Trang 1 Xác suất thống kêKhoa CNTT-Đại học Thủy Lợi Trang 2 Giới thiệu môn học:Xác suất thống kê là lĩnh vực toán học chuyên nghiêncứu về các quy luật của các đại lượng nhận một giá trị
Xác suất thống kê Khoa CNTT-Đại học Thủy Lợi Bộ mơn Tốn (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Giới thiệu mơn học: Xác suất thống kê lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu quy luật đại lượng nhận giá trị hồn tồn ngẫu nhiên Là công cụ quan trọng cho kĩ sư việc đưa kết luận khoa học có tay quan sát thực tế kết từ phịng thí nghiệm (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Tài liệu: Tài liệu chính: Xác suất thống kê dành cho kỹ sư nhà khoa học, Trường ĐHTL, 2010, tái lần thứ có chỉnh sửa bổ sung (Thư viện trường) Tài liệu tham khảo: Nguyễn Hữu Bảo, Xác suất thống kê, Nxb Xây Dựng, 2004 Đặng Hùng Thắng, Bài tập xác suất, NXB Giáo dục, tái lần (2007) (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 u cầu mơn học Số tiết lí thuyết: 30; Số tiết tập: 15 Điểm học phần= Điểm thi kết thúc học phần ×60%+ Điểm q trình ×40% Điểm q trình= 40% điểm kiểm tra kỳ (1 bài)+30% điểm chuyên cần+30% điểm tập Nghỉ buổi tập trừ 1.0 điểm chuyên cần; Nghỉ 20% số tiết khơng dự thi học phần (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Bài 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 1.1 Biến cố phép toán biến cố: 1.1.1 Phép thử: Phép thử: thí nghiệm mà ta khơng biết trước kết xảy ra, dự đốn khả xảy Không gian mẫu: Tập hợp tất khả xảy phép thử - Mỗi khả xảy gọi điểm mẫu - Ký hiệu: Ω - Số phần tử không gian mẫu |Ω| (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Ví dụ: Ví dụ 1: Gieo đồng xu, Phép thử là: Gieo đồng xu Không gian mẫu Ω = {S, N} → |Ω| = Ví dụ 2: Gieo đồng thời xúc xắc Phép thử là: Gieo đồng thời xúc xắc Không gian mẫu Ω = {(x, y ) | x = 1, 2, , 6; y = 1, 2, , 6} = {(1, 1); (1, 2); ; (6, 6)} → |Ω| = 36 Lấy ngẫu nhiên quân từ cỗ Hỏi |Ω| =? (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 1.1.2 Biến cố: Biến cố kiện phép thử, biến cố tập không gian mẫu Ký hiệu: A, B, C ; A1 ; A2 ; -Số phần tử A ký hiệu |A| (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Chú ý: Có loại biến cố đặc biệt: - Biến cố chắn: Ω: 100% xảy - Biến cố không thể: ∅: 0% xảy Các biến cố sơ cấp: biến cố đơn giản nhất, biểu diễn qua biến cố khác Hai biến cố độc lập: hai biến cố mà khả xảy biến cố không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn / 26 Một số phép toán biến cố Hợp biến cố: A ∪ B nghĩa biến cố A xuất B xuất hai Giao biến cố: A ∩ B nghĩa biến cố A xuất B xuất Biến cố đối: A biến cố đối (bù) biến cố A, biến cố xuất biến cố A không xuất Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅ (Bộ mơn Tốn) Xác suất thống kê Bộ mơn Tốn 10 / 26 12.1 Kiểm định cho tỷ lệ Các bước làm toán kiểm định tỷ lệ: +) Gọi p tỷ lệ +) Số liệu: n =; x = +) Khẳng định toán kiểm định cho tỷ lệ, cỡ mẫu lớn Đối thuyết H1 : p 6= p0 ˆ − p0 P pˆ − p0 Chỉ tiêu kiểm định là: Z = r ⇒z = r p0 q0 p0 q0 n n Chọn mức ý nghĩa α Tra bảng A.3 ta giá trị tới hạn zth = zα/2 Miền bác bỏ giả thuyết: D = (−∞, −zth ] ∪ [zth , +∞) Giả thuyết H0 : p = p0 ; Kiểm tra: z ∈ D hay z ∈ / D? Kết luận: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết (Bộ môn Tốn) Bài 12: KIỂM ĐỊNH CHO TỶ LỆ Bộ mơn Tốn 2/6 Ví dụ 1: Loại thuốc an thần cũ có tác động tới 60% người sử dụng Kết thử nghiệm loại thuốc với 100 người thấy thuốc có tác dụng với 70 người Có thể tin hay không loại thuốc tốt loại thường dùng? Sử dụng mức ý nghĩa 0,04 Ví dụ 2: Một nhà nghiên cứu khẳng định tỷ lệ người dân mắc bệnh sốt xuất huyết Hà Nội 1, 5% Một nghiên cứu tỷ lệ sốt xuất huyết Hà Nội 1000 người dân cho thấy có 20 người mắc bệnh sốt xuất huyết Vậy tin hay khơng với mức ý nghĩa 0.05 (Bộ mơn Tốn) Bài 12: KIỂM ĐỊNH CHO TỶ LỆ Bộ mơn Tốn 3/6 12.2 Kiểm định cho hiệu hai tỷ lệ: Các bước kiểm định +) Gọi p1 , p2 tỷ lệ +) Số liệu: Mẫu 1: n1 =; x1 =; Mẫu 2: n2 =; x2 = +) Đây toán kiểm định cho hiệu tỷ lệ, cỡ mẫu lớn Giả thuyết H0 : p1 = p2 Đối thuyết H1 : p1 6= p2 b1 − P b2 P Chỉ tiêu kiểm định: Z = s Trong đó: 1 pˆqˆ + n1 n2 x1 + x2 pˆ1 − pˆ2 , qˆ = − pˆ Tính z = r pˆ = n1 + n2 1 pˆqˆ n1 + n2 Mức ý nghĩa α Tra bảng A.3 ta giá trị tới hạn zth = zα/2 =⇒ MBB: D = (−∞, −zth ] ∪ [zth , +∞) Kiểm tra: z ∈ D hay z ∈ / D Kết luận: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết (Bộ mơn Tốn) Bài 12: KIỂM ĐỊNH CHO TỶ LỆ Bộ mơn Tốn 4/6 Ví dụ 2: Một bỏ phiếu đưa để xác định vị trí xây dựng nhà máy hóa chất thành phố hay ngoại Có 120 200 cử tri thành phố đồng ý cho xây dựng thành phố 240 500 cử tri ngoại ô đồng ý với đề xuất Liệu cho tỷ lệ cử tri thành phố ngoại ô đồng ý với đề xuất không? Sử dụng mức ý nghĩa 0,025? Ví dụ 3: Kiểm lượng học sinh hai trường THPT để xem xét số lượng đỗ đại học năm 2013 cho số liệu sau: Trường A B Số học sinh Số lượng đỗ 150 120 200 165 Hỏi khẳng định với mức ý nghĩa 0,02 trường A có tỷ lệ đỗ đại học thấp trường B hay không? (Bộ môn Tốn) Bài 12: KIỂM ĐỊNH CHO TỶ LỆ Bộ mơn Tốn 5/6 Các ý tập nhà Bài toán kiểm định cho tỷ lệ, cỡ mẫu lớn Bài toán kiểm định cho hai tỷ lệ, cỡ mẫu lớn Bài tập nhà: 5,7,10(360-361); 1,4,10,12(379-382) (Bộ môn Tốn) Bài 12: KIỂM ĐỊNH CHO TỶ LỆ Bộ mơn Toán 6/6 Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Khoa CNTT-Đại học Thủy Lợi Bộ mơn Tốn (Bộ mơn Tốn) Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 1/7 Trong thực tế người ta thường phải giải toán liên quan đến tập hợp biến biết biến có mối quan hệ cố hữu Chẳng hạn, tình cơng nghiệp, người ta biết hàm lượng nhựa đường đầu trình hóa học có liên quan đến nhiệt độ đầu vào Ta quan tâm đến việc phát triển phương pháp dự đốn, nghĩa quy trình ước lượng hàm lượng nhựa đường cho mức nhiệt độ đầu vào khác từ thông tin thực nghiệm Khi phương pháp thống kê trở thành phương pháp tốt để ước lượng mối quan hệ biến Thơng thường có biến phụ thuộc, biến ngẫu nhiên Y khơng kiểm sốt thực nghiệm Biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào nhiều biến hồi quy độc lập, ví dụ x1 , x2 , , xk , biến kiểm sốt thực nghiệm, đo với sai số khơng đáng kể Do biến độc lập x1 , x2 , , xk khơng phải biến ngẫu nhiên (Bộ mơn Tốn) Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Toán 2/7 Mối liên hệ biến phụ thuộc Y theo biến độc lập x1 , x2 , , xk tập hợp liệu đặc trưng phương trình dự đốn gọi phương trình hồi quy Trong xem xét đến trường hợp có biến hồi quy, ta gọi tốn hồi quy tuyến tính đơn Bài toán dẫn đến khái niệm Y|x -nghĩa giá trị biến ngẫu nhiên Y tương ứng với giá trị x cố định Mỗi giá trị x cố định, có giá trị Y|x khác nhau, tự nhiên ta quan tâm đến giá trị trung bình, phương sai µY |x , σY2 |x Như vậy, có giá trị xi ta có biến ngẫu nhiên Y |xi , với trung bình phương sai µY |xi , σY2 |xi Khi nối điểm µY |xi , xi ta đường thẳng, đường hồi quy, cụ thể đường hồi quy tuyến tính đơn Ở gọi hồi quy tuyến tính µY |x có quan hệ tuyến tính với x theo phương trình hồi quy tổng thể µY |x = α + βx Trong α, β gọi hệ số hồi quy ước lượng từ liệu mẫu tương ứng a, b Nghĩa ta ước lượng µY |x theo yˆ từ đường hồi quy thực nghiệm: yˆ = a + bx (Bộ mơn Tốn) Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 3/7 Như ta biết µY |x = α + βx gọi đường hồi quy tuyến tính đơn Nếu ta kí hiệu E biến ngẫu nhiên độ lệch giá trị biến ngẫu nhiên Y µY |x ta có : Y = µY |x + E = α + βx + E Cơng thức gọi mơ hình hồi quy tuyến tính đơn Vấn đề đặt ta chưa biết giá trị hệ số hồi quy, phải ước lượng từ số liệu mẫu, tức ta có cặp điểm: (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , , (xn , yn ) Sai số E nhận giá trị cụ thể εi (x,y) nhận giá trị (xi , yi ) cụ thể: yi = α + βxi + εi Tương tự với đường hồi quy ước lượng yˆ = a + bx, ta có mối liên hệ: yi = a + bxi + ei (Bộ mơn Tốn) Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 4/7 Cơng việc tìm a, b để ước lượng cho α, β Ta tìm a, b dựa vào phương pháp bình phương tối thiểu Các số a, b chọn làm ước lượng cho α, β làm cực tiểu hóa hàm hai biến sau: n n n X X X SSE = ei2 = (yi − yˆi )2 = (yi − a − bxi )2 i=1 i=1 i=1 Lấy đạo hàm SSE a b, ta có: n X ∂(SSE ) = −2 (yi − a − bxi ), ∂a ∂(SSE ) = −2 ∂b i=1 n X (yi − a − bxi )xi i=1 Cho đạo hàm phần xếp lại số hạng, ta phương trình: n n n n n X X X X X na + b xi = yi , a xi + b xi2 = xi yi i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 phương trình giải đồng thời để tìm cơng thức tính cho (Bộ mơn Tốn) Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 5/7 13.1 Ước lượng điểm cho hệ số hồi quy theo phương pháp bình phương tối thiểu Cho mẫu (xi , yi ), i = 1, 2, , n, ước lượng bình phương tối thiểu a b hệ số hồi quy α, β tính từ cơng thức sau: n n n n P P P P yi xi xi yi − n (xi − x¯)(yi − y¯ ) i=1 i=1 i=1 i=1 b= , = n 2 n P n P P (xi − x¯) n xi2 − xi i=1 n P a= (Bộ mơn Tốn) i=1 i=1 yi − b i=1 n P i=1 n xi = y¯ − b¯ x Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 6/7 13.2 Ước lượng không chệch phương sai Ước lượng không chệch σ n X (yi − yˆ )2 Syy − bSxy SSE s = = = n−2 n−2 n−2 i=1 Kí hiệu Sxx = n X (xi − x¯)2 , Syy = i=1 n X (yi − y¯ )2 , Sxy = i=1 n X (xi − x¯)(yi − y¯ ) i=1 Để tính tốn số liệu trên, ta sử dụng: Sxx = (n − 1) Sx2 , Syy = n X i=1 Sxy = n X i=1 (Bộ mơn Tốn) yi2 n X yi − n !2 = (n − 1) Sy2 , i=1 xi yi − n.¯ x ¯ y, b = Sxy Sxx Bài 13: HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn 7/7 Bài 14: KHOẢNG TIN CẬY CHO HỆ SỐ ĐƯỜNG HỒI QUY-DỰ BÁO Khoa CNTT-Đại học Thủy Lợi Bộ mơn Tốn (Bộ mơn Tốn) Bài 14: KHOẢNG TIN CẬY CHO HỆ SỐ ĐƯỜNG HỒI QUY-DỰ BộBÁO mơn Tốn 1/3 14.1 Khoảng tin cậy cho hệ số đường hồi quy Khoảng tin cậy cho hệ số β Ứơc lượng điểm cho β b Khoảng tin cậy (1 − α)100% tham số β đường hồi quy µY |x = α + βx tα/2 s tα/2 s