(LUẬN văn THẠC sĩ) dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN ĐỨC HẬU DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - NĂM 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN ĐỨC HẬU DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành đánh dấu mốc quan trọng công việc học tập nghiên cứu khoa học tác giả Nhân dịp này, tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến người thân yêu, gia định ban bè đồng nghiệp ửng hộ, động viên, chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡ trình nghiên cứu thực đề tài Bản luận văn lời chi ân sâu sắc tác giả gửi tới thầy cô giáo giảng dạy giúp đỡ trình học tập trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người trực tiếp hướng dẫn, truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu; thầy Nguyễn Bá Đang (Hà Nội) động viên, khích lệ, định hướng, giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Nội dung cơng trình nghiên cứu, giảng dạy cho đối tượng học sinh giỏi trường THPT học sinh chuyên tốn nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy, giáo, bạn đồng nghiệp để luận văn đưọc hoàn thiện Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năn 2016 Tác giả Trần Đức Hậu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục MỞ ĐẦU Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi 1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế 1.1.2 Thi học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh giỏi Việt Nam 1.1.3 Những thuận lợi khó khăn việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT không chuyên lớp chọn trường THPT chuyên 1.2 Tư 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Đặc điểm tư 1.2.3 Những phẩm chất tư 1.2.4 Các thao tác tư 1.2.5 Vấn đề phát triển lực tư 1.2.6 Dấu hiệu đánh giá tư phát triển 1.3 Tư sáng tạo 1.3.1 Một số cơng trình nước nghiên cứu tư sáng tạo 1.3.2 Tư sáng tạo 1.3.3 Cấu trúc tư sáng tạo 1.3.4 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua việc dạy học mơn tốn nhằm phát huy lực, phẩm chất học sinh 1.3.5 Thực trạng trình dạy học nội dung đa thức bậc ba hệ thức lượng giác liên quan 7 10 10 10 12 12 13 14 14 14 16 17 21 24 Đa thức bậc ba hệ thức tam giác 27 2.1 Đa thức bậc ba 27 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 Cơng thức nghiệm phương trình bậc ba Định lí Viete Định lí tồn nghiệm thực tính chất nghiệm Sử dụng dạng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình bậc ba Đa thức bậc ba với yếu tố cạnh tam giác 2.2.1 Phương trình bậc ba theo độ dài cạnh tam giác 2.2.2 Phương trình bậc ba theo độ dài tiếp tuyến đường tròn nội tiếp tam giác Đa thức bậc ba với yếu tố bên tam giác 2.3.1 Phương trình bậc ba theo đường cao tam giác 2.3.2 Phương trình bậc ba theo bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác 2.3.3 Phương trình bậc ba theo hàm số lượng giác tam giác 2.3.4 Xây dựng đẳng thức tam giác 2.3.5 Xây dựng bất đẳng thức tam giác Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.2 Phương pháp thực nghiệm 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.3.3 Nội dung dạy thực nghiệm đề kiểm tra 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm 3.4.2 Kết thực nghiệm sư phạm 27 36 40 42 46 46 49 50 50 52 54 64 65 71 71 71 71 71 72 72 72 73 81 81 82 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 88 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Lý chọn đề tài Nghị số 29-NQ/TW ngày tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất lực công dân, phát huy bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời" Nhiệm vụ dạy học mơn Tốn trang bị kiến thức cần thiết cho học sinh, từ phát triển lực tư sáng tạo, lực tự học Toán, lực tính tốn, qua hình thành phát triển phẩm chất người đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội ngày Để tạo người lao động mới, lực khơng thể thiếu lực sáng tạo Khi cần phải có phương pháp dạy học phù hợp để khơi gợi phát huy lực người học " Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứu khoa học" (Nghị 29, Trung ương lần thứ 8, BCHTƯ khố XI) Vì vậy, nhiệm vụ người dạy mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ định hướng phát triển phẩm chất cho học sinh, làm đầy trí tuệ cho học sinh cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi người dạy phải vận dụng phương pháp dạy học tích cực kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển lực sáng tạo giải vấn đề điều kiện cụ thể tình hình thực tế sống, góp phần nhỏ bé nhân xây dựng nước Việt Nam TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi XHCN thời kỳ Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THPT thiếu nội dung đa thức, hệ thức lượng tam giác Khi học sinh có kiến thức bản, cần thiết đa thức, hệ thức lượng giác, thông qua phương pháp giảng dạy người thầy định hướng lực phát triển tư sáng tạo Từ hình thành lực giải vấn đề sáng tạo toán Khác với cơng trình nghiên cứu khác, người dạy sâu vào nghiên cứu, phân tích tốn cụ thể với nhiều cách giải Cơng trình đạt kết xuất phát nguồn gốc vấn đề, từ sáng tạo nội dung Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề tài: "Dạy học đa thức bậc ba hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" làm luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Đề xuất biện pháp cần thiết nhằm giúp cho học sinh định hướng giải lớp toán ứng dụng phương trình bậc ba tạo số hệ thức lượng tam giác Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu thi học sinh giỏi tốn quốc tế (IMO), thi học sinh giỏi cấp nước Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ số vấn đề tư duy, đặc biệt tư sáng tạo Nghiên cứu biểu tư sáng tạo học sinh THPT, đặc biệt học sinh trường THPT chuyên trường THPT chất lượng cao; cần thiết phải rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải vấn đề sáng tạo tốn Tìm hiểu thực trạng việc dạy hệ thức lượng tam giác trường THPT cho học sinh khá, giỏi (lý thuyết ví dụ phần đa thức chủ yếu sở để giải nội dung hệ thức lượng giác tam giác) Đề xuất biện pháp cần thiết rèn tư sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua việc phát triển kiến thức có để có hệ thức lượng giác tam giác Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Khách thể đối tượng nghiên cứu Lớp 12T1, 12T2 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong lớp 12A1, 12A2 trường THPT xây dựng trung tâm CLC Trần Hưng Đạo, tỉnh Nam Định Phạm vi nghiên cứu Kiến thức Đa thức bậc ba, đặc biệt định lý nghiệm, định lý Viete; hệ thức lượng tam giác Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu giáo dục học, tâm lý học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, sách tham khảo, tạp chí, đặc san, văn đạo Bộ, Nghị 29-NQ/TW có liên quan đến logic học, tư sáng tạo, phương pháp tư sáng tạo, phương pháp nhằm phát triển rèn luyện tư sáng tạo, lực, phẩm chất cho học sinh giỏi Nội dung luận văn ý nghiên cứu sâu việc phát triển tư sáng tạo định hướng phát triển lực cho học sinh giỏi thông qua việc "Dạy học đa thức bậc ba hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống hệ thức xậy dựng định hướng xây dựng toán nhằm rèn cho học sinh tư sáng tạo, khả tự học, tự nghiên cứu, lòng say mê tốn