30 Trang 2 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN1 Lời giới thiệu:Sau khi học xong các kiến thức về đạo hàm, đầu chương trình toán lớp 12 học sinhđược học lại đầy đủ hơn và hệ thống hơn về hàm
Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Nguyễn Thành Tiến Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc 2, Yên Lạc, Vĩnh Phúc.
Số điện thoại: 0985.11.22.66 Email: tiennt.thpt@gmail.com.
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
7 Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
Trong nghiên cứu khoa học, việc xác định quy luật và phương pháp chung để giải quyết vấn đề là rất quan trọng, giúp định hướng tìm lời giải cho các bài toán tương tự Trong dạy học, giáo viên cần thiết kế và điều khiển hoạt động học tập của học sinh sao cho phù hợp với nội dung bài học, đồng thời tạo động lực và hướng đích cho học sinh Việc trang bị kiến thức về phương pháp và tạo trải nghiệm thành công cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên.
Sáng kiến trình bày các dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đều có bài tập cho học sinh thực hành.
Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Dành cho học sinh có lực học từ trung bình khá trở lên.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất thể hiện điểm cao nhất mà hàm số có thể đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất cho biết điểm thấp nhất Việc xác định những giá trị này giúp người học hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế Sự phân tích này không chỉ mang lại kiến thức lý thuyết mà còn hỗ trợ trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong toán học và các lĩnh vực liên quan.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM
SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán Cho hàm số y = |f (x)| Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên [a; b].
Xét các trường hợp ậ Nếu M ã m ≤ 0 thỡ
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
{ DẠNG 1 GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể
| Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x 4 + 4x 3 − m| trên đoạn [−4; −2] bằng 2020?
$ Lời giải Xét hàm số f (x) = x 4 +4x 3 −m, trên đoạn [−4; −2] Ta có f 0 (x) = 4x 3 +12x 2 = 4x 2 (x+3) Khi đó f 0 (x) = 0 ⇔
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối có thể được hiểu là hàm lấy giá trị không âm của một số, bất kể số đó có dấu dương hay âm Giá trị lớn nhất của hàm số này thường xảy ra tại các điểm biên hoặc tại các điểm cực trị, trong khi giá trị nhỏ nhất luôn là 0, vì hàm giá trị tuyệt đối không bao giờ âm Việc xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất giúp trong việc phân tích và ứng dụng các hàm số trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Theo yêu cầu của bài toán ta có
Theo yêu cầu của bài toán, ta có |m| = 2020 ⇔
Theo yêu cầu của bài toán, ta có
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số f(x) = x³ - 3x, xác định tập hợp S chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(sin x + 1) + m| bằng 4 Tổng các phần tử trong S cần được tính toán.
$ Lời giải Đặt t = sin x + 1 ⇒ t ∈ [0; 2] Khi đó, ta có y = |f (sin x + 1) + m| = |f (t) + m| = t 3 − 3t + m
Xét hàm số g (t) = t 3 − 3t + m hàm số liên tục trên [0; 2] và có g 0 (t) = 3t 2 − 3. g 0 (t) = 0 ⇔ 3t 2 − 3 = 0 ⇔
Nếu (m − 2) (m + 2) ≤ 0 ⇔ m ∈ [−2; 2] Từ giả thiết, ta có
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối đóng vai trò quan trọng trong toán học Việc xác định giá trị lớn nhất giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các điểm cực trị của hàm số, trong khi giá trị nhỏ nhất cho thấy những điểm mà hàm số đạt được giá trị thấp nhất Phân tích những giá trị này không chỉ hỗ trợ trong việc giải quyết bài toán mà còn ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế và kỹ thuật.
[0;2] |g (t)| = m + 2 = 4 ⇔ m = 2 (loại) Vậy S ∈ {−2; 2} Suy ra, tổng các phần tử của S bằng −2 + 2 = 0
Tìm tập hợp S chứa các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x² − mx + 2mx − 2 trên đoạn [-1; 1] bằng 3 Tính tổng các phần tử trong tập hợp S.
Xét hàm số f (x) = x 2 − mx + 2m x − 2 trên [−1; 1] có f 0 (x) = 1 − 4
Nếu −m(−m − 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 thì max [−1;1] y = max {| − m − 1|; | − m|} = max{m + 1; −m}
Có hai khả năng là
" m = −3 m = 2 , không thỏa mãn điều kiện.
Theo yêu cầu bài toán, ta có m + 1 = 3 ⇔ m = 2 (thỏa mãn)
Theo yêu cầu bài toán ta có −m = 3 ⇔ m = −3 (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = {−3; 2}.
Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là −3 + 2 = −1.
| Ví dụ 4 Cho hàm số y = |x 3 − x 2 − x + m|, với m ∈ Z Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để min
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách từ một số đến 0 trên trục số, do đó giá trị lớn nhất thường là giá trị cao nhất mà hàm đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất là giá trị thấp nhất Việc hiểu rõ về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.
Xét hàm số f (x) = x 3 − x 2 − x + m, trên đoạn [1; 3].
Theo yêu cầu bài toán ta có m − 1 < 3 ⇔ m < 4, kết hợp điều kiện ta được
1 < m < 4 Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Theo yêu cầu bài toán ta có −m − 15 < 3 ⇔ m > −18, kết hợp điều kiện ta được
−18 < m < −15 Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 + 2 + 2 = 21 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tập hợp S bao gồm tất cả các giá trị thực của tham số m, để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x^4 − 2x^2 − m| trên đoạn [−1; 2] bằng 2 Để tìm tổng tất cả các phần tử của S, cần xác định các giá trị m thỏa mãn điều kiện này.
Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 − m trên đoạn [−1; 2] có f 0 (x) = 4x 3 − 4x.
Khi đó f (0) = −m; f (−1) = f (1) = −m − 1; f (2) = −m + 8 Suy ra max
[−1;2] |f (x)| = 0, không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Khi đó, theo đề ta có −m − 1 = 2 ⇔ m = −3 (thỏa mãn)
Khi đó, theo đề ta có m − 8 = 2 ⇔ m = 10 (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị thỏa mãn là S = {−3; 10} Suy ra tổng tất cả các phần tử của S là
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất phản ánh điểm cao nhất mà hàm đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất cho thấy điểm thấp nhất Việc xác định những giá trị này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế.
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x² + mx + 3m x + 3 trên đoạn [-2; 2] bằng 5 Tính tổng tất cả các phần tử trong tập hợp S, ký hiệu là T.
Xét hàm số f (x) = x 2 + mx + 3m x + 3 trên đoạn [−2; 2]. f 0 (x) = x 2 + 6x
[−2;2] y = max{m + 4; −m}. theo yêu cầu đề bài ta có
Theo yêu cầu đề bài ta có m + 4 = 5 ⇔ m = 1 (thỏa mãn)
Theo yêu cầu đề bài ta có −m = 5 ⇔ m = −5 (thỏa mãn)
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = {−5; 1}.
Do đó, tổng tất cả các phần tử của tập S là T = −5 + 1 = −4.
BÀI 3 Tìm tập hợp S gồm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |−x^4 + 2x^2 + m| + 1 trên đoạn [0; 2] bằng 6 Tính tổng tất cả các phần tử của S.
Vậy tổng các giá trị của m bằng 7.
BÀI 4 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = |x 2 − 3x + 2 + m| thỏa mãn min
[−2;2] y = 5 Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất của hàm số thể hiện điểm cao nhất mà hàm đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất là điểm thấp nhất Việc xác định các giá trị này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm mà còn hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn Các ứng dụng của chúng rất đa dạng, từ tối ưu hóa đến phân tích dữ liệu.
Xét hàm số g(x) = x 2 − 3x + 2 + m trên đoạn [−2; 2], có g 0 (x) = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tổng các phần tử của S bằng − 47
BÀI 5 Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số y = |3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + m| có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−3; 2] bằng 10.
Yêu cầu bài toán min
[−3;2] y = 10 suy ra điều kiện cần là (243 + m)(−32 + m) > 0.
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
BÀI 6 Cho hàm số f (x) = x 2 − mx + 2m x − 2
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để max
[−1;1] f (x) ≤ 5 Tổng tất cả các phần tử của S là
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là một chủ đề quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách giữa các điểm trên trục số, cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố của các giá trị Việc phân tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học đến kinh tế Sự hiểu biết về các giá trị này có thể hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và tối ưu hóa trong nghiên cứu và phát triển.
Suy ra tổng các phần tử của S bằng −5.
