Bt chương 1

Bài tập Tập hợp 1.1 Cho A, B, C tập CMR a) A  B  A  C  B  C, A  C  B  C, A – C  B – C b) A  B  A  B = A A  B = B c) A  (B – C) = A  B – A  C d) A  B = A  C  A B =A C e) A  B = A  C, B  C = B  A, CA=CB  A=B=C 1.2 Cho f : X  Y CMR a)  A, B  X, f(A  B)  f(A)  f(B) f(A  B) = f(A)  f(B) b)  A, B  Y, f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B) f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B) 1.3 Cho f : E  F, g : F  G, h : G  E CMR a) hogof gofoh toàn ánh fohog đơn ánh  f, g, h song ánh b) hogof gofoh đơn ánh fohog toàn ánh  f, g, h song ánh 1.4 Cho A, B  P(E) f : P(E)  P(E)  P(E), X  (X  A, X  B) CMR a) f đơn ánh  A  B = E b) f toàn ánh  A  B =  Hàm số 1.5 Tìm hàm f : I  ℝ biết a)  x  0, f(x + ) = x2 + b)  x > 0, f( ) = x + √1 + c)  x  ℝ, xf(x) + f(1 – x) = x3 + d)  x, y  ℝ, f(x + y2) = f(x2) + f(y) e) f = g–1 với g(x) = + 2sin f) f = go og (n lần) với g(x) = √ 1.6 Khảo sát tính chất sơ cấp hàm số a) Tìm miền xác định, miền giá trị ) y = ln(1 – 2cosx) ) y = arcsin b) Tìm ảnh khoảng I qua ánh xạ f ) y = , I = (0, 1) ) y = √ − , I = [0, 1] c) Khảo sát tính đối xứng ) y = ) y = ln ) y = sinx – cosx ) y = ln(x + √1 + d) Khảo sát tính tuần hoàn ) y = | sinx | + | cosx | ) y = sin(x2) ) y = tan ) y = x – E(x) – tan e) Vẽ đồ thị hàm số ) y = x2 – 6| x | + ) y = 2| ) y = arccos(cos3x) ) y = cosx + | sinx | 1.7 Hàm lượng giác ngược | −1 ) a) Khảo sát vẽ đồ thị ) y = arctan ) y = arccoss(4x3 – 3x) ) y = arcsin ) y = sin(3arctanx) √ b) Giải phương trình ) arccosx = arcsin2x ) 2arctan + arcsin(2x – 1) = ) arcsin = arctanx ) arcsin2x = arcsinx + arcsin(x√2) 1.8 Xác định bậc vô bé vô lớn a)  = tanx – sinx 1+ √ −1 =  = 2x – cosx  = sin(shx) – sh(sinx)  = (1 + sinx)x – (1 + x)sinx  Tìm k cho (x) ~ .xk  f(x) = tan(x) f(0) = f’(x) = + tan2(x) f’(0) = f”(x) = 2tan(x)( + tan2(x)) f”(0) = f”’(x) = f”’(0) = f(x) = f(0) + ( ) ! + ( ) ! + tan(x) =  = b) A = √ C= + + ( +5 + | x | ( )( ) ! ( ) ! + ( ) ) 1+ √ −1 = 1+ + + −1 ~ B= √ − +√ D = x + ln(1 + x) E = xln(x + 1) – (x + 1)lnx 1.9 Tính giới hạn sau − a) c) √ √ e) g) i) k) m) o) q) : m, n  ℕ d) +√ −√ f) + tan √ b) sin √ (1 + tan √ √ √ √ − cot √ h) √ √ √ j) ) l) sin √ + − sin √ ln n) cos √ p) : a, b > ( r) ) 1.10 Tìm hàm f : I  ℝ trường hợp sau a) f : ℝ  ℝ liên tục : f(x2) = f(x) b) f : ℝ  ℝ liên tục –1 f(2x + 1) = f(x) c) f : ℝ  ℝ liên tục : : f(x + y) = f(x) + f(y) + xy