Bt chương 3

Bài tập chương Đổi biến tích phân bất định 1) ∫ √ Giải  t = sinx, dt = cosxdx I = −∫ = 2) ∫ √ 3) ∫ 4) ∫ (5 − 1) √ 5) ∫ √ 6) ∫ ( ) √ Tích phân phần tích phân bất định 1) ∫ 2) ∫ √ √ 3) ∫ arccos 4) ∫ 5) ∫ cos ln 6) ∫ sin √ Tích phân hàm hữu tỷ 1) ∫ ( 3) ∫ ) ( ( 2) ∫ ( ) 4) ∫ ( ) 5) ∫ 6) ∫ Tích phân hàm lượng giác 1) ∫ 2) ∫ √ 4) ∫ 3) ∫ sin sin sin 5) ∫ ( )( ) 5) ∫ )( ) )( ) Tích phân hàm vơ tỷ 1) ∫ 3) ∫ ( 2) ∫ ) √ √ √ Giải  u = ln(x) ( I = −∫ = ) √ − √6 + − + 4∫  I1 = ( ) + 4∫ √ + ∫ √6 + − √ − 2√6 + − √ ∫ √6 + − I2 = ∫ √ =∫ =∫ 10 − ( − 2) ( ) +4 −5 4) ∫ √ 5) ∫ − 2∫ 6) ∫ ( √ )√ Tính tích phân bất định sau 1) ∫ 3) ∫ 2) ∫ √ ( ( ) ) ln 5) ∫ √ √ 4) ∫ √ 6) ∫ + ln √ (1 + ln ) Tích phân xác định 1) Giới hạn tổng tích phân a) c) ∑ ( )! ! 2) Ước lượng tích phân b) ∑ d) ∏ √ 1+ −1 a) ∫ (1 + )(1 + b) ∫ √ ) 3) So sánh tích phân a) ∫ ∫ √ cos b) ∫ cos ∫ 4) Đạo hàm hàm cận √ sin a) ∫ b) ∫ 5) Giới hạn tích phân a) c) e) ∫ → b) √1 + ∫ → d) ∫ cos → ∫ arctan √ → ∫ → Chứng minh đẳng thức 1)  x > 0, ∫ 2) ∫ =∫ +∫ ( ) 3) ∫ = ( ) 4) ∫ b) Suy =1 ( ) =∫ ℎẵ ẻ f hàm T – tuần hoàn = ∫ ln cos − ∫ ln(1 + tan ) (sin ) a) ∫ ) ℎà 2∫ ( ) ℎà a) ∫ ln cos b) Suy ( = ∫ (sin )  ∫ Đổi biến tích phân xác định 1) ∫√ 3) ∫ √ √ 2) ∫ 4) ∫ ( ) √ 5) ∫ ( 6) ∫ ) Giải  x = tan(t), dx = (1 + x2)dt I = ∫ ln(1 + tan( )) = ∫ ln √2 √ = ∫ ln + ∫ ln cos − – ∫ ln cos t = 10 Tích phân phân tích phân xác định 1) ∫ √ Giải  u = arcsinx, dv = I = 2√1 + √  du = , v = 2√1 + √ √ arcsinx – ∫ √ 2) ∫ ln 3) ∫ √ √ Giải + , dv =  u=√ I=− √ 4) ∫ +4 √  +∫ du = √ √ √ cos 5) ∫ (1 + ) arctan 6) ∫ cos 11 Cho n  ℕ*, tính tích phân sau 1) ∫ (1 − Giải ) ,v=−  (1 – x2) = ∑ I=∑ (−1) (−1) ∫ 2) ∫ tan Giải  tan2nx = tan2(n–1)x(1 + tan2x – 1) In = ∫ tan 3) ∫ = − = − ( ) ( − ( ) ) + ( ) = √ Giải  x = sint  t = arcsinx dx = costdt, √1 −  In = − ∫ sin = cost, t(0) = 0, t(1) = = = ∫ sin 4) ∫ Giải  In = − ∫ =− + ∫ =− +  f(x) = xne–x I(x) = (anxn + + a0)e–x + C  I’(x) = (nanxn–1 + + a1)e–x – (anxn + + a0)e–x = xne–x – an = nan – an–1 = (n–1)an–1 – an–2 = 1.a1 – a0 = 5) ∫ cos sin sin 6) ∫ 12 Khảo sát tích phân suy rộng loại 1) ∫ ( ) ( 3) Tính ∫ 2) ∫ ) √ Giải  ∫ I= = arctanh √ → ( arctanh – arctanh √ √ – arctanh √ √ 4) ∫ Giải  f(x) = x2 f(x) = arctanx ⎯⎯⎯⎯ →  K= 5) ∫ < ,  = > : TPHT theo √ 6) ∫ Giải  (k > 0) ⎯⎯⎯⎯ → ) f(x) = ⎯⎯⎯⎯ f(x) = →  K = < ,  = ( 7) ∫ 9) ∫ > : TPHT theo ) cos 8) ∫ √ Giải  sin ( ) ~ f(x) = sin f(x) =  K = < ,  = ⎯⎯⎯⎯ → > : TPHT theo 13 Khảo sát tích phân suy rộng loại 1) ∫ 2) ∫ 3) ∫ 5) ∫ 7) ∫ ( 4) ∫ ) 6) ∫ √ √ √ Giải  f(x) = f(x) = ,x0 cos  K = < ,  =  t=  x= ⎯⎯⎯ → < : TPHT theo TC Riemann dx = − , t(+0) = +, t(1) = − I=∫ =∫ √ 8) ∫ Giải  ex – ~ x, ln + ⎯⎯⎯ f(x) =  K = < ,  = ~ x2/3 → < : TPHT theo TC Riemann 9) ∫ Giải  ex – cosx = x + ~ x ⎯⎯⎯ xf(x) = →  K = > ,  =  : TPPK theo TC Riemann 14 Tính độ dài đường cong 1) y2 = (x – 1)3 bị chắn y2 = 2x Giải (x – 1)3 = 2x  x = s = 2s(C) C:x=1+ ,  y  √8  2) 8y2 = x2(1 – x2) với –1  x  3) x = a(3cost – cos3t), y = a(3sint – sin3t),  t   4) x = a(t2 + 1), y = (t3 – 3t) với –1  t  5) r = 1– cos nằm đường tròn r = 6) r = acos3( ) với     7) x2 = 4y, 9z2 = 16xy nằm x = x = 8) x = t – sint, y = – cost, z = 4cos( ) nằm hai giao điểm với mặt phẳng Oxz 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn 1) y = x2, y = x2, y = 2x 2) y2 = 2x, y2 = 4(x – 1)3 Giải  Hình vẽ ? 2x = 4(x – 1)3  x = 2, y = > D :  y  2, y2  x  +  S = 2∫ 1+ − 3) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3 4) x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t 5) r = √3sin, r = – cos 6) r2 = a2sin2 7) (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2) 8) x4 + y4 = x2 + y2 16 Tính thể tích vật thể tạo 1) x = a, 2x = z2, y = 0, 2y = x2 z = 2) 2z = x2 + 2y2 x2 + 2y2 + z2 = 3) 2y = x2 2x + 2y – = quay quang Ox 4) y = x, y = x + sin2x,  x   quay quang Oy 5) x = acost, y = asin2t, y = quay quang Ox 6) x = acos3t y = asin3t quay quang Ox 7) r = asin2 quay quang trục cực 8) r2 = a2cos2 quay quang trục cực 17 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo 1) 4x2 + y2 = quay quanh Ox 2) 9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy 3) x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox 4) x = a(t – sint), y = a(1 – cost) q.quanh trục đối xứng 5) r = a(1 + sin) quay quanh trục cực 6) r = a2sin2 quay quanh trục cực Bài giải Tích phân bất định 1) ∫ Giải  t = tan( ), sinx = = ∫(  I=∫ , dx = ) = 2) ∫ Giải  u = arctan x, dv =  I = − arctan x + ∫ ( ) + =  du = ( )  3) ∫ √ Giải  t = √ +4  x = t2 – 4, dx = , 4) ∫ ( )( ) Giải  ( 