Dạng 4 khối cầu ngoại tiếp khối đa diện

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mặt cầu qua tất đỉnh khối đa diện  Điều kiện cần đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp: có đáy đa giác nội tiếp  Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Bước 1: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Gọi tắt trục đáy ( đường thẳng vng góc với đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy) Bước 2: Xác định măt phẳng trung trực cạnh bên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác mặt bên Bước 3: Giao điểm trục đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên ( trục đáy trục đường tròn ngoại tiếp đa giác mặt bên) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện  Một số cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp  Cơng thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy: Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện  h R  Rd2      , Rd bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h độ dài cạnh bên vng góc với đáy  Cơng thức 2: Khối tứ diện vng (có cạnh đơi vng góc): OA  OB2  OC R  Công thức 3: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vng góc với đáy: a2 , Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy; Rb bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên a tương ứng độ dài đoạn giao tuyến mặt bên đáy  Công thức 4: Khối chóp có cạnh bên nhau: a2 R h , a độ dài cạnh bên h chiều cao khối chóp h tính R  Rd2  Rb2  cơng thức h  a2  Rd2  Công thức 5: Khối tứ diện gần ABCD có AB CD a; AC BD b; AD BC c R Câu 1: a2  b  c Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A với AB  AC a , cạnh SA SB a có  SBC    ABC  Tính SC để độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a A SC a Câu 2: B SC a C SC a D SC 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy  ABCD  Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay A 8 a Câu 3: D 2a Một hình nón có độ dài đường sinh đường kính đáy Diện tích hình trịn đáy hình nón 9 Tính đường cao h hình nón A Câu 4: C 2 a B a h B h 3 C h 3 D h  Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  AB 2, AC 4, SA  Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S ABC có bán kính A Câu 5: R B R 10 C R 10 D R 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB a , AD  AA 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp cho 3 a B A 9 a 9 a C D 3 a Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 2a, AD a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SD mặt phẳng đáy 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 8 a 4 a2 2 A 8 a B C 4 a D Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 2a, AD a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SD mặt phẳng đáy 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 8 a 4 a2 2 A 8 a B C 4 a D Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông B , SA BC 3, AB  Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho A R  Câu 9: B R C R D R 5 Trong khơng gian, cho hình chóp S.ABC có SA , AB , BC đơi vng góc với SA a , AB b , BC c Mặt cầu qua S , A , B , C có bán kính 2 a  b  c A B a2  b2  c 2 C a  b  c a  b2  c D S Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1; 2;  4) , B(1;  3;1) , C(2; 2; 3) , D(1; 0; 4) Gọi   S mặt cầu qua bốn điểm A , B , C , D Tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu   A I  1;0;   , R  21 B I   2; 1;  , R  26 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh I  1; 0;  , R  21 C  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 D I (2;  1;0), R  26 SA   ABC  SA a Câu 11: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , AC a , ,  Gọi G trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng   qua AG song song với BC cắt SB , SC M , N Tính thể tích V khối chóp S.AMN a3 2a3 a3 2a3 V V V V 27 A B C D Câu 12: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vng O ABC có OA OB OC a có bán kính a A a B a C a D Câu 13: Cho khối trụ có đường sinh thể tích 45 Diện tích tồn phần khối trụ A 18 B 33 C 48 D 39 SA   ABCD  SA a Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có , đáy ABCD nội tiếp đường trịn bán kính a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a A Câu 15: Một mặt cầu 3 a A a B  S a D a C ngoại tiếp tứ diện cạnh a Diện tích mặt cầu 3 a 2 B 6 a C  S là: D 3 a Câu 16: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  AB 2, AC 4, SA  Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính là: A R 25 B R C R 5 D R 10 Câu 17: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương 8 a3 A  a3 B 12 a 3 C 4 a3 3 D Câu 18: Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a a A B a C 3a D a    Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB  ASC 90 , BSC 60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho 7 a2 7 a2 7 a2 7 a2 A B C 18 D 12 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay Câu 20: Cho hình trụ T S có bán kính đáy a , trục OO 2a mặt cầu   có tâm trung điểm S đoạn thẳng OO qua điểm O Tìm tỉ số diện tích mặt cầu   diện tích tồn phần hình trụ A T B D C SA   ABC  Câu 21: Cho hình chóp S ABC có , ABC tam giác vng A , AB 3a ; AC 4 a; SA 5a Tìm bán kính mặt cầu mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ? 5a A 5a B 5a C 5a D Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy SA a Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính A a a C a B a D Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông, biết BA BC 2a , cạnh bên SA 2a vng góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a A 8 a B 16 a C 4 a D 64 a Câu 24: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón A B C D Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 2 a 3 B 4 a 3 4 a3 C D 4 a Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 5a 17 a 13a R R R A B C D R 6 a BCD  Câu 27: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng C , AB vng góc với mặt phẳng  , AB 5a , BC 3a CD 4 a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R 5a B R 5a 3 C R 5a 2 D R 5a Câu 28: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 5a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh A R  3a B R  a Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 25a R C D R 2a Câu 29: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 7 a2 3 a 7 a2  a2 A B 12 C D  Câu 30: Cho mặt cầu tâm O tam giác ABC có ba đỉnh nằm mặt cầu với góc BAC 30 BC a Gọi S điểm nằm mặt cầu, không thuộc mặt phẳng  ABC  thỏa mãn SA SB SC , góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  60 Tính thể tích V khối cầu tâm O theo a A V 3 a B V 32 3 a 27 C V 3 a 27 D V 15 3 a 27 Câu 31: Cho hình hop S.ABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I cạnh AB 3a , BC 4a Hình chiếu S mặt phẳng  ABCD  trung điểm ID Biết SB tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 25 125 125 a a a A B C D 4 a Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB CD 3 , AD BC 5 , AC BD 6 Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 35  B 35 35 35  C D 35 35  SA   ABC  Câu 33: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC tam giác cạnh a ; Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB ; SC Diện tích mặt cầu qua điểm A , B , C , K , H 4 a2 4 a2  a2 A B 3 a C D Câu 34: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , M , N hình chiều K lên AD AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K.CDMN ? a A 3a B a C 3a D Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy ABCD điểm H thuộc cạnh AB cho HB 2 HA Cạnh SA hợp với mặt o phẳng đáy góc 60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 475 a 55 a2 2 A B 21 a C D 22 a | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối trịn xoay Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy  ABCD  Tính theo a A 2 a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD B 8 a C 2a Câu 37: Cho khối chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy D a , chiều cao 2 Gọi O tâm OAB  mặt cầu đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Cosin góc hai mặt phẳng   OCD  bằng: 33 B 65 15 A 17 56 D 65 C 17 Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng A , AB a , BC 2a đường thẳng AC tạo với mặt phẳng  BCC B góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho bằng: 2 A 3 a B 6 a C 4 a D 24 a Câu 39: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB 1cm , AC  cm Tam giác SAB SAC vuông B C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tích 5 SAB  cm Tính khoảng cách từ C tới  cm A cm B cm C cm D Câu 40: Cho tam giác ABC vuông B nằm mặt phẳng ( P) có AB 2a , BC 2 3a Một P điểm S thay đổi đường thẳng vuông góc với   A (S  A) Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB ,SC Biết S thay đổi điểm A , B, H , K thuộc mặt cầu cố định Tính bán kính R mặt cầu A R 2a B R  a C R a D R  3a  ABC  AB a , AC a , BAC 450 Gọi Câu 41: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với  , B ', C ' hình chiếu vng góc A lên SB ,SC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B '  a3 A B  a SA  Câu 42: Cho hình chóp S ABC có ngoại tiếp hình chóp S ABC là: A R a 13 B R a C  a3 D a , cạnh lại a Bán kính R mặt cầu a C R a 13 D R a 13 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 S ABCD ABC Câu 43: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân B , BC 2a , cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC , thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB  a3 B 2 a A C 2 a 2 a 3 D Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 3 , AD 4 cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V 250  B V 125  C V 50  D V 500  27 Câu 45: Cho tứ diện ABCD có AB 6 a , CD 8a cạnh lại a 74 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2 A S 25 a B S 100 a C S 100 a D S 96 a    Câu 46: Cho hình chóp O.ABC có OA  OB  OC  a , AOB 60 , BOC 90 , AOC 120 Gọi S trung điểm cạnh OB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a A a B Câu 47: Cho hai mặt phẳng  P  Q a C a D vng góc với theo giao tuyến  Trên đường thẳng  P Q lấy hai điểm A , B với AB a Trong mặt phẳng   lấy điểm C mặt phẳng   lấy điểm D cho AC , BD vng góc với  AC BD  AB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: a A a B C a 2a D Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2 , cạnh bên SA vng góc với mặt  phẳng đáy Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A V 125 B V 32 C V 108 D V 64 2  Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có AC a , AB a , BAC 150 SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N hình chiếu vng góc A SB SC Thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM 7 a 3 A 28 7 a 3 B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 20 5 a 3 C 44 11 a 3 D Khối tròn xoay  P  cho tam giác Câu 50: Trong mặt phẳng mặt phẳng  P  cho tam giác ABC cạnh cm điểm S di động ngồi MAB ln có diện tích 16 cm2, với M trung điểm S SC Gọi   mặt cầu qua bốn đỉnh M , A , B , C Khi thể tích hình chóp S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ 16 A cm  S : B cm Câu 51: Cho mặt cầu 15 C cm 39 D cm (S) :  x  2017    y  2018    z  2019  2020 cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn  C  Hình nón  N  Xét mặt phẳng  P thay đổi có đỉnh S nằm mặt cầu, đáy N có chiều cao h Gọi V thể tích khối nón tạo nên   Tính giá trị lớn Vmax V đường tròn C  32 A Vmax    81  16 C  2020 Vmax   2020 81  B Vmax    64 D Vmax  2020  81  2020 81  Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 13 a 13 a S  S A B AB a , AD a 11 a S C  ASB 60 Tính diện D S 11 a Câu 53: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB BC 3a ,   SAB SCB 90 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCB  a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 72 18 a B 18 18 a Câu 54: Cho hình chóp S ABC có với mặt phẳng 12 a A C 18 a SA SB SC  AB a , BC  D 24 18 a a mặt phẳng  SAC  vng góc  ABC  Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 4 a2 B 3 a C 15 a D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.B 21.D 31.B 41.D 51.A 2.A 12.B 22.D 32.C 42.C 52.B 3.B 13.C 23.B 33.C 43.D 53.D 4.A 14.C 24.B 34.D 44.D 54.A 5.A 15.A 25.C 35.C 45.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 6.A 16.B 26.C 36.B 46.C 7.A 17.B 27.C 37.B 47.B 8.C 18.A 28.C 38.B 48.B 9.D 19.B 29.C 39.D 49.B 10.B 20.B 30.B 40.A 50.C Khối tròn xoay Gọi H trung điểm BC  AH  BC  AH  (SBC ) Mà SA  AB  AC  H tâm đường tròn ngoại tiếp SBC  HS HB HC  SBC vuông S Gọi I trung điểm AC , O  AH , OI  AC  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Đặt HC x Ta có AOI đồng dạng ACH a a AI AC a2  AO AH  AI AC  AO    R AH a2  x2 a  x a2  Lại có R a 2 a  x  a  a  x  a  a  x a  x  a  SC  BC  SB  3a  a a Câu 2: Chọn A Gọi O  AC  BD , đường chéo AC a Gọi I trung điểm SC Suy OI đường trung bình tam giác SAC Suy OI // SA  OI   ABCD  Hay OI trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD Mà IS IC  IA IB IC ID IS Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD SC SA  AC R SI   a 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD : 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R 8 a Câu 3: Chọn B Gọi chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh hình nón h , r , l Hình nón có độ dài đường sinh đường kính đáy nên l 2r Diện tích hình trịn đáy hình nón 9 nên:  r 9  r 3 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10