Skkn một số kinh nghiệm dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 ở trường thpt chuyên lam sơn

MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG .2 Cơ sở lý luận 2 Thực trạng .2 Một số kinh nghiệm nhằm rèn lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất……………………………………………… 3.1 Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức ……………………… 3.2 Rèn luyện cho học sinh biết "Quy lạ quen", biết "Đặc biệt hóa", "Tương tự hóa" "Khái quát hóa"……………………… 3.3 Rèn luyện cho học sinh lực thực mối liên hệ với toán khác ………………………………………………………………………………… 3.4 Rèn luyện cho học sinh khả giải toán nhiều cách khác khả sáng tạo giải toán ….………………………………………… 11 III KẾT LUẬN CHƯƠNG .14 Kết luận nghiên cứu 14 Kết luận chung .14 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC PHỤ LỤC skkn I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, thống kê xác suất xác định mạch kiến thức chương trình giáo dục phổ thơng (hai mạch kiến thức lại là: Đại số số yếu tố giải tích; Hình học đo lường) Thêm nữa, xác suất thống kê ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực như: Toán học, Vật lý, Khoa học kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin ngành kinh tế Việc vận dụng xác suất thống kê vào thực tế đời sống mang lại nhiều lợi ích thiết thực như: Thiết kế biển số xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm, xác định mức độ an toàn sản phẩm, … Lý thuyết xác suất đưa vào chương trình Đại số & Giải tích 11 cung cấp cho học sinh kiến thức ngành toán học Hơn nữa, năm gần dạng tốn cịn có đề thi tốt nghiệp THPT Bộ Giáo dục Đào tạo quy định Góp phần hình thành phát triển năng lực tốn học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải vấn đề tốn học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán (xem [1]) Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh góp phần hình thành phát triển năng lực tốn học nói chung có ý nghĩa vơ quan trọng, việc làm có tác dụng rèn luyện cho học sinh khả giải tốt toán Toán học xa vấn đề sống Qua thực tế giảng dạy chủ đề tổ hợp - xác suất cho học sinh lớp 11 tơi thường gặp hai tình sau: Thứ nhất, học sinh chưa hiểu sâu sắc khái niệm bản, hay nhầm lẫm kí hiệu với khái niệm định nghĩa, khái niệm với khái niệm như: Quy tắc cộng quy tắc nhân; chỉnh hợp tổ hợp; biến cố xung khắc biến cố đối, … Thứ hai, học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình bày bài, hay sai lầm việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Từ hai nguyên nhân dẫn đến việc em lĩnh hội kiến thức thụ động, biết giải toán tổ hợp - xác suất số kiểu tập quen thuộc, đa số chưa sử dụng linh hoạt quy tắc để giải, lúng túng diễn đạt giải dạng toán Xuất phát từ lý trên, tơi ln trăn trở, tìm tịi nghiên cứu, với mục đích làm để học sinh khơng cịn lúng túng giải tốn tổ hợp xác suất, tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung giải tốn tổ hợp xác suất nói riêng Đồng thời giúp em có định hướng, có lực tiếp cận skkn thực tiễn luyện tập qua dạng toán Qua thực tiễn áp dụng phương pháp dạy học tích cực, tơi rút số kinh nghiệm trình bày sáng kiến kinh nghiệm là: “Một số kinh nghiệm dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT chuyên Lam Sơn” Mục đích nghiên cứu - Phát triển lực giải toán tổ hợp - xác suất cho học sinh THPT - Xây dựng hệ thống tập theo dạng tốn chương trình phổ thơng Đối tượng nghiên cứu HS lớp 11 Anh lớp 11 Hóa năm học 2021 -2022 trường