Bt chương 2

Bài tập chương Khảo sát tính có đạo hàm liên tục a) y = + tan c) y = + + b) y = + d) y = √ +√ +2 e) y = f) y = arcsin g) y = | arctan x | h) y = [x]x i) y = − ≤ > j) y = ln (1 + ) > | | ≤ | | > l) y = k) y = ≤ sin ≠ 0 = Giải  x0 f(x) = x2 sin có đạo hàm liên tục f’(x) = 2x sin  – cos a = 0, f(a) = 0  | f(x) | = | x2 sin |  x2 ⎯⎯ → lim f(x) = = f(0)  → f(x) liên tục a =  a = 0, f(a) = ∆ ∆ = = x sin ⎯⎯ → có đạo hàm f’(0) =  a = 0, f’(a) = f’(x) = 2x sin – cos ⎯⎯ f’(0) ? → đạo hàm khơng liên tục Tính đạo hàm cấp một, cấp hai hàm hợp hàm ngược a) y = arctan ( ) ( ) b) y = (x)(x) c) y = log(x)(x) d) y = (lnx) e) y = ln(x) f) x = yy g) x = y + ey h) x = ylny Tính đạo hàm cấp một, cấp hai hàm ẩn a) ey + xy = 1, x = Giải  y = y(x) ey(1) + y(1) =  ey.y’ + y + xy’ = y’(1) = −  y(1) = y’(ey + x) = – y  ( ) ( ) =0  x = 1, y(1) = 0, y’(1) = ey.y’2 + ey.y” + 2y’2 + xy” =  y”(1) + y”(1) = b) x4 + y4 = x2y2 c) exsiny – eycosx = d) arctan e) xy = yx f) x = ln(1 + t2), y = arctan(t) g) x = t.ln(t), y = ( ) + = ln h) x = et cost, y = et sint Khảo sát tính có đạo hàm liên tục cấp n a) y = b) y = √ c) y = (x3 + x2 + 1)e–x ( ) ( d) y = xn–1 Giải  n = 1, y = n = 2, y = x  P(n) : y = , y’ = − , y’ = (1− ) , y” = , y(n) = (−1) ) +) P(1), P(2) +)  k  n, P(n) đúng, CMR P(n+1) : y= , y(n+1) = (−1) Ta có y(n+1) = ( ( )’ )(n) )(n) =(n – = n( )(n) – ( ( = n(−1) = n(−1) )(n-1) )’ – ((−1) )’ – (−1) – (−1) = (−1) e) y = xn–1ln(1 + x) f) y = arctanx, tính y(n)(0) Khảo sát tính khả vi cấp một, cấp hai a) y = b) y = x2e–x c) y = asin(bx + c) d) xy + y2 = e) ey = x + y f) x = y – asiny Cho f : ℝ  ℝ, f(x) = Chứng minh √ a) Hàm f  C(ℝ)  n > 0,  Pn  ℝ[X] : ( )  (n, x)  ℕ*  ℝ, f(n)(x) = ( ) b)  n  ℕ*, Pn+1 = (1 + X2)P’n – (2n + 1)XPn c) Pn+1 + (2n + 1)XPn + n2(1 + X2)Pn–1 = P’n = – n2Pn–1 d)  n  ℕ*, tính giá trị Pn(0) Tìm hàm số trường hợp sau ∃ a) f : ℝ ⎯⎯ ℝ f(x + y) = f(x) + f(y) ∃ b) f : ℝ ⎯⎯ ℝ f(x + y) = f(x + f(y)) ∃ c) f : ℝ ⎯⎯ ℝ f(x) – f(y) = (y – x)f’( ) ∃ d) f : ℝ ⎯⎯ ℝ f(x)f(y) = f(x + y) Tính chất hàm khả vi a) Tình số Roll ) f(x) = (1 − ) với x  [0, 1] ) f(x) = – √ với x  [–1, 1] b) Tìm số Lagrange ) f(x) = arctan x với