học, khuyến khích học tập suốt đời Đóng góp đề tài Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho trường THPT chuyên trường THPT xây dựng trung tâm chất lượng cao Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Nội dung luận văn gồm ba chương: - Chương Cơ sở lý luận thực tiễn - Chương Đa thức bậc ba hệ thức tam giác - Chương Thực nghiệm sư phạm (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Chương Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi 1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế Trên giới, việc lựa chọn học sinh có khiếu tốn để đào tạo, bồi dưỡng nhằm phát huy tối đa khả tích cực, lực người học nhiều nước quan tâm, trọng Ở số nước châu Âu, kỳ thi học sinh giỏi toán tổ chức thống tất cấp với đề thi thống từ sở đến toàn quốc, Bungari, CHDC Đức; vòng 1-cấp sở, vòng 2-cấp huyện, vịng 3-cấp tỉnh, vịng 4-vịng chung khảo tồn quốc Để có sân chơi khoa học bổ ích toán nhằm giao lưu, học hỏi, đào tạo bồi dưỡng khiếu cho học sinh, số nước họp lại với tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung học phổ thông (International Mathematical Olympiad) viết tắt IMO Kỳ thi lần tổ chức Rumani năm 1959, với tham gia quốc gia Đông Âu: Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan Liên Xô Trong giai đoạn đầu, IMO chủ yếu thi quốc gia thuộc hệ thống XHCN địa điểm tổ chức phạm vi nước Đông Âu Từ năm 1970, số lượng đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng, IMO thực trở thành kỳ thi quốc tế toán cho học sinh giỏi cấp trung học phổ thông quốc gia Cho tới nay, thi tổ chức liên tục, hàng năm (trừ năm 1980) kỳ thi có số lượng đồn tham gia đông IMO 2011 tổ chức Amsterdam, Hà Lan với 101 đoàn tham dự Mỗi đoàn tham dự phép có tối đa thí sinh, trưởng đồn, phó đồn quan sát viên Theo quy định, thí sinh tham gia phải 20 tuổi trình độ khơng vượt q cấp THPT (Secondary school hay high school tiếng (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Anh, lyce’e tiếng Pháp) Việt Nam lần đầu tham dự năm 1974 đạt kết đáng tự hào Để có học sinh tham dự kỳ thi IMO, quốc gia tham dự tổ chức chọn lựa, đào tào bồi dưỡng học sinh theo đặc thù riêng quốc gia Những đồn thường đạt thành tích cao Mỹ, Nga, Trung Quốc, Hàn Quốc Việt Nam thường lọt vào top 10 kỳ thi 1.1.2 Thi học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh giỏi Việt Nam Kỳ thi học sinh giỏi cấp nhằm động viên, khuyến khích người dạy người học phát huy lực sáng tạo, dạy giỏi, học giỏi; góp phần thúc đẩy việc cải tiến, nâng cao chất lượng dạy học, chất lượng cơng tác quản lí, đạo cấp quản lý giáo dục; đồng thời phát người học có khiếu mơn học để tạo nguồn bồi dưỡng, thực mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương, đất nước Kỳ thi học sinh giỏi tốn tồn quốc nhằm chọn học sinh giỏi toán THPT tổ chức hàng năm, lần vào năm học 1961-1962 Từ 1962 đến năm 1975 kỳ thi tổ chức cho miền Bắc; sau ngày giải phóng miền Nam, thống đất nước, kỳ thi tổ chức phạm vi toàn quốc Từ năm 1974 đến nay, dựa kết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, chọn đội tuyển học sinh Việt Nam tham dự thi vơ địch tốn quốc tế (IMO) đạt số kết đáng phấn khởi Hàng năm, nhà trường, lớp lựa chọn, thành lập đội tuyển học sinh giỏi dự kỳ thi học sinh giỏi cấp Để đạt mục đích nêu trên, khâu quan trọng cơng tác đào tạo bồi dưỡng học sinh Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn nói riêng q trình chuẩn bị kiến thức có hệ thống, mơi trường giáo dục thuận lợi, người thầy sử dụng phương pháp dạy học hiệu tác động vào trò nhằm nâng cao trình độ, kỹ cho học sinh nỗ lực, cố gắng học sinh đạt lực đặc biệt, vận dụng vào giải toán thực tế sống Trong trình bồi dưỡng, để phát huy hiệu loại tư duy, đặc biệt tư sáng tạo người thầy có vai trị quan trọng; nắm bắt lực sẵn có học sinh, tác động có chủ đích người thầy để học sinh phát huy cao (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Ta có t3 − 1 , , nghiệm phương trình cosA cosB cosC p2 + r2 − 4R2 4R(R + r) 4R2 t + t − = p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 Từ hai phương trình sử dụng tính chất nghiệm ta kết 1 1 p2 + r2 − 4Rr + + = cosA cosB cosC p − (2R + r)2 1 4R(R + r) + + = cosAcosB cosBcosC cosCcosA p − (2R + r)2 1 R(p2 + 5r2 + 8Rr) + + = cosA + cosB cosB + cosC cosC + cosA r(p2 + r2 + 2Rr) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 6R2 + r2 + 4Rr − p2 2R2 cos3 A + cos3 B + cos3 C = 4R3 + 12R2 r + 6Rr2 − 3p2 r + r3 4R3 (cosA + cosB)(cosB + cosC)(cosC + cosA) = r(p2 + r2 + 2Rr) 4R3 (R + r)(p2 + r2 − 4R2 ) cosA + cosB cosB + cosC cosC + cosA + + = cosC cosA cosB R(p2 − (2R + r)2 ) cosA cosB cosC 4R2 + + = − cosBcosC cosCcosA cosAcosB p − (2R + r)2 (cos A − cos B)2 + (cos B − cos C)2 + (cos C − cos A)2 = (4R + r)2 − 3p2 2R2 10 (cosA − cosB)(cosB − cosC) + (cosB − cosC)(cosC − cosA) + (cosC − cosA)(cosA − cosB) = 3p2 − (4r + r)2 4R2 11 (1 − cos A)(1 − cos B)(1 − cos C) = r2 2R2 12 (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = p2 2R2 A B C 2 − cos A − cos B C − cos C 2A 2B Ta biến đổi sin = , sin = , sin2 = 2 2 2 c Phương trình theo nghiệm sin2 , sin2 , sin2 Khi đó: sin2 A B C − (cosA + cosB + cosC) + sin2 + sin2 = 2 2 56 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi R+r R = 2R − r = 2R 3− B B C C A A sin2 sin2 + sin2 sin2 + sin2 sin2 2 2 2 − cos A − cos B − cos B − cos C − cos C − cos A = + + 2 2 2 = ((1 − cos A)(1 − cos B) + (1 − cos B)(1 − cos C) + (1 − cos C)(1 − cos A)) = (3 − 2(cos A + cos B + cos C) + (cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)) p2 + r2 − 8Rr = 16R2 Vậy ta phương trình r2 2R − r p2 + r2 − 8R2 t + t − = 2R 16R2 16R2 t3 − 1 , , nghiệm phương trình A B C sin2 sin2 sin2 2 2 + r − 8R2 p 8R(2R − r) 16R2 t3 − t + t − = r2 r2 r2 Ta có kết sau: 1 sin2 sin2 B + sin2 C = p2 + r2 − 8Rr r2 1 8R2 (2R − r) + + = A B B C C A r2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 2 2 2 sin4 sin A + A B C 8R2 + r2 − p2 + sin4 + sin4 = 2 8R2 6A + sin 6B 2A sin + sin sin2 sin2 2B C + sin 6C  = + sin 2B + sin sin2 A B + sin2 2 2R − r 2R + sin2 2C 3 − + A B C + sin2 2 3p2 (2R − r) − 3r(4R − r)2 32R3 sin 2C + sin sin2 + sin2 2A = 2R(16R2 − 24Rr + p2 + 5r2 ) p2 (2R − r) − r(4R − r)2 B C A + sin2 2 = 2(8R2 − p2 + r2 ) r2 57 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi (p2 + r2 ) + 16Rr(2Rr − p2 ) + + = r4 4A 4B 4C sin sin sin 2 1 sin2 B B C C A A + sin2 sin2 + sin2 sin2 + sin2 2 2 2+ 2+ 2 = p (2R − r) − r(16R + r + 4Rr) C A B 2Rr2 sin2 sin2 sin2 2  + sin  10 2A sin 2A  + sin − sin 2B  2B 2B sin  + sin 2C − sin  2C =  2C sin 2(4R − r)2 + p2 16R2 − sin 2A  = (4R − r)2 − 3p2 8R4 B C A 2 A A A 2A 2A 2 Do cos = − sin ⇒ sin = − cos , ta biết sin2 nghiệm 2 2 d Phương trình theo nghiệm cos2 , cos2 , cos2 phương trình t3 − 2R − r p2 + r2 − 8R2 r2 t + t − = 2R 16R2 16R2 thay t − t ta p2 + r2 − 8R2 r2 2R − r (1 − t)2 + (1 − t) − = hay 2R 16R2 16R2 2R − r p2 + r2 − 8R2 r2 − 3t + 3t2 − t3 − (1 − 2t + t2 ) + (1 − t) − =0 2R 16R2 16R2 2 p 4R − r p + (4R + r) t + t− ⇔ t3 − 2R 16R 16R2 B C Tương tự thực cho cos2 , cos2 2 A B C 2 Vậy cos , cos , cos nghiệm phương trình 2 (1 − t)3 − t3 − 4R − r p2 + (4R + r)2 p2 t + t − 2R 16R2 16R2 Theo hướng quen thuộc ta có cos2 ; ; A B C cos2 cos2 2 nghiệm phương trình t3 − p2 + (4R + r)2 8R(4R + r) 16R2 t + t − p2 p2 p2 Học sinh tự xây dựng đẳng thức sử dụng hai phương trình tính chất nghiệm phương trình bậc ba Ta có số kết sau: 58 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi 1 cos2 A + cos2 B + cos2 C = p2 + (4R + r)2 p2 1 8R2 (2R − r) + + = A B B C C A r2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 2 2 cos2 B C 4R + r A + cos2 + cos2 = 2 2R A B B C C A p2 + (4R + r)2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 = 2 2 16R2 A B cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 C p2 = 16R2 cos4 A B C (4R + r)2 − p2 + cos4 + cos4 = 2 8R2 cos6 B C (4R + r)3 − 3p2 (2R + r) A + cos6 + cos6 = 2 32R3 1 8R(4R + r) + + = B C A A B C p2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 C cos2 A cos2 B cos2 2 + + = A B B C C A cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 2 2  10 cos4 cos2 11  12  A + cos4 B + cos4 C p2 + (4R + r)2 = (4R + r)2 − p2 2  p2 − 16Rp2 (4R + r) p4 A B B C C A cos2 + cos2 cos2 + cos2 + cos2 2 + 2 + 2 = p (r − 2R) + (4R + r) C A B 2Rp2 cos2 cos2 cos2 2 A B cos2 + cos2 2  B C cos2 + cos2 2  C A cos2 + cos2 2  = p2 (2R + r) + (4R + r)3 32R3 e Phương trình theo nghiệm cot A, cot B, cot C Theo định lí hàm số cosin 2bc cos A = b2 +c2 −a2 hay 2bc sin A cot A = b2 +c2 −a2 hay 4S cot A = b2 +c2 −a2 , b + c − a2 suy cot A = 4S c + a2 − b a2 + b − c Tương tự ta có cot B = , cot C = 4S 4S 59 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Khi a2 + b + c 4S p2 − r2 − 4Rr = 4pr cot A + cot B + cot C = cos A cos B cos C sin A sin B sin C p2 − (2R + r)2 4R2 = pr 2R2 p2 − (2R + r)2 = 2pr cot A cot B cot C = cot B cot C − = − cot A nên cot B + cot C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = Lại có cot(B + C) = − cot A hay Vậy cot A, cot B, cot C nghiệm phương trình t3 − Thay t p2 − r2 − 4Rr (2R + r)2 − p2 t +t− = 2pr 2pr 1 nên ta có tanA = , tanB, tanC nghiệm phương trình t cotA t3 − 2pr 2pr t2 + t − = 2 (2R + r) − p p − r2 − 4Rr Tương tự ta có kết sau: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC = p2 p2 2pr − (2R + r)2 2pr − (2R + r)2 tanAtanB + tanBtanC + tanCtanA = p2 − r2 − 4Rr p2 − (2R + r)2 cot2 A + cot2 B + cot2 C = (p2 − r2 − 4Rr)2 − 8p2 r2 4p2 r2 cot3 A + cot3 B + cot3 C = (p2 − r2 − 4Rr) − 48p2 Rr2 8p3 r3 (cotA + cotB)(cotB + cotC)(cotC + cotA) = 2R2 pr 60 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi cotA + cotB cotB + cotC cotC + cotA 12R2 + 18Rr + 2r2 − 2p2 + + = cotC cotA cotB p2 − (2R + r)2 cotB cotC (p2 − r2 − 4Rr)2 − 8r2 p2 cotA + + = cotBcotC cotCcotA cotAcotB 2pr(p2 − (2R + r)2 ) (cotA − cotB)2 + (cotB − cotC)2 + (cotC − cotA)2 = 10 tan2 A + tan2 B + tan2 C = 11 (p2 − r2 − 4Rr)2 − 12r2 p2 2p2 r2 4p2 r2 − 2(p2 − r2 − 4Rr)(p2 − (2R + r)2 ) (p2 − (2R + r)2 )2 1 (p2 − r2 − 4Rr)2 + 4r2 p2 + + = cotB + cotC cotC + cotA cotA + cotB 8pR2 r 12 (tanA + tanB)(tanB + tanC)(tanC + tanA) = 8pR2 r (p2 − (2R + r)2 )2 B C A B C A cot , cot , cot 2 2 2 Theo cơng thức tính diện tích S = pr cơng thưcs tính bán kính đường trịn f Phương trình theo nghiệm tan , tan , tan nội tiếp tam giác r = (p − a)tan A B C = (p − b)tan = (p − c)tan 2 suy tan A r B r C r = , tan = , tan = p−a p−b p−c Khi tan B C r r r A + tan + tan = + + 2 p−a p−b p−c   1 =r + + p−a p−b p−c 4R + r =r pr 4R + r = p A r B C pr3 tan tan tan = 2 = 2 p r p A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan 2 2 2 r r r r r r = + + p−ap−b p−bp−c p−cp−a   1 = r2 + + (p − a)(p − b) (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) 61 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi = r2 r2 = A B Vậy tan , tan , tan C nghiệm phương trình t3 − r 4R + r t + t − = p p A B C nghiệm phương trình Ta suy cot , cot , cot p 4R + r p t3 − t2 + t − = r r r Ta có số kết sau: cot A B C p + cot + cot = 2 r A B B C C A 4R + r + cot cot + cot cot = 2 2 r A B 2 cot cot cot cot cot C p = r cot2 A B C p2 − 2r2 − 8Rr + cot2 + cot2 = 2 r2 cot3 A B C p(p2 − 12Rr) + cot3 + cot3 = 2 r3  B A cot + cot 2 cot  B C cot + cot 2  C A cot + cot 2  = 4pR r2 A B B C C A + cot cot + cot cot + cot 2 + 2 + 2 = 4R − 2r C A B r cot cot cot 2 A B tan + tan 2 tan2 10 tan3 B C tan + tan 2  C A tan + tan 2  = 4R p A B C (4R + r)3 − 12p2 R + tan3 + tan3 = 2 p3 A tan  A B C (4R + r)2 − 2p2 + tan2 + tan2 = 2 p2 11 tan2 tan2 12  B B C C A p2 − 2r2 − 8Rr + tan2 tan2 + tan2 tan2 = 2 2 p2 A B B C C A + tan tan + tan tan + tan 2 + 2 + 2 = 4R − 2r C A B r tan tan tan 2 62 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi 13 tan + A B + tan 2 tan 14  A − tan  15  A + tan  B C + tan 2 B − tan  B + tan  + tan C − tan  C + tan  C A + tan 2 = = 2(p − r − 2R) p = 2(p + r + 2R) p A B g Phương trình theo nghiệm tan2 , tan2 , tan2 A B Ta có tan2 , tan2 , tan2 t3 + C A B C cot2 , cot2 , cot2 2 2 C nghiệm phương trình 2p2 − (4R + r)2 p2 − 2r2 − 8Rr r2 t + t − = p2 p2 p2 A t B Thay t , ta cot2 , cot2 , cot2 t3 − (4r + r)2 + p2 4pR C nghiệm phương trình p2 − 2r2 − 8Rr 2p2 − (4R + r)2 p2 t − t − = r2 r2 r2 Tương tự phần trên, học sinh xây dựng hệ thức dựa tính chất nghiệm phương trình 2.3.4 Xây dựng đẳng thức tam giác Với hệ thức biết ta so sánh đối tượng giống nhau, ta rb + rb rc + rc = rb rc r 1 1 1 + + = + + (vì ) hb hc rb rc r hb + hc hc + ha + hb (a + b)c (b + c)a (c + a)b + + = + + hb hc ab bc ca (vì p2 + r2 − 2Rr ) 2Rr + hb + hc = bsinC + csinA + asinB (vì r (p + r2 + 4Rr) ) 2R p √ R.ha hb hc = r.ra rb rc (vì S = (p − a)(p − b)(p − c)p ) 63 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi 1 1 + + hb hc  = 1 + 2+ 2 rb rc Vì 1 p2 − 2r(4R + r) 4R + r + + = = −2 2 2 rb rc p r r p r 1 p2 − r2 − 4Rr 4R + r So sánh vế phải hai đẳng + + = = 2− 2 2 hb hc 2p r 2r p2 r thức trên, ta kết 2.3.5 Xây dựng bất đẳng thức tam giác Từ hệ thức tam giác, kết hợp với việc sử dụng số bất đẳng thức tạo cho ta bất đẳng thức tam giác Một số kết thường sử dụng Cho a, b, c số dương, ta có: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (a + b + c)3 ≥ 27abc (a + b + c)(ab + bc + ca) ≥ 9abc (a + b + c)3 + 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca) [USA - 1996] a3 1 1 + + ≤ 3 + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Cho tam giác ABC, cosA + cosB + cosC ≤ Đẳng thức xảy a = b = c Việc chứng minh bất đẳng thức coi tập nhỏ cho học sinh Sau tác giả chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức Vì (x − y)(x2 − y ) ≥ 0, với x, y > nên x3 + y ≥ xy(x + y), suy a3 1 c ≤ = + b + abc ab(a + b) + abc abc(a + b + c) b3 + c3 + abc ≤ a = bc(b + c) + abc abc(a + b + c) 64 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi c ≤ = + a + abc ca(c + a) + abc abc(a + b + c) c3 Cộng bất đẳng thức trên, ta a3 1 1 + + ≤ 3 + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Ta có cosx + cosy = 2cos x+y x−y x+y cos ≤ 2cos với x, y > 0, x + y < π Khi 2 π − A+B C + π/3 A + B + C + π/3 ≤ 2cos + 2cos − ≤ 4cos − 2 π = 4cos − = 2 cosA + cosB + cosC = cosA + cosB + cosC + cos Vậy cosA + cosB + cosC ≤ Cách 2: Ta biết cosA + cosB + cosC = + 1+ r ≤ hay R r , bất đẳng thức tương đương R R ≥ 2r(Chapple-Euler) Thậy vậy, từ (a + b + c)3 + 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca) ⇔ 2.