Giáo trình lý thuyết mạch

Mục lục Chương 1: Khái niệm cơ bản về mạch điện.......................................... 8 1. 1. Đại lượng cơ bản trong mạch điện ............................................ 8 1.1.1. Đại lượng điện và hệ đợn vị SI ............................................... 8 1.1.2. Lực, công và sông suất ........................................................... 9 1.1.3. Điện tích và dòng điện.......................................................... 10 1.1.4. Điện thế................................................................................ 11 1.1.5. Năng lượng và công suất điện............................................... 12 1.1.6. Hằng số và hàm số................................................................ 12 1.2. Phần tử cơ bản của mạch điện.................................................. 12 1.2.1. Phần tử thụ động và tích cực................................................. 12 1.2.2. Quy ước về dấu..................................................................... 13 1.2.3. Quan hệ dòng điện và điện áp............................................... 14 1.2.4. Điện trở R............................................................................. 15 1.2.5.Cuộn cảm L ........................................................................... 16 1.2.6. Tụ điện C.............................................................................. 17 1.2.7. Sơ đồ mạch điện ................................................................... 18 1.2.8. Điện trở phi tuyến................................................................. 18 CHƯƠNG 2: Phương pháp phân tích mạch điện............................... 21 2.1. Định luật mạch điện .................................................................. 21 2.1.1. Định luật Kirchhoff về điện áp.............................................. 21 2.1.2. Định luật Kirchhoff về dòng điện ......................................... 21 2.1.3. Mạch điện các phần tử mắc nối tiếp...................................... 22 2.1.4. Mạch điện các phần tử mắc song song.................................. 23 2.1.5. Điện trở phân (chia) điện áp và phân dòng điện.................... 24 2.2. Phân tích mạch điện .................................................................. 25 2.2.1. Phương pháp dòng nhánh ..................................................... 25 2.2.2. Phương pháp dòng mắt lưới.................................................. 26 2.2.3. Phương pháp ma trận và định thức........................................ 27 2.2.4. Phương pháp điện thế nút ..................................................... 29 2.3. Phân rã mạch điện..................................................................... 30

Khái niệm cơ bản về mạch điện

Đại lượng điện và hệ đợn vị SI

Hệ đơn vị quốc tế (SI) là hệ thống được áp dụng trong toàn bộ cuốn sách này Bảng 1-1 trình bày bốn đại lượng cơ bản cùng với đơn vị tương ứng của chúng Ngoài ra, các đại lượng khác như nhiệt độ (đo bằng kelvin - K), lượng vật chất (đo bằng mol) và mật độ ánh sáng (đo bằng candela - cd) cũng được đề cập, mặc dù không có trong bảng.

Bảng 1-1 Đại lượng Ký hiệu Đơn vị

Tất cả các đại lượng trong phân tích mạch điện đều xuất phát từ 7 đại lượng cơ bản Bảng 1-2 trình bày các đại lượng và ký hiệu thường được sử dụng trong lĩnh vực này.

Bảng 1-2 Đại lượng Ký hiệu Đơn vị

(hệ SI) Viết tắt Điện tích Q, q coulomb C Điện thế V, v vôn V Điện trở R Ohm Ω Điện dẫn G siemen S Điện cảm L henry H Điện dung C fara F

Từ cảm (mật độ từ thông) B tesla T

Hai đại lượng bổ sung trong phân tích mạch bao gồm góc phẳng (góc pha) và góc khối, với đơn vị đo trong hệ SI là radian (rad) và steradian (sr) Đơn vị "độ" thường được sử dụng để biểu diễn góc pha trong các đại lượng sin, ví dụ như sin(ωt + 30°), trong đó ωt được đo bằng radian, còn ωt + 30° được gọi là đơn vị hỗn hợp.

Bội số và ước số của đơn vị hệ SI được trình bày trong bảng 1-3

Tên gọi Hệ số nhân Viết tắt

Ví dụ: mV là ký hiệu viết tắt của millivolt bằng 10 -3 V, và MW là của đơn vị megawatt bằng 10 6 W.

Lực, công và sông suất

Lực, theo định nghĩa của Newton, được xác định bằng sản phẩm của khối lượng và gia tốc, với công thức F = m × a Cụ thể, lực (N) tác động để tạo ra gia tốc 1 m/s² cho vật có khối lượng 1 kg, do đó, đơn vị lực được biểu thị là N = kg.m/s².

Công là kết quả của lực tác dụng trong quãng đường Joule là công của lực 1 N trong quãng đường 1 m (1 J = 1 N.m) Công và năng lượng có cùng đơn vị

Công suất đại lượng đo công hoàn thành trong thời gian hoặc năng lượng truyền từ vật này sang vật khác Đơn vị công suất là watt (1 W = 1 J/s)

Trong ví dụ này, một vật nặng 10 kg chuyển động thẳng với gia tốc 2 m/s² Để tìm lực tác động F, ta áp dụng định luật II Newton Nếu vật bắt đầu chuyển động từ thời điểm t = 0 với vị trí x = 0, ta có thể xác định vị trí, động năng và công suất của vật khi t = 4 giây.

Điện tích và dòng điện

Đơn vị của dòng điện, Ampe (A), được định nghĩa là dòng điện không đổi trong hai dây dẫn có chiều dài vô hạn và tiết diện không đáng kể, tạo ra một lực 2.10^-7 N cho mỗi mét chiều dài khi đặt cách nhau ít nhất 1m Ngoài ra, dòng điện còn được hiểu là sự di chuyển của điện tích, với 1 ampe tương đương với 1 coulomb (C) điện tích di chuyển qua mặt cắt của vật dẫn trong 1 giây.

Điện tích, được ký hiệu là Q và đo bằng coulomb (C), có thể được định nghĩa bằng ampe-giây Trong vật dẫn, điện tích tự do có thể mang điện tích dương hoặc âm Khi điện tích dương di chuyển sang trái, nó tạo ra dòng điện i cũng hướng sang trái.

Khi có 1 coulomb (C) điện tích đi qua tiết diện S trong 1 giây, dòng điện sẽ có giá trị 1 ampere (A) Sự di chuyển của điện tích âm sang bên phải (hình 1-1b) cũng tạo ra dòng điện hướng sang bên trái.

Khi phân tích mạch, một trong những vấn đề quan trọng là dòng điện trong vật dẫn kim loại liên quan đến sự di chuyển của các điện tử lớp ngoài trong cấu trúc nguyên tử Chẳng hạn, trong đồng, các điện tử này có liên kết lỏng lẻo với hạt nhân, cho phép chúng di chuyển tự do giữa các nguyên tử trong mạng tinh thể Ở nhiệt độ thường, số lượng điện tử tự do này là hằng số và có chuyển động ngẫu nhiên, với khoảng 8,5 x 10^28 điện tử tự do trong 1 m³ Điện tích của một điện tử là -e = -1,602 x 10^-19 C, do đó, dòng điện 1 A tương đương với khoảng 6,24 x 10^18 điện tử đi qua tiết diện của vật dẫn trong 1 giây.

Ví dụ 1–2: Vật dẫn có dòng điện 5 (A), hãy tính số lượng điện tử đi qua tiết diện trong vòng 1 phút?

Lượng điện tíc đi qua tiết diện trong 1 phút

Số lượng điện tử khi đó

Điện thế

Trong điện trường, điện tích chịu lực tác động, khiến chúng chuyển động nhanh hơn Công cần thiết để di chuyển một điện tích ngược chiều với lực điện trường được minh họa trong hình 1-2a Nếu 1 J là công để di chuyển 1 C từ vị trí 0 đến vị trí 1, thì vị trí 1 sẽ có điện thế 1 V so với vị trí 0 (1 V = 1 J/C) Điện thế trong điện trường cũng có khả năng sinh công tương tự như khối lượng.

Khi nâng một vật lên cao h so với mặt đất, nó tích trữ thế năng do lực trọng trường Khi vật được thả xuống, thế năng này sẽ chuyển hóa thành động năng, cho phép vật thực hiện công trong quá trình rơi.

Để di chuyển 0,5 (μC) điện tích từ điểm a đến điểm b trong mạch điện, cần một năng lượng 9,25 (μJ) Từ đó, có thể tính được hiệu số điện thế giữa hai điểm.

Năng lượng và công suất điện

Năng lượng điện được đo bằng joules sẽ được đề cập trong các phần tiếp theo khi phân tích điện dung và điện cảm, liên quan đến khả năng lưu trữ năng lượng của điện trường và từ trường Việc đánh giá quá trình thực hiện công là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu này.

Công suất điện (W) được định nghĩa là năng lượng truyền đi trong 1 giây, được tính bằng tích của điện thế (V) và dòng điện (I) theo công thức p = v.i (1W = 1V.1A) Ngoài ra, công suất cũng có thể được biểu diễn dưới dạng V.A = J/C, C/s = J/s = W Một cách cơ bản, công suất là đạo hàm theo thời gian, tức là p = dw/dt, do đó công suất tức thời thường là một hàm số theo thời gian Các giá trị công suất trung bình (P avg) và công suất hiệu dụng (P rms) được sử dụng khi dòng điện và điện áp được biểu diễn dưới dạng hàm sin.

Ví dụ: 1–4 Điện trở có hiệu điện thế 50V và có 120C đi qua trong 1 phút, hãy xác định công suất điện biến đổi thành nhiệt năng?

P = 2 (A) 50 (V) = 100 (W) Với W = 1 J/s, điện năng biến thành nhiệt năng của điện trở là 100 J/s.

Hằng số và hàm số

Để phân biệt giữa hằng số và biến số theo thời gian, người ta sử dụng chữ cái in hoa cho các hằng số và chữ cái thường cho biến số Ví dụ, dòng điện không đổi có giá trị 10A được ký hiệu là I = 10(A), trong khi dòng điện biến đổi sẽ có ký hiệu khác.

10A biến thiên theo thời gian, được viết i 10.f(t)

Các đại lượng biến đổi thường được sử dụng trong phân tích mạch điện có dạng hàm tuần hoàn sin i10sint(A), và dạng hàm số mũ v12e  at (V).

Phần tử cơ bản của mạch điện

1.2.1 Ph ầ n t ử th ụ độ ng và tích c ự c

Tất cả các thiết bị điện đều có thể được biểu diễn bằng băng mạch hoặc sơ đồ, được hình thành từ việc kết nối các phần tử có hai đầu nối theo cách nối tiếp hoặc song song Phân tích mạch giúp dự đoán cách thức hoạt động của thiết bị thực tế Các phần tử này, được ký hiệu bằng hình chữ nhật với hai đầu kết nối A và B, bao gồm phần tử tích cực như nguồn áp hoặc nguồn dòng, có khả năng cung cấp năng lượng cho mạch Trong khi đó, điện trở, điện cảm và điện dung là các phần tử thụ động, nhận năng lượng từ nguồn và chuyển đổi nó thành các dạng năng lượng khác hoặc lưu trữ dưới dạng năng lượng điện từ trường.

Trong hình 1-4 vẽ ký hiệu của 7 phần tử cơ bản trong mạch điện Phần tử

(a) và (b) – nguồn điện áp, (c) và (d) – nguồn dòng điện Nguồn điện áp không bị ảnh hưởng của mạch điện là nguồn độc lập được ký hiệu bằng hình tròn (hình

Nguồn điện áp phụ thuộc vào mạch điện, được ký hiệu bằng hình thoi (hình 1-4b) Nguồn dòng điện có hai loại: nguồn độc lập không bị ảnh hưởng từ mạch điện và nguồn phụ thuộc chịu ảnh hưởng (hình 1-4 c,d) Ba phần tử thụ động gồm điện trở, cuộn cảm và tụ điện được ký hiệu bằng các biểu tượng riêng biệt (hình 1-4 e, f, g).

Trong mạch điện, thuật ngữ tham số gộp đề cập đến việc biểu diễn một phần tử thông qua các thông số như điện trở, điện cảm hoặc điện dung Chẳng hạn, một cuộn dây có nhiều vòng cách điện có thể được mô tả bằng điện trở nối tiếp hoặc song song, phản ánh điện trở tổng của toàn bộ chiều dài dây.

Cực tính của nguồn áp được biểu thị bằng các dấu (+) và (–) gần các đầu cực Ví dụ, với nguồn áp có biểu thức v = 10sin(ωt), cực A sẽ có điện thế dương so với cực B trong khoảng thời gian từ ωt = 0 đến π, trong khi cực B sẽ có điện thế dương hơn cực A khi ωt nằm trong khoảng từ π đến 2π, diễn ra trong chu kỳ đầu tiên của hàm.

Nguồn dòng điện cần được ký hiệu chiều dòng điện bằng mũi tên, như thể hiện trong hình 1-5b Các phần tử thụ động như R, L, C (hình 1-5c) thường có cực dương (+) nơi dòng điện đi vào và cực âm (–) nơi dòng điện đi ra.

Dấu công suất được thể hiện trong hình 1-6a với nguồn áp không đổi VA = 20V và VB = 5V, cùng với điện trở 5Ω, cho kết quả dòng điện 3A có chiều thuận kim đồng hồ Trong hình 1-6b, công suất hấp thụ tại phần tử khi dòng điện đi vào cực dương được tính bằng công thức V.I hoặc I²R, với giá trị hấp thụ lần lượt là 45W ở điện trở và 15W ở nguồn VB, trong khi dòng điện đi vào cực âm của nguồn.

VA, phần tử này cấp nguồn cho mạch PV.I60W, qua đó có thể khẳng định công suất tiêu thụ tại nguồn VB và điện trở được nguồn VA cấp

1.2.3 Quan h ệ dòng điện và điệ n áp

Các phần tử thụ động trong mạch điện bao gồm điện trở R, cuộn dây L và tụ điện C, được xác định dựa trên mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp Nếu điện áp và dòng điện có tỉ lệ không đổi, phần tử là điện trở với giá trị R xác định theo công thức v = Ri Khi điện áp tỷ lệ với đạo hàm theo thời gian của dòng điện, phần tử là điện cảm, với giá trị L được xác định qua v = L(di/dt) Cuối cùng, nếu dòng điện tỷ lệ với đạo hàm theo thời gian của điện áp, phần tử là tụ điện, với giá trị điện dung C được xác định qua i = C(dv/dt).

Bảng 1–4 tổng hợp quan hệ dòng áp đối với 3 phần tử thụ động của mạch điện Chú ý chiều của dòng điện tương ứng với cực tính của điện áp

Phần tử Đơn vị Điện áp Dòng điện Công suất Điện trở R Ohm (Ω) vR.i

(định luật Ohm) R i  v pv.i Ri 2 Điện cảm L Henri (H) dt

L vdt i   p  v i  Li dt di Điện dung C Fara (F) 1 idt k 2 v C   i  C dv dt p  v i  Cv dv dt

Tất cả thiết bị tiêu thụ điện năng đều có điện trở trong mạch điện Cuộn dây và tụ điện có khả năng lưu trữ và phát lại điện năng cho nguồn hoặc các thành phần khác Công suất trên điện trở luôn dương, được tính theo công thức p = v.i = Ri² = v²/R Điện năng trên điện trở được xác định qua tích phân của công suất tức thời.

Ví dụ 1–5: Trên điện trở 4Ω có dòng điện i 2,5sint(A) Hãy xác định điện áp, công suất và điện năng tiêu thụ trong một chu kỳ với ω = 500π rad/s

Đồ thị giá trị tức thời của v, p và w trong hình 1-7 cho thấy công suất của điện trở luôn dương và điện năng tiêu thụ tăng theo thời gian.

Cuộn cảm, hay còn gọi là điện cảm, là phần tử trong mạch điện có khả năng tích trữ điện năng dưới dạng năng lượng từ trường Khi dòng điện biến thiên theo chu kỳ, điện năng được lưu trữ trong một phần chu kỳ và sau đó được phát trả cho nguồn và các phần tử khác Khi ngắt cuộn cảm khỏi nguồn điện, từ trường sẽ biến mất, dẫn đến việc không còn điện năng lưu trữ Cuộn cảm tương đương có thể được tìm thấy trong các thiết bị như động cơ điện, máy biến áp và các thiết bị khác có điện cảm trong mạch.

Ngay cả các dây dẫn song song cũng có điện cảm và cần được tính đến với phổ các tần số Công suất và điện năng được tính theo:

L       Điện năng tích lũy dưới dạng năng lượng từ trường 2

Ví dụ 1–6: trong khoảng t = 0 ÷ π/50 s, điện cảm 30-mH có dòng điện t i 10sin50 (A) Hãy tính điện áp, công suất và năng lượng của điện cảm dt t

Như trên hình 1-8, năng lượng của cuộn cảm bằng 0 khi t = 0 và t = π/50s

Sự trao đổi năng lượng diễn ra trong khoảng thời gian này, ban đầu tính lũy trong khoảng (0 →π/100) và phát trả lại mạch ngoài (π/100 → π/50)

Tụ điện, hay còn gọi là điện dung, là phần tử trong mạch tích lũy điện năng dưới dạng năng lượng điện trường Khi điện áp thay đổi theo chu kỳ, điện năng được lưu trữ trong một phần chu kỳ và phát ra cho nguồn và các phần tử khác trong phần còn lại Khác với cuộn cảm, khi ngắt khỏi nguồn, tụ điện vẫn giữ lại điện tích và điện trường Điện tích này duy trì cho đến khi có đường xả, lúc đó năng lượng được giải phóng Cơ chế tích lũy điện năng trong tụ điện được thể hiện qua công thức điện tích q = C.v, trong đó điện trường tác dụng trong chất điện môi Tụ điện đơn giản thường có hai bản cực song song, với một bản cực mang điện tích và bản còn lại không có, và sự cân bằng đạt được khi tụ được xả Mối quan hệ giữa công suất và năng lượng trên tụ điện cũng rất quan trọng trong việc hiểu rõ hoạt động của nó.

C       Điện năng tích lũy dưới dạng năng lượng điện trường 2

Trong khoảng thời gian t từ 0 đến 5π ms, một tụ điện có điện dung 20 mF chịu tác động của điện áp v = 50sin(200t) (V) Để tính toán điện tích, công suất và năng lượng điện trên tụ, cần lưu ý rằng năng lượng ban đầu wC = 0 khi t = 0.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,5π ms, điện áp và điện tích trên tụ điện tăng từ 0 lên 50V và 1000 mC Năng lượng tích lũy đạt tối đa 25mJ trước khi trở về 0 khi tụ phát trả nguồn.

Mỗi mạch điện có thể được cấu trúc theo nhiều cách khác nhau nhưng vẫn giữ nguyên tính chất hoạt động Sơ đồ mạch đôi khi không tương thích với một số phương pháp phân tích, do đó cần xem xét cấu trúc của sơ đồ trước khi chọn phương pháp phân tích phù hợp, hoặc có thể cần điều chỉnh lại sơ đồ cho đúng.

Một ví dụ minh họa sự khác biệt bề ngoài nhưng thực chất lại giống nhau là hình 1-10a với 3 nút A, tương tự như 2 nút trong hình 1-10b Thêm vào đó, điện trở R4 đã bị nối tắt, do đó trong hình 1-10c chỉ còn 1 nút A.

Phương pháp phân tích mạch điện

Định luật m ạch điện

Mạch điện bao gồm nhiều phần tử đơn lẻ được kết nối, trong đó có ít nhất một nguồn áp hoặc nguồn dòng Cách bố trí các phần tử tạo ra mối quan hệ giữa dòng và áp, trong khi những ràng buộc và phương trình mới hình thành mối quan hệ dòng-áp, giúp giải quyết bài toán mạch điện.

Mục đích chính của việc xác định các phần tử và kết nối chúng trong mạch điện là để mô phỏng hoạt động của các thiết bị điện như động cơ, máy phát điện, máy biến áp và thiết bị điện tử.

2.1.1 Đị nh lu ậ t Kirchhoff v ề điệ n áp Đối với bất kỳ vòng kín nào của mạch điện, định luật Kirchhoff về điện áp

Định luật Kirchhoff (KA) phát biểu rằng tổng đại số của các điện áp trong mạch điện bằng không Điện áp có thể xuất phát từ nguồn điện hoặc do dòng điện chảy qua các phần tử thụ động tạo ra (thường gọi là điện áp rơi) Định luật này áp dụng hiệu quả cho các mạch điện có nguồn điện không đổi, một chiều, hoặc nguồn biến đổi theo thời gian, như v(t) và i(t) Phương pháp dòng điện vòng được xây dựng dựa trên định luật Kirchhoff về điện áp.

Ví dụ: viết phương trình định luật Kirchhoff điện áp cho mạch sau:

Định luật Kirchhoff về dòng điện xác định rằng tại một nút, tổng đại số các dòng điện phải bằng không, tức là tổng dòng điện vào nút bằng tổng dòng điện ra khỏi nút Nút được định nghĩa là điểm kết nối của hai hoặc nhiều phần tử, với kết nối giữa hai phần tử gọi là nút đơn và kết nối với ba phần tử trở lên được gọi là nút chính Phương pháp phân tích mạch theo điện áp nút được xây dựng dựa trên định luật này, phản ánh nguyên tắc bảo toàn điện tích.

Ví dụ: viết phương trình định luật Kirchhoff dòng điện cho mạch điện hình 2–2

2.1.3 M ạch điệ n các ph ầ n t ử m ắ c n ố i ti ế p

Các phần tử thụ động mắc nối tiếp (hình 2–3) đều có cùng dòng điện chạy qua, dẫn đến điện áp rơi trên từng phần tử lần lượt là v1, v2 và v3 Tổng điện áp v trên toàn bộ đoạn mạch được tính bằng tổng các điện áp rơi này.

Trong đó: R tđ – điện trở tương đương thay cho 3 điện trở mắc nối tiếp, quan hệ dòng áp lúc đó cũng tương tự

Với số lượng tùy ý điện trở nối tiếp:

Nếu các phần tử mắc nối tiếp là điện cảm: dt

Với số lượng tùy ý điện cảm nối tiếp:

Nếu ba phần tử trong mạch nối tiếp là điện dụng và không chấp nhận điều kiện ban đầu, hằng số của kết quả tích phân sẽ bằng không.

1 Điện dung tương đương của các tụ điện mắc nối tiếp:

Lưu ý: khi trong hai tụ mắc nối tiếp, một tụ có điện dung rất lớn hơn tụ còn lại, điện dung tương đương bằng giá trị của tụ nhỏ

2.1.4 M ạch điệ n các ph ầ n t ử m ắ c song song

Ba phần tử thụ động mắc song song theo định luật Kirchhoff cho thấy rằng dòng điện đến nút chính bằng tổng các dòng điện ra khỏi nút chính trên các nhánh.

Nếu trên các nhánh là điện trở, ta có:

 Các điện trở mắc song song, điện trở tương đương:

R tđ Đặc biệt, chỉ có hai điện trở mắc song song:

  Hoặc n điện trở bằng nhau mắc song song n

Các điện cảm mắc song song, điện cảm tương đương:

L tđ Đặc biệt, chỉ có hai điện cảm mắc song song:

  Các tụ điện mắc song song, điện dung tương đương:

2.1.5 Điệ n tr ở p hân (chia) điệ n á p và phân dòng điệ n

Bộ các điện trở mắc nối tiếp (hình 2–5a) có thể đóng vai trò bộ phân

(chia) điện áp, còn bộ điện trở mắc song song (hình 2–5b) là bộ phân (chia) dòng điện

Trường hợp có hai nhánh:

Trong mạch điện có hai nhánh song song, tỉ lệ dòng điện chảy qua mỗi nhánh tỉ lệ thuận với điện trở của nhánh còn lại và tỉ lệ nghịch với tổng điện trở của cả hai nhánh.

Phân tích mạch điện

Phương pháp dòng nhánh gán dòng điện cho từng nhánh trong mạch điện Bằng cách áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện cho tất cả các nút độc lập, điện áp giữa hai nút được tính dựa trên dòng điện trong nhánh Qua đó, ta có thể thiết lập hệ phương trình đồng thời và tìm ra kết quả dòng điện của các nhánh khi giải hệ phương trình này.

Ví dụ: Giải mạch trong hình 2–6 tìm dòng điện trên các nhánh

Các dòng điện I1, I2, I3 được gán cho các nhánh như trong hình vẽ Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút a:

I (1) Điện áp Vab có thể tính theo các biểu thức của áp trên các nhánh:

V ab   ; V ab I 3 (10); V ab I 2 (2)8 Từ đó có thể viết được các phương trình:

20 I 1  I 2  (3) Giải các phương trình (1), (2) và (3) tìm được các giá trị dòng điện:

Dòng điện trên nhánh có thể chọn theo chiều ngược lại và kết quả chỉ cần đơn giản đổi dấu thích hợp

Trong các mạch điện phức tạp, phương pháp dòng điện nhánh gặp khó khăn do thiếu điểm khởi đầu và quy trình hợp lý để thiết lập số lượng phương trình cần thiết Hơn nữa, số lượng phương trình độc lập cũng nhiều hơn so với các phương pháp dòng vòng và điện thế nút.