x  [0, 1] ) f(x) = ln x với x  [1, 2] c) Cho f  C([0, a])  C1((0, a]) : f(0) = f(a)f’(a) < CMR  c  (0, a) : f’(c) = d) Cho f  C([0, +))  C1((0, +)) : f(a) = f(+) = CMR  c  (0, +) : f’(c) = e) Cho f  C2( [a, b]) : f(a) = f(b) = f’(a) = f’(b) = CMR  c  (a, b) : f”(c) = f(c) Chứng minh bất đẳng thức a)  x  ℝ : xn+1 – (n + 1)x + n  b)  x > –1 :  ln(x + 1)  x c)  x  [0, ], sin2x  d)  x > 1, < √ e)  n > 0, e – (1 + )n  x( – x) f)  a > 0, b  ℝ, ab  a.ln(a) + eb–1 g)  (n, a, b) > 0, (n + 1)an < h) Suy < (n + 1)bn n>0 (1 + )n < (1 + )n (1 + )n+1 > (1 + )n+2 10 Khai triển Taylor bậc n điểm a hàm f(x) a) 2, 0, ln(3ex + e–x) Giải  f(x) = f(0) + ! f’(0)x + ! f”(0)x2 + o(x2)  f(0) = ln f’(x) = f”(x) = , f’(0) = ( ) ( ( ) ) , f”(0) = f(x) = ln4 + x + x2 + o(x2)  ex = 1+ x + x2 + ln(1 + x) = x – x2 + f(x) = ln(3(1+ x + x2 + o(x2)) + (1– x + x2 + o(x2))) = ln(4 + 2x + 2x2 + o(x2)) = ln4 + ln(1 + x + x2 + o(x2)) = ln4 + ( x + x2 + o(x2)) – ( x + x2 + o(x2))2 + o( x + x2 + o(x2))2 = ln4 + x + x2 + o(x2) b) 3, 0, + √1 + Giải  f(x) = f’(x) = + √1 + , f(0) = √2 1+√1+ √1+ , f’(0) = √ f”(x) = (1+ 1+√1+ − )2 1+√1+ (1+ ) f(3)(x) =  (1 + x)1/2 = + x − x2 + x3 + f(x) = + (1 + ) = (2 + x − x2 + x2 + = √2 (1 + x − = √2 (1 + ( x − − ( x− ( x− + x2 + x2 + = √2 (1 + x − x3 + o(x3))1/2 x2 + x3 + o(x3))1/2 x3 + o(x3)) x3 + o(x3))2 + x3 + o(x3))3 + o(x3) x2 + x3 + o(x3)) − c) 2, 0, d) 5, 0, e) 7, 0, ecosx f) 5, 0, arctan g) 4, 0, h) 4, 0, (1 + sinx)cosx i) 8, 0, tan3x (cos ) j) 3, , tanx −1 ( k) 3, 1, l) 3, 2, sin √ n) 100, 0, ln ∑ −3 ! m) ) 3, 2, xx o) 10, 0, ∫ √ 11 Tìm giới hạn hàm số sau a) b) c) d) e) ( ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) Giải  t = – x  +0 u(x) = ln t + tan( − t) = ln t + cot t v(x) = cot( – t) = – cot t  ( ) = ( ) g)  ~ − ( ln + 2) ⎯⎯⎯ −2 − cot k) ( → → (x – 1)cot(x – 1) i) ? ) h) − j) (arcsinx)tanx l) (cos ) Giải  u(x) = cos 2x v(x) =  m) o) ( sin ) ( n) ) 12 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau a) y = b) y = c) y = ( + 1) + ( − 1) d) y = x2(1 – x√ ) e) y = ( − 1) f) y = | | g) y = x – 2sinx h) y = sinx + cosx i) y = j) y = x.arctan x k) y = x2e–x l) y = (1 – x2)ex m) y = x – ln(x + 1) n) y = x2 lnx o) y = xln(e + ) p) y = ( ) + 2x q) y = x r) y = s) y = (1 + ) t) y = | | 13 Khảo sát đường cong cho phương trình a) x = t2 – 2t, y = t2 + 2t b) x = t + e–t, y = 2t + e–2t c) x = acos3t, y = asin3t d) x = t3 – 3, y = t3 – 6.arctan(t) e) x(y – x)2 = f) x2y + xy2 = g) (y – x2)2 = x5 h) x2y2 = (x – 1)(x – 2) 14 Khảo sát đường cong hệ tọa độ cực a) r = asin3 b) r = a(1 + bcos) c) r = a cos d) r = e) (x2 + y2)3 = 4(axy)2 f) x4 + y4 = a2(x2 + y2) Bài giải 1.Đạo hàm Tính đạo hàm 1.1 + 1) y = +2 Giải  u(x) = ln u(x) = x2 ln(x) ( ) ( )  = x(2lnx + 1) u’(x) = (2lnx + 1) 2) y = Giải  ln y(x) = xln(ln x) – (ln x)2 3) x = yy Giải  ln(x) = y(x)ln y(x) = y’(x)ln y(x) + y’(x) 4) x = arcsin(t), y = ln(1 – t2) Giải  D(x) : -1  t  D(y) : -1 < t < D = -1 < t <  x’(t) = √ , y’(t) = − y’(x) = ( ) ( ) =− ( )  y”(x) = = −2 (1 − √ = ( ) − ) √  (sin x)’ = cos x = √1 − sin y = arcsin x y’(x) = 1.2 ( ) x = sin y  = = √ Tính đạo hàm cấp cao 1) y = √ = (1 + )(1 − ) Giải  u(x) = + x, u’ = 1, u” = 0,  v(x) = (1 − ) , x < v’ = (1 − ) , v” = v(k) = … (1 − ) = ( )‼ (1 − ) , (1 − )  y(n) = (u.v)(n) = uv(n) + nu’v(n-1) + + =  v = (a.x + b)m v(n) = 2) y = ( [ ] ( ) ( + ) ) Giải  ( ) ( ) = +( +) (x – 1)2, x = : ) =B + +) (x + 1), x = -1 : =C +) x = : = -A + B + C y=− + ( ) +  u(x) = (x – 1)–1, u’ = –(x – 1)–2 , u” = (–1)(–2) (x – 1)–3 , u(k) = (–1)k (k!)(x – 1)–(k+1) 3) f(x) = √ −3 , n = 100 Giải  f(x) = (1 − ) u = x2 , u’ = 2x , v = (1 − ) , v’ = (1 − ) − (1 − ) v” = v(k) = − (−3) (−3) , − ( − 1) (1 − ) (−3) = −(3 − 4)‼ (1 − ) (  f(100)(x) = ) + ′ ( = 1.3 Cho f(x) = sin ≥ x + + < 1) Tính f’(x  0) 2) Tìm a để  f’(0) Giải 1)  x > 0, f’(x) = 3x2 sin x + x3 cos x  x < 0, f’(x) = 2x + a 2) ) + ( ) Cách  f(x) liên tục : f(+0) = f(–0) = f(0) f(+0) = lim (x3 sin x) = = f(0) → f(–0) = lim (x2 + ax + b) = b →  f’(x) có giới hạn : f’(+0) = f’(–0) f’(+0) = lim (3x2 sin x + x3 cos x) = → f’(–0) = lim (2x + a) = a → Cách  x0 = 0, x = x – 0, f = f(x) – f(0) +) x > 0, +) x < 0, ∆ ∆ ∆ ∆ = x2 sinx ⎯⎯⎯ = f’(+0) = = → ( ) =x+a+ ⎯⎯⎯ f’(–0) →  b = 0, a =  a = b = :  f’(0) = 1.4 Cho f(x) = sin ln( + ) < ln(1 + ) − ≥ 1) Tính f’(x  0) 