(Luận văn thạc sĩ) một số định lý cơ bản của phép tính vi phân và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ KIM HUỆ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ h ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ KIM HUỆ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP h Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Tính liên tục hàm số 1.2 Tính khả vi hàm số Một số định lý phép tính vi phân Định lý Fermat 2.2 Định lý Rolle 10 2.3 Định lý Lagrange 11 2.4 Định lý Cauchy 14 2.5 Định lý L’Hospital 15 2.6 Định lý Darboux 16 2.7 Định lý Taylor 17 h 2.1 Ứng dụng giải toán sơ cấp 20 3.1 Chứng minh đẳng thức toán giới hạn 20 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 27 3.3 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số, biểu thức 41 3.4 Giải phương trình, bất phương trình 52 3.5 Một số toán thi học sinh giỏi, olympic toán học 57 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 i Mở đầu Các định lý phép tính vi phân đóng vai trị quan trọng tảng giải tích tốn học Chúng dùng để chứng minh nhiều định lý khác giải tích có nhiều ứng dụng việc giải số dạng toán sơ cấp h Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống định lý phép tính vi phân, bao gồm định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, định lý L’Hospital, định lý Darboux, định lý Taylor số ứng dụng chúng việc giải số toán sơ cấp chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, toán giới hạn, tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số, giải phương trình bất phương trình Luận văn giới thiệu số toán thi chọn học sinh giỏi olympic toán học cấp Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu định lý phép tính vi phân ứng dụng chúng giải tốn sơ cấp Luận văn hồn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Tơi xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô trực tiếp giảng dạy chương trình đào tạo cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp khoá 22 Trường Đại học Quy Nhơn Cuối bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân đồng nghiệp ủng hộ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt chương trình đào tạo cao học Mặc dù cố gắng thời gian lực hạn chế nên luận văn trách khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2021 Học viên Đỗ Thị Kim Huệ Chương Kiến thức sở 1.1 Tính liên tục hàm số Trong mục này, tài liệu sử dụng [2] Định nghĩa 1.1 Cho f hàm số xác định tập D Ă R Ta nói • f liên tục x0 P D h @ε ą 0, Dδ “ δpq ą 0, @x P D, |x ´ x0 | ă δ ñ |f pxq ´ f px0 q| ă ε • f liên tục pa, bq Ă D f liên tục x P pa, bq Chú ý 1.1 Từ định nghĩa ta rút số lưu ý quan trọng sau: • Trong định nghĩa giới hạn hàm số lim f pxq, ta khơng địi hỏif xác định x0 xĐx0 f xác định x0 giá trị f px0 q khơng ảnh hưởng đến giới hạn mà bị chi phối giá trị f điểm gần với x0 Tuy nhiên, trường hợp hàm số liên tục, giá trị f điểm gần với x0 yêu cầu f phải xác định x0 giá trị f px0 q có ý nghĩa định • Nếu x0 P D điểm giới hạn f liên tục x0 lim f pxq “ f px0 q xĐx0 • Như nói f khơng liên tục x0 có nghĩa x0 điểm giới hạn D (vì điểm lập D hàm f ln liên tục) Khi không tồn lim f pxq, giới hạn tồn khơng f px0 q Nói cách khác xÑx0 Dε ą 0, @δ ą 0, Dxδ P D : |xδ ´ x0 | ă δ ñ |f pxδ q ´ f px0 q| ě ε Ví dụ 1.1 Hàm số f pxq “ ln x liên tục x ą