{ DẠNG 2 Tìm điều kiện của tham số
Tỡm tham số để α ã min
| Ví dụ 1 Cho hàm số y = x 3 − 3x + m Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho min
|y| = 6 Số phần tử của S là
$ Lời giải Xét hàm số y = x 3 − 3x + m, x ∈ [0; 2]. y 0 = 3x 2 − 3 = 0 ⇔
Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách giữa các điểm trên trục số, đồng thời cho phép phân tích các giá trị cực trị trong các bài toán liên quan Việc hiểu rõ giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này không chỉ hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học và kỹ thuật.
| Ví dụ 2 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [−20; 20] sao cho max
[0;2] |f (x)| Tổng các phần tử của S bằng
$ Lời giải Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m trên đoạn [0; 2].
Kết hợp với m ≥ 1, ta được m > 11
Kết hợp với m ≤ −8, ta được m < − 25
Khi đó, không thỏa mãn điều kiện max
2 m > 11 2 kết hợp với m ∈ [−20; 20], ta có m ∈
Tổng các phần tử của S bằng 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.
| Ví dụ 3 Cho hàm số y = f (x) = 2x + m x − 1 Tính tổng các giá trị của tham số m để max
Hàm số y = f (x) = 2x + m x − 1 xác định và liên tục trên đoạn [2; 3].
Với m = −2, hàm số trở thành y = 2 ⇒ max
(x − 1) 2 Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối biểu thị độ lớn của một số mà không quan tâm đến dấu của nó Để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, ta cần phân tích các điểm đặc biệt của hàm, bao gồm các điểm cực trị và các điểm biên Việc hiểu rõ về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ giúp ứng dụng vào các bài toán thực tiễn và nâng cao khả năng tư duy logic trong toán học.
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −4.
BÀI 1 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m, (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] sao cho max
[1;2] |f (x)| ≥ 10 Số phần tử của S là
Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m, hàm số liên tục trên đoạn [1;2].
Ta có: f 0 (x) = 4x 3 − 4x > 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇒ hàm số f (x) đồng biến trên đoạn [1; 2], do đó ta có max
Suy ra trường hợp này có 9 số nguyên.
Suy ra trường hợp này có 2 giá trị nguyên.
Do m là số nguyên nên max
Suy ra không tồn tại m thỏa mãn.
Vậy số phần tử của tập S là 11.
BÀI 2 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m với m là tham số Biết max
GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể
| Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x 4 + 4x 3 − m| trên đoạn [−4; −2] bằng 2020?
$ Lời giải Xét hàm số f (x) = x 4 +4x 3 −m, trên đoạn [−4; −2] Ta có f 0 (x) = 4x 3 +12x 2 = 4x 2 (x+3) Khi đó f 0 (x) = 0 ⇔
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất phản ánh điểm cao nhất mà hàm số đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất cho biết điểm thấp nhất Việc xác định những giá trị này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Các phương pháp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bao gồm phân tích đồ thị và sử dụng đạo hàm.
Theo yêu cầu của bài toán ta có
Theo yêu cầu của bài toán, ta có |m| = 2020 ⇔
Theo yêu cầu của bài toán, ta có
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số f(x) = x³ - 3x, xác định tập hợp S chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(sin x + 1) + m| bằng 4 Tổng các phần tử của S là một bài toán quan trọng trong việc phân tích hàm số và tìm hiểu các giá trị tối ưu của tham số.
$ Lời giải Đặt t = sin x + 1 ⇒ t ∈ [0; 2] Khi đó, ta có y = |f (sin x + 1) + m| = |f (t) + m| = t 3 − 3t + m
Xét hàm số g (t) = t 3 − 3t + m hàm số liên tục trên [0; 2] và có g 0 (t) = 3t 2 − 3. g 0 (t) = 0 ⇔ 3t 2 − 3 = 0 ⇔
Nếu (m − 2) (m + 2) ≤ 0 ⇔ m ∈ [−2; 2] Từ giả thiết, ta có
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách giữa các giá trị, bất kể dấu hiệu của chúng Giá trị lớn nhất là điểm mà hàm đạt đến mức cao nhất, trong khi giá trị nhỏ nhất là điểm thấp nhất mà hàm có thể đạt được Việc hiểu rõ về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ có ứng dụng trong lý thuyết toán học mà còn trong các lĩnh vực khác như kinh tế và khoa học.
