác suất: một ham F(x) x4c dinh trén R cé tinh chat (i) va
đi) đều là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó Ví dụ 2.1 Chứng tỏ: F(x) == ot 5 + Sarectgx là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nh Giải Vì: @ =3 mn l+# — >0 nên F(x) tang
Mặt khác: Jim FG) = 5 + i/- 3)” 0, lim F(x) = $+ +2 Eat nén F(x) lA ham mat độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên
Trang 323 CHƯƠNG 2 0 nếu <#\ Dị neu xị <x<*%¿ Pi +P néu xo <xSX3 F(x) = Pì+Ds+ +Dạ_ NEU #„-¡< XS#%„ 1 nếu x>x„ Chứng minh Đặt xạ = —œ©, PŒ,) = po = 0 Với mọi ze(%;,x;„¡], ta có: F(x) =P(X <x) = P(x<x;)= SY P(X =x) = Pot Py to Di k=0 Chú ý đến pạ = 0 ta có biểu thức của F(z)
Nhận xét: Hàm F(x) gián đoạn tại các điểm x; nhưng liên tục bên trái tại các điểm này
Ví dụ 2.6 Tung hai đồng tiền cân đối, đồng chất Gọi X là số mặt ngửa xuất hiện
Tìm hàm phân phối xác suất của X
Giải Bảng phân phối của z là: x 0 1 2 P A 4 Ht 2 + 4 Do đó theo định lý 2.2 hàm phân phối xác suất của X là: 0 nếu x<0 y 1 & 3 nếu 0<+<1 F(x) = 3 2 néu 1<x<2 4 1 nếu x>2 EF(z) có đồ thị như hình vẽ Định lý 2.4 Nếu hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục tại x = a thì: PŒ =ø)=0
Chứng minh Do: P(ø < X < b) = F(b) - F(a)
A F(x) lién tuc tai a nén cho b > a’, ta cé:
Trang 33ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTØ NGẪU NHIÊN 33
Nhận xét: Theo định lý 2.4, nếu F2) liên tục tại ø và ö thì:
P(a< X<ð) = P(a< X <b) = P(a<X sb) = P(a<X sb)
3- Hàm một độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F(x) 1A mot hàm
có đạo hàm Khi đó ta gọi hàm: fx) = F@) là hàm mật độ xác suất của X Định lý 2.5 Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X có các tính chất sau: 6 /Œ@)>0 Gt [ƒœdx=1 Gi) P(œ<X<ð) = (fed: Gv) F@)= [* f@ae Chứng minh (i) Vi F(x) khéng giảm nén ffx) = F(x) > 0 Gi) [ “ƒœdx= F@T =1-0=1 (ii) P(@œ<X<ð) = F@)~F@) = [ƒŒœdx (iv) Theo công thức đạo hàm theo cận trên [f./9w]= rø = rœ do đó: ˆ F(x) = f° fat +C Vi F(x) = 0 nên C = 0 Vậy ta có: F(x) = f° f@de
Nhận xét: Tính chất () và (ii) của định lý 2.5 là tính chất đặc trưng của hàm mật độ xác suất: một hàm ƒfz) xác định trên R thỏa mãn () và (ii) là hàm mật độ xác suất của
Trang 3434 CHUONG 2 b) Tim ham phân phối xác suất F(z) của X e) Tính xác suất P(0<X <3) : Giải a) Hiển nhiên ƒ(+) > 0 Mặt khác: +Ð + [fax = [2xdx= x?Ï =1 “oO ° ° do đó Ax) 1a hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên X 0 nếu x<0 b) Tacó: F(x) = Ữ ƒŒ)dt = x? nếu 0<x <1 1 nếu x>1 0 1 x Đổ thị hàm F(x) Đổ thị hàm F(x) 1 2 1 1Ý 1
©) r[o<x <3) 2 PP fedx # z()-rto 2 (3) “2
2.3 VECTO NGAU NHIÊN
2.3.1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên
Cho các đại lượng ngẫu nhiên X\, X;¿ , Xạ xác định trên các kết quả của một phép thử Khi đó ta gọi:
Z = (Xj, Xp, « , Xn)
là một uectơ ngẫu nhiên n - chiều
