(LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy Hà Nội - 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy Hà Nội - 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích Phân Lebésgue 1.1.1 Vành, σ - đại số độ đo 1.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo 1.1.3 Tích phân Lebésgue 1.2 Không Gian Các Hàm Giảm Nhanh S (Rn ) 11 1.3 Phép Biến Đổi Fourier 12 1.3.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.3.2 n Biến đổi Fourier không gian L (R ) ƯỚC LƯỢNG TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG 12 18 20 2.1 Ước lượng tập mức 20 2.2 Bổ Đề vander Corput 21 2.3 Đánh giá tích phân dao động thông qua không điểm đạo hàm hàm pha ĐÁNH GIÁ CHUẨN CỦA TOÁN TỬ DAO ĐỘNG 25 29 3.1 Chuẩn toán tử dao động j < n/2 29 3.2 Chuẩn toán tử dao động j > n/2 36 3.3 Chuẩn toán tử dao động j = n/2 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 43 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, giúp đỡ, bảo tận tình, lời động viên vô ý nghĩa Thầy suốt q trình tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa Sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên, khuyến khích, giúp đỡ nhiều suốt thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2017 Nguyễn Hương Liên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Mở đầu Tích phân dao động thu hút nhiều quan tâm nhà Toán học nhà Vật lý từ xuất cơng trình Théorie Analytique de la Chaleur Joseph Fourier vào năm 1822 Nhiều toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; toán quang học, âm học, học lượng tử, đưa việc nghiên cứu tích phân dao động Mặc dù tốn có từ lâu, phạm vi ứng dụng rộng lớn nó, nên đến có nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết quan trọng Trong phạm vi luận văn này, dành phần lớn cho việc nghiên cứu chuẩn tốn tử dao động Tλ Z Tλ φ(x) = eiλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, R sau chúng tơi nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng Z eiλϕ(x) f (x)dx, I(λ) = R λ số dương đủ lớn, ϕ hàm trơn gọi hàm pha, f hàm trơn có giá trị phức gọi hàm biên độ Theo Elias M Stein, có ba vấn đề xét dáng điệu I(λ), λ → ∞, địa phương hóa, đánh giá tiệm cận Có nhiều phương pháp công cụ để khảo sát dáng điệu tích phân dao động I(λ), việc sử dụng tính chất đa diện Newton hàm pha ϕ công cụ hữu hiệu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức tích phân Lebésgue, tích phân Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Ước lượng tích phân dao động Chương trình bày việc đánh giá tập mức qua chứng minh bổ đề vander Corput phương pháp (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc đánh giá tích phân dao động thơng qua không điểm đạo hàm hàm pha Chương 3: Đánh giá chuẩn toán tử dao động Chương trình bày chuẩn tốn tử dao động từ không gian L2 (R) vào L2 (R) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm, tính chất số định lý quan trọng lý thuyết tích phân Lebésgue phép biến đổi Fourier Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Tích Phân Lebésgue 1.1.1 Vành, σ - đại số độ đo Định nghĩa 1.1 Cho X tập Một họ A tập X gọi σ - đại số thỏa mãn điều kiện sau: (a) X ∈ A; (b) A kín phép hợp đếm được, tức Ai ∈ A(i ∈ N) ∞ S Ai ∈ A; i=1 (c) A kín phép lấy phần bù, tức A ∈ A Ac := X/A ∈ A Định nghĩa 1.2 Một họ C tập X gọi vành X thỏa mãn điều kiện sau: (a) C kín phép hợp hữu hạn, tức Ai ∈ C(i ∈ R∗ ) n S Ai ∈ C ; i=1 (b) Nếu A, B ∈ C A/B ∈ C Ngồi