THPT chuyên Lam Sơn Phương pháp nghiên cứu * Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu loại tài liệu lí luận phương pháp giảng dạy mơn Tốn, tài liệu Tâm lí, Giáo dục học, có liên quan đến đề tài lực, lực toán học, * Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát thực trạng dạy học giáo viên học sinh * Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu đề tài II NỘI DUNG Cơ sở lý luận - Dựa kiến thức khái niệm, định nghĩa, định lí cơng thức chứng minh thừa nhận chương trình tốn trung học phổ thông - Dựa đặc điểm phát triển lực nói chung lực tốn nói riêng Thực trạng * Nguyên nhân khách quan Năm học 2021 -2022, giao nhiệm vụ giảng dạy hai lớp 11 lớp 11 Anh1 lớp 11Hóa, chất lượng đầu vào mơn Tốn em chưa cao (nhất lớp 11 Anh1) Thêm nữa, tình hình dịch bệnh Covid phức tạp (nhiều em phải nghỉ học cách ly, học Online ) việc lĩnh hội kiến thức em cịn khó khăn Bên cạnh đó, tâm sinh lý lứa tuổi học sinh lớp 11 chưa ổn định nên ý thức học tập học sinh chưa thực tốt, chưa xác định động học tập * Nguyên nhân chủ quan: - Nội dung Tổ hợp – xác suất nhiều khái niệm mới, cơng thức mới, có tính trừu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt đặc biệt cách suy luận mẻ so với suy luận toán học trước - Đây nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mẻ hay mắc sai lầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng công thức, quy tắc giải tập skkn - Khó khăn học sinh sở trực giác cho việc học yếu tố Lí thuyết xác suất chưa có Một số kinh nghiệm nhằm rèn luyện lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất 3.1 Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức 3.1.1 Dạy bài: Quy tắc đếm Giáo viên cần yêu cầu học sinh phải phân biệt giống khác hai quy tắc này? Khi áp dụng quy tắc cộng, áp dụng quy tắc nhân? Một cơng việc có nhiều phương án thực hiện, phương án độc lập với nhau, ta lựa chọn thực phương án (khơng cần thực phương án cịn lại) mà cơng việc hồn thành dùng quy tắc cộng Cịn cơng việc thực nhiều bước, bỏ qua bước cơng việc khơng thể hồn thành ta dùng quy tắc nhân Sau đó, giáo viên nên lấy ví dụ phân tích cho học sinh vài tình thực tế, cụ thể áp dụng quy tắc đếm số tập trắc nghiệm nhanh nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức Ví dụ 1.1: Trường THPT chuyên Lam Sơn có 385 học sinh khối 11, 150 học sinh nam 235 học sinh nữ a) Đoàn trường cần chọn hai học sinh giới khối 11 làm tình nguyện tiếp sức kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Hỏi đồn trường có cách chọn? b) Đoàn trường cần chọn hai học sinh có học sinh nam học sinh nữ dự Đại hội Đoàn Hỏi đoàn trường có cách chọn? Ở câu a) nhiệm vụ cơng việc gì? (chọn hai học sinh nam hai học sinh nữ) Như vậy, công việc có hai phương án thực hiện, chọn phương án cơng việc có hồn thành khơng? Áp dụng quy tắc nào? Ở câu b) nhiệm vụ công việc gì? (chọn hai học sinh, nam nữ) Như vậy, cơng việc muốn hồn thành ta cần thực bước liên tiếp? Áp dụng quy tắc nào? 3.1.2 Dạy bài: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp a) Khi dạy định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên giúp học sinh lĩnh hội kiến thức đường diễn dịch quy nạp (tùy theo đối tượng học sinh) b) Giáo viên cần lưu ý học sinh phân biệt hoán vị n phần tử với số hoán vị n phần tử, chỉnh hợp chập k n phân tử với số chỉnh hợp k n phân tử, tổ hợp chập k n phân tử với số tổ hợp chập k n phần tử Nắm vững cơng thức: tính số hốn