Toán cao cấp chính là môn toán nhưng được giảng dạy với trình độ được nâng cao lên nhiều lần so với toán học phổ thông mà bạn đã được dạy. Toán cao cấp chỉ dành cho những đối tượng là sinh viên, cao đẳng đã đậu qua các kì thi tuyển sinh chính quy. Môn học này dựa trên những kiến thức căn bản của toán phổ thông, như là hình học không gian, lượng giác, xác xuất thông kê mà bạn đã được học trước đó, nhưng được nâng cấp lên một tâm cao khác, khó hơn. Chính vì thế mà nó được gọi là toán cao cấp.
Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ LIVE: TOÁN CAO CẤP – GT1 CHƯƠNG VI: NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ + LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ Tích phân hàm số hữu tỉ đơn giản I: A x − a dx = A ln x − a + c II: A ( x − a) k dx = A +c − k ( x − a ) k −1 p p2 Mx + N III: dx → x + px + q = x + + q − 2 x + px + q IV: (x Mx + N + px + q ) k dx : Tương tự III p4 = a2 q − III-IV -> Đặt x + p = t dx = dt 2 Tích phân hàm số hữu tỉ +) Dạng tổng quát hàm hữu tỉ: y = f (x) = Pn (x) Qm (x) Với Pn (x), Qn (x) đa thức bậc n, m không nghiệm chung +) n m → hàm hữu tỉ khơng thực → phân tích thành tổng đa thức hàm cách chia tử cho mẫu _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ +) Ta xét n < m: hàm hữu tỉ thật → Ta tiến hành phân tích y = = A1 ( x − a) α + A2 ( x − a) α −1 + + Pn (x) Qm (x) Aα B1x + C1 + + ( x − a) x + px + q ( B2 x + C + ) (x β + px + q ) β −1 + + Bβ x + C β x + px + q Trong A1, A2 ,B1, B2 ,C1, C2, gọi hệ số bất định, ta tìm cách quy đồng hai vế đồng hệ số hai vế IV TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng I = R ( sinx,cosx ) dx a) Trường hợp chung: Đặt tan +) x = 2arctant dx = +) sinx = x =t 2dt 1+ t2 2t 1− t2 , cosx = 1+ t2 1+ t2 b) Các trường hợp đặc biệt: • R ( sinx,cosx ) = −R ( −sinx,cosx ) Đặt t = cosx • R ( sinx,cosx ) = − R ( sinx, −cosx ) Đặt t = sinx • R ( sinx,cosx ) = R ( −sinx, −cosx ) Đặt t = tan x Dạng 2: I = sinaxcosbxdx , sinaxsinbxdx, cosaxcosbxdx sin ( a + b ) x + sin ( a − b ) x 2 cosaxcosbx = cos ( a + b ) x + cos ( a − b ) x sinaxsinbx = cos ( a − b ) x − cos ( a + b ) x sinaxcosbx = → Dùng công thức: _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ V DẠNG MỞ RỘNG ( ) Dạng: R e x dx +) Đặt e x = t x = lnt,dt = e x dx = t dx dx = → I = R (t ) dt t dt tích phân hàm hữu tỉ t t Dạng: R ( shx,chx ) dx shx = ex − e−x ex + e−x ;chx = Tương tự dạng R e x 2 ( ) B BÀI TẬP Bài 1: Tính tích phân sau: a) x dx x + 3x + 2 b) (x dx + 2x + ) c) x+2 x − 5x + dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Bài 2: Tính tích phân sau: a) sinx − cosx + dx + sinx + cosx b) dx sinxcos x c) dx cosx sin2 x d) sinxsin ( x + y ) dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ Bài 3: Tính tích phân sau: a) e 2x dx + ex b) shx ch2x dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ Bài 4: Tính tích phân sau: a) b) ( 2x + 1) dx ( x + 2)( x + 3) x2 ( x + 1) ( x ) +1 dx c) x2 + dx x3 + x d) dx (x + 2)2 (x + 3)2 e) x5 + x4 − dx x − 4x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ HẾT _ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường