EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 1 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN Đạo diễn Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo 1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế NXB Đại học[.]
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010) Giáo trình Giải tích NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập II Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh *Momo: 0986.960.312 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) DẠNG DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY VÀ TÍNH GIỚI HẠN - Dãy đơn điệu bị chặn |𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀, 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 - Cauchy DẠNG TÍNH GIỚI HẠN Ở DẠNG VƠ ĐỊNH Các dạng vơ định: 0/0 ∞/∞ 0∞ Các giới hạn sở: Giới hạn lim 𝑛𝑛𝛼𝛼 = +∞ (𝛼𝛼 > 0) 𝑛𝑛→+∞ lim 𝑛𝑛𝛼𝛼 = (𝛼𝛼 < 0) 𝑛𝑛→+∞ lim 𝑎𝑎𝑛𝑛 = +∞ (𝑎𝑎 > 1) 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 lim 𝑎𝑎 = (𝑎𝑎 < 1) 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 lim �1 + � = 𝑒𝑒 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 ∞−∞ Ví dụ 1∞ lim √𝑛𝑛 = +∞ lim 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛→+∞ lim 2𝑛𝑛 = +∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 lim � � = 𝑛𝑛→+∞ Các quy tắc tính giới hạn Nếu 𝑢𝑢𝑛𝑛 → 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑛𝑛 → 𝑏𝑏 ta có: lim(𝑐𝑐𝑢𝑢𝑛𝑛 ) = 𝑐𝑐𝑐𝑐 lim(𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 lim(𝑢𝑢𝑛𝑛 ± 𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎 ± b lim (𝑢𝑢𝑛𝑛 /𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎/𝑏𝑏 (𝑏𝑏 ≠ 0) Quy tắc kẹp Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Nếu 𝑣𝑣𝑛𝑛 < 𝑢𝑢𝑛𝑛 < 𝑤𝑤𝑛𝑛 lim 𝑣𝑣𝑛𝑛 = lim 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 thì: 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛→+∞ Nếu 𝑢𝑢𝑛𝑛 → 0, |𝑣𝑣𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀 thì: lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑛𝑛→+∞ Bài Chứng tỏ dãy sau hội tụ tìm giới hạn chúng, 𝑛𝑛 ≥ 1: 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 = Giải 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛+1 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2 +1 𝑛𝑛 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 +1 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 Với 𝑛𝑛 ≥ ta có Lại có: 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 2) = = = ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn 𝑛𝑛 Từ điều ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ 𝑛𝑛 + = lim �1 + � = + = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ≥ ta có: 𝑛𝑛 + 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1)2 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 + = 𝑛𝑛 = = >1 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 2) 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑥𝑥𝑛𝑛 = + Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu tăng Lại có: Eureka Uni (facebook.com) < ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 = lim �1 − lim �=1−0=1 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + Với 𝑛𝑛 ≥ ta có 𝑛𝑛2 + 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1)2 + = = ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn Suy 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ Dãy số: 1 𝑛𝑛2 lim = lim = =0 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛→+∞ + 1+ 𝑛𝑛 Với 𝑛𝑛 ≥ ta có: 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1)2 + (𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛2 + 1) = = 𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛[(𝑛𝑛 + 1)2 + 1] 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛3 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + = ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn Suy 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑛𝑛 Eureka Uni (facebook.com) 𝑛𝑛 = lim = =0 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛→+∞ + 1+ 𝑛𝑛 lim Bài Tìm giới hạn dãy số sau (nếu hội tụ): 2) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛, 𝑎𝑎 > 1) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 𝑛𝑛 3) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + √1 − 𝑛𝑛3 5) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = Giải 4) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = sin 𝑛𝑛 sin2 𝑛𝑛−cos3 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝑛𝑛 ≥ ta có: 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1) − �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1) = 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1) + �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1) = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛� = 𝑛𝑛 �(𝑛𝑛 + 1) + �(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1)� = = 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + (𝑛𝑛 + 1)√𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + 𝑛𝑛�(𝑛𝑛 + 1)2 − (𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + (𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) (𝑛𝑛 + 1)�𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + 𝑛𝑛�𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) √𝑛𝑛 + 1�(𝑛𝑛 − 1) √𝑛𝑛2 − = = ta có: 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 �(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + + 𝑎𝑎) − (𝑛𝑛 + 1) = 𝑥𝑥𝑛𝑛 �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛 = = = �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 𝑎𝑎(𝑛𝑛 + 1) × 𝑎𝑎𝑎𝑎 �(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + + 𝑎𝑎) + (𝑛𝑛 + 1) √𝑛𝑛�√𝑛𝑛 + + 𝑎𝑎 + √𝑛𝑛 + 1� √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu tăng Lại có: 𝑥𝑥𝑛𝑛 = √𝑛𝑛 + 1�√𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 + √𝑛𝑛� √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛2 �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook = 𝑎𝑎𝑎𝑎 �𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 < >1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 2𝑛𝑛 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ Eureka Uni (facebook.com) lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 = lim ��𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛� = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ = lim 𝑛𝑛→+∞ Với 𝑛𝑛 ≥ ta có: 𝑎𝑎 �1 + 𝑎𝑎 +1 𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 + 1) − �(𝑛𝑛 + 1)3 − = 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛3 − = (𝑛𝑛 + 1)2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 1+1 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 √𝑛𝑛3 − + �(𝑛𝑛3 − 1)2 + (𝑛𝑛 + 1) �(𝑛𝑛 + ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 đơn điệu giảm Lại có: = 𝑛𝑛→+∞ �𝑛𝑛(𝑛𝑛 1)3 − + �((𝑛𝑛 + 1)3 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 − 1)^2 ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 bị chặn ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛 hội tụ lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 = lim ��𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 𝑎𝑎) − 𝑛𝑛� = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑎𝑎 �1 + 𝑛𝑛 𝜋𝜋 4) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = sin 𝑛𝑛 , 2 𝑎𝑎 +1 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛→+∞ �𝑛𝑛(𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 1+1 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 sin2 𝑛𝑛 − cos 𝑛𝑛 5) 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 Cauchy: |𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 với ≤ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝜀𝜀 > Với 𝑘𝑘 ≥ ta có: Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 2𝑘𝑘 + 𝜋𝜋 2𝑘𝑘 ( ) |𝑥𝑥2𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥2𝑘𝑘 | = � sin 2𝑘𝑘 + − sin �2𝑘𝑘 �� 2 2 1 2𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘 + 𝜋𝜋 =� sin(2𝑘𝑘 + 1) � = � � = 𝑘𝑘 + > 2 2 Dễ thấy với 𝜀𝜀 < chuẩn Cauchy không thỏa mãn ⇒ 𝑢𝑢𝑛𝑛 phân kỳ Dãy số: (sin2 𝑛𝑛 − cos 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 Với 𝑛𝑛, 𝑚𝑚 ≥ 𝜀𝜀 > ta có: 𝑥𝑥𝑛𝑛 = sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) − cos (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) sin2 𝑛𝑛 − cos 𝑛𝑛 |𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | = � − � 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 𝑛𝑛 sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) cos (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) sin2 𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛 =� − − + � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 sin2 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) sin2 𝑛𝑛 cos3 (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) cos3 𝑛𝑛 ≤� �+� �+� �+� � 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 𝑛𝑛 1 1 1 1 ≤� �+� �+� �+� � 𝑛𝑛 𝜀𝜀 |𝑎𝑎| − |𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑏𝑏|, Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Theo 𝜀𝜀 > bé tùy ý, chọn 𝑛𝑛0 = � � Lúc đó, với 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 𝑚𝑚 ∈ 𝜀𝜀 ℕ∗ ta ln có: |𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 Tiêu chuẩn Cauchy thỏa mãn, nên dãy cho hội tụ Tính giới hạn: Với 𝑛𝑛 ≥ ta có: |sin2 𝑛𝑛 − cos 𝑛𝑛| ≤ |sin2 𝑛𝑛| + |cos 𝑛𝑛| ≤ Lại có: ⇒ �sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛� bị chặn 1 = ⇒ vô bé 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 Nên, áp dụng quy tắc kẹp, ta được: lim lim 𝑛𝑛→+∞ sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛 𝑛𝑛 (sin2 𝑛𝑛 − cos3 𝑛𝑛) = 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 = lim Bài Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, chứng minh a) Dãy 𝑢𝑢𝑛𝑛 = sin b) Dãy số 𝑢𝑢𝑛𝑛 = c) Dãy số 𝑢𝑢𝑛𝑛 = Giải 𝑛𝑛𝑛𝑛 phân kỳ; 32 cos 1! 1.2 sin + + cos 2! 2.3 sin 22 + ⋯+ + ⋯+ cos 𝑛𝑛! 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1) sin 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 hội tụ; hội tụ a) Với 𝑘𝑘 ≥ ta có: (64𝑘𝑘 + 16)𝜋𝜋 64𝑘𝑘𝑘𝑘 − sin � 32 32 𝜋𝜋 𝜋𝜋 = �sin � + 2𝑘𝑘𝑘𝑘� − sin 2𝑘𝑘𝑘𝑘� = �sin � = 2 Như vậy, với số < 𝜀𝜀 < thì: |𝑢𝑢64𝑘𝑘+16 − 𝑢𝑢64𝑘𝑘 | > 𝜀𝜀 |𝑢𝑢64𝑘𝑘+16 − 𝑢𝑢64𝑘𝑘 | = �sin ⇒ Tiêu chuẩn Cauchy không thỏa mãn ⇒ 𝑢𝑢𝑛𝑛 phân kỳ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 10 Eureka Uni (facebook.com) Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook *Momo: 0986.960.312 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook