(LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết quả về định lý paley wiener 001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN TIẾN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ PALEY - WIENER Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học cịn hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, 11/2015 Đặng Văn Tiến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 1.1 Không gian hàm D(Rn ) 1.2 Không gian hàm suy rộng D0 (Rn ) 1.3 Cấp hàm suy rộng (Rn ) 1.4 Không gian hàm giảm nhanh S 1.5 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 11 1.6 Giá hàm suy rộng 13 1.7 Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 14 1.8 Tích chập 15 1.9 Phép biến đổi Fourier 16 1.9.1 10 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 16 1.9.2 Phép biến đổi Fourier không gian S (Rn ) E (Rn ) 23 DẠNG PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 25 2.2 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 28 DẠNG THỰC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 3.1 30 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 30 3.1.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 30 3.1.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh dãy số 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.1.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức 40 3.1.4 3.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 42 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 43 3.2.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 43 3.2.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh dãy số 48 3.2.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức 50 3.2.4 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 51 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 53 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 Mở đầu Biến đổi Fourier đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi Luận văn đề cập tới nghiên cứu số tính chất hàm khả vi vơ hạn thông qua giá biến đổi Fourier Vấn đề có ý nghĩa lớn ứng dụng vào giải tốn khó khác Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết sóng nhỏ Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Các không gian hàm không gian hàm suy rộng Chương luận văn trình bày kiến thức khơng gian hàm bản, không gian hàm suy rộng, tích chập hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số kết dạng phức Định lý Paley- Wiener Chương luận văn đưa điều kiện cần đủ để hàm số biến đổi Fourier hàm số có giá chứa hình cầu tâm 0, bán kính R cho trước biến xét biến phức Chương 3: Một số kết dạng thực Định lý Paley- Wiener Chương luận văn trình bày dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact bất kì, tập sinh dãy số, tập sinh đa thức cho tập lồi (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm kết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [5]) 1.1 Không gian hàm D(Rn) Trước nghiên cứu không gian hàm bản, luận văn số ký hiệu trình bày luận văn Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo Với số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ √ −1 = i = {α = (α1 , , αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn n n P P Với chuẩn Euclid kxk = ( x2j )1/2 , tích vơ hướng hx, ξi = xj ξj j=1 j=1 Với k ∈ Z+ ký hiệu tập sau C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (Rn ) = {u : Rn → C|u ∈ C k (Rn ), suppu tập compact}, n k n ∞ n ∞ k C ∞ (Rn ) = ∩∞ k=1 C (R ), C0 (R ) = ∩k=1 C0 (R ), suppu = {x ∈ Rn | u(x) 6= 0} Với ε > K tập compact Rn ta định nghĩa: Kε = {x ∈ Rn | ∃ξ ∈ K, kx − ξk < ε} (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 K(ε) = {x ∈ C| ∃ξ ∈ K, kx − ξk < ε} Ký hiệu F phép biến đổi Fourier, fb (hay Ff ) ảnh Fourier hàm f, suppfb giá ảnh Fourier (gọi phổ) hàm f Các giới hạn lim am , lim am , lim am tương ứng giới hạn, giới hạn trên, giới m→∞ m→∞ m→∞ hạn dãy hàm {am }∞ m=1 Bây lúc ta phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ví dụ minh họa để làm rõ không gian hàm Định nghĩa 1.1 Không gian D(Rn ) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) ∞ n với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 hàm C0 (R ) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) (i) có tập compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , (ii) lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ j→∞ x∈Rn Khi đó, ta viết ϕ = D− lim ϕj j→∞ Ví dụ 1.1 Ta định nghĩa hàm biến Ψ(x) sau  ce1/(|x|−1) |x| < 1, Ψ(x) = 0 |x| ≥ Khi Ψ ∈ D(R) Mệnh đề 1.1 Khơng gian D(Rn ) đủ 1.2 Không gian hàm suy rộng D0(Rn) Định nghĩa 1.2 Ta nói f hàm suy rộng Rn f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ) Hàm suy rộng f ∈ D0 (Rn ) tác động lên ϕ ∈ D(Rn ) viết hf, ϕi Hai hàm suy rộng f, g ∈ D0 (Rn ) gọi hf, ϕi = hg, ϕi , ∀ϕ ∈ D(Rn ) Tập tất hàm suy rộng Rn lập thành không gian D0 (Rn ) Chú ý 1.1 Trên D0 (Rn ) xây dựng cấu trúc không gian vectơ C, nghĩa ta định nghĩa phép tốn tuyến tính sau (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 (i) phép cộng: với f, g ∈ D0 (Rn ) tổng f + g