CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học
Lý thuyết Van Hiele, được phát triển từ luận án tiến sĩ của Dina Van Hiele-Geldof và Pierre Van Hiele tại đại học Utrecht vào năm 1957, nổi bật với việc phân chia quá trình nhận thức hình học của học sinh thành 5 cấp độ khác nhau.
Theo lý thuyết Van Hiele (1986), việc dạy học hình học truyền thống ở các trường trung học thường thất bại do chương trình giảng dạy vượt quá khả năng nhận thức của học sinh Điều này dẫn đến sự thiếu hiểu biết giữa giáo viên và học sinh Lý thuyết này phân chia quá trình nhận thức thành 5 cấp độ, nhưng chúng ta chỉ tập trung vào 4 cấp độ đầu tiên, phù hợp với hình học ở cấp tiểu học và trung học Mỗi cấp độ có những đặc trưng riêng, ảnh hưởng đến cách học và hiểu biết của học sinh về hình học.
Cấp độ 1: Nhận biết - trực quan
Học sinh có khả năng nhận diện và so sánh các hình học cơ bản thông qua hình dạng bên ngoài và các hình vẽ mẫu Ở giai đoạn này, các em chưa xác định được tính chất của các hình mà chỉ dựa vào trực giác Khi giáo viên mô tả các hình thoi, chữ nhật và hình vuông, học sinh có thể vẽ lại, nhận ra sự khác biệt giữa hình vuông và hình chữ nhật, nhưng vẫn chưa nhận thức được rằng hình thoi cũng là một loại hình bình hành.
Ở cấp độ 2: Phân tích, học sinh nhận diện hình như một tập hợp các tính chất và có khả năng mô tả các đặc điểm của hình cơ bản Tuy nhiên, họ chưa thấy được mối quan hệ giữa các tính chất này Học sinh có thể phân tích hình theo các thành phần và khám phá tính chất của hình thông qua thực hành.
Khi mô tả hình học, học sinh thường liệt kê nhiều tính chất mà không phân biệt được tính chất nào là cần thiết hay đủ Ví dụ, trong tam giác cân, học sinh nhận biết rằng hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy tương ứng cũng bằng nhau Tương tự, học sinh hiểu rằng một hình là hình chữ nhật nếu nó có bốn góc vuông, ngay cả khi hình đó không được vẽ một cách chính xác.
Cấp độ 3 trong suy diễn không chính thống cho thấy học sinh nhận thức được mối quan hệ giữa các tính chất và hình dạng, cũng như mối quan hệ bao hàm giữa các hình học như hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và tứ giác Tại giai đoạn này, học sinh có khả năng thực hiện các suy luận đơn giản, mặc dù chưa thể chứng minh bằng suy diễn hình thức Họ bắt đầu hiểu khái niệm về ô chứng minh trong hình học, nhưng vẫn chưa nắm vững bản chất của suy luận diễn dịch và quá trình chứng minh.
Ở cấp độ 4: Suy luận diễn dịch, học sinh nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất hình học và thực hiện các lập luận logic để chứng minh chúng Học sinh hiểu vai trò của tiên đề, định nghĩa và định lý, cùng với ý nghĩa của điều kiện cần và điều kiện đủ trong chứng minh Ví dụ, học sinh có khả năng phân biệt giữa mệnh đề thuận và đảo, hoặc từ tính chất song song của hai đường thẳng suy ra sự bằng nhau của các góc tương ứng và ngược lại.
Học sinh ở cấp độ này có khả năng hiểu các khía cạnh hình thức của suy diễn, như việc thiết lập và so sánh các hệ tiên đề khác nhau Các em thực hiện suy diễn trừu tượng trong hình học đã được tiên đề hóa hoàn toàn và lập luận trong các hệ tiên đề hình học khác nhau Chẳng hạn, học sinh nắm vững việc sử dụng gián tiếp trong các chứng minh và chứng minh bằng phản chứng, đồng thời có khả năng hiểu hệ thống hình học phi Euclide.
Clements & Battista (1992) đã đề xuất thêm một cấp độ mới, được gọi là cấp độ 0 hay cấp độ tiền nhận thức, nơi học sinh chỉ có khả năng ghi nhớ thông tin mà chưa thể hiểu sâu hơn về nó.
Việc phân biệt các hình học có thể gặp khó khăn do 13 tập con các tính chất trực quan của chúng Học sinh thường dễ dàng nhận biết tam giác và tứ giác, nhưng lại gặp trở ngại trong việc phân biệt hình thoi và hình bình hành.
Theo lý thuyết Van Hiele, lập luận suy diễn xuất hiện ở cấp độ 3 khi các mối quan hệ logic giữa các tính chất được thiết lập Ở cấp độ 1 và 2, học sinh chỉ trải nghiệm chứng minh như một nỗ lực xác minh kết quả, nhưng do không nghi ngờ tính hợp lệ của các quan sát thực nghiệm, trải nghiệm này trở nên vô nghĩa Quá trình chuyển đổi từ cấp độ 1 lên cấp độ 2 đặc biệt khó khăn cho người học ngôn ngữ thứ 2 vì yêu cầu tiếp nhận thuật ngữ chuyên môn để mô tả và khám phá các tính chất của hình.
Lý thuyết Van Hiele không chỉ mang lại cái nhìn sâu sắc về tư duy hình học ở từng cấp độ, mà còn xác định những đặc trưng chung quan trọng Những đặc tính này đóng vai trò thiết yếu đối với giáo viên, vì chúng cung cấp hướng dẫn quý báu trong việc ra quyết định giảng dạy hiệu quả.
Tính chất 1: Học sinh không thể ở cấp độ nhận thức n mà chưa đi qua cấp độ n – 1
Tính chất 2: Mỗi cấp độ liền sau đều cao hơn cấp độ liền trước về bản chất lập luận
Tính chất 3: Mỗi một cấp độ tương ứng với một ngôn ngữ, ký hiệu và hệ thống các quan hệ riêng
Tính chất 4: Hai học sinh lập luận ở trong hai cấp độ khác nhau thì không thể ô hiểu nhau ằ
Quá trình nâng cao năng lực học tập của học sinh không chỉ phụ thuộc vào độ tuổi mà còn chủ yếu dựa vào các trải nghiệm dạy học mà các em tiếp nhận Việc chuyển giao từ một cấp độ học tập sang một cấp độ cao hơn thường đòi hỏi thời gian và sự đầu tư trong quá trình giáo dục.