2.2 2 Phương pháp dòng m ắt lướ i

Phương pháp dòng mắt lưới, hay còn gọi là dòng vòng, gán dòng điện cho từng cửa sổ mắt lưới trong mạch điện, tạo thành một mạch khép kín Mỗi phần tử và nhánh trong mạch có dòng điện độc lập, và nếu có hai dòng mắt lưới trong một nhánh, dòng điện thực sẽ là tổng đại số của chúng Dòng mắt lưới có thể được gán theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều, nhưng thường thì gán theo chiều kim đồng hồ để thuận tiện Sau khi gán dòng điện cho các mắt lưới, cần áp dụng định luật Kirchhoff để viết đủ số phương trình cần thiết.

Ví dụ: Tìm dòng điện trên các nhánh của mạch hình 2–7, sử dụng phương pháp dòng mắt lưới

Các dòng điện I1 và I2 được chọn như trên sơ đồ mạch Áp dụng định luật

Kirchhoff về áp cho vòng bên trái xuất phát từ điểm α, vòng bên phải xuất phát từ điểm β:

Giải đồng thời hai phương trình (4) và (5) ta được I1 = 2A và I2 = 1A

Dòng điện trong nhánh giữa bằng I1 – I2 = 1A, trên hình là mũi tên nét đứt

Các dòng điện không cần bị giới hạn trong các cửa sổ để đạt được kết quả trong hệ phương trình đồng thời như phương pháp dòng mắt lưới Quy tắc của phương pháp này yêu cầu mỗi phần tử trên nhánh phải có dòng điện riêng hoặc tổ hợp các dòng điện của mắt lưới, và hai phần tử trên hai nhánh khác nhau không thể chia sẻ cùng một dòng điện hoặc tổ hợp dòng điện.

2.2.3 Phương pháp m a tr ận và đị nh th ứ c

Với mạch điện tổng quát có n mắt lưới, hệ n phương trình có thể viết ở dạng ma trận

Ví dụ: Khi áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho sơ đồ mạch điện hình

2–8, ta có được 3 phương trình:

 2 ( ) 3 Đưa các phương trình vào dạng ma trận:

Ma trận ẩn là ma trận cột của các dòng mắt lưới, trong khi ma trận hệ số chứa các giá trị điện trở được gọi là ma trận điện trở Đồng thời, ma trận cột vế phải của phương trình đại diện cho các nguồn áp của mỗi mặt lưới.

Các phần tử của ma trận điện trở có thể định chỉ số như sau:

Phần tử R11 trong mạch điện (hàng 1, cột 1) đại diện cho tổng các điện trở trong mắt lưới với dòng I1 đi qua, bao gồm RA và RB Tương tự, các phần tử R22 và R33 cũng thể hiện tổng điện trở trong mắt lưới với dòng I2 và I3 tương ứng.

Phần tử R12 (hàng 1, cột 2) đại diện cho tổng điện trở chung của hai dòng mắt lưới I1 và I2 Dấu hiệu của R12 là (+) khi hai dòng cùng chiều trên mỗi điện trở, và (-) khi chúng có chiều ngược nhau Trong hình 2-7, chỉ có RB là điện trở chung cho các dòng mắt lưới I1 và I2, với chiều dòng điện ngược nhau.

RB có dấu âm, tương tự như các phần tử R21, R23, R13 và R31, là tổng các điện trở có chung hai dòng mắt lưới xác định theo chỉ số của phần tử, với dấu xác định giống như R12 Do đó, với mọi giá trị i và j, ji ij R.

R  Như vậy ta được ma trận đối xứng qua đường chéo chính

Ma trận dòng điện không cần giải thích thêm, các phần tử trong mỗi cột được đánh số từ 1 đến 3 để biểu thị dòng mắt lưới tương ứng Đây là yếu tố quan trọng trong phương pháp phân tích mạch bằng dòng mắt lưới.

Phần tử V1 trong ma trận điện áp được xác định là tổng các nguồn dòng trong vòng mắt lưới dẫn dòng I1 Nếu dòng I1 đi từ cực, điện áp sẽ có giá trị dương trong tổng.

(–) đến cực (+) của nguồn, ngược lại có dấu âm Nói cách khác, nguồn có dấu

(+) nếu tạo ra dòng điện cùng chiều với dòng mắt lưới Trong hình 2–8, mắt lưới

1 có nguồn Va cùng chiều với I1; mắt lưới 2 không có nguồn và mắt lưới 3 có nguồn Vb tạo dòng ngược chiều với I3 nên có dấu âm

Phương pháp ma trận, phát triển từ phương pháp dòng mắt lưới, có thể được giải theo nhiều cách khác nhau, trong đó phương pháp sử dụng định thức là một lựa chọn đáng chú ý Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các phương pháp giải phương trình ma trận khác thường hiệu quả hơn khi áp dụng cho các mạch lớn.

Giải phương trình ma trận (6) bằng phương pháp định thức, ẩn I1 được tính qua tỉ số của hai định thức Định thức mẫu số là định thức của ma trận điện trở, ký hiệu là ΔR Tử số là định thức của ma trận tương tự ΔR, chỉ khác ở việc thay thế cột 1 bằng ma trận cột điện áp.

Triển khai định thức tử số theo cột điện áp ta được các phương trình, qua đó có thể nhận được qui luật

Trong đó: Δij – định thức con của định thức của ma trận điện trở ΔR, trong đó loại bỏ các phần tử hàng i và cột j

2.2.4 Phương pháp điệ n th ế nút

Mạch điện trong hình 2–9a gồm 5 nút, trong đó nút 4 và 5 là nút đơn giản, còn nút 1, 2 và 3 là nút mạch Phương pháp điện thế nút chọn một nút mạch làm gốc và áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho các nút mạch còn lại Mỗi nút mạch (trừ nút gốc) được gán một điện thế, thể hiện điện áp so với nút gốc Những điện thế này là ẩn số, và việc giải các phương trình một cách hợp lý sẽ cho ra lời giải cho mạch điện.

Mạch điện được trình bày trong hình 2–9b với ba nút mạch, trong đó nút gốc và hai nút 1, 2 có điện thế V1 và V2 tương ứng Theo định luật Kirchhoff về dòng điện, tổng đại số các dòng điện tại nút 1 bằng không.

Tương tự, tổng các dòng tại nút 2 cũng phải bằng không:

Định luật Kirchhoff về dòng điện quy định rằng tổng dòng điện ra khỏi một nút phải bằng tổng dòng điện vào nút đó Ví dụ, trên nhánh 1 - 2, có hai phương trình thể hiện chiều dòng điện khác nhau.

Nếu đặt 2 phương trình ẩn V1 và V2 vào dạng ma trận, ta có:

Phân rã mạch điện

2.3.1 Điệ n tr ở vào và điệ n tr ở ra

Trong các mạch đơn nguồn, điện trở vào và điện trở ra rất được quan tâm

Trong mạch điện như hình 2–11, điện áp được ký hiệu là V1 và dòng điện tương ứng là I1 Nếu chỉ có một nguồn điện V1, phương trình liên quan đến dòng điện I1 được thiết lập như sau:

Trong bài viết này, Δ R là định thức ma trận điện trở được xây dựng theo phương pháp dòng mắt lưới Δ11 là định thức con thu được khi loại bỏ hàng và cột tương ứng với mắt lưới có nguồn áp Điện trở vào của mạch được xác định bằng tỉ số giữa điện áp V1 và dòng điện I1.

Có thể thấy rằng đơn vị của Δ R /Δ 11 có đơn vị là Ω

Một nguồn điện áp cung cấp cho mạch thụ động tạo ra điện áp giữa hai nút bất kỳ Khi thêm một điện trở vào hai nút của mạch, dòng điện sẽ được rút ra, thường làm giảm điện áp giữa hai nút Hiện tượng giảm áp này xuất phát từ điện trở ra của mạch, được tính bằng tỉ số giữa điện áp hở mạch và dòng điện ngắn mạch tại đầu ra.

2.3.2 Điệ n tr ở chuy ển đổ i

Khi một nguồn áp được kết nối với bất kỳ phần nào của mạch điện, nó sẽ tạo ra dòng điện trên tất cả các nhánh Chẳng hạn, khi một nguồn áp được nối vào mạch thụ động, dòng điện sẽ chảy ra từ mạch đến tải điện trở Trong tình huống này, mạch điện có hệ số chuyển đổi điện trở toàn mạch.

Trong mạch thụ động được trình bày trong hình 2–12, nguồn điện ký hiệu là Vr tạo ra dòng điện đầu ra Is Mối quan hệ giữa dòng điện Is và điện áp Vr phụ thuộc vào các thông số của mạch thụ động Để tính toán dòng điện, cần xem xét các yếu tố liên quan đến mạch này.

Khi áp suất điện là V r (nguồn áp duy nhất), phương trình dòng điện trong mắt lưới đối với Is chỉ bao gồm một thành phần duy nhất liên quan đến Vr trong định thức tử số.

I Điện trở chuyển đổi của mạch điện là tỉ số giữa Vr và Is: rs

Ma trận điện trở đối xứng qua đường chéo chính Δ rs = Δ sr , nên ta có: sr transfer rs transfer R

Biểu thức này cho thấy một tính chất quan trong của mach tuyến tính:

Nếu một nguồn áp tại mắt lưới r tạo ra dòng điện tại mắt lưới s, thì nguồn đó tại mắt lưới s cũng sẽ tạo ra dòng điện có trị số không đổi tại mắt r Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát với mạch n mắt lưới chứa một số nguồn nhất định.

Dòng điện trong mắt lưới k được tính theo biểu thức: nk transfer n k k transfer k k input k k k transfer k k transfer k R

Biểu thức dòng điện minh họa nguyên lý chồng chất, cho thấy rõ ràng cách mà các điện trở tác động đến ảnh hưởng của các nguồn trên một mắt lưới cụ thể.

Khi nguồn cách xa mắt lưới, điện trở chuyển đổi đến mắt lưới sẽ tăng cao, dẫn đến dòng điện do nguồn đó tạo ra chỉ chiếm một phần nhỏ trong dòng điện tổng Ik.

Vk, và các nguồn khác ở mắt lưới lân cận sẽ cho thành phần dòng điện lớn hơn trong Ik

2.3.3 Qui t ắ c phân rã m ạch điệ n

Phương pháp dòng mắt lưới và điện thế nút là hai kỹ thuật chính trong phân tích mạch điện Bên cạnh đó, việc xác định điện trở tương đương của các nhánh nối tiếp và song song, kết hợp với quy tắc phân chia điện áp và dòng điện, tạo ra một phương pháp phân tích mạch khác Phương pháp này thường yêu cầu vẽ thêm một số mạch điện bổ sung, và quá trình đơn giản hóa mạch điện có thể dẫn đến những mạch rất đơn giản, giúp dễ dàng tính toán dòng, áp và công suất Phân rã mạch điện bắt đầu bằng việc xác định các cụm điện trở nối tiếp và song song.

Ví dụ: Tính tổng công suất cung cấp từ nguồn 60V và công suất trên mỗi điện trở của mạch điện hình 2–13

Hai điện trở song song trên hình 2–14

R ef Ω Điện trở 3Ω nối tiếp với điện trở 10Ω, điện trở tương đương

Tổng công suất trên các điện trở bằng tổng công suất nguồn:

Công suất nguồn chia trên 2 điện trở Ref và Rge:

Công suất Pef chia trên hai điện trở Rcd và Rab:

Cuối cùng công suất trên các điện trở riêng rẽ là:

Mạch tuyến tính bao gồm hai hoặc nhiều nguồn độc lập, cho phép phân tích điện áp và dòng điện nhánh bằng cách xem xét tác động riêng của từng nguồn và áp dụng nguyên tắc xếp chồng Nguyên tắc này chỉ có thể áp dụng khi các thông số điều khiển nguồn không nằm trong mạch đang xét Khi phân tích, nguồn áp được coi là nối tắt và nguồn dòng là hở mạch Tuy nhiên, nguyên lý xếp chồng không phù hợp cho việc tính toán công suất, vì công suất tỷ lệ với bình phương dòng điện hoặc điện áp, dẫn đến mối quan hệ không tuyến tính.

Những minh họa tiếp theo về nguyên tắc xếp chồng có thể lấy từ ví dụ trước đây phương trình :

Nguyên tắc xếp chồng là một yếu tố quan trọng trong phân tích mạch điện Trong trường hợp chỉ có nguồn trên vòng mắt lưới 3, dòng điện I1 sẽ chỉ có một thành phần, vì các vòng còn lại không có nguồn Tổng của ba thành phần tạo nên dòng điện I1 cần được xem xét để hiểu rõ hơn về mạch.

Ví dụ: Hãy tính dòng điện trên điện trở 23Ω của mạch trong hình 2–15a bằng phương pháp xếp chồng

Với nguồn 200V tác động một mình, nguồn 20A triệt tiêu → hở mạch như trên hình 2–15b Điện trở tương đương của mạch:

Khi cho nguồn 20A tác động một mình, nguồn áp 200V được thay thế nối ngắn mạch như trong hình 2–15c Điện trở tương đương của mạch:

Dòng điện tổng trên điện trở 23Ω:

Định lý mạch điện

2.4.1 Đị nh lý Thevenin và Norton

Một mạch tuyến tính có thể chứa nhiều nguồn áp, và dòng điện trong mạch này có thể được thay thế bằng một nguồn áp nối tiếp với điện trở theo định lý Thevenin, hoặc bằng một nguồn dòng song song với điện trở theo định lý Norton Nguồn áp này được gọi là nguồn áp tương đương Thevenin (V’), trong khi nguồn dòng được gọi là nguồn dòng tương đương.

Điện trở trong nguồn áp Thevenin và nguồn dòng Norton hoàn toàn giống nhau, ký hiệu là R’ Khi hai cực ab hở mạch, điện áp xuất hiện giữa chúng phải bằng V’ của sơ đồ tương đương Thevenin Nếu hai điểm này được nối ngắn mạch, sẽ xuất hiện dòng điện tương đương với dòng điện của nguồn Norton.

Như vậy sơ đồ mạch trên hình 2–14b và 2–14c tương đương với cùng mạch điện

2–14a, thì chúng tương đương với nhau

Như vậy I ' V ' /R ' , còn nếu cả V’ và I’ được xác định từ mạch điện ban đầu thì ta có R ' V ' /I '

Ví dụ: Hãy tính mạch tương đương Thevenin và Norton cho mạch điện trong hình 1-25a

Khi ab hở mạch, hai nguồn áp tạo thành mạch kín có dòng điện theo chiều kim đồng hồ qua các điện trở 3Ω và 6Ω (hình 1-25b)

Hình 2–17 Điện áp tương đương Thevenin:

V ab V Điện trở R’ là điện trở của mạch khi bỏ hết các nguồn (hình 1-25c), điện trở tương đương giữa hai cực a và b:

Khi ngắn mạch tại các cực ab, dòng điện Isc do hai nguồn gây nên, xếp chồng các kết quả:

Sơ đồ mạch điện tương đương Thevenin và Norton thể hiện các giá trị V’, R’ và I’ được tính riêng biệt Theo định luật Ohm, nếu biết hai trong số ba giá trị này, ta có thể dễ dàng xác định giá trị còn lại.

Định lý Thevenin và Norton rất quan trọng trong việc phân tích mạch điện với nhiều loại tải khác nhau Bằng cách sử dụng sơ đồ nguồn áp hoặc nguồn dòng tương đương, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các giá trị dòng điện, điện áp và công suất trên các tải.

2.4.2 Đị nh lý truy ề n công su ấ t c ực đạ i

Khi cần tính toán công suất cực đại truyền từ mạch nguồn đến tải R L, ta giả định mạch nguồn là tuyến tính và có thể phân rã thành các mạch điện như minh họa trong hình 2–19.

 '  ' Công suất tiêu thụ trên điện trở:

Trong biểu thức của PL, giá trị tối đa đạt được là V ' 2 /4R ' khi RL = R’ Khi đó, công suất trên R’ cũng bằng V ' 2 /4R ' Điều này dẫn đến hiệu suất truyền tải tối đa là 50%.

Mạch khuếch đại và khuếch đại thuật toán

Mạch khuếch đại

3.1.1 Khu ếch đạ i tín hi ệ u

Mạch khuếch đại là thiết bị chuyển đổi tín hiệu đầu vào thành tín hiệu đầu ra, với nguồn điều khiển bởi tín hiệu vào là bộ phận quan trọng Mô hình đơn giản của khuếch đại được minh họa trong hình 3–1, trong đó các cực đầu vào và đầu ra thường được nối chung tạo thành cực chung Khi đầu ra để hở mạch, điện áp v2 sẽ bằng k.v1, với k là hệ số khuếch đại Các điện trở Ri và Ro lần lượt là điện trở vào và ra của khuếch đại; để khuếch đại hoạt động hiệu quả, Ri cần có giá trị cao trong khi Ro cần có giá trị thấp Khuếch đại lý tưởng sẽ đạt được những điều kiện này.

Ri = ∞ và Ro = 0, như trong hình 3–1b

Trong ví dụ này, một nguồn thử nghiệm được kết nối với điện trở R và đầu vào của khuếch đại điện áp có điện trở vào R i, như thể hiện trong hình 3–2 Mục tiêu là xác định tỉ số v s và v 2.

Hình 3–2 Điện áp vào của khuếch đại là v 1 được tính theo phân áp giữa R i và Rs s s i i v

1 Điện áp ra v2 được tính: s s i i v

Khuếch đại điện áp nguồn, độ lợi tín hiệu giảm đi một lượng R i /(R i R s ) so với hệ số biến đổi nguồn áp

Trong hình 3-3, một thử nghiệm nguồn v_s với điện trở trong R_s cung cấp nguồn cho tải R_L thông qua một khuếch đại có điện trở vào R_i và điện trở ra R_o Mục tiêu là xác định tỉ số v_2/v_s.

Theo phân áp giữa Ri và Rs s s i i v

Lưu ý rằng độ lợi tín hiệu giảm đi thêm một lượng R i /(R i R s ), từ đó làm cho điện áp đầu ra phụ thuộc vào tải

Độ lợi tín hiệu của khuếch đại có thể được điều chỉnh thông qua hồi tiếp, bằng cách chuyển một phần tín hiệu đầu ra trở lại đầu vào Điều này được thực hiện trong khuếch đại lý tưởng, như minh họa trong hình 3-4, thông qua điện trở R2 Hệ số hồi tiếp đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm soát độ lợi của khuếch đại.

R  ảnh hưởng đến độ lợi chung của khuếch đại và làm cho các bộ khuếch đại ít nhạy với sự thay đổi hệ số khuếch đại k

Ví dụ: Tìm v 2 /v s trong hình 3–4 và biểu diễn nó dưới dạng hàm tỉ lệ của

Từ mạch khuếch đại ta có:

2 k.v v  → v 1 v 2 /k (3–3) Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút A:

Thay v 1 v 2 /k và biểu thức trên ta được: bk b k k

Ví dụ: Trong hình 3–5, R1 = 1kΩ, và R2 = 5kΩ (a) Tìm v 2 /v s như hàm của độ lợi k (b) tính v 2 /v s với k = 100 và 1000, nhận xét về kết quả

Hình 3–5 khác với hình 3–4 chỉ ở cực tính của nguồn phụ thuộc Để tìm tỉ số v2/vs, ta áp dụng kết quả từ ví dụ trước với sự thay đổi –k trong biểu thức bk b k v v s .

(b): Với k = 100, v 2 /v s = – 4,72; và k = 1000, v 2 /v s = – 4,97 Như vậy, với 10 lần tăng giá trị k, tỉ số v 2 /v s chỉ tăng 5,3% (4,97 - 4,72)/4,72 = 5,3%

Với các giá trị rất lớn của k, tỉ số v 2 /v s tiến tới – R 2/(R 1+R 2) không phụ thuộc vào k.

Khuếch đại thuật toán

3.2.1 Khái ni ệ m khu ếch đạ i thu ậ t toán

Khuếch đại thuật toán OA là thiết bị điện tử với hai đầu vào, được ký hiệu là cực không đảo (+) và cực đảo (–) Thiết bị này hoạt động với nguồn điện một chiều dương và âm (+V cc và – V cc) Cổng chung vào-ra của OA được gọi là đất, như minh họa trong hình 3–6.

Điện áp tín hiệu ra \( v_o \) phụ thuộc vào tín hiệu vào \( v_d = v^+ - v^- \) Nếu bỏ qua ảnh hưởng của điện dung, hàm truyền được mô tả trong hình 3–7 Phạm vi tuyến tính của \( v_o \) được xác định bởi công thức \( v_o = A \cdot v_d \), trong đó \( A \) là hệ số khuếch đại hở, thường có giá trị rất cao Khi tín hiệu vào \( v_d \) vượt quá phạm vi tuyến tính \( v_d \geq V_{cc}/A \), tín hiệu \( v_o \) sẽ bão hòa và đạt giá trị tối đa là \( +V_{cc} \) và \( -V_{cc} \).

Bộ khuếch đại thuật toán trong phạm vi tuyến tính được thể hiện trong hình 3–8, trong đó nguồn cấp đã được lược bỏ để đơn giản hóa Thực tế cho thấy, giá trị của Ri thường rất lớn.

Ro có giá trị nhỏ và hệ số khuếch đại A dao động từ 10^5 đến vài triệu Sơ đồ trong hình 3–8 chỉ áp dụng khi điện áp v o nằm trong khoảng từ +V cc đến –V cc.

Thông thường V cc trong khoảng từ 5 đến 18 V

Ví dụ: OA trong hình 3–8 có V cc 15V, A10 5 , v  0, hãy tìm giá trị giới hạn của v  để OA trong chế độ tuyến tính

Ví dụ: Bộ OA, trong hình 3–8 có các thông số V cc = 5V, A = 10 5 , v  0 và v  100sin2t (μV) Tìm vẽ điện áp vòng mở v o Điện áp vào của OA:

Khi OA làm việc ở chế độ tuyến tính: t v v o 10 5 d 10sin2. Điện áp ra nằm trong phạm vi + 5V đến – 5V như trên hình 3–9

Quá trình bão hòa bắt đầu khi v o 10 5 v d 10sin2t đạt giá trị 5V tại thời điểm t = 1/12 s OA ra khỏi trạng thái quá bão hòa tại thời điểm t = 5/12 s

Hiện tượng tương tự cũng xảy ra với ngưỡng điện áp –V cc : OA vào và ra khỏi trạng thái bão hòa tại các thời điểm 7/12 và 11/12s

Hình 3–9 Điện áp ra vo trong 1 chu kỳ (1 s) biến thiên như sau:

Ví dụ: Nhắc lại ví dụ trên, bổ xung v  50sin2.t(μV) và v  25(μV) Điện áp vào OA:

Khi OA ở chế độ tuyến tính ta có:

 v t v o d  Điện áp v o bão hòa khi đạt mức – 5V tại thời điểm t = 7/12 và ra khỏi bão hòa khi t = 11/12 Đồ thị tín hiệu vo trên hình 3–10

Hình 3–10 Điện áp ra v o trong 1 chu kỳ (1 s) biến thiên như sau:

Ví dụ: Trong hình 3–11, các điện trở R 1 = 10 kΩ, R 2 = 50 kΩ, R i = 500 kΩ, Ro = 0, và A = 10 5 Tìm tỉ số v 2 /v 1 , giả thiết OA không bão hòa

Tổng các dòng điện tại nút B bằng không, lưu ý v A = 0 và v B = v d , ta có:

Từ đây ta tìm được tỉ số v 2/v 1: 5

3.2.2 M ạch điệ n có khu ếch đạ i thu ật toán lý tưở ng Đối với OA lý tưởng, Ri và A hữu hạn và Ro bằng không Dòng điện tại các cổng đảo và không đảo của OA bằng không, và nếu chế độ làm việc không bão hòa, hai đầu vào của OA có cùng điện áp Trong phần này chúng ta chỉ xét

OA lý tưởng và ở chế độ không bão hòa, ngoại trừ các trường hợp đặc biệt có chỉ dẫn riêng

Ví dụ: OA trong hình 3–12 là lý tưởng và không bão hòa Hãy tính (a)

2/v v ; (b) điện trở vào v 1 /i 1 ; và (c) i 1, i 2, p 1 (công suất của nguồn v 1 ) và p 2 (công suất tiêu hao trong điện trở) với v 1 = 0,5V

Cổng không đảo A được nối đất, dẫn đến điện áp tại A bằng 0 Trong trường hợp OA lý tưởng và không bão hòa, điện áp tại B cũng bằng 0 Khi áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho các nút B và C, cần lưu ý rằng dòng điện vào của OA là bằng không.

2 6,4v v  → v 2 /v 1 6,4 (b): Với vB = 0 → i 1 v 1 /5000 Điện trở vào: v 1 /i 1 5000Ω

(c): Dòng điện vào i 1 v 1 /5000, nếu v 1 = 0,5V thì i 1 = 0,1mA Để tìm dòng điện i 2, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại nút đầu ra của OA:

Với v 2 3,2v C ; v C 1V Từ đó tính được i 2 = 1,5mA

Công suất trên các điện trở:

Tổng công suất trên các điện trở:

3.2.3 M ạ ch khu ếch đạ i đả o

Trong mạch khuếch đại đảo, tín hiệu vào được nối trực tiếp qua điện trở R1 tới cổng đảo, trong khi tín hiệu hồi tiếp từ cổng ra qua điện trở R2 trở về cổng đảo Cổng không đảo được tiếp đất, như mô tả trong hình 3–13 Để xác định hệ số khuếch đại v2/v1, ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại nút B.

Hệ số khuếch đại có giá trị âm và chỉ phụ thuộc vào các giá trị điện trở R1 và R2 được lựa chọn Điện trở vào của mạch là R1

3.2.4 M ạ ch khu ếch đại không đả o

Trong mạch khuếch đại không đảo, tín hiệu vào được kết nối với cổng không đảo của bộ khuếch đại operational (OA) Cổng đảo được nối với đầu ra thông qua điện trở R2 và được tiếp đất qua điện trở R1.

Để xác định hệ số khuếch đại v2/v1, ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng điện tại nút B, với lưu ý rằng các nút A và B có cùng điện thế v1 và không có dòng điện chạy qua OA.

Hệ số khuếch đại v 2 /v 1 dương và lớn hơn 1 Điện trở vào của mạch hữu hạn được xác định theo điều kiện dòng điện OA bằng không

Ví dụ: Tìm hệ số khuếch đại v 2 /v 1 cho sơ đồ mạch hình 3–15 Điện thế vA được xác định từ phân chia v1 trên các điện trở 10kΩ và 5kΩ

Từ biểu thức hệ số khuếch đại:

Nút B, điện thế v B , chia điện thế v 2 trên các điện trở 7kΩ và 2kΩ, và

Ví dụ: Xác định điện áp vo từ sơ đồ hình 3–16 với các điện áp v 1, v 2, v 3 và phần tử trong sơ đồ

Xác định được điện thế nút A khi áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút này:

Từ biểu thức hệ số khuếch đại không đảo:

3.2.5 M ạ ch khu ếch đạ i c ộ ng tín hi ệ u

Cộng giá trị của các điện áp trong mạch mô tả tại hình 1-41 có thể thực hiện thông qua mạch công tín hiệu, một dạng mở rộng của mạch khuếch đại đảo Để xác định điện áp ra, ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho cổng đảo.

Trong sơ đồ mạch hình 3–17, với 4 đầu vào có điện trở R1 = 1kΩ, R2 = 0,5kΩ, R3 = 0,25kΩ và R4 = 0,125kΩ, cùng với Rf = 1kΩ, điện áp đầu vào được thiết lập ở 1V hoặc 0V Cần xác định giá trị vo trong các trường hợp điện áp v4, v3, v2 và v1 nhận các giá trị khác nhau.

Từ biểu thức điện áp ra:

Thay các giá trị từ v 4 đến v 1 vào ta có

Tập hợp {v 4 ; v 3 ; v 2 ; v 1} là dạng nhị phân với 4 bit, trong đó giá trị có thể là cao (1V) hoặc thấp (0V) Mã nhị phân cho các trường hợp (a) và (b) lần lượt là (1001)2 = (9)10 và (1110)2 = (14)10, với các giá trị đầu vào ở mức 0V.

Mạch khuếch đại có khả năng biến đổi giá trị nhị phân thành điện áp âm, tương ứng với các tổ hợp {v4; v3; v2; v1} trong hệ đếm cơ số 10 Đồng thời, mạch khuếch đại tổng tín hiệu cũng có thể hoạt động như một bộ biến đổi số-tương tự.

Mạch OA trong hình 3–18a có hệ số khuếch đại bằng một, với v2 = v1, từ đó suy ra v1 = v+ và v2 = v- Điện áp ra v2 phụ thuộc vào điện áp vào v1 Khi kết nối thêm tải RL, OA sẽ ảnh hưởng đến dòng tải trên R1 và điện áp nguồn.

Lúc này OA làm việc như bộ đệm

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm các giá trị i s, v 1, v 2 và i 1 dựa trên sơ đồ hình 3–18a Sau đó, chúng ta sẽ so sánh các kết quả tìm được với trường hợp nguồn được nối trực tiếp với tải như trong hình 3–18b.

(a): Với sơ đồ OA trên hình 3–18a, ta có:

Mạch khuếch đại vi phân – tích phân

3.3.1 Vi phân và khu ếch đạ i vi phân

Nguồn v f không nối đất được gọi là nguồn nổi Tìn hiệu nguồn như vậy có thể được khuếch đại thông qua mạch trên hình 1-45

Hình 3–21 Điện thế các cổng vào của OA như nhau (v A v B ), nên theo định luật

Kirchhoff về áp ta có: i R v f 2 1 →

Vì OA không có dòng điện nên dòng đi qua R 2 cũng bằng i, áp dụng định luật Kirchhoff về áp , ta có:

Trong trường hợp đặc biệt khi hai nguồn v 1 và v 2 có tiếp đất chung và tương ứng nối với cực đảo và không đảo của mạch OA, ta có v f = v 1 – v 2 và:

Ví dụ: Tìm biểu thức điện áp v o như hàm số của v 1 và v 2 trong sơ đồ hình

Hình 3–22 Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại các nút A và B

R v v R v v B B o Đặt v A v B trong các biểu thức định luật Kirchhoff về dòng ở trên:

Nếu R 3 = R 1 và R 2 = R 4, biểu thức v o trở về dạng rút gọn ở trên

3.3.2 Tích phân và m ạ ch tích phân

Thay điện trở hồi tiếp trong mạch vi phân bằng tụ điện ta có mạch tích phân cơ bản (hình 3–23) với kết quả:

Hình 3–23 Để xác định được quan hệ tín hiệu vào/ra, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại cổng đảo:

 t v dt v 2 RC1 1 Nói cách khác, tín hiệu ra bằng tín hiệu vào nhân với hệ số khuếch đại

Ví dụ: Trong hình 3–23, cho biết R = 1kΩ, C = 1μF và v 1 sin2000t Giả thiết v 2 (0)0, hãy tìm v 2 với t > 0 Điện áp ra:

Mạch điện tích phân leaky, như thể hiện trong hình 3–24, có đặc điểm là điện áp trên tụ được xả qua điện trở hồi tiếp R f Tính năng này dẫn đến việc giảm hệ số khuếch đại của mạch.

2/v v và dịch góc pha của v2

Ví dụ: Trong hình 3–24, R 1 = R f = 1kΩ, C = 1μF, và v 1 sin2000t Hãy tìm v 2

Cực đảo của OA có điện thế bằng không và tổng dòng điện đến nút bằng không

Ta được: v t dt dv sin2000

Giải phương trình tìm được v 2 có dạng hàm sin cùng tần số với v 1 nhưng khác biệt về biên độ và góc pha:

2 Acos( t B v   Để tìm A và B, ta thay thế dv 2 /dt và v 2 vào phương trình ():

B t A dt v dv 2 sin(2000 ) cos(2000 ) sin2000

B t A dt v dv 2 sin(2000 ) cos(2000 ) sin2000

Từ đây suy ra: A 5/5 và B26,57 o

Mạch tích phân cộng tín hiệu

Mạch khuếch đại đơn cho phép kết nối nhiều tín hiệu vào khác nhau với cổng đảo và tụ điện hồi tiếp, như minh họa trong hình 1-50, từ đó tạo ra tổng của các tích phân với hệ số tương ứng.

Ví dụ: Tìm tín hiệu ra vo trong mạch khuếch đại tích phân tổng, hình 1-

50, với 3 tín hiệu vào Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại cực đảo của OA:

Điều kiện đầu của tích phân (Initial Condition of Integration) được thiết lập thông qua việc chuyển mạch trong mạch tích phân, như minh họa trong hình 1-51 Khi kết nối chuyển mạch trong một khoảng thời gian ngắn và sau đó ngắt tại thời điểm t = t0, giá trị vo được xác định qua tụ điện và thể hiện trên điện áp v2.

Với t > t 0 , giá trị của điện áp ra thêm một lượng: o t v dt

Thay điện trở hồi tiếp bằng điện cảm trong khuếch đại đảo sử dụng mạch vi phân, cho phép tín hiệu vào được chuyển đổi thành tín hiệu ra như hình 1-52 Để xác định mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra, chúng ta áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại nút cực đảo.

Mạch ứng dụng khuếch đại thuật toán

Các mạch khuếch đại đảo, cộng và tích phân đã được tích hợp thành khối trong mạch tính tương tự để giải quyết các phương trình tuyến tính, trong khi mạch vi phân không được sử dụng do có nhiều yếu tố nhiễu Để thiết kế mạch tính tương tự, cần biến đổi các phương trình vi phân bằng cách đưa đạo hàm bậc cao nhất của ẩn số về một phía Bổ sung các mạch tích phân theo cấu trúc nối tiếp hoặc mạch vòng được trình bày trong ví dụ Trong phần này, ta sử dụng các lưu ý về đạo hàm như dt dx x '  / và x '' d 2 x/dt 2.

Ví dụ: thiết kế mạch với tín hiệu vào x(t) cho tín hiệu ra y(t), thỏa mãn phương trình sau:

Bước 1: chuyển lại phương trình y y x y ''  2 ' 3 ()

Bước 2: Sử dụng mạch tích phân tổng tín hiệu OA#1 để thực hiện tích phân hai trong phương trình Áp dụng biểu thức quan hệ vào-ra của mạch nhằm xác định các giá trị R1, R2, R3 và C1, với tín hiệu ra của OA#1 được biểu diễn là v1 = y’ Chúng ta sẽ lấy giá trị C1.

= 1μF để tìm các điện trở tương ứng:

Bước 3: Lấy tích phân v 1 = - y’ bằng mạch tích phân OA#2 để tìm giá trị y Ta lấy giá trị C2 = 1μF và R4 = 1MΩ để xác định được v2 = y, tại đầu ra của

Bước 4: Thiết lập kết nối đầu vào cho OA#1 theo cách thức sau:

Hồi tiếp v1 = -y’ trực tiếp tới cổng đảo của OA#1 thông qua điện trở R3

Nối v2 = y qua bộ khuếch đại đảo bằng 1 (OA#3) để tạo ra tín hiệu –y, sau đó cấp vào cực đảo OA#1 thông qua R2

Kết nối nguồn x(t) vào cực đảo OA#1 thông qua điện trở R1

Sơ đồ hoàn chỉnh trên hình ()

Ví dụ: Thiết kế mạch OA như nguồn áp lý tưởng v(t) thỏa mãn phương trình v’ + v = 0 Với v(0) = 1V

Để thực hiện theo ví dụ đã nêu, chúng ta sử dụng sơ đồ mạch như hình 1-53 với giá trị RC là 1 giây Tại thời điểm t = 0, điều kiện đầu khi chuyển mạch được thiết lập ở trạng thái mở Kết quả giải phương trình v(t) cho thấy rằng tín hiệu ra là e^(-t) với t > 0.

Các giá trị tần số xác định mức độ giảm của hệ số khuếch đại trong bộ khuếch đại từ một giá trị nhất định xuống không Tương tự như sóng sin có tần số từ không đến một giá trị nhất định, bộ khuếch đại cũng cho thấy sự biến thiên của hệ số khuếch đại, được gọi là bộ lọc tần số thấp Sự biến thiên này theo tần số được gọi là đáp ứng tần số.

Vớ dụ 3–22 In Example 5.18 let v1 ẳ sin ! t Find j v 2 j for ! ẳ 0; 10;

By repeating the procedure of Example 5.18, the frequency response is found and given in Table 5-1 The response amplitude decreases with frequency The circuit is a low-pass

Sơ đồ mạch cho thấy sự so sánh giữa điện thế v1 và điện thế tham chiếu v0 Với hệ số khuếch đại lớn, OA tạo ra tín hiệu ra v2 ở các mức giá trị Vcc khác nhau.

(nếu v1 > vo) hoặc –Vcc (nếu v1 < vo) Có thể viết v2 = sgn [v1 – vo], trong đó sgn

– dấu của biểu thức trong ngoặc Nếu vo = 0, thì ta có:

Dạng sóng và tín hiệu

Hàm chu kỳ

Một tín hiệu được gọi là chu kỳ nếu thỏa mãn v(t)v(tT) với mọi giá trị t Bốn dạng hàm chu kỳ, biểu diễn chu kỳ T được liệt kê dưới đây:

Trong đó: T = k.Λ, k – số nguyên (d) Lặp lại dạng sóng theo chu kỳ T: v4(t) (hình 4–1d)

4.1.2 Hàm sin Điện áp sin được biểu diễn bằng biểu thức v(t)V 0 cos(t)

Trong đó: V0 – biên độ, ω – tốc độ góc (tần số góc), θ – góc pha

Tốc độ góc ω có thể được biểu diễn thông qua thời gian chu kỳ T hoặc tần số nhịp f, với công thức f = 1/T Tần số nhịp được đo bằng đơn vị Hertz (Hz), tương đương với chu kỳ trên giây.

Hàm chu kỳ cos(ωt) = cos(ωt + 2π) cho thấy mối quan hệ giữa ω và T, trong đó ωt = 2π Điều này có nghĩa là để hàm số v(t) lặp lại giá trị cũ, cần thời gian T (s), tương đương với việc hàm số có chu kỳ 1/T trong 1 giây.

Tổng hợp, ta có một số quan hệ giữa tần số góc, tần số và thời gian chu kỳ dành cho hàm sin: f

Ví dụ 4–1: Hãy xách định chu kỳ và tần số các hàm sau:

Ví dụ 4–2: Vẽ dạng sóng hàm v(t)5cost với đối số ωt → hình 4–3

4.1.3 D ị ch th ờ i gian và d ị ch góc pha:

Nếu như hàm v(t) = cos ωt, bị chậm lại τ giây, ta có hàm: v(t - τ) = cosω (t –τ) = cos(ωt – θ) Trong đó: θ = ωτ

Khoảng chậm τ dịch chuyển đồ thị hàm v(t) sang phải theo trục hoành, tạo ra sự dịch chậm pha một góc θ = ωτ = 2πfτ Nếu khoảng thời gian τ là âm, đồ thị sẽ dịch chuyển sang trái v(t + τ), dẫn đến góc pha sớm θ, được gọi là sớm pha Do đó, với một dịch chuyển góc pha nhất định, tần số cao sẽ tương ứng với thời gian dịch chuyển nhỏ hơn.

Ví dụ 4–3: Vẽ dạng sóng tín hiệu v(t)5cos(5t/6 /6) theo t và πt/6:

Giải: Đồ thị dạng sóng trên hình 4–4

Trong ví dụ 4–4, chúng ta xem xét một mạch tuyến tính với tín hiệu đầu vào v i (t) = A cos(ωt) và tín hiệu đầu ra v o (t) = A cos(ωt - θ) Khi điện áp đầu vào được biểu diễn dưới dạng vi (t) = cos(ω1t) + cos(ω2t), nhiệm vụ là xác định biểu thức điện áp đầu ra v o (t) cho các trường hợp khác nhau Việc phân tích này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và đầu ra trong mạch tuyến tính.

(a) θ = 10 -6 ω (góc lệch pha tỉ lệ với tần số)

(b) θ = 10 -6 (góc lệch pha hằng số)

(a) θ 1 = 10 -6 ω 1 ; θ 2 = 10 -6 ω 2 Tín hiệu đầu ra: vo (t) = cos (ω1t – θ1) + cos (ω2t – θ2 ) vo (t) = cos (ω1t – 10 -6 ω1) + cos (ω2t – 10 -6 ω2 ) vo (t) = cos ω1(t – 10 -6 ) + cos ω2(t – 10 -6 ) = vi (t – 10 -6 ) = vi (t – τ)

Trong đó: τ = 10 -6 (s) = 1 (μs) Góc lệch pha tỉ lệ tần số góc ω (hình 4–5a) làm chậm tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đầu vào một khoảng 1 (μs)

Tín hiệu đầu ra theo tín hiệu đầu vào không bị méo

(b) θ1 = θ2 = 10 -6 Tín hiệu đầu ra: vo (t) = cos (ω 1 t – θ 1 ) + cos (ω 2 t – θ 2 ) vo (t) = cos (ω1t – 10 -6 ) + cos (ω2t – 10 -6 ) vo (t) = cos ω 1 (t – 10 -6 /ω 1 ) + cos ω 2 (t – 10 -6 /ω 2 )

Góc lệch pha là một hằng số quan trọng (hình 4–5b) có tác dụng làm chậm các thành phần tần số của tín hiệu đầu vào với mức độ khác nhau Kết quả là tín hiệu đầu ra sẽ bị méo so với tín hiệu đầu vào ban đầu.

Tổng của hai hàm chu kỳ với chu kỳ T1 và T2 sẽ tạo thành một hàm chu kỳ nếu chu kỳ chung T được xác định theo công thức T = n1T1 = n2T2, với n1 và n2 là các số nguyên Điều này có nghĩa là tỷ số T1/T2 = n2/n1 có thể được biểu diễn dưới dạng tỷ số giữa các số nguyên Ngược lại, nếu không thỏa mãn điều kiện này, hàm tổng sẽ không phải là hàm chu kỳ.

Ví dụ 4–5: Tìm chu kỳ của hàm sau v(t) = cos 5t + sin (3t + 45 o )

Chu kỳ của hàm cos 5t là T1 = 2π/5; của hàm sin (3t + 45 o ) là T2 = 2π/3

Lấy giá trị T = 2π = 5T1 = 3T2, là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2

Ta thấy: v(t + T) = cos 5(t + 2π) + sin (3(t + 2π) + 45 o ) = cos 5t + sin (3t + 45 o ) v(t + T) = v(t)

Chu kỳ của hàm v(t) là T = 2π

Ví dụ 4–6: Kiểm tra tính tuần hoàn của hàm v(t) = cos t + cos 2πt

Chu kỳ của hàm cos t là T1 = 2π; của hàm cos 2πt là T2 = 1

Không tồn tại chu kỳ chung T = n1T1 = n2T2, bởi vì tỉ số T1/T2 = n2/n1 2π không là tỉ số giữa hai số nguyên, hàm v(t) không chu kỳ

Ví dụ 4–7: Cho p = 3,14 tìm chu kỳ của hàm v(t) = cos t + cos 2pt

Chu kỳ của hàm cos t là T1 = 2π; của hàm cos 2pt là T2 = π/3,14

Tỉ số T1/T2 = 6,28 có thể biểu diễn dạng tỉ số giữa 2 số nguyên 628/100

Cặp số n1 = 25 và n2 = 157, thỏa mãn điều kiện n2/n1 = T1/T2 = 628/100 157/25

Hàm v(t) có chu kỳ là: T = n1T1 = n2T2 = 50π (s)

Ví dụ 4–8: Biểu thức v(t)cos5tsin(3t45 o ) là tổng của hai hàm chu kỳ sin, tìm chu kỳ hàm tổng

Chu kỳ của hàm v(t) là π

4.1.5 Giá tr ị trung bình và giá tr ị hi ệ u d ụ ng

Hàm tuần hoàn f(t) với chu kỳ T, có giá trị trung bình được tính bằng

Giá trị hiệu dụng trong đúng chu kỳ đó được tính:

Các giá trị trung bình và hiệu dụng thông thường được tính cho một chu kỳ của tín hiệu

Ví dụ 4–9: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm sau

Các biểu thức giá trị trung bình và hiệu dụng không phụ thuộc vào tần số

Nói cách khác giá trị trung bình và hiệu dụng của hàm sin luôn bằng tương ứng

Ví dụ 4–10: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm sin nửa sóng

Ví dụ 4–11: Tìm giá trị trung bình và giá trị hiệu dụng của hàm v(t) trong khoảng thời gian chu kỳ T

Kết quả ví dụ trên có thể tổng kết như sau: Nếu v ( t )  V 0 thì V rms V 0

Ví dụ 4–12: Hãy tính giá trị trung bình công suất tiêu thụ trên điện trở có điện áp v(t) trong khoảng thời gian từ 0 đến T(s)

Thay v(t) bằng điện áp dc không đổi V dc Tìm điện áp V dc với điều kiện công suất trunh bình trong một chu kỳ bằng không

Ví dụ 4–15: Dòng điện i(t), có dạng sóng như trong hình, đi qua tụ điện

Để tìm điện áp vac trên tụ tại các thời điểm t = 5k ms (với k = 0; 1; 2; 3; …), ta cần xác định giá trị dòng điện nguồn một chiều không đổi Idc có thể tạo ra điện áp tương ứng trên tụ điện khi t > 0 Sau đó, so sánh giá trị Idc với các thông số đã cho.

trên hình 4–6 trong khoảng 5ms sau khi t >0

Kết quả nạp điện áp lên tụ trong khoảng thời gian 5ms cho thấy dòng điện i(t) là tín hiệu chu kỳ 5ms Mỗi chu kỳ 5ms, tụ tích lũy một lượng điện áp tương tự như trong 5ms đầu tiên Do đó, tại thời điểm t = 5k ms, tụ đạt điện áp vac = 8k V.

(b) Với dòng điện không đổi Idc, điện áp trên tụ sau 5k ms được nạp: dc dc k dc dc I dt I k k I v C1 5 10 10 6 (5 10 3 ) 10 3 5

Mà vdc = vac tại thời điểm 5k ms, ta có:

Dòng điện Idc bằng giá trị trung bình của i(t) trong mỗi chu kỳ 5 ms, từ thời điểm t > 0.

Hàm không chu kỳ

Hàm không chu kỳ là loại hàm tín hiệu mà không thể xác định giá trị trong toàn bộ thời gian chỉ dựa vào giá trị trong một khoảng thời gian hữu hạn Một ví dụ điển hình về hàm không chu kỳ là

Các hàm được sử dụng để xây dựng mô hình toán học và sơ đồ khối cho tín hiệu thực trong phân tích và thiết kế mạch sẽ được trình bày qua các ví dụ cụ thể trong các phần tiếp theo.

4.2.1 Hàm bước đơn vị (hàm step)

Hàm nhảy bước đơn vị được định nghĩa:

(t u Đồ thị hàm nhảy bước đơn vị trên hình 4–7, lưu ý, hàm không xác định tại điểm t = 0

Hình 4-7 minh họa cách sử dụng hàm u(t) trong mạch điện, với công tắc S ở vị trí 1 khi t < 0 và chuyển sang vị trí 2 khi t > 0 Điện áp giữa A và B có thể được biểu diễn qua hàm u(t).

Mạch điện tương đương của nguồn áp nhảy bước đoen vị trên hình 4–8b

Khi công tắc trong mạch hình 4–8a được bật sang vị trí 2 tại thời điểm t = t0, điện áp vAB được biểu diễn bằng hàm bước đơn vị Điện áp V0 giữa A và B xuất hiện muộn hơn tới thời điểm t = t0 Để mô tả hiện tượng này, ta thay đối số t trong hàm bước bằng t – t0.

Ví dụ: Nếu công tắc trong mạch 4–8a bật sang vị trí 2 khi t = 0 và quay trơở ề vị trí 1 khi t = 5 s Hãy biểu diễn vAB bằng hàm bước đơn vị:

Ví dụ: Hãy biểu diễn hàm tín hiệu trên đồ thị hình 4–9, sử dụng hàm bước đơn vị:

Hình 4–9 v(t) = 0 khi t < 0 và t > 2π v(t) = sint khi 0 < t < 2π t t u t u t v( ) [ ( ) ( 2)]sin

4.2.2 Hàm xung đơn vị (hàm dirac)

Hàm sT(t) trong hình 4–10a có giá trị bằng không khi t < 0 và tăng tuyến tính từ 0 lên 1 khi thời gian tiến đến T (s) Đạo hàm của hàm này tạo ra một xung có độ rộng T và độ cao 1/T, như thể hiện trong hình 4–10b.

Khi thời gian đạo hàm T giảm, xung trong hình 4–10b trở nên hẹp và cao hơn, nhưng diện tích dưới xung vẫn giữ nguyên bằng 1 Khi T tiến đến 0, hàm sT(t) trở thành hàm bước đơn vị, và đạo hàm của nó chuyển thành xung đơn vị δ(t) có độ rộng bằng không và độ cao không xác định, như thể hiện trong hình 4–10c.

Xung đơn vị (hoặc hàm dirac) được định nghĩa:

Một xung có giới hạn độ rộng và diện tích A được biểu diễn bằng hàm Dirac: Aδ(t) Độ mạnh của xung thường được xác định bởi giá trị A Hàm xung đơn vị tại thời điểm t = t0 được thể hiện qua biểu thức δ(t - t0).

Ví dụ 4–17: Điện áp trên hai cực của tụ điện 100-nF tăng tuyến tính từ 0V đến 10V, như dạng sóng hình 4–10a Hãy tìm (a) điện tích trên tụ khi t = T và

(b) dòng điện i C (t) trên tụ trong cho các chu kỳ T = 1s; T = 1ms và T = 1μs

(a) Tại thời điểm t = T, vC = 10V Điện tích trên tụ: QC.v C 10  7 1010  6 C

(b) Dòng điện trên tụ: dt

Trong tất cả các trường hợp, điện tích trên tụ khi kết thúc quá trình napk được xác định theo biểu thức:

Lượng điện tích trên tụ vào thời điểm t = T không phụ thuộc vào T Nó tạo ra điện áp vC = 10V trên tụ

Ví dụ 4–18: Cho hàm d T (t – t 0) phát một xung hẹp có độ rộng T và độ cao

1/T, vào thời điểm t = t 0 Xét hàm f (t), liên tục trong khoảng t 0 đến t 0 + T như trên hình 4–11a Hãy tìm giới hạn của tích phân I khi T→0

Thay dT(t – t 0 ) vào biểu thức tích phân I:

Diện tích S dưới hàm f(t) trong khoảng từ t0 đến t0 + T, như thể hiện trong hình 4–11b, được xác định là hình thang Giả sử T là một khoảng nhỏ, hàm f(t) có thể được ước lượng chính xác dựa trên đường nối giữa các điểm A và B.

Như vậy T → 0, dT(t – t0) → δ(t – t0) và f(t0 + T) → f(t0) từ biểu thức tích phân I ta có:

Như đã giả thiết, f(t) liên tục trong khoảng t0 đến t0 + T

 Đây là tính chất chọn lọc của hàm dirac, có thể dùng làm định nghĩa khác cho hàm này

Hàm số f(t) = e^st, với s là hằng số phức, được gọi là hàm mũ Hàm này có giá trị giảm khi phần thực của s âm và tăng khi phần thực của s dương Chúng ta sẽ tập trung vào hàm mũ e^at, trong đó a là hằng số thực Đối với a, đại lượng nghịch đảo của nó, có đơn vị thời gian, được gọi là hằng số thời gian τ = 1/a Đồ thị của hàm suy giảm e^(-t/τ) theo biến t được thể hiện trong hình.

Hàm mũ suy giảm giá trị từ một tại thời điểm t = 0 đến giá trị không tại thời điểm t = ∞ Sau khoảng thời gian τ (giây), hàm mũ giảm một lượng e^(-1) = 0,368 Khi τ = 1, hàm mũ e^(-t) được gọi là hàm mũ bình thường hóa, với đối số là t/τ.

Ví dụ 4–19: Trong hình 4–12, biểu diễn tiếp tuyến của đồ thị hàm mũ

(t e t f   tại t = 0 cắt trục hoành tại t = τ

Tiếp tuyến bắt đầu tại điểm A (v = 1, t = 0) với độ dốc  / 1/

Phương trình đường thẳng v tan (t) = -t/τ + 1 cho thấy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm B khi t = τ Điều này giúp chúng ta hiểu cách vẽ các hàm mũ bằng cách xác định điểm bắt đầu và tiếp tuyến với đồ thị hàm mũ tại điểm đó.

Ví dụ 4–20: Hãy vẽ gần đúng đồ thị của hàm mũ v(t)e  t /  với t > 0

Xác định điểm bắt đầu A (t = 0; v = 1) của đường cong và điểm giao cắt B của tiếp tuyến với trục hoành tại t = τ Vẽ đoạn thẳng AB

Hai điểm tiếp theo C và D trên đồ thị tại các vị trí t = τ và t = 2τ, với độ cao tương ứng 0,368 và 0,368 2 = 0,135

Sử dụng thước cong ta có thể vẽ được đồ thị hàm mũ nột cách tương đối chính xác như trên hình 4–12

Tốc độ biến thiên theo thời gian của hàm mũ \( v = A.e^{st} \) tại một thời điểm cụ thể tỉ lệ thuận với giá trị của hàm mũ tại thời điểm đó Ngoài ra, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của hàm mũ và đạo hàm bậc n của nó cũng tỉ lệ thuận với nhau Hệ số tỉ lệ giữa chúng có thể được xác định thông qua các tính toán cụ thể.

(a) Tốc độ biến thiên của hàm chính là đạo hàm của hàm số đó, với hàm mũ, ta có: v s Ae dt s dv st

(b) Dùng kết quả chứng minh ở phần (a) v s Ae dt s v d n st n n n

Xác định và vẽ đồ thị f(t) Ae  at B

Ta thường gặp hàm mũ có dạng f(t) Ae  at B

Hàm mũ được xác định bởi ba tham số A, B và a, trong đó A là hiệu số giữa giá trị đầu và giá trị cuối, B là giá trị cuối, và a là nghịch đảo của hằng số thời gian.

Để tìm hàm điện áp v(t) có độ suy giảm theo cấp số nhân từ 5V tại t = 0 xuống 1V tại t = ∞ với hằng số thời gian 3s, ta áp dụng công thức hàm mũ Đồ thị hàm mũ có thể được vẽ bằng các kỹ thuật đã trình bày trong ví dụ 4–20.

Hàm mũ có dạng v(t) Ae  at B

Các giá trị đầu, cuối: v(0) = A + B = 5; v(∞) = B = 1 → A = 4

Hằng số thời gian là 3s → a = 1/3

Hàm cần tìm: v(t)4e t / 3 1 Đồ thị hàm v(t) 4e t / 3 1 trên hình 4–13

Khi một điện áp v = V0 e^(-t/τ) được áp dụng cho tụ điện, dòng điện i trên tụ có thể được tính bằng công thức i = C.dv/dt Với các thông số V0 = 10V, C = 1μF và τ = 1ms, ta có thể vẽ dạng tín hiệu của điện áp và dòng điện Dòng điện sẽ giảm dần theo thời gian, phản ánh sự sạc và xả của tụ điện dưới tác động của điện áp giảm dần.

Khi V0 = 10V; C = 1μF và τ = 10 –3 s, ta có: I0 = 10mA Đồ thị v và i trên hình 4–14 tương ứng a và b

Hàm sin tắt dần có biên độ suy giảm theo cấp hàm mũ có dạng:

Hàm sin tắt dần được trình bày kỹ tại phần mạch điện bậc cao

Quá độ trong mạch điện

Quá độ trong mạch điện cấp một

5.1.1 Quá độ trong m ạ ch RC

Khi tụ điện có điện áp V0 giữa hai bản cực, việc kết nối với điện trở sẽ khiến điện tích di chuyển giữa các bản cực, tạo ra dòng điện i Theo thời gian, điện áp của tụ giảm dần về 0, đồng thời dòng điện i cũng trở về giá trị 0 Trong mạch RC như hình 5–1a, quá trình này diễn ra một cách tuần tự.

R  và iC.dv/dt Loại bỏ i trong hai phương trình trên ta có:

Chỉ có hàm mũ ở dạng A.e^st có khả năng kết hợp tuyến tính với đạo hàm của nó để cho kết quả bằng không Khi thay v bằng hàm A.e^st và dv/dt bằng e^st sA vào phương trình (5–1), ta sẽ nhận được kết quả mong muốn.

Nếu lấy v(0) AV 0 , v(t) và i(t) có thể xác định theo:

Cdv t i t RC (5–4) Điện áp và dòng điện trên tụ là các hàm mũ với giá trị đầu tương ứng là

V 0 và V 0 /R Khi thời gian tăng, dòng và áp đều giảm về không với hằng số thời gian  RC Xem hình 5–1b và c

Khi điện áp trên tụ 1μF là 10V và một điện trở 1MΩ được kết nối vào hai cực của tụ tại thời điểm t < 0, cần xác định hằng số thời gian τ, điện áp v(t) và giá trị điện áp tại t = 5s Hằng số thời gian τ có thể tính bằng công thức τ = R × C, với R là điện trở và C là điện dung Sau khi tính toán, điện áp v(t) sẽ giảm theo hàm mũ theo thời gian, và tại thời điểm t = 5s, giá trị điện áp sẽ được xác định dựa trên công thức v(t) = V0 × e^(-t/τ), trong đó V0 là điện áp ban đầu.

Ví dụ 5–2: Một tụ 5 μF với điện áp ban đầu là 4V được nối song song với điện trở 3kΩ và 6kΩ (hình 5–2) Hãy tìm dòng điện i trên điện trở 6kΩ

Hình 5–2 Điện trở tương đương của các điện trở song song là 2kΩ, hằng số thời gian của mạch   RC2.10 3 5.10  6 10  2 Điện áp và dòng điện i trên điện trở 6kΩ:

Kết nối tụ, có điện tích ban đầu bằng không, với nguồn dc, có điện áp V0, thông qua điện trở vào thời điểm t = 0 Mạch điện như hình 5–3a

Với t > 0, áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho vòng kín R.ivV 0 , sau khi thay iCdv/dt vào ta có:

1 V v RC RC dt dv   (5–5a) Điều kiện đầu: v(0  )v(0  )0 (5–5b)

Lời giải cần thỏa mãn đồng thời hai phương trình (5–5a) và (5–5b) Cụ thể, lời giải v p (t) = V 0 đáp ứng (5–5a) nhưng không thỏa mãn (5–5b) Để có lời giải đồng nhất v h (t) = A e^(-t/RC), cần bổ sung và điều chỉnh độ lớn của nó, nhằm đảm bảo rằng lời giải tổng thể (5–6a) thỏa mãn cả hai phương trình (5–5a) và (5–5b).

Từ điều kiện đầu: v(0  )V 0  A0AV 0 lời giải tổng hợp:

Trong ví dụ 5–3, một tụ điện 4 μF có điện áp ban đầu v(0-) = 2V được kết nối với nguồn điện 12V qua điện trở 5kΩ tại thời điểm t = 0 Để xác định điện áp trên tụ và dòng điện qua tụ khi t > 0, cần phân tích quá trình sạc điện của tụ điện trong mạch này.

Hằng số thời gian của mạch là  RC0,02s Theo phân tích trên ví dụ

Từ điều kiện ban đầu, ta có v(0−) = v(0+) = 12 + A = 2, suy ra A = -10 Với t > 0, điện áp v(t) được mô tả bởi công thức v(t) = 12 - 10e^(-t/50) Dòng điện i(t) được tính bằng i(t) = (12 - v(t))/5000 = 2 - 50 mA Điện áp tăng theo hàm mũ từ 2V lên 12V với hằng số thời gian 20ms, trong khi dòng điện giảm từ 2mA xuống 0.

5.1.2 Quá độ trong m ạ ch RL

Trong mạch RL, tại thời điểm t = 0, dòng điện là I0 Đối với t > 0, dòng điện i phải thỏa mãn phương trình R.i + L(di/dt) = 0 Giải phương trình này, ta có i(t) = A e^(st) Tiếp theo, ta thay lời giải vào phương trình để tìm các hằng số A và s.

A → RLs0 → sR/L Điều kiện đầu: i(0) = I 0 = A khi đó:

I t i( ) 0  / , với t > 0 Hằng số thời gian của mạch điện là τ = L/R

Ví dụ 5.4: Nguồn dc 12V, trong hình 7–6a được ngắt tại thời điểm t = 0

Tìm dòng điện cảm và điện áp

Khi công tắc S được đóng trong một khoảng thời gian đủ lớn, dòng điện trên điện cảm trở nên không đổi và điện áp trên nó bằng không Tại thời điểm t = 0, dòng điện i(0−) được xác định là 3A Khi ngắt nguồn tại t > 0, mạch điện sẽ giống như hình 5–6c, và dòng điện sẽ giảm theo hàm mũ từ 3A xuống 0 Hằng số thời gian của mạch được tính bằng τ = L/R = (1/100)s = 0,01s.

Dựa trên kết quả từ ví dụ 5–3, dòng điện và điện áp của điện cảm được mô tả bằng các phương trình: \( e(t) = 3 - 100 \frac{d i(t)}{dt} \) và \( v(t) = -30 - 100 \) Đồ thị thể hiện dòng điện và điện áp được trình bày trong hình 5–6d và 5–6e.

Nếu nguồn dc tức thì được kết nối với mạch RL nối tiếp, như trong hình

Dòng điện tăng theo hàm mũ từ 0 đến giá trị ổn định với hằng số thời gian τ = L/R Các kết quả trước đây đã giải quyết phương trình vi phân bậc một.

() có thể thực hiện thông qua áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho vòng kín

Do ii h (t)i p (t), trong đó: i h (t) Ae  Rt / L và i p (t)V 0 /R

Nên ta có: ii h (t)i p (t) Ae  Rt / L V 0 /R

Hệ số A tìm được từ điều kiện đầu: i(0  ) AV 0 /R0→ AV 0 /R

Dòng điện và điện áp trên điện cảm tính theo biểu thức dưới đây, dạng sóng đồ thị dòng áp trên hình 5–7

5.1.3 Hàm mũ cơ số t ự nhiên

Suy giảm theo hàm mũ có thể viết dưới dạng e  t /  , trong đó τ – hằng số thời gian (tính bằng giây) Đối với mạch RC (mục 5.1.1) và mạch RL (mục

(t Ae t f   với t > 0 Đồ thị được vẽ ở hình 5–8 với thời gian biển diễn bằng bội số của hằng số thời gian τ

Tại t = τ, hàm mũ đạt 36,8% giá trị ban đầu, tương đương với việc giảm 63,2% tổng giá trị từ f(0+) đến f(∞) Ở thời điểm t = 5τ, giá trị hàm mũ chỉ còn 0,0067A, thấp hơn 1% giá trị ban đầu Quan điểm thực tế cho thấy rằng độ kết thúc xảy ra khi t = 5τ Tiếp tuyến với đường cong hàm mũ tại t = 0 có thể được sử dụng để xác định hằng số thời gian.

 f A slop ' (0  ) Đường tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm t = τ (hình 5–9) Một cách tổng quát hơn, đường tiếp tuyến tại t = t0 có giao điểm với trục hoành tại t = t0 + τ

Như vậy nếu biết f(t 0 ) và f’(t 0 ), có thể dựng được đường cong hàm mũ f(t)

Trong quá trình quá độ, chỉ có một phần dữ liệu hiển thị trên giấy của máy tự ghi hoặc màn hình máy hiện sóng, cùng với các giá trị hàm và độ dốc tương ứng Đây là những thông số quan trọng để dựng đồ thị hàm, nhưng thường không được cung cấp trên các thiết bị đo thông dụng Tuy nhiên, bằng cách đọc các giá trị từ thiết bị đo tại những thời điểm khác nhau, ta có thể xác định được phương trình của quá độ, như minh họa trong hình 5-10.

Ae f   Trong đó, giải đồng thời cả hai trường hợp ta nhận được

 Giá trị của A có thể tìm được từ giá trị f1 hoặc f2

5.1.4 M ạ ch b ậ c m ộ t ph ứ c t ạ p RL và RC

Mạch điện phức tạp bao gồm các điện trở, nguồn điện và một phần tử lưu trữ năng lượng, có thể được chuyển đổi thành sơ đồ tương đương.

Phương pháp Thevenin và Norton có thể áp dụng cho các mạch điện có điện cảm hoặc tụ điện, giúp phân rã mạch điện trở thành dạng RL hoặc RC đơn giản Điều này cho phép giải quyết mạch một cách hiệu quả bằng các phương pháp đã được đề cập.

Khi nguồn được kết nối vào mạch, quá trình quá độ diễn ra với dòng và áp suất là các hàm mũ, có hằng số thời gian với các giá trị ban đầu và kết thúc khác nhau Hằng số thời gian của mạch có thể là RC hoặc L/R, trong đó điện trở tương đương Thevenin của mạch được xác định từ hai cực của tụ điện hoặc điện cảm.

Ví dụ 5.5: Hãy tìm biểu thức dòng, áp và dòng điện i1 trong hình 5-11a

Nguồn áp và điện trở tương đương Thevenin của mạch điện phía trái điện cảm được mô tả trên hình 5–11b với RTh = 4Ω và v Th = 3.u(t)V

Hằng số thời gian của mạch  L/R Th 5.10  3 /41,25ms Dòng điện ban đầu của điện cảm bằng không nên giá trị cuối của nó:

1 v e u t i      t A Điện áp v có thể tính trực tiếp từ điều kiện đầu 3

  v  V, và giá trị cuối v()0 và hằng số thời gian của mạch không đổi

Ví dụ 5–6: Trong hình 5–12, tụ điện 9μF được kết nối vào mạch tại thời điểm t = 0, khi tụ có điện áp ban đầu v 0 = 17V Hãy tìm v A, v B, v C, i AB, i AC, và i BC khi t > 0

Hình 5–12 Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng tại nút A, B và C với t > 0 để tìm biểu thức của dòng điện i:

→ 2v A 3v B 6v C 0 (5–13) Giải đồng thời ba phương trình trên ta được: i v A 10 3 3

Mạch điện đang xét tương đương với tụ điện nối với điện trở R, có giá trị

R B kΩ Tụ điện xả qua điện trở từ giá trị điện áp ban đầu V0 theo dạng suy giảm hàm mũ với hằng số thời gian 10 9.10 0,034

Do đó với t > 0, điện áp và dòng điện trong mạch:

Đáp ứng của mạch bậc một

5.2.1 Đáp ứ ng v ớ i tá c độ ng c ủ a hàm bướ c

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét phản ứng của mạch bậc một khi chịu tác động của xung chữ nhật Phương trình vi phân áp dụng cho mạch RC hoặc RL, trong đó nguồn cung cấp xung có thể là dòng điện hoặc điện áp Ví dụ, mạch RC nối tiếp được trình bày trong hình 5–17, có nguồn điện áp cung cấp xung với độ rộng T và độ lớn V0.

Với t < 0, cả điện áp v và dòng điện i bằng không Trong thời gian xung tác động, ta sử dụng các biểu thức (5–6b) và (5–6c):

Khi xung ngừng, mạch điện trở thành mạch RC không nguồn với điện áp ban đầu trên tụ VT:

Sử dụng các biểu thức (5–3) và (5–4), lấy khoảng dich thời gian là T, ta có:

R iV  (  ) / t > T (5–15b) Điện áp và dòng điện trên tụ được vẽ dạng sóng trên hình 5–17b và c

Ví dụ 5–11: Trong mạch điện hình 5–17(a), cho R = 1kΩ và C = 1μF, nguồn áp là xung có độ lớn V0 và độ rộng T Tìm i và v với (a) V0 = 1V và T = 1 ms, (b) V0 = 10V và T = 0,1 ms và (c) V0 = 100V và T = 0,01 ms

Sử dụng biểu thức (14) và (15) với hằng số thời gian τ = RC = 1 ms, thời gian sẽ được tính bằng đơn vị ms, điện áp tính bằng V, và dòng điện tính bằng mA Ngoài ra, có thể gần đúng rằng e^(-t) ≈ 1 - t khi t 0, ta có lời giải phương trình vi phân:

) ( ) ( ) (t i t i t i  h  p và i(0  )0 (5–17a) Đáp ứng tự nhiên i h (t)là lời giải của phương trình R.iL(di/dt)0; có nghĩa trường hợp không có hàm cưỡng bức Tương tự mạch RL không nguồn:

Rt h t Ae i ( )  / (5–17b) Đáp ứng cưỡng bức i p (t) là hàm thỏa mãn (5–16) với t > 0: st p t I e i ( ) 0 (5–17c)

Sau khi thế i p trong biểu thức (5–16) tìm được I 0 V 0 /(RLs) Bằng cách chọn AV 0 /(RLs), điều kiện giới hạn i(0  )0 cũng được thoả mãn:

Trong trường hợp đặc biệt, nếu hàm cưỡng bức tương đồng với hàm đáp ứng tự nhiên (s = – R/L), đáp ứng cưỡng bức sẽ là i p (t) = I 0 te − Rt / L Điều này được xác nhận bằng cách kiểm tra phương trình 5–16, với I 0 = V 0 / L, và đáp ứng tự nhiên tương tự như 5–17b Do đó, tổng các đáp ứng sẽ được tính toán dựa trên các yếu tố này.

Từ điều kiện i(0  )i(0  )0, ta tìm được A = 0, và i(t)I 0 te  Rt / L trong đó: I 0 V 0 /L

5.2.4 Đáp ứ ng c ủ a m ạ ch RC và RL v ớ i kích thích hàm sin

Khi mạch gồm điện trở và điện cảm nối tiếp có kích thích đột ngột t

V cos v s  0 (hình 5–19), phương trình quan tâm là:

Lời giải phương trình vi phân:

) ( ) ( ) (t i t i t i  h  p trong đó i h (t) Ae  Rt / L và i p (t) I 0 cos(t) Thay i p vào 5–18, ta tìm được I0:

Khi đó: i(t) Ae  Rt / L I 0 cos(t) với t > 0

Bảng 5–3: Tổng hợp đáp ứng cưỡng bức của mạch bậc một

t cos Acos(t) trong đó: A1/ a 2  2 và tan /a t e  bt cos Ae  bt cos(t) trong đó: A1/ (ab) 2  2 và

Mạch chủ động với OA ít nhạy cảm với tải khi kết nối với các mạch khác, cho phép dễ dàng triển khai và áp dụng cho các mạch thụ động Trong các phân tích mạch tuyến tính, ta giả thiết rằng dòng điện giữa các cực vào của OA bằng không và hiệu điện thế giữa cực đảo và không đảo cũng được xem xét.

OA không đáng kể Các phương pháp phân tích thường áp dụng được minh họa rõ ràng qua các ví dụ dưới đây

Ví dụ 5–15: Lọc tần số cao OA trong mạch ở hình 5–20 được coi là lý tưởng Hãy tìm đáp ứng hàm bước của mạch v 2 với v 1 = u(t)

Cực vào đảo của OA là cực đất giả, tụ điện có áp bằng không khi t = 0

Nguồn bước 1V ở đầu vào, do đó tạo ra dòng điện đi qua nhánh R1C (từ phải sang trái với hằng số thời gian R1C và giá trị đầu 1/R1)

Cả dòng điện đi qua điện trở R 2 (OA không có dòng), do điện áp v 2 gây nên từ đầu ra v 2 R 2 i Đáp ứng đối với hàm bước khi đó:

Trong mạch điện được mô tả trong hình 5–20, ta có thể thiết lập phương trình vi phân để thể hiện mối quan hệ giữa v2 và v1 Tiếp theo, hãy xác định đáp ứng của mạch khi chịu tác động của kích thích hàm bước, tương tự như trong ví dụ 5–15.

Trong mạch điện của OA, có một điểm nối đất ảo mà không có dòng điện nào đi qua Dòng điện i di chuyển qua các thành phần C, R1 và R2 theo chiều từ trái sang phải, với điện áp tại nút nối được ký hiệu là vA và được tính bằng công thức –v2/R2.

R1 và C Khi đó, tụ điện có điện áp v 1 – v A (cực dương bên trái) Dòng và áp của tụ có quan hệ: dt v v

 Để xác định v A , ta lưu ý rằng phân đoạn R1, R2 và cực đảo OA có v A

R v 2 ( 2 / 1 ) → v A (R 1 /R 2 )v 2 , thay v A vào, ta có: dt dv R

Cdv R v 2  1 2  2 1 Để tìm đáp ứng của hàm bước đơn vị, ta giải phương trình sau

Ví dụ 5–17: Dịch pha thụ động Tìm quan hệ giữa v 2 và v 1 trong mạch hình 5–21a

Chọn nút D làm nút gốc, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho các nút

Cdv R v v B B Đối với OA lý tưởng, ta có v A = v B , từ phương trình thứ nhất

1 v v v A   thay vào phương trình thứ hai: dt

Mạch điện bậc cao

5.3.1 M ạ ch RLC n ố i ti ế p không ngu ồ n

Phương trình vi phân bậc hai có ba dạng giải khác nhau, tùy thuộc vào các yếu tố của mạch điện Hệ động học bậc hai, như mô tả trong hình 5–22a, bao gồm một khối lượng M kéo bởi lò xo với hằng số giãn k và một bộ giảm xóc D Khi khối lượng M dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng và được thả tự do tại thời điểm t = 0, chuyển động của vật có thể rơi vào ba chế độ: overdamped, critically damped, hoặc underdamped (dao động) Hình 5–22b thể hiện quỹ đạo chuyển động của vật sau khi được thả tự do từ vị trí dịch chuyển z1 tại thời điểm t = 0.

Mạch RLC nối tiếp (hình 5–23) không chứa nguồn áp Định luật

Kirchhoff về áp cho vòng kín:

Lấy đạo hàm và chia hai vế phương trình cho L

Lời giải phương trình vi phân bậc hai có dạng i A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t , thay vào phương trình vi phân bậc hai ta có:

Nếu s1 và s2 là nghiệm của phương trình: 2   1 0 s LC L s R

Trường hợp tắt dần dưới ngưỡng (Overdamped Case)   0

Cả α và β là các số thực dương:

Mạch RLC nối tiếp với R = 200Ω, L = 0,10 H và C = 13,33μF có điện tích ban đầu trên tụ Q0 = 2,67 x 10^-3 Khi công tắc được đóng vào thời điểm t = 0, mạch sẽ khép kín và tụ sẽ bắt đầu xả Cần xác định quá độ của mạch như minh họa trong hình 5–24.

