Mục lục Chương 1: Khái niệm cơ bản về mạch điện.......................................... 8 1. 1. Đại lượng cơ bản trong mạch điện ............................................ 8 1.1.1. Đại lượng điện và hệ đợn vị SI ............................................... 8 1.1.2. Lực, công và sông suất ........................................................... 9 1.1.3. Điện tích và dòng điện.......................................................... 10 1.1.4. Điện thế................................................................................ 11 1.1.5. Năng lượng và công suất điện............................................... 12 1.1.6. Hằng số và hàm số................................................................ 12 1.2. Phần tử cơ bản của mạch điện.................................................. 12 1.2.1. Phần tử thụ động và tích cực................................................. 12 1.2.2. Quy ước về dấu..................................................................... 13 1.2.3. Quan hệ dòng điện và điện áp............................................... 14 1.2.4. Điện trở R............................................................................. 15 1.2.5.Cuộn cảm L ........................................................................... 16 1.2.6. Tụ điện C.............................................................................. 17 1.2.7. Sơ đồ mạch điện ................................................................... 18 1.2.8. Điện trở phi tuyến................................................................. 18 CHƯƠNG 2: Phương pháp phân tích mạch điện............................... 21 2.1. Định luật mạch điện .................................................................. 21 2.1.1. Định luật Kirchhoff về điện áp.............................................. 21 2.1.2. Định luật Kirchhoff về dòng điện ......................................... 21 2.1.3. Mạch điện các phần tử mắc nối tiếp...................................... 22 2.1.4. Mạch điện các phần tử mắc song song.................................. 23 2.1.5. Điện trở phân (chia) điện áp và phân dòng điện.................... 24 2.2. Phân tích mạch điện .................................................................. 25 2.2.1. Phương pháp dòng nhánh ..................................................... 25 2.2.2. Phương pháp dòng mắt lưới.................................................. 26 2.2.3. Phương pháp ma trận và định thức........................................ 27 2.2.4. Phương pháp điện thế nút ..................................................... 29 2.3. Phân rã mạch điện..................................................................... 302.3.1. Điện trở vào và điện trở ra .................................................... 30 2.3.2. Điện trở chuyển đổi .............................................................. 31 2.3.3. Qui tắc phân rã mạch điện ................................................... 32 2.3.4. Qui tắc xếp chồng................................................................. 34 2.4. Định lý mạch điện...................................................................... 35 2.4.1. Định lý Thevenin và Norton ................................................. 35 2.4.2. Định lý truyền công suất cực đại........................................... 37 Chương 3: Mạch khuếch đại và khuếch đại thuật toán ..................... 39 3.1. Mạch khuếch đại ....................................................................... 39 3.1.1. Khuếch đại tín hiệu............................................................... 39 3.1.2. Sơ đồ khuếch đại hồi tiếp...................................................... 40 3.2. Khuếch đại thuật toán............................................................... 42 3.2.1. Khái niệm khuếch đại thuật toán........................................... 42 3.2.2. Mạch điện có khuếch đại thuật toán lý tưởng........................ 45 3.2.3. Mạch khuếch đại đảo............................................................ 46 3.2.4. Mạch khuếch đại không đảo ................................................. 47 3.2.5. Mạch khuếch đại cộng tín hiệu ............................................. 49 3.2.6. Mạch điện áp theo................................................................. 50 3.2.7. Mạch chứa nhiều bộ khuếch đại OA ..................................... 51 3.3. Mạch khuếch đại vi phân – tích phân ...................................... 52 3.3.1. Vi phân và khuếch đại vi phân.............................................. 52 3.3.2. Tích phân và mạch tích phân ................................................ 54 3.4. Mạch ứng dụng khuếch đại thuật toán .................................... 57 3.4.1. Mạch tính tương tự ............................................................... 57 3.4.2. Mạch lọc tần số thấp............................................................. 59 3.4.3. Bộ so sánh ............................................................................ 59 Chương 4: Dạng sóng và tín hiệu ........................................................ 61 4.1. Hàm chu kỳ................................................................................ 61 4.1.1. Khái niệm hàm chu kỳ.......................................................... 61 4.1.2. Hàm sin ................................................................................ 62 4.1.3. Dịch thời gian và dịch góc pha: ............................................ 634.1.4. Hàm chu kỳ hỗn hợp............................................................. 65 4.1.5. Giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng................................... 65 4.2. Hàm không chu kỳ..................................................................... 68 4.2.1. Hàm bước đơn vị (hàm step)................................................. 68 4.2.2. Hàm xung đơn vị (hàm dirac) ............................................... 70 4.2.3. Hàm mũ................................................................................ 72 4.2.4. Hàm sin tắt dần..................................................................... 75 4.2.5. Tín hiệu ngẫu nhiên .............................................................. 76 Chương 5: Quá độ trong mạch điện.................................................... 78 5.1. Quá độ trong mạch điện cấp một.............................................. 78 5.1.1. Quá độ trong mạch RC ......................................................... 78 5.1.2. Quá độ trong mạch RL.......................................................... 81 5.1.3. Hàm mũ cơ số tự nhiên......................................................... 83 5.1.4. Mạch bậc một phức tạp RL và RC ........................................ 85 5.1.5. Trạng thái ổn định một chiều trong mạch RL và RC............. 88 5.1.6. Quá độ khi chuyển mạch....................................................... 90 5.2. Đáp ứng của mạch bậc một....................................................... 91 5.2.1. Đáp ứng với tác động của hàm bước..................................... 91 5.2.2. Đáp ứng mạch RC và RL với tác động hàm xung đơn vị ...... 93 5.2.3. Đáp ứng của mạch RC và RL với kích thích hàm mũ ........... 96 5.2.4. Đáp ứng của mạch RC và RL với kích thích hàm sin............ 97 5.2.5. Mạch bậc một chủ động........................................................ 98 5.3. Mạch điện bậc cao ................................................................... 100 5.3.1. Mạch RLC nối tiếp không nguồn........................................ 100 5.3.2. Mạch RLC song song không nguồn.................................... 104 5.3.3. Mạch điện có hai vòng mắt lưới.......................................... 107 5.4. Quá độ của mạch điện trong miền tần số............................... 108 5.4.1. Tần số phức ........................................................................ 108 5.4.2. Trở kháng tổng quát của mạch RLC trong miền tần số s..... 109 5.4.3. Hàm biến đổi mạch điện ..................................................... 111 5.4.4. Đáp ứng cưỡng bức ............................................................ 1135.4.5. Đáp ứng tự nhiên ................................................................ 115 5.4.6. Biến đổi tỉ lệ biên độ và tần số............................................ 116 Chương 6: Mạch điện xoay chiều...................................................... 120 6.1. Phân tích mạch xoay chiều ở trạng thái ổn định (điều hòa).. 120 6.1.1. Đáp ứng của các phần tử..................................................... 120 6.1.2. Véc tơ biểu diễn đại lượng sin ............................................ 123 6.1.3. Trở kháng và dẫn nạp ......................................................... 125 6.1.4. Phương pháp dòng mắt lưới................................................ 128 6.1.5. Phương pháp điện thế nút ................................................... 131 6.1.6. Các định lý mạch trong miền tần số.................................... 132 6.2. Nguồn điện xoay chiều một pha.............................................. 133 6.2.1. Nguồn xoay chiều trong miền thời gian .............................. 133 6.2.2. Công suất của đại lượng sin trong trạng thái ổn định .......... 136 6.2.3. Công suất trung bình hoặc công suất tác dụng .................... 137 6.2.4. Công suất phản kháng......................................................... 138 6.2.5. Công suất phức, công suất biểu kiến và tam giác công suất 141 6.2.6. Công suất của các mạch song song ..................................... 144 6.2.7. Nâng hệ số công suất pf...................................................... 145 6.2.8. Truyền công suất cực đại.................................................... 146 6.2.9. Xếp chồng nguồn xoay chiều sin ........................................ 147 6.3. Nguồn xoay chiều nhiều pha ................................................... 148 6.3.1. Hệ thống nguồn xoay chiều hai pha .................................... 149 6.3.2. Hệ thống nguồn xoay chiều ba pha ..................................... 150 6.3.3. Tải ba pha đối xứng ............................................................ 153 6.3.4. Tải ba pha không đối xứng ................................................. 157 6.3.5. Công suất nguồn ba pha – đo công suất .............................. 160 Chương 7: Đáp ứng tần số, lọc và cộng hưởng ................................. 163 7.1. Đáp ứng tần số ......................................................................... 163 7.1.1. Khái niệm đáp ứng tần số ................................................... 163 7.1.2. Mạch thông cao tần và thông thấp tần................................. 164 7.1.3. Tần số tới hạn, tần số nửa công suất và dải tần ................... 1687.1.4. Tổng quát hóa mạch hai cửa hai phần tử............................. 169 7.1.5. Đáp ứng tần số và hàm biến đổi mạch điện......................... 170 7.1.6. Đáp ứng tần số xác định theo giản đồ cực–zero .................. 171 7.2. Mạch lọc................................................................................... 172 7.2.1. Mạch lọc lý tưởng và mạch lọc thực tế ............................... 172 7.2.2. Mạch lọc thụ động và chủ động .......................................... 174 7.2.3. Bộ lọc thông dải tần và cộng hưởng.................................... 175 7.2.4. Tần số tự nhiên và hệ số tắt dần.......................................... 177 7.3. Cộng hưởng.............................................................................. 177 7.3.1. Mạch RLC nối tiếp, cộng hưởng nối tiếp ............................ 177 7.3.2. Mạch RLC song song, cộng hưởng song song .................... 180 7.3.3. Mạch cộng hưởng LC song song thực tế............................. 181 7.3.4. Biến đổi tương đương nối tiếp – song song......................... 182 7.3.5. Giản đồ Locus .................................................................... 183 7.3.6. Thang tần số đáp ứng của mạch lọcError Bookmark not defined. Chương VIII: Mạng hai cửa.............................................................. 187 8.1. Khái niệm và thông số mạng hai cửa...................................... 187 8.1.1. Bộ số Z............................................................................... 187 8.1.2. Mạch T tương đương của mạch hai cửa tương hỗ ............... 188 8.1.3. Bộ số Y............................................................................... 189 8.1.4. Mạch π tương đương của mạch hai cửa tương hỗ................ 191 8.1.5. Qui đổi giữa bộ số Z và bộ số Y ......................................... 192 8.1.6. Các bộ số lai và bộ số truyền tải ......................................... 193 8.2. Kết nối các mạch hai cửa ........................................................ 195 8.2.1. Kết nối nối tiếp ................................................................... 195 8.2.2. Kết nối song song ............................................................... 196 8.2.3. Kết nối xâu chuỗi................................................................ 197 8.2.4. Lựa chọn bộ số phù hợp...................................................... 197 Chương 9: Hỗ cảm ............................................................................. 199 9.1. Khái niệm hỗ cảm.................................................................... 1999.1.1. Hiện tượng hỗ cảm ............................................................. 199 9.1.2. Hệ số cặp hỗ cảm................................................................ 201 9.1.3. Phân tích cặp hỗ cảm .......................................................... 202 9.2. Máy biến áp ............................................................................. 206 9.2.1. Máy biến áp tuyến tính ....................................................... 206 9.2.2. Máy biến áp lý tưởng.......................................................... 209 9.2.3. Máy biến áp tự ngẫu ........................................................... 210
Khái niệm cơ bản về mạch điện
Đại lượng điện và hệ đợn vị SI
Hệ đơn vị quốc tế (SI) là hệ thống được áp dụng trong toàn bộ nội dung cuốn sách này Bảng 1-1 liệt kê bốn đại lượng cơ bản cùng với đơn vị tương ứng của chúng Ngoài ra, các đại lượng khác không có trong bảng bao gồm nhiệt độ đo bằng thang kelvin (K), lượng vật chất tính bằng mol và mật độ ánh sáng được đo bằng candela (cd).
Bảng 1-1 Đại lượng Ký hiệu Đơn vị
Tất cả các đại lượng trong phân tích mạch điện đều phát sinh từ 7 đại lượng cơ bản Bảng 1-2 trình bày các đại lượng và ký hiệu thường được sử dụng trong lĩnh vực này.
Bảng 1-2 Đại lượng Ký hiệu Đơn vị
(hệ SI) Viết tắt Điện tích Q, q coulomb C Điện thế V, v vôn V Điện trở R Ohm Ω Điện dẫn G siemen S Điện cảm L henry H Điện dung C fara F
Từ cảm (mật độ từ thông) B tesla T
Hai đại lượng bổ sung trong phân tích mạch là góc phẳng (góc pha) và góc khối, với đơn vị tương ứng trong hệ SI là radian (rad) và steradian (sr) Đơn vị "độ" thường được sử dụng để biểu diễn góc pha trong các đại lượng sin, ví dụ: sin(ω.t + 30°), trong đó ωt có đơn vị radian, còn ωt + 30° được gọi là đơn vị hỗn hợp.
Bội số và ước số của đơn vị hệ SI được trình bày trong bảng 1-3
Tên gọi Hệ số nhân Viết tắt
Ví dụ: mV là ký hiệu viết tắt của millivolt bằng 10 -3 V, và MW là của đơn vị megawatt bằng 10 6 W.
Lực, công và sông suất
Lực, được định nghĩa theo phương trình toán học, là sản phẩm của khối lượng và gia tốc, cụ thể là "lực bằng khối lượng nhân với gia tốc" Theo định nghĩa của Newton, một Newton (N) là lực cần thiết để tạo ra gia tốc 1 m/s² cho một vật có khối lượng 1 kg, do đó N = kg.m/s².
Công là kết quả của lực tác dụng trong quãng đường Joule là công của lực 1 N trong quãng đường 1 m (1 J = 1 N.m) Công và năng lượng có cùng đơn vị
Công suất đại lượng đo công hoàn thành trong thời gian hoặc năng lượng truyền từ vật này sang vật khác Đơn vị công suất là watt (1 W = 1 J/s)
Trong ví dụ về chuyển động thẳng của vật 10-kg với gia tốc 2 m/s², ta cần xác định lực tác động F Nếu vật bắt đầu chuyển động từ thời điểm t = 0 và x = 0, hãy tính toán vị trí, động năng và công suất của vật sau 4 giây.
Điện tích và dòng điện
Đơn vị của dòng điện, Ampe (A), được định nghĩa là dòng điện không đổi trong hai dây dẫn dài vô hạn và có tiết diện không đáng kể, cách nhau ít nhất 1m, tạo ra lực 2.10^-7 N cho mỗi mét chiều dài Một định nghĩa phổ biến khác là dòng điện là kết quả của sự di chuyển điện tích, trong đó 1 ampe tương đương với 1 coulomb (C) điện tích di chuyển qua mặt cắt của vật dẫn trong 1 giây.
Điện tích (dq) và dòng điện (i) có mối liên hệ chặt chẽ, trong đó điện tích được định nghĩa bằng coulomb (C) và có thể được tính bằng ampe-giây Trong vật dẫn, điện tích có thể là dương hoặc âm Khi điện tích dương di chuyển sang trái, dòng điện i cũng sẽ hướng sang trái Nếu có 1 coulomb điện tích đi qua tiết diện S trong 1 giây, thì dòng điện sẽ đạt giá trị 1 ampe Ngược lại, khi điện tích âm di chuyển sang phải, nó cũng tạo ra dòng điện hướng về phía trái.
Khi phân tích mạch điện, một vấn đề quan trọng là dòng điện trong các vật dẫn kim loại liên quan đến sự di chuyển của các điện tử lớp ngoài trong cấu trúc nguyên tử Chẳng hạn, trong đồng, các điện tử này có liên kết lỏng lẻo với hạt nhân và có thể di chuyển tự do giữa các nguyên tử trong mạng tinh thể Ở nhiệt độ thường, số lượng điện tử tự do này giữ ổn định và có chuyển động ngẫu nhiên, với khoảng 8,5 x 10^28 điện tử tự do trong 1 m³ kim loại đồng Điện tích của mỗi điện tử là -1,602 x 10^-19 C, do đó, dòng điện 1 A tương đương với 6,24 x 10^18 điện tử đi qua tiết diện của vật dẫn trong 1 giây.
Ví dụ 1–2: Vật dẫn có dòng điện 5 (A), hãy tính số lượng điện tử đi qua tiết diện trong vòng 1 phút?
Lượng điện tíc đi qua tiết diện trong 1 phút
Số lượng điện tử khi đó
Điện thế
Trong điện trường, các điện tích chịu tác động của lực, dẫn đến việc chúng được đẩy nhanh Công cần thiết để di chuyển điện tích ngược lại với lực điện trường được minh họa trong hình 1-2a Nếu 1 J là công để di chuyển 1 C điện tích từ vị trí 0 đến vị trí 1, thì vị trí 1 có điện thế 1 V so với vị trí 0 (1 V = 1 J/C) Tương tự như khối lượng, điện thế trong điện trường cũng có khả năng sinh công; khi nâng một vật ngược lại với lực trọng trường đến độ cao h, thế năng của vật (m) có thể thực hiện công khi thả xuống Thế năng này sẽ chuyển hóa thành động năng khi vật được thả.
Để di chuyển một lượng điện tích 0,5 (μC) từ điểm a đến điểm b trong mạch điện, cần tiêu tốn năng lượng 9,25 (μJ) Hiệu số điện thế giữa hai điểm a và b có thể được tính bằng công thức U = W/Q, trong đó W là năng lượng và Q là điện tích Như vậy, hiệu số điện thế giữa hai điểm là 18,5 (V).
Năng lượng và công suất điện
Năng lượng điện, được đo bằng joules, sẽ được thảo luận trong các phần tiếp theo liên quan đến điện dung và điện cảm, phản ánh khả năng lưu trữ năng lượng của điện trường và từ trường Để đánh giá công suất điện (W), ta xem xét quá trình thực hiện công 1 joule trong 1 giây, khi năng lượng được truyền đi Công suất điện được xác định bởi tích của điện thế và dòng điện, với công thức p = v.i (1W = 1V.1A) hoặc V.A = J/C C/s = J/s = W Công suất cũng có thể hiểu là đạo hàm theo thời gian, do đó công suất tức thời thường là hàm số theo thời gian Các giá trị công suất trung bình P avg và công suất hiệu dụng P rms được áp dụng khi dòng điện và điện áp được biểu diễn dưới dạng hàm sin.
Ví dụ: 1–4 Điện trở có hiệu điện thế 50V và có 120C đi qua trong 1 phút, hãy xác định công suất điện biến đổi thành nhiệt năng?
P = 2 (A) 50 (V) = 100 (W) Với W = 1 J/s, điện năng biến thành nhiệt năng của điện trở là 100 J/s.
Hằng số và hàm số
Để phân biệt giữa hằng số và biến số theo thời gian, người ta sử dụng chữ cái in hoa cho các hằng số và chữ cái thường cho biến số Ví dụ, dòng điện không đổi có giá trị 10A được ký hiệu là I = 10(A), trong khi dòng điện 10A thay đổi theo thời gian được biểu diễn là i = 10.f(t).
Các đại lượng biến đổi thường được sử dụng trong phân tích mạch điện có dạng hàm tuần hoàn sin i10sint(A), và dạng hàm số mũ v12e at (V).
Phần tử cơ bản của mạch điện
1.2.1 Ph ầ n t ử th ụ độ ng và tích c ự c
Mọi thiết bị điện đều có thể được biểu diễn dưới dạng băng mạch, sơ đồ hoặc mạng, thông qua việc liên kết các phần tử có hai đầu kết nối theo kiểu nối tiếp hoặc song song Phân tích mạch giúp dự đoán cách thức hoạt động của thiết bị thực tế Các phần tử có hai đầu kết nối, được ký hiệu bằng hình chữ nhật với hai đầu A và B, bao gồm phần tử tích cực như nguồn áp hoặc nguồn dòng, có khả năng cung cấp năng lượng cho mạch Ngoài ra, điện trở, điện cảm và điện dung là các phần tử thụ động, nhận năng lượng từ nguồn và chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác hoặc tích trữ dưới dạng năng lượng điện từ trường.
Trong hình 1-4, có bảy phần tử cơ bản trong mạch điện được thể hiện Phần tử (a) và (b) đại diện cho nguồn điện áp, trong đó nguồn điện áp độc lập không bị ảnh hưởng từ mạch điện được ký hiệu bằng hình tròn (hình 1-4a), còn nguồn điện áp phụ thuộc thì bị ảnh hưởng từ mạch điện và được ký hiệu bằng hình thoi (hình 1-4b) Tương tự, nguồn dòng điện cũng có hai loại: nguồn dòng độc lập (hình 1-4c) và nguồn dòng phụ thuộc (hình 1-4d) Ba phần tử thụ động trong mạch điện bao gồm điện trở, cuộn cảm và tụ điện, được ký hiệu bằng các biểu tượng tương ứng (hình 1-4 e, f, g).
Trong mạch điện, tham số gộp là thuật ngữ dùng để mô tả một phần tử thông qua các thông số như điện trở, điện cảm hoặc điện dung Chẳng hạn, một cuộn dây với nhiều vòng cách điện có thể được biểu diễn bằng điện trở nối tiếp hoặc song song, phản ánh điện trở tổng của toàn bộ chiều dài dây.
Cực tính của nguồn áp được thể hiện qua các dấu (+) và (–) gần các đầu cực Ví dụ, với nguồn áp có biểu thức v = 10sin(ωt), cực A sẽ có điện thế dương so với cực B trong khoảng thời gian ωt từ 0 đến π, trong khi cực B sẽ có điện thế dương hơn cực A khi ωt từ π đến 2π, diễn ra trong chu kỳ đầu tiên của hàm.
Nguồn dòng điện được ký hiệu chiều dòng điện bằng mũi tên, như thể hiện trong hình 1-5b Đối với các phần tử thụ động như R, L, C (hình 1-5c), cực có dòng điện đi vào thường được ký hiệu là dương (+), trong khi cực có dòng điện đi ra được ký hiệu là âm (–).
Công suất được thể hiện trong hình 1-6a với nguồn áp không đổi VA = 20V và VB = 5V, cùng với điện trở 5Ω, cho kết quả dòng điện 3A có chiều thuận kim đồng hồ Trong hình 1-6b, công suất hấp thụ tại phần tử khi dòng điện đi vào cực dương được tính bằng công thức V.I hoặc I²R, với giá trị hấp thụ tương ứng là 45W ở điện trở và 15W ở nguồn VB Dòng điện đi vào cực âm của nguồn.
VA, phần tử này cấp nguồn cho mạch PV.I60W, qua đó có thể khẳng định công suất tiêu thụ tại nguồn VB và điện trở được nguồn VA cấp
1.2.3 Quan h ệ dòng điện và điệ n áp
Các phần tử thụ động trong mạch điện bao gồm điện trở R, cuộn dây L và tụ điện C, được xác định dựa trên mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp Cụ thể, nếu điện áp và dòng điện có mối quan hệ tỷ lệ không đổi, phần tử đó là điện trở, với giá trị R được xác định bởi công thức v = Ri Ngược lại, nếu điện áp tỷ lệ với đạo hàm theo thời gian của dòng điện, phần tử đó là điện cảm, với giá trị L được tính qua v = L(di/dt) Cuối cùng, nếu dòng điện tỷ lệ với đạo hàm theo thời gian của điện áp, phần tử đó là tụ điện, với giá trị điện dung được mô tả bởi i = C(dv/dt).
Bảng 1–4 tổng hợp quan hệ dòng áp đối với 3 phần tử thụ động của mạch điện Chú ý chiều của dòng điện tương ứng với cực tính của điện áp
Phần tử Đơn vị Điện áp Dòng điện Công suất Điện trở R Ohm (Ω) vR.i
(định luật Ohm) R i v pv.i Ri 2 Điện cảm L Henri (H) dt
L vdt i p v i Li dt di Điện dung C Fara (F) 1 idt k 2 v C i C dv dt p v i Cv dv dt
Tất cả thiết bị tiêu thụ điện năng đều có điện trở trong mạch điện, trong khi cuộn dây và tụ điện có khả năng tích trữ và phát lại năng lượng cho nguồn hoặc các phần tử khác Công suất trên điện trở được tính bằng công thức p = v.i = Ri² = v²/R, luôn cho giá trị dương Điện năng trên điện trở được xác định thông qua tích phân của công suất tức thời.
Ví dụ 1–5: Trên điện trở 4Ω có dòng điện i 2,5sint(A) Hãy xác định điện áp, công suất và điện năng tiêu thụ trong một chu kỳ với ω = 500π rad/s
Đồ thị giá trị tức thời của điện trở v, p và w như hình 1-7 cho thấy công suất của điện trở luôn dương, đồng thời điện năng tiêu thụ cũng tăng theo thời gian.
Cuộn cảm, hay điện cảm, là phần tử trong mạch điện có khả năng tích trữ điện năng dưới dạng năng lượng từ trường Khi dòng điện biến thiên theo chu kỳ, năng lượng được lưu trữ trong một phần chu kỳ và sau đó được phát trả cho nguồn và các phần tử khác Khi ngắt kết nối cuộn cảm khỏi nguồn điện, từ trường sẽ biến mất, dẫn đến việc không còn điện năng lưu trữ Cuộn cảm tương đương có thể được tìm thấy trong động cơ điện, máy biến áp và các thiết bị khác có điện cảm trong mạch Ngay cả dây dẫn song song cũng có điện cảm, điều này cần được xem xét ở các tần số khác nhau Công suất và điện năng được tính toán dựa trên các yếu tố này.