Theo lý thuyết Van Hiele, học sinh tiến bộ qua mỗi cấp độ tư duy thông qua việc học được tổ chức thành 5 bước kiểu kiến tạo:
Thông tin: qua trao đổi, giáo viên xác định những gì học sinh đã biết về một chủ đề và định hướng học sinh vào chủ đề mới
Hướng dẫn: học sinh khám phá nội dung bài học qua các nhiệm vụ toán thiết kế cẩn thận như gấp hình, đo đạc, dựng hình
Phát biểu: học sinh mô tả những gì vừa được học theo ngôn ngữ của mình
Giáo viên giới thiệu các thuật ngữ toán học thích hợp
Áp dụng: học sinh áp dụng kiến thức đang học vào giải quyết các vấn đề và khảo sát các nhiệm vụ kết thúc mở
Tích hợp: học sinh tóm lược và tích hợp những gì đã được học, phát triển hệ thống các đối tượng và quan hệ hình học mới
Theo lý thuyết Van Hiele, để việc học hình học trở nên có ý nghĩa, học sinh cần được tiếp cận và khám phá nội dung theo trình tự từ cơ bản đến nâng cao.
Hình học từ một tiếp cận nhận thức
Theo Duval (1998, [5]), suy luận trong hình học liên quan chủ yếu đến ba quá trình nhận thức sau đây:
◦ Khả năng diễn giải và hiểu các thông tin liên quan đến hình
◦ Tạo ra hình ảnh (tư duy hoặc thực) từ các ý tưởng trừu tượng
◦ Quá trình sử dụng các công cụ để dựng các mô hình
Thước kẻ, compa, gấp hình và phần mềm là những công cụ chính trong việc dựng hình Cần phân biệt rõ hai khái niệm quan trọng: hình vẽ và hình hình học.
Hình vẽ hình học là một phương tiện để biểu diễn các đối tượng vật chất cụ thể, cho phép người xem hình dung và hiểu rõ hơn về các khái niệm lý thuyết Những hình ảnh này không chỉ phản ánh sự vật mà còn giúp minh họa các đặc điểm của các đối tượng vật lý một cách trực quan.
Hình được lập nên từ các đối tượng hình học (điểm, đường thẳng…) và các tính chất giữa chúng
Hình vẽ không thuộc không gian hình học
Thuộc về không gian hình học
◦ Suy luận hình học dựa trên tiên đề
Theo Jones & Bills (1998), Duval chỉ ra rằng các quá trình nhận thức có thể hoạt động độc lập Cụ thể, trực quan hóa không nhất thiết phải dựa vào dựng hình Mặc dù dựng hình có thể dẫn đến trực quan hóa, nhưng nó phụ thuộc vào các kết nối giữa các thuộc tính toán học và giới hạn của công cụ sử dụng Hơn nữa, trong một số trường hợp, trực quan hóa có thể hỗ trợ cho suy luận, nhưng cũng có thể gây ra sự hiểu lầm.
Duval (1998, tr 38) lập luận rằng ba loại quá trình nhận thức này liên kết chặt chẽ và sức mạnh tổng hợp của chúng là cần thiết để thành thạo khía cạnh hình học Ông đã minh họa các kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức thông qua một sơ đồ.
Hình 2.1 Kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức (Duval, 1998, tr 38, [5])
Trong sơ đồ, mỗi mũi tên thể hiện cách một loại quá trình nhận thức hỗ trợ cho loại khác trong các hoạt động hình học Mũi tên từ trực quan hóa đến suy luận được vẽ chấm chấm để nhấn mạnh rằng trực quan hóa không phải lúc nào cũng hỗ trợ cho suy luận Mũi tên "vòng tròn" cho thấy rằng suy luận có thể phát triển độc lập với các quá trình dựng hình hoặc trực quan hóa.
Theo Duval (1998), sức mạnh tổng hợp của ba quá trình là cần thiết để học sinh thành thạo hình học Ông nhấn mạnh rằng vấn đề chính là giúp học sinh nhận ra mối liên hệ giữa ba loại quá trình này, qua đó hỗ trợ sự phát triển của khả năng lập luận hình học.
1 Ba loại quá trình nhận thức phải được phát triển riêng biệt
2 Công việc phân biệt sự khác nhau giữa quá trình trực quan hóa và quá trình suy luận là cần thiết trong chương trình giảng dạy
3 Việc phối hợp ba loại quá trình chỉ thực sự có thể xảy ra sau khi thực hiện việc phân biệt.
Mô thức và mô thức hình học
Khái niệm mô thức (paradigm) được Thomas Samuel Kuhn giới thiệu trong tác phẩm "The Structure of Scientific Revolutions" (1962, 1966), là một trong những tác phẩm khoa học được trích dẫn nhiều nhất thế kỷ XX Theo Kuhn (1966), mô thức đại diện cho tập hợp các niềm tin, giá trị, kỹ thuật và thực hành được chia sẻ bởi các thành viên trong một cộng đồng khoa học.
Mô thức mở rộng khái niệm lý thuyết và kết nối với sự tồn tại của một cộng đồng cá nhân chia sẻ lý thuyết chung Mô thức đại diện cho những gì mà các thành viên trong một cộng đồng khoa học đồng nhất, và cộng đồng khoa học đó bao gồm những người cùng chia sẻ mô thức này (Kuhn, 1966).
Khi mọi người chia sẻ một mô thức chung, giao tiếp trở nên dễ dàng và rõ ràng hơn Ngược lại, sự khác biệt trong mô thức có thể dẫn đến hiểu lầm Ví dụ, cách sử dụng hình vẽ trong hình học phụ thuộc vào mô thức hình học được chấp nhận, và việc dùng hình vẽ để chứng minh tính chất hình học qua đo đạc thường không được chấp nhận.
Theo quan điểm nhận thức luận của Gonseth (1945-1955), Houdement & Kuzniak (1999; 2003) đã đề xuất ba mô thức hình học để tổ chức sự tương tác giữa trực giác, suy diễn và lập luận Ba mô thức này bao gồm Hình học I (Hình học tự nhiên), Hình học II (Hình học tiên đề tự nhiên), và Hình học III (Hình học tiên đề hình thức).
Hình học tự nhiên là một lĩnh vực toán học tập trung vào việc nghiên cứu thế giới thực thông qua giác quan Phạm vi của hình học tự nhiên bao gồm tất cả những gì có thể quan sát và đo lường được trong thực tế Để chứng minh các mệnh đề trong hình học tự nhiên, người ta sử dụng lập luận dựa trên tri giác, thử nghiệm và suy luận Quá trình chứng minh thường liên quan đến việc phối hợp mô hình và thực tế, thông qua việc sử dụng các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ, compa, thước đo góc, hoặc các phương pháp khác như gấp hoặc cắt hình để đi đến một khẳng định hợp lý.
Lịch sử phát triển của hình học I chủ yếu được thúc đẩy bởi các vấn đề thực tiễn, với bản chất là hình học kỹ thuật, có thể coi là “hình học ở cấp độ tiểu học”.
Hình h ọ c II: Hình h ọc tiên đề t ự nhiên
Hình học II, dựa trên hình học Euclid cổ điển, được xây dựng trên một mô hình tiệm cận với thực tế Khi các tiên đề đã được thiết lập, chỉ những chứng minh phát triển trong hệ thống tiên đề mới có hiệu lực Mặc dù hệ thống tiên đề có thể chưa đầy đủ và hoàn chỉnh, nó vẫn chưa hoàn toàn được tiên đề hóa một cách hình thức, mà vẫn còn liên kết với thực tế về mặt ngữ nghĩa.
“hình học ở cấp độ trung học cơ sở và trung học phổ thông”
Hình h ọ c III: Hình h ọc tiên đề hình th ứ c
Hình học I và II đều liên quan đến thế giới thực nhưng theo những cách khác nhau, đặc biệt là trong phương pháp chứng minh và bản chất của hình Trong Hình học I, hình ảnh có tính duy nhất và cụ thể, trong khi Hình học II lại mang tính trừu tượng hơn Sự khác biệt này ảnh hưởng đến cách chúng ta hiểu và áp dụng các khái niệm hình học trong thực tế.
Hình học III tập trung vào hệ thống các tiên đề độc lập với thực tế, tạo thành một mô hình đầy đủ và không liên quan đến ứng dụng thực tiễn Trong mô hình này, lập luận logic hình thức là yếu tố chủ đạo Các ví dụ về Hình học III bao gồm hình học Euclide trừu tượng, hình học phi Euclide và hình học affine Hình học III có thể được xem như là một cấp độ nâng cao trong nghiên cứu hình học.
2.3.3 M ố i quan h ệ gi ữ a các mô th ứ c hình h ọ c
Theo Houdement & Kuzniak (2003, [9]), mối quan hệ giữa các mô thức hình học được trình bày trong bảng sau:
Hình h ọ c I Hình h ọ c II Hình h ọ c III
Tr ự c giác Cảm giác, gắn với tri giác, trải nghiệm Gắn với các hình Trong nội bộ toán học
Tr ả i nghi ệ m Gắn với đo đạc Gắn với một sơ đồ của thực tế Theo kiểu logic
Suy di ễ n Gần với thực tế và gắn với trải nghiệm
Chứng minh dựa trên các tiên đề
Chứng minh hoàn toàn dựa trên các tiên đề
Ki ể u không gian Không gian trực giác và vật lý
Không gian vật lý-hình học
Vai trò c ủ a hình v ẽ Đối tượng nghiên cứu (và chứng minh) Hỗ trợ lập luận
Sơ đồ của một khái niệm lý thuyết, công cụ thử nghiệm
Khía c ạnh ưu tiên Thực chứng và tạo dựng hình
Tính chất và chứng minh
Chứng minh và mối liên hệ giữa các đối tượng
Không gian làm việc hình học
2.4.1 Khái ni ệ m v ề không gian làm vi ệ c hình h ọ c
Nhiều quan điểm nhân chủng hiện đại coi toán học, đặc biệt là hình học, như một hoạt động xã hội thay vì chỉ là lĩnh vực của các ký hiệu trừu tượng Việc xem toán học như một hoạt động xã hội giúp hiểu rõ hơn cách cộng đồng và cá nhân áp dụng hình học trong thực hành hàng ngày Theo Kuzniak (2011), khi các chuyên gia nghiên cứu về hình học, họ không chỉ xem xét các khái niệm trừu tượng mà còn chú trọng đến cách thức mà những khái niệm này được áp dụng trong thực tế.
Trong quá trình giải quyết các bài toán hình học, học sinh có khả năng chuyển đổi giữa các mô thức khác nhau Họ sử dụng hình vẽ cho nhiều mục đích, từ việc nghiên cứu đến việc chứng minh các tính chất Quan trọng nhất, họ luôn nhận thức rõ ràng về mức độ tin cậy của từng kết luận mà mình đưa ra.
Khi xem hình học như một công việc của con người, nhiều vấn đề liên quan đến người sử dụng hình học được đặt ra Công việc này phụ thuộc vào vai trò của trực quan và công cụ vẽ hình trong việc hợp thức hóa các khái niệm Ngoài ra, nó còn liên quan đến mô hình các tính chất và định nghĩa của các đối tượng hình học Cuối cùng, niềm tin và kiến thức của từng học sinh cũng ảnh hưởng đến quá trình này.
Khái niệm không gian làm việc hình học (GWS) được giới thiệu để mô tả sự phức tạp của công việc hình học, nơi tổ chức và sắp xếp nhằm hỗ trợ người giải quyết bài toán hình học như học sinh, giáo viên và nhà hình học (Kuzniak, 2006, 2008) GWS bao gồm hai mức độ: mức độ thành phần, liên quan đến tri thức luận, và mức độ nhận thức, phản ánh cách thức người học tiếp cận và xử lý thông tin hình học.
Hình 2.2 Không gian làm việc hình học (Kuzniak, 2012, [14])
Không gian thực Mô hình lý thuyết
Mức độ thành phần bao gồm ba yếu tố sau đây:
Một không gian có tính địa phương và thực
Một tập hợp các công cụ, chẳng hạn như các công cụ vẽ hoặc phần mềm
Một mô hình lý thuyết tham chiếu dựa trên các định nghĩa và tính chất Trong đó:
Không gian địa phương và thực phụ thuộc v ào t ừng mô thức h ình h ọc
◦ Đối với Hình học I, đó là các hình vẽ, hình mẫu thực
◦ Đối với Hình học II, đó là các hình hình học
◦ Đối với Hình học III, đó là các đối tượng trừu tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
◦ Trong Hình học I, đó là thước có chia vạch, thước đo độ, compa…
◦ Trong Hình học II, đó là thước không chia vạch, compa, phần mềm… nhưng phải chứng minh cách dựng hình bằng lý thuyết
◦ Trong Hình học III, đó là thước, compa, phần mềm… nhưng hình vẽ chỉ mang tính hỗ trợ thực nghiệm
Mô hình lý thuy ế t: Đó là các mô thức Hình học I, II và III
Mức độ thành phần hiện tại chưa đủ để xác định nghĩa tổng quát của GWS, vì nghĩa đó phụ thuộc vào chức năng mà người sử dụng, như học sinh hay giáo viên, xác định Do đó, mức độ nhận thức được đưa vào để mô tả hoạt động nhận thức của cá nhân khi sử dụng GWS Kuzniak (2006) đã áp dụng tiếp cận nhận thức hình học của Duval để làm rõ các quá trình nhận thức liên quan đến việc giải quyết các bài toán hình học.
Khía cạnh nhận thức của một GWS bao gồm ba quá trình nhận thức sau đây:
Một quá trình trực quan liên quan đến các biểu diễn không gian tương ứng
Một quá trình dựng hình được xác định bằng các công cụ (thước, compa…) và các hình dạng hình học
Một quá trình suy luận hình học để chuyển tải lập luận và chứng minh
Cả hai khía cạnh thành phần và nhận thức như trên cần phải được khớp nối để đảm bảo một công việc hình học chặt chẽ và đầy đủ
2.4.2 Các lo ạ i không gian làm vi ệ c hình h ọ c
Khi GWS được phát triển trong hệ thống giáo dục, việc phân loại các cấp độ khác nhau của GWS là rất quan trọng để phản ánh sự đa dạng trong giáo dục nhà trường Kuzniak (2011) đã phân chia GWS thành ba loại chính.
