Bài tập chương Tìm miền xác định hàm f(x, y) a) b) ln( c) + ) d) e arccos √cos + (1 – y)x f) arcsin Biến đổi biểu thức hàm a) Cho f = (x > 0) Tìm f(x) b) Cho z = x + y + f(x – y) z = x2 y = Tìm f(x) z c) Cho f(x + y, ) = x2 – y2 Tìm f(x, y) d) Cho f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = x2 – y2 Tìm f(g(x, y), y2) g(f(x, y), g(x, y)) Khảo sát giới hạn hàm f(x, y) điểm (0, 0) a) ( ) b) c) xy e) ( d) f) ) Khảo sát tính liên tục hàm f(x, y) a) 1− − c) | | ≤ | | | | > | | e) + + ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) ≤1 >1 b) sin + sin ≠0 ≠0 d) ( f) ( ) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) ) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp a) z = x5 + y5 – 5x3y3 b) z = xy + c) z = d) z = xe–xy + e) z = ln(x + ) f) z = arcsin Tính đạo hàm riêng điểm a) Cho f(x, y) = xyesin(xy) + (y – 1)arccos Tính điểm (x, 1) b) Cho f(x, y) = x3y + xy2 – 2x + 3y Tính , , , c) Cho f(x, y) = ∫ Tính , , , d) Cho f(x, y) = Tính , điểm (3, 2) điểm (1, 2) , điểm (0, 1) Khảo sát tính chất lớp Ck hàm f(x, y) a) ln(x + y ) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) ( b) ) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) c) e) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) ≠ (0,0) d) ( , ) = (0,0) ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0) ( , ) ≠ (0,0) f) ( , ) = (0,0) g) 2+ ( , ) = (0,0) h) ≠ = Tính vi phân cấp , cấp a) z = x3 + 3x2y – y3 b) z = − c) z = +2 e) z = (x + y)exy d) z = f) z = xln Tính đạo hàm cấp , cấp hàm hợp a) z = e2x–3y với x = tant, y = t2 – t b) z = ln(ex + ey) với y = x3 + x c) z = u2lnv với u = , v = x2 + y2 d) z = u2v – uv2 với u = xsiny, v = ycosx f) z = f(xy, x2 – y2) với f hàm lớp C2 g) z = f(xsiny, ycosx) g) z = f( , x2 – 3y) h) z = f(ln(x2 – y2), xy3) 10 Tính đạo hàm cấp , cấp hàm ẩn a) x2e2y – y2e2x = b) ysinx – cos(x – y) = c) x – y + arctany = d) z3 – 2xy + y2 – = e) zln(x + z) = f) yz = arctan(xz) g) f(x + y + z, x2 + y2 + z2) = h) f(yz, exz) = với hàm f thuộc lớp C2 11 Tìm vi phân cấp , cấp hàm ẩn a) yz = arctan(xz) b) xz – ez/y + x3 + y3 = c) x + y + z = ez d) + +2 + + + f) =3 −2 + = + + e) =1 =0 g) x = ucosv, y = eu–v z = uv h) x = eu+v, y = usinv z = v i) x = u + v, y = u2 +v2, z = u3 + v3 − =0 +3 =1 j) x = acosuchv, y = bsinuchv, z = cshv 12 Biến đổi phương trình a) (1 – x2)y” – xy’ = với x = cost b) x4y” + 2x3y’ – y = với x = c) y” + 2yy’2 = với x = x(y) d) 3y”2 – y’y”’ – y”y’2 = với x = x(y) e) (xy’ – y)2 = 2xy(1 – y’2) với x = rcos, y = rsin f) w = x zx + y zy với x = rcos, y = rsin g) x2 – y2 h) (x + y) = với u = xy, v = – (x – y) + với u = ln =0 , v = arctan( ) 13 Chứng minh a) z = xy + x thỏa phương trình x +y = xy + z b) z = z(x, y) với x = ucosu, y = usinv thỏa phương trình y –x =– c) z = z(x, y) với (cx – az, cy – bz) = với thuộc lớp C1 thỏa phương trình a +b =c d) z = x(x + y) + y(x + y) với , thuộc lớp C2 thỏa phương trình –2 + =0 e) z = (xy) + ( ) với , thuộc lớp C2 thỏa phương trình x2 – y2 f) u = f(x) + g( ) Tính A = xy + x + y2 –y +x =0 +y Giải u’x = f(x) + f’(x) − g’( ) u’y = − f(x) + u”xy = − u”yy = g’( ) f(x) + − f(x) + f’(x) − g’( ) − g”( ) g”( ) 14 Tìm cực trị địa phương a) z = 4xy + + với x, y > b) z = xy2 (1 – y) với x, y > c) z = x3 + xy2 – x2y – y3 d) z = 2x4 – 3x2y + y2 e) z = xyln(x2 + y2) f) z = (2x2 + y2) g) z = z(x, y) xác định phương trình 2x2 + 2y2 + z2 + 8xy – z – = =− =4 +8 =0 =4 +8 =0 =2 −1≠0 =0 =− =0 x = y = 0, z(0, 0) = {–2, 3} z = z(x, y) 4x + 2z.z’x + 8y – z’x = + 2z’x2 + 2z.z”xx – z”xx = = 2z’yz’x + 2z.z”xy + – z”xy = = = 4y + 2z.z’y + 8x – z’y = + 2z’y2 + 2z.z”yy – z”yy = Tại A(0, 0, –2) : z’x(0, 0) = z’y(0, 0) = = ,= ,= , = 2 – > 14 Tìm cực trị có điều kiện a) z = xy2 với x + 2y = c) z = x + 2y với x2 + y2 = b) z = + với x + y = d) u = 2x + y – 2z với x2 + y2 + z2 = 36 e) u = xy2z3 với x + 2y + 3z = 12 f) u = xyz với x + y + z = 4, xy + yz + zx = 15 Tìm trị lớn nhất, bé a) z = x2 – xy + y2 miền | x | + | y | b) z = x3 + y3 – 3xy miền x 2, –1 y c) z = x2 + y2 – 12x – 16y miền x2 + y2 25 d) z = (2x2 + 3y2) miền x2 + y2 e) u = x + y + z miền x2 + y2 z 16 Lập phương trình tiếp tuyến pháp tuyến a) x = t – t3, y = t2 – t4 , t = b) x = t2 + c) x = ,y=t+ ,y= , t = –1 ,t=0 e) y3 = x2(x – 6) , A(2, –2) d) y = + x = f) y2 = 2px , A(1, 2p) g) x2y2 + x + y – = A(0, 1) g) r = sin3 = h) r = + 2cos = i) r =cos + cos2 = 17 Tìm hình bao họ đường cong phẳng a) x – ysin – cos = với ℝ b) x + y + = với , ℝ cho 2 + 2 = c) Cho (H ) : xy = điểm A, B thuộc (H) cho hoành độ điểm hai lần hồnh độ điểm Tìm hình bao họ đường thẳng (AB) d) Cho a > 0, b > điểm A(a, b), P(x, 0) Q(0, y) cho AP vng góc AQ Tìm hình bao họ đường thẳng (PQ) e) Cho (P) : y2 = 2px điểm M thuộc (P) có hình chiếu lên Oy N I trung điểm OM Tìm hình bao họ đường thẳng (IN) f) Cho P(cost, 0) Q(0, sint) Tìm hình bao đường trung trực PQ 18 Tìm dạng tắc mặt bậc hai sau a) 7x2 + 4xy – 4xz + 4y2 – 2yz + 4z2 – 2x + 8y – 14z + 16 = b) 11x2 –16xy – 4xz + 5y2 – 20yz + 2z2 + + 30x – 66y + 24z + 45 = c) x2 – 2xy + y2 + 2z2 + 2x – = d) 2(x + y)(y – z) – 3x = e) xy + yz = f) xy + xz + yz + 2y + = 19 Lập phương trình pháp tuyến tiếp diện a) z = y2 (x3 – 1) A(0, 1) b) z = 2x2 + 4y2 A(1, 1) c) z3 – xy = A(1, 1, 1) d) x2 z2 – (x2 + y2) = A(1, 0, 1) e) x2 + 4y2 + 2z2 = A(0, 1, 1) f) x2 – y2 + 2z2 = –1 A(1, 2, 1) g) y2 (y2 + z2) = (x2 – 1)2 A(1, 0, 1) h) xy + yz + zx + xyz = A(1, 1, 0) i) x = u + v, y = uv, z = u3 + v3 u = 1, v = j) x = u + ,y=v+ ,z= + u =1, v = k) x = cosu – vsinu, y = sinu + vcosu, z = u(u + 2v) u = 0, v = l) x = 3u + v, y = 2u2 + 2uv, z = u3v u = 1, v = – 20 Lập phương trình tiếp tuyến pháp tuyến a) x = t4, y = t + t3, z = t2 t = b) x = t3, y = (t + 1)3, z = 3t t = –1 c) x = t, y = , z = √2 lnt t = d) x = et cost, y = et sint, z = et t = e) x =cost + sin2t, y = sint(1 – cost), z = – cost , t = f) x = t – sint, y = – cost, z = 4cos t = g) z = x2 – y2, y = x A(1, 1, 0) h) x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = A(1, 1, 2) i) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x A(1, –1, √2) j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x A(1, –1, 2) k) y2 = x, x2 = z A(1, –1, 1) l) x2 + y2 + z2 = 4, x + y – z = A(0, √2, √2 ) Bài giải Đạo hàm vi phân 1) f(x, y) = arctan( ) Tính df Giải df = f’x dx + f’y dy f’x = = f’y = 2) Tính z’x, z’y biết xyz = x + y + z Giải f = xyz – x – y – z = f’x = , f’y = , f’z = , f’z = xy – =− , =− d(xyz = x + y + z) yzdx + zxdy + xydz = dx + dy + dz (xy – 1)dz = (1 – yz)dx + (1 – zx)dy xy – dz = A.dx + B.dy 3) Tính z’x, z’y biết z = x + arctan( Giải f = z – x – arctan( )=0 d( z = x + arctan( dz = dx + d( )) ), u = ) = dx + (u’xdx + u’ydy + u’zdz) = dx + (( ) dx + dy + ( ) dz ) dz = A.dx + B.dy 4) Tính y’(x), z’(x) biết x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Giải ( + ( + + )=0 + = 1) ( − ) ( − ) + + =− =− =( − ) =( − ) y–z0: dy = A.dx, dz = B.dx 5) Tính u’x, u’y biết , zez = xex + yey u= Giải d(zez = xex + yey) (1 + z)ezdz = (1 + x)exdx + (1 + y)eydy 1+z0 dz = dx + dy du = u’xdx + u’ydy + u’zdz = dx − ( = dx − ( + dy + ) ) dz dy ) ( ( ( ) dx + dy) du = A.dx + B.dy ( u’x = = ) ( ( ( u’y = ) ) ( )( ( ) ) ) = ( ) ( ( ) ) z = x2 + y2, x2 – xy + y2 = 6) Tính z’(x) biết Giải ( = + ( − + ) = 1) =2 +2 (2 − ) + (2 − ) dy = y’(x) = − =0 dx, dz = A.dx , f = x2 – xy + y2 – = z’(x) = 2x + 2y.y’(x) Phương trình hàm 1) F(x – z, y – z) = 0, F’u + F’v CMR z’x + z’y = Giải u = x – z, v = y – z dF = F’udu + F’vdv = F’u(dx – dz) + F’v(dy – dz) = dz = A.dx + B.dy A+B=1 2) –x + y + z = (x2 + y2 + z2) CMR (y – z)z’x – (z + x)z’y = x + y Giải d( –x + y + z = (v = x2 + y2 + z2) ) –dx + dy + dz = ’(v)(2xdx + 2ydy + 2zdz) dz = A.dx + B.dy 3) u = f(x) + g( ) + Tính A = + + Giải f, g C2, v = ( )+ u’x = ( )+ u’y = − ′( ) ′( ) ( )− u”xy = − u”yy = ( )− ( )+ ( )− ( )− ( ) ′′( ) A = = 4) Cho z(u, v) với u = x – y, v = 2x + 3y cho z’x + z’y = Tìm z(x, y) Giải z’x = z’uu’x + z’vv’x = z’u + 2z’v z’y = z’uu’y + z’vv’y = –z’u + 3z’v z’x + z’y = 5z’v = z’v = z=∫ = v + C(u) = 2x + 3y + C(x – y) 5) Cho z’x = 2x + y2 z(x, x2) = Tìm z(x, y) Giải z(x, y) = ∫ ′ = ∫(2 + ) = x2 + xy2 + C(y) z(x, x2) = x2 + x(x2)2 + C(x2) = C(x2) = – x2 – x5 y = x2 : C(y) = – y – 6) Cho z”xx = 2, z(0, y) = 1, z’x(0, y) = y Tìm z(x, y) Giải z’x(x, y) = z”xx dx = 2dx = 2x + C(y) z’x(0, y) = + C(y) = y z(x, y) = z’x