ra, X ∈ C ta nói C vành có đơn vị hay đại số Kí hiệu R = R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.3 Cho A σ - đại số X Ánh xạ µ : A −→ R gọi độ đo điều kiện sau thỏa mãn: (a) µ ≥ 0, ∀A ∈ A; (b) µ σ -cộng tính A, tức Ai ∈ A(i = 1, 2, ) rời đơi µ ∞ [ ! Ai = i=1 ∞ X µ(Ai ); i=1 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc (c) µ khơng đồng +∞ A , tức tồn A ∈ A cho µ(A) < +∞ Chú ý: Thay cho σ - đại số A ta lấy vành C định nghĩa độ đo hoàn toàn ∞ S tương tự, trừ điều kiện (b) ta phải giả thiết thêm Ai ∈ C , giả thiết không i=1 cần thiết C σ - đại số Một độ đo µ vành C gọi hữu hạn với A ∈ A, µ(A) < +∞ Độ đo µ gọi σ - hữu hạn với A ∈ C tồn tập An ∈ C(n = 1, 2, ) S cho A ⊂ An µ(An ) < ∞ n 1.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo Một tập hợp X với σ - đại số A X gọi khơng gian đo được, kí hiệu (X, A) Nếu A xác định độ đo µ ta có khơng gian đo (X, A, µ) Cho (X, χ) (Y, Υ) hai không gian đo, ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi (χ, Υ) đo với B ∈ Υ có Định nghĩa 1.4 f −1 (B) ∈ χ Tức nghịch ảnh tập đo tập đo (trường hợp ta viết f −1 (Υ) ⊂ χ) Cho không gian đo (X, χ) hàm f : X → R gọi hàm thực đo (χ, B) đo được, B σ - đại số Borel R Định lý 1.1 Các điều kiện sau tương đương: a) f (χ, B) đo b) {x ∈ X, f (x) < a} ∈ χ, ∀a ∈ R c) {x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ, ∀a ∈ R d) {x ∈ X, f (x) > a} ∈ χ, ∀a ∈ R e) {x ∈ X, f (x) ≥ a} ∈ χ, ∀a ∈ R Chứng minh (a) ⇒ (b): hiển nhiên ∞ T (b) ⇒ (c): {x ∈ X, f (x) ≤ a} = {x ∈ X, f (x) < a + } ∈ χ n n=1 (c) ⇒ (d): {x ∈ X, f (x) > a} = R/{x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ ∞ T (d) ⇔ (e): {x ∈ X, f (x) ≥ a} = {x ∈ X, f (x) > a − } ∈ χ n n=1 (e) ⇒ (a): Gọi D lớp nửa khoảng [a, ∞) với a ∈ R Ta có σ(f −1 (D)) = f −1 (σ(D)) Mặt khác, dễ thấy σ(D) = B Vậy f −1 (B) ⊂ χ T Hơn nữa, {x ∈ X, f (x) = +∞} = {x ∈ X, f (x) ≥ n} ∈ χ n∈N (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Tương tự, {x ∈ x, f (x) = −∞} = T {f (x) ≥ n}c ∈ χ Vậy f −1 ({±∞}) ∈ χ n∈N Do điều kiện tương đương Định nghĩa 1.5 Hàm f gọi hàm đơn giản tồn hữu hạn tập rời E1 , E2 , , Em số thực α1 , α2 , , αm cho f (x) = hay f (x) = m P   α   i xi ∈ Ei (i = 1, 2, , m)   0 i ∈ / m S Ei αi 1Ei (x) 1.1.3 Tích phân Lebésgue 1)Tích phân hàm đơn giản Lớp hàm đơn giản (Ω, A) kí hiệu S := S(Ω, A) Xét lớp S gồm hàm không âm S + := {f ∈ S : f ≥ 0} Định nghĩa 1.6 Cho f ∈ S + có biểu diễn f = m P αi µ(Ai ) tích phân hàm f theo độ đo µ P αi 1Ai Ta gọi giá trị R f dµ := i=1 2)Tích phân hàm đo không âm Trước hết ta định nghĩa tích phân cho hàm đo khơng âm, sau ta định nghĩa hàm đo hiệu hai tích phân thành phần Kí hiệu L+ = L+ (Ω, A) lớp hàm đo không âm Định nghĩa 1.7 Cho hàm f ∈ L+ Tích phân hàm f theo độ đo µ định nghĩa sau: Z Z f dµ = sup fn dµ n X X 3)Tích phân hàm đo Với hàm f đo ta có f = f + − f − f + := max(f, 0) f − := max(−f, 0) Ta có định nghĩa tích phân hàm đo sau: (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn x∈K Điều dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), ∀α, β ∈ Zn+ từ suy C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh hoàn thành (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e−kxk , x ∈ Rn Khi ϕ hàm số thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk2 = x21 + x22 + + x2n nên 2 2 e−kxk = e−x1 e−x2 e−xn , x ∈ Rn Mặt khác  β β1 −x21 D ϕ (x) = D e −x21 =e −x22 e  .e β2 −x22 D e −x2n   βn −x2n D e  Q (x1 , x2 , , xn ) = e−kxk Q (x1 , x2 , , xn ) ∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn , Q (x1 , x2 , , xn ) hàm chứa lũy thừa x1 , x2 , , xn Do xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , , xn )e−kxk ∀α, β ∈ Zn+ Ta thấy lim ta e−|t| = với a ∈ R t→∞ Từ đây, suy lim xα Q (x1 , x2 , , xn ) e−kxk = kxk→∞ ∀α ∈ Zn+ Vậy nên, ta có sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ , dẫn đến ϕ hàm thuộc vào không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) Chứng minh hoàn thành 1.3 Phép Biến Đổi Fourier Đối tượng nghiên cứu phần này, phép biến đổi Fourier hàm thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.3.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.10 Cho hàm f ∈ S (Rn ) Biến đổi Fourier hàm f ký hiệu fb(ξ) hay F (f ) (ξ), hàm xác định Z −n/2 b e−ihx,ξi f (x) dx F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π) Rn x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc Biến đổi Fourier ngược hàm f ∈ S (Rn ) hàm xác Định nghĩa 1.11 định F −1 ∨ −n/2 Z eihx,ξi f (ξ) dξ (f ) (x) = f (x) = (2π) Rn x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra: Biến đổi Fourier (và ngược nó) tuyến tính, nghĩa là: F[λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F[f1 ] + λ2 F[f2 ] F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F −1 [f2 ] Bây ta xét tính chất biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược hàm thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) cách nghiên cứu kỹ mệnh đề sau đây, dựa tài liệu (xem [1],[3],[6]) Định lý 1.6 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ) Khi Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn ) • Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) , Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) , • ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) , ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) Chứng minh Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier hàm ϕ thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), có −n/2 Z e−ihx,ξi ϕ (x) dx (Fϕ) (ξ) = (2π) (1.1) Rn Áp dụng định lý tính khả vi tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ) với α ∈ Zn+ Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα  (2π) −n/2 Z e −ihx,ξi  ϕ (x) dx Rn −n/2 Z (−ix)α e−ihx,ξi ϕ (x) dx = (2π) (1.2) Rn |α| −n/2 |α| α Z e−ihx,ξi xα ϕ (x)dx = (−i) (2π) Rn = (−i) F (x ϕ (x)) (ξ) ∀ϕ ∈ S (Rn ) , tích phân Z e−ihx,ξi xα ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn ) Rn (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.tich.phan.dao.dong.voi.ham.pha.la.da.thuc hội tụ tuyệt đối theo ξ Rn α ∈ Zn+ Vì −ihx,ξi α x ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)| ∀ϕ ∈ S (Rn ) e Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến Z |x|α |ϕ (x)| dx ∀α ∈ Zn+ Rn hội tụ tuyệt đối theo ξ Rn Do đó, tồn đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ), dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rn ) Vì ξ ∈ Rn , β, γ ∈ Zn+ , có   lim ξ β Dxγ e−ihx,ξi ϕ (x) = kxk→∞ ∀ϕ ∈ S (Rn ) Sử dụng phép tính tích phân phần |β| lần cho (1.2), ta Z Dξα (Fϕ) (ξ) = ξ −β (2π)−n/2 e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn Như vậy, với α, β ∈ Zn+ , có ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) = (2π) −n/2 Z e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
(1.3) Rn nhận thấy Z e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn