Phương pháp giải các dạng tích phân thường gặp Toán lớp 12

Phương pháp giải các dạng tích phân thường gặp Toán lớp 12 Dành cho học sinh luyện tập phần tích phân môn toán thường gặp Phương pháp giải các dạng tích phân thường gặp Toán lớp 12 Dành cho học sinh luyện tập phần tích phân môn toán thường gặp

1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Tính tích phân định nghĩa ,tính chất bảng nguyên hàm 2.Phƣơng pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  thì: b  b b  u ( x)v ' ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x)dx a a a b hay b  udv  uv a   vdu b a a Áp dụng công thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau:  Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv  uv dx cách chọn phần thích hợp ' f(x) làm u(x) phần lại dv  v ( x)dx '  Bước 2: Tính du  u dx v  ' b  Bước 3: Tính   dv  v ' ( x)dx b   b vdu  vu ' dx uv a a a  Bước 5: Áp dụng công thức  ln x dx (ĐH-KB-2009) (x  1) Ví dụ 5: a)Tính tích phân I    ln x dx ln x dx  3  dx 2 (x  1) (x  1) (x  1) 1 3 I dx 3 I1  3  (x  1) (x  1) 3  ln x dx (x  1) I2   Đặt u = lnx  du  dv  dx x 1 dx Chọn v  x 1 (x  1) I2   3 ln x dx ln dx dx ln 3       ln x  1 x(x  1) x x 1 2 Vậy : I  (1  ln 3)  ln e b) Tính  x ln xdx dx  du   u  ln x x Giải: Đặt   dv  xdx v  x  e e e x2 e2 x e e2  x ln xdx  ln x  xdx    1 2 4 1   Ví dụ 6: Tính tích phân sau:   a)  ln x dx x5 b)  x cos xdx  x c) xe dx d) 0  e x cos xdx dx  du  u  ln x   x Giải: a) Đặt  Do đó:  1 dv  dx  v   x5  4x4 ln x ln x dx ln   15  4ln dx           1 x5 x 4 1 x5 64  x  256 2 u  x du  dx  Do đó: dv  cos xdx v  sin x   b) Đặt        u  x du  dx  Do đó:  x x dv  e dx v  e    x cos xdx   x sin x   sin xdx   cos x   2 0 c)Đặt    xe x dx  xe x   e x dx  e  e x  e   e  1  u  e x du  e x dx  d) Đặt  dv  cos xdx v  sin x     2   e cos xdx  e sin x  e x sin xdx 0 x x u1  e x du1  e x dx  Đặt  dv  sin xdx  v1   cos x        e x cos xdx  e  e x cos x  e x cos xdx 0    e 1  e cos xdx  e   e cos xdx  0   x  x *Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b  b P( x)e x dx a  b P( x)ln xdx a  b  P( x)cos xdx a e x cos xdx a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng cơng thức tích phân phần làm để chọn u dv  v dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn ' u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v dx phần f(x)dx ' vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần:   Nếu tính tích phân  P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x Q(x)  ax hàm số: e , cos ax, sin ax ta thường đặt ' du  P ( x)dx  u  P( x)    dv  Q( x)dx v  Q( x)dx     Nếu tính tích phân  P( x)Q( x)dx mà P(x) đa thức x Q(x) hàm số  du  Q '  x  dx u  Q ( x )   ln(ax) ta đặt   dv  P( x)dx v  P( x)dx      Nếu tính tích phân I   e ax cos bxdx   J  eax sin bxdx  du  aeax dx u  e  ta đặt   dv  cos bxdx v  sin bx  b ax du  aeax dx u  e  đặt   dv  sin bxdx v   cos bx  b ax Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính Phƣơng pháp đổi biến số b Bài tốn: Tính I   f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí Nếu 1) Hàm x  u (t ) có đạo hàm liên tục đoạn  ; 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định  ; 3) u( )  a, u (  )  b ,  ,  ,  b I   f ( x)dx   f (u (t ))u ' (t )dt  a Ví dụ Hãy tính tích phân sau: I a ) Tính tích phân    cos  x  cos x.dx (ĐH-KA-2009)   b) I  x x  5dx c) J   sin x  1 cos xdx   0 Giải: a) I =  cos5 x.dx   cos x.dx    12 1   Ta có: I2 =  cos x.dx   (1  cos2x).dx =  x  sin 2x   2 20 0   0 Mặt khác xét I1 =  cos5 x.dx   cos4 x.cosx.dx   1  2sin x  sin x   =  (1  sin x) d(sin x)   sin x  5  15 2 Vậy I = I1 – I2 =    15  b) Ta có d x   3x dx  I   x 5  d  x3  5 d  x3  5 1 ( x  5) x3   d ( x3  5)   30 1   10 6  x dx 1 1  ( x3  5) x3    1  c) Ta có J  (sin x  1)d (sin x)   sin x  sin x   5 0  Ví dụ Hãy tính tích sau: a)   x dx b)  dx  x     Khi x = t = Khi x  t  ;  2  Từ x  2sin t  dx  2cos tdt Giải: a) Đặt x  2sin t , t     x dx    2    4sin t 2cos tdt  cos tdt   0     ;  Khi x  t  , x  t   2 dt Ta có: x  tan t  dx  cos2 t    4 dx dt  b) Đặt x  tan t , t       x    tan t cos t   dt  t 04  2 Chú ý: Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát như: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a  x , a  x x  a (trong a số dương) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là:  Với    a  x , đặt x  a sin t , t    ;   2 x  a cos t , t   0;    Với    a  x , đặt x  a tan t , t    ;   2 x  acott , t   0;  x  a , đặt x   Với x  a    , t    ;  \ 0 sin t  2 a   ; t   0;  \   cos t 2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u  u ( x) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  cho f ( x)dx  g (u( x))u ' ( x)dx  g (u )du I  b u (b) a u(a)  f ( x)dx   g (u)du Ví dụ 3: Tính I   x x  5dx Giải: Đặt u ( x)  x  Tacó u(0)  5, u(1)  6    2 10 Từ được: I  udu  u u  6  5  6 5 35 9 Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phương pháp đổi biến dạng II: e2 a)   x  1  dx b) x ln x e dx d)  2 dx (2 x  1)2 e)  cos(3x   c)  4x  dx x2  x  2 )dx 3 Giải: a) Đặt u  x  x  u  Khi x  u  Ta có du  2dx  dx   du Do đó:  u6  (3  1) = 60  x  1 dx  u du  21 12 12 b)Đặt u  ln x Khi x  e u  Khi x  e u  e  dx Ta có du   x e  dx du   ln u  ln  ln1  ln x ln x u c)Đặt u  x  x  Khi x  u  Khi x  u  Ta có du  (2 x  1)dx Do đó:  3 4x  2du dx   2ln u  2(ln  ln1)  2ln x2  x  u  d)Đặt u  x  Khi x  u  Khi x  u  Ta có du  2dx  dx   e)Đặt u  3x  du Do đó:  dx du 1      (  1)  (2 x  1)2 u 2u 3 2   2 4 Khi x  u  , x  u  3 3 Ta có du  3dx  dx  2   du Do đó: 4 4 cos(3x  2 1  4  )dx  cos udu  sin u   sin  sin   3 3 3 3  1 3     3 2  3.Phƣơng pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  thì: b  b b  u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x)dx a a a ' b hay b  udv  uv a   vdu a b a Áp dụng công thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau:  Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv  uv dx cách chọn phần thích hợp ' f(x) làm u(x) phần lại dv  v ( x)dx '  Bước 2: Tính du  u dx v  ' b  Bước 3: Tính   dv  v ' ( x)dx b   b vdu  vu ' dx uv a a a  Bước 5: Áp dụng công thức  ln x dx (ĐH-KB-2009) (x  1) Ví dụ 5: a)Tính tích phân I    ln x dx ln x dx  3  dx 2 (x  1) (x  1) (x  1) 1 3 I dx 3 I1  3  (x  1) (x  1) 3  ln x dx (x  1) I2   Đặt u = lnx  du  dv  dx x 1 dx Chọn v  x 1 (x  1) 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2         ln x  1 x(x  1) x x 1 4 Vậy : I  (1  ln 3)  ln e b) Tính  x ln xdx dx  du   u  ln x x Giải: Đặt   dv  xdx