dx = (2x + y)dx = x2 + xy + D(y) z(0, y) = + + D(y) = 7) Cho u = + Tính + A= , f g có DH cấp Giải ( ) + ′( ) , v = u’y = ′( ) + u”yy = u”xy = u”yx = − A= ′′( ) ( )− ′( ) + ′′( ) + − ( )− ( )− ( )− ′′( ) ′′( ) ( ) =− Cực trị Cực trị địa phương 1) z = x2y + y3 – 4x – 5y – Giải a) z = x2 y + y3 – 4x – 5y – C1(D = ℝ2) =2 − = = + −5=0 = ±2 , = ±1 = ±1 = ±2 b) z”xx = 2y, z”xy = 2x, z”yy = 2y, = 4(x2 – y2) Tại A(x = 2, y = 1) : = 4(4 – 1) > A cực trị Tại B1(x = 1, y = 2) : = 4(1 – 4) < 0, = > B1 CT fmin = f(1, 2) = Tại B2(x = –1, y = –2) : = 4(1 – 4) < 0, = –4 < B2 CD fmax = f(–1, –2) = 2) z = x2 + xy + y2 – 4lnx – 10lny Giải a) f C1(D : x > 0, y > 0) =0 =0 = = 3) z = (5 – 2x + y) Giải f C1(D = ℝ2) f’x = (– 4x2 + 2xy + 10x – 2) Cực trị có điều kiện 4) z = lnx + 3lny với x + 3y = Giải x + 3y = 1, x > 0, y > x = – 3y g(y) = ln(1 – 3y) + 3ln(y) , < y < g’(y) = − + y g’ = ( ) ( ) + =0 y= – g Hàm g(y) đạt cực đại y = nên f(x, y) đạt cực đại có điều kiện x = – , y = fmax = f( , ) = 5) z = 3x + y – với 9x2 + 4y2 = Giải 9x2 + 4y2 = x= √ cos t, y = √ + sin t, t [0, 2] g(t) = = √5cos t + √ g’(t) = −√5sin t + √ tan t = y g’ sin t – 1, t [0, 2] cos t = t = , + + =1 + – 2 + g g(t) CD t = , CT t = + t = : y = x, 9x2 + 4( x)2 = L = (3x + y – 1) + (9x2 + 4y2 – 5) = + 18x = = + 8y = = 9x2 + 4y2 – = ⎧ =− l ⎪ =− l ⎨ ⎪ = ± ⎩ L”xx = 18, L”xy = 0, L”yy = 8 d2L = 2(9dx2 + 4dy2) d = 9xdx + 4ydy = Tại = , d2L > : CT Tại = − , d2L < : CD 6) z = cos2x + cos2y với x – y = Giải y=x– g(x) = + cos(2x) + cos(2x – ) Trị lớn nhất, bé 7) f(x, y) = xy2, D : x + y2 Giải x2 + y < = = =2 =0 ≤ = f(x, 0) = x2 + y = y2 = – x2 , –√3 < x < √3 g(x) = x(3 – x2) = 3x – x3, g’(x) = – 3x2 = x = f(x = 1, y = √2) = 2 TLN = max{ 0, 2 } = = f(1, √2) TBN = min{ 0, 2 } = –2 = f(–1, √2) 8) z = xy2(4 – x – y), D : x = 0, y = 0, x + y = Giải D: f(x, y) = 4xy2 – x2y2 – xy3 f’x = = f’y = = O(0, 0), A(6, 0), B(0, 6) x = 0, < y < y= y=6–x Hình vi phân Pháp tuyến tiếp diện 1) z = arctan( ), A(1, –1, − ) Giải ⃗ = (–z’x, –z’y, 1) z’x = z’y = A(1, –1, − ) (D) = A + vect( ⃗) (P) = A + ⃗ 2) x2 + 3y2 – 2z2 + 2xy + yz + zx + = 0, A(0, 1, 2) Giải ⃗ = (f’x, f’y, f’z) = (2x + 2y + z, 6y + 2x + z, –4z + y + x) A(0, 1, 2), ⃗ = (0, 0, 0) 3) + = 8, A(2, 2, 1) Giải f = u + v, u=2 ,v=2 f’x = u’x + v’x = Tiếp tuyến pháp diện 4) x = 2sin2t, y = sint cost, z = cos2t, t = Giải ⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t)) A(1, , ) 2sin2t = 1, sint cost = , cos2t = t= (D) = A + vect( ⃗ ) (P) = A + ⃗ 5) x2 + y2 + z2 = 6, x – y + z = 0, A(1, 2, 1) Giải (C) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – = g(x, y, z) = x – y + z = ⃗ = (f’x, f’y, f’z) (g’x, g’y, g’z) A(1, 2, 1) grad(f) = (2x, 2y, 2z) = (2, 4, 2) grad(g) = (1, -1, 1) ⃗ = = (6, 0, -6) // (1, 0, -1) −1