[0;2] |g (t)| = m + 2 = 4 ⇔ m = 2 (loại) Vậy S ∈ {−2; 2} Suy ra, tổng các phần tử của S bằng −2 + 2 = 0
Tập hợp S bao gồm các giá trị của tham số m để hàm số y = x² − mx + 2mx − 2 đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên đoạn [-1; 1] Cần tính tổng tất cả các phần tử trong tập hợp S này.
Xét hàm số f (x) = x 2 − mx + 2m x − 2 trên [−1; 1] có f 0 (x) = 1 − 4
Nếu −m(−m − 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 thì max [−1;1] y = max {| − m − 1|; | − m|} = max{m + 1; −m}
Có hai khả năng là
" m = −3 m = 2 , không thỏa mãn điều kiện.
Theo yêu cầu bài toán, ta có m + 1 = 3 ⇔ m = 2 (thỏa mãn)
Theo yêu cầu bài toán ta có −m = 3 ⇔ m = −3 (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = {−3; 2}.
Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là −3 + 2 = −1.
| Ví dụ 4 Cho hàm số y = |x 3 − x 2 − x + m|, với m ∈ Z Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để min
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học, giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các hàm số Giá trị lớn nhất thể hiện điểm cực đại mà hàm số có thể đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất chỉ ra điểm cực tiểu Việc xác định những giá trị này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học.
Xét hàm số f (x) = x 3 − x 2 − x + m, trên đoạn [1; 3].
Theo yêu cầu bài toán ta có m − 1 < 3 ⇔ m < 4, kết hợp điều kiện ta được
1 < m < 4 Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Theo yêu cầu bài toán ta có −m − 15 < 3 ⇔ m > −18, kết hợp điều kiện ta được
−18 < m < −15 Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 + 2 + 2 = 21 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tập hợp S bao gồm tất cả các giá trị thực của tham số m, với điều kiện giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x^4 − 2x^2 − m| trên đoạn [−1; 2] phải bằng 2 Để xác định tổng tất cả các phần tử trong S, cần phân tích hàm số và tìm ra các giá trị m thỏa mãn điều kiện trên.
Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 − m trên đoạn [−1; 2] có f 0 (x) = 4x 3 − 4x.
Khi đó f (0) = −m; f (−1) = f (1) = −m − 1; f (2) = −m + 8 Suy ra max
[−1;2] |f (x)| = 0, không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Khi đó, theo đề ta có −m − 1 = 2 ⇔ m = −3 (thỏa mãn)
Khi đó, theo đề ta có m − 8 = 2 ⇔ m = 10 (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị thỏa mãn là S = {−3; 10} Suy ra tổng tất cả các phần tử của S là
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là một khía cạnh quan trọng trong toán học Việc xác định giá trị lớn nhất giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trong các khoảng xác định, trong khi giá trị nhỏ nhất cung cấp thông tin về điểm cực tiểu của hàm Nắm vững các khái niệm này không chỉ hỗ trợ trong việc giải quyết bài toán mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau.
Để xác định tập hợp S chứa các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x² + mx + 3m x + 3 trên đoạn [-2; 2] bằng 5, ta cần phân tích hàm số và điều kiện cực đại Sau khi tìm ra các giá trị hợp lệ của m, ta sẽ tính tổng tất cả các phần tử trong tập S, ký hiệu là T.
Xét hàm số f (x) = x 2 + mx + 3m x + 3 trên đoạn [−2; 2]. f 0 (x) = x 2 + 6x
[−2;2] y = max{m + 4; −m}. theo yêu cầu đề bài ta có
Theo yêu cầu đề bài ta có m + 4 = 5 ⇔ m = 1 (thỏa mãn)
Theo yêu cầu đề bài ta có −m = 5 ⇔ m = −5 (thỏa mãn)
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = {−5; 1}.
Do đó, tổng tất cả các phần tử của tập S là T = −5 + 1 = −4.
Để xác định tập hợp S, ta cần tìm các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |−x^4 + 2x^2 + m| + 1 trên đoạn [0; 2] bằng 6 Điều này đồng nghĩa với việc giá trị lớn nhất của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là |−x^4 + 2x^2 + m|, phải bằng 5 Từ đó, ta sẽ tính tổng tất cả các phần tử trong tập hợp S.
