(LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hình lồi [3] 1.2 Giao hình lồi [7] 2 Về hình lồi đường kính hình 2.1 Định nghĩa đường kính hình [3] 2.2 Đặt vấn đề [3] 2.3 Chia hình phẳng 2.4 Chia hình cầu 18 18 28 29 33 Một số dạng toán vận dụng 38 3.1 Về hình lồi [2], [3] 38 3.2 Một thi học sinh giỏi nước [2], [7] 49 Kết luận Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 66 67 Lời mở đầu Tốn học rời rạc hình học tổ hợp chủ đề thú vị, phát triển mạnh mẽ giới năm gần Các kết liên quan không hấp dẫn nhà tốn học ứng dụng mà cịn hấp dẫn em học sinh phổ thông, kết lập luận tư hấp dẫn Đây chủ đề khai thác cho toán thử tài phải triển tư cho học sinh trung học Đó lý do, lựa chọn chủ đề đề thực đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, với đề tài: "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận dụng" Luận văn trình bày số kết hình lồi, đường kính hình: giao khác rỗng hình lồi, tốn chia hình, số dạng tốn vận dụng Ngồi phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương đề cập đến khái niệm hình lồi kết giao khác rỗng hình lồi Chương Về hình lồi đường kính hình Trong chương đề cập đến khái niệm đường kính hình, tốn chia hình phẳng thành nhỏ hình có đường kính nhỏ hơn, tốn chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ mà khơng thể chia thành số phần nhỏ Chương Một số dạng toán vận dụng Trong chương trình bày tốn vận dụng kết trình bày chương 1, số toán lấy từ kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế download by : skknchat@gmail.com Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo TS Trần Xuân Quý Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, thầy cô trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập trường Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Văn Ninh download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hình lồi [3] Khi học hình học phẳng làm quen với hình lồi, chẳng hạn hình tam giác, hình bình hành, hình thang đa giác hình lồi Hình Trong sách giáo khoa đa giác lồi đề cập tới định nghĩa sau: đa giác đa giác lồi nằm phía đường thẳng qua cạnh Nhưng định nghĩa hạn chế khơng thể áp dụng cho hình có cạnh khơng phải đoạn thẳng (chẳng hạn hình trịn, hình e-lip), hình khơng có giới hạn mặt phẳng (một góc chẳng hạn) Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa định nghĩa sau mở rộng cho hình khơng phải đa giác download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.1 Một hình F gọi lồi điểm A, B thuộc F đoạn AB thuộc F Hình Dễ thấy đa giác lồi lồi theo khái niệm Và đa giác lồi hình trịn, hình elip, hình viên phân hình khơng có giới hạn mặt phẳng hình lồi Hình Trong hình ta tìm thấy ví dụ hình khơng phải hình lồi Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích chứa tất điểm giới hạn nó) bị chặn (có thể phủ hình trịn đủ lớn) gọi oval Ngồi cịn có hình lồi khơng bị chặn: nửa mặt phẳng, góc nhỏ 180 độ, dải, phần mặt phẳng giới hạn đường thẳng parabol Các điểm hình lồi chia thành hai loại điểm điểm biên Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi điểm hình lồi F tồn hình trịn nhận làm tâm nằm hoàn toàn F download by : skknchat@gmail.com Hình Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi điểm biên hình lồi F hình trịn nhận làm tâm chứa điểm khơng thuộc hình lồi F Hình Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng tập hợp điểm biên đường liên tục gọi biên F Các oval có biên đường khép kín Các hình luận văn hiểu hình đóng có tính biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm hình lồi F cắt biên điểm Khi đoạn nối hai điểm nằm F Bây xét B điểm biên tùy ý hình lồi F Từ B ta kẻ nửa đường thẳng xuất phát từ B chạy qua điểm bên F download by : skknchat@gmail.com Hình Các tia tạo nên nửa mặt phẳng tạo nên góc lồi Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d qua điểm biên khơng qua điểm hình lồi F gọi đường thẳng tựa F Trong trường hợp thứ đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng đường thẳng tựa F Hình Cịn trường hợp thứ hai, hình F nằm miền góc [ nhỏ 180 độ qua B có vơ hạn đường thẳng tựa hình ABC [ lồi F: đường thẳng khơng qua điểm góc ABC đường thẳng tựa F Các tia tạo nên BA+ BC + gọi nửa tiếp tuyến F B Tóm lại qua điểm biên tùy ý F có đường thẳng tựa Định lý 1.2 Qua điểm biên B hình lồi F có đường thẳng tựa Trong trường hợp có đường thẳng tựa B gọi điểm quy F download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.6 Nếu qua điểm biên B hình F có vơ hạn đường thẳng tựa điểm B gọi khơng quy đỉnh F 1.2 Giao hình lồi [7] Trong phần làm quen với định lý quan trọng hình học tổ hợp Nếu cho trước họ hình lồi, quan tâm đến câu hỏi họ hình lồi có giao khác rỗng Những câu hỏi đặt xem xét hệ điểm phủ hình trịn có bán kính cho trước hay khơng (ta thấy điều tương đương với câu hỏi: liệu họ hình trịn có tâm điểm cho bán kính cho trước có giao với khác rỗng hay không?) Những câu hỏi tương tự đặt khó nhận biết Chẳng hạn ta hỏi đa giác cho trước tồn điểm, từ quan sát hết tất cạnh đa giác Nhưng hình lồi khơng gian chiều (đường thẳng) nhận biết chia lớp đơn giản Chúng đoạn, khoảng, tia đường thẳng mà Trong không gian 2chiều, tức mặt phẳng hình lồi đa dạng đặc biệt khó vấn đề nhận biết giao chúng khác rỗng Chẳng hạn cho trước hình (hoặc hệ điểm) khó trả lời phủ hình trịn bán kính R Ta dễ dàng nhận thấy câu hỏi tương đương với câu hỏi liệu hệ hình trịn bán kính R có tâm điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác rỗng hay khơng? Trước hết ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gian chiều: Định lý 1.3 Một họ I đoạn thẳng [ai , bi ] đường thẳng cho trước có giao khác rỗng giao hai đoạn chúng khác rỗng Chứng minh: download by : skknchat@gmail.com ... luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, với đề tài: "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận dụng" Luận văn trình bày số kết hình lồi, đường kính hình: giao khác rỗng hình. .. KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG... rỗng hình lồi Chương Về hình lồi đường kính hình Trong chương đề cập đến khái niệm đường kính hình, tốn chia hình phẳng thành nhỏ hình có đường kính nhỏ hơn, tốn chia hình cầu thành bốn phần có đường