xác định sau f + g : ϕ 7→ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, f + g ∈ D0 (Rn ), nghĩa là, f + g phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ), (ii) phép nhân với số phức: với λ ∈ C, f ∈ D0 (Rn ) tích λf xác định sau λf : ϕ 7→ hλf, ϕi =λ hf, ϕi , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, λf ∈ D0 (Rn ), nghĩa là, λf phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ) Hơn thế, ta cịn định nghĩa phép nhân với hàm C ∞ (Rn ) Với φ ∈ C ∞ (Rn ), f ∈ D0 (Rn ) tích φf ∈ D0 (Rn ) xác định sau φf : ϕ 7→ hφf, ϕi = hf, φϕi , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, φf ∈ D0 (Rn ) Ví dụ 1.2 Với f ∈ L1 (Rn ) coi hàm suy rộng cách sau Z f : ϕ 7→ hf, ϕi = f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Rn ) Rn Như vậy, coi L1 (Rn ) tập D0 (Rn ) Hàm suy rộng f ∈ L1 (Rn ) gọi hàm suy rộng quy Với f, g ∈ L1 (Rn ), theo nghĩa hàm suy rộng theo nghĩa thông thường nhau, nghĩa Z Z n f (x)ϕ(x)dx = f, g ∈ L (R ), g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn ) Rn Rn f = g, h.k.n Rn 1.3 Cấp hàm suy rộng Định nghĩa 1.3 Cho K ⊂ Rn , f ∈ D0 (Rn ) Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữu hạn K có số ngun khơng âm k số dương C cho |hf, ϕi| ≤ C X |α|≤k sup |Dα ϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K (1.1) x∈K (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 Số nguyên không âm k nhỏ số nguyên không âm mà ta có bất đẳng thức (1.1) gọi cấp hàm suy rộng f tập K Nếu khơng có số ngun khơng âm k để có (1.1) với số dương C đó, ta nói rằng, hàm suy rộng f có cấp vơ hạn K Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suy rộng f ∈ D0 (Rn ) có cấp k có cấp k Rn Ví dụ 1.3 Mọi hàm f ∈ L1 (Rn ) có cấp Ta có: (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 Định nghĩa 1.11 (Tích chập hàm suy rộng thuộc D0 (Rn ) D(Rn )) Cho f ∈ D0 (Rn ) ϕ ∈ D(Rn ) ta xác định tích chập (f ∗ ϕ) (x) hàm số Rn theo công thức (f ∗ ϕ) (x) = (f (y) , ϕ (x − y)) , ∀x ∈ Rn Định lý 1.3 Nếu f ∈ D0 (Rn ) ϕ ∈ D (Rn ) (f ∗ ϕ) (x) ∈ C ∞ (Rn ), supp (f ∗ ϕ) ⊂ suppf + suppϕ 1.9 Phép biến đổi Fourier Đối tượng luận văn nghiên cứu phần này, phép biến đổi Fourier hàm thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), không gian hàm tăng chậm S (Rn ), không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 1.9.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.12 Cho hàm f ∈ S (Rn ) Ảnh Fourier hàm f ký hiệu fb(ξ) hay F (f ) (ξ), hàm xác định Z −n/2 b e−ihx,ξi f (x) dx F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π) Rn x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn Định nghĩa 1.13 Ảnh Fourier ngược hàm f ∈ S (Rn ) hàm xác định F −1 ∨ −n/2 Z (f ) (x) = f (x) = (2π) eihx,ξi f (ξ) dξ Rn x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn Bây ta xét tính chất ảnh Fourier, ảnh Fourier ngược hàm thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Bằng cách nghiên cứu kỹ mệnh đề sau đây, dựa tài liệu (xem [1], [2], [5]) Định lý 1.4 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ) Khi Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn ) • Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) , Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) , • ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) , ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) 16 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 Chứng minh Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier hàm ϕ thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), có (Fϕ) (ξ) = (2π) −n/2 Z e−ihx,ξi ϕ (x) dx (1.2) Rn Áp dụng định lý tính khả vi tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ) với α ∈ Zn+ Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα  (2π) −n/2 Z −ihx,ξi e  ϕ (x) dx Rn −n/2 Z (−ix)α e−ihx,ξi ϕ (x) dx = (2π) (1.3) Rn |α| −n/2 Z e−ihx,ξi xα ϕ (x)dx = (−i) (2π) Rn = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) tích phân Z e−ihx,ξi xα ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn ) , ∀ϕ ∈ S (Rn ) Rn hội tụ tuyệt đối theo ξ Rn α ∈ Zn+ Vì −ihx,ξi α x ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)| ∀ϕ ∈ S (Rn ) e Do hàm ϕ ∈ S (Rn ), nên dẫn đến Z |x|α |ϕ (x)| dx ∀α ∈ Zn+ Rn hội tụ tuyệt đối theo ξ Rn Do đó, tồn đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ), dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rn ) Vì ξ ∈ Rn , β, γ ∈ Zn+ , có   lim ξ β Dxγ e−ihx,ξi ϕ (x) = kxk→∞ ∀ϕ ∈ S (Rn ) Sử dụng phép tính tích phân phần |β| lần cho (1.3), ta Z Dξα (Fϕ) (ξ) = ξ −β (2π)−n/2 e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn Như vậy, với α, β ∈ Zn+ , có ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) −n/2 Z = (2π) e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
(1.4) Rn 17 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001(LUAN.van.THAC.si).mot.so.ket.qua.ve.dinh.ly.paley.wiener.001 nhận thấy Z e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn
≤ sup Dxβ (−x)α ϕ (x) (1 + kxk)n+1 x∈Rn Z dx Rn (1 + kxk)n+1 (1.5) Kết hợp (1.4) (1.5), ta nhận sup