◦ Cộng đồng (nhà toán học, nhà thiết kế chương trình…) nhất trí về một mô thức hình học để dạy
◦ Là GWS tương ứng với cấp độ chương trình (nghiên cứu ý định của chương trình)
◦ GWS qui chiếu phải được sắp xếp, tổ chức lại để trở thành một GWS thích hợp, hiệu quả cho việc tổ chức dạy học hình học
◦ Là GWS tương ứng ở cấp độ sách giáo khoa (nghiên cứu nội dung sách giáo khoa)
◦ GWS tương thích sẽ được chiếm lĩnh, khám phá bởi học sinh (và giáo viên), phụ thuộc vào kiến thức, nhận thức của mỗi cá nhân
GWS (Geometric Working Space) tương ứng với cấp độ thực hành dạy học trong lớp học, bao gồm nghiên cứu thực hành của giáo viên và quan niệm của học sinh Theo Kuzniak & Rauscher (2011), GWS chỉ tồn tại khi có người sử dụng, và cấu trúc của nó phụ thuộc vào cách người dùng kết hợp hai khía cạnh: thành phần và nhận thức, để giải quyết các bài toán hình học.
Nó cũng phụ thuộc vào khả năng nhận thức của một người sử dụng cụ thể, các chuyên gia hoặc người mới bắt đầu học hình học
Cấu trúc của một GWS (Hệ thống Học tập Nhóm) thay đổi theo từng hệ thống giáo dục, ngữ cảnh trường học, cũng như đặc điểm của học sinh và giáo viên Thực tế cho thấy, GWS không tuân theo một mô hình cố định mà hình thành từ sự tương tác giữa các mô hình khác nhau.
Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele
Theo Braconne-Michoux (2011, [2]), mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độ Van Hiele được thể hiện trong bảng sau:
Hình học tự nhiên Hình học tiên đề
Hình học I (cụ thể, hình họa) Hình học II
Hình học III (tiên đề chính thức) Đối tượng Vật lý Lý thuyết
(chứng minh) Trực giác Suy diễn
Suy diễn không chính thống
Bảng 2.2 Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele (Braconne-
Cấp độ suy luận diễn dịch trong hình học phổ thông chủ yếu nằm trong mô thức Hình học II, trong khi mức độ suy diễn không chính thống lại nằm ở giao điểm giữa hai mô thức Hình học I và II.
Câu hỏi nghiên cứu
Chương 1 đã cung cấp những phân tích quan trọng, từ đó chúng tôi xác định các vấn đề nghiên cứu cần thiết Cơ sở lý thuyết được trình bày giúp định hình quan điểm khoa học của chúng tôi về vấn đề nghiên cứu và cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu rõ ràng.
Học sinh lớp 9 THCS thường gặp khó khăn khi thực hiện các bài tập hình học do thiếu hiểu biết về các khái niệm cơ bản và không nắm vững các công thức Nguyên nhân chính của những khó khăn này bao gồm sự thiếu tự tin trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn, cũng như áp lực từ việc thi cử và sự không đủ thời gian để ôn tập Việc này dẫn đến sự bối rối và khó khăn trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
Giáo viên có quan niệm sâu sắc về việc dạy học hình học, coi đây là một quá trình không chỉ truyền đạt kiến thức mà còn phát triển tư duy logic cho học sinh Họ sử dụng nhiều mô thức hình học khác nhau để tạo sự đa dạng trong phương pháp giảng dạy, từ hình ảnh minh họa đến các hoạt động thực tiễn GWS cá nhân của giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành cách tiếp cận và phong cách giảng dạy, giúp học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức Mỗi thành phần trong quá trình dạy học hình học đều có tầm quan trọng riêng, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển kỹ năng tư duy cho học sinh.
Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã tổng hợp và phân tích một số nghiên cứu về dạy học hình học, làm rõ các khái niệm mô thức hình học và GWS, cùng với mối quan hệ giữa chúng Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này giúp chúng tôi xác định cách tiếp cận vấn đề và đặt ra mục tiêu nghiên cứu, từ đó hình thành các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài.
THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Ngữ cảnh và mục tiêu
Vào học kỳ 2 năm học 2014 - 2015, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trên 30 học sinh lớp 9/1 Trường THCS Lộc Sơn, Phú Lộc, Huế, với đối tượng là những học sinh có kết quả học tập môn toán khá, đại diện cho phần lớn học sinh trong trường Để thu thập dữ liệu, chúng tôi đã mời một số giáo viên THCS giảng dạy môn toán tham gia trả lời các câu hỏi trong bảng hỏi.
Phần thực nghiệm có mục tiêu là thu thập dữ liệu cần thiết và phù hợp về:
Các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một công việc hình học
Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học
Quan niệm của giáo viên về việc dạy học hình học.
Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm như sau:
Quan sát l ớ p h ọ c : Học sinh làm việc trên phiếu học tập được chuẩn bị sẵn
Nội dung các phiếu học tập tập trung vào việc giải quyết các bài toán, cho phép học sinh lựa chọn mô thức hình học phù hợp để đưa ra lời giải.
Sau khi thực hiện chuỗi bài thực nghiệm, chúng tôi đã thu thập dữ liệu từ các câu trả lời của giáo viên thông qua bảng hỏi Mục tiêu là để hiểu rõ quan niệm của giáo viên về việc dạy hình học, đồng thời xem xét những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết các bài toán hình học và cách giáo viên xử lý những khó khăn này.
Phân tích dữ liệu được thực hiện từ lời giải các bài toán trong phiếu học tập của học sinh và câu trả lời trong bảng hỏi của giáo viên Chúng tôi tiến hành phân tích kết quả theo ba hướng chính.
Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán hình học Chúng tôi đã phân tích tất cả các lời giải mà học sinh đưa ra trong phiếu học tập dựa trên khung lý thuyết mô thức hình học và GWS Các câu trả lời của học sinh được phân loại theo hai quan điểm hình học I và hình học II, hoặc kết hợp giữa hai mô thức này Qua đó, chúng tôi đã chỉ ra những thách thức mà học sinh có thể phải đối mặt trong quá trình giải quyết các vấn đề hình học.
Giáo viên cần xem xét và xử lý những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết các bài toán hình học Dựa vào các câu trả lời trong bảng hỏi, chúng tôi sẽ phân tích các phương pháp mà giáo viên áp dụng để hỗ trợ học sinh vượt qua những thách thức này.