L Điện năng tích lũy dưới dạng năng lượng từ trường 2
Ví dụ 1–6: trong khoảng t = 0 ÷ π/50 s, điện cảm 30-mH có dòng điện t i 10sin50 (A) Hãy tính điện áp, công suất và năng lượng của điện cảm dt t
Như trên hình 1-8, năng lượng của cuộn cảm bằng 0 khi t = 0 và t = π/50s
Sự trao đổi năng lượng diễn ra trong khoảng thời gian này, ban đầu tính lũy trong khoảng (0 →π/100) và phát trả lại mạch ngoài (π/100 → π/50)
Tụ điện, hay còn gọi là phần tử của mạch tích lũy điện năng dưới dạng năng lượng điện trường, hoạt động bằng cách tích lũy điện năng trong một phần chu kỳ và phát ra năng lượng trong phần còn lại cho nguồn và các phần tử khác Khác với cuộn cảm, tụ điện vẫn duy trì điện tích và điện trường ngay cả khi ngắt khỏi nguồn, và điện tích này được giữ cho đến khi có đường xả thiết lập, lúc đó năng lượng sẽ được giải phóng Cơ chế tích lũy điện năng của tụ điện được mô tả bằng công thức điện tích q = C.v, trong đó C là điện dung và v là điện áp Trong tụ điện đơn giản với hai bản cực song song, một bản cực tích lũy điện tích trong khi bản còn lại không có điện tích, và sự cân bằng này đạt được khi tụ điện được xả Quan hệ giữa công suất và năng lượng trên tụ điện cũng rất quan trọng để hiểu rõ hơn về hoạt động của nó.
C Điện năng tích lũy dưới dạng năng lượng điện trường 2
Trong khoảng thời gian t = 0 đến 5π ms, một tụ điện có điện dung 20 mF và điện áp biến thiên theo công thức v = 50sin(200t) (V) Để tính toán điện tích, công suất và năng lượng điện trên tụ, với năng lượng ban đầu wC = 0 tại thời điểm t = 0, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến tụ điện.
Trong khoảng thời gian 0 < t < 2,5π ms, điện áp và điện tích trên tụ điện tăng từ 0 đến 50V và 1000 mC tương ứng Hình 1-9 minh họa rằng năng lượng tích lũy đạt 25mJ trước khi trở về 0 khi tụ phát trả nguồn.
Mạch điện có thể được cấu trúc theo nhiều phương án khác nhau nhưng thực chất vẫn giống nhau Sơ đồ mạch cần được xem xét kỹ lưỡng trước khi chọn phương pháp phân tích, và có thể cần phải điều chỉnh để phù hợp Ví dụ, trong hình 1-10a, có 3 nút A, nhưng chúng được thể hiện như 2 nút trong hình 1-10b Hơn nữa, điện trở R4 bị nối tắt có thể loại bỏ, dẫn đến hình 1-10c chỉ còn 1 nút A.
Quan hệ dòng-áp của phần tử điện có thể không tuyến tính và được mô hình hóa bằng điện trở phi tuyến, như đèn sợi và diode Đèn sợi cho thấy dòng điện giảm khi điện áp tăng, trong khi diode cho phép dòng điện chảy tốt hơn theo chiều thuận (từ anode đến cathode) so với chiều ngược lại Ký hiệu diode trong mạch điện có mũi tên chỉ chiều thuận, với dòng điện lớn khi điện áp dương nhỏ và dòng rò khi điện áp âm Đặc tính vôn-ampe của diode lý tưởng cho thấy v = 0 khi i > 0 và i = 0 khi v < 0 Giá trị điện trở tĩnh R = V / I và điện trở động r = ΔV / ΔI phụ thuộc vào trạng thái làm việc của phần tử phi tuyến.
Ví dụ 1–8: Đặc tính dòng-áp của diode bán dẫn được đo và ghi lại: v (V)
Phương pháp phân tích mạch điện
Định luật m ạch điện
Mạch điện bao gồm nhiều phần tử kết nối, trong đó có ít nhất một nguồn áp hoặc nguồn dòng Cách bố trí các phần tử này xác định mối quan hệ giữa dòng và áp Những ràng buộc và phương trình mới tạo ra mối quan hệ dòng-áp cho từng phần tử, từ đó cung cấp lời giải cho mạch điện.
Mục đích chính của việc xác định các phần tử và kết nối chúng vào mạch điện là để mô phỏng hoạt động của các thiết bị điện, bao gồm động cơ, máy phát điện, máy biến áp và thiết bị điện tử.
Định luật Kirchhoff về điện áp (KA) khẳng định rằng tổng đại số của các điện áp trong bất kỳ vòng kín nào của mạch điện bằng không Điện áp có thể xuất phát từ nguồn hoặc do dòng điện chạy qua các phần tử thụ động tạo ra (thường được gọi là điện áp rơi) Định luật này đặc biệt hiệu quả cho các mạch điện sử dụng nguồn không đổi, một chiều, hoặc nguồn biến đổi theo thời gian, v(t) và i(t) Phương pháp dòng điện vòng được xây dựng dựa trên định luật Kirchhoff về điện áp.
Ví dụ: viết phương trình định luật Kirchhoff điện áp cho mạch sau:
Định luật Kirchhoff về dòng điện xác định rằng tại một nút, tổng đại số các dòng điện bằng không, tức là tổng dòng điện vào nút bằng tổng dòng điện ra khỏi nút Nút được định nghĩa là điểm kết nối của hai hoặc nhiều phần tử, trong đó kết nối giữa hai phần tử gọi là nút đơn, còn kết nối với ba phần tử trở lên được gọi là nút chính Phương pháp phân tích mạch theo điện áp nút dựa trên định luật này, với cơ sở là luật bảo toàn điện tích.
Ví dụ: viết phương trình định luật Kirchhoff dòng điện cho mạch điện hình 2–2
2.1.3 M ạch điệ n các ph ầ n t ử m ắ c n ố i ti ế p
Các phần tử thụ động mắc nối tiếp (hình 2–3) đều có cùng dòng điện đi qua, với điện áp rơi lần lượt là v1, v2 và v3 Tổng điện áp v trên toàn đoạn mạch được tính bằng tổng các điện áp rơi này.
Trong đó: R tđ – điện trở tương đương thay cho 3 điện trở mắc nối tiếp, quan hệ dòng áp lúc đó cũng tương tự
Với số lượng tùy ý điện trở nối tiếp:
Nếu các phần tử mắc nối tiếp là điện cảm: dt
Với số lượng tùy ý điện cảm nối tiếp:
Nếu ba phần tử trong mạch nối tiếp là điện dụng và không chấp nhận điều kiện ban đầu, thì hằng số của kết quả tích phân sẽ bằng không.
1 Điện dung tương đương của các tụ điện mắc nối tiếp:
Lưu ý: khi trong hai tụ mắc nối tiếp, một tụ có điện dung rất lớn hơn tụ còn lại, điện dung tương đương bằng giá trị của tụ nhỏ
2.1.4 M ạch điệ n các ph ầ n t ử m ắ c song song
Ba phần tử thụ động mắc song song tuân theo định luật Kirchhoff về dòng điện, theo đó, tổng dòng điện đến nút chính bằng tổng các dòng điện ra khỏi nút chính trên các nhánh.
Nếu trên các nhánh là điện trở, ta có:
Các điện trở mắc song song, điện trở tương đương:
R tđ Đặc biệt, chỉ có hai điện trở mắc song song:
Hoặc n điện trở bằng nhau mắc song song n
Các điện cảm mắc song song, điện cảm tương đương:
L tđ Đặc biệt, chỉ có hai điện cảm mắc song song:
Các tụ điện mắc song song, điện dung tương đương:
2.1.5 Điệ n tr ở p hân (chia) điệ n á p và phân dòng điệ n
Bộ điện trở mắc nối tiếp có chức năng chia điện áp, trong khi bộ điện trở mắc song song đảm nhiệm vai trò chia dòng điện.
Trường hợp có hai nhánh:
Tỉ lệ dòng điện trên nhánh của mạch hai nhánh song song tỉ lệ thuận với điện trở của nhánh kia và tỉ lệ nghịch với tổng điện trở của cả hai nhánh.
Phân tích mạch điện
Phương pháp dòng nhánh gán dòng điện cho từng nhánh trong mạch điện, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho tất cả các nút độc lập Điện áp giữa hai nút được xác định dựa trên dòng điện trên các nhánh, từ đó thiết lập hệ phương trình đồng thời Kết quả của dòng điện ở mỗi nhánh được tìm ra khi giải hệ phương trình này.
Ví dụ: Giải mạch trong hình 2–6 tìm dòng điện trên các nhánh
Các dòng điện I1, I2, I3 được gán cho các nhánh như trong hình vẽ Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút a:
I (1) Điện áp Vab có thể tính theo các biểu thức của áp trên các nhánh:
V ab ; V ab I 3 (10); V ab I 2 (2)8 Từ đó có thể viết được các phương trình:
20 I 1 I 2 (3) Giải các phương trình (1), (2) và (3) tìm được các giá trị dòng điện:
Dòng điện trên nhánh có thể chọn theo chiều ngược lại và kết quả chỉ cần đơn giản đổi dấu thích hợp
Trong các mạch điện phức tạp, phương pháp dòng điện nhánh khó áp dụng do thiếu điểm khởi đầu rõ ràng và quy trình hợp lý để thiết lập đủ số lượng phương trình cần thiết Hơn nữa, số lượng phương trình độc lập thường nhiều hơn so với phương pháp dòng vòng và điện thế nút.
2.2 2 Phương pháp dòng m ắt lướ i
Phương pháp dòng mắt lưới, hay còn gọi là dòng vòng, gán dòng điện cho mỗi cửa sổ mắt lưới trong mạch điện, tạo thành một mạch khép kín Mỗi phần tử và nhánh trong mạch có dòng điện độc lập, và nếu có hai dòng mắt lưới trong một nhánh, dòng điện thực sẽ là tổng đại số của chúng Chiều dòng mắt lưới có thể là thuận chiều kim đồng hồ hoặc ngược lại, nhưng thường gán theo chiều kim đồng hồ để thuận lợi Sau khi gán tất cả dòng điện cho các mắt lưới, cần áp dụng định luật Kirchhoff về áp để thiết lập đủ số phương trình cần thiết.
Ví dụ: Tìm dòng điện trên các nhánh của mạch hình 2–7, sử dụng phương pháp dòng mắt lưới
Các dòng điện I1 và I2 được xác định theo sơ đồ mạch Định luật Kirchhoff được áp dụng cho vòng bên trái bắt đầu từ điểm α và vòng bên phải bắt đầu từ điểm β.
Giải đồng thời hai phương trình (4) và (5) ta được I1 = 2A và I2 = 1A Dòng điện trong nhánh giữa bằng I1 – I2 = 1A, trên hình là mũi tên nét đứt
Các dòng điện không nhất thiết phải bị giới hạn trong các cửa sổ để đạt được kết quả trong hệ phương trình đồng thời, như trong phương pháp dòng mắt lưới Quy tắc áp dụng của phương pháp này yêu cầu rằng mỗi phần tử trên nhánh phải có dòng điện riêng hoặc tổ hợp các dòng điện từ mắt lưới, và hai phần tử trên hai nhánh không thể chia sẻ cùng một dòng điện hoặc tổ hợp các dòng điện.
2.2.3 Phương pháp m a tr ận và đị nh th ứ c
Với mạch điện tổng quát có n mắt lưới, hệ n phương trình có thể viết ở dạng ma trận
Ví dụ: Khi áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho sơ đồ mạch điện hình 2–8, ta có được 3 phương trình:
2 ( ) 3 Đưa các phương trình vào dạng ma trận:
Ma trận ẩn trong bài toán này là ma trận cột của các dòng mắt lưới, trong khi ma trận hệ số chứa các giá trị điện trở được gọi là ma trận điện trở Bên cạnh đó, ma trận cột vế phải của phương trình đại diện cho các nguồn áp của mỗi mặt lưới.
Các phần tử của ma trận điện trở có thể định chỉ số như sau:
Phần tử R11 (hàng 1, cột 1) đại diện cho tổng các điện trở trong mắt lưới với dòng I1 đi qua, bao gồm RA và RB Tương tự, các phần tử R22 và R33 thể hiện tổng điện trở trong mắt lưới có dòng I2 và I3 tương ứng.
Phần tử R12 (hàng 1, cột 2) đại diện cho tổng điện trở chung của hai dòng mắt lưới I1 và I2 Dấu hiệu của R12 là (+) khi hai dòng điện cùng chiều trên mỗi điện trở và (-) khi chúng ngược chiều Trong hình 2–7, chỉ có RB là điện trở chung của hai dòng mắt lưới I1 và I2, với chiều dòng điện ngược nhau.
RB có dấu âm, tương tự như các phần tử R21, R23, R13 và R31, là tổng của các điện trở chung cho hai dòng mắt lưới theo chỉ số của phần tử Dấu của các phần tử này được xác định như đối với R12 Do đó, với mọi giá trị i và j, ta có thể thấy rằng ji ij R.
R Như vậy ta được ma trận đối xứng qua đường chéo chính
Ma trận dòng điện là một khái niệm quan trọng trong phân tích mạch, trong đó các phần tử của một cột được đánh số từ 1, 2, 3,… để biểu thị dòng mắt lưới tương ứng Điều này tạo nên sự rõ ràng và chính xác trong việc áp dụng phương pháp dòng mắt lưới.
Phần tử V1 trong ma trận điện áp là tổng các nguồn dòng trong vòng mắt lưới dẫn dòng I1 Nếu dòng I1 đi từ cực (-) đến cực (+) của nguồn, điện áp có giá trị dương; ngược lại, nó sẽ có dấu âm Nguồn được coi là dương nếu tạo ra dòng điện cùng chiều với dòng mắt lưới.
1 có nguồn Va cùng chiều với I1; mắt lưới 2 không có nguồn và mắt lưới 3 có nguồn Vb tạo dòng ngược chiều với I3 nên có dấu âm
Phương pháp ma trận, phát triển từ phương pháp dòng mắt lưới, có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau Một trong những phương pháp đó là sử dụng định thức Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các phương pháp giải phương trình ma trận khác thường hiệu quả hơn khi áp dụng cho các mạch lớn.
Giải phương trình ma trận (6) bằng phương pháp định thức, ẩn I1 được tính qua tỉ số của hai định thức Định thức mẫu số là định thức của ma trận điện trở, ký hiệu là ΔR Tử số là định thức của ma trận tương tự ΔR, nhưng thay thế cột 1 bằng ma trận cột điện áp.
Triển khai định thức tử số theo cột điện áp ta được các phương trình, qua đó có thể nhận được qui luật
Trong đó: Δij – định thức con của định thức của ma trận điện trở ΔR, trong đó loại bỏ các phần tử hàng i và cột j
2.2.4 Phương pháp điệ n th ế nút
Mạch điện trong hình 2–9a có 5 nút, trong đó nút 4 và 5 là nút đơn giản, còn nút 1, 2 và 3 là nút mạch Phương pháp điện thế nút chọn một nút mạch làm gốc và viết các phương trình theo định luật Kirchhoff về dòng cho các nút mạch còn lại Mỗi nút mạch (trừ nút gốc) được gán một điện thế, tương ứng với điện áp của nút đó so với nút gốc Các điện thế này là ẩn số, và giải các phương trình một cách thích hợp sẽ cho ra lời giải cho mạch điện.
Mạch điện được trình bày trong hình 2–9b với ba nút mạch, trong đó nút gốc được xác định cùng với hai nút 1 và 2 mang điện thế V1 và V2 tương ứng Theo định luật Kirchhoff về dòng điện, tổng đại số các dòng điện tại nút 1 phải bằng không.
Tương tự, tổng các dòng tại nút 2 cũng phải bằng không:
Phân rã mạch điện
2.3.1 Điệ n tr ở vào và điệ n tr ở ra
Trong các mạch điện một nguồn, điện trở vào và điện trở ra đóng vai trò quan trọng Ví dụ như trong mạch điện được minh họa ở hình 2–11, điện áp được ký hiệu là V1 và dòng điện tương ứng là I1 Khi chỉ có một nguồn điện V1, phương trình liên quan đến dòng điện I1 được thiết lập như sau:
Điện trở vào của mạch được xác định bằng tỉ số giữa điện áp V1 và dòng điện I1 Định thức ma trận điện trở được lập theo phương pháp dòng mắt lưới, với ΔR là định thức chính và Δ11 là định thức con khi loại bỏ hàng và cột tương ứng với mắt lưới có nguồn áp.
Có thể thấy rằng đơn vị của Δ R /Δ 11 có đơn vị là Ω
Một nguồn điện áp cung cấp cho mạch thụ động tạo ra điện áp giữa hai nút bất kỳ Khi thêm một điện trở vào hai nút của mạch, dòng điện sẽ được rút ra, thường dẫn đến giảm điện áp giữa hai nút đó Hiện tượng giảm áp này xảy ra do điện trở ra của mạch, được tính bằng tỉ số giữa điện áp hở mạch và dòng điện ngắn mạch tại đầu ra.
2.3.2 Điệ n tr ở chuy ển đổ i
Khi một nguồn áp được kết nối với bất kỳ phần nào của mạch điện, nó sẽ tạo ra dòng điện trên tất cả các nhánh Chẳng hạn, khi nguồn áp nối vào mạch thụ động, dòng điện sẽ chảy qua mạch đến tải điện trở Trong tình huống này, mạch điện có hệ số chuyển đổi điện trở trên toàn bộ mạch.
Trong mạch thụ động được mô tả trong hình 2–12, nguồn điện ký hiệu là Vr tạo ra dòng điện đầu ra Is Mối quan hệ giữa dòng điện Is và điện áp Vr phụ thuộc vào các thông số của mạch thụ động không có nguồn Để tính toán dòng điện, cần xem xét các yếu tố liên quan đến mạch này.
Khi nguồn áp duy nhất là V r, phương trình dòng điện mắt lưới đối với Is chỉ bao gồm một thành phần duy nhất liên quan đến Vr trong định thức tử số.
I Điện trở chuyển đổi của mạch điện là tỉ số giữa Vr và Is: rs
Ma trận điện trở đối xứng qua đường chéo chính Δ rs = Δ sr , nên ta có: sr transfer rs transfer R
Biểu thức này thể hiện một tính chất quan trọng của mạch tuyến tính: nếu một nguồn áp tại mắt lưới r tạo ra dòng điện tại mắt lưới s, thì nguồn đó cũng sẽ tạo ra dòng điện có trị số không đổi tại mắt lưới r khi đặt tại mắt lưới s Xét trường hợp tổng quát với mạch n mắt lưới chứa một số nguồn nhất định, dòng điện tại mắt lưới k được tính theo biểu thức: nk transfer n k k transfer k k input k k k transfer k k transfer k R.
Biểu thức dòng điện minh họa nguyên lý chồng chất, cho thấy ảnh hưởng của các điện trở đối với tác động của các nguồn trên một mắt lưới cụ thể Khi nguồn ở xa mắt lưới k, điện trở chuyển đổi đến mắt lưới sẽ lớn, dẫn đến dòng điện do nguồn đó tạo ra chỉ là một thành phần nhỏ trong dòng điện tổng Ik.
Vk, và các nguồn khác ở mắt lưới lân cận sẽ cho thành phần dòng điện lớn hơn trong Ik
2.3.3 Qui t ắ c phân rã m ạch điệ n
Phương pháp dòng mắt lưới và điện thế nút là những kỹ thuật chính trong phân tích mạch điện Điện trở tương đương của các nhánh nối tiếp và song song, kết hợp với các quy tắc phân chia điện áp và dòng điện, tạo ra một phương pháp phân tích mạch khác Phương pháp này thường yêu cầu vẽ thêm một số mạch điện bổ sung Quá trình đơn giản hóa mạch điện có thể dẫn đến những mạch rất đơn giản, giúp tính toán dòng, áp và công suất dễ dàng hơn Phân rã mạch điện bắt đầu bằng việc xác định các cụm điện trở nối tiếp và song song.
Ví dụ: Tính tổng công suất cung cấp từ nguồn 60V và công suất trên mỗi điện trở của mạch điện hình 2–13
Hai điện trở song song trên hình 2–14
R ef Ω Điện trở 3Ω nối tiếp với điện trở 10Ω, điện trở tương đương
Tổng công suất trên các điện trở bằng tổng công suất nguồn:
Công suất nguồn chia trên 2 điện trở Ref và Rge:
Công suất Pef chia trên hai điện trở Rcd và Rab:
Cuối cùng công suất trên các điện trở riêng rẽ là:
Mạch tuyến tính có thể phân tích giá trị điện áp và dòng điện nhánh thông qua việc xem xét tác động riêng rẽ của từng nguồn độc lập và áp dụng nguyên tắc xếp chồng Nguyên tắc này dựa trên tính chất tuyến tính giữa dòng và áp Đối với nguồn phụ thuộc, xếp chồng chỉ được áp dụng khi các thông số điều khiển nguồn nằm bên ngoài mạch đang xét Khi phân tích tác động của một nguồn, nguồn áp sẽ bị nối tắt và nguồn dòng sẽ bị hở mạch Tuy nhiên, nguyên lý xếp chồng không thể áp dụng cho việc tính toán công suất, vì công suất tỷ lệ với bình phương dòng điện hoặc điện áp, dẫn đến quan hệ không tuyến tính.
Những minh họa tiếp theo về nguyên tắc xếp chồng có thể lấy từ ví dụ trước đây phương trình :
Nguyên tắc xếp chồng là một khái niệm quan trọng trong điện học Dòng điện I1 được xác định bởi tổng của ba thành phần Nếu chỉ có nguồn trên vòng mắt lưới 3 và các vòng còn lại không có nguồn, thì dòng điện I1 chỉ bao gồm một thành phần duy nhất.
Ví dụ: Hãy tính dòng điện trên điện trở 23Ω của mạch trong hình 2–15a bằng phương pháp xếp chồng
Với nguồn 200V tác động một mình, nguồn 20A triệt tiêu → hở mạch như trên hình 2–15b Điện trở tương đương của mạch:
Khi cho nguồn 20A tác động một mình, nguồn áp 200V được thay thế nối ngắn mạch như trong hình 2–15c Điện trở tương đương của mạch:
Dòng điện tổng trên điện trở 23Ω:
Định lý mạch điện
2.4.1 Đị nh lý Thevenin và Norton
Một mạch tuyến tính có thể được thay thế bằng nguồn áp tương đương Thevenin (V’) và nguồn dòng tương đương Norton (I’), theo định lý Thevenin và Norton Hai điện trở trong cả hai nguồn này đều giống nhau, ký hiệu là R’ Khi hai cực ab hở mạch, điện áp giữa chúng sẽ tương đương với V’ của sơ đồ Thevenin Nếu hai điểm này được nối ngắn mạch, sẽ xuất hiện dòng điện tương đương với dòng Norton Do đó, các sơ đồ mạch tương ứng với hình 2–14a, 2–14b và 2–14c đều có tính chất tương đương.
Như vậy I ' V ' /R ' , còn nếu cả V’ và I’ được xác định từ mạch điện ban đầu thì ta có R ' V ' /I '
Ví dụ: Hãy tính mạch tương đương Thevenin và Norton cho mạch điện trong hình 1-25a
Khi ab hở mạch, hai nguồn áp tạo thành mạch kín có dòng điện theo chiều kim đồng hồ qua các điện trở 3Ω và 6Ω (hình 1-25b)
Hình 2–17 Điện áp tương đương Thevenin:
V ab V Điện trở R’ là điện trở của mạch khi bỏ hết các nguồn (hình 1-25c), điện trở tương đương giữa hai cực a và b:
Khi ngắn mạch tại các cực ab, dòng điện Isc do hai nguồn gây nên, xếp chồng các kết quả:
Sơ đồ mạch điện tương đương Thevenin và Norton thể hiện các giá trị V’, R’ và I’ được tính toán riêng biệt Theo định luật Ohm, nếu biết hai trong số các giá trị này, ta có thể xác định giá trị còn lại.
Định lý Thevenin và Norton rất quan trọng trong việc phân tích mạch điện có nhiều tải khác nhau Bằng cách sử dụng sơ đồ nguồn áp hoặc nguồn dòng tương đương, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các giá trị dòng, áp và công suất trên từng tải.
2.4.2 Đị nh lý truy ề n công su ấ t c ực đạ i
Khi cần tính toán công suất cực đại truyền từ mạch nguồn đến tải bên ngoài R L, giả thiết rằng mạch nguồn là tuyến tính và có thể phân rã thành mạch điện như hình 2–19.
' ' Công suất tiêu thụ trên điện trở:
Trong biểu thức của PL, giá trị tối đa đạt được là V ' 2 /4R ' khi RL = R’ Tại thời điểm này, công suất trên R’ cũng đạt giá trị V ' 2 /4R ' Do đó, hiệu suất truyền tải tối đa là 50%.
Mạch khuếch đại và khuếch đại thuật toán
Mạch khuếch đại
3.1.1 Khu ếch đạ i tín hi ệ u
Mạch khuếch đại là thiết bị chuyển đổi tín hiệu đầu vào thành tín hiệu đầu ra, với nguồn điều khiển bởi tín hiệu đầu vào Mô hình đơn giản của khuếch đại được thể hiện trong hình 3–1, trong đó các cực đầu vào và đầu ra thường được nối chung, tạo thành cực chung Khi đầu ra hở mạch, điện áp v2 sẽ bằng k.v1, với k là hệ số khuếch đại Các điện trở Ri và Ro tương ứng là điện trở vào và ra của khuếch đại Để đảm bảo hoạt động hiệu quả, điện trở Ri cần có giá trị cao trong khi Ro cần thấp Khuếch đại lý tưởng có những đặc điểm này.
