Dạng 11 bài toán tìm cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện

Phan Nhật Linh Câu Có Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 bao  x  1 nhiêu  cặp  thỏa mãn y 10 x 106 ? C Có cặp số nguyên dương  log 10 x  20 x  20 10 y  y  x  x  A B C D x; y  thỏa mãn  D M x; y  Gọi S tập hợp điểm  , với x; y số nguyên thỏa mãn 3 x 2020  y log  x    x  y   Hỏi có tam giác có đỉnh điểm thuộc S ?   tốn tìm cặp số ngun thỏa mãn A 165 Câu  x; y  y B  Câu nguyên log x  x  4 log  y   A Câu số B 120 Có cặp số x 5  x  12 2 y 1  y ? nguyên C 220  x; y thỏa D 55 mãn  20 x 20,  20  y 20 B 40 C 37 D 32 x; y log  x   5x 10.2 y  y    x  2020 Có cặp số nguyên thỏa mãn ? A 31 B 11 C 2020 D 21 A 41 Câu Câu Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x 100 A 19 B 17 C 20 log 10 y  20 y x  y  y x ? 18 D Câu Câu log 32  y  1  x  log  y  1 3x Số giá trị x nguyên thỏa mãn y 17 là: A B C D Cho số x , y , a thoả mãn x 2048, y 1, a   x  xy  log  x  y  1 x 1   x a  a  y  a  a  x; y  có 2048 cặp số nguyên  ? A 11 B 10 Có giá trị a 100 để C 89 D 90  x 1   x 1 log   y   x; y  y 1  Câu Có cặp số nguyên  thỏa mãn y 2018 ? A 10 B C D Câu 10 Cho số x , y , a thỏa mãn x 8 , y 1 , a   log 2 a  y   a  y  x  x  *  a   0;100  Có giá trị để khơng tồn  cặp số nguyên A   x; y  thỏa  * ? B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C D 93 Mũ Logarit x; y Câu 11 Có cặp số nguyên  thoả mãn x  y  0,  20 x 20 log  x  y   x  y  xy  x  y 0 ? A B C 10 D 11  4x   x log   y  y   16 y x ; y  cặp số nguyên dương thỏa mãn  y  2020   Câu 12 Gọi  Gọi ymin ymax nghiệm ứng với giá trị nhỏ giá trị lớn y Tính giá trị T ymin  ymax A T 103 B T 3010 C T 1030 D T 301 x x; y  Câu 13 Có cặp số nguyên  thỏa mãn  x y  log y y 1024 ? A B C 1024 D 1023  2a   log   a  3b  ab   a b Câu 14 Cho , hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức T a  3b 5 25 A B C D M x; y  Câu 15 Cho tập hợp X tập hợp điểm  với x; y số nguyên thỏa mãn log  x    x  y  y   x 2020 Hỏi có tam giác có ba đỉnh X điểm thuộc tập ? A 120 B 165 C 220 D 55 y x; y  Câu 16 Có cặp số nguyên  thỏa mãn x 2020 log (25 x  25)  x 2 y  A 2019 B C 2020 D  x, y Câu 17 Cho số thực thỏa mãn dương y A B  log x  x y  y C 10 Câu 18 Có cặp số nguyên 2 log x  x   log y  x  6 x  y ? A B C   x  2020 Số giá trị nguyên D  x; y  y8 với thỏa mãn  Câu 19 Có cặp số y  x 19 361  2 x  x  2021 y  y  2020 ? A 1009 Câu 20 Có cặp số  A B 1000 x; y  , x   nguyên D  x; y thoả mãn C 2000 thỏa mãn y e B C 16 e ln y  x2  x  20 x 2020 D 2001 x  2x   ln y  D 15   log  x    x y  y   x; y  Câu 21 Có cặp số nguyên  thỏa mãn x 2020 ? A 11 B 2020 C 10 D 2019 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x  log  x   5  y  y Câu 22 Cho x , y số nguyên dương thỏa x 10 Tìm giá trị lớn T x  y biểu thức A B C 10 D 12 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.C 21.A 2.D 12.C 22.C 3.A 13.B 4.C 14.D 5.B 15.B 6.D 16.B 7.D 17.B 8.D 18.C 9.D 19.B 10.D 20.