Quan niệm của giáo viên về việc dạy hình học sẽ được phân tích dựa trên các câu trả lời trong bảng hỏi Chúng tôi sẽ xem xét cách mà giáo viên hiểu và tiếp cận việc giảng dạy môn hình học, từ đó rút ra những điểm quan trọng trong quan điểm của họ.
Nội dung phiếu học tập
Chúng tôi giới thiệu nội dung các phiếu học tập và phân tích tiên nghiệm, bắt đầu với bài toán trong phiếu học tập 1, được trích dẫn từ nghiên cứu của Rauscher & Kuzniak (2005) Bài toán này được lấy từ một cuốn sách giáo khoa dành cho học sinh 14 tuổi.
Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các kích thước được cho sẵn
Câu h ỏ i: Tại sao chúng ta có thể khẳng định rằng tứ giác OELM là một hình thoi? Marie cho rằng
OELM là một hình vuông Charlotte cho rằng điều đó sai Theo em,
Marie đúng hay Charlotte đúng?
Mục tiêu của bài toán này là nghiên cứu cách học sinh xác định không gian làm việc hình học để giải quyết vấn đề, với việc lựa chọn mô thức Hình học (I hoặc II) sẽ ảnh hưởng đến cách giải khác nhau tùy thuộc vào quan điểm nhìn hình vẽ của từng học sinh.
Học sinh cần xác định ai trả lời đúng giữa Marie và Charlotte bằng cách áp dụng định lý Pythagore (đảo) Kết luận sẽ phụ thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn Đặc biệt, học sinh lớp 9 được kỳ vọng sẽ giải quyết bài toán trong mô thức Hình học II, với các câu trả lời khác nhau có thể được đưa ra.
Từ quan điểm Hình học II, học sinh kết luận Charlotte trả lời đúng:
- Nếu tam giác OEM vuông ở O thì ta có OE 2 + OM 2 = ME 2 Kiểm tra xem liệu 4 2 + 4 2 = 5,6 2 ta có 32 không bằng 31,26 Do đó, OEM không phải là một tam giác vuông
Từ quan điểm Hình học I, học sinh kết luận Marie trả lời đúng:
- OELM là một hình vuông, vì √32 xấp xỉ bằng 5,6
- OELM là một hình vuông vì nó là một hình thoi và có một góc vuông (đo đạc)
- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận OELM là hình vuông mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm như:
Dựa vào hình vẽ, học sinh có thể khẳng định rằng OELM là hình vuông và cố gắng chứng minh điều này bằng cách lấy giá trị của √32 xấp xỉ 5,6 Tuy nhiên, cũng có học sinh chỉ dựa vào cảm giác mà không đưa ra bằng chứng cụ thể, dẫn đến kết luận rằng OELM là hình vuông, có thể do thiếu kiến thức hình học.
Giả thiết ME = 5,6 khiến học sinh có xu hướng sử dụng giá trị gần đúng với một chữ số thập phân Trong tình huống này, học sinh sẽ ước lượng √32 là 5,6 và từ đó kết luận rằng OELM là một hình vuông.
- Học sinh đo đạc và kết luận OELM là hình vuông
Bài toán 2: Dựng tam giác ABC vuông cân tại A, BA = 6 cm
2 Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho
CI = 1,4 cm Trên cạnh CA dựng điểm
J sao cho JA = 5 cm IJ có song song với BA? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Mục tiêu của bài toán này là kiểm tra khả năng chuyển đổi liên tục giữa các mô thức hình học của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề Học sinh sẽ sử dụng công cụ đo đạc để dựng hình (Hình học I) và từ đó đạt được kết quả tính toán chính xác, kết luận rằng IJ không song song với BA (Hình học II) Tuy nhiên, cần xem xét liệu quan điểm của học sinh có dừng lại ở Hình học I hay không.
Học sinh cần sử dụng hình vẽ và công cụ đo đạc để kiểm tra và hợp thức hóa việc dựng hình, tính độ dài BC theo định lý Pythagore, với kết quả là 6√2 hoặc giá trị xấp xỉ Đối với câu hỏi thứ hai, học sinh sẽ sử dụng công cụ đo để xác định các điểm I và J (đo độ dài CI và AJ) và áp dụng định lý Thales để kiểm tra xem IJ có song song với BA hay không Kết quả mong đợi là 6√2 và kết luận rằng IJ không song song với BA.
Từ quan điểm Hình học II:
CAvì vậy IJ không song song với BA
Từ quan điểm Hình học I:
- BC =√AB + AC = 6√2≈8,4 lúc đó CI
- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận IJ // BA
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
Giả thiết CI = 1,4 khuyến khích học sinh sử dụng giá trị gần đúng với một chữ số thập phân Trong tình huống này, CB CI = 1,6, tức là IJ song song với BA.
- Từ hình vẽ học sinh bị thuyết phục rằng IJ // BA, vì vậy học sinh cố gắng chứng minh điều này bằng cách lấy giá trị 6√2 xấp xỉ bằng 8,4
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm Tia Ax vuông góc với AB
Câu h ỏ i: Có tồn tại hay không một điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam giác ACM là tam giác đều? Chứng minh cho câu trả lời của bạn?
Mục tiêu của bài toán này là tìm hiểu cách học sinh xác định không gian làm việc hình học để giải quyết vấn đề Câu trả lời của học sinh sẽ phụ thuộc vào mô thức Hình học mà họ lựa chọn, có thể là Hình học I hoặc Hình học II.
Nhiệm vụ của học sinh là khẳng định không tồn tại một điểm M nằm trên tia
Để tam giác ACM đều, học sinh lớp 9 cần chứng minh rằng không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax Giải thích sẽ phụ thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn.
II Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:
Từ quan điểm Hình học II:
Giả sử có điểm M trên tia Ax để tam giác ACM đều, với BAC = 30 độ Lấy điểm C’ là hình chiếu đối xứng của C qua AB, dẫn đến tam giác CAC’ cũng đều Tuy nhiên, điều này là vô lý vì CC’ = 4 cm trong khi CA = AC’ = 2√5 cm Do đó, không tồn tại điểm M trên tia Ax.
Ax để tam giác ACM đều
- Ta có tan CAB = 2/4 = 0,5 nên CAx = 90 −CAB = 63,43 do đó không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều
Từ quan điểm Hình học I:
Đường tròn (A, AC) và đường tròn (C, AC) giao nhau tại hai điểm, nhưng giao điểm này không nằm trên tia Ax Do đó, không có điểm M nào trên tia Ax để tạo thành tam giác ACM đều.