Các giá trị A1 và A2 được xác định từ điều kiện đầu Đối với điện cảm

(  i  i Đối với tụ – điện áp và điện tích không biến đổi lúc chuyển mạch từ t(0 – ) sang t(0 + ) v C (0  )Q 0 /C200 V Áp dụng hai điều kiện này:

Trong đó: A 1 2 và A 2 2, lấy A1 dương, t t e e i2  500 2  1500

Khi giá trị A1 là âm, đồ thị của hàm sẽ lật xuống dưới nhưng vẫn giữ hình dạng tương tự Dấu của A1 và A2 được xác định dựa trên cực tính của điện áp ban đầu trên tụ, và chúng có mối quan hệ theo giả thiết cùng chiều dòng điện.

Trường hợp tắt dần ở giới hạn (Critically Damped Case) α = ω 0

Khi α = ω0, phương trình vi phân chuyển sang dạng khác, khiến cho hai biểu thức mũ đã được sử dụng trong các phần trước không còn khả thi Do đó, phương trình sẽ được biểu diễn theo một cách khác.

Và lời giải phương trình vi phân này có dạng: ie   t (A 1 A 2 t)

Ví dụ 5–19: Lặp lại ví dụ 5–18 với C = 10μF, và kết quả khi α = ω0

Như trong ví dụ 5–18, điều kiện đầu được dùng để xác định các hằng số

Do đó i(0  )i(0  ) nên 0[A 1 A 2 (0)] suy ra A1 = 0

(A 2 te t A 2 te t e t dt d dt di          

Tại đây, cực tính lại ảnh hưởng đến lựa chọn chiều dòng điện tương ứng với cực tính của tụ điện ở thời điểm ban đầu

Hình 5–25 cho thấy đáp ứng của chế độ tắt dần dưới ngưỡng và tắt dần tới hạn tương tự như hình 5–24 Để xác minh điều này, có thể lấy một số giá trị của t và so sánh các dòng điện Ví dụ, cần tìm thời gian để dòng điện đạt 1,0 mA và 1,0 μA trong cả hai trường hợp Đồng thời, cũng nên xác định giá trị của t khi dòng điện đạt mức tối đa.

Trường hợp tắt dần trên ngưỡng hoặc dao động (Underdamped or Oscillatory

Khi α < ω₀, các giá trị s₁ và s₂ trong lời giải phương trình vi phân khác với các trường hợp trước, do có dạng số phức s₁ = α + jβ và s₂ = α - jβ, trong đó β được tính từ biểu thức β = √(ω₀² - α²) Lời giải phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng biểu thức mũ.

( 1 j t 2 j t t Ae A e e i       Hoặc nếu ở dạng hàm sin:

Ví dụ 5–20: Lặp lại ví dụ 5–18 với C = 1 μF

Tương tự ví dụ trước:

Các hằng số A3 và A4 được xác định từ điều kiện đầu như phần trước

Biểu thức dòng điện : i 0,667e  1000 t sin3000t

Hàm dòng điện i = ±0,667e^(-1000t) sin(3000t) thể hiện dòng điện dao động với tần số radian β (rad/s) và có đồ thị là đường đứt nét, như được mô tả trong hình 5–26 Dòng điện này tắt dần theo tốc độ hàm mũ e^(-αt).

5.3.2 M ạ ch RLC song song không ngu ồ n Đáp ứng của mạch RLC song song được mô tả trên hình 5–27, có dạng giống như mạch RCL nối tiếp, do phương trình lập được có dạng phương trình vi phân bậc hai

Phương trình định luật Kirchhoff về dòng tại nút:

Lấy đạo hàm và chia hai vế cho C:

LC dt dv dt RC v d

Lời giải của phương trình vi phân có dạng: t s t s A e e A v 1 1  2 2 trong đó:

Hệ số tắt dần α trong quá trình quá độ của mạch RLC song song khác biệt so với mạch RLC nối tiếp Đáp ứng quá độ có thể dễ dàng hình dung khi giả thiết ban đầu là tụ điện có điện tích Q0 và công tắc được đóng tại thời điểm t = 0 Do đó, hàm bước điện áp được áp dụng cho mạch này có biên thiên tương tự như quá trình quá độ.

Trường hợp tắt dần dưới ngưỡng (Overdamped Case)   0

Trong trường hợp này áp dụng lời giải: v A 1 e s 1 t  A 2 e s 2 t

Ví dụ 5–21: Mạch RLC song song với R = 1000Ω, C = 0,167 μF và L 1,0H có điện áp ban đầu V0 = 50,0V trên tụ Xác định điện áp v(t) khi đóng công tắc tại t = 0

Với  2  0 2 theo lời giải phương trình vi phân :

Tại phương trình định luật Kirchhoff về dòng cho nút, khi t = 0, không có dòng điện ban đầu trên điện cảm:

Như vậy hệ phương trình để tìm các hằng số:

Giải hệ tìm được A1 và A2:

Biểu thức điện áp: v155,3e  1271 t 105,3e  4771 t Đồ thị điện áp trên hình 5–28

Trường hợp tắt dần trên ngưỡng hoặc dao động (Underdamped or Oscillatory

Trường hợp dao động tắt dần đói với mạch RLC song song, lới giải tương tự với trường hợp nối tiếp:

Trong đó:  1/2RC;  d   0 2  2 là tần số tinhd theo radian, được gọi là tần số dao động tắt dần

Ví dụ 5–22: Mạch RLC nối tiếp với R = 200Ω, L = 0,28H và C = 3,57 μF có điện áp ban đầu trên tụ V0 = 50V Xác định biểu thức điện áp khi đóng chuyển mạch vào t = 0

Khi α < ω0 , mạch điện có đáp ứng là dao động tắt dần

Tại t = 0, V 0 = 50; khi đó A1 = V0 = 50 từ phương trình định luật

Kirchhoff về dòng cho nút

Lấy đạo hàm biểu thức điện áp tại t = 0:

Trong mạch RLC song song, trường hợp tắt dần ở giới hạn ngưỡng không được xem xét do các thông số quá nhỏ hoặc không tồn tại trong thực tế thiết kế Thậm chí, có thể sử dụng các hằng số của đáp ứng ở giới hạn dao động cho tình huống này.

5.3.3 M ạch điệ n có hai vòng m ắt lướ i

Phân tích đáp ứng của mạch điện cho hai vòng mắt lưới với hai phần tử tích trữ điện năng được thể hiện qua phương trình vi phân sau đây.

Như trong hình 5–29, chọn 2 vòng với các dòng i1 và i2, áp dụng định luật Kirchhoff về áp, ta có hai phương trình vi phân bậc 1:

Để giải hệ phương trình vi phân này, cần thực hiện việc giải đồng thời Đầu tiên, ta lấy đạo hàm của một trong hai phương trình, sau đó thay thế vào phương trình còn lại để thu được phương trình bậc hai Ở đây, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của phương trình thứ nhất.

Khử i2 và di2/dt từ các phương trình trên ta thu được:

Trạng thái ổn định trong lời giải của phương trình (5–24) là điều kiện

( V R i   ; Quá trình quá độ được xác định bằng các nghiệm s1 và s2 của phương trình:

Và điều kiện ban đầu: i(0  )0;

Cả hai dòng điện i₁ và i₂ cần duy trì liên tục tại thời điểm t = 0 Biểu thức cho i₁ đã được xác định, trong khi biểu thức cho i₂ có thể suy ra từ (5–21) Cần có hệ số tắt dần để đảm bảo quá trình quá độ kết thúc, và điều này phụ thuộc vào các hằng số quá trình quá độ, có thể là tắt dần dưới ngưỡng hoặc tắt dần trên ngưỡng (dao động) Tổng quát, dòng điện trong mạch được biểu diễn theo biểu thức: i = (quá độ) +.

Quá độ có giá trị bằng V /R 1 khi t = 0 và bằng không khi t = ∞.

Quá độ của m ạch điện trong miền tần số

Các mạch điện đã xét trước đây, hàm biểu diễn nguồn là hằng số (ví dụ,

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tần số phức, giúp đơn giản hóa việc phân tích mạch điện với các nguồn điện như hàm sin (ví dụ: v = 100sin(500t + 30°) V) và hàm mũ (ví dụ: v = 10e^(-5t) V) Việc sử dụng tần số phức sẽ hỗ trợ chúng ta trong việc hiểu rõ hơn về cả quá trình quá độ và trạng thái ổn định của mạch.

Biểu diễn hàm mũ bằng hàm sin và cos tương đương:

Ta thấy: cos(t)Ree j (  t   ) và để đơn giản Re được thay bằng hằng số A và hệ số e  t

Ae  (    )   (    )   trong đó s  j Tần số phức s  j có đơn vị là s –1 và ω như đã biết có đơn vị rad/s

Như vậy đơn vị của σ cũng phải là s –1 Và để phân biệt σ được gọi là tần số

Neper, được biểu thị bằng đơn vị Np/s, có các đặc tính khác nhau tùy thuộc vào giá trị của σ và ω Nếu cả σ và ω đều khác không, hàm số sẽ là hàm cos tắt dần Trong trường hợp σ và ω bằng không, hàm sẽ có giá trị hằng số Cuối cùng, khi ω = 0 và σ khác không, giá trị của hàm sẽ suy giảm theo hàm mũ Chỉ những giá trị âm của σ mới được xem xét là có ý nghĩa.

Bảng 5–4: Một số hàm với giá trị s  j và cho biểu thức Ae st f (t) s A e 5 t

Trong hình 5–30, sự biến thiên của hàm số theo các giá trị của s cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong dạng sóng Khi σ = 0, hàm khảo sát trở thành hàm cos với biên độ ± Vm mà không có hiện tượng tắt dần Ngược lại, khi ω = 0, hàm mũ suy giảm với giá trị ban đầu ± Vm Cuối cùng, khi cả σ và ω đều khác không, ta nhận được hàm cos tắt dần.

5.4.2 Tr ở kháng t ổ ng quát c ủ a m ạ ch RLC trong mi ề n t ầ n s ố s

Các nguồn áp và dòng điện trong mạch thụ động (chỉ gồm các phần tử thụ động) sẽ tạo ra dòng điện và điện áp trên các nhánh Dòng và điện áp sẽ biến thiên theo thời gian, ví dụ như I = I_a e^{jψ} e^{st} và V = V_a e^{jφ} e^{st} Để xác định dòng và điện áp, chỉ cần xác định độ lớn và góc pha của chúng Qua đó, quá trình chuyển đổi từ miền thời gian sang miền tần số được thực hiện.

Xét mạch gồm RL nối tiếp với nguồn áp vV m e j  e st sẽ có dòng điện được biển diễn theo biểu thức iI m e j  e st = I m t e s , nếu thay vào phương trình mạch điện t j m e e dt V

Ta được phương trình sau: t j m t m t m e LI e V e e

Trở kháng trong miền tần số của RL nối tiếp là R + s L, do đó điện cảm có cảm kháng là s L trong miền tần số

Ví dụ 5–23: Mạch RL nối tiếp với R = 10Ω, L = 2H, được cấp nguồn áp

10e 2 t t o v   V Xác định dòng điện trong miền tần số dt i di dt

Thay s = –2 + j10 (biểu thức nguồn v10e  2 t cos(10t30 o ) →  2;

Ví dụ 5–24: Mạch RC nối tiếp với R = 10Ω và C = 0,2F, có nguồn áp tương tự như với ví dụ 5–23

Thay s = –2 + j10 vào biểu thức dòng điện I

Như vậy trong miền tần số trở kháng của tụ điện (1/sC) Và trở kháng của mạch thụ động RLC nối tiếp trong miền tần số: Z(s)Rs L1/s C

5.4.3 Hàm bi ến đổ i m ạch điệ n

Nguồn áp có dạng \(v = V_e s t\) cung cấp cho mạch thụ động, tạo ra dòng điện và điện áp có dạng hàm \(e^{s t}\) trong mạch, ví dụ \(i = I_e^{j \psi} e^{s t}\) Để xác định dòng và áp, chỉ cần biết độ lớn và góc pha Trong miền tần số, dòng và áp được biểu diễn dưới dạng cực, như \(V \angle \theta\) và \(I \angle \psi\) Hình 5-32 minh họa mạch điện tương ứng trong miền thời gian \(s = \sigma + j\omega\) và miền tần số, chỉ hiển thị độ lớn và góc pha Trong miền tần số, điện cảm được biểu diễn bằng \(sL\) và điện dung được biểu diễn bằng \(sC\).

1/s C Tổng trở kháng của mạch được biểu diễn bằng Z(s) = V(s) / I(s)

Hàm biến đổi mạch điện H(s) được xác định là tỉ lệ giữa biên độ phức của tín hiệu đầu ra Y(s) và biên độ phức của tín hiệu đầu vào.

X(s) Nếu như X(s) là nguồn cấp cho mạch và Y(s) là điện áp giữa hai cực, thì tỉ số Y(s)/X(s) không có đơn vị

Hàm biến đổi mạch được xác định từ phương trình vi phân vào – ra của mạch: x dt b b dx dt x b d dt x b d y dt a a dy dt y a d dt y a d m m m m m n m n n n n n 1 1 0

Trong đó: x(t) Xe s t và y(t)Ye s t t m m m m t n n n n a a a e b b b b e a s s s ) s ( s s s ) s

Trong mạch tuyến tính bao gồm các phần tử, hàm H(s) được gọi là hàm tỉ lệ của s, thường được viết dưới dạng tổng quát sau:

Trong hệ thống điện, k là một số thực, trong khi hằng số phức z m (với m = 1, 2, … μ) được gọi là các zero của H(s), và p n (với n = 1, 2, ν) là các pole của H(s) Giả thiết này rất quan trọng vì H(s) thể hiện tỉ lệ đáp ứng của một phần mạch điện so với kích thích từ phần khác Khi s = z m, đáp ứng sẽ bằng không, không phụ thuộc vào độ lớn của kích thích Ngược lại, khi s = p n, đáp ứng trở nên vô cùng, không phụ thuộc vào mức độ nhỏ của kích thích.

Ví dụ 5–25: Mạch thụ động trong miền tần số được vẽ tại hình 5–33 Xác định hàm biến đổi của mạch theo đáp ứng I(s) đối với kích thích V(s)

Trong đó: Z(s) tổng trở tương đương của mạch thụ động

Tử số của biểu thức H(s) bằng không khi s = ±j 12, dẫn đến dòng điện bằng không tại tần số đó Bài viết sẽ khám phá chế độ cộng hưởng của mạch RLC nối tiếp và RLC song song tại tần số ω = 1/√(LC) Với L = 5/3 H và C = 1/20 F, tần số cộng hưởng được tính là ω = 12 rad/s.

Các zero và pole của hàm biến đổi mạch điện H(s) có thể được biểu diễn trên hệ trục tọa độ phức Trong ví dụ 5–25, hình 5–34 minh họa các pole và zero, trong đó zero được ký hiệu bằng (.) và pole được ký hiệu bằng (x) Các zero nằm trên trục ảo với giá trị s = ±j 12, trong khi các pole nằm trên trục thực tại s = –2 và s = –6.

Hàm biến đổi mạch điện có thể được biểu diễn dưới dạng cực (pole), và đáp ứng của nó có thể xác định thông qua phương pháp đồ thị Trước khi áp dụng phương pháp đồ thị, ta cần xem xét H(s) như là tỉ lệ giữa V0(s) và Vi(s), cũng như tỉ lệ giữa I2(s) và V1(s).

Biểu thức này cho thấy đáp ứng của mạch đối với kích thích tại tần số

S được xác định bởi tổng độ dài các véc tơ từ các cực và điểm zero đến điểm s, cũng như góc của các véc tơ này với trục dương σ trong giản đồ pole–zero.

Kiểm tra đáp ứng của mạch trong ví dụ 5–25 với kích thích từ nguồn hàm mũ v = 1e^(st) khi s = 1 Np/s Điểm kiểm tra đáp ứng là 1 + j0 trên giản đồ cực–zero Vẽ các véc tơ từ các cực và zero đến điểm kiểm tra, sau đó tính toán độ dài và góc theo hình 5–35.

Kết quả cho thấy, trong miền thời gian, mối quan hệ giữa dòng điện i(t) và điện áp v(t) là i(t) = 0,248v(t) Điều này cho thấy cả điện áp và dòng điện đều đạt giá trị rất lớn khi kích thích là hàm e^t Trong hầu hết các trường hợp, giá trị của σ cần phải là âm hoặc bằng không.

Phương pháp đồ thị không phù hợp để phân tích hàm biến đổi mạch điện H(s) dưới dạng tỉ số Thay vào đó, biểu thức của H(s) nên được biểu diễn dưới dạng hằng số k, dựa trên các cực và zero trong hệ tọa độ phức, cụ thể là giản đồ cực–zero.

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đáp ứng của mạch điện dưới điều kiện cưỡng bức và trạng thái ổn định, với việc xác định trong miền tần số là phương pháp hiệu quả nhất Đồng thời, đáp ứng tự nhiên cũng dễ dàng xác định, vì chúng tương ứng với các cực của hàm biến đổi mạch điện.

Ví dụ 5–27: Mạch điện như trong ví dụ 5–25 được vẽ trong hình 5–36, xác định đáp ứng tự nhiên khi nguồn V(s) được chèn vào giữa hai điểm x–x’

Mạch tương tự như ví dụ 5–25, do đó:

Tần số tự nhiên là – 2 Np/s và – 6 Np/s, do đó trong miền thời gian, dòng điện tự nhiên hoặc quá độ được xác định theo dạng sau: t t n Ae A e i  1  2  2  6

Trong đó các hằng số A1 và A2 được xác định từ áp dụng điều kiện đầu để có đáp ứng, ii n i f với i f là đáp ứng cưỡng bức

Ví dụ 5–28: Mạch điện trong hình 5–36 được cấp dòng điện I(s) giữa hai điểm y–y’ trong hình 5–36 Tìm biểu thức V(s) tại hai cực x–x’

Các cực trong trường hợp này là – 2 Np/s và – 6 Np/s, kết quả tương tự ví dụ 5–27

5.4.6 Bi ến đổ i t ỉ l ệ biên độ và t ầ n s ố

Biến đổi tỉ lệ biên độ

Nếu mạch điện có trở kháng vào là hàm Z in(s) và Km là số thực dương

Mạch điện xoay chiều

Phân tích mạch xoay chiều ở trạng thái ổn định (điều hòa)

Phần này tập trung vào trạng thái ổn định của mạch điện xoay chiều với nguồn biến thiên theo hàm sin Đáp ứng của mạch, tức dòng điện, cũng sẽ có dạng hàm sin Đối với mạch tuyến tính, có thể chấp nhận giả thiết rằng nếu nguồn chu kỳ không phải dạng sin, nó vẫn có thể được phân tích thành tổ hợp tương đương của các hàm sin thông qua dãy Fourier.

6.1.1 Đáp ứ ng c ủ a các ph ầ n t ử Điện áp và dòng điện là các hàm sin hoặc cos với đối số ωt, trong đó ω là tần số của dòng, áp đơn vị rad/s hoặc được dùng nhiều hơn hertz (Hz) Phần này ta xét quan hệ giữa dòng điện và điện áp xoay chiều

Xét điện cảm L có dòng điện iIcos(t 45 o ) như trong hình 6–1, khi đó điện áp trên điện cảm:

Khi so sánh điện áp và dòng điện trên điện cảm, ta nhận thấy dòng điện chậm hơn điện áp 90 độ (hoặc π/2 rad) Đồ thị thể hiện sự khác biệt này cho thấy hàm dòng điện nằm bên phải hàm điện áp và bị dịch chuyển theo trục hoành ωt, minh chứng cho hiện tượng dòng điện chậm pha so với điện áp Sự dịch chuyển này thường được biểu diễn bằng radian, nhưng cũng có thể sử dụng độ (135 độ, 180 độ, v.v.) Mặc dù việc sử dụng đơn vị dịch chuyển hỗn hợp như ωt + 45 độ không hoàn toàn chính xác về mặt toán học, nhưng nó vẫn được áp dụng trong phân tích mạch thực tế Trên trục tung, hai đại lượng khác nhau (dòng và áp) cho phép sử dụng hai tỷ lệ xích khác nhau.

Khi xét phác họa đồ thị, các hàm sin hoàn toàn xác định khi biết biên độ

Trong mạch điện, ba phần tử cơ bản bao gồm điện trở, điện cảm L và điện dung C có những đặc điểm đáp ứng khác nhau với dòng điện i = Icos(ωt) và điện áp v = Vcos(ωt) Đối với điện trở, điện áp và dòng điện luôn trùng pha Trong khi đó, đối với điện cảm L, dòng điện chậm pha hơn điện áp một góc 90 độ (π/2 rad), và đối với điện dung C, dòng điện sớm pha hơn điện áp cũng một góc 90 độ (π/2 rad).

Bảng 6–1: Đáp ứng của ba phần tử cơ bản t I i  cos vVcost t RI v R  cos t

Ví dụ 6–1: Mạch RL nối tiếp trong hình 6–2 có dòng điện i Isint

Xác định điện áp trên các phần tử của mạch và vẽ đồ thị điện áp, dòng điện

Hình 6–2 Điện áp trên các phần tử: t RI v R  sin ; v L LIsin(t90 o ) Điện áp cả mạch:

Do dòng điện là hàm sin, nên điện áp:

Nhưng theo biểu thức điện áp của mạch: o o LI t t LI t RI v sin  sin cos90  cos sin90 t LI t RI v sin  cos (6–2)

Kết hợp 2 phương trình (6–1) và (6–2) ta có:

Hình 6–3 minh họa dạng sóng của hàm điện áp (v) và dòng điện (i), với góc θ biểu thị góc chậm pha của dòng điện so với điện áp trong khoảng từ 0° đến 90° Các giá trị giới hạn của θ đạt được khi ωL > R Khi mạch điện được cấp nguồn với điện áp v = Vsin(ωt), dòng điện trong mạch sẽ được xác định theo công thức tương ứng.

Ví dụ 6–2: Nếu mạch RC nối tiếp được cấp dòng điện i Isint, hãy xác điện áp trên hai phần tử t RI v R  sin ; C sin( t 90 o )

Trong mạch RC nối tiếp, góc pha của điện áp dịch sang bên phải so với dòng điện, cho thấy dòng điện sớm pha hơn điện áp Góc lệch pha nằm trong khoảng từ 0° đến 90° Khi 1/ωC > R, góc lệch pha  90 o , xem hình 6–4

6.1.2 Véc tơ biể u di ễn đại lượ ng sin

Khi phân tích biểu thức hàm sin của dòng điện và điện áp, ta nhận thấy biên độ và góc pha có những quy luật khác nhau Một đoạn thẳng có hướng (véc tơ) quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ không đổi ω (rad/s) sẽ có hình chiếu lên phương ngang tương ứng với giá trị hàm cos Độ lớn của véc tơ, hay biên độ, được xác định là giá trị cực đại của hàm cos.

Góc giữa hai vị trí véc tơ là góc pha khác biệt tương ứng giữa hai điểm của hàm cos

Véc tơ biểu diễn đại lượng sin trong giáo trình được dùng với hàm cosin

Nếu dòng và áp được biểu diễn theo hàm sin cần trừ góc pha đi một góc 90 o

Các ví dụ tương ứng chuyển đổi hàm sin → cos được trình bày trong bảng 6–2

Các véc tơ biểu diễn tín hiệu sin được thể hiện dưới dạng các đoạn thẳng có hướng, thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa như V và I Véc tơ này phản ánh vị trí tức thời của véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ tại thời điểm t = 0 Mặc dù đại lượng tần số f (Hz) và ω (rad/s) không xuất hiện trong giản đồ véc tơ, nhưng cần lưu ý đến chúng khi thực hiện các phép tính liên quan đến đại lượng sin.

Hàm tín hiệu Biểu diễn véc tơ

Ví dụ 6–3: Mạch RL nối tiếp có R = 10Ω và L = 20 mH có dòng điện

5 t o i  A Xác định điện áp v và V, dòng điện I , véc tơ biển diễn và đồ thị véc tơ

Sử dụng phương pháp trong ví dụ 6–1

Véc tơ biểu diễn đại lương tương ứng

I A và V70,755 o V Góc 45 o có thể thấy được trong đồ thị ở miền thời gian và đồ thị véc tơ của dòng điện và điện áp trong hình 6–6

Véc tơ biểu diễn dòng và áp có thể sử dụng số phức, với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo trong hệ tọa độ phức Véc tơ này có thể được diễn đạt bằng các chữ số và tuân theo các quy luật của số phức Theo công thức Euler, số phức có ba dạng tương đương, thể hiện véc tơ đại lượng sin.