Vậy tổng các giá trị của m bằng 7.
BÀI 4 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = |x 2 − 3x + 2 + m| thỏa mãn min
[−2;2] y = 5 Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách của một số so với 0 trên trục số Giá trị lớn nhất thường được tìm thấy tại các điểm cực đại, trong khi giá trị nhỏ nhất là tại các điểm cực tiểu Việc hiểu rõ về giá trị tuyệt đối không chỉ có ứng dụng trong giải toán mà còn trong các lĩnh vực khác như vật lý và kinh tế.
Xét hàm số g(x) = x 2 − 3x + 2 + m trên đoạn [−2; 2], có g 0 (x) = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tổng các phần tử của S bằng − 47
BÀI 5 Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số y = |3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + m| có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−3; 2] bằng 10.
Yêu cầu bài toán min
[−3;2] y = 10 suy ra điều kiện cần là (243 + m)(−32 + m) > 0.
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
BÀI 6 Cho hàm số f (x) = x 2 − mx + 2m x − 2
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để max
[−1;1] f (x) ≤ 5 Tổng tất cả các phần tử của S là
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất đề cập đến điểm cao nhất mà hàm số đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất là điểm thấp nhất Việc xác định những giá trị này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Khi phân tích hàm số, việc tìm ra giá trị tuyệt đối giúp tối ưu hóa và giải quyết các bài toán phức tạp.
Suy ra tổng các phần tử của S bằng −5.
Tìm điều kiện của tham số
Tỡm tham số để α ã min
| Ví dụ 1 Cho hàm số y = x 3 − 3x + m Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho min
|y| = 6 Số phần tử của S là
$ Lời giải Xét hàm số y = x 3 − 3x + m, x ∈ [0; 2]. y 0 = 3x 2 − 3 = 0 ⇔
Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối giúp xác định khoảng cách giữa các số trên trục số, và việc tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của nó là cần thiết để giải quyết nhiều bài toán thực tế Sự hiểu biết về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất không chỉ hỗ trợ trong việc phân tích hàm số mà còn trong việc tối ưu hóa các vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
| Ví dụ 2 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [−20; 20] sao cho max
[0;2] |f (x)| Tổng các phần tử của S bằng
$ Lời giải Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m trên đoạn [0; 2].
Kết hợp với m ≥ 1, ta được m > 11
Kết hợp với m ≤ −8, ta được m < − 25
Khi đó, không thỏa mãn điều kiện max
2 m > 11 2 kết hợp với m ∈ [−20; 20], ta có m ∈
Tổng các phần tử của S bằng 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.
| Ví dụ 3 Cho hàm số y = f (x) = 2x + m x − 1 Tính tổng các giá trị của tham số m để max
Hàm số y = f (x) = 2x + m x − 1 xác định và liên tục trên đoạn [2; 3].
Với m = −2, hàm số trở thành y = 2 ⇒ max
(x − 1) 2 Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất thể hiện điểm cao nhất mà hàm đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất phản ánh điểm thấp nhất Việc xác định các giá trị này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tiễn.
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −4.
BÀI 1 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m, (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] sao cho max
[1;2] |f (x)| ≥ 10 Số phần tử của S là
Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m, hàm số liên tục trên đoạn [1;2].
Ta có: f 0 (x) = 4x 3 − 4x > 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇒ hàm số f (x) đồng biến trên đoạn [1; 2], do đó ta có max
Suy ra trường hợp này có 9 số nguyên.
Suy ra trường hợp này có 2 giá trị nguyên.
Do m là số nguyên nên max
Suy ra không tồn tại m thỏa mãn.
Vậy số phần tử của tập S là 11.
BÀI 2 Cho hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m với m là tham số Biết max
Để tìm tập hợp S chứa tất cả các giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] sao cho bộ ba số p, q, 19 có thể tạo thành một tam giác, chúng ta cần áp dụng định lý tam giác Điều này có nghĩa là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại Số phần tử của tập S sẽ là kết quả của quá trình này.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số này thể hiện sự biến đổi của giá trị tuyệt đối, giúp xác định các điểm cực trị trong một khoảng xác định Việc phân tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất không chỉ hữu ích trong lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực, từ kinh tế đến kỹ thuật Hiểu rõ về hàm số giá trị tuyệt đối sẽ cung cấp nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Xét hàm số f (x) = x 4 − 2x 2 + m, hàm số liên tục trên đoạn [1; 2] Ta có f 0 (x) = 4x 3 − 4x > 0, ∀x ∈ (1; 2), suy ra hàm số f (x) đồng biến trên đoạn [1; 2] Do đó max
Từ đó suy ra yêu cầu bài toán ⇔
Trường hợp này có 4 số nguyên.