vị n phần tử ; tính số chỉnh hợp chập k n phần tử , với ; tính số skkn tổ hợp chập k n phần tử , với cách sử dụng máy tính c) Dấu hiệu đặc trưng hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Giáo viên cần lưu ý học sinh nhớ dấu hiệu đặc trưng +) Để sử dụng hoán vị n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất phần tử phải có mặt - Mỗi phần tử xuất lần - Có phân biệt thứ tự phần tử +) Để sử dụng chỉnh hợp chập k n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước - Có phân biệt thứ tự k phần tử chọn +) Để sử dụng tổ hợp chập k n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước - Không phân biệt thứ tự k phần tử chọn Sau đó, giáo viên đưa vài ví dụ mức độ nhận biết – thơng hiểu, học sinh dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa cách làm Ví dụ 1.2: Một nhóm học sinh lớp 11A có học sinh a) Có cách xếp bạn học sinh ngồi vào bàn có chỗ ngồi? b) Có cách chọn hai bạn nhóm để làm trực nhật? c) Có cách chọn hai bạn nhóm để làm lớp trưởng lớp phó? Đối với học sinh yếu, giáo viên định hướng theo gợi ý : Mỗi học sinh nhóm xuất lần? Có phân biệt thứ tự học sinh khơng? Câu a) học sinh nhóm có mặt, em ngồi vị trí (xuất lần) có phân biệt thứ tự vị trí (thay đổi vị trí cách xếp mới) Suy số cách xếp Câu b) chọn hai học sinh học sinh không phân biệt thứ tự Suy số cách chọn Câu c) chọn hai học sinh học sinh có phân biệt thứ tự Suy số cách chọn 3.2 Rèn luyện cho học sinh biết “Quy lạ quen”, biết “Đặc biệt hóa”, “Tương tự hóa” “Khái quát hóa” Việc giải vấn đề không dừng lại ý thức mà yêu cầu chủ thể phải hành động Do giáo viên thường hay sử dụng chiến lược nhận thức như: Quy lạ quen; Đặc biệt hóa; Tương tự hóa; Khái quát hóa; Xem xét mối liên hệ phụ thuộc Các hoạt động tư thực nhiều lần cho skkn đến tìm hướng giải vấn đề phù hợp nhất, điều chỉnh chí bác bỏ chuyển hướng cần thiết Với việc sử dụng chiến lược trên, giáo viên không giúp học sinh đưa toán toán quen thuộc, làm tập tương tự mà giúp học sinh hệ thống hóa tập, đưa tốn gốc tổng qt hóa tốn Ví dụ 2.1: Có cách xếp 10 bạn học sinh vào dãy ghế dài có 10 chỗ ngồi Xếp 10 bạn vào 10 ghế ngồi học sinh dễ dàng có kết phép hốn vị 10 người vào 10 chỗ ngồi Cùng toán có nhiều phương pháp giải khác Mỗi phương pháp giải khác cần sử dụng kiến thức, kỹ khác Sử dụng kiến thức, kỹ tốn học tương thích để giải vấn đề đặt thể lực giải vấn đề sáng tạo người học Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.2: Có cách xếp 10 bạn học sinh (trong có hai bạn Lam Sơn) vào dãy ghế dài có 10 chỗ ngồi cho bạn Lam Sơn ngồi cạnh Rõ ràng Ví dụ 2.2 khó Ví dụ thêm điều kiện 10 học sinh có Lam Sơn ln ngồi cạnh nhau, vấn đề học sinh cần giải tốn Trong Ví dụ 2.2, xác định tình có vấn đề xếp cho Lam Sơn ngồi cạnh Để giải tình học sinh sử dụng quy tắc đếm thực bước: Bước 1: Sắp xếp vị trí cho Lam Sơn Bước 2: Sắp xếp vị trí cho bạn cịn lại Liệu cịn có cách khác để giải tốn khơng? Đây câu hỏi để thay đổi cách tư tốn Do Lam Sơn ln ngồi cạnh nên ta xem hai người họ người họ ngồi ghế buộc lại với Khi đó, dù xếp có ngẫu nhiên họ ln ngồi cạnh Vấn đề skkn giải theo hướng mới: xếp người vào ghế thành hàng dọc Ta phân tích cách giải Ví dụ 2.2 sau Phân tích: Nếu sử dụng phương pháp phân chia trường hợp để giải vấn đề học sinh sử dụng quy tắc đếm kết hợp với hoán vị để giải toán Hướng giải 1: Xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Nếu Lam Sơn ngồi ghế (ghế số số 2) có cách