Ví dụ 2.8 Chọn ngẫu nhiên một sinh viên Gọi Xị là điểm môn tốn, X; là điểm mơn
lý, X; là điểm môn ngoại ngữ thi:
Z = (Xi, Xo, Xs)
là một vectơ ngẫu nhién 8 - chiéu
Sau đây ta xét một số vấn để về vectơ ngẫu nhiên 2 - chiều Z = (X, Y) Tương tụ
Trang 35ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTØ NGAU NHIÊN 35
2.3.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 - chiều 1- Bảng phân phối xác suất đông thời
Cho X = (x1, #¿, xe|; Ÿ = Vu, #2, Yad
Đặt pụ = PŒX = zị¡, Ÿ = y); ¿ = 1m, j =1,n, ta có bảng sau đây gọi là bảng phân
phối xác suất đồng thời của Z = (X, Y): Y = Yìị Ya si Yn x x Pat Pa a Pin X¿ Xm Pmt Pm2 Đmn ta có: 0< pụ <1 và 5> pụ =1 py 2 Phân phéi lé cia X va Y © na — Đặt: Pi= > Py = P(X = z¡),Ì = 1, m j=l Ta được bảng phân phối xác suất của X: x - XỊ Xo ae Xm px Ps Pz Pm m s== Đặt: q;=Ề)pụ = = yj),Jj =1, n ¿=1 Ta được bảng phân phối xác suất của Y: x Vì Ya Ya pY q qe Qn
_ Các phân phối này thực chất là cộng dòng hay cộng cột của bảng phân phối xác suất đồng thời ra lễ nên gọi là các phân phối lễ của (X, Y)
3- Phân phối có điều biện
Trang 3636 CHƯƠNG 2 Bảng phân phối xác suất của Y đối với điều kiện X = z¡ = 1, m) là: Y Y Ye ws Yn pYfX Pi Pig Pin Pj Pi ‘ Pj 4- Điều kiện độc lập của X va Y
X và Y độc lập = P(X = x;, Y = y;) = PŒX = x¡).PŒ = y,) Vi,7
© py = Pp; Vi, J
ð- Hàm phân phối của (X, Y)
Fay)=P&<2,¥<y= YO Vp;
Hee yjey
Ví dụ 2.9 Tung hai đồng tiền cân đối va déng chat Goi X là số mặt sấp xuất hién, Y là số mặt ngửa xuất hiện
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) Tìm các phân phối lẻ b) X và Y có độc lập không? Giải a) Ta có bảng phân phối đồng thời và phân phối lề như sau: ˆ Y % : 0 1 2 px 4 0 0 0 1⁄4 1⁄4 1 0 1/2 0 % 2 1/4 0 0 1⁄4 oY 1/4 1/2 1/4 1 b) X và Y không độc lập vì P(X = 0, ¥ = 0) = 0; P(X = 0).P(Y = 0) = a
Vi du 2.10 Có ba lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm, trong lô thứ ¿ có ¡ phế phẩm, ¿=1,3 Tung hai đồng tiền Nếu không có mặt sấp nào thì chọn lô 1, có một mặt sấp
ˆ thì chọn lô 2, có hai mặt sấp thì chọn lô 3 Từ lô được chọn lấy ra một sản phẩm Gọi
X là số mặt sấp khi tung hai đồng tiền, Y là số phế phẩm được lấy ra a) Lập bảng phân phối đồng thời của (X, Y) Tìm các phân phối lễ b) Tìm phân phối có điểu kiện của X khi Y = 1, của Y khi X = 1
Giải a) Ta có X = |0, 1, 2], Y = |0, 1) Theo định lý nhân ta có Pụ = PŒ = Ù.PW =j!X =0)
Trang 37ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTØ NGẪU NHIÊN 37 Y 0 1 px x 0 9/40 1/40 1/4 1 2/8 1/10 1/2 2» 7/40 3/40 1/4 pY 4/5 1/5 1 b) Phan phối của X khi Y = 1: x 0 1 1 ‘i 1 1 3 x¥=1 am xa: — Ẹ 8 2 8 Phân phối của Y khi X = 1 Y 0 1 4 1 Y/Xz1 iene _ E 5 5 2.3.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục 2 - chiều 1- Hàm một độ đông thời Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X, Y) là ham fx, y) xdc định trên toàn mặt phẳng có các tính chất: (i) f(x,y) 20 đi) [[ƒ(œ,y)dxdy =1 R2 Gii) PIQX,Y)e DỊ= [[ƒŒœ,x)dxdy (D)