Ri = ∞ và Ro = 0, như trong hình 3–1b
Trong hình 3–2, một nguồn thử nghiệm được kết nối với điện trở trong R, và điện trở vào của khuếch đại điện áp là R i Cần tìm tỉ số giữa v s và v 2.
Hình 3–2 Điện áp vào của khuếch đại là v 1 được tính theo phân áp giữa R i và Rs s s i i v
1 Điện áp ra v2 được tính: s s i i v
Khuếch đại điện áp nguồn, độ lợi tín hiệu giảm đi một lượng R i /(R i R s ) so với hệ số biến đổi nguồn áp
Trong hình 3-3, nguồn điện v_s có điện trở trong Rs cung cấp năng lượng cho tải RL thông qua một khuếch đại Điện trở vào và ra của khuếch đại lần lượt là Ri và Ro Nhiệm vụ là xác định tỉ số v2/vs.
Theo phân áp giữa Ri và Rs s s i i v
Lưu ý rằng độ lợi tín hiệu giảm đi thêm một lượng R i /(R i R s ), từ đó làm cho điện áp đầu ra phụ thuộc vào tải
Độ lợi tín hiệu của khuếch đại có thể được điều chỉnh thông qua hồi tiếp, bằng cách truyền một phần tín hiệu đầu ra trở lại đầu vào Điều này được thực hiện trong khuếch đại lý tưởng, như minh họa trong hình 3–4, thông qua điện trở R2 Hệ số hồi tiếp đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm soát độ lợi tín hiệu.
R ảnh hưởng đến độ lợi chung của khuếch đại và làm cho các bộ khuếch đại ít nhạy với sự thay đổi hệ số khuếch đại k
Ví dụ: Tìm v 2 /v s trong hình 3–4 và biểu diễn nó dưới dạng hàm tỉ lệ của
Từ mạch khuếch đại ta có:
2 k.v v → v 1 v 2 /k (3–3) Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút A:
Thay v 1 v 2 /k và biểu thức trên ta được: bk b k k
Ví dụ: Trong hình 3–5, R1 = 1kΩ, và R2 = 5kΩ (a) Tìm v 2 /v s như hàm của độ lợi k (b) tính v 2 /v s với k = 100 và 1000, nhận xét về kết quả
Hình 3–5 khác với hình 3–4 chỉ ở cực tính của nguồn phụ thuộc Để tìm tỉ số v2/vs, ta áp dụng kết quả từ ví dụ trước, với sự thay đổi -k trong biểu thức bk b k v v s .
(b): Với k = 100, v 2 /v s = – 4,72; và k = 1000, v 2 /v s = – 4,97 Như vậy, với 10 lần tăng giá trị k, tỉ số v 2 /v s chỉ tăng 5,3% (4,97 - 4,72)/4,72 = 5,3%
Với các giá trị rất lớn của k, tỉ số v 2 /v s tiến tới – R 2/(R 1+R 2) không phụ thuộc vào k.
Khuếch đại thuật toán
3.2.1 Khái ni ệ m khu ếch đạ i thu ậ t toán
Khuếch đại thuật toán OA là thiết bị điện tử có hai đầu vào, bao gồm cực không đảo (+) và cực đảo (–) Thiết bị này hoạt động với nguồn điện một chiều dương và âm (+V cc và –V cc) Cổng chung vào-ra của OA được cấp nguồn và được gọi là đất.
Điện áp tín hiệu ra \( v_o \) phụ thuộc vào tín hiệu vào \( v_d = v^+ - v^- \) Khi bỏ qua ảnh hưởng của điện dung, hàm truyền được mô tả trong hình 3–7 Phạm vi tuyến tính được xác định bởi \( v_o = A \cdot v_d \), trong đó \( A \) là hệ số khuếch đại hở, thường có giá trị rất cao Tín hiệu \( v_o \) sẽ bão hòa và đạt giá trị tối đa là \( +V_{cc} \) và \( -V_{cc} \) khi tín hiệu vào \( v_d \) vượt quá phạm vi tuyến tính \( v_d \geq \frac{V_{cc}}{A} \).
Bộ khuếch đại thuật toán trong phạm vi tuyến tính được trình bày trong hình 3–8, với nguồn cấp được lược bỏ để đơn giản hóa Trong thực tế, giá trị của Ri thường lớn.
Ro có giá trị nhỏ và hệ số khuếch đại A dao động từ 10^5 đến vài triệu Sơ đồ trong hình 3–8 chỉ áp dụng khi điện áp v_o nằm trong khoảng từ +V_cc đến –V_cc, với V_cc thường nằm trong khoảng 5 đến 18 V.
Ví dụ: OA trong hình 3–8 có V cc 15V, A10 5 , v 0, hãy tìm giá trị giới hạn của v để OA trong chế độ tuyến tính
Ví dụ: Bộ OA, trong hình 3–8 có các thông số V cc = 5V, A = 10 5 , v 0 và v 100sin2t (μV) Tìm vẽ điện áp vòng mở v o Điện áp vào của OA:
Khi OA làm việc ở chế độ tuyến tính: t v v o 10 5 d 10sin2. Điện áp ra nằm trong phạm vi + 5V đến – 5V như trên hình 3–9
Quá trình bão hòa bắt đầu khi v o 10 5 v d 10sin2t đạt giá trị 5V tại thời điểm t = 1/12 s OA ra khỏi trạng thái quá bão hòa tại thời điểm t = 5/12 s
Hiện tượng tương tự cũng xảy ra với ngưỡng điện áp –V cc : OA vào và ra khỏi trạng thái bão hòa tại các thời điểm 7/12 và 11/12s
Hình 3–9 Điện áp ra vo trong 1 chu kỳ (1 s) biến thiên như sau:
Ví dụ: Nhắc lại ví dụ trên, bổ xung v 50sin2.t(μV) và v 25(μV) Điện áp vào OA:
Khi OA ở chế độ tuyến tính ta có:
v t v o d Điện áp v o bão hòa khi đạt mức – 5V tại thời điểm t = 7/12 và ra khỏi bão hòa khi t = 11/12 Đồ thị tín hiệu vo trên hình 3–10
Hình 3–10 Điện áp ra v o trong 1 chu kỳ (1 s) biến thiên như sau:
Ví dụ: Trong hình 3–11, các điện trở R 1 = 10 kΩ, R 2 = 50 kΩ, R i = 500 kΩ, Ro = 0, và A = 10 5 Tìm tỉ số v 2 /v 1 , giả thiết OA không bão hòa
Tổng các dòng điện tại nút B bằng không, lưu ý v A = 0 và v B = v d , ta có:
Từ đây ta tìm được tỉ số v 2/v 1: 5
3.2.2 M ạch điệ n có khu ếch đạ i thu ật toán lý tưở ng Đối với OA lý tưởng, Ri và A hữu hạn và Ro bằng không Dòng điện tại các cổng đảo và không đảo của OA bằng không, và nếu chế độ làm việc không bão hòa, hai đầu vào của OA có cùng điện áp Trong phần này chúng ta chỉ xét
OA lý tưởng và ở chế độ không bão hòa, ngoại trừ các trường hợp đặc biệt có chỉ dẫn riêng
Ví dụ: OA trong hình 3–12 là lý tưởng và không bão hòa Hãy tính (a)
2/v v ; (b) điện trở vào v 1 /i 1 ; và (c) i 1, i 2, p 1 (công suất của nguồn v 1 ) và p 2 (công suất tiêu hao trong điện trở) với v 1 = 0,5V
Cổng không đảo A được nối đất, do đó điện áp tại A là 0 Trong trường hợp OA lý tưởng và không bão hòa, điện áp tại B cũng bằng 0 Khi áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện cho các nút B và C, cần lưu ý rằng dòng điện đầu vào của OA là bằng không.
2 6,4v v → v 2 /v 1 6,4 (b): Với vB = 0 → i 1 v 1 /5000 Điện trở vào: v 1 /i 1 5000Ω
(c): Dòng điện vào i 1 v 1 /5000, nếu v 1 = 0,5V thì i 1 = 0,1mA Để tìm dòng điện i 2, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại nút đầu ra của OA:
Với v 2 3,2v C ; v C 1V Từ đó tính được i 2 = 1,5mA
Công suất trên các điện trở:
Tổng công suất trên các điện trở:
3.2.3 M ạ ch khu ếch đạ i đả o
Trong mạch khuếch đại đảo, tín hiệu đầu vào được kết nối qua điện trở R1 với cổng đảo, trong khi tín hiệu hồi tiếp qua điện trở R2 trở về cổng đảo Cổng không đảo được tiếp đất, như minh họa trong hình 3–13 Để xác định hệ số khuếch đại v2/v1, chúng ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện tại nút B.
Hệ số khuếch đại có giá trị âm và chỉ phụ thuộc vào các giá trị điện trở R1 và R2 được lựa chọn Điện trở vào của mạch là R1
3.2.4 M ạ ch khu ếch đại không đả o
Trong mạch khuếch đại không đảo, tín hiệu đầu vào được kết nối với cổng không đảo của bộ khuếch đại operational (OA) Cổng đảo được kết nối với đầu ra thông qua điện trở R2 và tiếp đất qua điện trở R1, như thể hiện trong hình 3–14.
Để xác định hệ số khuếch đại v2/v1, cần áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện tại nút B, lưu ý rằng các nút A và B có cùng điện thế v1 và không có dòng điện chảy qua OA.
Hệ số khuếch đại v 2 /v 1 dương và lớn hơn 1 Điện trở vào của mạch hữu hạn được xác định theo điều kiện dòng điện OA bằng không
Ví dụ: Tìm hệ số khuếch đại v 2 /v 1 cho sơ đồ mạch hình 3–15 Điện thế vA được xác định từ phân chia v1 trên các điện trở 10kΩ và 5kΩ
Từ biểu thức hệ số khuếch đại:
Nút B, điện thế v B , chia điện thế v 2 trên các điện trở 7kΩ và 2kΩ, và
Ví dụ: Xác định điện áp vo từ sơ đồ hình 3–16 với các điện áp v 1, v 2, v 3 và phần tử trong sơ đồ
Xác định được điện thế nút A khi áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút này:
Từ biểu thức hệ số khuếch đại không đảo:
3.2.5 M ạ ch khu ếch đạ i c ộ ng tín hi ệ u
Mạch công tín hiệu, như mô tả trong hình 1-41, cho phép cộng giá trị của các điện áp trong mạch Đây là một trường hợp mở rộng của mạch khuếch đại đảo Để xác định điện áp ra, ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho cổng đảo.
Trong sơ đồ mạch hình 3–17, với bốn đầu vào có các giá trị điện trở lần lượt là R1 = 1kΩ, R2 = 0,5kΩ, R3 = 0,25kΩ và R4 = 0,125kΩ, cùng với Rf = 1kΩ, điện áp đầu vào có thể là 1V hoặc 0V Cần xác định giá trị vo cho các trường hợp điện áp v4, v3, v2 và v1.
Từ biểu thức điện áp ra:
Thay các giá trị từ v 4 đến v 1 vào ta có
Tập hợp {v4; v3; v2; v1} là dạng nhị phân với 4 bit, trong đó giá trị có thể là cao (1V) hoặc thấp (0V) Các mã nhị phân đầu vào (a) và (b) tương ứng với (1001)2 = (9)10 và (1110)2 = (14)10 Khi giá trị đầu vào là 0V (thấp) hoặc 1V (cao), mạch khuếch đại sẽ chuyển đổi các giá trị nhị phân của {v4; v3; v2; v1} thành điện áp âm, đo bằng V trong hệ đếm cơ số 10 Mạch khuếch đại tổng tín hiệu có khả năng hoạt động như một bộ biến đổi số-tương tự.
Mạch OA với hệ số khuếch đại bằng một cho thấy v2 = v1, từ đó suy ra v1 = v+ và v2 = v- Khi nối thêm tải RL, OA sẽ ảnh hưởng đến dòng tải trên R1 và điện áp nguồn, khiến OA hoạt động như một bộ đệm.
Trong sơ đồ hình 3–18a, hãy xác định các giá trị i s, v 1, v 2 và i 1 Sau đó, so sánh các kết quả thu được với trường hợp nguồn được nối trực tiếp với tải như thể hiện trong hình 3–18b.
(a): Với sơ đồ OA trên hình 3–18a, ta có:
Do mạch OA có dòng điện bằng không, nguồn điện được cung cấp trực tiếp cho tải RL mà không bị suy giảm điện áp Dòng điện trên tải được cấp từ OA.
(b): Loại bỏ OA, ta có:
Dòng điện đến R L đi qua R s và gây nên điện áp rơi trên R s Điện áp v 2 phụ thuộc vào tải RL
3.2.7 M ạ ch ch ứ a nhi ề u b ộ khu ếch đạ i OA
Mạch khuếch đại vi phân – tích phân
3.3.1 Vi phân và khu ếch đạ i vi phân
Nguồn v f không nối đất được gọi là nguồn nổi Tìn hiệu nguồn như vậy có thể được khuếch đại thông qua mạch trên hình 1-45
Hình 3–21 Điện thế các cổng vào của OA như nhau (v A v B ), nên theo định luật Kirchhoff về áp ta có: i R v f 2 1 →
Vì OA không có dòng điện nên dòng đi qua R 2 cũng bằng i, áp dụng định luật Kirchhoff về áp , ta có:
Trong trường hợp đặc biệt khi hai nguồn v 1 và v 2 có tiếp đất chung và tương ứng nối với cực đảo và không đảo của mạch OA, ta có v f = v 1 – v 2 và:
Ví dụ: Tìm biểu thức điện áp v o như hàm số của v 1 và v 2 trong sơ đồ hình 3–22
Hình 3–22 Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại các nút A và B
R v v R v v B B o Đặt v A v B trong các biểu thức định luật Kirchhoff về dòng ở trên:
Nếu R 3 = R 1 và R 2 = R 4, biểu thức v o trở về dạng rút gọn ở trên
3.3.2 Tích phân và m ạ ch tích phân
Thay điện trở hồi tiếp trong mạch vi phân bằng tụ điện ta có mạch tích phân cơ bản (hình 3–23) với kết quả:
Hình 3–23 Để xác định được quan hệ tín hiệu vào/ra, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại cổng đảo:
t v dt v 2 RC1 1 Nói cách khác, tín hiệu ra bằng tín hiệu vào nhân với hệ số khuếch đại
Ví dụ: Trong hình 3–23, cho biết R = 1kΩ, C = 1μF và v 1 sin2000t Giả thiết v 2 (0)0, hãy tìm v 2 với t > 0 Điện áp ra:
Mạch điện tích phân leaky, như mô tả trong hình 3–24, có đặc điểm là điện áp trên tụ được xả qua điện trở hồi tiếp R f Việc này dẫn đến việc giảm hệ số khuếch đại của mạch.
2/v v và dịch góc pha của v2
Ví dụ: Trong hình 3–24, R 1 = R f = 1kΩ, C = 1μF, và v 1 sin2000t Hãy tìm v 2
Cực đảo của OA có điện thế bằng không và tổng dòng điện đến nút bằng không
Ta được: v t dt dv sin2000
Giải phương trình tìm được v 2 có dạng hàm sin cùng tần số với v 1 nhưng khác biệt về biên độ và góc pha:
2 Acos( t B v Để tìm A và B, ta thay thế dv 2 /dt và v 2 vào phương trình ():
B t A dt v dv 2 sin(2000 ) cos(2000 ) sin2000
B t A dt v dv 2 sin(2000 ) cos(2000 ) sin2000
Từ đây suy ra: A 5/5 và B26,57 o
Mạch tích phân cộng tín hiệu
Mạch khuếch đại đơn có khả năng kết hợp nhiều tín hiệu đầu vào thông qua cổng đảo và tụ điện hồi tiếp, như minh họa trong hình 1-50 Điều này cho phép mạch tạo ra tổng của các tích phân với hệ số tương ứng.
Ví dụ: Tìm tín hiệu ra vo trong mạch khuếch đại tích phân tổng, hình 1-
50, với 3 tín hiệu vào Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại cực đảo của OA:
Điều kiện đầu của tích phân (Initial Condition of Integration) được thiết lập thông qua việc chuyển mạch trong mạch tích phân, như minh họa trong hình 1-51 Khi kết nối chuyển mạch diễn ra trong một khoảng thời gian ngắn và sau đó ngắt tại thời điểm t = t0, giá trị đầu vào vo được xác định thông qua tụ điện và hiển thị trên điện áp v2.
Với t > t 0 , giá trị của điện áp ra thêm một lượng: o t v dt
Thay thế điện trở hồi tiếp bằng điện cảm trong mạch khuếch đại đảo tạo ra sự biến đổi tín hiệu vào thành tín hiệu ra Để xác định mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra, chúng ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện tại nút cực đảo.
Mạch ứng dụng khuếch đại thuật toán
Các mạch khuếch đại đảo, cộng và tích phân đã được giới thiệu trước đây được kết hợp thành mạch tính tương tự nhằm giải quyết các phương trình tuyến tính Mạch vi phân không được sử dụng do ảnh hưởng của nhiễu Để thiết kế mạch tính tương tự, cần biến đổi các phương trình vi phân bằng cách đưa đạo hàm bậc cao nhất của ẩn số về một phía Các mạch tích phân có thể được bổ sung theo cấu trúc nối tiếp hoặc mạch vòng, như được minh họa trong ví dụ dưới đây Trong phần này, chúng ta áp dụng các lưu ý: dt/dx = x' và x'' = d²x/dt².
Ví dụ: thiết kế mạch với tín hiệu vào x(t) cho tín hiệu ra y(t), thỏa mãn phương trình sau:
Bước 1: chuyển lại phương trình y y x y '' 2 ' 3 ()
Sử dụng mạch tích phân tổng tín hiệu OA#1 để thực hiện tích phân hai cho phương trình Áp dụng biểu thức quan hệ vào-ra của mạch để xác định các giá trị R1, R2, R3 và C1, với tín hiệu ra của OA#1 được biểu diễn là v1 = y’ Chúng ta sẽ lấy giá trị C1.
= 1μF để tìm các điện trở tương ứng:
Bước 3: Lấy tích phân v 1 = - y’ bằng mạch tích phân OA#2 để tìm giá trị y Ta lấy giá trị C2 = 1μF và R4 = 1MΩ để xác định được v2 = y, tại đầu ra của OA#2 y dt y dt
Bước 4: Thiết lập kết nối đầu vào cho OA#1 theo cách thức sau:
Hồi tiếp v1 = -y’ trực tiếp tới cổng đảo của OA#1 thông qua điện trở R3
Nối v2 = y qua bộ khuếch đại đảo bằng 1 (OA#3) để tạo ra tín hiệu –y, sau đó cấp vào cực đảo OA#1 thông qua R2
Kết nối nguồn x(t) vào cực đảo OA#1 thông qua điện trở R1
Sơ đồ hoàn chỉnh trên hình ()
Ví dụ: Thiết kế mạch OA như nguồn áp lý tưởng v(t) thỏa mãn phương trình v’ + v = 0 Với v(0) = 1V
Các bước thực hiện tương tự như ví dụ đã nêu, với sơ đồ mạch được thể hiện trong hình 1-53 và giá trị RC là 1s Tại thời điểm t = 0, điều kiện đầu khi chuyển mạch là mở Giải pháp cho v(t) được xác định là v(t) = e^(-t) với t > 0, thể hiện tín hiệu ra của mạch.
Giá trị tần số ảnh hưởng đến hệ số khuếch đại của bộ khuếch đại, khi giảm từ một mức nhất định xuống không Tương tự như sóng sin có tần số từ không đến một giá trị nhất định, bộ khuếch đại cũng có hệ số khuếch đại biến thiên, được gọi là bộ lọc tần số thấp Biến thiên này của hệ số khuếch đại theo tần số được gọi là đáp ứng tần số.
Vớ dụ 3–22 In Example 5.18 let v1 ẳ sin ! t Find j v 2 j for ! ẳ 0; 10;
By repeating the procedure of Example 5.18, the frequency response is found and given in Table 5-1 The response amplitude decreases with frequency The circuit is a low-pass filter
Sơ đồ mạch mô tả sự so sánh giữa điện thế v1 và điện thế tham chiếu v0 Với hệ số khuếch đại lớn, OA tạo ra tín hiệu ra v2 ở các mức giá trị Vcc.
(nếu v1 > vo) hoặc –Vcc (nếu v1 < vo) Có thể viết v2 = sgn [v1 – vo], trong đó sgn – dấu của biểu thức trong ngoặc Nếu vo = 0, thì ta có:
Dạng sóng và tín hiệu
Hàm chu kỳ
Một tín hiệu được gọi là chu kỳ nếu thỏa mãn v(t)v(tT) với mọi giá trị t Bốn dạng hàm chu kỳ, biểu diễn chu kỳ T được liệt kê dưới đây:
Trong đó: T = k.Λ, k – số nguyên (d) Lặp lại dạng sóng theo chu kỳ T: v4(t) (hình 4–1d)
4.1.2 Hàm sin Điện áp sin được biểu diễn bằng biểu thức v(t)V 0 cos(t)
Trong đó: V0 – biên độ, ω – tốc độ góc (tần số góc), θ – góc pha
Tốc độ góc ω có thể được biểu diễn thông qua thời gian chu kỳ T hoặc tần số nhịp f, với công thức f = 1/T Tần số nhịp được đo bằng đơn vị Hertz (Hz), tương đương với chu kỳ mỗi giây.
Hàm chu kỳ cos(ωt) = cos(ωt + 2π) cho thấy mối quan hệ giữa ω và T, trong đó ωt = 2π Điều này có nghĩa là thời gian T (s) cần thiết để hàm số v(t) lặp lại giá trị cũ, đồng thời hàm số có chu kỳ 1/T trong 1 giây.
Tổng hợp, ta có một số quan hệ giữa tần số góc, tần số và thời gian chu kỳ dành cho hàm sin: f
Ví dụ 4–1: Hãy xách định chu kỳ và tần số các hàm sau:
Ví dụ 4–2: Vẽ dạng sóng hàm v(t)5cost với đối số ωt → hình 4–3
4.1.3 D ị ch th ờ i gian và d ị ch góc pha:
Nếu như hàm v(t) = cos ωt, bị chậm lại τ giây, ta có hàm: v(t - τ) = cosω (t –τ) = cos(ωt – θ) Trong đó: θ = ωτ
Khoảng chậm τ dịch chuyển đồ thị hàm v(t) sang phải theo trục hoành, tạo ra sự dịch chậm pha một góc θ = ωτ = 2πfτ Nếu khoảng thời gian là sớm τ, đồ thị sẽ dịch chuyển sang trái v(t + τ), dẫn đến góc pha sớm θ, được gọi là sớm pha Do đó, với một dịch chuyển góc pha nhất định, tần số cao sẽ tương ứng với thời gian dịch chuyển nhỏ hơn.
Ví dụ 4–3: Vẽ dạng sóng tín hiệu v(t)5cos(5t/6 /6) theo t và πt/6: Giải: Đồ thị dạng sóng trên hình 4–4
Trong mạch tuyến tính, tín hiệu vào được biểu diễn bởi v i (t) = A cos(ωt), trong khi tín hiệu ra là v o (t) = A cos(ωt - θ) Khi điện áp đầu vào có dạng v i (t) = cos(ω1t) + cos(ω2t), cần xác định biểu thức điện áp đầu ra v o (t) cho các trường hợp khác nhau Việc phân tích các trường hợp này sẽ giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra trong mạch tuyến tính.
(a) θ = 10 -6 ω (góc lệch pha tỉ lệ với tần số)
(b) θ = 10 -6 (góc lệch pha hằng số)
(a) θ 1 = 10 -6 ω 1 ; θ 2 = 10 -6 ω 2 Tín hiệu đầu ra: vo (t) = cos (ω1t – θ1) + cos (ω2t – θ2 ) vo (t) = cos (ω1t – 10 -6 ω1) + cos (ω2t – 10 -6 ω2 ) vo (t) = cos ω1(t – 10 -6 ) + cos ω2(t – 10 -6 ) = vi (t – 10 -6 ) = vi (t – τ)
Góc lệch pha tỉ lệ tần số góc ω trong khoảng thời gian τ = 10 -6 (s) = 1 (μs) làm chậm tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đầu vào khoảng 1 (μs) Tín hiệu đầu ra giữ nguyên hình dạng và không bị méo so với tín hiệu đầu vào.
(b) θ1 = θ2 = 10 -6 Tín hiệu đầu ra: vo (t) = cos (ω 1 t – θ 1 ) + cos (ω 2 t – θ 2 ) vo (t) = cos (ω1t – 10 -6 ) + cos (ω2t – 10 -6 ) vo (t) = cos ω 1 (t – 10 -6 /ω 1 ) + cos ω 2 (t – 10 -6 /ω 2 )
Góc lệch pha là một hằng số quan trọng (hình 4–5b) có tác dụng làm chậm các thành phần tần số của tín hiệu đầu vào với mức độ khác nhau, dẫn đến việc tín hiệu đầu ra bị méo so với tín hiệu đầu vào.
Tổng của hai hàm chu kỳ với chu kỳ T1 và T2 sẽ tạo thành một hàm chu kỳ nếu chu kỳ chung T có thể được tính theo công thức T = n1T1 = n2T2, với n1 và n2 là các số nguyên Điều này có nghĩa là tỉ số T1/T2 = n2/n1 có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số giữa các số nguyên Ngược lại, nếu điều kiện này không được thỏa mãn, hàm tổng sẽ không phải là hàm chu kỳ.