2) Tìm a để  f’(0) Giải 1)  x < 0, f(x) = ex sin2x ln(e2 + x) + ex 2cos2x ln(e2 + x) + ex sin2x  x > 0, f(x) = 2)  f(x) liên tục : f(+0) = lim (ln(1 + 4x) – a) = –a = f(0) → f(–0) = lim (ex sin2x ln(e2 + x) = →  f’(x) có giới hạn : f’(+0) = lim ( )=4 → f’(–0) = lim (ex sin2x ln(e2 + x) → + ex 2cos2x ln(e2 + x) + ex sin2x )=4  x0 = 0, f(0) = – a, x = x – 0, f = f(x) – f(0) x > 0,  x < 0, ∆ ∆ ∆ ∆ = = ( ) sin ln = ( ) ⎯⎯⎯ = f’(+0) → + ⎯⎯⎯ f’(–0) →  a = 0, f’(–0) = 1.5 + − > + ≤ Cho f(x) = Tìm a, b để hàm f khả vi x = Giải  f(x) liên tục : f(1+0) = a + – b , f(1–0) = = f(1)  a+2–b=3  f(x) có đạo hàm : f’(x > 1) = 2ax + 2, f’(1+0) = 2a + f’(x < 1) = 2, f’(1–0) =  2a + =  a = 0, b = –1 Ứng dụng đạo hàm 2.1 Chứng minh bất đẳng thức 1)  x > 1, Giải < √  BDT  t=√  ln −√ + 1, f(t) = 2ln t – t + f’(t) = −1− =− 1, f(t) < f(1) =  < 2) < b < a < ,  f(t)  (1) − < Giải  0 –1, + r.x  (1 + x)r Giải   x > –1, f(x) = (1 + x)r – – r.x (1) f’(x) = r(1 + x)r–1 – r = x  x=0 –1 f’(x) – + + f(x)   x > –1, fmin = f(0) = f(x)   BDT < arctan x 5)  x > 0, Giải   x > 0, f(x) = arctan x – − f’(x) = +( ) >0  f(x)    x > 0, f(x) > f(0) =  BDT 7) CMR  | x |  , 3arccos x – arccos(3x – 4x3) =  Giải  –1  3x – 4x3   –1  x  – , f(x) = 3arccos x – arccos(3x – 4x3) x thuộc lớp C1  f’(x) = − √ − ( ) = = f(0) =  2.2 Tìm cực trị 1) y = √ −2 Giải   x2 > 2, f’(x) = √ =  x = 1  x −√2 – f’(x) + –1 – √2 + f(x)  Hàm cực trị 2) y = x – ln(1 + x) Giải   x > –1, f’(x) = =0  x=0  x –1 f’(x) – f(x)  fmin = f(0) = 3) y = x.e–x Giải  y = (1 – x)e–x  x=1 2.3 Tính giới hạn 1) lim → Giải  u(x) = xx – 4, u’ = xx (ln x + 1) ( )  ℓ = + + + 2) lim → Giải  u(x) = tan x – x, u’ = tan2 x, u” = 2tan x (1 + tan2 x) v(x) = x – sin x, v’ = – cos x, v” = – sin x ( )  ℓ = 3) lim → Giải  u(x) = tan x, u’ = + tan2 x v(x) = tan 3x, v’ = 3(1 + tan2 3x) ( )  ℓ = 4) lim ( → (1 ) ) Giải ( )  u(x) = ( = ⎯⎯⎯⎯ ) → ⎯⎯⎯⎯ + v(x) = 2xln x → ( v(u – 1) = ln = −2 ( ( ) ) ) ⎯⎯⎯⎯ –2 →  ℓ = e–2 5) lim → − Giải  ex = + ! ex – – x = + ! +⋯ x2 + o(x2), ⎯⎯ → −  = ( ) ~ → ( ) ⎯⎯⎯⎯ →  ℓ= ( 6) lim ) → Giải  u= ( ) ⎯⎯ 1, v = ⎯⎯  → → ln u(x) = ln(1 + ) − = =–  y=  ℓ= x + o(x), = ( ) ⎯⎯ → ( ) ⎯⎯ → − +⋯ −1