5) ∫ ( Giải )( ) )( =3+ ) + , ,v=−  ( )( ) = + 6) ∫ √ Giải  – 4x – x2 = – (x + 2)2, =− √ − √  I=− ∫ √ − 3∫ ( ) ( ) Tích phân xác định √ 1) ∫ Giải  t = √ +  x = t2 – 1, dx = 2tdt , (2  I=∫ )= 2) ∫ ln (1 + √ ) Giải  x = t2, dx = 2tdt  t=√ t(0) = 0, t(1) =  I = ∫ ln (1 + )2 u = ln(1 + t), dv = 2tdt  du = I= ln (1 + )| − ∫ = , v = t2 3) ∫ sin( + √ ) Giải  x = t2, dx = 2tdt  t=√ t(0) = 0, t(2) =   I = ∫ sin + (2 ) 4) ∫ x Giải  u = x2 , dv = 2x dx = exln2dx exln2  du = 2xdx, v =  I= − = −( ) = −( ) ∫ (2 ) ∫ −( ) ∫ 5) ∫ cos cos Giải  ∫ cos = ∫ cos cos ( + 1) cos = In + ∫ sin = In + cos − ∫ cos ( cos sin sin sin ) −∫ cos (sin ) = In – In =  In = ∫ cos = ∫ cos cos cos cos( − 1) + ∫ cos cos( + 1) = 6) ∫ = = = 1+ − Giải =  I =∫ 1+ =∫ 7) ∫ 1− 1− +∫ =? sin Giải  u = e2x , dv = sinxdx I=− = 1− cos | + ∫ cos √2 2 + ∫04 (sin )  cosx + i.sinx = eix K=∫ ( = (2 − ) I = im(K) = 8) ∫ ( ) ( = √ −1 + √ +1 ) Giải  u = (lnx)2, dv = x2dx ) √ = ( ) −1 9) ∫ (2 − ) Giải  t=2–x Tích phân suy rộng loại 1) ∫ (p, q > 0) Giải  qp = f(x) = < p x f(x) ⎯⎯⎯⎯ = → 0p = f(x) = xq f(x) ⎯⎯⎯⎯ → 1=K 0 0) Giải  p>1: xp f(x) = ⎯⎯⎯⎯ → 0=K K < , p > : hội tụ  p < : p = – 2r x(1–r)f(x) = ⎯⎯⎯⎯ → + = K K > 0,  = – r < : phân kỳ  p=1 +) q > ∫ | = = +) q  : phân kỳ 3) ∫ (p, q > 0) Giải ~  f(x) =  q–p>1  q–p1 4) ∫ Giải  f(x) ~ = g(x) TP g(x) hội tụ, suy TP f(x) 5) ∫ ( ) Giải  x2f(x) = ( ) ⎯⎯⎯⎯ = K → K < ,  = > : TP ht 6) ∫ ( ) Giải  f(x) = ( ∫ ( TP VT  x4f(x) ) ) liên tục x  =∫ ( ) +∫ ( ) ( 7) ∫ ) Giải (  x3/2f(x) = ) ⎯⎯⎯⎯ = K → 8) ∫ Giải  x2f(x) = √ 9) ∫ √ Giải  x11/15f(x) = ∫ 10) Giải  x3f(x) = Tích phân suy rộng loại 1) ∫ ( )√ Giải  f(x) = ( liên tục [0, 1) )√ Chọn g(x) = ( ( ) ( ) = ) ⎯⎯⎯⎯ → 1=K K < , Tp g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ 2) ∫ √ Giải  f(x) = √ liên tục (0, 1] Chọn g(x) = ( ) ( ) = ⎯⎯⎯ = K →  K < , TP g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ √ 3) ∫ Giải √  f(x) = liên tục (0, 1] Chọn g(x) = ( ) ( ) = ⎯⎯⎯ = K →  K < , TP g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ 4) ∫ ( ) Giải  f(x) = ( ) liên tục (0, 1] Chọn g(x) = ( ) ( ) = ⎯⎯⎯ = K →  K < , TP g(x) phân kỳ, suy TP f(x) phân kỳ 5) ∫ Giải  f(x) = ln(x) liên tục (0, 1] I(a) = ∫ = ln | − ∫ = – aln(a) + a – ⎯⎯⎯ →  I = –1 Ứng dụng hình học –1