Ví dụ 4–5: Tìm chu kỳ của hàm sau v(t) = cos 5t + sin (3t + 45 o )
Chu kỳ của hàm cos 5t là T1 = 2π/5; của hàm sin (3t + 45 o ) là T2 = 2π/3 Lấy giá trị T = 2π = 5T1 = 3T2, là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2
Ta thấy: v(t + T) = cos 5(t + 2π) + sin (3(t + 2π) + 45 o ) = cos 5t + sin (3t + 45 o ) v(t + T) = v(t)
Chu kỳ của hàm v(t) là T = 2π
Ví dụ 4–6: Kiểm tra tính tuần hoàn của hàm v(t) = cos t + cos 2πt
Chu kỳ của hàm cos t là T1 = 2π; của hàm cos 2πt là T2 = 1
Không tồn tại chu kỳ chung T = n1T1 = n2T2, bởi vì tỉ số T1/T2 = n2/n1 2π không là tỉ số giữa hai số nguyên, hàm v(t) không chu kỳ
Ví dụ 4–7: Cho p = 3,14 tìm chu kỳ của hàm v(t) = cos t + cos 2pt
Chu kỳ của hàm cos t là T1 = 2π; của hàm cos 2pt là T2 = π/3,14
Tỉ số T1/T2 = 6,28 có thể biểu diễn dạng tỉ số giữa 2 số nguyên 628/100 Cặp số n1 = 25 và n2 = 157, thỏa mãn điều kiện n2/n1 = T1/T2 = 628/100 157/25
Hàm v(t) có chu kỳ là: T = n1T1 = n2T2 = 50π (s)
Ví dụ 4–8: Biểu thức v(t)cos5tsin(3t45 o ) là tổng của hai hàm chu kỳ sin, tìm chu kỳ hàm tổng
Chu kỳ của hàm v(t) là π
4.1.5 Giá tr ị trung bình và giá tr ị hi ệ u d ụ ng
Hàm tuần hoàn f(t) với chu kỳ T, có giá trị trung bình được tính bằng
Giá trị hiệu dụng trong đúng chu kỳ đó được tính:
Các giá trị trung bình và hiệu dụng thông thường được tính cho một chu kỳ của tín hiệu
Ví dụ 4–9: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm sau
Giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm sin không phụ thuộc vào tần số, nghĩa là chúng luôn giữ nguyên giá trị tương ứng.
Ví dụ 4–10: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm sin nửa sóng
Ví dụ 4–11: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm v(t) trong khoảng thời gian chu kỳ T
Kết quả ví dụ trên có thể tổng kết như sau: Nếu v ( t ) V 0 thì V rms V 0
Ví dụ 4–12: Hãy tính giá trị trung bình công suất tiêu thụ trên điện trở có điện áp v(t) trong khoảng thời gian từ 0 đến T(s)
Thay v(t) bằng điện áp dc không đổi V dc Tìm điện áp V dc với điều kiện công suất trunh bình trong một chu kỳ bằng không
Dòng điện i(t) có dạng sóng như trong hình đi qua tụ điện 1μF Để tìm điện áp vac trên tụ tại các thời điểm t = 5k ms (k = 0; 1; 2; 3; …), ta cần phân tích biểu thức của dòng điện Đồng thời, giá trị dòng điện nguồn một chiều không đổi Idc cũng cần được xác định để tạo ra điện áp tương ứng trên tụ điện tại thời điểm t = 5k ms khi t > 0 Cuối cùng, so sánh giá trị Idc với các thông số đã cho để có cái nhìn rõ hơn về mối liên hệ giữa dòng điện và điện áp trên tụ.
trên hình 4–6 trong khoảng 5ms sau khi t >0
Kết quả nạp điện áp lên tụ trong khoảng 5ms cho thấy dòng điện i(t) là tín hiệu chu kỳ 5ms Mỗi 5ms, tụ được nạp thêm một lượng điện áp tương tự như trong 5ms đầu Tại thời điểm t = 5k ms, tụ đã được nạp điện áp vac đạt 8k V.
(b) Với dòng điện không đổi Idc, điện áp trên tụ sau 5k ms được nạp: dc dc k dc dc I dt I k k I v C1 5 10 10 6 (5 10 3 ) 10 3 5
Mà vdc = vac tại thời điểm 5k ms, ta có:
Dòng điện Idc bằng giá trị trung bình của i(t) trong mỗi chu kỳ 5 ms, từ thời điểm t > 0.
Hàm không chu kỳ
Hàm không chu kỳ là loại hàm tín hiệu mà không thể xác định giá trị trong toàn bộ thời gian chỉ dựa vào giá trị trong một khoảng thời gian hữu hạn Một ví dụ điển hình về hàm không chu kỳ là
Một số hàm quan trọng được sử dụng để xây dựng mô hình toán học và sơ đồ khối cho các tín hiệu thực trong phân tích và thiết kế mạch Các ví dụ cụ thể sẽ được trình bày trong các phần tiếp theo.
4.2.1 Hàm bước đơn vị (hàm step)
Hàm nhảy bước đơn vị được định nghĩa:
(t u Đồ thị hàm nhảy bước đơn vị trên hình 4–7, lưu ý, hàm không xác định tại điểm t = 0
Hình 4–7 minh họa cách sử dụng hàm u(t) trong mạch điện, trong đó công tắc S ở vị trí 1 khi t < 0 và chuyển sang vị trí 2 khi t > 0 Điện áp giữa A và B được biểu diễn thông qua hàm u(t).
Mạch điện tương đương của nguồn áp nhảy bước đoen vị trên hình 4–8b
Công tắc trong mạch hình 4–8a được bật sang vị trí 2 tại thời điểm t = t0, dẫn đến việc điện áp vAB được biểu diễn bằng hàm bước đơn vị Điện áp V0 giữa A và B xuất hiện muộn hơn tới thời điểm t = t0, vì vậy ta thay đổi đối số t trong hàm bước thành t – t0.
Ví dụ: Nếu công tắc trong mạch 4–8a bật sang vị trí 2 khi t = 0 và quay trơở ề vị trí 1 khi t = 5 s Hãy biểu diễn vAB bằng hàm bước đơn vị:
Ví dụ: Hãy biểu diễn hàm tín hiệu trên đồ thị hình 4–9, sử dụng hàm bước đơn vị:
Hình 4–9 v(t) = 0 khi t < 0 và t > 2π v(t) = sint khi 0 < t < 2π t t u t u t v( ) [ ( ) ( 2)]sin
4.2.2 Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm sT(t) trong hình 4–10a có giá trị bằng 0 khi t < 0 và tăng tuyến tính từ 0 đến 1 khi thời gian đạt T (s) Đạo hàm của hàm này tạo ra một xung với độ rộng T và độ cao 1/T, như minh họa trong hình 4–10b.
Khi thời gian đạo hàm T giảm, xung trong hình 4–10b trở nên hẹp và cao hơn, nhưng diện tích dưới xung vẫn giữ nguyên bằng 1 Khi T tiến đến 0, hàm sT(t) chuyển đổi thành hàm bước đơn vị, và đạo hàm của nó trở thành xung đơn vị δ(t) với độ rộng bằng không và độ cao không xác định, như thể hiện trong hình 4–10c.
Xung đơn vị (hoặc hàm dirac) được định nghĩa:
Một xung có độ rộng và diện tích A được mô tả bằng hàm Dirac: A(t) Giá trị A thường được gọi là độ mạnh của xung Hàm xung đơn vị tại thời điểm t = t0 được biểu diễn là (t - t0).
Khi điện áp trên hai cực của tụ điện 100-nF tăng tuyến tính từ 0V đến 10V, ta có thể xác định điện tích trên tụ tại thời điểm t = T và dòng điện i_C(t) trên tụ cho các chu kỳ T = 1s, T = 1ms và T = 1μs.
(a) Tại thời điểm t = T, vC = 10V Điện tích trên tụ: QC.v C 10 7 1010 6 C
(b) Dòng điện trên tụ: dt
Trong tất cả các trường hợp, điện tích trên tụ khi kết thúc quá trình napk được xác định theo biểu thức:
Lượng điện tích trên tụ vào thời điểm t = T không phụ thuộc vào T Nó tạo ra điện áp vC = 10V trên tụ
Hàm d T (t – t 0) phát một xung hẹp với độ rộng T và độ cao 1/T vào thời điểm t = t 0 Xét hàm f (t) liên tục trong khoảng từ t 0 đến t 0 + T Cần tìm giới hạn của tích phân I khi T tiến tới 0.
Thay dT(t – t 0 ) vào biểu thức tích phân I:
Diện tích S dưới hàm f(t) trong khoảng từ t0 đến t0 + T, như thể hiện trong hình 4–11b, được xác định khi T đủ nhỏ Trong trường hợp này, hàm f(t) có thể được ước lượng tương đối dựa trên đường nối A và B, và S chính là diện tích hình thang.
Như vậy T → 0, dT(t – t0) → δ(t – t0) và f(t0 + T) → f(t0) từ biểu thức tích phân I ta có:
Như đã giả thiết, f(t) liên tục trong khoảng t0 đến t0 + T
Đây là tính chất chọn lọc của hàm dirac, có thể dùng làm định nghĩa khác cho hàm này
Hàm số f(t) = e^st, với s là hằng số phức, được gọi là hàm mũ Giá trị của hàm này giảm khi phần thực của s âm và tăng khi phần thực của s dương Chúng ta sẽ tập trung vào hàm mũ e^at, trong đó a là hằng số thực Đặc biệt, đại lượng nghịch đảo của a, có đơn vị thời gian, được gọi là hằng số thời gian τ = 1/a Hàm suy giảm e^(-t/τ) theo biến t có đồ thị được minh họa trong hình.
Hàm mũ suy giảm giá trị từ 1 tại thời điểm t = 0 đến giá trị 0 tại thời điểm t = ∞ Sau khoảng thời gian τ (giây), hàm mũ giảm một lượng e^(-1) = 0,368 Khi τ = 1, hàm mũ e^(-t) được gọi là hàm mũ bình thường hóa, với đối số là t/τ.
Ví dụ 4–19: Trong hình 4–12, biểu diễn tiếp tuyến của đồ thị hàm mũ
(t e t f tại t = 0 cắt trục hoành tại t = τ
Tiếp tuyến bắt đầu tại điểm A (v = 1, t = 0) với độ dốc / 1/
Phương trình đường thẳng v tan (t) = -t/τ + 1 cho thấy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm B khi t = τ Điều này cho phép chúng ta vẽ các hàm mũ dựa trên điểm bắt đầu và tiếp tuyến với đồ thị hàm mũ tại điểm đó.
Ví dụ 4–20: Hãy vẽ gần đúng đồ thị của hàm mũ v(t)e t / với t > 0
Xác định điểm bắt đầu A (t = 0; v = 1) của đường cong và điểm giao cắt B của tiếp tuyến với trục hoành tại t = τ Vẽ đoạn thẳng AB
Hai điểm tiếp theo C và D trên đồ thị tại các vị trí t = τ và t = 2τ, với độ cao tương ứng 0,368 và 0,368 2 = 0,135
Sử dụng thước cong ta có thể vẽ được đồ thị hàm mũ nột cách tương đối chính xác như trên hình 4–12
Tốc độ biến thiên theo thời gian của hàm mũ v = A.e^st tại bất kỳ thời điểm nào tỉ lệ thuận với giá trị của hàm mũ tại thời điểm đó Đồng thời, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của hàm mũ và đạo hàm bậc n của nó cũng tỉ lệ thuận với nhau, với hệ số tỉ lệ có thể được xác định.
(a) Tốc độ biến thiên của hàm chính là đạo hàm của hàm số đó, với hàm mũ, ta có: v s Ae dt s dv st
(b) Dùng kết quả chứng minh ở phần (a) v s Ae dt s v d n st n n n
Xác định và vẽ đồ thị f(t) Ae at B
Ta thường gặp hàm mũ có dạng f(t) Ae at B
Hàm mũ được xác định bởi ba số: A, B và a Trong đó, A là hiệu số giữa giá trị đầu và giá trị cuối, B là giá trị cuối, còn a là nghịch đảo của hằng số thời gian.
Quá độ trong mạch điện
Quá độ trong mạch điện cấp một
5.1.1 Quá độ trong m ạ ch RC
Khi tụ điện có điện áp V0 giữa hai bản cực và được kết nối với điện trở, điện tích sẽ di chuyển từ bản cực này sang bản cực kia, tạo ra dòng điện i Điện áp của tụ điện sẽ giảm dần cho đến khi bằng không, đồng thời dòng điện i cũng sẽ trở về giá trị bằng không Trong mạch RC như hình 5–1a, quá trình này diễn ra liên tục.
R và iC.dv/dt Loại bỏ i trong hai phương trình trên ta có:
Hàm mũ ở dạng A.e^st là loại duy nhất có thể kết hợp tuyến tính với đạo hàm của nó để cho kết quả bằng không Khi thay v bằng hàm A.e^st và dv/dt bằng e^st sA vào phương trình (5–1), ta nhận được kết quả mong muốn.
Nếu lấy v(0) AV 0 , v(t) và i(t) có thể xác định theo:
Cdv t i t RC (5–4) Điện áp và dòng điện trên tụ là các hàm mũ với giá trị đầu tương ứng là
V 0 và V 0 /R Khi thời gian tăng, dòng và áp đều giảm về không với hằng số thời gian RC Xem hình 5–1b và c
Khi điện áp trên tụ 1μF là 10V và một điện trở 1MΩ được kết nối vào hai cực của tụ khi t < 0, ta cần xác định hằng số thời gian τ, điện áp v(t) và giá trị điện áp tại t = 5s Hằng số thời gian τ có thể được tính bằng công thức τ = R × C, với R là điện trở và C là dung kháng của tụ Sau đó, điện áp v(t) sẽ giảm theo hàm mũ, và giá trị điện áp tại t = 5s sẽ được tính dựa trên công thức v(t) = V0 × e^(-t/τ), trong đó V0 là điện áp ban đầu.
Ví dụ 5–2: Một tụ 5 μF với điện áp ban đầu là 4V được nối song song với điện trở 3kΩ và 6kΩ (hình 5–2) Hãy tìm dòng điện i trên điện trở 6kΩ
Hình 5–2 Điện trở tương đương của các điện trở song song là 2kΩ, hằng số thời gian của mạch RC2.10 3 5.10 6 10 2 Điện áp và dòng điện i trên điện trở 6kΩ:
Kết nối tụ, có điện tích ban đầu bằng không, với nguồn dc, có điện áp V0, thông qua điện trở vào thời điểm t = 0 Mạch điện như hình 5–3a
Với t > 0, áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho vòng kín R.ivV 0 , sau khi thay iCdv/dt vào ta có:
1 V v RC RC dt dv (5–5a) Điều kiện đầu: v(0 )v(0 )0 (5–5b)
Lời giải cần thỏa mãn đồng thời hai phương trình (5–5a) và (5–5b) Cụ thể, lời giải v p (t)V 0 đáp ứng yêu cầu của (5–5a) nhưng không phù hợp với (5–5b) Để có được lời giải đồng nhất v h (t)Ae t / RC, cần bổ sung và điều chỉnh độ lớn của nó sao cho lời giải tổng thể (5–6a) thỏa mãn cả hai phương trình (5–5a) và (5–5b).
Từ điều kiện đầu: v(0 )V 0 A0AV 0 lời giải tổng hợp:
Một tụ điện 4 μF với điện áp ban đầu 2V được kết nối với nguồn 12V qua điện trở 5kΩ tại thời điểm t = 0 Để xác định điện áp trên tụ và dòng điện qua tụ khi t > 0, cần áp dụng các công thức liên quan đến tụ điện trong mạch điện.
Hằng số thời gian của mạch là RC0,02s Theo phân tích trên ví dụ 5–2, ta có:
Từ điều kiện đầu, ta có v(0−) = v(0+) = 12 + A = 2, dẫn đến A = -10 Với t > 0, ta có v(t) = 12 - 10e^(-t/50) và dòng điện i(t) = (12 - v(t))/5000 = 2 - 50 mA Dòng điện được tính bằng công thức i = C(dv/dt) Điện áp tăng theo hàm mũ từ 2V đến 12V với hằng số thời gian 20ms, trong khi dòng điện giảm từ 2mA xuống 0.
5.1.2 Quá độ trong m ạ ch RL
Trong mạch RL, tại thời điểm t = 0, dòng điện là I0 Khi t > 0, dòng điện i phải thỏa mãn phương trình R.i + L(di/dt) = 0 Giải phương trình này, ta có i(t) = Ae^(st) Tiếp theo, cần thay thế vào phương trình để tìm giá trị của A và s.
A → RLs0 → sR/L Điều kiện đầu: i(0) = I 0 = A khi đó:
I t i( ) 0 / , với t > 0 Hằng số thời gian của mạch điện là τ = L/R
Ví dụ 5.4: Nguồn dc 12V, trong hình 7–6a được ngắt tại thời điểm t = 0
Tìm dòng điện cảm và điện áp
Khi công tắc S được đóng trong thời gian đủ lớn, dòng điện qua điện cảm ổn định và điện áp trên nó bằng không Tại thời điểm t = 0, dòng điện được xác định là i(0−) = 12/4 = 3A Khi ngắt nguồn tại t > 0, mạch điện thay đổi, và dòng điện giảm theo hàm mũ từ 3A xuống 0 Hằng số thời gian của mạch được tính là τ = L/R = (1/100)s = 0,01s.
Sử dụng kết quả từ ví dụ 5-3, dòng điện và điện áp của điện cảm tương ứng được mô tả bằng các phương trình: e(t) = 3 - 100 ∫ e(t) dt và v(t) = -30 - 100 Đồ thị thể hiện dòng điện và điện áp được trình bày trong hình 5-6d và 5-6e.
Khi nguồn điện tức thì được kết nối với mạch RL nối tiếp, dòng điện sẽ tăng theo hàm mũ từ 0 đến giá trị ổn định, với hằng số thời gian τ = L/R Kết quả này được giải bằng phương trình vi phân bậc một và có thể đạt được thông qua việc áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng kín.
Do ii h (t)i p (t), trong đó: i h (t) Ae Rt / L và i p (t)V 0 /R
Nên ta có: ii h (t)i p (t) Ae Rt / L V 0 /R
Hệ số A được xác định từ điều kiện đầu là A = -V0/R, với i(0+) = A + V0/R = 0 Dòng điện và điện áp trên điện cảm được mô tả qua biểu thức dưới đây, với dạng sóng đồ thị dòng áp như thể hiện trong hình 5–7.
5.1.3 Hàm mũ cơ số t ự nhiên
Suy giảm theo hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng e^(-t/τ), trong đó τ là hằng số thời gian tính bằng giây Đối với mạch RC (mục 5.1.1) và mạch RL (mục 5.1.2), hàm mũ này có dạng chung.
(t Ae t f với t > 0 Đồ thị được vẽ ở hình 5–8 với thời gian biển diễn bằng bội số của hằng số thời gian τ
Tại thời điểm t = τ, giá trị của hàm mũ đạt 36,8% so với giá trị ban đầu, cho thấy sự suy giảm 63,2% từ f(0+) đến f(∞) Khi t = 5τ, giá trị hàm mũ chỉ còn 0,0067A, tức là nhỏ hơn 1% giá trị ban đầu Quan điểm thực tế cho thấy rằng tại t = 5τ, quá trình gần như kết thúc Đường tiếp tuyến với đường cong hàm mũ tại t = 0 có thể được sử dụng để xác định hằng số thời gian.
Đường tiếp tuyến của hàm số f tại điểm t = t0 cắt trục hoành tại t = t0 + τ, cho thấy mối liên hệ giữa giá trị hàm f(t0) và đạo hàm f’(t0) Nhờ vào thông tin này, chúng ta có thể xây dựng được đường cong hàm mũ f(t) một cách chính xác.
Trong quá trình đo lường, máy tự ghi dạng sóng hoặc màn hình máy hiện sóng chỉ hiển thị một phần của quá độ, cùng với giá trị hàm và độ dốc tương ứng, nhưng những thông số này thường không có sẵn trên các thiết bị đo phổ biến Tuy nhiên, bằng cách đọc các giá trị từ thiết bị tại các thời điểm khác nhau, ta có thể xác định được phương trình của quá độ, như minh họa trong hình 5-10.
Ae f Trong đó, giải đồng thời cả hai trường hợp ta nhận được
Giá trị của A có thể tìm được từ giá trị f1 hoặc f2
5.1.4 M ạ ch b ậ c m ộ t ph ứ c t ạ p RL và RC
Đáp ứng của mạch bậc một
5.2.1 Đáp ứ ng v ớ i tá c độ ng c ủ a hàm bướ c
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét phản ứng của mạch bậc một khi chịu tác động của xung chữ nhật Phương trình vi phân áp dụng cho các mạch RC hoặc RL, trong đó nguồn cấp xung có thể là dòng hoặc áp Ví dụ, mạch RC nối tiếp như hình 5–17 có nguồn áp cấp xung với độ rộng T và độ lớn V0.
Với t < 0, cả điện áp v và dòng điện i bằng không Trong thời gian xung tác động, ta sử dụng các biểu thức (5–6b) và (5–6c):
Khi xung ngừng, mạch điện trở thành mạch RC không nguồn với điện áp ban đầu trên tụ VT:
Sử dụng các biểu thức (5–3) và (5–4), lấy khoảng dich thời gian là T, ta có:
R iV ( ) / t > T (5–15b) Điện áp và dòng điện trên tụ được vẽ dạng sóng trên hình 5–17b và c
Ví dụ 5–11: Trong mạch điện hình 5–17(a), cho R = 1kΩ và C = 1μF, nguồn áp là xung có độ lớn V0 và độ rộng T Tìm i và v với (a) V0 = 1V và T = 1 ms, (b) V0 = 10V và T = 0,1 ms và (c) V0 = 100V và T = 0,01 ms
Sử dụng biểu thức (14) và (15) với hằng số thời gian τ = RC = 1 ms, thời gian sẽ được tính bằng đơn vị ms, điện áp tính bằng V, và dòng điện tính bằng mA Ngoài ra, khi t 0,1 ms: vV T e ( t T ) 0,95e ( t 0 , 1 ) 1,05e t t t
Ngay khi xung áp nguồn xuất hiện một xung, điện áp và dòng điện trên tụ xuất hiện ve t u(t) i (t)e t u(t)
5.2.2 Đáp ứ ng m ạ ch RC và RL v ới tác độ ng hàm xung đơn vị
Xung kim, một loại xung hẹp, được định nghĩa bởi diện tích dưới sóng xung, thể hiện độ lớn của nó Đây là công cụ hữu ích trong việc phân tích và tổng hợp đáp ứng của mạch Có hai phương pháp chính để thực hiện: xác định giới hạn đáp ứng cho tác động của xung kim, gọi là phương pháp tiếp cận giới hạn, và lấy đạo hàm của đáp ứng đối với hàm bước, giải trực tiếp phương trình vi phân Đáp ứng với xung kim thường được ký hiệu bằng hàm h(t).
Ví dụ 5–12: Tìm giới hạn của i và v trong mạch điện hình 5–17a đối với kích thích xung áp đơn vị khi độ rộng xung giảm tới không
Sử dụng đáp ứng xung trong biểu thức (5–14) và (5–15) với V0 = 1/T và tìm giới hạn của chúng khi T → 0 Từ biểu thức (5–14c), ta có:
Từ biểu thức (15) ta có: t < 0: h v 0 và h i 0
Ví dụ 5–13: Xác định đáp ứng đối với kích thích xung kim của mạch RC trong hình 5–17a bằng cách lấy đạo hàm của đáp ứng hàm bước
Xung đơn vị có thể được coi là đạo hàm của hàm bước đơn vị Dựa vào tính chất của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, chúng ta có thể lấy tích phân của đáp ứng hàm bước để xác định đáp ứng xung kim Đáp ứng của mạch RC đối với kích thích hàm bước là một yếu tố quan trọng trong phân tích hệ thống.
Ta tìm được đáp ứng xung đơn vị bằng cách lấy đạo hàm đáp ứng
Để tìm đáp ứng xung đơn vị hi(t), hv(t) và hi1(t) của mạch RL trong hình 5–11a, ta cần lấy đạo hàm của đáp ứng kích thích hàm bước Đáp ứng của mạch điện với hàm bước có biên độ 9 đã được giải quyết trong ví dụ 5–5 Bằng cách lấy đạo hàm và áp dụng hệ số tỉ lệ 1/9, chúng ta có thể xác định đáp ứng cho hàm xung đơn vị.
Bảng 5–1: Tổng hợp đáp ứng hàm bước và xung đơn vị của mạch RC
Mạch RC Đáp ứng kích thích hàm bước Đáp ứng kích thích xung đơn vị
Bảng 5–2: Tổng hợp đáp ứng hàm bước và xung đơn vị của mạch RL
Mạch RL Đáp ứng kích thích hàm bước Đáp ứng kích thích xung đơn vị
5.2.3 Đáp ứ ng c ủ a m ạ ch RC và RL v ới kích thích hàm mũ
Xem xét phương trình vi phân bậc một cho mạch điện RL nối tiếp khi có kích thích đột ngột từ nguồn áp v_s = V_0 e^{st} u(t) Khi t < 0, dòng điện trong mạch là 0 (v_s = 0) Áp dụng định luật Kirchhoff về áp, ta có phương trình mô tả sự thay đổi của dòng điện trong mạch.