Tinh chat (i) va (ii) là tính chất đặc trưng của hàm mật độ đồng thời: hàm fix, y) thoả mãn (¡) và (¡¡) là hàm mật độ xác suất của một vectơ ngẫu nhiên (X, Y) nào đó 2- Mat dé lé cia X va Y
Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật dé déng thdi 1a Ax, y)
khi đó: fx (x)= [ire y)dy là hàm mật độ của X;
fy)= [””f(,y)dx là hàm mật độ của Y
Trang 3838 , CHƯƠNG 2 3- Mật độ có điều kiện Hàm mật độ của X với điều kiện Y = y là: fy, fe) 35 fe) Hàm mật độ của Y với điều kiện X = z là: f(x,y) fx (x) f#y„()=
4- Điều biện độc lập của X uà Y
Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu:
f(x,y) = fx (x).fy (y)
Trong trường hợp này, với mọi khoảng A, B c R, ta có:
P(XeA,YeB) = If ƒ(x,y)dxdy= f, fx (x)dex i y0)dy = P(XA).P( eE
(AxB)
tức là xác suất của tích bằng tích của các xác suất ð- Hàm phân phối của (X, Y) xy F(a,y) = P(X <x,Y<y) = j j f(u, v)dudv Vi du 2.11 Cho ham b nếu 0<x<y<1 f(x,y) =
0 néu trai lai
a) Ching to fix, y) 1A ham mật độ của một vectơ ngẫu nhiên Z = (X, Y) b) Tìm các hàm mật độ lễ
c) X và Y có độc lập không?
d) Tìm hàm phân phối FŒ, y) của Z
Trang 39ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTO NGAU NHIÊN 39 2(1 — x) nếu +e(0, 1) vậy: fx (x) = 0 nếu xe(0, 1) Tương tự: & 2y nếu +ye(0, 1) y@) = [ ”fŒ, 9/dx = i a 0 nếu ye(0, 1)
©) ƒx„(x).fy(y) # ƒf(z, y) nên X, Y không độc lập
0 nếu x<0 hoặc y<0
x2y-*)_ nếu 0<x< y<1
d) F(x, y) = fC Pr f(u, v)dudv = y? nếu 0< y<1,x>y x(2—*) nếu 0< x<1, y>1 T nếu x>1, y>1 Ví dụ 2.12 Cho (X, Y) có hàm mật độ đồng thời 4xy nếu 0<*x,y<1 f(x,y”) = 0Q nếu trái lại a) Tìm các hàm mật độ lễ Chứng tỏ X và Y độc lập b) Tìm hàm phân phối của (X, Yì) 1 3 +00 4xydy nếu xe[0,1] Giải a) Ta có: f(x) = [f(x y)dy = h 0 nếu xe[0,1] 2x nếu xe[0, 1] h nếu ~e[0, 1] Ñ nếu ye[0, 1] Tương tự ta có: ƒfy(y) = 0 néu ye[0, 1] vì fz, y) = f#(z).fvŒ) nên X và Y độc lập
0 nếu x<0 hoặc y<0
xˆyˆ ` nếu 0<x,y<1
Trang 4040 s ' CHƯƠNG 2 2.4 HAM CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN PHÉP TOÁN TREN CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.4.1 Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên
1- Trường hợp rời rạc
Giả sử Y = ọ(X), X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bằng cách tính các giá trị
o(z;), ta tìm được các giá trị mà Y nhận Xác suất tương ứng để Y nhận g; là:
PŒ=y,)= Vp;
Maxi) RIF
từ đó ta có bảng phân phối xác suất của Y Vi dụ 2.18 Cho X có bảng phân phối xác suất: x -1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Tìm bảng phân phối của Y = X? Giải Ta có Y =|0, 1, 4] PY = 0) = PX = 0) = 0,3 PƠ = 1) = PŒX = —1) + PŒX = 1) = : PƠ = 4) = PŒX = 2) = 0,2 x 0 Ai 4 03 ˆ 0,5; 0,2 Ví dụ 2.14 Cho X có bảng phân phối xác suất x 1 2 5 n A sa ae P 2 22 7 Qn