đoàn Vương Nguyên CHUYÊN đỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH đỐI XỨNG LOẠI KIỂU I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.. Giải hệ tìm S, P rồi dùng ViỜet ựảo tìm x, y.. iii Có những hệ phương t
Trang 1ThS đoàn Vương Nguyên
CHUYÊN đỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH đỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I Hệ ựối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
, trong ựó
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: đặt ựiều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: đặt S = x + y, P = xy với ựiều kiện của S, P và S2 ≥4P
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng ViỜet ựảo tìm x, y
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 Ờ 2P, x3 + y3 = S3 Ờ 3SP
ii) đôi khi ta phải ựặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành ựối xứng loại I sau khi ựặt ẩn phụ
Vắ dụ 1. Giải hệ phương trình
x y xy 30
GIẢI
đặt S = x +y, P = xy, ựiều kiện S2 ≥ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90
S
=
Vắ dụ 2. Giải hệ phương trình xy(x3 3y) 2
GIẢI
đặt t= −y, S = x +t, P = xt, ựiều kiện S2 ≥ 4P Hệ phương trình trở thành:
Vắ dụ 3. Giải hệ phương trình
1 1
x y
+ + + =
GIẢI
Trang 2ThS ðoàn Vương Nguyên
ðiều kiện x ≠ 0, y ≠ 0
Hệ phương trình tương ñương với: 2 2
+ + + =
+ + + =
= + + + = + + ≥
ta có:
2
+ + + =
1
x
y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
GIẢI
ðiều kiện x, y ≥ ðặt 0 t= xy ≥ 0, ta có:
2
xy = t và (2)⇒ x+y =16−2t Thế vào (1), ta ñược:
2
t −32t+128 = 8− ⇔t t = 4
Suy ra:
II ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và S2 ≥4P (*)
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m
Chú ý:
Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v
Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Trang 3
ThS ðoàn Vương Nguyên
ðiều kiện x, y ≥ ta có: 0
ðặt S = x+ y ≥0, P = xy ≥ 0, S2 ≥ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
Từ ñiều kiện S≥ 0, P≥ 0, S2 ≥ 4P ta có 1
4
≤ ≤
Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình x2 y xy2 m
có nghiệm thực
GIẢI
xy(x y) 3m 9
ðặt S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 −mt+3m−9 = 0
Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2 2
Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình x 4 y 1 4
có nghiệm
GIẢI
ðặt u = x−4 ≥0, v = y− ≥1 0 hệ trở thành:
21 3m
2
+ =
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m
2
−
− + = (*)
Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm
2
0
2
Trang 4
ThS đoàn Vương Nguyên
Vắ dụ 4. Tìm ựiều kiện m ựể hệ phương trình
xy(x 4)(y 4) m
có nghiệm thực
GIẢI
(x 4x) (y 4y) 10
đặt u =(x+2)2 ≥ 0, v =(y+2)2 ≥ Hệ phương trình trở thành: 0
(S = u + v, P = uv)
điều kiện
2
≥
≥
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1 x2 y2 xy 5
đáp số: x 1 x 2
2
đáp số: x 1 x 3 x 3
3 x3 y 3 2xy 2
đáp số: x 2 x 0
4
xy(x y) 2
− =
đáp số: x 1 x 2
5 x2 y2 2xy 5
đáp số:
6
2 2
1
xy 1
x y
đáp số:
Trang 5
ThS đoàn Vương Nguyên
7 x y y x 30
đáp số: x 4 x 9
8
1
x xy y xy 78
(chú ý ựiều kiện x, y > 0) đáp số: x 4 x 9
9 (3 2 3 2)
đáp số: x 8 x 64
10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
xy yz zx 4
Chứng minh 8 8
x, y, z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
⇔
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
⇔
xy (z 2) xy (z 2)
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2
đổi vai trò x, y, z ta ựược 8 8
x, y, z
11
+ =
+ =
đáp số:
1 x 2 1 y 2
=
=
12
sin (x y)
2(x y ) 1
π +
HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:
sin (x y)
sin (x y) 0 x y (1)
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2) 2(x y ) 1
π +
Z
2
2
1
y
(1)
+ =
⇒ + = ổ thế vào (2) ựể giải
Trang 6ThS ðoàn Vương Nguyên
Cách 2:
ðặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:
sin S
2 2
S
2(S 2P) 1
π
Z
Từ ñiều kiện S2 ≥ 4P ta suy ra kết quả tương tự
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1 Tìm m ñể hệ phương trình
có nghiệm thực duy nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
m 21
+ m = – 3:
(loại)
+ m = 21:
(nhận)
Vậy m = 21
2 Tìm m ñể hệ phương trình: x2 xy 2y m 1
có nghiệm thực x > 0, y > 0
HƯỚNG DẪN GIẢI
xy(x y) m
Hệ có nghiệm thực dương m 0 2 1
>
Vậy 1
4
< ≤ ∨ ≥
Trang 7ThS ðoàn Vương Nguyên
3 Tìm m ñể hệ phương trình x y m
có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình
2
3
−
Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm
2
Vậy m = 0∨ ≤1 m ≤ 4
4 Tìm m ñể hệ phương trình
2
(x y) 4
có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi (±2)2 = 4(1−m)⇔ m = 0
5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 2 1
Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
ðặt S = x +y, P = xy, ñiều kiện S2 ≥ 4P
S 2m 1
3
2
Từ ñiều kiện suy ra 2 2 4 2 4 2
Xét hàm số 3 2 4 2 4 2
Ta có 4 2 11 6 2 4 2 4 2
Vậy 11 6 2 4 2