Khi t > 0, ta có lời giải phương trình vi phân:
) ( ) ( ) (t i t i t i h p và i(0 )0 (5–17a) Đáp ứng tự nhiên i h (t)là lời giải của phương trình R.iL(di/dt)0; có nghĩa trường hợp không có hàm cưỡng bức Tương tự mạch RL không nguồn:
Rt h t Ae i ( ) / (5–17b) Đáp ứng cưỡng bức i p (t) là hàm thỏa mãn (5–16) với t > 0: st p t I e i ( ) 0 (5–17c)
Sau khi thế i p trong biểu thức (5–16) tìm được I 0 V 0 /(RLs) Bằng cách chọn AV 0 /(RLs), điều kiện giới hạn i(0 )0 cũng được thoả mãn:
Trong trường hợp đặc biệt, nếu hàm cưỡng bức tương đồng với hàm đáp ứng tự nhiên (s = – R/L), thì đáp ứng cưỡng bức sẽ có dạng i p (t) = I 0 te Rt / L Điều này được xác minh bằng cách kiểm tra phương trình 5–16, với I 0 = V 0 / L, cho thấy đáp ứng tự nhiên tương tự như 5–17b Do đó, tổng các đáp ứng sẽ được tính toán dựa trên các yếu tố này.
Từ điều kiện i(0 )i(0 )0, ta tìm được A = 0, và i(t)I 0 te Rt / L trong đó: I 0 V 0 /L
5.2.4 Đáp ứ ng c ủ a m ạ ch RC và RL v ớ i kích thích hàm sin
Khi mạch gồm điện trở và điện cảm nối tiếp có kích thích đột ngột t
V cos v s 0 (hình 5–19), phương trình quan tâm là:
Lời giải phương trình vi phân:
) ( ) ( ) (t i t i t i h p trong đó i h (t) Ae Rt / L và i p (t) I 0 cos(t) Thay i p vào 5–18, ta tìm được I0:
Khi đó: i(t) Ae Rt / L I 0 cos(t) với t > 0
Bảng 5–3: Tổng hợp đáp ứng cưỡng bức của mạch bậc một
t cos Acos(t) trong đó: A1/ a 2 2 và tan /a t e bt cos Ae bt cos(t) trong đó: A1/ (ab) 2 2 và
Mạch chủ động với OA ít nhạy cảm với tải khi kết nối với các mạch khác, đồng thời có khả năng áp dụng cao và dễ triển khai cho các mạch thụ động Trong các phân tích mạch tuyến tính, giả thiết rằng dòng điện giữa các cực vào của OA bằng không và hiệu điện thế giữa các cực đảo và không đảo được xem xét.
OA không đáng kể Các phương pháp phân tích thường áp dụng được minh họa rõ ràng qua các ví dụ dưới đây
Ví dụ 5–15: Lọc tần số cao OA trong mạch ở hình 5–20 được coi là lý tưởng Hãy tìm đáp ứng hàm bước của mạch v 2 với v 1 = u(t)
Cực vào đảo của OA là cực đất giả, với tụ điện có điện áp bằng không tại thời điểm t = 0 Khi nguồn 1V được cấp ở đầu vào, dòng điện sẽ chảy qua nhánh R1C từ phải sang trái, với hằng số thời gian của nhánh là R1C và giá trị đầu vào là 1/R1.
Cả dòng điện đi qua điện trở R 2 (OA không có dòng), do điện áp v 2 gây nên từ đầu ra v 2 R 2 i Đáp ứng đối với hàm bước khi đó:
Trong mạch điện được mô tả trong hình 5–20, ta có thể thiết lập phương trình vi phân thể hiện mối quan hệ giữa v2 và v1 Để tìm đáp ứng của mạch trước kích thích hàm bước, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự như trong ví dụ 5–15.
Điện áp tại nút nối của OA có thể được xác định thông qua dòng điện i đi qua các điện trở C, R1 và R2 từ trái sang phải, với công thức tính là -v2/R2 Việc kết nối đất ảo trong mạch này cũng cần được xem xét để đảm bảo tính chính xác trong việc phân tích điện áp.
R1 và C Khi đó, tụ điện có điện áp v 1 – v A (cực dương bên trái) Dòng và áp của tụ có quan hệ: dt v v
Để xác định v A , ta lưu ý rằng phân đoạn R1, R2 và cực đảo OA có v A
R v 2 ( 2 / 1 ) → v A (R 1 /R 2 )v 2 , thay v A vào, ta có: dt dv R
Cdv R v 2 1 2 2 1 Để tìm đáp ứng của hàm bước đơn vị, ta giải phương trình sau
Ví dụ 5–17: Dịch pha thụ động Tìm quan hệ giữa v 2 và v 1 trong mạch hình 5–21a
Chọn nút D làm nút gốc, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho các nút
Cdv R v v B B Đối với OA lý tưởng, ta có v A = v B , từ phương trình thứ nhất
1 v v v A thay vào phương trình thứ hai: dt
Mạch điện bậc cao
5.3.1 M ạ ch RLC n ố i ti ế p không ngu ồ n
Phương trình vi phân bậc hai có ba dạng giải khác nhau, tùy thuộc vào các yếu tố trong mạch điện Để minh họa, một hệ động học bậc hai được trình bày trong hình 5–22a, với khối lượng M được kéo bởi lò xo có hằng số giãn k và bộ giảm xóc D gắn liền với khối lượng M Khi vật dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng và được thả tự do tại thời điểm t = 0, sự di chuyển của vật có thể ở ba chế độ: overdamped, critically damped và underdamped (dao động) Hình 5–22b thể hiện quỹ đạo chuyển động của vật sau khi thả tự do từ vị trí bị dịch chuyển z1 tại thời điểm t = 0.
Mạch RLC nối tiếp (hình 5–23) không chứa nguồn áp Định luật Kirchhoff về áp cho vòng kín:
Lấy đạo hàm và chia hai vế phương trình cho L
Lời giải phương trình vi phân bậc hai có dạng i A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t , thay vào phương trình vi phân bậc hai ta có:
Nếu s1 và s2 là nghiệm của phương trình: 2 1 0 s LC L s R
Trường hợp tắt dần dưới ngưỡng (Overdamped Case) 0
Cả α và β là các số thực dương:
Mạch RLC nối tiếp với R = 200Ω, L = 0,10 H và C = 13,33μF có điện tích ban đầu trên tụ Q0 = 2,67 × 10⁻³ Khi công tắc được đóng tại thời điểm t = 0, mạch trở thành mạch khép kín cho tụ xả Cần xác định quá độ của mạch theo hình 5–24.
Các giá trị A1 và A2 được xác định từ điều kiện đầu Đối với điện cảm )
( i i Đối với tụ – điện áp và điện tích không biến đổi lúc chuyển mạch từ t(0 – ) sang t(0 + ) v C (0 )Q 0 /C200 V Áp dụng hai điều kiện này:
Trong đó: A 1 2 và A 2 2, lấy A1 dương, t t e e i2 500 2 1500
Khi A1 có giá trị âm, đồ thị của hàm sẽ lật xuống dưới nhưng vẫn giữ hình dạng tương tự Dấu của A1 và A2 được xác định dựa trên cực tính của điện áp ban đầu trên tụ, và chúng có mối quan hệ theo giả thiết cùng chiều dòng điện.
Trường hợp tắt dần ở giới hạn (Critically Damped Case) α = ω 0
Với α = ω0, phương trình vi phân chuyển sang dạng khác, khiến cho việc áp dụng hai biểu thức mũ đã sử dụng trong các phần trước không còn khả thi Phương trình giờ đây trở thành:
Và lời giải phương trình vi phân này có dạng: ie t (A 1 A 2 t)
Ví dụ 5–19: Lặp lại ví dụ 5–18 với C = 10μF, và kết quả khi α = ω0
Như trong ví dụ 5–18, điều kiện đầu được dùng để xác định các hằng số
Do đó i(0 )i(0 ) nên 0[A 1 A 2 (0)] suy ra A1 = 0
(A 2 te t A 2 te t e t dt d dt di
Tại đây, cực tính lại ảnh hưởng đến lựa chọn chiều dòng điện tương ứng với cực tính của tụ điện ở thời điểm ban đầu
Hình 5–25 cho thấy đáp ứng của chế độ tắt dần dưới ngưỡng và tắt dần tới hạn tương tự như biểu diễn trong hình 5–24 Để xác minh điều này, có thể chọn một số giá trị của t và so sánh các dòng điện Cụ thể, cần tìm thời gian để dòng điện đạt 1,0 mA và 1,0 μA trong cả hai trường hợp, đồng thời xác định giá trị của t khi dòng điện đạt mức tối đa.
Trường hợp tắt dần trên ngưỡng hoặc dao động (Underdamped or Oscillatory Case) α < ω 0
Khi α < ω₀, các giá trị s₁ và s₂ trong lời giải phương trình vi phân sẽ khác với các trường hợp trước, với dạng số phức s₁ = α + jβ và s₂ = α - jβ, trong đó β được tính từ biểu thức β = √(ω₀² - α²) Lời giải phương trình vi phân có thể được diễn đạt dưới dạng biểu thức mũ.
( 1 j t 2 j t t Ae A e e i Hoặc nếu ở dạng hàm sin:
Ví dụ 5–20: Lặp lại ví dụ 5–18 với C = 1 μF
Tương tự ví dụ trước:
Các hằng số A3 và A4 được xác định từ điều kiện đầu như phần trước 0
Biểu thức dòng điện : i 0,667e 1000 t sin3000t
Hàm 0,667e 1000 t thể hiện đồ thị đường đứt nét trong hình 5–26, giới hạn phạm vi của dòng điện i0,667e 1000 t sin3000t Dòng điện dao động này có tần số theo radian β (rad/s) và tắt dần với tốc độ hàm mũ e t.
5.3.2 M ạ ch RLC song song không ngu ồ n Đáp ứng của mạch RLC song song được mô tả trên hình 5–27, có dạng giống như mạch RCL nối tiếp, do phương trình lập được có dạng phương trình vi phân bậc hai
Phương trình định luật Kirchhoff về dòng tại nút:
Lấy đạo hàm và chia hai vế cho C:
LC dt dv dt RC v d
Lời giải của phương trình vi phân có dạng: t s t s A e e A v 1 1 2 2 trong đó:
Hệ số tắt dần α trong quá trình quá độ của mạch RLC khác với mạch nối tiếp Đáp ứng quá độ có thể dễ dàng hình dung khi giả thiết rằng tụ điện có điện tích Q0 tại thời điểm đóng công tắc t = 0 Do đó, hàm bước điện áp được áp dụng cho mạch có biên thiên tương tự như quá trình quá độ.
Trường hợp tắt dần dưới ngưỡng (Overdamped Case) 0
Trong trường hợp này áp dụng lời giải: v A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t
Ví dụ 5–21: Mạch RLC song song với R = 1000Ω, C = 0,167 μF và L 1,0H có điện áp ban đầu V0 = 50,0V trên tụ Xác định điện áp v(t) khi đóng công tắc tại t = 0
Với 2 0 2 theo lời giải phương trình vi phân :
Tại phương trình định luật Kirchhoff về dòng cho nút, khi t = 0, không có dòng điện ban đầu trên điện cảm:
Như vậy hệ phương trình để tìm các hằng số:
Giải hệ tìm được A1 và A2:
Biểu thức điện áp: v155,3e 1271 t 105,3e 4771 t Đồ thị điện áp trên hình 5–28
Trường hợp tắt dần trên ngưỡng hoặc dao động (Underdamped or Oscillatory Case) α < ω 0
Trường hợp dao động tắt dần đói với mạch RLC song song, lới giải tương tự với trường hợp nối tiếp:
Trong đó: 1/2RC; d 0 2 2 là tần số tinhd theo radian, được gọi là tần số dao động tắt dần
Ví dụ 5–22: Mạch RLC nối tiếp với R = 200Ω, L = 0,28H và C = 3,57 μF có điện áp ban đầu trên tụ V0 = 50V Xác định biểu thức điện áp khi đóng chuyển mạch vào t = 0
Khi α < ω0 , mạch điện có đáp ứng là dao động tắt dần
Tại t = 0, V 0 = 50; khi đó A1 = V0 = 50 từ phương trình định luật Kirchhoff về dòng cho nút
Lấy đạo hàm biểu thức điện áp tại t = 0:
Trong mạch RLC song song, trường hợp tắt dần ở giới hạn ngưỡng không được xem xét do các thông số quá nhỏ hoặc không tồn tại trong thực tế thiết kế Thậm chí, có thể sử dụng các hằng số của đáp ứng ở giới hạn dao động cho trường hợp này.
5.3.3 M ạch điệ n có hai vòng m ắt lướ i
Phân tích đáp ứng của mạch điện cho hai vòng mắt lưới với hai phần tử tích trữ điện năng được mô tả qua phương trình vi phân.
Như trong hình 5–29, chọn 2 vòng với các dòng i1 và i2, áp dụng định luật Kirchhoff về áp, ta có hai phương trình vi phân bậc 1:
Để giải đồng thời hai phương trình vi phân, ta cần thực hiện việc lấy đạo hàm của một trong hai phương trình và thay thế vào phương trình còn lại, từ đó hình thành một phương trình bậc hai Trong trường hợp này, ta chọn lấy đạo hàm của phương trình thứ nhất.
Khử i2 và di2/dt từ các phương trình trên ta thu được:
Trạng thái ổn định trong lời giải của phương trình (5–24) là điều kiện / 1
( V R i ; Quá trình quá độ được xác định bằng các nghiệm s1 và s2 của phương trình:
Và điều kiện ban đầu: i(0 )0;
Cả hai dòng điện i1 và i2 cần duy trì sự liên tục tại thời điểm t = 0 Biểu thức cho i1 đã được xác định, trong khi biểu thức cho i2 có thể được suy ra từ công thức (5–21) Để đảm bảo quá trình quá độ kết thúc, cần có hệ số tắt dần Tùy thuộc vào các hằng số của quá trình quá độ, dòng điện có thể tắt dần dưới ngưỡng hoặc tắt dần trên ngưỡng, dẫn đến hiện tượng dao động Tổng quát, dòng điện trong mạch được biểu diễn qua biểu thức: i = (quá độ) +.
Quá độ có giá trị bằng V /R 1 khi t = 0 và bằng không khi t = ∞.
Quá độ của m ạch điện trong miền tần số
Các mạch điện đã xét trước đây, hàm biểu diễn nguồn là hằng số (ví dụ,
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tần số phức, một công cụ hữu ích trong việc phân tích các mạch điện, bao gồm cả quá trình quá độ và trạng thái ổn định Các nguồn điện như V = 50V, hàm sin (ví dụ: v = 100sin(500t + 30°)V) và hàm mũ (ví dụ: v = 10e^(-5t)V) sẽ được áp dụng để đơn giản hóa quá trình phân tích mạch.
Biểu diễn hàm mũ bằng hàm sin và cos tương đương:
Ta thấy: cos(t)Ree j ( t ) và để đơn giản Re được thay bằng hằng số A và hệ số e t
Tần số phức s = σ + jω có đơn vị s⁻¹, trong đó ω có đơn vị rad/s, do đó σ cũng có đơn vị s⁻¹ và được gọi là tần số Neper với đơn vị Np/s Nếu cả σ và ω đều khác không, hàm số sẽ là hàm cos tắt dần Nếu σ và ω bằng không, hàm có giá trị hằng số Cuối cùng, nếu ω = 0 và σ khác không, giá trị của hàm sẽ suy giảm theo hàm mũ Chỉ có các giá trị âm của σ mới đáng xem xét.
Bảng 5–4: Một số hàm với giá trị s j và cho biểu thức Ae st f (t) s A e 5 t
Trong hình 5–30, sự biến thiên của hàm theo các giá trị của s cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong dạng sóng của hàm số Khi σ = 0, không có hiện tượng tắt dần, và hàm trở thành hàm cos với biên độ ± Vm, không thể hiện trên đồ thị Nếu ω = 0, hàm mũ suy giảm với giá trị ban đầu là ± Vm Khi cả σ và ω đều khác không, ta nhận được hàm cos tắt dần.
5.4.2 Tr ở kháng t ổ ng quát c ủ a m ạ ch RLC trong mi ề n t ầ n s ố s
Các nguồn áp và dòng điện trong mạch thụ động chỉ bao gồm các phần tử thụ động, sẽ tạo ra dòng điện và điện áp trên các nhánh của mạch Dòng điện và điện áp sẽ là hàm thời gian theo dạng e^st (ví dụ, I = A e^(jψ) e^st và V = A e^(jφ) e^st) Để xác định dòng và điện áp, chỉ cần xác định độ lớn và góc pha của chúng Phương pháp này cho phép chuyển đổi từ miền thời gian sang miền tần số.
Xét mạch gồm RL nối tiếp với nguồn áp vV m e j e st sẽ có dòng điện được biển diễn theo biểu thức iI m e j e st = I m t e s , nếu thay vào phương trình mạch điện t j m e e dt V
Ta được phương trình sau: t j m t m t m e LI e V e e
Trở kháng trong miền tần số của RL nối tiếp là R + s L, do đó điện cảm có cảm kháng là s L trong miền tần số
Ví dụ 5–23: Mạch RL nối tiếp với R = 10Ω, L = 2H, được cấp nguồn áp
10e 2 t t o v V Xác định dòng điện trong miền tần số dt i di dt
Thay s = –2 + j10 (biểu thức nguồn v10e 2 t cos(10t30 o ) → 2;
Ví dụ 5–24: Mạch RC nối tiếp với R = 10Ω và C = 0,2F, có nguồn áp tương tự như với ví dụ 5–23
Thay s = –2 + j10 vào biểu thức dòng điện I
Như vậy trong miền tần số trở kháng của tụ điện (1/sC) Và trở kháng của mạch thụ động RLC nối tiếp trong miền tần số: Z(s)Rs L1/s C
5.4.3 Hàm bi ến đổ i m ạch điệ n
Nguồn áp có dạng v = Ve s t cung cấp cho mạch thụ động, tạo ra dòng điện và điện áp có cùng dạng hàm e s t, ví dụ i = Ie j ψ e s t Để xác định dòng và áp, chỉ cần biết độ lớn và góc pha Các đại lượng trong miền tần số được biểu diễn ở dạng cực, như V∠θ và I∠ψ Hình 5–32 minh họa mạch điện trong miền thời gian s = σ + jω và miền tần số, chỉ hiển thị độ lớn và góc pha Trong miền tần số, điện cảm được biểu diễn bằng sL và điện dung bằng 1/sC Tổng trở kháng của mạch được tính bằng Z(s) = V(s) / I(s).
Hàm biến đổi mạch điện H(s) được xác định là tỷ lệ giữa biên độ phức của tín hiệu đầu ra Y(s) và biên độ phức của tín hiệu đầu vào.
X(s) Nếu như X(s) là nguồn cấp cho mạch và Y(s) là điện áp giữa hai cực, thì tỉ số Y(s)/X(s) không có đơn vị
Hàm biến đổi mạch được xác định từ phương trình vi phân vào – ra của mạch: x dt b b dx dt x b d dt x b d y dt a a dy dt y a d dt y a d m m m m m n m n n n n n 1 1 0
Trong đó: x(t) Xe s t và y(t)Ye s t t m m m m t n n n n a a a e b b b b e a s s s ) s ( s s s ) s
Trong mạch tuyến tính bao gồm các phần tử, hàm H(s) được gọi là hàm tỉ lệ của s, thường được viết dưới dạng tổng quát sau:
Trong hệ thống H(s), k là một số thực, trong khi z m (m = 1, 2, … μ) được gọi là các zero và p n (n = 1, 2, ν) là các pole của H(s) Giả thiết này rất quan trọng khi H(s) được hiểu là tỉ lệ đáp ứng của một phần mạch điện so với kích thích từ phần khác Khi s = z m, đáp ứng bằng không và không phụ thuộc vào độ lớn của kích thích Ngược lại, khi s = p n, đáp ứng trở nên vô cùng và không phụ thuộc vào mức nhỏ của kích thích.
Ví dụ 5–25: Mạch thụ động trong miền tần số được vẽ tại hình 5–33 Xác định hàm biến đổi của mạch theo đáp ứng I(s) đối với kích thích V(s)
Trong đó: Z(s) tổng trở tương đương của mạch thụ động
Tử số của biểu thức H(s) bằng không khi s = ±j 12, dẫn đến dòng điện bằng không tại tần số này Bài viết tiếp theo sẽ tập trung vào chế độ cộng hưởng của mạch RLC nối tiếp và RLC song song tại tần số ω = 1/√(LC) Với L = 5/3 H và C = 1/20 F, tần số cộng hưởng ω đạt 12 rad/s.
Các zero và pole của hàm biến đổi mạch điện H(s) được biểu diễn trên hệ trục tọa độ phức Trong ví dụ 5–25, các zero được ký hiệu bằng (.) và các pole bằng (x) Các zero nằm trên trục ảo với giá trị s = ±j 12, trong khi các pole nằm trên trục thực tại s = –2 và s = –6.
Hàm biến đổi mạch điện có thể được biểu diễn dưới dạng cực (pole), và đáp ứng của mạch có thể xác định bằng phương pháp đồ thị Trước khi áp dụng phương pháp đồ thị, ta có thể xem xét H(s) như là tỷ lệ giữa V0(s) và Vi(s), cũng như giữa I2(s) và V1(s).
Biểu thức này cho thấy đáp ứng của mạch đối với kích thích tại tần số
S được xác định bởi tổng độ dài các véc tơ từ các cực và điểm zero đến điểm s, cùng với góc của các véc tơ này so với trục dương σ trong giản đồ pole–zero.
Kiểm tra đáp ứng của mạch trong ví dụ 5–25 với kích thích từ nguồn hàm mũ v = 1e^st khi s = 1 Np/s Điểm kiểm tra nằm ở vị trí 1 + j0 trên giản đồ cực–zero Vẽ các véc tơ từ các cực và zero đến điểm kiểm tra, sau đó tính toán độ dài và góc để thu được kết quả theo hình 5–35.
Kết quả cho thấy, trong miền thời gian, dòng điện i(t) có mối quan hệ tỉ lệ với điện áp v(t) với hệ số 0,248 Điều này cho thấy cả điện áp và dòng điện đều đạt giá trị rất lớn khi kích thích là hàm e^1t Trong hầu hết các trường hợp, giá trị của σ cần phải âm hoặc bằng không.
Phương pháp đồ thị không phù hợp cho việc phân tích hàm biến đổi mạch điện H(s) dưới dạng tỉ số Thay vào đó, biểu thức H(s) nên được thể hiện dưới dạng hằng số k, dựa trên các cực và zero trong hệ tọa độ phức, cụ thể là giản đồ cực–zero.
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá đáp ứng của mạch điện dưới điều kiện cưỡng bức và trạng thái ổn định, với việc xác định chúng trong miền tần số là phương pháp hiệu quả nhất Đồng thời, đáp ứng tự nhiên của mạch cũng dễ dàng xác định, bởi chúng tương ứng với các cực của hàm biến đổi mạch điện.
Ví dụ 5–27: Mạch điện như trong ví dụ 5–25 được vẽ trong hình 5–36, xác định đáp ứng tự nhiên khi nguồn V(s) được chèn vào giữa hai điểm x–x’
Mạch tương tự như ví dụ 5–25, do đó:
Tần số tự nhiên là – 2 Np/s và – 6 Np/s, do đó trong miền thời gian, dòng điện tự nhiên hoặc quá độ được xác định theo dạng sau: t t n Ae A e i 1 2 2 6
Trong đó các hằng số A1 và A2 được xác định từ áp dụng điều kiện đầu để có đáp ứng, ii n i f với i f là đáp ứng cưỡng bức
Ví dụ 5–28: Mạch điện trong hình 5–36 được cấp dòng điện I(s) giữa hai điểm y–y’ trong hình 5–36 Tìm biểu thức V(s) tại hai cực x–x’
Các cực trong trường hợp này là – 2 Np/s và – 6 Np/s, kết quả tương tự ví dụ 5–27
5.4.6 Bi ến đổ i t ỉ l ệ biên độ và t ầ n s ố
Biến đổi tỉ lệ biên độ
Mạch điện xoay chiều
Phân tích mạch xoay chiều ở trạng thái ổn định (điều hòa)
Phần này thảo luận về trạng thái ổn định của mạch điện xoay chiều với nguồn biến thiên theo hàm sin, trong đó đáp ứng của mạch cũng là hàm sin Đối với các mạch tuyến tính, giả thiết cho rằng nguồn chu kỳ không phải dạng sin có thể được phân tích thành tổ hợp tương đương của các hàm sin thông qua dãy Fourier.
6.1.1 Đáp ứ ng c ủ a các ph ầ n t ử Điện áp và dòng điện là các hàm sin hoặc cos với đối số ωt, trong đó ω là tần số của dòng, áp đơn vị rad/s hoặc được dùng nhiều hơn hertz (Hz) Phần này ta xét quan hệ giữa dòng điện và điện áp xoay chiều
Xét điện cảm L có dòng điện iIcos(t 45 o ) như trong hình 6–1, khi đó điện áp trên điện cảm:
Khi so sánh điện áp và dòng điện trên điện cảm, ta nhận thấy dòng điện chậm hơn điện áp 90 độ (π/2 rad) Đồ thị cho thấy hàm dòng điện nằm bên phải hàm điện áp và dịch chuyển theo trục hoành ωt, thể hiện sự chậm trễ về thời gian Hiện tượng này được gọi là dòng điện chậm pha so với điện áp, với sự dịch chuyển được tính bằng radian hoặc đôi khi bằng độ (135 độ, 180 độ, v.v.) Mặc dù việc biểu diễn này không hoàn toàn chính xác về mặt toán học, nhưng nó vẫn được áp dụng trong phân tích mạch thực tế Trên trục tung, hai đại lượng khác nhau (dòng và áp) cho phép sử dụng hai tỷ lệ xích khác nhau.