Dạng đại số VV(cos o  jsin o )

Hàm cosin có thể được viết theo dạng sau:

Nhân, chia đối với véc tơ biểu diễn thực hiện ở dạng số mũ:

→ (V 1  1 )/(V 2  2 )(V 1 /V 2 )( 1  2 ) Cộng, trừ véc tơ biểu diễn thực hiện ở dạng đại số

Ví dụ 6–4: Cho hai véc tơ biểu diễn điện áp V 1 25143,13 o và

V hãy tính tỉ số và các điện áp

Nguồn điện áp hoặc dòng điện xoay chiều sin cấp cho mạch thụ động

RLC sẽ có đáp ứng dạng hàm sin, với các hàm như v(t) và i(t) thể hiện trong miền thời gian (hình 6–7a) Khi phân tích mạch sử dụng véc tơ phức, quá trình này sẽ diễn ra trong miền tần số (hình 6–7b) Điện áp và dòng điện được biểu diễn tương ứng qua các công thức.

Tỉ số giữa véc tơ điện áp phức V và dòng điện phức I được gọi là trở kháng Z, với công thức Z = V / I Đại lượng nghịch đảo của trở kháng được biết đến là dẫn nạp.

Y, như vậy Y = 1 / Z (S), trong đó S = 1Ω –1 = 1Ʊ (mho) Các đại lượng Z và Y là các số phức

Khi trở kháng được phân tích thành phần thực và phần ảo, phần thực là điện trở R và phần ảo là điện kháng X Nếu X dương, nó được gọi là cảm kháng, trong khi nếu X âm, nó được gọi là dung kháng Tương tự, dẫn nạp cũng có phần thực là điện dẫn tác dụng G và phần ảo là điện dẫn phản kháng B; B dương là điện dẫn dung và B âm là điện dẫn cảm.

Y Y  G  jB C Quan hệ giữa hai đại lượng theo biểu thức Z = 1 / Y , đó đó qui đổi giữa các đại lượng có thể tính theo những biểu thức sau:

Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các biểu thức qui đổi có thể không cần thiết do khối lượng tính toán lớn Thay vào đó, chúng ta có thể kết hợp các phương pháp tính toán khác nhau để đơn giản hóa quá trình Ví dụ, trong mạch hình 6–7b, việc phối hợp các đại lượng dòng và áp suất giúp tối ưu hóa tính toán.

I  và V10045 o , khi đó trở kháng và dẫn nạp của mạch RLC:

Từ đó suy ra: R = 17,3Ω; XL = 10Ω; G = 4,33.10 –2 Ʊ và BL = 2,5.10 –2 Ʊ

Phối hợp các trở kháng

Biểu thức quan hệ V = I Z trong miền tần số tương đương với định luật Ôm v(t) = i.R trong miền thời gian Điều này cho thấy rằng việc phối hợp các trở kháng hoàn toàn cũng tương tự như việc phối hợp các điện trở.

Trở kháng nối tiếp: Z tđ Z 1 Z 2 

Trường hợp đặc biệt có hai trở kháng song song:

  tđ Đồ thị véc tơ trở kháng

Trong đồ thị véc tơ, trở kháng được biểu diễn bằng một điểm ở nửa bên phải của hệ trục tọa độ phức Hình 6–8 minh họa hai loại trở kháng: Z1 nằm ở góc phần tư thứ nhất, đại diện cho trở kháng cảm, trong khi Z2 ở góc phần tư thứ tư, đại diện cho trở kháng dung Trở kháng tương đương của chúng được xác định thông qua việc cộng các véc tơ lại với nhau.

Lưu ý, “véc tơ” trong trường hợp này không có ký hiệu mũi tên trên đầu để phân biệt só phức từ véc tơ biểu diễn đại lượng sin

Phối hợp các dẫn nạp

Nếu thay Z bằng Y vào các biểu thức trở kháng tương đương ta được:

Dẫn nạp song song: Y tđ Y 1 Y 2  Đồ thị véc tơ dẫn nạp Đồ thị véc tơ dẫn nạp trong hình 6–9, tương tự như đồ thị véc tơ trở kháng

(hình 6–8) Điện dẫn dung Y1 và điện dẫn cảm Y2 được biểu diễn trong hệ tọa độ phức, và véc tơ tổng Y1 + Y2, là dẫn nạp tương đương của Y1 và Y2 song song

Phân áp và phân dòng trong miền tần số

Nguồn điện xoay chiều m ột pha

6.2.1 Ngu ồ n xoay chi ề u trong mi ề n th ờ i gian

Giá trị tức thời của công suất nguồn điện xoay chiều (trong hình 6–16) đi vao hai cực của mạch N được xác định theo biểu thức:

Điện áp và dòng điện trên các cực được ký hiệu lần lượt là v(t) và i(t) Khi giá trị p dương, công suất được truyền từ nguồn đến mạch; ngược lại, nếu p âm, công suất sẽ truyền từ mạch trở lại nguồn.

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét dòng áp chu kỳ dạng sin trong mạch RLC tuyến tính ở trạng thái ổn định Các phần tử như điện cảm và điện dung có khả năng tích trữ năng lượng nhưng không thể tiếp tục nhận năng lượng mà không trả lại cho nguồn Trong trạng thái ổn định, năng lượng tích lũy tại điện cảm và điện dung sẽ được trả lại cho nguồn sau mỗi chu kỳ Năng lượng hấp thụ trên điện trở sẽ chuyển đổi thành các dạng năng lượng khác như nhiệt năng, cơ năng, hóa năng hoặc từ trường Dòng năng lượng đến mạch thụ động trong một chu kỳ có thể là dương hoặc bằng không.

Ví dụ: trong hình 6–17 dạng sóng của dòng điện trong điện trở 1kΩ Hãy xác định và vẽ đồ thị công suất tức thời

vi Ri p W Đồ thị công suất tức thời tại hình 6–16b

Ví dụ: Dòng điện có dạng sóng trong hình 6–16a đi qua tụ điện 0,5 μF

Hãy xác định công suất p(t) đến tụ và năng lượng w(t) tích lũy trên tụ Giả thiết

Dựa trên dạng sóng ta thấy, dòng điện trên tụ là hàm chu kỳ có tần số

T = 2ms Trong một chu kỳ dòng điện được xác định theo hàm

1 ms mA ms mA Điện áp trên tụ cũng làm hàm chu kỳ có cùng tần số T = 2ms Trong một chu kỳ điện áp được tính theo:

Công suất và điện năng trên tụ

Bên cạnh đó, w(t) có thể được tính theo tích phân của công suất p(t)

Công suất đến tụ điện trong một chu kỳ có giá trị âm và dương bằng nhau (hình

6–17b Năng lượng tích trữ trong tụ điện luôn luôn dương như trong hình 6–17c

Năng lượng đạt giá trị lớn nhất Wmax = 1μJ, trong các thời điểm t = 1, 3, 5…ms

6.2.2 Công su ấ t c ủa đại lượ ng sin trong tr ạ ng thái ổn đị nh

Nguồn áp sin vV m costV cấp cho tải trở kháng Z Z tạo nên dòng điện iI m cos(t) Công suất tức thời từ nguồn đến trở kháng là

Công suất tức thời được xác định bởi các thành phần V eff và I eff, với công thức V eff = V m / 2 và I eff = I m / 2 Trong đó, công suất trung bình P avg được tính bằng V eff I eff cosθ Đồ thị công suất tức thời và công suất trung bình cho thấy rằng trong một phần của chu kỳ, công suất tức thời dương khi năng lượng được truyền từ nguồn đến tải, trong khi trong phần còn lại của chu kỳ, công suất có thể âm, biểu thị cho năng lượng truyền ngược từ tải.

Ví dụ: nguồn áp sin v140costV được kết nối với tải trở kháng

Nguồn áp tạo nên dòng điện v28cos(t60 o )nên

Công suất tức thời gồm: thành phần hằng số 980W, và thành phần sin

1960 t o W có tần số gấp đôi tần số nguồn áp

6.2.3 Công su ấ t trung bình ho ặ c công su ấ t tác d ụ ng

Lượng bình quân công suất từ nguồn đến tải trong một cho kỳ được gọi là công suất trung bình Pavg = Giá trị trunh bình của thành phần sin

V eff eff trong một chu kỳ bằng không nên từ biểu thức (6–4) ta có:

 cos và công suất trung bình có thể tính theo các biểu thức:

Công suất trung bình không âm phụ thuộc vào điện áp V, dòng điện I và góc pha giữa chúng Khi biết Veff và Ieff, công suất P đạt giá trị lớn nhất khi θ = 0, tức là với tải thuần trở Đối với tải thuần cảm, góc pha θ = 90 độ, dẫn đến Pavg = 0 Tỉ số giữa công suất trung bình và đại lượng Veff Ieff được gọi là hệ số công suất (pf), và từ biểu thức 6–5, ta có pf = cosθ.

Chỉ số dưới avg của kí hiệu công suất P avg thường được bỏ và kí hiệu P được dùng cho công suất trung bình

Ví dụ: Công suất P cấp từ nguồn áp sin với V eff = 110 V cho một tải trở kháng Z = 10 + j8 Hãy xác định công suất P và hệ số công suất pf j o

Cách giải thay thế cho kết quả chính xác hơn (sử dụng ít phép tính)

Nếu mạch thụ động có chứa điện cảm, điện dung hoặc cả hai, công suất trong chu kỳ sẽ được tích lũy và trả lại nguồn Trong giai đoạn này, công suất có giá trị âm, được gọi là công suất phản kháng hoặc công suất góc vuông Mặc dù công suất phản kháng không hiệu quả trong mạch điện, nhưng nó vẫn làm giảm hiệu năng của mạch.

Công suất phản kháng kí hiệu là Q và được định nghĩa:

Nếu Z R jX  Z khi đó sin  X /Z và công suất phản kháng có thể tính theo các biểu thức:

Q (6–13) Đơn vị của công suất phản kháng là VAr (volt–ampe reactive)

Công suất phản kháng Q phụ thuộc vào V, I và góc lệch pha giữa chúng

Khi θ = 0°, công suất phản kháng Q bằng không, điều này xảy ra trong mạch thuần điện trở với dòng điện I và điện áp V trùng pha Đối với tải thuần phản kháng, θ = 90° và Q đạt giá trị tối đa bằng tích của V và I Công suất tác dụng P luôn dương, trong khi công suất phản kháng Q có thể dương (đối với tải có tính điện cảm, khi dòng điện chậm pha so với điện áp) hoặc âm (đối với tải có tính điện dung, khi dòng điện sớm pha so với điện áp) Đây là cách xác định công suất phản kháng dựa trên đặc tính của tải.

100 kVAr – điện cảm công suất nghĩa Q = 100kVAr, hoặc 100 kVAr – điện dung có nghĩa Q = –100 kVAr

Ví dụ: Điện áp và dòng điện trên tải có giá trị tương ứng là V eff 110V và o

Công suất tác dụng: P = 110.20.cos50 o = 1414W

Công suất phản kháng: Q = 110.20.sin50 o = 1685 Var

Bảng 6–3: Tổng hợp công suất nguồn xoay chiều trên tải R, L và C t V v( 2)cos V eff V0 o

Công suất trên điện trở t I t V i v t p R ( ) R ( 2)cos ( 2)cos

Công suất tức thời của điện trở thay đổi theo hàm sin trong khoảng từ 0 đến 2RI², với tần số gấp đôi tần số kích thích, và giá trị trung bình P = RI² Đồ thị v(t) và pR(t) được thể hiện trong hình 6–18a.

Công suất trên điện cảm

L t vi V t I t p      t VI t t VI t p L ( )2 cos sin  sin2

Công suất tức thời trên điện cảm biến thay đổi theo hàm sin từ -Q đến Q, với tần số gấp đôi tần số kích thích và giá trị trung bình trong một chu kỳ bằng không, như thể hiện trong đồ thị hình 6–18b.

Công suất trên điện dung

C t vi V tI t p      t VI t t VI t p C ( )2 cos sin  sin2 t C

Công suất tức thời của điện dung thay đổi theo hàm sin từ -Q đến Q, với tần số gấp đôi tần số kích thích Giá trị trung bình trong một chu kỳ bằng không, tương tự như điện cảm Hình 6–18c minh họa sự biến thiên này.

Trao đổi năng lượng giữa điện cảm và điện dung diễn ra khi chúng được cấp nguồn áp giống nhau khi mắc song song, hoặc khi mắc nối tiếp thì dòng điện là như nhau Trong trường hợp này, công suất mà tụ điện nhận sẽ có sự lệch pha.

Công suất phản kháng Q trong mạch điện cảm và điện dung có mối quan hệ chặt chẽ, với sự thay đổi 180 độ so với công suất nhận Trong một số tình huống, điện cảm và điện dung có thể trao đổi một phần công suất trực tiếp mà không cần qua nguồn xoay chiều Điều này dẫn đến việc giảm công suất phản kháng trong mạch LC, từ đó nâng cao hệ số công suất.

Xét mạch RLC mắc song song được cấp nguồn áp vV 2cost

Thay các biểu thức công suất trên các phần tử RLC, ta có: t

Nếu 1/ωL = ωC, tổng công suất phản kháng bằng không Đồ thị của pT(t) trên hình 6–17d

6.2.5 Công su ấ t ph ứ c, công su ấ t bi ể u ki ế n và tam giác công su ấ t

Công suất phức S, được định nghĩa là S = P + jQ, bao gồm hai thành phần P và Q với vai trò khác nhau và không thể cộng trực tiếp Độ lớn của công suất phức S được tính bằng công thức S = √(P² + Q²) và có đơn vị là VA (vôn – amper) Các giá trị S, P và Q có thể được biểu diễn trong một tam giác vuông, được gọi là tam giác công suất, với P, Q và S tương ứng là các cạnh của tam giác Tam giác công suất có thể suy ra từ tam giác trở kháng với hệ số nhân I eff², cho thấy mối quan hệ giữa công suất với tải điện cảm và tải điện dung.

Dễ dàng có được SV eff I * eff , trong đó: V eff – điện áp phức và I * eff – liên hợp phức của dòng điện Tổng hợp các loại công suất:

Công suất phức: SV eff I * eff P jQI eff 2 Z (6–15)

Công suất thực (tác dụng): PRe[S]V eff I eff cos (6–16)

Công suất ảo (phản kháng): QIm[S]V eff I eff sin (6–17)

Công suất biểu kiến: S V eff I eff (6–18)

Ví dụ: (a) Nguồn áp có giá trị hiệu dụng Veff = 10V nối với tải Z 1 = 1+j

Để xác định các thông số điện như dòng điện i1, I1.eff, p1(t), P1, Q1, hệ số công suất pf1 và S1, ta thực hiện các bước sau: (b) Thay tải Z1 bằng tải Z2 = 1 - jA và lặp lại quá trình tính toán (c) Thực hiện lặp lại với cả hai tải Z1 và Z2 hoạt động song song Lưu ý rằng giá trị tức thời của nguồn áp là v = 10√2 cos(ωt).

S ; S 1  S 1 50 2 70,7VA pf1 = 0,707 (chậm pha) (b) Tải: Z 2  245 o

Ví dụ: Mạch thụ động có trở kháng tương đương Z = 3 + j4 được cấp nguồn áp v42,5cos(1000t30 o ) hãy xác định công suất mạch o eff 30

Q Var (điện cảm) pf = cos53 o = 0,6 (chậm pha)

6.2.6 Công su ấ t c ủ a các m ạ ch song song

Công suất phức là công cụ quan trọng trong việc phân tích mạch điện thực tế, đặc biệt là trong các mạch điện gia dụng được kết nối song song với một nguồn điện.

6–19, nhánh 1 và 3 có tính điện cảm, nhánh 2 có tính điện dung

Nếu phân tích mạch quan trọng năng lượng trên mỗi nhánh, ta có thể biến đổi tương đương trở kháng từ đó tính công suất ST, hoặc ngược lại

Ví dụ: điện áp 6kV trên mạch hình 6–19, các nhánh: P1 = 10kW, pf1 = 1,

P2 = 20kW, pf2 = 0,5 (chậm pha), P3 = 15kW, pf3 = 0,6 (chậm pha) Tính công suất, hệ số công suất và dòng điện của mạch

1 cos pf 1   1  → tan 1 0; Q 1 P 1 tan 1 0kvar

5 , 0 cos pf 2   2  → tan 2 1,73; Q 2 P 2 tan 2 34,6kvar

6 , 0 cos pf 3   3  → tan 3 1,33; Q 3 P 3 tan 3 20kvar

Hệ thống điện thường gặp vấn đề với hệ số công suất thấp do sự hiện diện nhiều thiết bị trở kháng điện cảm Việc nâng cao hệ số công suất tại phụ tải giúp giảm thành phần công suất phản kháng trên đường dây, từ đó giảm dòng điện truyền tải và tổn hao năng lượng, nâng cao hiệu suất truyền tải điện Một biện pháp hiệu quả để cải thiện hệ số công suất là mắc song song tụ điện vào tải, vì tụ điện có khả năng sinh ra công suất phản kháng, giúp giảm lượng công suất này cần truyền tải từ nguồn đến tải.

Ví dụ: xác định dung lượng tụ bù cho mạch ở hình 6–20 để nâng hệ số công suất lên 0,95

Trước khi có tụ bù, hệ số công suất pf = cos25 o = 0,906 (trễ) và o o o

Sau khi bù, trong tam giác công suất, công suất tác dụng vẫn giữ nguyên nhưng góc chỉ còn cos  1 0,9518,19 o

Giá trị mới của công suất biểu kiến S’ = 7854, so với trước bù S = 8232 đã giảm đi một lương 378VA và tương ứng 4,6%

Nguồn xoay chiều nhiều pha

Công suất tức thời của nguồn xoay chiều sin cấp cho trở kháng

Với V p và I p là các trị hiệu dụng của v và i, θ – góc lệch pha giữa chúng

Công suất dao động trong hệ thống điện đa pha nằm trong phạm vi VpIp(1 + cosθ) và VpIp(-1 + cosθ) Để duy trì ổn định luồng công suất từ nguồn đến tải trong các hệ thống yêu cầu công suất lớn và biến đổi công suất rộng, hệ thống nguồn nhiều pha là giải pháp hiệu quả Một lợi ích nổi bật của hệ thống này là khả năng cung cấp nhiều mức điện áp khác nhau Trong bối cảnh này, Vp và Ip đại diện cho điện áp và dòng điện của từng pha, có thể khác nhau giữa các pha Bài viết tập trung vào hệ thống nguồn ba pha, phổ biến trong ngành công nghiệp, cùng với hệ thống nguồn hai pha.

6.3.1 H ệ th ố ng ngu ồ n xoay chi ề u hai pha

Hệ thống hai pha cân bằng tạo ra hai nguồn xoay chiều sin với cùng tần số và biên độ, nhưng lệch pha 90 độ hoặc 180 độ Ưu điểm của hệ thống này là cho phép sử dụng hai cấp điện áp và tương ứng là hai từ trường khác nhau Công suất trong hệ thống có thể duy trì ở mức hằng số hoặc dao động.

Máy phát điện xoay chiều bao gồm hai nguồn xoay chiều có cùng biên độ và tần số, nhưng lệch pha 90 độ Hai nguồn này được kết nối tại điểm trung tính của máy phát, cung cấp nguồn cho hai tải giống nhau Hệ thống này cho phép xác định dòng điện, điện áp, công suất tức thời và công suất trung bình.

Hình 6–23 Điện áp tại các cực và dòng điện của nguồn:

(t I t i a p i b (t)I p 2cos(t90 o ) Trong miền tần số, nếu Z Z, thì I p V p /Z o p

Véc tơ biểu diễn dòng, áp trong hình 6–23b

Công suất tức thời p A và p B cấp từ các nguồn:

Công suất tức thời tổng cộng do hai nguồn cấp cho các tải:

Hệ thống nguồn hai pha bao gồm hai mức điện áp là Vp và 2Vp, cung cấp công suất ổn định cho các tải Ngoài ra, sự lệch pha trong từ trường do dòng điện ở các pha có khả năng tạo ra từ trường quay trong một số thiết bị.

6.3.2 H ệ th ố ng ngu ồ n xoay chi ề u ba pha

6.3.2.1 Điện áp xoay chiều ba pha

Hệ thống nguồn ba pha bao gồm ba nguồn xoay chiều sin có cùng tần số, nhưng lệch nhau 120 độ giữa các pha Để tạo ra hệ thống này, cần sử dụng máy phát ba pha với ba cuộn dây được bố trí lệch nhau 120 độ Thông thường, biên độ của ba pha là bằng nhau, và máy phát này được gọi là máy phát đối xứng Trong cấu trúc của hệ thống, ba cuộn dây được đặt ở vành ngoài của rôto, mỗi cuộn dây xoay lệch 120 độ so với cuộn dây trước đó.

Khi quay rô to ngược chiều kim đồng hồ, các cạnh cuộn dây lần lượt đi qua cực từ theo thứ tự A–B–C–A–B–C, dẫn đến sự thay đổi cực tính của điện áp mỗi khi cực từ thay đổi Giả sử rằng cực từ và từ trường tạo ra điện áp sin cho mỗi pha, điện áp của ba pha được thể hiện trong hình 6–25 Cụ thể, điện áp pha B chậm hơn pha A 120 độ, và pha C chậm 240 độ, được gọi là tứ tự pha ABC Nếu thay đổi chiều quay, thứ tự mới sẽ là B–A–C–B, được gọi là thứ tự CBA.

Trong hệ thống điện ba pha cân bằng và theo thứ tự ABC, điện áp các pha thay đổi theo thời gian và tần số, được mô tả bởi các biểu thức V_an(t) = V_p√2cos(ωt) và V_bn(t) = V_p√2cos(ωt - 120°) Đồ thị véc tơ điện áp pha thể hiện mối quan hệ này như minh họa trong hình 6–26.

6.3.2.2 Nguồn ba pha nối sao, tam giác Đầu của các cuộn dây pha được nối lại theo sơ đồ hình sao (còn kí hiệu

Y) với các điểm A’, B’, C’ được nối chung tại một điểm gọi là điểm trung tính, các đầu còn lại A, B, C đưa ra ngoài thành các đường dây pha A, B, C của hệ thống nguồn ba pha Nếu điểm trung tínhđược kết nối bằng dây dẫn đến tải ta có hệ thống nguồn ba pha bốn dây Trong hình 6–27, ba dây pha được kí hiệu bằng chữ thường a, b và c tại nguồn và các chữ in A, B và C tại tải Nếu các đường dây pha phải tính đến trở kháng trong kí hiệu dòng điện trên pha cũng phải có chỉ số, ví dụ, pha aA có dòng điện phức I aA , và điện áp phức trên pha V aA

Các cuộn dây của máy phát có thể được kết nối theo hình tam giác (ký hiệu Δ), tạo thành hệ thống ba pha với các đường dây pha a, b và c Phương pháp nối Δ không có điểm trung tính để truyền tải trên 4 dây, trừ khi sử dụng hệ thống chuyển đổi Δ–Y.

6.3.2.3 Điện áp phức của hệ thống nguồn ba pha

Trong hệ thống nguồn ba pha, góc pha của một pha được cố định tại thời điểm t = 0, tương ứng với điện áp pha B so với pha C là V BC  V L 0 o Điện áp giữa các pha (điện áp dây) gấp ba lần điện áp giữa pha và trung tính (điện áp pha) Véc tơ điện áp cho hai thứ tự ABC và CBA được thể hiện trong hình 6–28.

Thứ tự ABC Thứ tự CBA

6.3.3 T ải ba pha đố i x ứ ng

6.3.3.1 Tải đối xứng nối tam giác (Δ)

Ba tải trở kháng giống nhau được nối thành mạch tạo thành tải ba pha tam giác đối xứng Dòng điện trên mỗi trở kháng, được gọi là dòng điện pha, có biên độ bằng nhau và lệch pha 120 độ Dòng điện dây cũng có biên độ bằng nhau và lệch pha 120 độ, với hướng từ nguồn đến tải.

Trong một hệ thống nguồn ba pha với ba dây và thứ tự ABC, điện áp hiệu dụng là 120V Hệ thống này cấp điện cho ba tải trở kháng 5∠45° được nối theo hình tam giác Để xác định dòng điện dây, cần tính toán và vẽ đồ thị véc tơ dòng điện cùng điện áp Biên độ điện áp dây lớn nhất được tính bằng công thức 120√3, cho kết quả là 169,7V.

Hai kí tự ở chỉ số biểu thức dòng điện qui định chiều của dòng điện trên trở kháng tải o o o AB

Theo định luật Kirchhoff về dòng, dòng điện dây I A được tính theo: o o o CA

Điện áp pha – pha và các dòng điện được thể hiện bằng véc tơ, như minh họa trong hình 6–30 Các dòng điện trong trường hợp này là đối xứng, cho phép xác định các dòng điện khác thông qua giản đồ đối xứng của các véc tơ Dòng điện dây được tính là I L = 3I p, tương ứng với dòng điện pha đối với tải Δ đối xứng.