xếp, bạn khác ngồi ghế cịn lại có 8! cách xếp LAM SƠN 10 + Trường hợp 2: Nếu Lam Sơn ngồi ghế đầu (ghế số 2, 3) có cách xếp, bạn khác ngồi ghế lại có 8! cách xếp LAM SƠN 10 Tương tự cho trường hợp Lam Sơn ngồi ghế 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9 + Trường hợp 3: Nếu Lam Sơn ngồi ghế cuối (ghế số 9,10) có cách xếp, bạn khác ngồi ghế cịn lại có 8! cách xếp LAM SƠN Theo quy tắc cộng ta có kết quả: Hướng giải 2: Cũng cách giải ta chia thành bước: Bước 1: Chọn vị trí cạnh (1-2, 2-3,…, 9-10) để xếp Lam Sơn, có cách Bước 2: Sắp xếp vị trí cho Lam Sơn vào hai vị trí cạnh chọn, có 2! Cách Bước 3: Ứng với cách xếp vị trí cho Lam Sơn ta có vị trí xếp cho người cịn lại, có 8! cách xếp Theo quy tắc nhân suy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 9.2!.8! Hướng giải 3: Nếu xem Lam Sơn ngồi cạnh ngồi ghế cột cố định vào ta đặc biệt hóa xem họ người Khi skkn tốn trở thành xếp người vào ghế xếp thành dãy dài có 9! cách xếp Do Lam Sơn đổi chỗ cho nên ứng với cách xếp có cách xếp chỗ cho Lam Sơn Suy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 9!.2! Trong Ví dụ 2.2 ta đưa hướng giải cho tốn Hướng giải 1: Có ưu điểm gần với “cuộc sống” nên học sinh trung bình chọn cách giải Cách học sinh hay mắc sai lầm phân chia trường hợp không độc lập, điều dẫn đến đếm lặp đếm thiếu trường hợp Hướng giải 2: Là quan sát phân tích hướng giải để đưa cách trình bày lời giải ngắn gọn Hướng giải 3: Thể sáng tạo, linh hoạt người học Đây hướng giải mà giáo viên cần khuyến khích để phát huy lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Giáo viên hướng dẫn học sinh tổng qt hóa tốn Ví dụ 2.2 sau Bài tốn tổng qt 2.1: Tìm số hốn vị phần tử có hai phần tử ln đứng cạnh Bài tốn tổng qt 2.2: Tìm số hốn vị phần tử có hai phần tử khơng đứng cạnh +) Học sinh cần nhận thấy số hoán vị n phần tử chứa , gồm hoán vị mà , đứng cạnh hoán vị mà , không đứng cạnh +) Xem phần tử đứng cạnh phần tử Lúc số phần tử n – Tuy nhiên đứng bên trái (tức )và đứng bên phải (tức ) khác Như vậy, có hai khả xảy Giải: Số hoán vị n phần tử là: Số hoán vị n phần tử đứng cạnh bên trái ( đứng cạnh bên phải ) (n – 1)! Do đó, số hoán vị n phần tử mà , đứng cạnh 2(n – 1)! Vậy số hoán vị n phần tử có hai phần tử khơng đứng cạnh là: Từ đó, u cầu học sinh nắm cơng thức tính số hốn vị n phần tử có hai phần tử khơng đứng cạnh ( ) cơng thức tính số hốn vị n phần tử có hai phần tử đứng cạnh ( ) Trên sở hai tốn gốc trên, giáo viên yêu cầu học sinh làm tập sau: skkn Bài tập 2.3: Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số khác cho: a) Số số đứng cạnh b) Số số không đứng cạnh Bài tập 2.4: Từ chữ số lập số tự nhiên có 10 chữ số khác cho: a) Số số đứng cạnh b) Số số không đứng cạnh c) Số số đứng cạnh d) Số số không đứng cạnh 3.3 Rèn luyện cho học sinh lực thực mối liên hệ với toán khác Ta xét tốn tiếng Lý thuyết tổ hợp, toán chia kẹo Ơ-le (Euler) Với học sinh chun Tốn tốn quen thuộc có nhiều ứng dụng Dưới cách tiếp cận toán chia kẹo Euler cho học sinh THCS để thấy tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp nói chung ln tốn mà lời giải chứa đựng sự hồn nhiên ngây thơ Trước hết, giáo viên xét toán trường hợp cụ thể, đơn giản để từ định hướng đưa lời giải cho tốn tổng qt Ví dụ 3.1 Có cách chia kẹo giống hệt cho em bé? Biết em có nhất 1 kẹo Hướng dẫn: Cách (Học sinh THCS hiểu được): Nhận thấy rằng, em có kẹo nên số kẹo em thứ nhận là 1 và nhiều là 3. Xét trường hợp sau Trường hợp 1. Em thứ nhận được 1 cái kẹo, số kẹo em thứ hai là  , em thứ ba nhận số kẹo lại sau chia cho em thứ em thứ hai xong, nghĩa trường hợp có 3 cách chia kẹo Trường hợp 2. Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai là   hoặc em thứ ba nhận số kẹo cịn lại, nghĩa trường hợp có 2 cách chia kẹo Trường hợp 3. Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai em thứ ba Như vậy, số cách chia 5 cái kẹo cho 3 em bé cho em có kẹo Cách (Học sinh THPT): Ta xem kẹo chấm, để chia cho người ta dùng gạch đứng chia kẹo Xen kẹo có khoảng trống, số cách chia kẹo số cách chọn khoảng trống (2 gạch chia quà) khoảng trống này: Ví dụ 3.2 Có cách chia kẹo giống hệt cho em bé? Biết số kẹo em nhận số nguyên không âm skkn Hướng dẫn: Cách (Học sinh THCS hiểu được): Nhận thấy rằng, số kẹo em thứ nhận là 0 và nhiều là 5. Xét trường hợp sau Trường hợp 1. Em thứ nhận được 0 cái kẹo, số kẹo em thứ hai là  , em thứ ba nhận số kẹo lại sau chia cho em thứ em thứ hai xong, nghĩa trường hợp có 6 cách chia kẹo Trường hợp 2. Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai là   hoặc em thứ ba nhận số kẹo lại, nghĩa trường hợp có 5 cách chia kẹo Trường hợp 3. Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai , em thứ ba nhận số kẹo lại, nghĩa trường hợp có 4 cách chia kẹo … Lập luận hồn tồn tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có số cách chia 5 cái kẹo cho 3 em bé Cách 2: Ta xem kẹo là chấm, để chia cho người ta dùng gạch đứng chia kẹo, biểu diễn chấm gạch đứng gạch ngang, tổng cộng gạch ngang Số cách chia kẹo số cách chọn gạch ngang (gạch đứng chia quà) gạch ngang: Bài toán chia kẹo Ơ -le:  Bài toán tổng quát 3.1: Có  kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia cho em có kẹo? Hướng dẫn giải Nếu có cách chia kẹo Nếu ta trải kẹo thành dàn hàng ngang, ta dùng thước đặt vào khoảng trống viên kẹo để chia thành phần Như có tất cách Cả trường hợp ta có cách chia kẹo Bài tốn tổng qt 3.2: Có  kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia biết số kẹo em nhận số không âm? Hướng dẫn giải Ta xem kẹo là chấm, để chia cho người ta dùng gạch đứng chia kẹo, biểu diễn chấm gạch đứng gạch ngang, tổng cộng gạch ngang Số cách chia kẹo số cách chọn gạch ngang (gạch đứng chia quà) gạch ngang: Chú ý ta giải toán tổng quát 3.1 nhờ toán toán tổng quát 3.2 sau Đầu tiên chia cho em bé kẹo, lại kẹo chia cho hộp chia người Theo toán tổng quát 3.2, ta có: skkn Trên lời giải tổng quát toán chia kẹo Ơ-le Bài toán tiếng với nhiều ứng dụng toán đếm khác Sau số tập áp dụng Bài tập 3.3. Có cách phân phát 10 phần quà giống cho học sinh, cho học sinh có phần q? A 210 B.126 C.360 D.120 Hướng dẫn: Phân phát n quà giống cho k học sinh học sinh có mổ phần quà Áp dụng vào (theo đề mội học sinh có phần quà nên; ta phát cho học sinh phần quà; lại phần ta phát cho học sinh) Chọn B Bài tập 3.4. Có 20 cái kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia cho a) Mỗi em có nhất 1 kẹo b) Mỗi em có nhất 2 cái kẹo c) Em thứ có nhất 1 cái kẹo, em thứ hai có nhất 2 cái kẹo em thứ ba có nhiều nhất 3 cái kẹo Sau đây, chúng tơi giới thiệu số toán gốc số toán đếm dạng ứng dụng mà đếm theo cách thơng thường khó khăn, hiểu theo đếm tốn Ơ-le toán lại trở thành đơn giản Chúng ta tìm hiểu ứng dụng lớn việc đếm số nghiệm ngun phương trình Bài tốn 3.5 Phương trình có nghiệm ngun dương? Coi phần kẹo em nhỏ thứ toán chia kẹo số nghiệm phương trình số cách chia n kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trình có nghiệm ngun dương Bài tốn 3.6 Phương trình có nghiệm ngun khơng âm? Ta có Đặt số ngun dương Áp dụng tốn gốc ta có tất nghiệm ngun khơng âm phương trình Bài tốn 3.7 Bất phương trình có nghiệm ngun dương? 