Khi phân tích đồ thị, các hàm sin được xác định hoàn toàn bởi biên độ (V hoặc I), tần số (ω hoặc f) và góc pha (45° hoặc 135°) Bảng 6–1 trình bày đáp ứng của ba phần tử cơ bản trong mạch điện với dòng điện i = Icos(ωt) và điện áp v = Vcos(ωt) Đối với điện trở, điện áp v và dòng điện i có cùng pha Trong khi đó, đối với điện cảm L, dòng điện i chậm pha hơn điện áp v 90° (hoặc π/2 rad), còn đối với điện dung C, dòng điện i sớm pha hơn điện áp v cũng 90° (hoặc π/2 rad).
Bảng 6–1: Đáp ứng của ba phần tử cơ bản t I i cos vVcost t RI v R cos t
Mạch RL nối tiếp trong hình 6–2 có dòng điện i = Isin(ωt) Để xác định điện áp trên các phần tử của mạch, ta cần phân tích mạch và tính toán điện áp rơi trên điện trở và cuộn cảm Sau đó, vẽ đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện trong mạch.
Hình 6–2 Điện áp trên các phần tử: t RI v R sin ; v L LIsin(t90 o ) Điện áp cả mạch:
Do dòng điện là hàm sin, nên điện áp:
Nhưng theo biểu thức điện áp của mạch: o o LI t t LI t RI v sin sin cos90 cos sin90 t LI t RI v sin cos (6–2)
Kết hợp 2 phương trình (6–1) và (6–2) ta có:
Dạng sóng của hàm i và v được thể hiện trong hình 6-3, với góc θ biểu thị góc chậm pha của dòng điện so với điện áp, nằm trong khoảng từ 0° đến 90° Các giá trị giới hạn của góc θ đạt được khi ωL > R Khi mạch điện được cung cấp nguồn áp v = Vsin(ωt), dòng điện trong mạch sẽ tương ứng với hàm số này.
Ví dụ 6–2: Nếu mạch RC nối tiếp được cấp dòng điện i Isint, hãy xác điện áp trên hai phần tử t RI v R sin ; C sin( t 90 o )
Góc pha giữa điện áp và dòng điện trong mạch RC nối tiếp cho thấy dòng điện sớm pha hơn so với điện áp, với góc lệch pha nằm trong khoảng 0° ≤ θ ≤ 90° Khi 1/ωC > R, góc lệch pha θ đạt 90°.
6.1.2 Véc tơ biể u di ễn đại lượ ng sin
Khi xem xét biểu thức hàm sin của dòng điện và điện áp, ta nhận thấy biên độ và góc pha có những quy luật khác nhau Một véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ không đổi ω (rad/s) có hình chiếu lên phương ngang tương ứng với giá trị hàm cos Độ lớn của véc tơ, tức biên độ, là giá trị cực đại của hàm cos, trong khi góc giữa hai vị trí của véc tơ thể hiện góc pha khác biệt giữa hai điểm của hàm cos.
Véc tơ biểu diễn đại lượng sin thường được sử dụng cùng với hàm cosin trong giáo trình Để chuyển đổi dòng và áp từ hàm sin sang hàm cos, cần trừ đi một góc pha 90 độ Các ví dụ minh họa cho việc chuyển đổi hàm sin sang cos được trình bày chi tiết trong bảng 6–2.
Các véc tơ biểu diễn tín hiệu sin được thể hiện dưới dạng các đoạn thẳng có hướng, thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa như V và I Véc tơ này phản ánh vị trí tức thời của véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ tại thời điểm t = 0 Mặc dù tần số f (Hz) và ω (rad/s) thường không xuất hiện trong giản đồ véc tơ, nhưng chúng vẫn cần được lưu ý khi thực hiện các phép tính liên quan đến đại lượng sin.
Hàm tín hiệu Biểu diễn véc tơ
Ví dụ 6–3: Mạch RL nối tiếp có R = 10Ω và L = 20 mH có dòng điện
5 t o i A Xác định điện áp v và V, dòng điện I , véc tơ biển diễn và đồ thị véc tơ
Sử dụng phương pháp trong ví dụ 6–1
Véc tơ biểu diễn đại lương tương ứng
I A và V70,755 o V Góc 45 o có thể thấy được trong đồ thị ở miền thời gian và đồ thị véc tơ của dòng điện và điện áp trong hình 6–6
Véc tơ biểu diễn dòng và áp có thể được thể hiện dưới dạng số phức Khi thay trục hoành bằng trục số thực và trục tung bằng trục số ảo trong hệ tọa độ phức, véc tơ biểu diễn có thể được viết bằng các chữ số và tuân theo các quy luật của số phức Theo công thức Euler, số phức có ba dạng tương đương, giúp biểu diễn véc tơ đại lượng sin một cách hiệu quả.
Dạng đại số VV(cos o jsin o )
Hàm cosin có thể được viết theo dạng sau:
Nhân, chia đối với véc tơ biểu diễn thực hiện ở dạng số mũ:
→ (V 1 1 )/(V 2 2 )(V 1 /V 2 )( 1 2 ) Cộng, trừ véc tơ biểu diễn thực hiện ở dạng đại số
Ví dụ 6–4: Cho hai véc tơ biểu diễn điện áp V 1 25143,13 o và
V hãy tính tỉ số và các điện áp
Nguồn điện áp hoặc dòng điện xoay chiều sin cung cấp cho mạch thụ động RLC sẽ tạo ra đáp ứng ở dạng hàm sin Khi các hàm này có đối số là thời gian, như v(t) và i(t), mạch điện sẽ được phân tích trong miền thời gian Ngược lại, khi sử dụng véc tơ phức để phân tích, mạch sẽ được xem xét trong miền tần số Điện áp và dòng điện được thể hiện qua các biểu thức tương ứng.
Tỉ số giữa véc tơ điện áp phức V và dòng điện phức I được gọi là trở kháng Z, với công thức Z = V / I Đối với trở kháng, đại lượng nghịch đảo của nó được gọi là dẫn nạp.
Y, như vậy Y = 1 / Z (S), trong đó S = 1Ω –1 = 1Ʊ (mho) Các đại lượng Z và Y là các số phức
Trở kháng được biểu diễn dưới dạng tổng hợp của điện trở thực R và điện kháng ảo X, trong đó X có thể có dấu dương (cảm kháng) hoặc âm (dung kháng) Tương tự, dẫn nạp cũng được chia thành phần thực là điện dẫn tác dụng G và phần ảo là điện dẫn phản kháng B, với B dương đại diện cho điện dẫn dung và B âm cho điện dẫn cảm.
Y Y G jB C Quan hệ giữa hai đại lượng theo biểu thức Z = 1 / Y , đó đó qui đổi giữa các đại lượng có thể tính theo những biểu thức sau:
Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các biểu thức qui đổi có thể không cần thiết do khối lượng tính toán lớn Thay vào đó, chúng ta có thể kết hợp các phương pháp tính toán khác nhau để đơn giản hóa quá trình Ví dụ, trong mạch hình 6–7b, các đại lượng dòng và áp có thể được phối hợp để tối ưu hóa tính toán.
I và V10045 o , khi đó trở kháng và dẫn nạp của mạch RLC:
Từ đó suy ra: R = 17,3Ω; XL = 10Ω; G = 4,33.10 –2 Ʊ và BL = 2,5.10 –2 Ʊ
Phối hợp các trở kháng
Nguồn điện xoay chiều m ột pha
6.2.1 Ngu ồ n xoay chi ề u trong mi ề n th ờ i gian
Giá trị tức thời của công suất nguồn điện xoay chiều (trong hình 6–16) đi vao hai cực của mạch N được xác định theo biểu thức:
Điện áp và dòng điện trên các cực được ký hiệu lần lượt là v(t) và i(t) Khi giá trị p dương, công suất được truyền từ nguồn đến mạch; ngược lại, nếu p âm, công suất sẽ được truyền từ mạch trở lại nguồn.
Trong phần này, chúng ta sẽ phân tích dòng áp chu kỳ, đặc biệt là dạng sin, trong trạng thái ổn định của mạch RLC tuyến tính Các phần tử như điện cảm và điện dung, có khả năng tích trữ năng lượng, sẽ không thể tiếp tục nhận năng lượng mà không trả lại cho nguồn Trong trạng thái ổn định, năng lượng tích lũy tại điện cảm và điện dung sẽ được trả lại cho nguồn mỗi chu kỳ Năng lượng hấp thụ trên điện trở sẽ chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác như nhiệt, cơ, hóa hoặc từ trường Dòng năng lượng đến mạch thụ động trong một chu kỳ có thể là dương hoặc bằng không.
Ví dụ: trong hình 6–17 dạng sóng của dòng điện trong điện trở 1kΩ Hãy xác định và vẽ đồ thị công suất tức thời
vi Ri p W Đồ thị công suất tức thời tại hình 6–16b
Ví dụ: Dòng điện có dạng sóng trong hình 6–16a đi qua tụ điện 0,5 μF Hãy xác định công suất p(t) đến tụ và năng lượng w(t) tích lũy trên tụ Giả thiết
Dựa trên dạng sóng ta thấy, dòng điện trên tụ là hàm chu kỳ có tần số
T = 2ms Trong một chu kỳ dòng điện được xác định theo hàm
1 ms mA ms mA Điện áp trên tụ cũng làm hàm chu kỳ có cùng tần số T = 2ms Trong một chu kỳ điện áp được tính theo:
Công suất và điện năng trên tụ
Công suất w(t) có thể được xác định thông qua tích phân của công suất p(t) Trong một chu kỳ, công suất vào tụ điện có giá trị âm và dương bằng nhau, như thể hiện trong hình 6–17b Năng lượng lưu trữ trong tụ điện luôn dương, được minh họa trong hình 6–17c, với giá trị lớn nhất đạt Wmax = 1μJ tại các thời điểm t = 1, 3, 5…ms.
6.2.2 Công su ấ t c ủa đại lượ ng sin trong tr ạ ng thái ổn đị nh
Nguồn áp sin vV m costV cấp cho tải trở kháng Z Z tạo nên dòng điện iI m cos(t) Công suất tức thời từ nguồn đến trở kháng là
Công suất tức thời được xác định bởi công thức V_eff = V_m / 2 và I_eff = I_m / 2, với I_ef = V_eff / Z Trong biểu thức này, công suất tức thời bao gồm thành phần sin V_eff I_eff cos(2ωt−θ) và thành phần không đổi V_eff I_eff cosθ, mà chính là công suất trung bình P_avg Đồ thị công suất tức thời và công suất trung bình được minh họa trong hình 6–18 Trong một phần của chu kỳ, công suất tức thời có giá trị dương, cho thấy công suất truyền từ nguồn đến tải, trong khi phần còn lại của chu kỳ có thể có công suất âm, tức là công suất truyền từ tải.
Ví dụ: nguồn áp sin v140costV được kết nối với tải trở kháng
Nguồn áp tạo nên dòng điện v28cos(t60 o )nên
Công suất tức thời gồm: thành phần hằng số 980W, và thành phần sin
1960 t o W có tần số gấp đôi tần số nguồn áp
6.2.3 Công su ấ t trung bình ho ặ c công su ấ t tác d ụ ng
Lượng bình quân công suất từ nguồn đến tải trong một cho kỳ được gọi là công suất trung bình Pavg = Giá trị trunh bình của thành phần sin
V eff eff trong một chu kỳ bằng không nên từ biểu thức (6–4) ta có:
cos và công suất trung bình có thể tính theo các biểu thức:
Công suất trung bình không âm phụ thuộc vào điện áp (V), dòng điện (I) và góc pha giữa chúng Khi giá trị hiệu dụng của V và I đã được xác định, công suất P đạt giá trị lớn nhất khi θ = 0, tức là khi tải là thuần trở Đối với tải thuần cảm, góc pha θ bằng 90 độ dẫn đến công suất trung bình Pavg bằng 0 Tỉ số giữa công suất trung bình và tích của V hiệu dụng và I hiệu dụng được gọi là hệ số công suất (pf), và từ biểu thức 6–5, ta có pf bằng cosθ.
Chỉ số dưới avg của kí hiệu công suất P avg thường được bỏ và kí hiệu P được dùng cho công suất trung bình
Ví dụ: Công suất P cấp từ nguồn áp sin với V eff = 110 V cho một tải trở kháng Z = 10 + j8 Hãy xác định công suất P và hệ số công suất pf j o
Cách giải thay thế cho kết quả chính xác hơn (sử dụng ít phép tính)
Khi mạch thụ động chứa các phần tử điện cảm, điện dung hoặc cả hai, công suất trong chu kỳ sẽ được tích lũy và phát trả lại nguồn Trong giai đoạn phát trả năng lượng, công suất có giá trị âm, và công suất tham gia vào quá trình trao đổi được gọi là công suất phản kháng, ký hiệu là Q Mặc dù công suất phản kháng không ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu suất của mạch điện, nhưng nó có thể làm giảm hiệu năng tổng thể của hệ thống điện.
Nếu Z R jX Z khi đó sin X /Z và công suất phản kháng có thể tính theo các biểu thức:
Q (6–13) Đơn vị của công suất phản kháng là VAr (volt–ampe reactive)
Công suất phản kháng Q phụ thuộc vào V, I và góc lệch pha giữa chúng
Khi θ = 0°, công suất phản kháng Q bằng không, xảy ra trong mạch thuần điện trở với dòng điện I và điện áp V trùng pha Ở tải thuần phản kháng, θ = 90° và Q đạt giá trị tối đa bằng tích của V và I Công suất tác dụng P luôn dương, trong khi công suất phản kháng Q có thể dương (tải điện cảm, dòng điện chậm pha so với điện áp) hoặc âm (tải điện dung, dòng điện sớm pha so với điện áp) Điều này giúp xác định công suất phản kháng dựa trên đặc tính của tải.
100 kVAr – điện cảm công suất nghĩa Q = 100kVAr, hoặc 100 kVAr – điện dung có nghĩa Q = –100 kVAr
Ví dụ: Điện áp và dòng điện trên tải có giá trị tương ứng là V eff 110V và o
Công suất tác dụng: P = 110.20.cos50 o = 1414W
Công suất phản kháng: Q = 110.20.sin50 o = 1685 Var
Bảng 6–3: Tổng hợp công suất nguồn xoay chiều trên tải R, L và C t V v( 2)cos V eff V0 o
Công suất trên điện trở t I t V i v t p R ( ) R ( 2)cos ( 2)cos
Công suất tức thời của điện trở thay đổi theo hàm sin trong khoảng từ 0 đến 2RI², với tần số gấp đôi so với tần số kích thích Giá trị trung bình của công suất được tính là P = RI² Đồ thị thể hiện v(t) và pR(t) được trình bày trong hình 6–18a.
Công suất trên điện cảm
L t vi V t I t p t VI t t VI t p L ( )2 cos sin sin2
Công suất tức thời trên điện cảm biến thay đổi theo hàm sin từ -Q đến Q, với tần số gấp đôi tần số kích thích và giá trị trung bình trong một chu kỳ bằng không, như thể hiện trong đồ thị hình 6–18b.
Công suất trên điện dung
C t vi V tI t p t VI t t VI t p C ( )2 cos sin sin2 t C
Công suất tức thời của điện dung biến thiên theo hàm sin từ -Q đến Q, với tần số gấp đôi tần số kích thích Giá trị trung bình trong một chu kỳ bằng không, như thể hiện trong đồ thị hình 6–18c.
Điện cảm và điện dung có khả năng trao đổi năng lượng khi được cấp nguồn áp như nhau trong mạch song song hoặc dòng điện giống nhau trong mạch nối tiếp Tuy nhiên, công suất nhận ở tụ điện thường bị lệch pha.
Công suất phản kháng Q trong mạch điện cảm và điện dung có mối quan hệ ngược chiều nhau, với giá trị 180 độ so với công suất nhận Trong một số trường hợp, điện cảm và điện dung có thể trao đổi một phần công suất trực tiếp mà không cần thông qua nguồn xoay chiều Điều này dẫn đến việc giảm lượng công suất phản kháng trong mạch LC, từ đó nâng cao hệ số công suất.
Xét mạch RLC mắc song song được cấp nguồn áp vV 2cost
Thay các biểu thức công suất trên các phần tử RLC, ta có: t
Nếu 1/ωL = ωC, tổng công suất phản kháng bằng không Đồ thị của pT(t) trên hình 6–17d
6.2.5 Công su ấ t ph ứ c, công su ấ t bi ể u ki ế n và tam giác công su ấ t
Công suất phức S, được định nghĩa là S = P + jQ, bao gồm hai thành phần P và Q có vai trò khác nhau và không thể cộng trực tiếp Độ lớn của công suất phức S được tính bằng công thức S = √(P² + Q²) và có đơn vị là VA (vôn – amper) Giá trị của S, P, và Q có thể được biểu diễn theo tỉ lệ trong một tam giác vuông, được gọi là tam giác công suất, với P, Q, và S tương ứng là các cạnh của tam giác Tam giác công suất cũng có thể suy ra từ tam giác trở kháng với hệ số nhân I_eff², và có thể áp dụng cho các tải điện cảm và điện dung.
Dễ dàng có được SV eff I * eff , trong đó: V eff – điện áp phức và I * eff – liên hợp phức của dòng điện Tổng hợp các loại công suất:
Công suất phức: SV eff I * eff P jQI eff 2 Z (6–15)
Công suất thực (tác dụng): PRe[S]V eff I eff cos (6–16)
Công suất ảo (phản kháng): QIm[S]V eff I eff sin (6–17)
Công suất biểu kiến: S V eff I eff (6–18)
Để xác định các thông số điện cho mạch điện, đầu tiên, với nguồn áp hiệu dụng Veff = 10V và tải Z1 = 1+j, ta cần tính dòng điện i1, giá trị hiệu dụng I1.eff, công suất p1(t), công suất thực P1, công suất phản kháng Q1, hệ số công suất pf1 và tổng công suất S1 Tiếp theo, thay tải Z1 bằng tải Z2 = 1–jA và lặp lại các phép tính tương tự Cuối cùng, thực hiện các phép tính cho tải Z1 và Z2 khi chúng được kết nối song song Giá trị tức thời của nguồn áp được cho bởi v = 10√2cos(ωt).
S ; S 1 S 1 50 2 70,7VA pf1 = 0,707 (chậm pha) (b) Tải: Z 2 245 o
Ví dụ: Mạch thụ động có trở kháng tương đương Z = 3 + j4 được cấp nguồn áp v42,5cos(1000t30 o ) hãy xác định công suất mạch o eff 30
Q Var (điện cảm) pf = cos53 o = 0,6 (chậm pha)
6.2.6 Công su ấ t c ủ a các m ạ ch song song
Công suất phức là công cụ quan trọng trong việc phân tích các mạch điện thực tế, chẳng hạn như mạch điện gia dụng được kết nối song song với một nguồn điện Trong ví dụ này, nhánh 1 và 3 thể hiện tính điện cảm, trong khi nhánh 2 có tính điện dung.
Nếu phân tích mạch quan trọng năng lượng trên mỗi nhánh, ta có thể biến đổi tương đương trở kháng từ đó tính công suất ST, hoặc ngược lại
Ví dụ: điện áp 6kV trên mạch hình 6–19, các nhánh: P1 = 10kW, pf1 = 1,
P2 = 20kW, pf2 = 0,5 (chậm pha), P3 = 15kW, pf3 = 0,6 (chậm pha) Tính công suất, hệ số công suất và dòng điện của mạch
1 cos pf 1 1 → tan 1 0; Q 1 P 1 tan 1 0kvar
5 , 0 cos pf 2 2 → tan 2 1,73; Q 2 P 2 tan 2 34,6kvar
6 , 0 cos pf 3 3 → tan 3 1,33; Q 3 P 3 tan 3 20kvar
Nguồn xoay chiều nhiều pha
Công suất tức thời của nguồn xoay chiều sin cấp cho trở kháng
Với V p và I p là các trị hiệu dụng của v và i, θ – góc lệch pha giữa chúng
Công suất dao động trong phạm vi VpIp(1 + cosθ) và VpIp(-1 + cosθ) là rất quan trọng trong các hệ thống điện có công suất lớn và phạm vi thay đổi công suất rộng Để ổn định luồng công suất từ nguồn đến tải, hệ thống nguồn nhiều pha được sử dụng Một ưu điểm nổi bật của hệ thống này là khả năng cung cấp nhiều mức điện áp khác nhau Trong hệ thống nguồn nhiều pha, Vp và Ip tương ứng là điện áp và dòng điện của từng pha, có thể khác nhau giữa các pha Bài viết này chủ yếu tập trung vào hệ thống nguồn ba pha, thường được áp dụng trong công nghiệp, bên cạnh đó cũng đề cập đến hệ thống nguồn hai pha.
6.3.1 H ệ th ố ng ngu ồ n xoay chi ề u hai pha
Hệ thống hai pha cân bằng sản xuất hai nguồn xoay chiều sin với tần số và biên độ giống nhau, nhưng lệch pha 90 độ hoặc 180 độ Ưu điểm nổi bật của hệ thống này là khả năng sử dụng hai cấp điện áp, tương ứng với hai từ trường khác nhau Công suất trong hệ thống có thể là hằng số hoặc biến đổi.
Máy phát điện xoay chiều bao gồm hai nguồn xoay chiều có cùng biên độ và tần số nhưng lệch pha 90 độ, kết nối tại điểm trung tính của máy phát Hệ thống này cung cấp điện cho hai tải giống nhau, cho phép xác định dòng, áp, công suất tức thời và trung bình.
Hình 6–23 Điện áp tại các cực và dòng điện của nguồn:
(t I t i a p i b (t)I p 2cos(t90 o ) Trong miền tần số, nếu Z Z, thì I p V p /Z o p
Véc tơ biểu diễn dòng, áp trong hình 6–23b
Công suất tức thời p A và p B cấp từ các nguồn:
Công suất tức thời tổng cộng do hai nguồn cấp cho các tải:
Hệ thống nguồn hai pha bao gồm hai mức điện áp Vp và 2Vp, cung cấp công suất ổn định cho các tải Sự lệch pha trong từ trường do dòng điện của các pha có khả năng tạo ra từ trường quay trong một số thiết bị.
6.3.2 H ệ th ố ng ngu ồ n xoay chi ề u ba pha
6.3.2.1 Điện áp xoay chiều ba pha
Hệ thống nguồn ba pha bao gồm ba nguồn xoay chiều sin có cùng tần số nhưng lệch nhau mỗi pha 120 độ Để tạo ra hệ thống này, cần một máy phát ba pha với ba cuộn dây được bố trí lệch nhau 120 độ Thông thường, biên độ của ba pha luôn bằng nhau, do đó máy phát được gọi là đối xứng Trong cấu trúc này, ba cuộn dây bằng nhau được đặt tại vành ngoài của rôto, mỗi cuộn dây xoay một góc 120 độ so với cuộn dây trước.
Khi quay rô to ngược chiều kim đồng hồ, các cạnh cuộn dây đi qua cực từ theo thứ tự A–B–C–A–B–C, dẫn đến sự thay đổi cực tính của điện áp mỗi khi cực từ thay đổi Giả thiết rằng cực từ và từ trường tạo ra điện áp sin cho mỗi pha, điện áp của ba pha được thể hiện trong hình 6–25 Cụ thể, điện áp pha B chậm hơn pha A 120 độ, và pha C chậm 240 độ, tạo thành thứ tự pha ABC Nếu chiều quay được thay đổi, thứ tự mới sẽ trở thành B–A–C–B, được gọi là thứ tự CBA.
Trong hệ thống điện ba pha cân bằng, điện áp các pha được mô tả theo các biểu thức V_an(t) = V_p√2 cos(ωt) và V_bn(t) = V_p√2 cos(ωt - 120°) Đồ thị véc tơ điện áp pha thể hiện sự biến đổi theo thời gian và tần số, như được minh họa trong hình 6–26.
6.3.2.2 Nguồn ba pha nối sao, tam giác Đầu của các cuộn dây pha được nối lại theo sơ đồ hình sao (còn kí hiệu Y) với các điểm A’, B’, C’ được nối chung tại một điểm gọi là điểm trung tính, các đầu còn lại A, B, C đưa ra ngoài thành các đường dây pha A, B, C của hệ thống nguồn ba pha Nếu điểm trung tínhđược kết nối bằng dây dẫn đến tải ta có hệ thống nguồn ba pha bốn dây Trong hình 6–27, ba dây pha được kí hiệu bằng chữ thường a, b và c tại nguồn và các chữ in A, B và C tại tải Nếu các đường dây pha phải tính đến trở kháng trong kí hiệu dòng điện trên pha cũng phải có chỉ số, ví dụ, pha aA có dòng điện phức I aA , và điện áp phức trên pha V aA
Các cuộn dây của máy phát có thể được nối theo hình tam giác (Δ), tạo thành hệ thống ba pha với ba đường dây pha a, b và c Việc nối theo hình Δ không có điểm trung tính, do đó không thể truyền tải trên 4 dây, trừ khi sử dụng hệ thống chuyển đổi Δ–Y.