(2p)3 + 9.(4prR) ≥ 7.(2p).(p2 + r2 + 4Rr) Khai triển rút gọn R ≥ 2r Nhận xét 2.6 Bất đẳng thức R ≥ 2r có nhiều ứng dụng việc giải đề xuất toán khác Để chứng minh bất đẳng thức Chapple-Euler ta số cách khác Chẳng hạn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương p (p − a) + (p − b) (a + b + c) − (a + b) (p − a)(p − b) ≤ Tương tự có = 2 a p b (p − b)(p − c) ≤ , (p − c)(p − a) ≤ 2 = c p Nhân vế bất đẳng thức ta (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc abc , lại có S = pr = , suy kết R ≥ 2r  4R Cách chứng minh trực tiếp khác cho ta kết sau d2 = R2 − 2Rr 65 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Trong d độ dài đoạn thẳng nối tâm trịn nội tiếp với tâm tròn ngoại tiếp tam giác Vì d2 ≥ nên suy R ≥ 2r  Việc chứng minh bất đẳng thức Chapple-Euler sử dụng hai cách chứng minh sau khó khăn cho việc xuất phát từ bất đẳng thức hay nội dung kiến thức Tuy sử dụng hệ thức cosA + cosB + cosC = r + , ta nhanh chóng có R ≥ 2r Đây hướng, ý tưởng cho phép ta R nhiên, với kết cosA + cosB + cosC ≤ xây dựng bất đẳng thức từ đẳng thức biết bất đẳng thức Sau ta xây dựng bất đẳng thức từ bất đẳng thức R ≥ 2r Trước hết ta tìm đẳng thức có liên quan đến R, r biết phần trước: 1 1 + + = ab bc ca 2Rr 1 1 + + = rb rc r 1 1 + + = (p − a)(p − b) (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) r Bằng biến đổi thật đơn giản ta kết sau 1 1 ≤ + + ≤ R2 ab bc ca 4r 1 + + ≥ rb rc R 1 1 1 + + ≤ ( + + )2 ab bc ca rb rc 1 1 1 + + ≤ ( + + ) ab bc ca (p − a)(p − b) (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) Ta xét toán (Vô địch Quốc tế lần thức 6, năm 1964) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 (b + c − a) + b2 (c + a − b) + c2 (a + b − c) ≤ 3abc Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 2a2 (p−a)+2b2 (p−b)+2c2 (p−c) ≤ 3abc hay 2p(a2 + b2 + c2 ) − 2(a3 + b3 + c3 ) ≤ 3abc Ta biết a2 + b2 + c2 = 2p2 − 2r2 − 8Rr, a3 + b3 + c3 = 2p(p2 − 3r2 − 6Rr) vào ta 2r2 ≤ Rr hay 2r ≤ R  66 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Theo ta có bất đẳng thức ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 , kết hợp với hệ thức ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr a2 + b2 + c2 = 2(p2 − r2 − 4Rr) suy ra, p2 + r2 + 4Rr ≤ 2(p2 − r2 − 4Rr) ⇔ p2 ≥ 3r(r + 4R) ⇔ p2 ≥ 3r2 + 12Rr Đây nội dung (Đề thi Olympic 30 lần thứ 7, 2001, Tiền Giang đề nghị) Ta áp dụng bất đẳng thức (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) hệ thức quen thuộc biết a + b + c = 2p, ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr, suy p2 ≥ 3r2 + 12Rr Ta xét tốn sau (Thi vơ địch Cộng hoà Liên bang Đức, 1987) a2 + b + c 1 ≤ < (a + b + c) Lời giải Bất đẳng thức tương đương với 2(p2 − r2 − 4Rr) 1 ≤ < (2p)2 tức là, 2p2 ≤ p2 − r2 − 4Rr < p2 2p2 ≤ p2 − r2 − 4Rr tương đương p2 ≥ 3r2 + 12Rr (đã chứng minh trên), p2 − r2 − 4Rr < p2 hiển nhiên  Bất đẳng thức Bất đẳng thức tương đương a3 1 1 + + ≤ ; 3 + 4RS b + c + 4RS c + a + 4RS 4Rrp + b3 lại có R ≥ 2r nên suy a3 1 1 + + ≤ 3 + 4RS b + c + 4RS c + a + 4RS 8r p + b3 Từ bất đẳng thức số hệ thức biết ta có số kết 67 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi 1 1 + + ≤ 3 rb rc + rb + Sp rb + rc + Sp rc + + Sp 1 1 + + ≤ 2 hb hc 2S 2S 2S 3 3 3 + hb + hb + hc + hc + + R R R 1 R hay + + ≤ 2 2 2p r 2S 2S 2S h3a + h3b + h3b + h3c + h3c + h3a + R R R ra3 Sau ta giải số toán abc 52 p ≤ a2 + b + c + < 2p2 27 p Thật vậy, ta có a2 + b2 + c2 = 2(p2 − r2 − 4Rr); abc = 4pRr, bất đẳng thức cần Chứng minh rằng: chứng minh tương đương 26p2 ≤ 27(p2 − r2 − 4Rr) + 108Rr < 27p2 hay 26p2 ≤ 27p2 − 27r2 < 27p2 Ta thấy 27p2 − 27r2 < 27p2 (hiển nhiên) Từ (a + b + c)3 ≥ 27abc, suy 2p2 ≥ 27Rr Lại có R ≥ 2r 26p2 ≤ 27p2 − 27r2  Sau ta cho thêm giả thiết Chẳng hạn, cho nửa chu vi p = 1, ta toán 52 ≤ a2 + b2 + c2 + 2abc < 27 (Thi tốn tập chí Colle Mathematics, Mỹ, 1.1994; Olympic Tốn khu vực Đơng Nam Á lần thứ nhất, 1988) (Học sinh giỏi toàn quốc, 1970) Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A B C sin sin < 2 Cách 1: Ta có A + B + C = π , nên có góc nhỏ π Giả sử π C , suy sin ≤ 2 π B  A π B+C π B π A B B Lại có, = − < − < nên sin sin < sin − sin = 2 2 2 2 2 B B cos sin = sinB 2 A B A B C Do đó, sin sin < Vậy sin sin sin < 2 2 2 C≤ 68 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Cách 2: Ta có kết sau sin A B C r sin sin = , lại có R ≥ 2r, suy 2 4R sin A B C 1 sin sin ≤ < 2 Kết luận chương Ý tưởng Chương 2, tác giả nêu cách giải phương trình bậc ba, nội dung định lý Viete, định lý tồn nghiệm, tính chất nghiệm phương trình bậc ba (biểu thức đối xứng với nghiệm) Trong trình xây dựng tính chất, giáo viên gợi ý mang tính định hướng, học sinh tự thực thực theo hoạt động nhóm Tác giả tiếp tục xây dựng phương trình bậc ba có nghiệm yếu tố tam giác: Độ dài cạnh; độ dài tiếp tuyến từ điểm đến tiếp điểm; độ dài đường cao, bán kính đường trịn bàng tiếp giá trị lượng giác tam giác Tìm phương trình chứa nghiệm nghịch đảo, sử dụng tính chất nghiệm phương trình ta nhanh chóng có hệ thức Trong q trình thực hiện, học sinh ln thường trực phương pháp tương tự hoá đồng thời rèn cho em tính kiên trì khám phá, phát vấn đề Phần cuối chương nội dung tổng hợp cho phép học sinh sử dụng thao tác quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái qt hố, quy nạp, tương tự Kết hợp hài hồ bất đẳng thức bản, hệ thức có để tìm chứng minh tốn (nhiều sử dụng cho kỳ thi Olympic Quốc tế khu vực, đề thi Vô địch số nước ) Việc tạo toán giải tốn học sinh có cách nhìn nhận xác sử dụng cơng cụ mang tính hệ thống tạo cho em hứng thú, niềm đan mê u thích mơn Tốn hơn; có cách nhìn tổng thể giải nhiều toán hệ thức lượng tam giác giúp cho em tự tin giải nhanh gọn toán kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, toàn quốc 69 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi Chương Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm tiến hành đối tượng nghiên cứu nhằm mục đích kiểm định, đánh giá tính khả thi tính hiệu đề tài 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm Biên soạn dạy thử nghiệm phần nội dung: "Dạy học đa thức bậc ba hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" Chọn lớp dạy thực nghiệm lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm Thực thu thập thông tin phản hồi qua nhiều kênh thông tin khác (như kiểm tra chuẩn bị sẵn; phiếu học tập giành cho học sinh ) Đánh giá chất lượng, hiệu tính khả thi thông qua việc dạy đa thức bậc ba hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh giỏi (Chú trọng phát triển tư sáng tạo cho học sinh) 3.2 Phương pháp thực nghiệm Tác giả sử dụng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn tư sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung kiến thức hệ thức lượng tam giác số lớp trường THPT chuyên Lê hồng Phong trường xây dựng trung tâm chất lượng cao THPT Trần Hưng Đạo, tỉnh Nam Định Tác giả xây dựng kế hoạch dạy học, soạn giáo án, chuẩn bị đồ dùng, 70 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.ba.va.cac.he.thuc.luong.giac.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com