tổng hợp kiến thức giải tích tổ hợp đầy đủ nhất

Bổ túc Giải tích Tổ hợp TẬP HỢP: Tập hợp nhóm đối tượng có chung số tính chất định Mỗi đối tượng thuộc tập hợp gọi phần tử tập hợp Các ví dụ tập hợp: - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp N số tự nhiên - Tập hợp R số thực Muốn xác định tãp hợp, dùng hai cách: a) Liệt kê phần tử nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} tập hợp bốn chữ bảng chữ tiếng Việt b) Chỉ đặc tính đặc trưng cho phần tử tập hợp Thí dụ: tập hợp số thực thỏa mãn tính chất Tập hợp có số phần tử hữu hạn gọi tập hợp hữu hạn Còn tập hợp có số phần tử vô hạn gọi tập hợp vô hạn Tập hợp vô hạn chia làm hai loại: - Tập hợp vô hạn đếm Thí dụ: tập hợp tất số nguyên dương: 1, 2, 3, … - Tập hợp vô hạn không đếm Thí dụ: tập hợp tất điểm đường thẳng, tập hợp tất số thực khoảng (0, 2) tập hợp không đếm QUY TẮC NHÂN: Quy tắc nhân phát biểu sau: Một công việc chia làm hai giai đoạn, có n1 cách hoàn thành giai đoạn I có n2 cách hoàn thành giai đoạn II Khi có tất cả: n = n1.n2 cách hoàn thành công việc Thí dụ: Ta muốn từ vị trí A đến vị trí B Trên đường ta muốn ghé qua vị trí C Có cách từ A đến C có cách từ C tới B Ki ta có tất n = 2.3 = cách khác từ A đến B Một cách tổng quát, ta phát biểu quy tắc nhân: Giả sử công việc chia làm k giai đoạn có n1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I, có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II,…, có nk cách hoàn thành giai đoạn cuối Khi có tất cả: cách hoàn thành công việc CHỈNH HỢP: 3.1 Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử ( chọn từ n phần tử cho ) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác Thí dụ: cho ba phần tử 2,3,5 Các chỉnh hợp chập phần tử là: 23, 25, 32, 35, 52, 53 Như từ n phần tử ta tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác Chỉnh hợp khác chỉnh hợp có phần tử khác thứ tự xếp Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu là: 3.22 Công thức tính: (1.1) Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 3.3 Thí dụ: Mỗi lớp phải học môn, ngày học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày Giải: Vì cách xếp thời khóa biểu ngày việc ghép môn số môn học Các cách môn khác thứ tự xếp trước sau hai môn Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập từ phần tử Do có tất cả: cách CHỈNH HỢP LẶP: 4.1 – Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho, phần tử có mặt 1, 2, …, k lần nhóm tạo thành Vì phần tử xuất nhiều lần chỉnh hợp lặp, nên k lớn n Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, Các chỉnh hợp lặp chập ba phần tử là: 22 23 25 32 33 35 52 53 55 Số chỉnh lặp chập k n phần tử ký hiệu là: 4.2 – Công thức tính: Ta thành lập công thức tổng quát để tính Muốn ta lập luận sau: để có chỉnh hợp lặp chập k ta chọn phần tử thứ theo n cách Phần tử thứ hai có n cách chọn … phần tử thứ k có n cách chọn ( phần tử chọn lại nhiều lần) Vì theo quy tắc nhân ta có: n n … n = cách thành lập chỉnh hợp lặp chập h khác từ n phần tử cho Do đó: (1.3) 4.3 Thí dụ: Để đăng ký loại máy người ta dùng số số … … Hỏi đánh số máy Giải: Ở số máy chỉnh hợp lặp chập từ phần tử cho Vậy đánh số được: máy HOÁN VỊ: 5.1 – Định nghĩa: Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho Số hoán vị n phần tử ký hiệu 5.2 – Công thức tính: Theo định nghĩa ta thấy hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp phần tử mà Một hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Do đó: Vậy (1.4) 5.3 Thí dụ: Một bàn có học sinh ngồi Hỏi có cách xếp chỗ ngồi? Ta thấy cách xếp chỗ cho học sinh hoán vị phần tử Do số cách xếp là: cách TỔ HỢP: 6.1 – Định nghĩa: Tổ chập k n phần tử ( ) nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu 6.2 – Công thức tính: Từ định nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp chỉnh hợp (không lặp) Nhưng chỉnh hợp khác thứ tự xếp phần tử coi tổ hợp mà Giả sử từ n phần tử ta thành lập tổ hợp chập k khác Ta đem hoán vị phần tử tổ hợp tổ hợp tạo k! chỉnh hợp, mà ta có tất tổ hợp Vậy ta có đẳng thức: 6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với theo thể thức vòng tròn lượt (tức hai đội mười đội bóng phải thi đấu với trận) Hỏi phải tổ chức trận đấu Giải: Ta thấy trận đấu hai đội bóng tổ hợp chập 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với không cần phân biệt thứ tự) Do số trận đấu cần tổ chức là: 6.4 – Các tính chất tổ hợp: 1) Chứng 2) 3) minh: CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: Nhị thức Newton lũy thừa bậc nguyên dương tổng hai số hạng b số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, … a, ... nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp chỉnh hợp (không lặp) Nhưng chỉnh hợp khác thứ tự xếp phần tử coi tổ hợp mà Giả sử từ n phần tử ta thành lập tổ hợp chập k khác Ta đem hoán vị phần tử tổ hợp tổ hợp tạo... TỔ HỢP: 6.1 – Định nghĩa: Tổ chập k n phần tử ( ) nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu 6.2 – Công thức tính: Từ định nghĩa tổ. .. chỉnh hợp, mà ta có tất tổ hợp Vậy ta có đẳng thức: 6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với theo thể thức vòng tròn lượt (tức hai đội mười đội bóng phải thi đấu với trận) Hỏi phải tổ chức