bài 1 công thức giải tích tổ hợp

Quy tắc cộng Nếu một công việc được chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có n1 cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n2 cách thực hiện xong công việc, … , trường hợ

§1 CÔNG THỨC GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1 Quy tắc cộng

Nếu một công việc được chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1

có n1 cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n2 cách thực hiện xong công việc, … , trường hợp k có nk cách thực hiện xong công việc và không có bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n1 + n2 + … + nk cách thực hiện xong công việc

2 Quy tắc nhân

Nếu một công việc được chia làm k giai đoạn để thực hiện, giai đoạn 1 có

n1 cách thực hiện xong công việc, giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện xong công việc, … , giai đoạn k có nk cách thực hiện xong công việc và không có bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n1 n2 … nk cách thực hiện xong công việc

Ví du 1 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập

từ tập A trong các trường hợp sau:

a) Số ngàn có các chữ số khác nhau

b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn

c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẽ

1.2 Hoán vị

Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là P n n!

Ví dụ 2 Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ

Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:

a) Ngồi tùy ý

b) M ngồi ở đầu bàn

c) M và N ngồi cạnh nhau

d) M và N ngồi ở hai đầu bàn

e) M và N không ngồi cạnh nhau

1.3 Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho

Số các chỉnh hợp chập k lấy từ n phần tử kí hiệu là A và được xác định: n k

! ( )!

k n

n A

n k





Ví dụ 3 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp

đó ra 4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ và thủ quỷ Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau:

a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ

b) Lớp trưởng phải là nữ

c) Có đúng một nữ

d) Có ít nhất một nữ

1.4 Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử

đã cho, kí hiệu là !

!( )!

k n

n C

k n k





Ví dụ 4 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra

5 sinh viên Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau

a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

Ví dụ 5 Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng Lấy từ hộp ra 9 bi Hỏi có bao

nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau

a) Có màu tùy ý

b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng

c) Có 2 bi xanh

d) Có nhiều nhất 2 bi xanh

Ví dụ 6 Có hai hộp bi Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ

Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trường hợp sau

a) Có màu tùy ý

b) Có 1 bi xanh

c) Có nhiều nhất 1 bi xanh

§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1 Phép thử và biến cố

1 Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác

định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được

gọi là một biến cố

Ví dụ Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Các biến

cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2 Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

không quá 6” là biến cố chắc chắn

3 Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn

hơn 6” là biến cố không thể

4 Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực

hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một

biến cố ngẫu nhiên

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm”

5 Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B là biến cố xác định bởi

A + B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra

(Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra)

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1 + A2 +…+ An xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra

Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số

chấm không quá 3” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lẽ”, ta có:

A = A1 + A2 + A3

B = A1 + A3 + A5

6 Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:

AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1A2…An xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra

Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5

C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5

Ta có: AB = A6 và ABC = Φ

7 Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới

dạng tổng của hai biến cố khác

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia đươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó,

ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A Như vậy, mọi biến cố sơ

cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j =

1,2,…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ Khi đó:

A = A1 + A3 + A5

Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5

8 Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = , nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt 1 chấm

C : Xuất hiện mặt có số không quá 2

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2)

9 Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi A xảy ra khi và

chỉ khi A không xảy ra

Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một

và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử

Các ví dụ

1) Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A

2) Tung đồng xu, xét các biến cố

A: Đồng xu xuất hiện mặt sấp

B: Đồng xu xuất hiện mặt ngửa

Khi đó A, B là hai biến cố đối lập

3) Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy từ hộp ra 3 bi, xét các biến cố

A: Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh

B: Ba bi lấy ra là ba bi đỏ

Khi đó A, B là hai biến cố đối lập

C: Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh

D: Ba bi lấy ra là ba bi xanh

Khi đó C, D là hai biến cố đối lập

10 Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi

thực hiện phép thử

Ví dụ 1 Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp

Aj (j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng

Ví dụ 2 Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 10 viên trong đó hộp thứ i có i + 2 bi đỏ còn lại

là bi xanh Lấy từ mỗi hộp ra 1 bi Gọi Ai là “Bi lấy từ hộp i là bi xanh”, i = 1,2

Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau

a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh

b) Hai bi lấy ra có một bi xanh

c) Hai bi lấy ra cùng màu

d) Hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh

Giải

a) Gọi A là hai bi lấy ra là hai bi xanh

Ta có : A = A1A2

b) Gọi B là hai bi lấy ra có một bi xanh

Ta có : BA A1 2A A1 2

c) Gọi C là hai bi lấy ra cùng màu

Ta có : C A A1 2A A1 2

d) Gọi D là hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh

Ta có : DA A1 2

2.2 Định nghĩa xác suất

Giả sử khi tiến hành một phép thử, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số

( ) m

P A

n



được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

Ví dụ 1 Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba bi Tính

các xác suất sau:

a) Ba bi lấy ra là ba bi xanh

b) Ba bi lấy ra có 1 bi xanh

c) Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh

d) Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh

Giải

a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”

3 6 3 10 ( ) C

P A

C



b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có 1 bi xanh”

1 2

6 4 3 10 ( ) C C

P B

C



c) Gọi C là “Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh”

3 1 2 2 1

4 6 4 6 4

3 10 ( ) C C C C C

P C

C



b) Gọi D là “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”

1 2 2 1 3

6 4 6 4 6

3 10 ( ) C C C C C

P D

C



Ví dụ 2 Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu

Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có:

a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu

b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu

Giải

Gọi Ai là “Có i sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra” (i = 0, 1, 2, 3)

a) Gọi A là “Có nhiều nhất 2 sản phẩm xấu” Ta có:

A = A0 + A1 + A2

Suy ra P A( )P A( 0)P A( )1 P A( 2)

b) Gọi B là “Có ít nhất 1 sản phẩm xấu” Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 3 sản phẩm chọn ra nên B = A0 Suy ra xác suất của B là P B( ) 1 P A( 0)

§3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất

1 Công thức cộng xác suất thứ nhất

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P( A ) = 1 − P(A)

Ví dụ 1 Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là

loại B Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm

a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A

b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A

Giải

a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A

Suy ra A là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B

5 14 5 20

P A

C



Mà P A( ) 1 P A( ) nên

5 14 5 20

P A

C

 

b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A

Suy ra B là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A

5 6 5 20

P B

C



Mà P B( ) 1 P B( ) nên

5 6 5 20

P A

C

 

2 Công thức cộng xác suất thứ hai

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) −P(AB)

Ví dụ 2 (CHKT2006) Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi

Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tính các xác suất sau

a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán

b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ

c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn

Giải

a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán"

Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50 20   30

100

b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ"

Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60 20   40

( ) 0, 4

100

c)

Cách 1

Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”

Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”

Khi đó

- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ

- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc ngoại ngữ Vì C, D không xung khắc nên

P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD)

Cách 2

Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”

Khi đó E  A B AB, vì A B AB, , xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất

P E P A P B P AB    

3.2 Công thức nhân xác suất

1 Xác suất có điều kiện

a Định nghĩa Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi

là xác suất có điều kiện của A đối với B Kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi

b Công thức

( )

P

  

 

 

+ P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra

+ P(B) là xác suất để B xảy ra

Ví dụ 1 Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi

đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu

Giải

Gọi A là sinh viên X thi đậu

Gọi B là sinh viên Y thi đậu

Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có điều kiện của A đối với B

( )

P

  

 

  , với

1

3

P AB  ; ( ) 2

3

P B 

Vậy 1 0,5

2

A

P

B

   

 

 

Ví dụ 2 Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:

- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ

- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4

- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4

Khi đó

- P(A/B) = 0

- P(A/C) = 2/4 = 0,5

- P(A/D) = 2/3

Nhận xét Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5 Do đó

P(A/B) < P(A);

P(A/C) = P(A);

P(A/D) > P(A)

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất

để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C

đã xảy ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2 Biến cố độc lập Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất hiện

của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại, thì ta

nói A độc lập với B

2 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi

1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)

Ví dụ Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 bi Trong đó hộp thứ i có i bi đỏ, 10 – i bi

xanh (i = 1, 2, 3) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi Tính các xác suất sau: a) Ba bi lấy ra là ba bi đỏ

b) Ba bi lấy có một bi xanh

c) Bi lấy ra từ hộp hai là xanh, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh

Giải

Gọi Ai là “Bi lấy từ hộp i là bi đỏ” (i = 1, 2, 3)

Ta có ( 1) 1 ;

10

P A  ( 2) 2 ;

10

P A  ( 3) 3 ;

10

P A 

1

9

10

P A  ( 2) 8 ;

10

P A  ( 3) 7 ;

10

P A 

a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là ba bi đỏ”

Ta có AA A A1 2 3

Suy ra P A( ) P A P A P A( 1) ( 2) ( 3)

b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có một bi xanh”

1 2 3 1 2 3 1 2 3

B A A A A A A A A A

Suy ra P B( )P A P A P A( ) (1 2) ( 3)P A P A P A( ) (1 2) ( 3)P A P A P A( ) (1 2) ( 3)

c) Tính xác suất có điều kiện

2

( )

P A B

A

P

  , với P A B( 2 )P A A A( 1 2 3)

3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1)

Chẳng hạn:

P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu

Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào lấy ra được

3 sản phẩm tốt thì dừng lại

a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3

b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu

Giải

Gọi Ai, Bi lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt xấu ở lần kiểm tra thứ i a) Gọi A là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3"

Ta có : AA A A1 2 3, suy ra P A( ) P A A A( 1 2 3) P A P A( 1) ( 2/A P A1) ( 3/A A1 2)

6 5 4

0,1667

10 9 8

   

b) Gọi B là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4"

Ta có : BB A A A1 2 3 4A B A A1 2 3 4A A B A1 2 3 4

Suy ra P B( ) P B A A A( 1 2 3 4) P A B A A( 1 2 3 4) P A A B A( 1 2 3 4)  0, 2857

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Khi đó biến cố B đã xảy ra Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu chính là xác suất có điều kiện 3

3

( ) ( / )

( )

P B B

P B B

P B

Mà B B3  A A B A1 2 3 4, do đó

3 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3

P B B P A A B A P A P A A P B A A P A A A B 

Suy ra P B( 3/ )B  0,3333