10 skkn Ta ln có Vậy có tất nghiệm ngun dương phương trình Bài tốn 3.8 Bất phương trình có nghiệm ngun dương? Ta có Áp dụng tốn Euler ta có nghiệm Bài tốn 3.9 Phương trình có nghiệm nguyên thỏa mãn đồng thời điều kiện ? Đặt Đặt theo tốn chia kẹo, phương trình có nghiệm 3.4 Rèn luyện cho học sinh khả giải toán nhiều cách khác khả sáng tạo giải tốn Ví dụ 1: Xuất phát từ toán SGK ( Đại số giải tích lớp 11): Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện Có cách xếp để nam, nữ ngồi đối diện nhau? Bằng tư cụ thể học sinh phân chia trường hợp tìm kết Nếu mở rộng toán cho đối tượng :Hai dãy ghế đối diện, dãy ghế Muốn xếp học sinh trường A, học sinh trường B Có cách xếp để hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường Thì nhiều học sinh gặp vấn đề lúng túng không đến kết xét thiếu trường hợp Hướng 1: Đánh số thứ tự chỗ ngồi cho hai dãy ghế sau: D1 D2 D3 D4 D5 D6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 * Xảy trường hợp D1 học trường A ( D1 có cách chọn HS?) +) D1 có cách Khi C1 có cách xếp?( C1 có cách C1 phải HS trường B) +)D2 có cách?( D2 HS trường A trường B nên có 10 cách có 12 HS xếp HS vào vị trí D1 C1) Tương tự HS tìm số cách xếp vị trí cịn lại 11 skkn +)D3 có cách; C3 có cách +)D4 có cách; C4 có cách +)D5 có cách; C5 có cách +)D6 có cách; C3 có cách Do có 6.6.10.5.8.4.3.4.2.2.1=16588800 cách xếp * Trường hợp D1 HS trường B có 16588800 cách xếp Vậy số cách xếp 2.16588800 = 33177600 cách xếp Hướng 2: Xếp HS trường A vào dãy có 6! Cách Xếp HS trường B vào dãy có 6! Cách Đổi chỗ cặp hai HS ngồi đối diện có cách Vậy tất có 6!.6! = 33177600 cách Khái quát hóa: Tiếp tục mở rộng số đối tượngbài toán tăng lên n học sinh trường A n học sinh trường B có cáh xếp để hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường?( Bài tốn mở rộng có cách) Ví dụ 2: Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà đứa bé vào ngồi ghế xếp thành hàng ngang Xác suất cho đứa bé ngồi hai người đàn bà bao nhiêu? Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố xếp đứa bé ngồi hai người đàn bà Hướng 1: Hướng dẫn học sinh liệt kê, khả xảy xếp người vào ghế đánh số Với cách học sinh dễ hiểu máy móc, thiếu tổng quát Đánh thứ tự ghế 1, 2, 3, 4, 5, Ta có trường hợp để xếp đứa bé ngồi hai người đàn bà hai người đàn bà ngồi cặp vị trí Ở trường hợp ta có số cách xếp Do số phần tử A Xác suất biến cố A Hướng 2: Ở hướng giúp học sinh có nhìn bao qt, dễ dàng làm toán tương tự tăng số người Xếp đứa bé ngồi hai người đàn bà xem vị trí cịn ba người đàn ơng chiếm ba vị trí cịn lại Như có vị trí, có cách xếp, hai người đàn bà có cách xếp Do số phần tử A Xác suất biến cố A Tương tự (theo đề minh họa lần BGD năm 2020): Có ghế kê thành hàng ngang, xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế 12 skkn có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B A B C D Hướng 1: Hướng dẫn học sinh liệt kê Xếp ngẫu nhiên học sinh ghế kê thành hàng ngang có cách Để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B ta có trường hợp TH1: Xét học sinh C ngồi vị trí đầu tiên: Ta có C B cách xếp chỗ TH2: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 