Lời giải Cố định x0 ą Khi với ε ą 0, xét δ “ x0 peε ´ 1q ą Với x P p0, δq ta có ˇ ˇ ˇ xˇ ˇ ´x ¯ˇ ˇ ´ x ´ x ¯ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ´ ` ˇ “ ˇ ln `1 ˇ ˇ ln x ´ ln x0 ˇ “ ˇ ln ˇ “ ˇ ln x0 x0 x0 ˇ ´δ ˇ ¯ˇ ˇ ´ x peε ´ 1q ¯ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ εˇ ă ˇ ln ` ˇ “ ˇ ln ` ˇ “ ˇ ln e ˇ “ ε x0 x0 Suy lim ln x “ ln x0 , tức ln x liên tục x0 xÑx0 Định nghĩa 1.2 Cho f hàm số xác định ra, bs Ă R Ta nói • f liên tục trái b lim´ f pxq “ f pbq; xÑb • f liên tuc phải a lim` f pxq “ f paq; xĐa • f liên tục ra, bs f liên tục pa, bq, liên tục phải a liên tục trái b h Định lý 1.1 Cho hàm số f xác định pa, bq x0 P pa, bq Khi đó, f liên tục x0 f liên tục trái liên tục phải x0 Định nghĩa 1.3 Cho f hàm số xác định D Ă R Ta nói f gián đoạn c P D f không liên tục c Điểm c gọi điểm gián đoạn f Định lý 1.2 Nếu hàm số f g liên tục x0 P D hm s f ` g, f ă g f liờn tục x0 Hơn nữa, gpx0 q ‰ liên tục g Định lý 1.3 (Tính liên tục hàm hợp) Nếu hàm số f liên tục x0 P Df g liên tục y0 “ f px0 q P Ef Ă Dg hàm số g ˝ f liên tục x0 Định lý 1.4 (Định lý ổn định dấu) Giả sử f liên tục x0 P D f px0 q ą (tương ứng f px0 q ă Khi tồn khoảng I chứa x0 cho với x P pD X Iq ta có f pxq ą (tương ứng f pxq ă 0q Định nghĩa 1.4 Cho f hàm số xác định tập D Ă R Ta nói f liên tục D @ε ą 0, Dδ “ δpq ą 0, @x, y P D, |x ´ y| ă δ ñ |f pxq ´ f pyq| ă ε Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số f xác định D Ă R x0 P D • x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng pa; bq P D chứa điểm x0 cho f pxq ă f px0 q, @x P pa; bqztx0 u Khi f px0 q gọi giá trị cực đại hàm số f • x0 gọi điểm cực tiểu hàm sốf tồn khoảng pa; bq P D chứa điểm x0 cho f pxq ą f px0 q, @x P pa; bqztx0 u Khi f px0 q gọi giá trị cực tiểu hàm s ố f Chú ý 1.2 • Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f px0 q hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D • Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) (f px0 q) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D; f px0 q giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng pa; bq chứa x0 • Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm px0 ; f px0 qq gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Định nghĩa 1.6 Giả sử hàm số f xác định D Ă R h # f pxq ě m, @x P D Dx0 P D; f px0 q “ m # f pxq ď M, @x P D Dx0 P D; f px0 q “ M • Số m giá trị nhỏ hàm số f D Kí hiệu: m “ f pxq D • Số M giá trị lớn hàm số f D ô Kí hiệu: M “ max f pxq D Định lý 1.5 (Weierstrass - Tính bị chặn) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f bị chặn ra, bs Tức là, DA, B P R : A ď f pxq ď B, @x P ra, bs Định lý 1.6 (Weierstrass - Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ ra, bs Tức là, Dx1 , x2 P ra, bs : f px1 q ď f pxq ď f px2 q, @x P ra, bs Định lý 1.7 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs v f paq ă f pbq Khi tồn c P pa, bq để f pcq “ Định lý 1.8 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f nhận giá trị trung gian f paq f pbq Tức là, @C P rmintf paq, f pbqu, maxtf paq, f pbqus, Dc P ra, bs : f pcq “ C Định lý 1.9 Nếu hàm số f đơn điệu khoảng Ipa, bq tập hợp giá trị khoảng Ipm, M q f liên tục Ipa, bq Định lý 1.10 (Tính liên tục hàm số sơ cấp) Mọi hàm số cấp liên tục miền xác định chúng 1.2 Tính khả vi hàm số Trong mục này, tài liệu sử dụng [2] Định nghĩa 1.7 Cho hàm số y “ f pxq xác định pa, bq Cho x0 P pa, bq số gia ∆x đủ nhỏ cho x “ x0 ` ∆x P pa, bq Nếu tồn giới hạn f pxq ´ f px0 q f px0 ` ∆xq ´ f px0 q “ lim xÑx0 ∆xĐ0 ∆x x ´ x0 lim h ta nói f có đạo hàm x0 Giới hạn gọi đạo hàm hàm f x0 kí hiệu f px0 q Chú ý giới hạn phụ thuộc vào x0 nên f có đạo hàm x P D Ă pa, bq ta có hàm số f xác định D gọi đạo hàm hàm số f D Ví dụ 1.2 Tính đạo hàm hàm số f pxq “ x2 Lời giải Với x0 P R, ta có lim xÑx0 f pxq ´ f px0 q x2 ´ x20 “ lim “ lim px ` x0 q “ 2x0 xÑx0 x ´ x0 xÑx0 x ´ x0 Vậy f có đạo hàm x0 P R f px0 q “ 2x0 Định nghĩa 1.8 Hàm số xác định pa, bq gọi có đạo hàm phải x0 P pa, bq tồn giới hạn phải lim ` ∆xÑ0 f px0 ` ∆xq ´ f px0 q f pxq ´ f px0 q “ lim` ∆x x ´ x0 xÑx0 Ta gọi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 kí hiệu f`1 px0 q hay f px0 `q Định nghĩa 1.9 Hàm số xác định pa, bq gọi có đạo hàm trái x0 P pa, bq tồn giới hạn trái lim ´ ∆xÑ0 f px0 ` ∆xq ´ f px0 q f pxq ´ f px0 q “ lim´ ∆x x ´ x0 xÑx0 Ta gọi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 kí hiệu f´1 px0 q hay f px0 ´q Định lý 1.11 (Quan hệ đạo hàm đạo hàm phía) Hàm số f xác định pa, bq có đạo hàm x0 P pa, bq f có đạo hàm phía f´1 px0 q “ f`1 px0 q Hơn nữa, lúc f´1 px0 q “ f`1 px0 q “ f px0 q Chú ý 1.3 Từ định lý trên, ta rút số ý quan trọng sau • Nếu f khơng có hai đạo hàm trái phải có hai đạo hàm trái phải khơng x0 f khơng có đạo hàm x0 Trong trường hợp sau, điểm px0 , f px0 qq điểm góc đồ thị hàm số f • Nếu f có đạo hàm trái (phải) x0 f liên tục trái (phải) x0 ; f có đạo hàm trái phải x0 f liên tục x0 h Định lý 1.12 (Quan hệ đạo hàm tính liên tục) Nếu hàm số f có đạo hàm x P pa, bq f liên tục x Định lý 1.13 (Các phép toán) Giả sử hàm số f g có đạo hàm x0 Khi • Hàm f ` g có đạo hàm x0 pf ` gq1 px0 q “ f px0 q ` g px0 q; ã Hm f ă g cng cú o hm ti x0 v pf ă gq1 px0 q “ f px0 qgpx0 q ` f px0 qg px0 q; • Nếu gpx0 q ‰ hàm f có đạo hàm x0 g ´ f ¯1 g px0 q “ f px0 qgpx0 q ´ f px0 qg px0 q rgpx0 qs2 Định lý 1.14 (Định lý hàm hợp) Nếu g có đạo hàm x f có đạo hàm gpxq hàm hợp f ˝ g có đạo hàm x pf ˝ gq1 pxq “ f pgpxqqg pxq Định lý 1.15 (Đạo hàm hàm ngược) Cho f hàm đơn điệu nghiêm ngặt pa, bq có đạo hàm x P pa, bq với f pxq ‰ Khi đó, hàm ngược f ´1 hàm f có đạo hàm y “ f pxq pf ´1 q1 pf pxqq “ f pxq Định nghĩa 1.10 Cho hàm số y “ f pxq xác định pa; bq có đạo hàm x P pa; bq Giả sử x số gia x cho x ` ∆x P pa; bq Tích f pxq∆x (hay y ∆x) gọi vi phân hàm số y “ f pxq x ứng với số gia ∆x, kí hiệu df pxq hay dy Định lý 1.16 (Quan hệ đạo hàm vi phân) Hàm số f khả vi x f có đạo hàm x Định lý 1.17 (Các quy tắc tính vi phân) Giả sử hàm số f g khả vi x0 Khi • Hàm f ` g khả vi x0 dpf ` gqpx0 q “ df px0 q ` dgpx0 q; h • Hàm f ă g cng kh vi ti x0 v dpf gqpx0 q “ gpx0 qdf px0 q ` f px0 qdgpx0 q; • Nếu gpx0 q ‰ hàm f khả vi x0 g ´f ¯ gpx0 qdf px0 q ´ f px0 qdgpx0 q d px0 q “ g rgpx0 qs2 Định nghĩa 1.11 Cho hàm số f pxq có đạo hàm f pxq pa, bq Khi đó, đạo hàm hàm số f pxq x0 P pa, bq gọi đạo hàm cấp hai f x0 Kí hiệu: f px0 q “ pf q1 px0 q Tổng quát, đạo hàm cấp n f đạo hàm cấp hàm đạo hàm cấp pn ´ 1q f kí hiệu f pnq pxq Tức là, ta có f pnq “ pf pn´1q q1 pxq Định lý 1.18 (Quan hệ đạo hàm vi phân) Hàm số f khả vi cấp n x f có đạo hàm cấp n x