6.3.3.1 Tải đối xứng nối sao (Y) bốn dây

Ba tải trở kháng giống nhau được kết nối theo hình sao, như minh họa trong hình 6–31 Dòng điện chạy qua các trở kháng này cũng chính là dòng điện trong dây dẫn, vì vậy hướng dòng điện được xác định từ nguồn đến tải tương tự như trong trường hợp trước.

Để xác định dòng điện dây và vẽ đồ thị véc tơ dòng điện và điện áp cho nguồn ba pha, bốn dây, thứ tự CBA, có điện áp hiệu dụng 120V, cấp cho ba tải 2030 o nối Y, ta cần thực hiện các bước tính toán và phân tích cụ thể Trước tiên, ta cần xác định dòng điện pha bằng cách sử dụng công thức tính dòng điện pha cho tải nối Y Sau đó, ta có thể xác định dòng điện dây bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa dòng điện pha và dòng điện dây Cuối cùng, ta có thể vẽ đồ thị véc tơ dòng điện và điện áp để minh họa rõ ràng hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng điện này.

Biên độ điện áp dây 169,7V → biên độ điện áp pha 169,7/ 398V, thứ tự CBA do đó điện áp phức của các pha: o

Đáp ứng tần số, lọc và cộng hưởng

Đáp ứng tần số

7.1.1 Khái ni ệm đáp ứ ng t ầ n s ố Đáp ứng của mạch tuyến tính đối với các kích thích từ tín hiệu sin là hàm sin cùng tần số nhưng có thể khác về biên độ và góc pha Đáp ứng của mạch tuyến tính thay đổi theo tần số của kích thích nên có thể coi đáp ứng là hàm của tần số Các đại lượng sin có thể được biểu diễn trong miền tần số với hai tham số là biên độ và góc pha Và đáp ứng tần số (đáp ứng trong miền tần số) được định nghĩa bằng tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào trong miền tần số Đáp ứng tần số là hàm thực của biến ảo jω và theo biểu thức:

Trong hệ thống điều khiển, Re[H] và Im[H] đại diện cho phần thực và phần ảo của hàm truyền H(jω); trong khi |H| và θ là biên độ và góc pha Các thành phần Re[H], Im[H], |H| và θ đều là các hàm của tần số và mối quan hệ giữa chúng được thể hiện qua các biểu thức toán học.

Đáp ứng tần số của mạch điện phụ thuộc vào lựa chọn thông số vào và ra; ví dụ, trong hình 7–1a, dòng điện tại cực là biến vào, trong khi điện áp là biến ra Do đó, trở kháng vào Z được xác định bởi công thức Z = V1/I1, sẽ phản ánh hàm đáp ứng của mạch điện.

Nếu nguồn áp cấp cho mạch, dòng điện sẽ được gọi là tín hiệu ra, và dẫn nạp Y được tính bằng công thức Y = I1 / V1 = 1/Z, phản ánh đáp ứng của mạch Đối với mạng hai cửa (two port) như trong hình 7–1b, các hàm đáp ứng sau đây được định nghĩa.

Dẫn nạp vào: Y in (j)1/Z in I 1 /V 1

Biến đổi trở kháng: V 2 /I 1 và V 1 /I 2

Ví dụ: Tìm đáp ứng tần số của V 2/V 1 của mạch hai cửa trong hình 7–2

Gọi Y RC là dẫn nạp của mạch RC song song, khi đó:

Tỉ số V 2/V 1 được tính từ phân áp giữa điện trở 5kΩ và ZRC

7.1.2 M ạ ch thông cao t ầ n và thông th ấ p t ầ n

Mạch phân áp điện trở trong điều kiện không tải với hai cổng tiêu chuẩn được minh họa trong hình 7–2 Trong mạch này, hàm biến đổi điện áp và trở kháng vào được xác định một cách rõ ràng.

Kí hiệu ∞ trong chỉ số của các hàm biến đổi biểu thị điều kiện làm việc không tải Các hằng số H v∞ và H z∞ không phụ thuộc vào tần số cho đến khi có sự tham gia của các phần tử phản kháng trong mạch điện Khi mạch chứa ít nhất một phần tử điện cảm hoặc điện dung, H v∞ và H z∞ trở thành các đại lượng phức và phụ thuộc vào tần số Nếu H v∞ giảm khi tần số tăng, mạch được gọi là mạch thông thấp tần (low-pass); ngược lại, nếu H v∞ giảm khi tần số giảm, mạch được gọi là mạch thông cao tần (high-pass).

Dưới đây là bốn mạch hai phần tử trong đó hai mạch thông cao tần và hai mạch thông thấp tần

Mạch RL trong hình 7–5 hoạt động ở trạng thái hở mạch (không tải) Trở kháng vào của mạch đáp ứng tần số được xác định thông qua đồ thị độ lớn và góc pha.

Năm giá trị của ω (0; 0,5ωx; ωx; 2ωx;∞) được dùng để vẽ lên đồ thị của

H z được mô tả trong hình 7–6, cho thấy biên độ tăng lên đáng kể khi tần số gia tăng Khi tần số đạt đến mức rất cao, dòng điện trong mạch sẽ giảm xuống gần bằng không.

Cũng tương tự khi xét hàm biến đổi điện áp ra–vào của mạch Với điều kiện không tải:

Hàm biến đổi H và  H được xác định bởi công thức H = tan⁻¹( x /), với đồ thị biên độ và góc pha được thể hiện trong hình 7–7 Khi tần số tiến tới vô cùng, hàm biến đổi đạt giá trị bằng một, dẫn đến điện áp ra bằng điện áp vào Do đó, mạch điện này được gọi là mạch thông cao tần (high-pass).

Biến đổi trở kháng của mạch thông cao tần trong điều kiện không tải:

Góc pha không đổi bằng 90o, một phần đồ thị của biên độ theo tần số ω là đường thẳng tương tự như đồ thị của ωL theo ω (xem hình 7–8)

Nếu thay đổi vị trí của R và L ta sẽ được mạch thông thấp tần (hình 7–9)

Với điều kiện không tải:

Hàm điện áp trong mạch thông thấp tần đạt giá trị bằng không khi tần số cao và bằng một khi tần số ω = 0 Đồ thị biên độ và góc pha được thể hiện trong hình 7–10 với công thức H và θ H tan  1 (/ x ).

Để xác định tính chất thông cao tần và thấp tần của mạch hai phần tử RC, ta sẽ xem xét ví dụ về việc xác định hàm biến đổi điện áp H v∞ từ mạch hở như trong hình 7–10.

7–11 Với tần số bao nhiêu thì hàm biến đổi điện áp có giá trị bằng 1/ 2nếu như C2 = 10nF và C2 = 1nF

So sánh hai kết quả (a) và (b) ta thấy khi giá trị C 2 lớn hơn thì tần số để

Giá trị H giảm xuống còn 1/2 (0,707), nhỏ hơn giá trị ban đầu Như thể hiện trong hình 7-10, đồ thị dịch sang phía trái, cho thấy việc thêm tụ điện vào mạch song song với C2 đã làm giảm đáp ứng của mạch.

Tần số ω được xác định khi H v = 0,707H v max, được gọi là tần số “nửa công suất” (half power frequency) Tại tần số này, công suất vào của mạch hình 7–11 đạt một nửa giá trị công suất cực đại.

Trong bất kỳ mạch nào có hàm biến đổi không hằng số, H(ω) luôn đạt giá trị lớn nhất tại một tần số tới hạn ωx Tần số tại đó H(ω) = 0,707H(ωx) được gọi là tần số nửa công suất, tương ứng với điểm 50% công suất Đối với hầu hết các mạch, khi 0 < ωx < ∞, sẽ xuất hiện hai điểm nửa công suất: một dưới và một trên tần số tới hạn, được gọi là điểm tần số nửa công suất dưới và trên.

Phạm vi giữa hai điểm đó được gọi là độ rộng dải tần xung quanh tần số tới hạn

7.1.4 T ổ ng quát hóa m ạ ch hai c ử a hai ph ầ n t ử

Mạch điện với cấu trúc RL hoặc RC có thể được tổng quát hóa bằng các trở kháng Z1 và Z2 Trong đó, trở kháng tải ZL được kết nối vào cổng ra của mạch.

Theo điều kiện phân áp:

Trong đó: Z ' Z 2 Z L /(Z 2 Z L ) là trở kháng tương đương của Z 2 và Z L song song Các hàm biến đổi khác của mạch được trình bày trong bảng 7–1

Mạch lọc

7.2.1 M ạ ch l ọc lý tưở ng và m ạ ch l ọ c th ự c t ế Ở dạng tổng quát, mạng điện nói chung đều chọn lọc tần số Bộ lọc là một loại mạng được thiết kế đặc biệt để chọn tần số theo đặc tính nhất định Bộ lọc cho những tần số nhất định qua (pass–band) và chặn những tần số khác (stop– band) Một cách lý tưởng, trong phạm vi cho qua (pass–band), H(jω) = 1 và trong phạm vi chặn (stop–band) H(jω) = 0 Như vậy có thể nhận biết và phân loại các bộ lọc sau: tần số thấp (low pass) hình 7–15a; tần số cao (high–pass) hình 7–15b; dải tần qua (band–pass) hình 7–15c và dải tần chặn (band–stop) hình 7–15d Bộ lọc lý tưởng không thực hiện được trong điều kiện thực tế, nhưng chúng ta có thể thực hiện theo ý muốn các bộ lọc gần như bộ lọc lý tưởng Bộ lọc có đặc tính càng gần như lý tưởng thì mạng càng phức hợp

Các mạch lọc RC hoặc RL như trong mục trên là mạch lọc bậc một

Đặc tính của mạch lọc có thể đạt gần như lý tưởng khi tăng bậc của nó, như minh họa trong ví dụ dưới đây về việc đáp ứng tần số.

Ví dụ: Ba mạch có hàm biến đổi H 1 , H 2 và H 3 được cho dưới đây:

Xác định biên độ đáp ứng tần số của các mạch Chứng minh các mạch đều là lọc thấp tần và có tần số nửa biên độ tại ω0 = 1

Cả ba hàm biến đổi tại các tần số ω = 0, 1 và ∞ cho thấy biên độ H 1 2 lần lượt là 1, 1/2 và 0, cho thấy chúng đều là mạch lọc thông thấp tần với tần số nửa công suất ω0 = 1 Các mạch lọc này lần lượt là bậc một, bậc hai và bậc ba, trong đó mạch lọc bậc cao hơn có đường cắt miền đáp ứng tần số sắc nét hơn.

7.2.2 M ạ ch l ọ c th ụ độ ng và ch ủ độ ng

Mạch lọc thụ động chỉ bao gồm các phần tử điện trở, điện cảm và tụ điện, trong khi mạch lọc chủ động có thêm phần tử nguồn phụ thuộc.

Mạch lọc thụ động không yêu cầu nguồn bên ngoài và có khả năng hoạt động lâu dài hơn Trong khi đó, mạch lọc chủ động thường bao gồm các phần tử RC và khuếch đại Hình 7–16a minh họa mạch lọc thụ động bậc hai thông thấp tần, trong khi hình 7–16b thể hiện mạch lọc chủ động với đáp ứng tần số V2/V1 tương tự như mạch trong hình 7–16a.

Ví dụ: Tìm hàm biến đổi điện áp V 2/V 1 của mạch ở hình 7–16a và 7–16b

Trong hình 7–16a ta xác định hàm biến đổi điện áp theo qui tắc phân áp

Trong hình 7–16b, áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho nút A và B

Khử V A từ phương trình 7–6a và 7–6b, hàm biến đổi mạch H(s) = V 2/V 1 được xác định:

Hai mạch điện trong hình 7–6a và 7–6b có cùng hàm biến đổi mạch

Chúng đều là mạch lọc bậc hai thông thấp tần với tần số nửa công suất bằng nhau ω = 1rad/s

7.2.3 B ộ l ọ c thông d ả i t ầ n và c ộng hưở ng

Hàm biến đổi mạch sau đây được gọi là hàm thông dải tần (band–pass) b a k

Bộ lọc thông dải tần đặc biệt được thiết kế cho các cực là số phức gần trục jω và cách xa gốc tọa độ phức Đáp ứng của mạch lọc này được xác định thông qua một biểu thức cụ thể.

Biên độ đáp ứng lớn nhất H đạt được khi b−ω² = 0, tương ứng với tần số trung tâm ω₀ = b Tại tần số này, đáp ứng H max = H(ω₀) = k/a Tần số nửa công suất được xác định bởi ωₗ và ωₕ.

H l  h  (7–9a) Áp dụng các biểu thức 7–8 và 7–9a, ta tìm được ω l và ω h là nghiệm của phương trình:

Từ các biểu thức 7–9c và 7–9d, ta có: l a h  

 và  h  l b 0 2 (7–10a) Dải tần thông β được định nghĩa: l a h  

Hệ số chất lượng Q được định nghĩa: a b

Hệ số chất lượng được xác định bởi độ sắc nét của dạng đáp ứng tần số xung quanh tần số trung tâm, hiện tượng này được gọi là cộng hưởng Khi hệ số chất lượng cao, các tần số ω l và ω h có thể được tính gần đúng theo công thức  0 /2.

Ví dụ: Xét hàm biến đổi mạch 2 6

(a) Hãy xác định tần số trung tâm, tần số nửa công suất thấp và cao, dải tần thấp và hệ số chất lượng

(b) Cũng hỏi như trên nhưng với hàm 2 6

(a): Tần số trung tâm:  0  b  10 6 1000rad/s

Tần số nửa công suất:

(b): Tần số trung tâm:  0 1000rad/s

Tần số nửa công suất:  l  30 2 /410 6 30/2985,1 rad/s

Các tần số ω l và ω h có thể tính gần đúng với độc chính xác tương đối cao:

Mẫu số của biểu thức 7–7 có thể viết dưới dạng:

Trong đó:  0  b được gọi là tần số tự nhiên và  a/2 b được gọi là hệ số tắt dần

Khi ξ > 1, mạch có hai cực riêng biệt trên trục thực âm, được gọi là đáp ứng xung tắt dần Đối với ξ = 1, mạch có một cực thực kép tại –ω0, được gọi là đáp ứng tắt dần tới hạn Trong trường hợp ξ < 1, mạch có hai cực phức tại vị trí  0  j 0 1 2 và  0  j 0 1 2, nằm trên nửa vòng tròn ở nửa trái mặt phẳng tọa độ phức với bán kính ω0 Góc của các cực với trục thực được tính bằng  sin  1  Mạch này có đáp ứng dưới tắt dần và thành phần dao động, với hệ số tắt dần bằng một nửa giá trị nghịch đảo của hệ số chất lượng.

Cộng hưởng

7.3.1 M ạ ch RLC n ố i ti ế p, c ộng hưở ng n ố i ti ế p

Mạch RLC nối tiếp như trong hình 7–18 trong điều kiện hở mạch, trở kháng vào:

Mạch điện trong trạng thái cộng hưởng nối tiếp (hoặc công hưởng trở kháng thấp) khi Z in () là số thực (và Z in () có giá trị nhỏ nhất) có nghĩa:

Mạch RLC nối tiếp thể hiện đáp ứng tần số đặc trưng, với biên độ tỉ lệ nghịch với tần số khi dung kháng chiếm ưu thế ở tần số thấp Ngược lại, khi cảm kháng lớn hơn, biên độ sẽ tỉ lệ thuận với tần số ở tần số cao Tại tần số nhỏ hơn ω0, mạch có tính chất thuần điện dung, dẫn đến góc của Z in âm Trong khi đó, ở tần số lớn hơn ω0, mạch chuyển sang tính chất điện cảm với góc Z in dương.

Hàm biến đổi điện áp của mạch được xác định theo qui tắc phân áp

Đáp ứng tần số, chỉ xét đến biên độ, được thể hiện trong hình 7–20, là nghịch đảo của đồ thị hình 7–19a Trạng thái chặn xuất hiện ở cả hai phía của tần số cộng hưởng ω0, với điểm nửa công suất tại đó biên độ đạt giá trị 0,707 tại tần số ω l và ω h.

Dải tần thông là độ rộng giữa các tần số ω l và ω h

Hệ số chất lượng, Q 0 L/R có thể xác định từ trạng thái cộng hưởng mạch RLC nối tiếp

Tần số nửa công suất được xác định theo biểu thức từ các phần tử của mạch hoặc ω 0 và Q0 như dưới đây:

Biểu thức dải tần thông cho thấy, dải tần càng hẹp khi hệ số chất lượng càng cao

Thông qua hệ số chất lượng có thể đánh giá phần tử hoặc mức độ hoàn thiện của mạch Hệ số chất lượng được định nghĩa:

Q = 2π ( năng lượng tích lũy lớn nhất năng lượng trao đổi trong chu kỳ )

Hệ số chất lượng là đại lượng không đơn vị, có thể xác định theo các biểu thức ở phần 7.2.3 và 7.3.1

Cuộn cảm thực tế được mô hình hóa bằng điện trở R nối tiếp điện cảm L

(hình 7–21) Năng lượng tích trữ lớn nhất: max 2

1LI và năng lượng trao đổi trong chu kỳ:

Từ đó, hệ số chất lượng của cuộn cảm:

Tụ điện thực tế cũng được mô hình hóa bằng điện dung C song song với điện trở R (hình 7–22) Năng lượng tích trữ lớn nhất max 2

1CV và năng lượng trao đổi trong một chu kỳ V max 2 /R, từ đó:

Hệ số chất lượng của mạch RLC nối tiếp được phân tích trong mục 7.3.1, chủ yếu trong trạng thái công hưởng Trong trạng thái này, biểu thức của hệ số chất lượng được xác định rõ ràng.

7.3.2 M ạ ch RLC song song, c ộng hưở ng song song

Mạch RLC song song như trong hình 7–23 Xem xét hàm biến đổi điện áp

V2/V1 với điều kiện hở mạch, dẫn nạp vào sẽ bằng:

Mạch điện có trạng thái cộng hưởng (hoặc cộng hưởng trở kháng cao) khi

Y in hoặc tương đương Z in ()là số thực (Y in () đạt giá trị nhỏ nhất, Z in () đạt giá trị lớn nhất) khi:

Kí hiệu ωa biểu thị giá trị 1/LC trong trường hợp công hưởng trở kháng cao Mạch phức hợp nối tiếp – song song có thể xuất hiện nhiều tần số công hưởng trở kháng cao ωa và một số tần số cộng hưởng trở kháng thấp ω0.

Trở kháng vào của mạch song song:

Z  Đồ thị đáp ứng (chỉ biên độ) được vẽ trong hình 7–24 Tần số nửa công suất ω l và ω h được thể hiện trên đồ thị

Tương tự với mạch RLC nối tiếp cộng hưởng, dải tần thông được xác định theo biểu thức: a a

Hệ số chất lượng Qa tại ω = ωa:

7.3.3 M ạ ch c ộng hưở ng LC song song th ự c t ế

Mạch LC song song được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng tần số trong kỹ thuật điện tử, đặc biệt là trong bộ thu sóng Trong mạch này, tụ điện được xem là thuần điện dung C, trong khi tổn thất trong cuộn cảm được tính đến để đảm bảo hiệu suất tối ưu Sơ đồ thực tế của mạch cho thấy cấu trúc và hoạt động của nó trong các ứng dụng điện tử.

LC được mô tả trong hình 7–25

Trở kháng vào được xác định:

Tần số cộng hưởng ωa, được xác định từ biểu thức:

Tại tần số cộng hưởng ωa,

Y và hệ số chất lượng Qa

Nếu Qind > 10 thì  a 1/ LC và ( ) 2 ind a in Q

Đáp ứng tần số trong mạch RLC song song cho thấy rằng cộng hưởng trở kháng cao đạt được ở tần số thấp hơn, đặc biệt là đối với các mạch có Qind thấp.

Và tần số cộng hưởng được xác định theo biểu thức:

7.3.4 Bi ến đổi tương đương nố i ti ế p – song song

Phân tích đáp ứng của mạch điện thường thuận lợi hơn khi chuyển đổi mạch RL nối tiếp sang dạng RL song song Với các giá trị đã cho cho Rs, Ls và tần số làm việc ω của mạch nối tiếp, các phần tử của mạch song song Rp và Lp được xác định theo điều kiện biến đổi tương đương dẫn nạp.

Kết quả biến đổi tương đương:

Khi Qs lớn hơn 10, ta có thể xấp xỉ Rp bằng Rs nhân với Qs bình phương và Lp xấp xỉ Ls Đối với mạch RC, việc chuyển đổi tương đương được thực hiện để thuận lợi cho phân tích đáp ứng Có thể sử dụng trở kháng hoặc dẫn nạp tương đương để thực hiện điều này.

Biến đổi song song → nối tiếp

Biến đổi nối tiếp → song song

Với cả hai biến đổi của mạch RC, biểu thức tương đương đều phụ thuộc vào tần số làm việc

Trước đây, tần số của mạch điện được thể hiện qua các đồ thị riêng biệt về biên độ và góc pha theo tần số ω Tuy nhiên, thông tin này có thể được biểu diễn trên một đồ thị Locus trong hệ tọa độ phức, thể hiện quỹ đạo của hàm biến đổi mạch điện khi tần số ω thay đổi từ 0 đến ∞ Bài viết này tập trung vào đồ thị Locus cho trở kháng vào hoặc dẫn nạp vào, trong đó biến số có thể không phải là tần số mà là điện trở R Đối với mạch RL nối tiếp, đồ thị Locus Z được trình bày với ωL cố định và R biến thiên, trong khi đồ thị Locus của Z với R cố định và L hoặc ω biến thiên cũng được trình bày Cuối cùng, đồ thị Locus của Y được xác định khi R cố định và L hoặc ω biến thiên.

Để xác định nửa vùng tròn Locus với tâm tại điểm R và bán kính R, cần lưu ý một số điểm khác Các đồ thị hình 7–28b và 7–28c cũng cung cấp thông tin về đáp ứng tần số của mạch điện Đối với mạch RC song song, đồ thị Locus của các thành phần Y và Z được trình bày trong hình.

7–29a và b Các đồ thị này xác định từ phương trình:

Hình 7–29 Đối với mạch RLC nối tiếp, đồ thị Locus của Y với biến số ω được xác định dựa trên các phương trình:

Cả G và B đều phụ thuộc vào tần số ω thông qua X Loại bỏ X từ hai phương trình trên ta được:

G R Đồ thị Locus của Y theo G và B trên hình 7–30 Lưu ý các điểm trên đồ thị tương ứng với  l ;   0 ;  h

Các mạch dao động thực tế thường có cấu trúc bao gồm nhánh C và nhánh RL song song Đồ thị Locus Y của mạch được xác định dựa trên đồ thị Locus của nhánh C và đồ thị tương ứng của nhánh RL.

Locus nhánh RL Biểu diễn sự kết hợp hai đồ thị, các điểm tương ứng với tần số

   được đánh dấu trên cả hai đồ thị thành phần và đồ thị tổng, như trong hình 7–31c

Trên đồ thị ta thấy

Khi tần số Y min cao hơn ωa, hiện tượng cộng hưởng sẽ có trở kháng cao nhưng không đạt cực đại Nguyên nhân là do G thay đổi theo tần số ω và mọi biến thiên của G đều ảnh hưởng đến hiện tượng này.

Khi B = 0, không đảm bảo rằng G² + B² đạt giá trị nhỏ nhất Sự phân tách giữa tần số cộng hưởng và tần số dẫn nạp cực tiểu phụ thuộc vào công suất phản kháng của cuộn dây Với công suất phản kháng Qind lớn, giá trị R sẽ nhỏ, như thể hiện trong đồ thị hình 7–31b, cho thấy điện trở nhỏ nửa vòng tròn có kích thước lớn hơn.

Y–locus, cho tần số ωa cao hơn và tần số dẫn nạp cực tiểu nhỏ hơn Khi công suất phản kháng Qind > 10, hai tần số này có thể trùng nhau

Trong trường hợp mạch điện có hai nhánh RC và RL, như hình 7–32a, có thể xem xét việc tăng cường dẫn nạp của cả hai nhánh khi giá trị điện áp được giữ cố định.

Điện dung của tụ biến thiên không giới hạn trong khi các tham số R1, R2, L và ω giữ hằng số Dòng điện IL được cố định như trong hình 7-32b Nửa vòng tròn đồ thị Locus của IC được bổ sung thêm thành phần IL, từ đó tạo ra đồ thị Locus của IT.

Khái niệm và thông số mạng hai cửa

Trong mạng hai cực, điện áp cực và dòng điện cực liên hệ với nhau qua công thức trở kháng Z = V/I Tuy nhiên, trong mạng bốn cực, khi mỗi cặp cực được kết nối với các mạch riêng biệt, bốn thông số mạch i1, i2, v1, v2 liên quan với nhau thông qua hai phương trình được gọi là đặc tính cực Hai phương trình này cùng với đặc tính cực của mạch cung cấp đủ thông tin cần thiết để xác định cả bốn thông số.