2: Ta có B C B cách xếp chỗ TH3: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 3: Ta có B C cách xếp chỗ B TH4: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 4: Ta có B cách xếp chỗ C B B C B B C TH5: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 5: Ta có cách xếp chỗ TH6: Xét học sinh C ngồi vị trí cuối cùng: Ta có cách xếp chỗ Suy số cách xếp thỏa mãn cách Vậy xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B Hướng 2: Số phần tử không gian mẫu Gọi biến cố “ Học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B” TH1: Học sinh lớp C ngồi đầu hàng: Có cách chọn vị trí cho học sinh lớp C Mỗi cách xếp học sinh lớp C có cách chọn học sinh lớp B ngồi cạnh có cách xếp học sinh cịn lại.Như trường hợp có cách xếp TH2: Học sinh lớp C khơng ngồi đầu hàng, học sinh lớp C phải ngồi học sinh lớp B, tức cách ngồi có dạng BCB, có cách xếp học sinh lớp B Xếp BCB học sinh lớp A có cách xếp Trong trường hợp có cách xếp Vậy Khi Nhiều tốn cụ thể có cách làm tối ưu, ngắn gọn chí có cách thủ công, liệt kê cho ta đáp số khuyến khích học sinh nhìn tốn nhiều góc độ, khai thác tốn dạng tổng quát theo làm chung không Gợi cho HS sáng tạo, phát triển tư biện chứng, chung có riêng từ riêng phát triển thành chung, tổng quát 13 skkn C KẾT LUẬN CHƯƠNG Kết nghiên cứu Thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp, lớp 11A1 có trình độ yếu 11 Hóa Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra thu kết sau: Điểm Lớp 10 Số lượng TN (11Anh1) 0 0 12 35 ĐC (11A7) 0 10 33 Lớp thực nghiệm (TN) lớp chun Anh có trình độ mơn Tốn yếu có 100% điểm từ trung bình trở lên, có 51.5 % giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối Lớp đối chứng (ĐC) lớp chun Hóa có trình độ mơn Tốn tốt có 96,6% điểm trung bình trở lên, có 33,3% điểm giỏi, có HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt trung bình - Một ngun nhân khơng thể phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên rèn luyện kỹ giải tốn, có lực giải tốn đặc biệt em tỏ hứng thú gặp toán chủ đề tổ hợp xác suất, … Kết luận chung Với thực tế giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng nói chung, khơng thể không trọng đến việc rèn luyện lực giải tốn cho học sinh Bằng hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động người học, kết hợp với phương pháp dạy học nhằm thực hóa giải pháp đưa dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất đưa số ví dụ điển hình dẫn dắt hướng dẫn học sinh phân tích giải tốn, rèn lực giải tốn cho học sinh thơng qua tập nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển mở rộng toán, tạo hứng thú học tập đem lại kết khả quan học chủ đề Mặc dù cố gắng khơng tránh khỏi sai sót Rất mong q thầy góp ý, bổ sung để nội dung hoàn thiện mang lại hiệu cao dạy học Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung 14 skkn người khác Đỗ Thế Sơn 15 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang web Bộ giáo dục Đào tạo: https://moet.gov.vn Rèn luyện tư qua việc giải tập Tốn – Nguyễn Thái Hịe Nhà xuất Giáo dục Giải tốn giải tích 11 (Dùng cho học sinh lớp chuyên) –Võ Anh Dũng (Tổng chủ biên) & Trần Đức Huyên (Chủ biên); Nhà xuất Giáo dục Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng, Nhà xuất Giáo dục Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất Giáo dục Giải toán tổ hợp xác suất – Trần Đức Huyên & Đặng Phương Thảo Nhà xuất Giáo dục 16 skkn