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn D Ta có 2 x  1   log x  x  4 y.log  y   2 x  2  log   x  1   2 y.log  y     Xét hàm số Vì f  tt 2t log  t   , 0 f  tt 2t ln 2.log  t    Khi  1  1  2t  0,  0  t   ln f  t nên hàm số  0;   đồng biến  2 f   x  1   f  y    x  1 2 y     x 1  20   y 10   x  1 20   20 x 1  Mà Mặt khác Câu x  Z  x    3;  2;  1; 3; 4; 5 Vì x  phải chẵn nên x lẻ x; y  Vậy có cặp số nguyên  thỏa đề Chọn D Điều kiện: 10 x  20 x  20  , x   Ta có   log 10 x  20 x  20 10 y  y  x  x       x  x   log  10 x  x   10 y  y  x  x   log x  x  10 y  y    10 Ta có  log x2  x    log x  x  10 y  y     f  tt 10t  (1) Xét hàm số f  t  10t ln10   t   f t , Do   đồng biến   Khi (1)       f  log x  x    f y  log x  x  y   | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh    Mũ Logarit 2 y  x  x  10 y   x  1  10 2 y2   y log  106   1  x    10  10       Vì x 10 nên      y   1; 2; 3 Vì y   nên  x  (ktm)  2  x 4 (tm) Với y 1  x  x  10  x  x  0 Với y 2  x  x  10  x  x  9998 0 (khơng có x ngun thỏa mãn) Với y 3  x  x  10  x  x  999999998 0 (khơng có x ngun thỏa mãn) Câu x; y   4;1 Vậy có cặp nguyên dương  thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A log  x    x   y   y 1 Ta có Đặt log  x   t  x  2t Hàm  1 y  f  tt   2t y 1 t ta có t  ( y  1)    đồng biến  nên  t  y   y log  x     y log  x   Hàm số y log  x   đồng biến  2;  Suy với x 2020  y log 2018  có 11 số nguyên y thoả mãn hay 11 điểm M Do điểm nằm đường cong y log  x   nên khơng có điểm thẳng hàng Vậy số tam giác nhận 11 điểm làm đỉnh C11 165 Câu Câu Câu Chọn C x 5  x  12 2 y 1  y  x    x   2 y 1   y  1 Ta có: t t f tt 2  f  tt 2  Xét hàm số   , đồng biến  Suy x  y   y x    20; 16  Kết hợp với điều kiện  20 x 20;  20 y 20 suy x nguyên thuộc  thỏa đề x; y Vậy có 37 cặp số nguyên  thỏa đề Chọn B log  x   5x 10.2 y  y   log x  5x  log 2 y 1  5.2 y 1  Ta có: y 1 f tt log t   f  t  0;    Xét hàm số   , đồng biến  Suy x 2 1 2 y 1 2020  2 y 1010    y log 1010 9,98 Từ x 2020 suy x; y Có 11 giá trị nguyên y thỏa đề Vậy có 11 cặp số nguyên  thỏa đề Chọn D Với  x 100 , ta có: Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 10 y  20 y log x  y  y  log  x  1  x  log y  y  y  y x (1)  Xét hàm số f (u) log u  u , ta có f (u)   1  u ln10 , u  2  f (u) đồng biến  0;  nên  1  x  y  y  x  y  1   y     y  1 100   y  10     y 11  x 100 Câu Vì y   nên có 18 giá trị y có 18 giá trị x Chọn D Với y 17 ta có log 32  y  1  x  log  y  1 3 x  log 32  y  1  3log  y  1 x  3x Xét hàm số f  tt t  3 có f  tt t  f  tt 3t      (1) Suy hàm số đồng biến   log  y  1 x  y x  Khi   2 Do y 17  x  17  x 16 Câu Vì x nhận giá trị nguyên nên có giá trị cần tìm Vậy có giá trị ngun x cần tìm Chọn D Ta có: x  xy  log  x  y  1 x 1  S  1; 2; 3; 4  x a  a  y  a  a   1    x  1  x  y  1   x  1 log  x  y  1  x  1 a  a 2 log  x  y  1 Xét hàm số Vì  log  x  y  1 2 a  a f  tt 2t  t  0  f  tt 2t.ln   0,  0  * (do x  2, x 1 )   nên hàm số  *   log  x  y  1 a  x  y  2 a f  t  0; ) đồng biến   x 2 a  y  a a a Mà x 2048 nên suy ra: 2  y  2048   2047  y 2 Do y 1 , giá trị y  a  2047; a   có 2048 số nguyên nên để x có giá trị  a x; y  có 2048 cặp số nguyên  thoả mãn    2047 1  a 11 Câu a   11;12; ;100 Mà a 100, a   nên Vậy có 90 giá trị a thoả mãn yêu cầu toán Chọn D 1 y 2018  x 1  x1 3   y 1  Điều kiện  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit  x 1   x 1 log   y    log x 1   log  y  1 y    x 1 y 1   Ta có        log x 1   x 1  log  y  1   y  1 f  tt log t  Xét hàm số Ta có khoảng f  t   (1)  0;   khoảng 1  t   ;   f tt log t  t ln với nên hàm số    0;   Từ  1   đồng biến ff x 1   y  1  3x 1  y   y 3x 1  ta có x 1 x 1 Vì y 2018  3  2018  3 2020  x  log 2020  x log 2020  x   ;1; 2; 3; 4; 5 x; y Vì x nguyên nên Vậy có cặp  thỏa tốn Câu 10 Chọn D  *   y  2a   log y  2a  2 x  log 2 x Có   f  x  x  log x Xét hàm số Do hàm số f  x có   f  x  1  đồng biến  0, x  x ln  0;  Khi f  a a a     y   f x  a  y  2 x a Ta lại có x 8  2  y  256   y 255  Với giá trị nguyên y 1 ta có giá trị nguyên x a a Do ycbt   y 255  không chứa giá trị nguyên y 1 a a   0;100  Hay 255    a 8 Vậy có 93 giá trị nguyên thỏa ycbt Câu 11 Chọn C Điều kiện: x  y  Do: x  y  nên ta có: log  x  y   x  y  5xy  x  y 0  log  2x  y   x  y   2x 2x  y   2x   5xy   x  y  5xy  x  y 0  log 2 x  y  5xy  log  x  y   x  y  xy  x  y 0  log 2 Xét hàm số:  2y2 f  tt log t  ;   biến   y  xy log  x  y   x  y , ta có: f  tt   1  f  x Do đó:   x  y   x  y  1 0  x 1  y Do  20 x 20 suy (1)   ,    ;   f t t ln nên hàm số   đồng   y  5xy  f  x  y   x  y  5xy 2 x  y y  ,  2 x  y  nên  19 21 y  ,   2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 , y   ;  ; ;   Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  Từ     y   nên Câu 12 Chọn C  4x   x log   y  y   16  log x   log y  y  1  16 x y   Ta có:       log x   x  *   log Đặt: log y   y  1 tt  y  1y log    1 f  u  log u   u  1 2   *  Đặt tt4 x   x t    1  * * f  u    u  1   u  1  u.ln u  Ta có: y  f  u 1;   Suy hàm số đồng biến  * *  t y  x  y Khi đó:   x x Vì  y  2020 , nên ta có    2020    2019  x  log 2019 5,49  x 1      x  1; 2; 3; 4; 5 xmax 5   x   Vì  ymin 5   ymax 1025 Vậy T ymin  ymax 5  1025 1030 Câu 13 Chọn B log2 y x 2x  log y Với điều kiện y  , ta có  x y  log y   x 2 (*) f tt 2t  t ,   Xét hàm số   f ' tt 2t ln   0,     f  tt 2t  Ta thấy   đồng biến   f  x   f  log y   x log y  y 4 x Khi (*) x Vì y 1024 nên 4 1024  x 5 0;1 1; 2;16   3; 64   4; 256   5;1024  Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn   ,   ,  , , , Câu 14 Chọn D  2a    2a   log   a  3b   log    3a  3b    a    ab   a  3b   log  2a     2a   log  3a  3b    a  3b  (1) Xét hàm số f  x  log x  x có f  x     0, x  f x log x  x x ln nên hàm số   0;  đồng biến khoảng  Do (1)  f  2a    f  3a  3b   a  3a  3b  a 5  3b thay vào T, ta được: 25 T a2  3b2   3b   3b 12b  30b  25  25 5 b a Vậy giá trị nhỏ biểu thức T Đẳng thức xảy Câu 15 Chọn B log  x    x  y  y   Ta có:  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  Mũ Logarit  log  x    x  y  y 1  log  x    x  y   y 1  *  log  x   t  x  2 *  t  ( y  1)   1 , ta có   y  f  tt   2t  t  y   y log  x    Hàm đồng biến  nên   y    y   0; 1; ;10 Với x 2020  t log 4036  1  y log 4036 mà có y 11 số nguyên hay 11 điểm M Đặt t y 1 t Do điểm nằm đường cong hàng y log  x    nên khơng có điểm thẳng Vậy số tam giác nhận 11 điểm làm đỉnh C11 165 Câu 16 Chọn B tt 2 Đặt t log (25 x  25)(2 t 2  log 2021)  25 x  25 5  x 5  y 2y t Theo ra: log (25x  25)  x 2 y   (t  2)  2 y  (*) u Hàm f (u) u  đồng biến nên (*)  t  2 y  t 2 y  2 t 2  log 2021  2 y  2  log 2021   y  log 2021 Mà y  Z  y   0;1; 2 x; y  Mặt khác Vậy có cặp số nguyên  thỏa đề Câu 17 Chọn B Điều kiện: x 1 Vì x 1 y dương nên ta có: log x  x y  y  Xét hàm số: Ta có: log x  log x y  y  f  tt  t  2t , 0 f '  tt  t log x  log x  y  y  *   2t ln  0,   Nên  *   f  log x   f  y   log Do đó: 2 f  t x y dồng biến  0;  y  log 2020 Vì x  2020 nên log x  log 2020   y  log 2020 Suy ra: 1; 2; 3 Vậy có giá trị nguyên dương y thỏa mãn yêu cầu toán  Câu 18 Chọn C   log x  x   log y  x  6 x  y Điều kiện: x 3; y  Ta có:    log x  x   x  x  log  y   y  *  Xét hàm số f  tt log t  có f  t   1  f t t ln , t  nên hàm số   đồng biến  0;   *  f  u  f  v  2 với u x  x  9; v 2 y  u v  x  x  2 y 2 Khi y   x  x   16  x  x      x  x  , x 3  x   0;1; 2; 4; 5;6 Với Nên PT Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x 0  y  (Không tm) Với x 2  y  (Không tm) Với Với x 5  y 2 Với x 1  y 2 (Thỏa mãn) (Không tm) Với x 6  y  (Không tm) Với x 4  y  (Thỏa mãn) x; y  Vậy có cặp  thỏa mãn x , y số nguyên y  Câu 19 Chọn B 19  x 361y  19  x  19 y     2 x  x  2021 y  12 y  2026 x    2017   y   2017  Ta có:  19  y  x  2  2017 f  t Mặt khác 19 x 2 2  19 x 2   x    2017  19  y    y   2017        y   2017 f  tt 19t Xét hàm số: Suy    2017  f '  tt 2tt.19tt  19 ln19 với t 0 có    2017  0;  0  0;   hàm đồng biến  f  x    f   y   x  3  y  x 1  y Ta có 20 x 2020  20  y  2020   2019  19 y  2 y    1009;  1008; ;  10 Do y   nên , với giá trị y cho ta giá trị x thoả đề x; y Vậy có 1000 cặp số nguyên  thoả yêu cầu toán Câu 20 Chọn D x2  x  e ln y  x  x   (1) ln y  Xét phương trình: ta có: 2 (1)  e ln y  x2  x  Xét hàm số: nên hàm số 2 x2  2x  e ln y ( x  1)2      e ln y (ln y  1)  ( x  1)2  e ( x 1) (2) 2 ( x 1)2 ln y  ln y  e  f  t  e t (tt 1),  [0; ) f  t , ta có:  f  t  e tt(t  1)  e t e (tt 2)  ,   [0; ) đồng biến [0; )  ln y x  f ln y  f ( x  1)2  ln y ( x  1)    ln y  x  Do từ (2) ta có:     x 1 x 1 Khi ln y x   y e Do y e nên e e  x  7   x 6 x    1; 0;1; 2; 3; 4; 5; 6 (*) Hơn x   nên  x  x e   x  7   x  Khi ln y  x   y e Do y e nên e x    8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1 (**) Hơn x   nên Ứng với giá trị x cho ta giá trị y thoả đề x ; y ,x   Vậy từ (*) (**) có 15 cặp số  thoả mãn | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit Câu 21 Chọn A Điều kiện: x    log  x    x y  y    log  x    x   y   y 1  *  Ta có f tt   Xét hàm số   xác định  có đạo hàm ln đồng biến  t Khi  f  tt 1  ln  0,    t   *   f log  x    f  y  1  log  x   y   x  nên hàm số y 1   x 2 y  2 y Vì x 2020  2  2020   y log 2018 Do y nguyên nên    i y   0;1; ;10   x; y    2; i |0 i 10 Vậy có 11 cặp số nguyên Câu 22 Chọn C  x; y  thỏa mãn x  log  x   5  y  y Từ giả thiết suy  x 10 Đẳng thức   x     log  x    y  y   x    log  x   y  y Xét hàm số f  tt   2t Suy hàm số Do f  t có đạo hàm f '  tt 1  2t.ln  0,     1 đồng biến   1  f  log  2x     f  y   y log  x    x  2 2 y  x 2 y   y Theo giả thiết x 10   10  y 1  log 3,8 Do y nguyên dương nên ta có y 3 y 3 Khi T x  y 2   y 2   10 Vậy max T 10 y 3, x 7 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Mũ Logarit Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12