v  x  e e e x2 e2 x e e2  x ln xdx  ln x  xdx    1 2 4 1   Ví dụ 6: Tính tích phân sau: 10   a)  ln x dx x5 b)   x c) xe dx x cos xdx d) 0  e x cos xdx dx  du  u  ln x   x Giải: a) Đặt  Do đó:   1 dv  dx  v   x5  4x4 ln x ln x dx ln   15  4ln 1 x5 dx   x4  1 x5   64    x4   256 2 u  x du  dx Do đó:  dv  cos xdx v  sin x b) Đặt          x cos xdx   x sin x   sin xdx   cos x   2 0 u  x du  dx Do đó:   x x dv  e dx v  e   c)Đặt   xe x dx  xe x   e x dx  e  e x  e   e  1  u  e x du  e x dx  d) Đặt  dv  cos xdx  v  sin x     2   e cos xdx  e sin x  e x sin xdx 0 x x u1  e x du1  e x dx  Đặt  dv1  sin xdx v1   cos x        e cos xdx  e  e cos x  e x cos xdx 0 x x 12 du  aeax dx u  e  ta đặt   dv  cos bxdx v  sin bx  b ax du  aeax dx u  e  đặt   dv  sin bxdx v   cos bx  b ax hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:  I   dx ax  bx  c  a  0 (trong ax  bx  c  với x   ;   ) Xét   b2  4ac  +)Nếu   I   a x  b  dx    tính  2a    dx +)Nếu   I  , a   x  x1  x  x2  (trong x1  I  b   b   ) ; x2  2a 2a x  x1  ln a  x1  x2  x  x2    dx  +) Nếu   I  ax  bx  c     dx 2  b      a  x       a a       13 Đặt x  b    tgt  dx   tg 2t  dt , ta tính I 2  2a 4a a  b) Tính tích phân: I    (trong f ( x)  mx  n dx, ax  bx  c  a  0 mx  n liên tục đoạn  ;   ) ax  bx  c +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx  n A(2ax  b) B   ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c  +)Ta có I=     Tích phân    Tích phân  mx  n A(2ax  b) B dx  dx   ax  bx  c  ax  bx  c dx ax  bx  c   A(2ax  b) dx = Aln ax  bx  c ax  bx  c   dx tính ax  bx  c b c) Tính tích phân I   a P( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q( x)  Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 , , , n đặt An A1 A2 P( x)     Q( x) x  1 x   x  n   + Khi Q( x)   x    x  px  q ,   p  4q  đặt 2 P( x) A Bx  C   Q( x) x   x  px  q 14 + Khi Q( x)   x    x    với    đặt A P( x) B C    Q( x) x   x    x    Ví dụ Tính tích phân:  x  11 dx x2  5x  Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho: A  x  5 x  11 B   , x  x2  5x  x2  5x  x2  5x   Ax   A  B  x  11  , x  x2  5x  x2  5x  \ 3; 2 \ 3; 2 2 A  A    5 A  B  11  B  Vậy  x  5 x  11   , x  x2  5x  x  5x  x  5x  Do  \ 3; 2 x  11 2x  dx dx  dx  x2  5x  x2  5x  x2  5x  0  2ln x  x    x2  ln  ln x3 Cách Vì x  x    x   x  3 nên ta tính tích phân cách: Tìm A, B cho: x  11 A B   , x  x2  5x  x  x   \ 3; 2  A  B  x  A  B , x  x  11  x2  5x  x2  5x  A  B  A    3 A  B  11  B  \ 3; 2 15 Vậy x  11   , x  x2  5x  x  x  Do  \ 3; 2 x  11 dx dx dx   x2  5x  x2 x3   3ln x  Ví dụ 8:Tính tích phân:   1  ln x   ln 0 dx x  x 1 Giải: Do   dx dx  x2  x   1 x   2  Đặt x  3     tan t , t   ;   dx   tan t  dt  2 6 3  Vậy  dx  x2  x      tan t dt   33  dt  t 3  (1  tan t )  Ví dụ Tính tích phân:  x3 dx x2  Giải:  2 x x   dx  x    dx  xdx  x2  x       xdx x2  1 x2 1   ln x    ln 2 0 Tích phân hàm lƣợng giác     16 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân Ví dụ 10: Hãy tính tích phân sau:  a) J   sin 2x sin xdx ;    b) K   cos x(sin x  cos x)dx ;   4sin x c) M  dx  cos x Giải a) J    2     1 1 cos5 xdx  cos9 xdx  sin x  sin x   18  45   10     2 2  b) Ta có cos x(sin x  cos x)  cos x  sin x  cos x 4 2   2sin x cos x        cos