6.3.2.3 Điện áp phức của hệ thống nguồn ba pha
Trong hệ thống nguồn ba pha, góc pha của một pha được cố định tại thời điểm t = 0, không thể tùy ý điều chỉnh trên trục hoành Góc pha không (zero) tương ứng với điện áp pha B so với pha C, được biểu diễn là V BC V L 0 o Điện áp giữa các pha (điện áp dây) gấp ba lần điện áp giữa pha và trung tính (điện áp pha) Hình 6–28 minh họa véc tơ điện áp cho cả hai thứ tự ABC và CBA.
Thứ tự ABC Thứ tự CBA
6.3.3 T ải ba pha đố i x ứ ng
6.3.3.1 Tải đối xứng nối tam giác (Δ)
Ba tải trở kháng giống nhau được nối thành mạch tạo thành tải ba pha tam giác đối xứng Dòng điện trên trở kháng, được gọi là dòng điện pha, có biên độ bằng nhau và lệch pha 120 độ Dòng điện dây cũng có biên độ bằng nhau và lệch pha 120 độ, hướng từ nguồn đến tải.
Một nguồn ba pha, ba dây với thứ tự ABC có điện áp hiệu dụng 120V cấp cho ba tải trở kháng 5∠45° nối tam giác Để xác định dòng điện dây và vẽ đồ thị véc tơ dòng điện cùng điện áp, ta tính điện áp dây lớn nhất (biên độ) là 120√3 = 169,7V.
Hai kí tự ở chỉ số biểu thức dòng điện qui định chiều của dòng điện trên trở kháng tải o o o AB
Theo định luật Kirchhoff về dòng, dòng điện dây I A được tính theo: o o o CA
Điện áp pha – pha và các dòng điện được biểu diễn bằng véc tơ, như thể hiện trong hình 6–30 Các dòng điện trong trường hợp này là đối xứng, cho phép xác định các dòng điện khác thông qua giản đồ đối xứng các véc tơ Dòng điện dây I L = 3I p tương ứng với dòng điện pha cho tải Δ đối xứng.
6.3.3.1 Tải đối xứng nối sao (Y) bốn dây
Ba tải trở kháng giống nhau được kết nối theo hình sao, tạo ra một mạch điện đặc trưng Dòng điện chạy qua các trở kháng này cũng chính là dòng điện đi từ nguồn đến tải, với chiều dòng điện được xác định như trong trường hợp trước.
Trong hệ thống nguồn ba pha, bốn dây với thứ tự CBA và điện áp hiệu dụng 120V, ba tải 2030° được nối theo kiểu Y (hình 6–31) Cần xác định dòng điện trong dây và vẽ đồ thị véc tơ của dòng điện cũng như điện áp.
Biên độ điện áp dây 169,7V → biên độ điện áp pha 169,7/ 398V, thứ tự CBA do đó điện áp phức của các pha: o
Đáp ứng tần số, lọc và cộng hưởng
Đáp ứng tần số
7.1.1 Khái ni ệm đáp ứ ng t ầ n s ố Đáp ứng của mạch tuyến tính đối với các kích thích từ tín hiệu sin là hàm sin cùng tần số nhưng có thể khác về biên độ và góc pha Đáp ứng của mạch tuyến tính thay đổi theo tần số của kích thích nên có thể coi đáp ứng là hàm của tần số Các đại lượng sin có thể được biểu diễn trong miền tần số với hai tham số là biên độ và góc pha Và đáp ứng tần số (đáp ứng trong miền tần số) được định nghĩa bằng tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào trong miền tần số Đáp ứng tần số là hàm thực của biến ảo jω và theo biểu thức:
Trong đó, Re[H] và Im[H] đại diện cho phần thực và phần ảo của H(jω), trong khi |H| và θ là biên độ và góc pha Các thành phần này, bao gồm Re[H], Im[H], |H| và θ, đều là hàm của tần số và có mối quan hệ với nhau thông qua các biểu thức cụ thể.
Tần số đáp ứng của mạch điện phụ thuộc vào các thông số đầu vào và đầu ra, chẳng hạn như trong hình 7–1a, dòng điện tại cực được coi là biến vào, trong khi điện áp là biến ra Do đó, trở kháng đầu vào Z được xác định bởi công thức Z = V1/I1, và nó sẽ là hàm đáp ứng của mạch điện.
Nếu nguồn áp được cấp cho mạch, dòng điện sẽ trở thành tín hiệu ra, và dẫn nạp được tính bằng công thức Y = I1/V1 = 1/Z, phản ánh đáp ứng của mạch Đối với mạng hai cửa, các hàm đáp ứng sẽ được định nghĩa như trong hình 7-1b.
Dẫn nạp vào: Y in (j)1/Z in I 1 /V 1
Biến đổi trở kháng: V 2 /I 1 và V 1 /I 2
Ví dụ: Tìm đáp ứng tần số của V 2/V 1 của mạch hai cửa trong hình 7–2
Gọi Y RC là dẫn nạp của mạch RC song song, khi đó:
Tỉ số V 2/V 1 được tính từ phân áp giữa điện trở 5kΩ và ZRC
7.1.2 M ạ ch thông cao t ầ n và thông th ấ p t ầ n
Một mạch phân áp điện trở không tải với hai cổng tiêu chuẩn được minh họa trong hình 7-2 Trong trường hợp này, hàm biến đổi điện áp và trở kháng đầu vào được xác định rõ ràng.
Kí hiệu ∞ trong các hàm biến đổi chỉ ra điều kiện làm việc không tải, với H v∞ và H z∞ là các hằng số không phụ thuộc vào tần số cho đến khi có sự tham gia của các phần tử phản kháng trong mạch điện Khi mạch có ít nhất một phần tử điện cảm hoặc điện dung, H v∞ và H z∞ trở thành các đại lượng phức và phụ thuộc vào tần số Nếu H v∞ giảm khi tần số tăng, mạch được gọi là mạch thông thấp tần (low-pass), trong khi nếu H v∞ giảm khi tần số giảm, mạch được gọi là mạch thông cao tần (high-pass).
Dưới đây là bốn mạch hai phần tử trong đó hai mạch thông cao tần và hai mạch thông thấp tần
Mạch RL trong trạng thái hở mạch (không tải) được thể hiện trong hình 7–5 Trở kháng vào của mạch đáp ứng tần số được xác định thông qua đồ thị độ lớn và góc pha.
Năm giá trị của ω (0; 0,5ωx; ωx; 2ωx;∞) được dùng để vẽ lên đồ thị của
Biên độ H z được minh họa trong hình 7–6, cho thấy rằng khi tần số tăng cao, biên độ đạt giá trị rất lớn Điều này dẫn đến việc dòng điện trong mạch gần như bằng không ở tần số rất cao.
Cũng tương tự khi xét hàm biến đổi điện áp ra–vào của mạch Với điều kiện không tải:
H và θ H = tan⁻¹(ωx/ω) thể hiện mối quan hệ giữa biên độ và góc pha, như được minh họa trong hình 7–7 Khi tần số tiến tới vô cùng, hàm biến đổi đạt giá trị bằng một, đồng nghĩa với việc điện áp ra bằng điện áp vào Do đó, mạch điện này được gọi là mạch thông cao tần (high-pass).
Biến đổi trở kháng của mạch thông cao tần trong điều kiện không tải:
Góc pha không đổi bằng 90o, một phần đồ thị của biên độ theo tần số ω là đường thẳng tương tự như đồ thị của ωL theo ω (xem hình 7–8)
Nếu thay đổi vị trí của R và L ta sẽ được mạch thông thấp tần (hình 7–9) Với điều kiện không tải:
Hàm điện áp H và góc pha θ H được xác định bởi công thức H = tan⁻¹(-ω/ωx), với đồ thị biên độ và góc pha được minh họa trong hình 7–10 Khi tần số cao, giá trị điện áp đạt bằng không, và khi tần số ω = 0, giá trị này đạt một Do đó, mạch này được gọi là mạch thông thấp tần (low-pass).
Để xác định tính chất thông cao tần và thấp tần của mạch hai phần tử RC, ta xem xét ví dụ từ hình 7–10 Cần xác định hàm biến đổi điện áp H v∞ từ mạch hở trong hình 7–11 Câu hỏi đặt ra là với tần số nào thì hàm biến đổi điện áp đạt giá trị 1/2, khi C2 lần lượt là 10nF và 1nF.
So sánh hai kết quả (a) và (b) ta thấy khi giá trị C 2 lớn hơn thì tần số để
Hệ số H giảm xuống còn 0,707, nhỏ hơn 1/2, như thể hiện trong hình 7–10, cho thấy đồ thị dịch về phía trái Việc thêm tụ điện vào mạch song song với C2 dẫn đến việc giảm đáp ứng của mạch.
Tần số ω được xác định khi H v 0,707H v max, được gọi là tần số "nửa công suất" (half power frequency) Trong trường hợp này, công suất vào của mạch hình 7–11 đạt một nửa công suất cực đại.
Trong các mạch điện có hàm biến đổi không phải hằng số, H(ω) đạt giá trị tối đa tại tần số tới hạn ω x Tần số tại đó H v (ω) = 0,707H v (ω x) được gọi là tần số nửa công suất, tương ứng với 50% công suất Hầu hết các mạch sẽ có hai điểm nửa công suất, một dưới và một trên tần số tới hạn, được gọi là điểm nửa công suất dưới và trên Khoảng cách giữa hai điểm này được xác định là độ rộng dải tần xung quanh tần số tới hạn.
7.1.4 T ổ ng quát hóa m ạ ch hai c ử a hai ph ầ n t ử
Mạch điện có thể được tổng quát hóa bằng các trở kháng Z1 và Z2, trong đó trở kháng tải ZL được kết nối vào cổng ra của mạch.
Theo điều kiện phân áp:
Trong đó: Z ' Z 2 Z L /(Z 2 Z L ) là trở kháng tương đương của Z 2 và Z L song song Các hàm biến đổi khác của mạch được trình bày trong bảng 7–1
Mạch lọc
7.2.1 M ạ ch l ọc lý tưở ng và m ạ ch l ọ c th ự c t ế Ở dạng tổng quát, mạng điện nói chung đều chọn lọc tần số Bộ lọc là một loại mạng được thiết kế đặc biệt để chọn tần số theo đặc tính nhất định Bộ lọc cho những tần số nhất định qua (pass–band) và chặn những tần số khác (stop– band) Một cách lý tưởng, trong phạm vi cho qua (pass–band), H(jω) = 1 và trong phạm vi chặn (stop–band) H(jω) = 0 Như vậy có thể nhận biết và phân loại các bộ lọc sau: tần số thấp (low pass) hình 7–15a; tần số cao (high–pass) hình 7–15b; dải tần qua (band–pass) hình 7–15c và dải tần chặn (band–stop) hình 7–15d Bộ lọc lý tưởng không thực hiện được trong điều kiện thực tế, nhưng chúng ta có thể thực hiện theo ý muốn các bộ lọc gần như bộ lọc lý tưởng Bộ lọc có đặc tính càng gần như lý tưởng thì mạng càng phức hợp
Mạch lọc RC hoặc RL được phân loại là mạch lọc bậc một, tuy nhiên, chúng có đặc tính không hoàn hảo Ví dụ, đáp ứng tần số của mạch có thể gần đạt được đặc tính lý tưởng nếu tăng bậc của mạch lọc.
Ví dụ: Ba mạch có hàm biến đổi H 1 , H 2 và H 3 được cho dưới đây:
Xác định biên độ đáp ứng tần số của các mạch Chứng minh các mạch đều là lọc thấp tần và có tần số nửa biên độ tại ω0 = 1
Cả ba hàm biến đổi tại các tần số ω = 0, 1 và ∞ cho thấy biên độ H 1 2 lần lượt là 1, 1/2 và 0, chứng tỏ rằng chúng đều là mạch thông thấp tần với tần số nửa công suất ω0 = 1 Các mạch này lần lượt là lọc bậc một, bậc hai và bậc ba, trong đó mạch lọc bậc cao hơn sẽ có đường cắt miền đáp ứng tần số sắc nét hơn.
7.2.2 M ạ ch l ọ c th ụ độ ng và ch ủ độ ng
Mạch lọc thụ động chỉ bao gồm các phần tử điện trở, điện cảm và tụ điện, trong khi mạch lọc chủ động có thêm phần tử nguồn phụ thuộc.
Mạch lọc thụ động không yêu cầu nguồn bên ngoài và có độ dài lớn hơn, trong khi mạch lọc chủ động thường bao gồm phần tử RC và khuếch đại Hình 7–16a minh họa mạch lọc thụ động bậc hai thông thấp tần, còn hình 7–16b thể hiện mạch lọc chủ động với đáp ứng tần số V2/V1 tương đương với mạch trong hình 7–16a.
Ví dụ: Tìm hàm biến đổi điện áp V 2/V 1 của mạch ở hình 7–16a và 7–16b Trong hình 7–16a ta xác định hàm biến đổi điện áp theo qui tắc phân áp
Trong hình 7–16b, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút A và B (với V B = V 2)
Khử V A từ phương trình 7–6a và 7–6b, hàm biến đổi mạch H(s) = V 2/V 1 được xác định:
Hai mạch điện trong hình 7–6a và 7–6b có cùng hàm biến đổi và đều là mạch lọc bậc hai thông thấp Cả hai mạch này có tần số nửa công suất giống nhau, đạt giá trị ω = 1 rad/s.
7.2.3 B ộ l ọ c thông d ả i t ầ n và c ộng hưở ng
Hàm biến đổi mạch sau đây được gọi là hàm thông dải tần (band–pass) b a k
Bộ lọc thông dải tần được thiết kế đặc biệt cho các cực là số phức gần trục jω và cách xa gốc tọa độ phức Đáp ứng của mạch lọc này được xác định thông qua một biểu thức cụ thể.
Biên độ đáp ứng lớn nhất H đạt được khi b² = 0, hay khi ω = b, được gọi là tần số trung tâm ω0 Tại tần số này, đáp ứng H max = H(ω0) = k/a Tần số nửa công suất ωl và ωh được xác định từ các công thức liên quan.
H l h (7–9a) Áp dụng các biểu thức 7–8 và 7–9a, ta tìm được ω l và ω h là nghiệm của phương trình:
Từ các biểu thức 7–9c và 7–9d, ta có: l a h
và h l b 0 2 (7–10a) Dải tần thông β được định nghĩa: l a h
Hệ số chất lượng Q được định nghĩa: a b
Hệ số chất lượng đo độ sắc nét của dạng đáp ứng tần số quanh tần số trung tâm, một hiện tượng được gọi là cộng hưởng Khi hệ số chất lượng cao, các tần số ω l và ω h có thể được tính gần đúng theo công thức 0 /2.
Ví dụ: Xét hàm biến đổi mạch 2 6
(a) Hãy xác định tần số trung tâm, tần số nửa công suất thấp và cao, dải tần thấp và hệ số chất lượng
(b) Cũng hỏi như trên nhưng với hàm 2 6
(a): Tần số trung tâm: 0 b 10 6 1000rad/s
Tần số nửa công suất:
(b): Tần số trung tâm: 0 1000rad/s
Tần số nửa công suất: l 30 2 /410 6 30/2985,1 rad/s
Các tần số ω l và ω h có thể tính gần đúng với độc chính xác tương đối cao:
Mẫu số của biểu thức 7–7 có thể viết dưới dạng:
Trong đó: 0 b được gọi là tần số tự nhiên và a/2 b được gọi là hệ số tắt dần
Khi ξ > 1, mạch có hai cực riêng biệt trên trục thực âm, được gọi là đáp ứng xung tắt dần Nếu ξ = 1, mạch có một cực thực kép tại –ω0, gọi là đáp ứng tắt dần tới hạn Trong trường hợp ξ < 1, mạch xuất hiện hai cực phức tại 0 j 0 1 2 và 0 j 0 1 2, với vị trí nằm trên nửa vòng tròn ở nửa trái mặt phẳng tọa độ phức, có bán kính ω0 Các cực phức này tạo thành góc với trục thực, được xác định bởi công thức sin 1 Mạch có đáp ứng dưới tắt dần, đồng thời có thành phần dao động, với hệ số tắt dần bằng một nửa giá trị nghịch đảo của hệ số chất lượng.
Cộng hưởng
7.3.1 M ạ ch RLC n ố i ti ế p, c ộng hưở ng n ố i ti ế p
Mạch RLC nối tiếp như trong hình 7–18 trong điều kiện hở mạch, trở kháng vào:
Mạch điện trong trạng thái cộng hưởng nối tiếp (hoặc công hưởng trở kháng thấp) khi Z in () là số thực (và Z in () có giá trị nhỏ nhất) có nghĩa:
Mạch RLC nối tiếp thể hiện đáp ứng tần số với biên độ tỉ lệ nghịch với tần số ở phạm vi tần số thấp khi dung kháng lớn hơn Ngược lại, khi cảm kháng lớn hơn ở phạm vi tần số cao, biên độ tỉ lệ với tần số Tại tần số nhỏ hơn ω0, mạch có thuần phản kháng là dung kháng và góc của Z in là âm Trong khi đó, tại tần số lớn hơn ω0, mạch có tính chất điện cảm và góc của Z in sẽ dương.
Hàm biến đổi điện áp của mạch được xác định theo qui tắc phân áp
Đáp ứng tần số chỉ xét đến biên độ được thể hiện trong hình 7–20, là nghịch đảo của đồ thị hình 7–19a Trạng thái chặn xuất hiện ở cả tần số thấp hơn và cao hơn tần số cộng hưởng ω0 Điểm nửa công suất, tại đó đáp ứng biên độ đạt 0,707, xảy ra tại tần số ω l và ω h.
Dải tần thông là độ rộng giữa các tần số ω l và ω h
Hệ số chất lượng, Q 0 L/R có thể xác định từ trạng thái cộng hưởng mạch RLC nối tiếp
Tần số nửa công suất được xác định theo biểu thức từ các phần tử của mạch hoặc ω 0 và Q0 như dưới đây:
Biểu thức dải tần thông cho thấy, dải tần càng hẹp khi hệ số chất lượng càng cao
Thông qua hệ số chất lượng có thể đánh giá phần tử hoặc mức độ hoàn thiện của mạch Hệ số chất lượng được định nghĩa:
Q = 2π ( năng lượng tích lũy lớn nhất năng lượng trao đổi trong chu kỳ )
Hệ số chất lượng là đại lượng không đơn vị, có thể xác định theo các biểu thức ở phần 7.2.3 và 7.3.1
Cuộn cảm thực tế được mô hình hóa bằng điện trở R nối tiếp điện cảm L
(hình 7–21) Năng lượng tích trữ lớn nhất: max 2
1LI và năng lượng trao đổi trong chu kỳ:
Từ đó, hệ số chất lượng của cuộn cảm:
Tụ điện thực tế cũng được mô hình hóa bằng điện dung C song song với điện trở R (hình 7–22) Năng lượng tích trữ lớn nhất max 2
1CV và năng lượng trao đổi trong một chu kỳ V max 2 /R, từ đó:
Hệ số chất lượng của mạch RLC nối tiếp được phân tích trong mục 7.3.1, thường được xem xét trong trạng thái công hưởng Biểu thức của hệ số chất lượng được xác định trong bối cảnh này.
7.3.2 M ạ ch RLC song song, c ộng hưở ng song song
Mạch RLC song song như trong hình 7–23 Xem xét hàm biến đổi điện áp V2/V1 với điều kiện hở mạch, dẫn nạp vào sẽ bằng:
Mạch điện có trạng thái cộng hưởng (hoặc cộng hưởng trở kháng cao) khi )
Y in hoặc tương đương Z in ()là số thực (Y in () đạt giá trị nhỏ nhất, Z in () đạt giá trị lớn nhất) khi:
Kí hiệu ωa đại diện cho giá trị 1/LC trong trường hợp công hưởng trở kháng cao Mạch phức hợp nối tiếp và song song có thể xuất hiện nhiều tần số công hưởng trở kháng cao ωa, cùng với một số tần số cộng hưởng trở kháng thấp ω0.
Trở kháng vào của mạch song song:
Z Đồ thị đáp ứng (chỉ biên độ) được vẽ trong hình 7–24 Tần số nửa công suất ω l và ω h được thể hiện trên đồ thị
Tương tự với mạch RLC nối tiếp cộng hưởng, dải tần thông được xác định theo biểu thức: a a
Hệ số chất lượng Qa tại ω = ωa:
7.3.3 M ạ ch c ộng hưở ng LC song song th ự c t ế
Mạch LC song song được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng tần số của kỹ thuật điện tử, chẳng hạn như bộ thu sóng theo tần số Trong mạch này, tụ điện thường được xem như thuần điện dung C, trong khi tổn thất của cuộn cảm cũng được tính đến Sơ đồ thực tế của mạch giúp minh họa cách thức hoạt động của nó.
LC được mô tả trong hình 7–25
Trở kháng vào được xác định:
Tần số cộng hưởng ωa, được xác định từ biểu thức:
Tại tần số cộng hưởng ωa,
Y và hệ số chất lượng Qa
Nếu Qind > 10 thì a 1/ LC và ( ) 2 ind a in Q
Đáp ứng tần số trong mạch RLC song song cho thấy rằng cộng hưởng trở kháng cao đạt được ở tần số thấp hơn, đặc biệt là đối với các mạch có hệ số chất lượng (Qind) thấp.
Và tần số cộng hưởng được xác định theo biểu thức:
7.3.4 Bi ến đổi tương đương nố i ti ế p – song song
Phân tích đáp ứng của mạch điện thường thuận lợi hơn khi chuyển đổi mạch RL nối tiếp sang dạng RL song song Để xác định các phần tử của mạch song song Rp và Lp, cần có các giá trị Rs, Ls và tần số làm việc ω của mạch nối tiếp, dựa trên điều kiện biến đổi tương đương dẫn nạp.
Kết quả biến đổi tương đương:
Khi Qs > 10, ta có Rp ≈ Rs Qs² và Lp ≈ Ls Đối với mạch RC, việc chuyển đổi tương đương được thực hiện để thuận lợi cho việc phân tích đáp ứng, có thể sử dụng trở kháng hoặc dẫn nạp tương đương (hình 7–27).
Biến đổi song song → nối tiếp
Biến đổi nối tiếp → song song
Với cả hai biến đổi của mạch RC, biểu thức tương đương đều phụ thuộc vào tần số làm việc
Trước đây, việc đáp ứng tần số của mạch điện thường được thể hiện qua các đồ thị riêng biệt về biên độ và góc pha theo tần số ω Tuy nhiên, thông tin này có thể được tổng hợp trên một đồ thị Locus trong hệ tọa độ phức, thể hiện quỹ đạo của hàm biến đổi mạch điện khi tần số ω thay đổi từ 0 đến ∞ Phần này sẽ trình bày đồ thị Locus cho trở kháng vào hoặc dẫn nạp vào, trong đó biến số có thể là điện trở R thay vì tần số Đối với mạch RL nối tiếp, đồ thị Locus Z khi ωL cố định và R biến thiên được mô tả trong hình 7–28a; hình 7–28b thể hiện đồ thị Locus của Z khi R cố định và L hoặc ω biến thiên; còn hình 7–28c là đồ thị Locus của Y khi R cố định và L hoặc ω biến thiên, được xác định từ phương trình cụ thể.
Để xác định nửa vùng tròn Locus với tâm tại R và bán kính R, cần xem xét một số điểm khác Các đồ thị hình 7–28b và 7–28c cung cấp thông tin về đáp ứng tần số của mạch điện Đối với mạch RC song song, đồ thị Locus của Y và Z được trình bày trong hình 7–29a và b, được xác định từ phương trình cụ thể.
Hình 7–29 Đối với mạch RLC nối tiếp, đồ thị Locus của Y với biến số ω được xác định dựa trên các phương trình:
Cả G và B đều phụ thuộc vào tần số ω thông qua X Loại bỏ X từ hai phương trình trên ta được:
G R Đồ thị Locus của Y theo G và B trên hình 7–30 Lưu ý các điểm trên đồ thị tương ứng với l ; 0 ; h
Các mạch dao động thực tế thường có cấu trúc bao gồm nhánh C và nhánh RL song song Đồ thị Locus Y của mạch được xác định từ sự kết hợp giữa đồ thị Locus của nhánh C và nhánh RL Sự biểu diễn này cho thấy các điểm tương ứng với tần số.
được đánh dấu trên cả hai đồ thị thành phần và đồ thị tổng, như trong hình 7–31c
Trên đồ thị ta thấy
Y min có tần số cao hơn ωa, dẫn đến việc cộng hưởng có trở kháng cao nhưng không đạt cực đại Hiện tượng này xuất phát từ sự thay đổi của G theo ω, và bất kỳ biến thiên nào của G đều có ảnh hưởng đến quá trình này.
Khi B = 0, không đảm bảo rằng G² + B² đạt giá trị nhỏ nhất Sự phân tách giữa tần số cộng hưởng và tần số dẫn nạp cực tiểu phụ thuộc vào công suất phản kháng của cuộn dây Với công suất phản kháng Qind lớn, giá trị R sẽ nhỏ, theo đồ thị trong hình 7–31b, điện trở nhỏ nửa vòng tròn sẽ có kích thước lớn hơn, dẫn đến tần số ωa cao hơn và tần số dẫn nạp cực tiểu nhỏ hơn Khi Qind > 10, hai tần số này có thể trùng nhau.
Trong trường hợp mạch điện có hai nhánh RC và RL, như hình 7–32a, có thể xem xét việc tăng cường dẫn nạp cho cả hai nhánh khi áp dụng giá trị điện áp cố định.