- CAx≈64 (đo) nên không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
- Học sinh sử dụng các công cụ như compa, thước đo góc… để thực hiện việc đo đạc và đưa ra kết luận
Bài toán 4: Cho hình vuông
ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm của CD, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại F
Câu h ỏ i: Tam giác ADF có phải là một tam giác cân? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Mục tiêu của bài toán này là phân tích cách học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên mô thức Hình học (I hoặc II) mà họ chọn Học sinh sử dụng chứng minh trong Hình học I, như việc đo đạc hoặc dựng đường tròn tâm D với bán kính 6 cm, để kết luận rằng tam giác Δ ADF là tam giác cân tại đỉnh D, qua đó làm nguồn hỗ trợ cho lập luận trong Hình học II.
Học sinh cần kiểm tra xem ΔADF có phải là tam giác cân hay không, có thể thông qua quan sát hoặc sử dụng thước và compa để đo đạc trên hình vẽ Giáo viên mong đợi học sinh xác nhận ΔADF cân tại điểm D và cung cấp một chứng minh trong Hình học II Các câu trả lời của học sinh có thể đa dạng nhưng đều phải hướng tới việc chứng minh tính chất tam giác cân của ΔADF.
Theo quan điểm Hình học I:
- Dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm thì điểm F nằm trên đường tròn Vậy
DA = DF nên Δ AFD cân tại D
Theo quan điểm Hình học II:
Trong bài toán, ta có BAF = DAE và tứ giác AFED nội tiếp, do đó DAF = 90 - BAF = 90 - DAE Đồng thời, AFD = 90 - DEF = 90 - DAE Từ đó, ta suy ra DAF = AFD, dẫn đến Δ AFD là tam giác cân tại D.
Bảng hỏi
Bảng hỏi bao gồm ba câu hỏi nhằm khám phá quan niệm của giáo viên về dạy học hình học và cách họ xử lý khó khăn của học sinh trong việc giải quyết các bài toán hình học Câu hỏi đầu tiên được giáo viên trả lời khi xem xét các bài toán trong phiếu học tập, trong khi câu hỏi thứ hai và thứ ba được trả lời sau khi giáo viên đánh giá các câu trả lời của học sinh trên phiếu học tập Nội dung bảng hỏi sẽ giúp hiểu rõ hơn về phương pháp giảng dạy và hỗ trợ học sinh trong quá trình học hình học.
1 Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?
2 Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?
3 Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?
Trong phần này, chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các câu hỏi đưa ra trong bảng hỏi
Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?
Mục tiêu của câu hỏi này là giúp giáo viên dự đoán những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết bài toán hình học Chúng tôi mong muốn tìm hiểu nguyên nhân gây ra những khó khăn này, cũng như cách giáo viên phân tích giả thuyết và kết luận của bài toán Bên cạnh đó, việc xem xét các sai lầm của học sinh trong quá trình chứng minh sẽ giúp phân tích quan điểm của giáo viên trong việc giảng dạy hình học.
Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy, cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?
Mục tiêu của câu hỏi này là tìm hiểu mong đợi của giáo viên về lời giải của học sinh khi giải quyết bài toán hình học Chúng tôi sẽ xem xét GWS của giáo viên và xác định liệu họ tập trung vào mô thức Hình học nào (I hoặc II) hoặc có sự kết hợp giữa hai mô thức trong quá trình giảng dạy.
34 đồng hay khác biệt trong việc lựa chọn mô thức hình học giữa các giáo viên từ đó phân tích quan điểm của giáo viên khi dạy hình học
Thầy cô sẽ áp dụng các phương pháp giảng dạy hiệu quả để giúp học sinh vượt qua những khó khăn khi giải quyết bài toán Bằng cách lắng nghe và phân tích câu trả lời của học sinh, họ có thể khai thác được những hiểu biết và quan điểm của học sinh, từ đó điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp hơn Việc tạo ra một môi trường học tập tích cực sẽ khuyến khích học sinh tham gia tích cực và phát triển khả năng tư duy phản biện.
Mục tiêu của câu hỏi mở này là để giáo viên thể hiện cách xử lý khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết bài toán, cũng như cách phản ứng với các câu trả lời của học sinh Chúng tôi mong muốn xem xét khả năng nhận thức của giáo viên về sự tồn tại của nhiều lời giải khác nhau, phụ thuộc vào lựa chọn mô thức hình học của học sinh Khi giáo viên xác định nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi sẽ đánh giá khả năng cung cấp ý tưởng hoặc đề nghị để khắc phục vấn đề, từ đó làm rõ quan điểm của giáo viên về dạy học hình học.
Kết luận chương 3
Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề liên quan đến phương pháp nghiên cứu, bao gồm ngữ cảnh, phương pháp thu thập và phân tích dữ liệu Chúng tôi giới thiệu chi tiết nội dung các phiếu học tập và bảng hỏi Việc phân tích tiên nghiệm các phiếu học tập và bảng hỏi giúp làm sáng tỏ ý định của nhà nghiên cứu thông qua các bài toán và nhiệm vụ, các cách trả lời có thể có của học sinh, cũng như những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải Ngoài ra, quan niệm của giáo viên về dạy học hình học cũng được xem xét, tạo cơ sở để đối chiếu với phân tích bài làm của học sinh sau thực nghiệm.
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Phân tích phiếu học tập của học sinh
Chúng tôi đã xem xét tất cả phiếu học tập của học sinh và phân loại các lời giải bài toán thành ba loại chính dựa trên khái niệm mô thức hình học và GWS.
4.1.1 L ờ i gi ả i bài toán d ựa trên quan điể m Hình h ọ c II
Học sinh thường chứng minh dựa trên định nghĩa, định lý và tính chất hình học mà không chú ý đến khía cạnh thực tế của đối tượng Một số phiếu học tập sẽ minh chứng cho điều này.
Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các kích thước được cho sẵn
Câu h ỏ i: Tại sao chúng ta có thể khẳng định rằng tứ giác OELM là một hình thoi? Marie cho rằng
OELM là một hình vuông
Charlotte cho rằng điều đó sai
Theo em, Marie đúng hay Charlotte đúng? Giải thích?
Học sinh xác định xem tứ giác OELM có phải là hình vuông hay không bằng cách áp dụng định lý Pytagore đảo, mà không chú ý đến các yếu tố thực tế của hình vẽ.
Hình 4.1 Bài làm của Thùy Dung
Hình 4.2 Bài làm của Xuân Hảo Bài toán 2:
Bài toán 2: Dựng tam giác ABC vuông cân tại A, BA = 6 cm
2 Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho
CI = 1,4 cm Trên cạnh CA dựng điểm
J sao cho JA = 5 cm IJ có song song với BA? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Học sinh sử dụng định lý Pythagore để tính toán độ dài BC với kết quả chính xác Tiếp theo, các em áp dụng định lý Thales đảo để chứng minh rằng đoạn IJ không song song với đoạn BA mà không cần dựa vào hình vẽ.
Hình 4.3 Bài làm của Kim Chi
Hình 4.4 Bài làm của Minh Thư
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm Tia Ax vuông góc với AB
Câu h ỏ i: Có tồn tại một điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam giác ACM là tam giác đều? Chứng minh cho câu trả lời của bạn?