d) f : ℝ∗  ℝ liên tục : f(x  y) = f(x) + f(y) e) f : ℝ  ℝ liên tục f(x + y) = f(x)  f(y) : 1.11 Chứng minh a) Cho f : [0, 1]  [0, 1] liên tục CMR  a  [0, 1] : f(a) = a b) Cho f : ℝ  ℝ liên tục tuần hoàn CMR f bị chặn c) Cho f : ℝ  ℝ liên tục f(–) = f(+) CMR f đạt trị bé d) Cho f, g : [a, b]  ℝ liên tục : f(x ) > g(x) CMR  m > : f(x) > g(x) + m e) Cho f : I  ℝ liên tục tập f(I) hữu hạn CMR f hàm f) Cho f : I  ℝ liên tục đơn ánh CMR f hàm đơn điệu 1.12 Tìm giá trị tham số để hàm liên tục toàn tập số thực a) y = + ≤ − ≤ − > b) y = sin + > Giải  x < , f(x) = a.x + x> , f(x) = sin(x) + b  x0 = f(x) = ( + 1) = a + (sin + ) = 1+ b f( ) = a + f(x) = f liên tục  a + = + b  Để f(x) c) y = sin ≠ = d) y = ≤ + > 1.13 Phân loại điểm gián đoạn thác triển liên tục ln a) y = Giải  Mxd x  0, – x  0, >  x  0, x  1, –1 < x < D(f) = (–1, 0)  (0, 1)  a = –1, f(–1+0) = + a = +1, f(1–0) = +  a=0 → f(x) = = → ln → ln + = → Điểm a = gd loại bỏ qua b) y = c) y = Giải  Mxd  x  2  a = –2 f(x) = = + f(x) = =0  a = +2 f(x) = = + f(x) = =0 d) y = (x +1)arctan = = f(0) e) y = | | ( ) f) y = − ≤ < − < ≤ = g) y = h) y = 1.14 Cho phương trình xtanx = CMR a)  n  ℕ, PT có nghiệm xn  (n, n + ) b) Suy hệ thức tương đương : xn – n ~ 1.15 Cho phương trình (x – n)lnn = xln(x – n) CMR a)  n  ℕ, PT có nghiệm xn  (n + 1, n +2) b) Suy hệ thức tương đương : xn – n – ~ Bài giải Số phức Đa thức Phân tích phân thức 2.1 1) F = a b X = + X 1 X  (X  1)(X  2) Giải  (X – 1)  : X =  a = (X – 1)F(1) = –  (X – 2) : X =  b = (X – 2)F(2) = 2) F = X (X  1) (X  1) Giải  Phân tích A DX  E X B FX  G = + + + X  (X  1) (X  1) (X  1) ( X  1) X2 1  Cân hai vế X = A(X – 1)(X2 + 1)2 + B(X2 + 1)2 + (DX + E)(X – 1)2(X2 + 1) + (FX + G)(X – 1)2 X=1B= X = i  i = 2F – 2Gi  F = G = −  Đạo hàm hai vế = A(X2 + 1)2 + B4X(X2 + 1) + (X – 1)( ) = (DX + E)2X(X – 1)2 + + (X2 + 1)( ) X =  = 4A +  A = − X = i  = (4E + 1) + (4D – )i  D = Hàm số Khảo sát hàm số 3.1 1) Miền xác định y = ln(1 – 2cosx)  D(f) : – 2cos(x) >  cos(x) < y = ln 2) Tính đối xứng  y(–x) = ln = − ln = –y(–x) y = tan 3) Tính tuần hoàn  tan : T1 = 2 tan − tan : T2 = 3  y : T = 6 Giới hạn 4.1 Tính giới hạn lim 1) √ → √ √ Giải  Gọi ℓ Đổi biến t = x –  +0  ℓ =  Dùng công thức (1 + u)m ~ + mu → √ = (1 + ) ~ 1+ → x=t+1 E = √ = (2 ) − = √2 + ~ (2 ) (1 + 1+ →  Thay ℓ = lim = → ( ) ( lim tan 2) ) √ sin → Giải  t=x–10  x=t+1 tan x ~ x , cot x ~ tan = tan sin + = sin  ℓ = lim − = − cot ~ − → ~ → =− → lim 3) → Giải ⎯⎯⎯ 1, v = cot x ⎯⎯⎯ + : dạng 1  u= → → x3  sinx ~ x – v(u – 1) =  ℓ= lim ln 4) → ( → =− ~ ) = e0 Giải  ln = ln + ~ = ⎯⎯⎯ → )  ℓ = lim =1 → 4.2 Tính giới hạn 1) lim ( − tan ) → Giải − tan(x) ~ (1 + ) −  u=e v= ( ) ⎯⎯ → ⎯⎯  : dạng 1 ~ → v(u – 1) ~ ⎯⎯ →  ℓ = e1 lim 2) ( → ) Giải  u= ( ⎯⎯⎯⎯ 1, v = 3x.ln2x ⎯⎯⎯⎯ + : dạng 1 ) → → (  v(u – 1) = ln = −3 ( ) = ( ( ( ) ) + v(u – 1) ~ −3 ) ) ln + ( ) ⎯⎯⎯⎯ 1, ln + → ⎯⎯⎯⎯ –3 →  ℓ = e–3 lim 3) ( ) → Giải  u = (1 + ) ln(1 + ) ~ − u= ( ) ~ ~ 1− ~ (1 − ) ~  ℓ = lim =− → lim 4) ( → ) Giải  u = xlnx, v = (ln x)x ⎯⎯⎯⎯ + →  y= ( ) ln y(x) = (ln x)2 – ln x.ln(ln x) = ln2 x (1 – lim ( ) = → lim ⎯⎯⎯⎯ → → ( ln y(x) = ln2 x (1 – ) ) ⎯⎯⎯⎯ + ? →  ℓ = e+ = + lim 5) − → Giải  t = x –  x = + t  ln(1 + t) ~ − − ( = ( ) ) 4.3 Tính giới hạn 1) lim ~ = √ → Giải  1–√ ~ – − (4 ) ~ – 1− arcsin2 x ~ x2  ℓ=4 = 4x2 ( ) ) lim 2) − arcsin → Giải ~ 1 +  + (arcsin x)2 ~ + ~ ! + x3 sin x ~ x4  u ~ + x4 ⎯⎯ 1, v ~ → ⎯⎯ →  ⎯⎯ v(u – 1) ~ →  ℓ= Liên tục − ≤ liên tục ℝ + > 5.1 Tìm A để f(x) = Giải  x1: f(x) = x + A liên tục  a = 1, f(1) = f(1–0) = lim (x2 – 1) = = f(1) → f(1+0) = lim (x + A) = + A → Hàm f liên tục  = + A  A = –1  Vậy A = –1 hàm f liên tục tập ℝ | | 5.2 Khảo sát tính liên tục f(x) = ≠ ±1 − = ±1 Giải  Với a  1, f(x) = | | HSC liên tục  Xét a = –1 = f(x) = lim → ( ) = lim → = − = f(–1) Hàm f liên tục  Xét a = f(x) = =− lim ( ) = lim − → → = − = f(1) Hàm f liên tục  5.3 Tính chất hàm liên tục 1) Cho f : ℝ  ℝ liên tục cho f(x)  ℚ CMR f(x) = const Giải  Phản chứng :  x < y  ℝ f(x) < f(y)   f(x) <   ℝ – ℚ < f(y)   x < c < y : f(c) =  ! 2) Cho f : ℝ  ℝ liên tục bị chặn CMR f(x) = 2x có nghiệm Giải   m, M :  x  ℝ, m  f(x)  M  g(x) = f(x) – 2x liên tục tập ℝ g( ) = f( ) – m–m0 g( ) = f( ) – M–M0  Theo  c : g(c) = f(c) – 2.c = Phân loại điểm gián đoạn 5.4 ( 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = ) ( ) ( ) Giải 1)  D(f) : x   a= + k + k t = x – ( + k)   x=t+ + k sin 2x = sin(2t +  + k2) = – sin 2t + k) = – sin(t + k) = (–1)k+1 sin t cos x = cos (t + f(x) = → ( = ) ( → – ) Điểm a gián đoạn loại 3)  D(f) : x  + k  4x – 5 = Xét a = t=x–  x= ,k=1 +  0 x=t+ (4x – 5)2 = 16t2 – sin 2x = – sin(2t + f(x) = → Điểm a = → = ) = – cos 2t → =8 gián đoạn bỏ qua = 2(–1)k  Xét b = + k, k  f(x) =  → Điểm b = + k, k  gián đoạn loại