Bộ số Z của mạch hai cửa với các phần tử tuyến tính và nguồn phụ thuộc có thể viết trong miền phức:

Hệ số Z ij, với đơn vị trở kháng, được gọi là bộ số Z của mạch hai cửa Bộ số Z, hay còn gọi là trở kháng hở mạch, có thể được xác định tại một cửa trong khi cửa còn lại hở mạch.

Ví dụ: Tìm bộ số Z của mạch hai cửa trong hình 8–2

Hình 8–2 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho hai vòng kín với các dòng điện I1 và I2:

So sánh 8–1 và 8–3, ta được: s

Mạch tương hỗ và không tương hỗ

Mạch hai cửa được gọi là tương hỗ khi trở kháng chuyển đổi hở mạch bằng nhau, tức là Z12 = Z21 Trong mạch hai cửa tương hỗ, khi dòng điện I được cấp cho một cửa, điện áp hở mạch trên cửa còn lại sẽ không thay đổi nếu ta thay đổi cửa cấp dòng Điện áp được tính bằng công thức V = Z12 I = Z21 I Mạch chứa các phần tử như điện trở, cuộn cảm và tụ điện thường là mạch tương hỗ, trong khi mạch có nguồn phụ thuộc thường không đạt yêu cầu tương hỗ.

Ví dụ: Mạch hai cửa trên hình 8–3 có nguồn áp phụ thuộc dòng Hãy xác định bộ số Z

Hình 8–3 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho hai vòng:

Rõ ràng Z 12 Z 21 mạch không tương hỗ

8.1.2 M ạch T tương đương củ a m ạ ch hai c ử a tương hỗ

Mạch tương hỗ có thể được mô phỏng dưới dạng mạch T, như thể hiện trong hình 8–4 Trong mô hình này, các trở kháng Za, Zb và Zc được tính toán dựa trên trở kháng của bộ số Z.

Xác định bộ số Z từ mạch T (hình 8–4)

So sánh với phương trình bộ số Z, ta có: c b c c a

8.1.3 B ộ s ố Y Đặc tính cực cũng có thể được viết dưới dạng dòng điện I 1 và I 2 theo các biểu thức của điện áp V 1 và V 2

Phần tử Y ij, được gọi là bộ số Y hoặc bộ số dẫn nạp ngắn mạch, có đơn vị dẫn nạp và được xác định từ dòng điện một cửa khi cửa còn lại được ngắn mạch.

Ví dụ: Xác định bộ số Y của mạch hình 8–5

Gọi các dẫn nạp của các nhánh lần lượt là Ya, Yb và Yc ta có mạch điện theo dẫn nạp hình 8–6

Hình 8–6 Áp dụng định luật Kirchhoff về dòng cho mạch điện hình 8–6

So sánh 8–9 và 8–12 ta được: c b c c a

(8–13) Thay các giá trị Y a, Y b và Y c vào biểu thức 8–13, ta có bộ số Y

Với Y 12 = Y 21 mạch hai cửa tương hỗ

8.1.4 M ạch π tương đương củ a m ạ ch hai c ử a tương hỗ

Mạch tương hỗ có thể được mô hình hóa bằng mạch pi tương đương, bao gồm ba phần tử, như được minh họa trong hình 8–6 Các phần tử này có thể được xác định từ bộ số Y hoặc theo cách ngược lại.

Trong mạch hai cửa, bốn thông số I1, I2, V1 và V2 được mô tả qua hai phương trình (8–1 hoặc 8–9) Khi kết nối mạch này với các phần tử khác, có thể thêm hai phương trình nữa Nhờ vào bốn phương trình, chúng ta có thể xác định tất cả bốn thông số mà không cần biết cấu trúc bên trong của mạch hai cửa.

Ví dụ: Mạch hai cửa có bộ số Z: Z 11 2s1/s; Z 12 Z 21 2s;

Z , được nối với nguồn và tải như trong hình 8–8 Hãy xác định I 1, I 2,

Phương trình cơ bản của bộ số Z:

Véc tơ nguồn áp v s(t) là V s = 12 với s = j (ω =1), áp dụng định luật

Kirchhoff về áp cho hai vòng, ta được thêm hai phương trình:

Thay s = j và V s = 12 vào các phương trình ta được hệ:

Giải hệ phương trình ta được: o o o o

Bộ số Y được xác định từ bộ số Z thông qua việc giải phương trình đặc trưng của bộ số Z để tìm I1 và I2 dựa trên V1 và V2 Bằng cách áp dụng công thức Cramer cho phương trình 8–1, ta có thể thu được kết quả cần thiết.

Trong đó: D ZZ Z 11 Z 22 Z 12 Z 21 là định thức của ma trận hệ số 8–1 So sánh 8–19 và 8–9 ta được:

(8–20) Để xác định bộ số Y từ bộ số Z, định thức D zz phải khác không Tương tự có thể xác định bộ số Z từ bộ số Y:

Trong đó: D YY Y 11 Y 22 Y 21 Y 12 định thức của ma trận hệ số phương trình 8–9 Để xác định được bộ số Z từ bộ số Y, định thức D YY phải khác không

Ví dụ: Xác định bộ số Z từ bộ số Y trong sơ đồ 8–5:

D YY s thay vào 8–21 tìm được:

Một số mạch hai cửa hoặc mạch điện tử, phương trình đặc trưng cho các cực thường dùng ở dạng hỗn hợp dòng áp, ví dụ:

Trong đó: h ij – các hệ số của phương trình ma trận 8–23, được gọi là bộ số lai h (bộ số h)

Ví dụ: Tìm bộ số lai cho mạch điện hình 8–9 Đây là mạch điện đơn giản của BJT ở vùng làm việc tỉ lệ tuyến tính

Do đó tại các cực của mạch ta có phương trình sau:

So sánh với phương trình của bộ số h:

Một số mạch điện – điện tử có thể sử dụng phương trình hồn hợp theo phương án khác:

Trong đó: g ij – hệ số của phương trình ma trận 8–26, được gọi là bộ số lai đảo (bộ số g)

Ví dụ: Xác định bộ số g của mạch điện hình 8–10

Hình 8–10 Đây là mạch đơn giản của Mosfet trong vùng làm việc tỉ lệ tuyến tính Áp dụng định luật Kirchhoff cho các cửa:

So sánh với hệ phương trình bộ số g:

Bộ số T, bao gồm các bộ số A, B, C và D, thể hiện sự phụ thuộc của các thông số nguồn V1 và I1 trong khi giữ nguyên các thông số V2 và I2 của tải.

Ví dụ: Tìm bộ số T của mạch điện hình 8–11

Hình 8–11 Đây là sơ đồ đơn giản của đường dây truyền tải điện Từ hệ phương trình

Kết nối các mạch hai cửa

Mạch hai cửa có thể được kết nối theo nhiều phương án như nối tiếp, song song hoặc lai, tạo thành một mạch hai cửa mới Mỗi phương án kết nối sẽ sử dụng một bộ số phù hợp hơn các bộ số khác để mô tả mạch mới một cách hiệu quả.

Hình 8–12 minh họa hai mạch hai cửa được tạo thành từ việc kết nối nối tiếp hai mạch a và b Mỗi mạch a và b đều có bộ số trở kháng hở mạch, cho phép phân tích và điều chỉnh các thông số điện trong hệ thống.

Z) tương ứng là Z a và Z b Mạch hai cửa mới có bộ số Z được xác định từ kết hợp hai bộ số Z a và Z b theo biểu thức:

Hình 8–13 minh họa mạch hai cửa được tạo thành từ hai mạch hai cửa kết nối song song, với các bộ số dẫn nạp ngắn mạch tương ứng là Ya và Yb.

Bộ số Y trong trường hợp này mang lại sự thuận tiện tối ưu, và bộ số Y của mạch mới sẽ được xác định dựa trên các bộ số Y của các mạch kết nối thông qua biểu thức: b a b a b a b a.

Kết nối xâu chuỗi giữa hai mạch hai cửa a và b được mô tả trong hình 8–

14 Trường hợp này sử dụng bộ số truyền tải T là phù hợp hơn cả và bô số T của mạch hai cửa mới được tính từ các bộ số T của mạch a và b theo biểu thức: b a b a b a b a b a b a b a b a

Việc lựa chọn bộ số phù hợp để mô tả mạch hai cửa phụ thuộc vào cấu trúc và các thành phần của mạch Trong một số trường hợp, không thể sử dụng một bộ số nhất định để mô tả mạch, điều này có thể được hiểu qua sự biến đổi tương đương giữa các bộ số Z và Y Cụ thể, nếu với bộ số Z có D ZZ = 0, thì không tồn tại bộ số Y nào mô tả mạch, và tương tự, nếu với bộ số Y có D YY = 0, thì cũng sẽ không có bộ số Z nào.

Z mô tả mạch loại này

Ví dụ: Xác định bộ số Z và Y của mạch trong hình 8–15

Hình 8–15 Áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho các vòng ở cửa vào và cửa ra của mạch:

So sánh với hệ phương trình bộ số Z:

Z ; Z 12 3; Z 21 10; Z 22 5 Chuyển đổi tương đương sang bộ số Y không thể thực hiện được do định thức D ZZ 6.53.100

Như vậy mạch điện trong hình 8–15 chỉ có thể mô tả bằng bộ số Z.

Hỗ cảm

Khái niệm hỗ cảm

Từ thông qua cuộn cảm tỉ lệ thuận với dòng điện, được biểu diễn bằng công thức  = Li Theo định luật Faraday, điện áp trên cuộn cảm được xác định thông qua đạo hàm của từ thông theo thời gian.

Ldi dt v d  Trong đó: hệ số L có đơn vị là H (Henri) được gọi là hệ số tự cảm

Hai điện cảm gần nhau tạo ra cặp tương tác từ thông, gọi là hỗ cảm Sự tương tác này phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và chiều dòng điện, có thể làm tăng hoặc giảm điện áp trên các cuộn dây Ngoài ra, lõi thép của cuộn cảm cũng ảnh hưởng đến khả năng tương tác; nếu lõi được làm từ thép mềm, từ thông móc vòng sẽ tăng và tương tác giữa các điện cảm sẽ mạnh hơn.

Điện áp giữa các cực của cuộn dây trong cặp, như hình 9–2, cho thấy rằng từ thông móc vòng của mỗi cuộn dây bị ảnh hưởng bởi dòng điện i1 và i2, cùng với hiện tượng hỗ cảm giữa chúng, tạo ra sự đối xứng.

Trong đó: M – hệ số hỗ cảm (đơn vị H)

Hình 9–2 Điện áp trên các cực được xác định từ đạo hàm của từ thông móc vòng: dt

Cáp cuộn dây tạo ra một trường hợp đặc biệt trong mạch hai cửa, với các thông số của cực được thể hiện qua các biểu thức 9–2 Những thông số này có thể được chuyển đổi thành phương trình trong miền tần số và miền phức.

Phương trình trong miền tần số 9–3 được sử dụng để phân tích mạch các đại lượng sin trong chế độ xác lập Trong khi đó, phương trình trong miền phức 9–4 phục vụ cho việc phân tích mạch trong chế độ quá độ với tần số phức s.

Ví dụ: Cho L 1 = 0,1H; L2 = 0,5H; i 1 (t)i 2 (t)sint Hãy xác định các điện áp v 1 (t);v 2 (t) với các hệ số hỗ cảm: M = 0,01H; M = 0,2 và M = – 0,2

Với M = 0,01: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,01cos 0,11cos V t t t t v 2 ( )0,01cos 0,5cos 0,51cos V Với M = 0,2: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,2cos 0,3cos V t t t t v 2 ( )0,2cos 0,5cos 0,7cos V

Với M = – 0,2: t t t t v 1 ( )0,1cos 0,2cos 0,1cos V t t t t v 2 ( )0,2cos 0,5cos 0,3cos V

Một cuộn dây có N vòng sẽ có tổng từ thông là  N Theo định luật Faraday, sức điện động trong cuộn dây được xác định bởi công thức ed/dt N(d/dt) Điện áp tự cảm được định nghĩa là L(di/dt).

(9–5a) Đợn vị của ϕ là weber, trong đó 1 Wb = 1 V.s, xuất phát từ 1H = 1Wb/A

Trong giáo trình này ta chấp nhận từ thông ϕ và dòng điện i tỉ lệ với nhau:

Trong hình 9–3, từ thông tổng ϕ 1 được tạo ra từ dòng điện i 1 trong cuộn dây N1, bao gồm từ thông rò ϕ 11 và từ thông liên kết ϕ 12 Sức điện động emf phát sinh do hiệu ứng cặp cuộn dây được xác định bởi N 2 (dϕ 12 /dt), tương ứng với điện áp biểu diễn qua hệ số hỗ cảm.

Hệ số cặp hỗ cảm k, được định nghĩa bằng tỉ số giữa từ thông liên kết

(khép mạch qua cuộn khác) và từ thông tổng

Nhân hai vế các biểu thức 9–6 và 9–7 với giả thiết k chỉ phụ thuộc vào kết cấu hình học của hệ thống hai cuộn dây:

Từ biểu thức 9–8, ta thấy M  L 1 L 2

Khi tất cả các từ thông liên kết với cuộn dây không có thành phần rò, hệ số k sẽ bằng 1 Nếu trục của cuộn dây được bố trí sao cho từ thông từ cuộn này không gây ra điện áp trên cuộn thứ hai, thì k sẽ bằng 0 Khái niệm cặp hỗ cảm gần giữa hai cuộn dây mô tả trường hợp mà phần lớn từ thông khép mạch qua cả hai cuộn, tức là từ trường của cuộn dây chứa các từ thông khác nhau kết nối qua các vòng dây giữa hai cuộn Hai cuộn dây đặt cạnh nhau mà không có lõi thường mất đi tính chất cặp hỗ cảm, dẫn đến hệ số k rất nhỏ.

Cực tính cặp hỗ cảm

Trên hình 9–4, mô tả hai cuộn dây có chung lõi làm mạch dẫn từ thông ϕ

Cách bố trí này làm thành cặp hỗ cảm gần, được mô tả trong phần ngay trước

Để xác định cực tính điện áp của hộp cảm, ta áp dụng quy tắc bàn tay phải cho từng cuộn Nếu các ngón tay nắm lại theo chiều dòng điện, ngón tay cái sẽ chỉ hướng của từ thông Do đó, chiều dương của từ thông ϕ1 và ϕ2 được thể hiện rõ trong hình.

Khi từ thông cùng chiều, điện áp hỗ cảm và điện áp tự cảm có cùng dấu, như thể hiện trong các phương trình 9–2 và 9–3 với dấu cộng Ngược lại, khi từ thông ϕ 1 và ϕ 2 ngược chiều nhau, các phương trình này sẽ được viết với dấu trừ.

Chiều tự nhiên của dòng điện

Tiếp theo ta xét cặp hỗ cảm trong điều kiện vòng thứ hai là thụ động

Nguồn áp v1 tạo ra dòng điện i1, sinh ra từ thông ϕ1 với hướng như hình 9–5 Theo định luật cảm ứng điện từ, khi mạch vòng thứ hai khép kín, sẽ xuất hiện dòng điện theo chiều ngược lại với từ thông ϕ1 Khi công tắc trong hình 9–5 được đóng, từ thông ϕ2 sẽ có hướng như hình Theo qui tắc tay phải, ngón cái chỉ hướng từ thông ϕ2 giúp xác định chiều tự nhiên của dòng điện i2 Điện áp cảm ứng chính là nguồn áp tạo ra dòng điện cho mạch vòng này, như thể hiện trong hình 8.

6, điện áp này luôn có mặc dù mạch vòng có khép kín hay không Khi công tắc đóng, dòng điện i 2 xuất hiện với chiều như trong hình

Giả sử công tắc của mạch vòng thụ động được đóng tại thời điểm t = 0 với dòng điện i1 = 0 Từ thời điểm t > 0, các thành phần của mạch thụ động được minh họa trong hình 9–6.

Phương trình định luật Kirchhoff về áp cho vòng thụ động:

Phương trình cho vòng chủ động (có nguồn):

Nếu viết các phương trình trên trong miền phức với điều kiện đầu i 1 = 0 và i 2 = 0 và loại bỏ I 1(s), ta được:

L L Đáp ứng của mạch với kích thích v 1:

Tần số đáp ứng tự nhiên của i 2, xác định được từ các cực của H

Dấu của điện áp hỗ cảm có thể xác định dựa vào chiều các cuộn dây, như minh họa trong các hình 9–4 và 9–5 Tuy nhiên, trong các mạch điện thực tế, chiều cuộn dây thường không được thể hiện rõ ràng Để đơn giản hóa việc xác định dấu, các cuộn dây được ký hiệu bằng dấu chấm ở một cực có giá trị cực tính tương đồng.

Để xác định dấu chầm trên các cực của cặp hỗ cảm, cần chọn chiều dòng điện tại một cuộn và đánh dấu nơi dòng điện vào cuộn dây Sử dụng quy tắc tay phải để xác định chiều từ thông; chiều từ thông của cuộn thứ hai sẽ ngược lại Tiếp theo, áp dụng quy tắc tay phải để xác định chiều dòng điện trong cuộn thứ hai và đánh dấu tại cực dòng điện rời khỏi cuộn dây Cực này sẽ cùng dương với cực ở cuộn dây thứ nhất nơi dòng điện đi vào, do đó, các cuộn dây không cần thể hiện chiều quấn như trong hình 9.

7c Những qui tắc đâu chấm sau đây có thể sử dụng:

Khi cả hai dòng điện cùng đi vào hoặc đi ra khỏi hai cuộn dây tại cực có dấu chấm, dấu của phần liên quan đến M sẽ đồng nhất với phần liên quan đến

Máy biến áp

9.2.1 Máy bi ế n áp tuy ế n tính

Máy biến áp là thiết bị điện dựa trên nguyên lý cặp hỗ cảm giữa hai hoặc nhiều mạch điện Máy biến áp lõi thép sử dụng mạch từ làm từ thép đặc biệt để tối ưu hóa hiệu ứng cặp hỗ cảm, trong khi máy biến áp lõi không khí thường xuất hiện trong các thiết bị điện tử và vô tuyến Một loại máy biến áp khác có cấu trúc cuộn dây bao quanh cuộn còn lại, với lõi di chuyển được bằng vật liệu từ, cho phép thay đổi hệ số cặp hỗ cảm Đáng chú ý, đối với máy biến áp lõi thép, độ từ thẩm tương đối μ của thép được giả thiết không đổi trong phạm vi điện áp và dòng điện làm việc Thông thường, máy biến áp có hai cuộn dây, nhưng cũng có trường hợp hiếm gặp với ba cuộn dây trở lên.

Cuộn dây sơ cấp với N1 vòng được kết nối với nguồn áp V1, trong khi cuộn dây thứ cấp có N2 vòng được nối với trở kháng tải ZL Điện trở của các cuộn dây lần lượt được ký hiệu là R1 và R2.

Dòng điện I 2 tạo nên từ thông  2  21  22 , trong khi dòng điện I 1 tạo nên từ thông  1  12  11 Với hệ số cặp hỗ cảm k, từ thông rò của mỗi cuộn dây:

  k  22 (1k) 2 Tương ứng với từ thông rò, điện cảm rò có thể được xác định theo tự cảm:

Do đó trở kháng rò:

Có thể thấy rằng điện cảm của cuông dây có N vòng tỉ lệ thuận với N 2 Từ đó hai cuộn dây máy biến áp có chung lõi, nên:

Từ thông chung của hai cuộn dây trong hình 9–9 chính là từ thông hỗ cảm

 m   Từ thông này tạo ra các sđđ emf thoe định luật Faraday dt

Nếu gọi tỉ số vòng dây

N a N , ta có thể suy ra phương trình cơ bản của máy biến áp: e a e 

Quan hệ giữa từ thông hỗ cảm và điện cảm có thể thực hiện phân tích sức điện động cảm ứng trong cuộn dây thứ hai như sau: dt k

 Áp dụng công thức 9–6 và 9–5a, ta có thể viết biểu thức cho sức điện động e2: dt di a

M di dt kL di dt

M di e 2  1  2 2  1  2 Giải hai phương trình 9–8 và 9–10, ta được:

Dòng điện từ hóa được định nghĩa theo phương trình: i  a i 1 i 2  hoặc I I 

Từ đây ta có: dt

M di e 2   hoặc E 2  jX M I  (9–13) Theo công thức 9–13, dòng điện từ hóa được dùng để xác định từ thông hỗ cảm trong lõi thép

Khi sử dụng sức điện động và trở kháng tản của cuộn dây, ta có thể xây dựng sơ đồ tương đương cho máy biến áp tuyến tính Trong sơ đồ này, cuộn thứ nhất và cuộn thứ hai được tách biệt, như thể hiện trong hình 9–10a Để so sánh giữa hai cuộn, sơ đồ mạch với các chấm cực tính được áp dụng, như trình bày trong hình 9–.

Vẽ đồ thị véc tơ phức cho sơ đồ mạch điện hình 9–10a giúp tính toán trở kháng vào của máy biến áp Đồ thị véc tơ thể hiện trong hình 9–11 cho thấy góc θ L, đại diện cho góc của trở kháng tải Z L.

Theo công thức 9–13, sức điện động E 1 và E 2 được tạo ra từ dòng từ hóa I ϕ với góc lệch 90 o Các phương trình dùng để vẽ đồ thị véc tơ:

Khử Iϕ và I2 từ các phương trình trên

M in jX a R jX jX R a a jX jX

Nếu ta dùng phương trình dòng mắt lưới cho sơ đồ mạch hình 9–10b, ta có trở kháng vào Z in:

9.2.2 Máy bi ến áp lý tưở ng

Máy biến áp lý tưởng là một khái niệm giả tưởng không có tổn hao, với lõi thép có độ từ thẩm vô cùng lớn và không có hiệu ứng cặp hỗ cảm với thành phần từ thông rò Đối với các máy biến áp công suất lớn, tổn hao thường nhỏ so với công suất truyền tải, vì vậy những đặc trưng của máy biến áp lý tưởng rất hữu ích trong thực tế.

Trong hình 9–12, điều kiện không tổn hao có thể được biểu diễn thông qua:

Do không có tổn hao nên:

Và a là số thực nên:

Như vậy trở kháng vào được tính theo biểu thức:

Qui tắc dấu chấm ampe–vòng

Công thức a = N1/N2 dẫn đến N1 I1 = N2 I2, cho thấy số ampe–vòng của cuộn thứ nhất bằng số ampe–vòng của cuộn thứ hai Quy tắc này cũng áp dụng cho máy biến áp có nhiều hơn hai cuộn dây Trong biểu thức, dấu dương biểu thị dòng điện vào cực có dấu chấm của cuộn dây, trong khi dấu âm đại diện cho dòng điện vào cực không có dấu chấm Theo quy tắc dấu chấm ampe–vòng, tổng đại số ampe–vòng của tất cả các cuộn dây trong máy biến áp phải bằng không.

Ví dụ: máy biến áp ba cuộn dây, trong hình 9–13, có số vòng N1 = 20;

N2 = N3 = 10 Hãy xác định dòng điện I1 nêu biết các dòng I 2 1053 o ;

Phương trình ampe–vòng máy biến áp

Máy biến áp tự ngẫu là một cuộn dây có nhiều cực ra đặt trên lõi thép từ

Một đầu mạch điện được kết nối với các cực cuối của cuộn dây, trong khi mạch còn lại được nối với một cực cuối và một cực ra ở phần giữa cuộn dây.

Theo sơ đồ trên hình 9–14a, tỉ số biến áp được xác định:

Tỉ số biến áp của máy biến áp tự ngẫu lớn hơn so với biến áp lý tưởng có cùng tỉ số vòng dây Dòng điện I1 ở cuộn dây N1 tạo ra từ thông ϕ1, trong khi dòng điện ở cuộn dây dưới tạo ra từ thông ϕ2 theo hướng ngược lại Kết quả là dòng điện In được phát ra ở cực ra của cuộn dây Giống như máy biến áp lý tưởng, máy biến áp tự ngẫu lý tưởng cũng có mối quan hệ công suất phức giữa đầu vào và đầu ra.

Theo sơ đồ mạch: I L I ab I cb

9.2.4 Tr ở kháng qui đổ i v ề đầ u vào

Tải Z2 được kết nối với cuộn thứ hai của máy biến áp, ảnh hưởng đến trở kháng vào của máy biến áp Phần trở kháng này được gọi là trở kháng qui đổi về đầu vào của tải Z2 Để phân tích, ta sử dụng phương trình thông số cực của cặp hỗ cảm và áp dụng định luật Kirchhoff về áp cho mạch vòng thứ hai.

0 sI sI Z sI sI sI

Khử I 2 từ hai phương trình trên, tìm Z 1 V 1 /I 1 s Z s s I

 (9–17) Đối với trạng thái ổn định, ta thay s = jω