Điện dung của tụ biến thiên không giới hạn trong khi các tham số R1, R2, L và ω là hằng số Dòng điện IL được cố định như trong hình 7–32b Nửa vòng tròn đồ thị Locus của IC được bổ sung thêm thành phần IL, dẫn đến việc tạo ra đồ thị Locus của IT.
Khái niệm và thông số mạng hai cửa
Trong mạng hai cực, điện áp cực liên quan đến dòng điện qua công thức Z = V/I Ngược lại, trong mạng bốn cực, mỗi cặp cực được kết nối với các mạch riêng biệt, dẫn đến bốn thông số mạch i1, i2, v1, v2 liên quan qua hai phương trình gọi là đặc tính cực Hai phương trình này cung cấp đủ thông tin để xác định tất cả bốn thông số mạch.
Bộ số Z của mạch hai cửa với các phần tử tuyến tính và nguồn phụ thuộc có thể viết trong miền phức:
Hệ số Z ij là đại lượng đo trở kháng, được biết đến với tên gọi bộ số Z của mạch hai cửa Bộ số Z, hay còn gọi là trở kháng hở mạch, có thể được xác định tại một cửa trong khi cửa còn lại ở trạng thái hở mạch.
Ví dụ: Tìm bộ số Z của mạch hai cửa trong hình 8–2
Hình 8–2 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho hai vòng kín với các dòng điện I1 và I2:
So sánh 8–1 và 8–3, ta được: s
Mạch tương hỗ và không tương hỗ
Mạch hai cửa được gọi là tương hỗ khi trở kháng chuyển đổi hở mạch bằng nhau, tức là Z12 = Z21 Trong mạch tương hỗ, khi dòng điện I được cấp cho một cửa, điện áp hở mạch trên cửa còn lại sẽ giữ nguyên nếu ta thay đổi cửa cấp dòng Công thức điện áp được biểu diễn là V = Z12 I = Z21 I Các mạch chứa điện trở, cuộn cảm và tụ điện thường là mạch tương hỗ, trong khi mạch có nguồn phụ thuộc thường không được coi là tương hỗ.
Ví dụ: Mạch hai cửa trên hình 8–3 có nguồn áp phụ thuộc dòng Hãy xác định bộ số Z
Hình 8–3 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho hai vòng:
Rõ ràng Z 12 Z 21 mạch không tương hỗ
8.1.2 M ạch T tương đương củ a m ạ ch hai c ử a tương hỗ
Mạch tương hỗ có thể được mô hình hóa dưới dạng mạch T, như thể hiện trong hình 8–4 Các trở kháng Za, Zb và Zc được xác định dựa trên trở kháng của bộ số Z.
Xác định bộ số Z từ mạch T (hình 8–4)
So sánh với phương trình bộ số Z, ta có: c b c c a
8.1.3 B ộ s ố Y Đặc tính cực cũng có thể được viết dưới dạng dòng điện I 1 và I 2 theo các biểu thức của điện áp V 1 và V 2
Phần tử Y ij, với đơn vị dẫn nạp, được gọi là bộ số Y hay bộ số dẫn nạp ngắn mạch Nó được xác định từ dòng điện một cửa khi cửa còn lại được ngắn mạch.
Ví dụ: Xác định bộ số Y của mạch hình 8–5
Gọi các dẫn nạp của các nhánh lần lượt là Ya, Yb và Yc ta có mạch điện theo dẫn nạp hình 8–6
Hình 8–6 Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho mạch điện hình 8–6
So sánh 8–9 và 8–12 ta được: c b c c a
(8–13) Thay các giá trị Y a, Y b và Y c vào biểu thức 8–13, ta có bộ số Y
Với Y 12 = Y 21 mạch hai cửa tương hỗ
8.1.4 M ạch π tương đương củ a m ạ ch hai c ử a tương hỗ
Mạch tương hỗ có thể được mô hình hóa bằng mạch pi tương đương, bao gồm ba phần tử như trong hình 8–6 Các phần tử này có thể được xác định từ bộ số Y hoặc ngược lại.
Bốn thông số của mạch hai cửa I1, I2, V1 và V2 được mô tả bằng hai phương trình (8–1 hoặc 8–9) Khi kết nối mạch hai cửa với các phần tử khác, có thể thêm hai phương trình nữa Nhờ vào bốn phương trình này, ta có thể xác định cả bốn thông số mà không cần biết cấu trúc bên trong của mạch hai cửa.
Ví dụ: Mạch hai cửa có bộ số Z: Z 11 2s1/s; Z 12 Z 21 2s; 4
Z , được nối với nguồn và tải như trong hình 8–8 Hãy xác định I 1, I 2,
Phương trình cơ bản của bộ số Z:
Véc tơ nguồn áp v s(t) là V s = 12 với s = j (ω =1), áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho hai vòng, ta được thêm hai phương trình:
Thay s = j và V s = 12 vào các phương trình ta được hệ:
Giải hệ phương trình ta được: o o o o
Bộ số Y có thể được tính từ bộ số Z thông qua việc giải phương trình đặc trưng của bộ số Z để tìm I1 và I2 theo V1 và V2 Bằng cách áp dụng công thức Cramer cho phương trình 8–1, chúng ta sẽ thu được kết quả cần thiết.
Trong đó: D ZZ Z 11 Z 22 Z 12 Z 21 là định thức của ma trận hệ số 8–1 So sánh 8–19 và 8–9 ta được:
(8–20) Để xác định bộ số Y từ bộ số Z, định thức D zz phải khác không Tương tự có thể xác định bộ số Z từ bộ số Y:
Trong đó: D YY Y 11 Y 22 Y 21 Y 12 định thức của ma trận hệ số phương trình 8–9 Để xác định được bộ số Z từ bộ số Y, định thức D YY phải khác không
Ví dụ: Xác định bộ số Z từ bộ số Y trong sơ đồ 8–5:
D YY s thay vào 8–21 tìm được:
Một số mạch hai cửa hoặc mạch điện tử, phương trình đặc trưng cho các cực thường dùng ở dạng hỗn hợp dòng áp, ví dụ:
Trong đó: h ij – các hệ số của phương trình ma trận 8–23, được gọi là bộ số lai h (bộ số h)
Ví dụ: Tìm bộ số lai cho mạch điện hình 8–9 Đây là mạch điện đơn giản của BJT ở vùng làm việc tỉ lệ tuyến tính
Do đó tại các cực của mạch ta có phương trình sau:
So sánh với phương trình của bộ số h:
Một số mạch điện – điện tử có thể sử dụng phương trình hồn hợp theo phương án khác:
Trong đó: g ij – hệ số của phương trình ma trận 8–26, được gọi là bộ số lai đảo (bộ số g)
Ví dụ: Xác định bộ số g của mạch điện hình 8–10
Hình 8–10 Đây là mạch đơn giản của Mosfet trong vùng làm việc tỉ lệ tuyến tính Áp dụng định luật Kirchhoff cho các cửa:
So sánh với hệ phương trình bộ số g:
Bộ số T, bao gồm các thành phần A, B, C và D, thể hiện mối quan hệ giữa các thông số nguồn V1 và I1, trong khi vẫn giữ nguyên các thông số tải V2 và I2.
Ví dụ: Tìm bộ số T của mạch điện hình 8–11
Hình 8–11 Đây là sơ đồ đơn giản của đường dây truyền tải điện Từ hệ phương trình 8–29 ta có:
Kết nối các mạch hai cửa
Mạch hai cửa có thể được kết nối theo ba phương án chính: nối tiếp, song song hoặc lai, tạo ra một mạch hai cửa mới Mỗi phương án kết nối sẽ sử dụng một bộ số phù hợp hơn so với các bộ số khác để mô tả mạch mới này.
Hình 8–12 minh họa hai mạch hai cửa được tạo thành từ hai mạch a và b kết nối nối tiếp Mỗi mạch a và b có bộ số trở kháng hở mạch tương ứng là Z a và Z b Bộ số Z của mạch hai cửa mới được xác định từ sự kết hợp của hai bộ số Z a và Z b theo biểu thức cụ thể.
Hình 8–13 minh họa mạch hai cửa được tạo thành từ hai mạch hai cửa kết nối song song với các bộ số dẫn nạp ngắn mạch Y tương ứng là Ya và Yb Trong trường hợp này, việc sử dụng bộ số Y là thuận tiện nhất, và bộ số Y của mạch mới sẽ được tính toán dựa trên các bộ số Y của các mạch kết nối theo biểu thức: b a b a b a b a.
Kết nối xâu chuỗi giữa hai mạch hai cửa a và b được mô tả trong hình 8–
14 Trường hợp này sử dụng bộ số truyền tải T là phù hợp hơn cả và bô số T của mạch hai cửa mới được tính từ các bộ số T của mạch a và b theo biểu thức: b a b a b a b a b a b a b a b a
Việc lựa chọn bộ số phù hợp để mô tả mạch hai cửa phụ thuộc vào cấu trúc và các thành phần trong mạch Trong một số trường hợp, không thể sử dụng một bộ số nhất định để mô tả mạch do sự tương đương giữa các bộ số Z và Y Cụ thể, nếu bộ số Z có D ZZ = 0, thì không tồn tại bộ số Y nào có thể mô tả mạch; tương tự, nếu bộ số Y có D YY = 0, thì cũng không có bộ số Z khả thi.
Z mô tả mạch loại này
Ví dụ: Xác định bộ số Z và Y của mạch trong hình 8–15
Hình 8–15 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho các vòng ở cửa vào và cửa ra của mạch:
So sánh với hệ phương trình bộ số Z:
Z ; Z 12 3; Z 21 10; Z 22 5 Chuyển đổi tương đương sang bộ số Y không thể thực hiện được do định thức D ZZ 6.53.100
Như vậy mạch điện trong hình 8–15 chỉ có thể mô tả bằng bộ số Z.
Hỗ cảm
Khái niệm hỗ cảm
Tổng từ thông móc vòng tỷ lệ thuận với dòng điện trong cuộn dây, thể hiện qua công thức = Li Theo định luật Faraday, điện áp trên cuộn cảm được xác định bằng đạo hàm của từ thông móc vòng theo thời gian.
Ldi dt v d Trong đó: hệ số L có đơn vị là H (Henri) được gọi là hệ số tự cảm
Hai điện cảm gần nhau tạo ra cặp tương tác từ thông, hay còn gọi là hỗ cảm, với sự phụ thuộc vào khoảng cách và chiều dòng điện Sự tương tác này có thể làm tăng hoặc giảm điện áp trên các cuộn dây Hơn nữa, lõi thép của cuộn cảm cũng ảnh hưởng đến khả năng tương tác; nếu lõi được làm từ thép mềm, từ thông móc vòng sẽ tăng lên, dẫn đến sự tương tác mạnh mẽ hơn giữa các điện cảm.
Khi xác định điện áp giữa các cực của cuộn dây trong cặp như hình 9–2, ta nhận thấy rằng từ thông móc vòng của mỗi cuộn dây do dòng điện i1 và i2 tạo ra, cùng với hiện tượng hỗ cảm giữa chúng, là đối xứng.
Trong đó: M – hệ số hỗ cảm (đơn vị H)
Hình 9–2 Điện áp trên các cực được xác định từ đạo hàm của từ thông móc vòng: dt
Cáp cuộn dây là một trường hợp đặc biệt của mạch hai cửa, với các thông số cực được thể hiện trong các biểu thức 9–2 Những thông số này có thể được chuyển đổi thành phương trình trong miền tần số và miền phức.
Phương trình trong miền tần số 9–3 được áp dụng để phân tích mạch của các đại lượng sin trong chế độ xác lập Trong khi đó, phương trình trong miền phức 9–4 cho phép phân tích mạch trong chế độ quá độ thông qua tần số phức s.
Ví dụ: Cho L 1 = 0,1H; L2 = 0,5H; i 1 (t)i 2 (t)sint Hãy xác định các điện áp v 1 (t);v 2 (t) với các hệ số hỗ cảm: M = 0,01H; M = 0,2 và M = – 0,2
Với M = 0,01: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,01cos 0,11cos V t t t t v 2 ( )0,01cos 0,5cos 0,51cos V Với M = 0,2: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,2cos 0,3cos V t t t t v 2 ( )0,2cos 0,5cos 0,7cos V
Với M = – 0,2: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,2cos 0,1cos V t t t t v 2 ( )0,2cos 0,5cos 0,3cos V
Một cuộn dây có N vòng với từ thông mỗi vòng ϕ sẽ có tổng từ thông là = Nϕ Theo định luật Faraday, sức điện động (điện áp) gây ra trong cuộn dây được tính bằng e = d/dt = N(dϕ/dt) Theo định nghĩa, tự cảm được xác định bằng công thức điện áp L(di/dt).
(9–5a) Đợn vị của ϕ là weber, trong đó 1 Wb = 1 V.s, xuất phát từ 1H = 1Wb/A Trong giáo trình này ta chấp nhận từ thông ϕ và dòng điện i tỉ lệ với nhau:
Trong hình 9–3, từ thông tổng ϕ 1 được tạo ra bởi dòng điện i 1 trong cuộn dây N1, bao gồm từ thông rò ϕ 11 và từ thông liên kết ϕ 12 Sức điện động emf sinh ra do hiệu ứng cặp cuộn dây được xác định bằng N 2 (dϕ 12 /dt), đồng thời cũng là điện áp thể hiện qua hệ số hỗ cảm.
Hệ số cặp hỗ cảm k, được định nghĩa bằng tỉ số giữa từ thông liên kết
(khép mạch qua cuộn khác) và từ thông tổng
Nhân hai vế các biểu thức 9–6 và 9–7 với giả thiết k chỉ phụ thuộc vào kết cấu hình học của hệ thống hai cuộn dây:
Từ biểu thức 9–8, ta thấy M L 1 L 2
Nếu tất cả các từ thông liên kết với cuộn dây không có thành phần rò, hệ số k sẽ bằng 1 Trục của cuộn dây có thể được bố trí sao cho từ thông không gây điện áp trên cuộn thứ hai, lúc này k sẽ bằng 0 Khái niệm cặp hỗ cảm gần giữa hai cuộn dây mô tả trường hợp phần lớn từ thông khép mạch qua cả hai cuộn, tức là từ trường của cuộn dây chứa các từ thông khác nhau khép mạch qua các vòng dây giữa hai cuộn Hai cuộn dây đặt cạnh nhau mà không có lõi thường sẽ mất đi tính chất cặp hỗ cảm, dẫn đến hệ số k rất nhỏ.
Cực tính cặp hỗ cảm
Hình 9–4 minh họa hai cuộn dây có lõi chung, tạo thành mạch dẫn từ thông ϕ Bố trí này hình thành cặp hỗ cảm gần, như đã được trình bày trong phần trước.
Để xác định cực tính điện áp hỗ cảm, áp dụng quy tắc bàn tay phải cho mỗi cuộn: các ngón tay nắm lại theo chiều dòng điện, ngón tay cái chỉ chiều của từ thông Khi các từ thông cùng chiều, điện áp hỗ cảm cùng dấu với điện áp tự cảm, thể hiện qua dấu cộng trong các phương trình 9–2 và 9–3 Ngược lại, khi từ thông ϕ 1 và ϕ 2 ngược chiều nhau, các phương trình 9–2 và 9–3 sẽ có dấu trừ.
Chiều tự nhiên của dòng điện
Trong điều kiện vòng thứ hai là thụ động, nguồn áp v1 tạo ra dòng điện i1, dẫn đến từ thông cuộn ϕ1 có chiều xác định Theo định luật cảm ứng điện từ, khi mạch vòng thứ hai khép kín, sẽ xuất hiện dòng điện theo chiều ngược lại với từ thông ϕ1 Khi công tắc đóng, từ thông ϕ2 sẽ có hướng tương ứng, và theo qui tắc tay phải, chiều từ thông ϕ2 sẽ giúp xác định chiều tự nhiên của dòng điện i2 Điện áp cảm ứng sẽ là nguồn áp tạo ra dòng điện cho mạch vòng này.
6, điện áp này luôn có mặc dù mạch vòng có khép kín hay không Khi công tắc đóng, dòng điện i 2 xuất hiện với chiều như trong hình
Giả sử công tắc của mạch vòng thụ động được đóng tại thời điểm t = 0 với i1 = 0 Từ thời điểm t > 0, các thành phần của mạch thụ động được minh họa trong hình 9-6.
Phương trình định luật Kirchhoff về áp cho vòng thụ động:
Phương trình cho vòng chủ động (có nguồn):
Nếu viết các phương trình trên trong miền phức với điều kiện đầu i 1 = 0 và i 2 = 0 và loại bỏ I 1(s), ta được:
L L Đáp ứng của mạch với kích thích v 1:
Tần số đáp ứng tự nhiên của i 2, xác định được từ các cực của H
Dấu của điện áp hỗ cảm có thể xác định dựa vào chiều các cuộn dây, như minh họa trong các hình 9–4 và 9–5 Tuy nhiên, trên các mạch điện thường không thể hiện chiều cuộn dây Để đơn giản hóa việc xác định dấu, các cuộn dây được ký hiệu bằng dấu chấm ở một cực có giá trị cực tính giống nhau.
Để xác định dấu chầm trên các cực của cặp hỗ cảm, trước tiên, hãy chọn chiều dòng điện tại một cuộn và đánh dấu nơi dòng điện vào cuộn dây Sử dụng qui tắc tay phải để xác định chiều từ thông (hình 9–7a), trong đó chiều từ thông của cuộn thứ hai sẽ ngược lại Tiếp theo, áp dụng qui tắc tay phải để xác định chiều dòng điện trong cuộn thứ hai và đánh dấu tại cực dòng điện rời khỏi cuộn dây (hình 9–7b) Cực này sẽ cùng dương với cực ở cuộn dây thứ nhất, nơi dòng điện đi vào Với cực tính của cặp hỗ cảm, các cuộn dây không còn cần thể hiện chiều quấn như trong hình 9–7c Các qui tắc đánh dấu sau đây có thể được sử dụng.
Khi cả hai dòng điện cùng đi vào hoặc ra khỏi hai cuộn dây tại cực có dấu chấm, dấu của phần liên quan đến M sẽ cùng dấu với phần liên quan đến L.
Máy biến áp
9.2.1 Máy bi ế n áp tuy ế n tính
Máy biến áp là thiết bị điện hoạt động dựa trên nguyên lý cặp hỗ cảm giữa hai hoặc nhiều mạch điện Máy biến áp lõi thép sử dụng mạch từ làm từ thép đặc biệt để tối ưu hóa hiệu ứng cặp hỗ cảm Trong khi đó, máy biến áp lõi không khí thường được áp dụng trong các thiết bị điện tử và vô tuyến Một loại máy biến áp khác có cấu trúc cuộn dây bao quanh cuộn còn lại, với lõi di động bằng vật liệu từ, cho phép thay đổi hệ số cặp hỗ cảm Đặc biệt, đối với máy biến áp lõi thép, độ từ thẩm tương đối μ của thép được giả định không đổi trong phạm vi điện áp và dòng điện làm việc Thông thường, máy biến áp có hai cuộn dây, nhưng cũng có những trường hợp hiếm gặp với ba cuộn dây trở lên.
Trong hình 9–9, cuộn dây sơ cấp có N1 vòng kết nối với nguồn áp V1, trong khi cuộn dây thứ cấp có N2 vòng kết nối với trở kháng tải ZL Điện trở của các cuộn dây được ký hiệu là R1 và R2 Dòng điện I2 tạo ra từ thông tổng hợp 2 = 21 + 22, trong khi dòng điện I1 tạo ra từ thông tổng hợp 1 = 12 + 11 Hệ số cặp hỗ cảm k ảnh hưởng đến từ thông rò của mỗi cuộn dây.
k 22 (1k) 2 Tương ứng với từ thông rò, điện cảm rò có thể được xác định theo tự cảm:
Do đó trở kháng rò:
Có thể thấy rằng điện cảm của cuông dây có N vòng tỉ lệ thuận với N 2 Từ đó hai cuộn dây máy biến áp có chung lõi, nên:
Từ thông chung của hai cuộn dây trong hình 9–9 chính là từ thông hỗ cảm
m Từ thông này tạo ra các sđđ emf thoe định luật Faraday dt
Nếu gọi tỉ số vòng dây
N a N , ta có thể suy ra phương trình cơ bản của máy biến áp: e a e
Quan hệ giữa từ thông hỗ cảm và điện cảm có thể thực hiện phân tích sức điện động cảm ứng trong cuộn dây thứ hai như sau: dt k
Áp dụng công thức 9–6 và 9–5a, ta có thể viết biểu thức cho sức điện động e2: dt di a
M di dt kL di dt
M di e 2 1 2 2 1 2 Giải hai phương trình 9–8 và 9–10, ta được:
Dòng điện từ hóa được định nghĩa theo phương trình: i a i 1 i 2 hoặc I I
Từ đây ta có: dt
M di e 2 hoặc E 2 jX M I (9–13) Theo công thức 9–13, dòng điện từ hóa được dùng để xác định từ thông hỗ cảm trong lõi thép
Khi sử dụng sức điện động và trở kháng tản của cuộn dây, ta có thể tạo ra sơ đồ tương đương cho máy biến áp tuyến tính Trong sơ đồ này, cuộn thứ nhất và cuộn thứ hai được thể hiện riêng biệt, như minh họa trong hình 9–10a Để so sánh giữa hai cuộn, sơ đồ mạch với các chấm cực tính được áp dụng theo hình 9–10b.
Để vẽ đồ thị véc tơ phức tương ứng với sơ đồ mạch điện hình 9–10a và tính trở kháng vào của máy biến áp, ta sử dụng đồ thị véc tơ trong hình 9–11, trong đó góc θ L biểu thị góc của trở kháng tải Z L Theo công thức 9–13, sức điện động E 1 và E 2 được tạo ra từ dòng từ hóa I ϕ với góc lệch 90 độ Các phương trình cần thiết để vẽ đồ thị véc tơ cũng được trình bày rõ ràng.
Khử Iϕ và I2 từ các phương trình trên
M in jX a R jX jX R a a jX jX
Nếu ta dùng phương trình dòng mắt lưới cho sơ đồ mạch hình 9–10b, ta có trở kháng vào Z in:
9.2.2 Máy bi ến áp lý tưở ng
Máy biến áp lý tưởng là một khái niệm giả tưởng, không có tổn hao và có lõi thép với độ từ thẩm cực lớn, không có thành phần từ thông rò Đối với máy biến áp công suất lớn, tổn hao thường rất nhỏ so với công suất truyền tải, do đó, đặc trưng của biến áp lý tưởng trở nên hữu ích trong thực tế.
Trong hình 9–12, điều kiện không tổn hao có thể được biểu diễn thông qua:
Do không có tổn hao nên:
Và a là số thực nên:
Như vậy trở kháng vào được tính theo biểu thức:
Qui tắc dấu chấm ampe–vòng
Công thức a = N1/N2 dẫn đến N1 I1 = N2 I2, cho thấy số ampe-vòng của cuộn thứ nhất bằng số ampe-vòng của cuộn thứ hai Qui tắc này áp dụng cho cả máy biến áp có nhiều hơn hai cuộn dây Trong biểu thức, dấu dương biểu thị dòng điện vào cực có dấu chấm của cuộn dây, trong khi dấu âm tương ứng với dòng điện vào cực không có dấu chấm Theo qui tắc dấu chấm ampe-vòng, tổng đại số ampe-vòng của tất cả các cuộn dây trong máy biến áp bằng không.
Ví dụ: máy biến áp ba cuộn dây, trong hình 9–13, có số vòng N1 = 20;
N2 = N3 = 10 Hãy xác định dòng điện I1 nêu biết các dòng I 2 1053 o ;
Phương trình ampe–vòng máy biến áp
Máy biến áp tự ngẫu là một thiết bị điện bao gồm một cuộn dây với nhiều cực ra được gắn trên lõi thép từ Một đầu của mạch điện được kết nối với các cực cuối của cuộn dây, trong khi đầu mạch còn lại kết nối với một cực cuối và một trong các cực ra ở giữa cuộn dây.
Theo sơ đồ trên hình 9–14a, tỉ số biến áp được xác định:
Tỉ số biến áp trong trường hợp này lớn hơn so với biến áp lý tưởng có cùng tỉ số vòng dây Dòng điện I1 ở cuộn dây có N1 vòng tạo ra từ thông ϕ1, theo định luật điện từ, dòng điện ở phần dưới cuộn dây sẽ tạo ra từ thông ϕ2 theo hướng ngược lại Do đó, dòng điện In sẽ ra khỏi cuộn dây ở cực ra Tương tự như máy biến áp lý tưởng, máy biến áp tự ngẫu lý tưởng cũng có mối quan hệ công suất phức giữa đầu vào và đầu ra.
Theo sơ đồ mạch: I L I ab I cb
9.2.4 Tr ở kháng qui đổ i v ề đầ u vào
Tải Z2 được kết nối với cuộn thứ hai của máy biến áp, tạo thành trở kháng vào cho máy biến áp Phần trở kháng này được gọi là trở kháng qui đổi về đầu vào của tải Z2 Để tính toán, chúng ta áp dụng phương trình thông số cực của cặp hỗ cảm và định luật Kirchhoff về áp cho mạch vòng thứ hai.
0 sI sI Z sI sI sI
Khử I 2 từ hai phương trình trên, tìm Z 1 V 1 /I 1 s Z s s I
(9–17) Đối với trạng thái ổn định, ta thay s = jω