Suy ra trường hợp này không tồn tại m ∈ [−10; 10] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH3 −8 < m < 1 thì q = 0 Suy ra không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số phần tử của tập S là 4.
BÀI 3 Cho hàm số f (x) = x 3 − x 2 + x − m − 2 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max
[0;3] |f (x)| = 16 Tổng các phần tử của S là
Xét hàm số f (x) = x 3 − x 2 + x − m − 2 trên đoạn [0; 3] Ta có f 0 (x) = 3x 2 − 2x + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇒ f (0) = −m − 2, f (3) = −m + 9.
TH1 (m + 2)(m − 19) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 19 Khi đó suy ra
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất của hàm số giá trị tuyệt đối thường được xác định tại các điểm cực trị hoặc biên của khoảng xác định, trong khi giá trị nhỏ nhất thường là 0 nếu hàm số có điểm giao với trục hoành Việc hiểu rõ cách xác định và so sánh các giá trị này giúp nâng cao khả năng giải quyết bài toán liên quan đến hàm số.
BÀI 4 Cho hàm số y = |x 4 − 2x 3 + x 2 + m| Tổng tất cả các giá trị của tham số m để min
Xét f (x) = x 4 − 2x 3 + x 2 + m trên đoạn [−1; 2] Ta có f 0 (x) = 4x 3 − 6x 2 + 2x, f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 1
Vậy tổng các giá trị của m bằng −4.
BÀI 5 Cho hàm số f (x) = 2x − m x + 2 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max
[0;2] |f (x)| ≥ 4 Hỏi trong đoạn [−30; 30], tập S có bao nhiêu số nguyên?
Nếu m = −4 thì f (x) = 2 thỏa mãn max
2 Theo giả thiết ta phải có
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Giá trị lớn nhất của hàm số phản ánh điểm cao nhất mà hàm có thể đạt được, trong khi giá trị nhỏ nhất cho biết điểm thấp nhất Việc xác định những giá trị này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
TH2 – Xét −4 < m < 0 Hàm số f (x) đồng biến, hơn nữa f (0) = − m
– Xét m < −4 Hàm số f (x) nghịch biến, hơn nữa f (0) = − m
– Xét m > 4 Hàm số f (x) đồng biến, hơn nữa f (0) = − m
∪ [6; +∞) Suy ra trong đoạn [−30; 30], tập S có 53 số nguyên.
Bài toán max đạt min
Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f (x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt giá trị nhỏ nhất.
– Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của y = |f (x) + g(m)| thì
Áp dụng bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối có thể được xác định Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trong các khoảng xác định Việc tìm kiếm giá trị cực trị giúp tối ưu hóa các bài toán toán học và ứng dụng thực tiễn.
| Ví dụ 1 Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |x 2 + 2x + m − 4| trên đoạn [−2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng
| Ví dụ 2 Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y =
√ 2x − x 2 − 3m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối là những khái niệm quan trọng trong toán học Hàm số giá trị tuyệt đối thể hiện độ lớn của một số mà không quan tâm đến dấu của nó Giá trị lớn nhất thường được xác định tại các điểm biên hoặc điểm cực trị, trong khi giá trị nhỏ nhất thường là 0 khi hàm số đạt giá trị không Việc phân tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng trong các bài toán thực tiễn.
BÀI 1 Để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x 3 − 3x + 2m − 1| trên đoạn [0; 2] là nhỏ nhất Giá trị của m thuộc khoảng
Lời giải. Đặt f (x) = x 3 − 3x − 1 + 2m trên đoạn [0; 2].
BÀI 2 Để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = |x 3 − 12x + m + 1| trên đoạn [1; 3] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của m bằng
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên [1; 3].
Xét hàm số g(x) = x 3 − 12x + m + 1 trên đoạn [1; 3] Ta có g 0 (x) = 3x 2 − 12; g 0 (x) = 0 ⇔ 3x 2 − 12 = 0 ⇔