x 1  sin 2 x   cos x 1  1  cos x    cos x  cos x cos x      cos x   cos5 x  cos3x      2 2     1 K  cos x(sin x  cos x)dx  cos xdx  cos5 xdx  co3xdx 40 80 80    1 1 11  sin x  sin x  sin x     40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1  cos x)sin x    4(1  cos x)sin x c)  cos x  cos x  cos x  M  17 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính I   dx asinx  b cos x  c Phƣơng pháp: Đặt t  tan x 2dt  dx  1 t2 1 t2 2t Ta có: sin x  cos x  1 t2 1 t2 I  dx  asinx  b cos x  c  2dt biết cách tính  c  b  t  2at  b  c Ví dụ 11 Tính  Giải: Đặt t  tg x 1 x 2dt  dt  1  tan  dx   dx 2 2 1 t2  dx 4cos x  3sin x  2dt dx dt 1 t2   1 t2 2t cos x  3sin x  t  3t  3 3 1 t2 1 t2   x tan  t 1  ln  C  ln C x t2 tan  2 2.2.2 Tính I   dx a sin x  b sin x cos x  c cos x  d Phƣơng pháp: I   dx  a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos x dx cos x   a  d  tan x  b tan x   c  d   Đặt t  tgx  dt  dx I  cos2 x  dt tính  a  d  t  bt   c  d  18 Ví dụ 12 Tính: I   dx sin x  2sin x cos x  3cos x dx dx cos x Giải:Ta có I   sin x  2sin x cos x  3cos x tg x  2tgx    Đặt t  tgx  dt  I   Tính I  dt  t  2t    dx cos2 x dt t 1 tgx   ln  C  ln  C 2.2.3 t  t  t  tgx     m sin x  n cos x  p dx a sin x  b cos x  c Phƣơng pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x +) Vậy I   m sin x  n cos x  p dx = a sin x  b cos x  c = A dx  B  a cos x  b sin x dx dx  C  a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c Tích phân  dx Tích phân a cos x  b sin x  a sin x  b cos x  c dx  ln a sin x  b cos x  c  C tính dx Tích phân  a sin x  b cos x  c tính Ví dụ 13 Tính: I   cos x  2sin x dx 4cos x  3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho: cos x  2sin x  A  4cos x  3sin x   B  4sin x  3cos x  , x cos x  2sin x   A  3B  cos x   A  4B  sin x, x 19  A    A  3B    3 A  B  B     4sin x  3cos x  I   dx  x  ln 4cos x  3sin x  C 5  5 4cos x  3sin x   2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa tích phân hàm lượng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng  R sin x,cos x  dx , với R sin x,cos x hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân  Trường hợp chung: Đặt t  tan x 2dt  dx  1 t2 2t 1 t2 ;cos x  Ta có sin x  1 t2 1 t2  Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R  sin x,cos x  hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa R   sin x,  cos x   R sin x,cos x  đặt t  tgx t  cot gx , sau đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R  sin x,cos x  hàm số lẻ sinx nghĩa là: R   sin x,cos x    R sin x,cos x  đặt t  cos x +) Nếu R  sin x,cos x  hàm số lẻ cosx nghĩa là: R  sin x,  cos x    R sin x,cos x  đặt t  sin x 3.Tích phân hàm vơ tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vơ tỉ 20 Ví dụ 14 Tính tích phân: I   dx x 1  x Giải I  dx  x 1  x   Ví dụ 15:Tính tích phân  x Giải:  x  3 2 1 2 x   x dx   x  1  x   2  3 0 x3dx  x2 x3dx  x2   ( x3  x  x )dx  2 1 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t toàn thức Viết biểu thức dạng bình phương I   x  x dx Ví dụ 15:Tính Giải: I x  x dx   x  x xdx 0 2 2 Đặt t=  x  t   x  x   t Ta có: xdx=-tdt, Khi x= t =1,khi x = t =0 Vậy  t3 t5  2 I    (1  t )t dt        15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 