Học sinh chứng minh rằng không có điểm M nào nằm trên tia Ax bằng cách áp dụng định nghĩa và các tính chất của tam giác đều, cùng với các con số lý thuyết, mà không cần dựa vào hình vẽ như một nguồn hợp thức.
Hình 4.5 Bài làm của Diệu My
Hình 4.6 Bài làm củaMinh Ngọc
Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm của CD, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với
Câu h ỏ i: Tam giác ADF có phải là tam giác cân hay không ? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Học sinh áp dụng định nghĩa và các tính chất của tam giác cân để chứng minh tam giác ADF là tam giác cân tại điểm D mà không cần dựa vào hình vẽ như một hợp thức.
Hình 4.7 Bài làm của Tuyết Trinh
Hình 4.8 Bài làm của Minh Tâm
4.1.2 L ờ i gi ả i bài toán d ựa trên quan điể m Hình h ọ c I
Học sinh sử dụng trực giác, thử nghiệm và suy luận để đưa ra câu trả lời, thông qua việc quan sát hình vẽ và áp dụng các công cụ như thước đo góc, thước kẻ, và compa Các phiếu học tập dưới đây sẽ chứng minh cho quá trình này.
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.9 Bài làm của Minh Tâm
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Hình 4.10 Bài làm của Ngọc Thảo
Học sinh áp dụng định lý Pythagore và sử dụng tính toán xấp xỉ để đưa ra câu trả lời
Hình 4.11 Bài làm của Tuyết Trinh Bài toán 2:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.12 Bài làm của Đức Tài
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Hình 4.13 Bài làm của Tuấn Kiệt
Học sinh dựa trên việc lấy giá trị xấp xỉ để đưa ra câu trả lời
Hình 4.14 Bài làm của Thị Nhớ Bài toán 3:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.15 Bài làm của Thị Mai
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa)
Hình 4.16 Bài làm của Thị Phấn Bài toán 4:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa) và công cụ đo đạc (thước kẻ)
Hình 4.17 Bài làm của Ngọc Giàu
Hình 4.18 Bài làm của Mỹ Loan
4.1.3 L ờ i gi ả i bài toán d ự a trên k ế t n ố i hai mô th ứ c Hình h ọ c I và II Đầu tiên, học sinh dựa vào hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ, compa, thước đo góc… để đi đến một khẳng
44 định Từ đó, học sinh xây dựng một chứng minh trong Hình học II Một số phiếu học tập trong bài toán 3 và 4 sẽ minh chứng cho điều này:
Trong Hình học I, học sinh xác định rằng không có điểm M nào nằm trên tia Ax để tạo thành tam giác ACM đều, cũng như tam giác ADF cân tại D Những kết luận này cung cấp cơ sở trực quan cho học sinh, giúp họ tiến đến một chứng minh trong Hình học II Tóm lại, chứng minh trong Hình học I đóng vai trò như một nguồn xác nhận và hợp thức cho các khái niệm hình học sau này.
Hình 4.19 Bài làm của Tuyết Trinh
Hình 4.20 Bài làm của Diệu My
Phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học
Phân loại lời giải của học sinh trong phiếu học tập cho thấy hầu hết học sinh có kiến thức hình học vững vàng.
Học sinh cần nắm vững định lý Pythagore đảo để kiểm tra tam giác vuông và hiểu rõ định nghĩa cùng tính chất của hình thoi và hình vuông Trong bài toán 2, học sinh sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC, đồng thời nắm vững định lý Thales đảo và mối quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song Bài toán 3 yêu cầu học sinh hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tam giác cân, trong khi bài toán 4 tập trung vào định nghĩa và tính chất của tam giác đều Điều này cho thấy khó khăn của học sinh trong giải quyết các bài toán hình học không phải do thiếu kiến thức cơ bản về hình học.
Chúng tôi phân tích vai trò gây hiểu lầm của hình vẽ như một cái bẫy hình ảnh trong giáo dục Trong bài toán 1, học sinh dễ dàng nhận thấy tứ giác OELM là một hình vuông nhờ vào hình vẽ Trong bài toán 2, hình ảnh trực quan khiến học sinh cho rằng IJ // BA, dẫn đến việc giải quyết bài toán Hình học I một cách không chính xác.
Nhiều học sinh sử dụng giá trị xấp xỉ để giải toán, cho thấy họ gặp khó khăn trong việc lý giải kết quả Điều này cho thấy sự cần thiết phải cải thiện khả năng hiểu biết về chứng minh chặt chẽ trong Hình học.
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc xây dựng GWS cá nhân khi chuyển từ Hình học I (hình ảnh trực quan) sang Hình học II (chứng minh chặt chẽ) do sự khác biệt trong kết quả học tập Họ có xu hướng sử dụng giá trị xấp xỉ để đồng nhất kết quả, dẫn đến sự nhập nhằng trong mô thức hình học Hơn nữa, vai trò của hình vẽ cũng không thể phủ nhận, vì chúng đã ảnh hưởng đáng kể đến kết quả mà học sinh đưa ra.
Một số học sinh thường đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không kèm theo lời giải thích, điều này cho thấy sự phụ thuộc vào hình vẽ của các em.
Học sinh sử dụng các công cụ đo đạc như thước kẻ và compa để chứng minh trong Hình học I, nhưng nhiều em vẫn chỉ dựa vào trực giác và thực nghiệm Điều này cho thấy khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa, định lý để xây dựng chứng minh chặt chẽ trong Hình học II Mặc dù nắm vững kiến thức hình học, học sinh chưa biết cách vận dụng để giải quyết bài toán, gặp khó khăn trong việc kết nối các thành phần của GWS khi chỉ làm việc với hình vẽ và công cụ đo đạc.
Sau khi phân tích câu trả lời của học sinh trong phiếu học tập, chúng tôi nhận thấy rằng sự khác biệt trong các câu trả lời phụ thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn Nguyên nhân chính gây ra khó khăn trong việc giải quyết các bài toán hình học là do sự tương tác giữa các mô thức hình học Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển đổi giữa các mô thức và có sự hiểu biết hạn chế về Hình học II.
Sau khi xem xét những khó khăn mà học sinh gặp phải trong việc giải quyết bài toán hình học, chúng tôi tiến hành phân tích các phản hồi của giáo viên từ bảng hỏi để hiểu rõ hơn về quan điểm của họ trong việc giảng dạy môn học này Phân tích được thực hiện theo ba hướng chính.
Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học;
Các giáo viên tập trung vào mô thức hình học nào trong khi giảng dạy hình học: Hình học I, Hình học II hay nối khớp giữa hai mô thức;
Giáo viên cần hiểu cách tiếp cận các thành phần của một GWS để tối ưu hóa hiệu quả giảng dạy Mỗi thành phần đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển kỹ năng và kiến thức cho học sinh Nội dung chi tiết của bảng hỏi đã được trình bày ở phần trên, giúp giáo viên nắm bắt rõ hơn về tầm quan trọng của từng yếu tố trong quá trình giáo dục.
Phân tích bảng hỏi
4.3.1 Nh ững khó khăn của h ọc sinh khi giải quyết một công việc h ình h ọc
Các giáo viên đã chỉ ra những khó khăn cơ bản mà học sinh thường gặp khi giải quyết các bài toán hình học, cũng như nguyên nhân dẫn đến những khó khăn này Dưới đây là một số câu trả lời tiêu biểu từ các giáo viên về vấn đề này.
Hình 4.21 Bài làm của cô Phương Lộc
Hình 4.22 Bài làm của cô Bích Phương
Hình 4.23 Bài làm của cô Mỹ Linh
Hình 4.24 Bài làm của cô Mỹ Ý
Theo phản hồi từ nhiều giáo viên, họ nhận thức rõ vai trò của các yếu tố trong mô thức Hình học I, như hình vẽ và số đo, đối với khó khăn của học sinh khi giải các bài toán hình học Tuy nhiên, phân tích tiếp theo cho thấy nhiều giáo viên quen thuộc với GWS theo mô thức Hình học II, điều này đã ảnh hưởng đến cách họ nhìn nhận và xử lý những khó khăn mà học sinh gặp phải.
4.3.2 Các ki ến nghị của giáo vi ên trong vi ệc xử lý các khó khăn của học sinh
Khi giáo viên xác định được nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi sẽ xem xét các ý tưởng và kiến nghị của họ để tìm ra giải pháp khắc phục hiệu quả.
Khi đối mặt với khó khăn của học sinh trong việc giải quyết bài toán, giáo viên cần có phương án xử lý phù hợp để khai thác được các câu trả lời của học sinh Một số phương án có thể được áp dụng bao gồm việc phân tích kỹ lưỡng các khó khăn của học sinh, xác định nguyên nhân gốc rễ của vấn đề và đề xuất các giải pháp cụ thể để hỗ trợ học sinh.
Hình 4.25 Bài làm của cô Quỳnh Trâm
Hầu hết giáo viên tập trung vào việc giúp học sinh hiểu rõ các định lý, định nghĩa và tính chất hình học, sau đó yêu cầu họ áp dụng kiến thức để chứng minh trong Hình học II Tuy nhiên, nhiều giáo viên chỉ chú trọng vào lý thuyết mà không quan tâm đến các yếu tố khác, đặc biệt là vai trò của không gian thực (hình vẽ) và các công cụ hỗ trợ.
Một số giáo viên đã chú trọng đến việc sử dụng hình vẽ và công cụ đo đạc để chứng minh cho học sinh Họ phân biệt rõ các mô thức và không gian làm việc hình học khác nhau liên quan đến quá trình giải toán Ngoài ra, các giáo viên còn phân tích cụ thể về những "áp lực" giữa hai mô thức hình học trong quá trình giải quyết bài toán của học sinh, đồng thời đề xuất các phương án dạy học nhằm giúp học sinh vượt qua những khó khăn này Cô Mỹ Ý và cô Bích Phương đã minh họa rõ ràng cho điều này trong phần trả lời của mình.
Hình 4.27 Bài làm của cô Mỹ Ý
Hình 4.28 Bài làm của cô Bích Phương
4.3.3 Mô th ức h ình h ọc được giáo vi ên d ự định giảng dạy trong lớp học
Chúng tôi muốn tìm hiểu mô thức hình học mà giáo viên lựa chọn để giảng dạy trong lớp học thông qua câu hỏi: “Theo thầy, cô, lời giải nào của học sinh gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?”
Phân tích câu trả lời của giáo viên cho thấy sự đồng nhất cao trong việc lựa chọn mô thức hình học để giảng dạy, với tất cả giáo viên đều làm việc trong mô thức Hình học II Họ mong muốn học sinh sử dụng các giả thiết trong bài toán và áp dụng chính xác các định nghĩa, định lý, và tính chất hình học để đạt được kết quả tốt nhất.
Trong Hình học II, có 51 chứng minh chặt chẽ mà nhiều giáo viên chưa chú ý đến sự khác biệt giữa Hình học I và Hình học II trong cách giải của học sinh Việc nhận diện và hiểu rõ những yếu tố này là rất quan trọng để nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
Hình 4.29 Bài làm của cô Quỳnh Trâm
Hình 4.30 Bài làm của cô Mỹ Linh
Hình 4.31 Bài làm của cô Bích Phương
Hình 4.32 Bài làm của cô Phương Lộc
Một số giáo viên nhận thấy rằng hình vẽ có thể cung cấp cái nhìn trực quan, hỗ trợ học sinh trong việc chứng minh Tuy nhiên, cần phải quản lý cẩn thận việc sử dụng hình vẽ, vì một số có thể gây hiểu lầm, như trong bài toán 1 và 2.
4.3.4 GWS được tổ chức bởi giáo vi ên
Xem xét các câu trả lời của giáo viên, chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt trong cách tổ chức một GWS của giáo viên
Một số giáo viên hoàn toàn không cố gắng phân biệt các yếu tố của Hình học
Trong Hình học II, giáo viên nhấn mạnh rằng học sinh cần trình bày chứng minh một cách chặt chẽ, tuân theo mô thức hình học Mặc dù các giáo viên nhận thức được những khó khăn của học sinh, họ không xem xét yếu tố hình vẽ và công cụ hỗ trợ Thay vào đó, họ tập trung vào văn bản chính thức, bao gồm yêu cầu chương trình và sách giáo khoa lớp 9 mà họ mong đợi từ học sinh.
Một số giáo viên đã nhận diện rõ hai mô thức hình học và xác định GWS cá nhân của học sinh Họ đã đưa ra các kiến nghị nhằm hỗ trợ học sinh trong việc quản lý quá trình chuyển đổi giữa các mô thức hình học khác nhau.
Kết luận chương 4
Trong chương 4, chúng tôi đã phân tích những khó khăn mà học sinh gặp phải khi thực hiện các bài tập hình học, cùng với quan niệm của giáo viên về việc dạy học hình học Phân tích ban đầu cho thấy học sinh thường gặp khó khăn, đặc biệt là khi chuyển đổi giữa hai mô thức hình học, và một số học sinh có hiểu biết hạn chế về Hình học II Hầu hết giáo viên vẫn chỉ sử dụng Hình học II mà không xem xét Hình học I như một nguồn hỗ trợ và thách thức cho học sinh Tuy nhiên, một số giáo viên đã nhận thức rõ về hai mô thức hình học, từ đó hình thành GWS cá nhân cho học sinh và đưa ra các đề xuất giúp học sinh vượt qua những khó khăn trong quá trình học hình học.