Lý thuyết + vdmh phương trình mũ, phương trình logarit

HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp PHƯƠNG TRÌNH MŨ HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương trình mũ a x = b , ( a  0, a  1) ➢ Nếu b  phương trình ax = b  x = log a b ➢ Nếu b  phương trình a x = b vơ nghiệm Phương trình đưa số ➢ Cách giải: f x g x Sử dụng tính chất a ( ) = a ( )  f ( x ) = g ( x ) (  a  1) t = a ( )  g x Phương pháp đặt ẩn phụ: với  a  , f  a ( )  =     f t = ( )  f x ➢ Đặt t = a ( ) , t  đưa phương trình ( 1) dạng phương trình bậc 2: mt + nt + p = ➢ Giải phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t  f x ➢ Sau vào phương trình t = a ( ) tìm nghiệm x f x f x f x f x ➢ Dạng 2: m.a ( ) + n.b ( ) + p = , a.b = Đặt t = a ( ) , t  suy b ( ) = t ➢ Dạng 3: m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x) = Chia hai vế cho b f ( x) a đặt   b f ( x) =t 0 Phương pháp logarit hóa  f ( x )  g x ➢ Dạng 1: a ( ) = f ( x )   với  a   g ( x ) = log a f ( x ) f x g x f x g x ➢ Dạng 2: a ( ) = b ( )  log a a ( ) = log a b ( )  f ( x ) = g ( x ) log a b Phương pháp hàm số ➢ Định nghĩa ➢ Hàm số f gọi đồng biến K u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) ➢ Hàm số f gọi nghịch biến ( a; b ) HQ MATHS – 0827.360.796 – 2f x f x ➢ Dạng 1: Phương trình có dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p = (1) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp g x u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) ➢ Định lí, tính chất ➢ Định lí Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) ( ) Nếu f  ( x )  f  ( x )  x  ( a; b ) f  ( x ) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) ➢ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm khoảng ( a; b ) HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ❖ Tính chất Nếu phương trình f  ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = có nhiều hai nghiệm khoảng ( a; b ) ❖ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f (u) = f ( v )  u = v ❖ Tính chất Nếu hàm số f liên tục, đồng biến khoảng ( a; b ) hàm số g liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nghiệm Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp khoảng ( a; b ) ❖ Nhận xét ❖ Khi toán yêu cầu giải phương trình f ( x ) = , ta chứng minh f ( x ) đơn điệu cách khảo sát hàm số, sau tìm nghiệm chứng minh nghiệm ❖ Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f ( u ) = f ( v ) (trong u = u ( x ) , v = v ( x ) ) f ( x ) = g ( x ) sử dụng tính chất nêu ❖ Khi tốn u cầu giải phương trình f ( x ) = m số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m HQ MATHS – 0827.360.796 – Phương pháp đánh giá ❖ Quy tắc Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) ❖ Bước 1: Xác định x = x0 nghiệm phương trình  x  x0 ❖ Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  x  x0 ❖ Kết luận x = x0 nghiệm ❖ Quy tắc Giải phương trình f ( x ) = g ( x )  f ( x )  m , x  D  f ( x )  m  g ( x ) , x  D ❖ Xét tập xác định D ta có   g ( x )  m , x  D ❖ Phương trình thỏa mãn f ( x ) = g ( x ) = m ❖ Áp dụng tương tự với tốn bất phương trình f ( x )  g ( x ) ❖ Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số lượng giác ❖ Ta có: sin x  −  1;1 ; cos x  −  1;1 ❖ Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x + b sin x = c có nghiệm a2 + b2  c ❖ Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt ❖ Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm phương trình bậc … “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) 3x c) 2 −4 x+5 28 x+4 = b) 3x = 16 x −1 −3 x+8 = x −1 ( ) d) 28− x 58− x = 0,001 105 e) x + x+1 = 3x + 3x +1 1− x f) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 −4 x+ x = =  x2 − x + =  x2 − x + =   Vậy S = 1; 3 x = b) Ta có: 3x −3 x+8 = x −1  x −3 x+8 x = = 34 x −2  x2 − 3x + = x −  x2 − x + 10 =   x = Vậy S = 2; 5 28 x+ c) = 16 x −1  x  −1  x   28  x + = x −    x + = 3x2 − 3  7 x + = −3x +  ( )  x  −1  x    x=3  x =  x = −      Vậy S = − ;  x = −       x = 0 x = −   d) ( 2.5 )  x = −1 = 10 −3.10 5−5 x  108 − x = 10 −5 x  − x2 = − x   Vậy S = −1; 6 x = − x2  3 3  3.2 = 4.3    =  x = log Vậy S = log 4  2 2 x e) + x x +1 =3 +3 x x +1 x x ( ) ( ) f) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20  3.3x 5x + − 5x + = ( )( )  5x + 3x+1 − =  x = log − Vậy S = log − 1 VÍ DỤ Giải phương trình sau a) 3x −4 x+5 b) 4.4 x − 9.2 x+1 + = =   d) +    3 x c) − 5.3 + = x e) x x + x −1 − 10.3x + x−2 ( f) + + = x+2 −4 =0 ) + (2 + ) x x =6 Lời giải a) Đặt t = 3x ( t  ), phương trình x − 5.3x + = tương đương với “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS –    HQ MATHS – 0827.360.796 – a) Ta có: 3x Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  x = log t = Vậy S = log 2;1 t − 5t + =    t = x = b) Đặt t = 2x , t  phương trình 4.4 x − 9.2 x+1 + = tương đương với t = x = Vậy S = 2; −1 4t − 18t + =     t = x2 = −1   2 x x 1 1 1 c) − 5.3 + =  x = +      = +   9  3 3 x 2x Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x t = 1 Đặt t =   , t  Phương trình trở thành 3t = + t  t − 3t + =   3 t = x x 1 Với t = , ta   =  x = 3 x 1 Với t = , ta   =  x = log = − log 3 Vậy S = − log 2; 0  3x + x+ 1 − =  3x +   3 x +1 x 1 − =  x +   − = 3 − =  32 x − 4.3x + = 3x t = Đặt t = 3x , t  Phương trình trở thành t − 4t + =   t = Với t = , ta 3x =  x = Với t = , ta 3x =  x = Vậy phương trình có nghiệm x = , x = e) Đặt t = 3x + x −1 ( t  ), phương trình x + x −1 − 10.3x + x−2 + = tương đương với  x = −2  x + x −1 = t =  x=1 3t − 10t + =     x2 + x −1   Vậy S = −1;1; 0; 2 3 t = x = =     x = −1 ( ) ( x f) Đặt t = + , t  Khi phương trình + t = t2 + t − =   Với t =  + t = −3 ( loai ) (  Vậy S = log + ( ) ) x ) ( x + 2+ ) x =  x = log + ( HQ MATHS – 0827.360.796 – x   +  d)   3 = tương đương với )  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ Giải phương trình sau: b) 33+ x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 2 c) 9sin x + 9cos x = d) x +4 =2 ( ) + 2( x + ) − x + + x2 +1 2 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp a) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = Lời giải   x   = 2x x x = 3 3  x x x a) 6.4 − 13.6 + 6.9 =    − 13   + =    x  2 2  x = −1   =     27 81 + 81.3 x + x = 10 3x 3 b) 33+ x + 33− x + 34 + x + 34 − x = 10  27.33 x + HQ MATHS – 0827.360.796 – Côsi    1  27  33 x + x  + 81  3x + x  = 10 (1) Đặt t = 3x + x  3x x = 3      1 1 1  t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x x + 3.3x x + x  33 x + x = t − 3t  3 3  ( ) Khi đó: (1)  27 t − 3t + 81t = 10  t = Với t = 10 10 t= 2 27 (N) 10 10  3x + x = (2) 3 y = ( N ) 10  y − 10 y + =   Đặt y =  Khi ( )  y + = y = N y ( )  x Với y =  3x =  x = ; Với y = 1  3x =  x = −1 Vậy S = −1;1 3 c) 9sin x + 9cos x =  91−cos x + 9cos x =  2 Đặt t = 9cos x , (1  t  ) Khi đó: ( 1)  2 9 cos2 x + cos x − = (1) + t − =  t − 6t + =  t = t Với t =  9cos x =  32cos x = 31  2cos2 x − =  cos x =  x = d) x HQ MATHS – +4 =2 (  + k ,( k  ) + 22( x + 2) − x + +  8.2 x +1 = 22( x +1) + 4.22( x +1) − 4.2 x +1 + x2 +1 2 2 2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Đặt t = x +1 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( t  ) , phương trình tương đương với 8t = t + 4t − 4t +  t − 6t − =  t = + 10 (vì t  ) Từ suy x +1  + 10  x1 = log 2 = + 10     x = − log + 10  2 x b) 3x.2 x = c) 5x.8 x −1 x = 500 d) 2x −4 = x−2 Lời giải x ( ) x ( ) a) 35 = 53  log 35 = log 53 x  x = log   ( log ) x x 5  5x = 3x log    = log 3   3 Phương trình có nghiệm x = log   ( log )   3 ( ) b) 3x.2 x =  log 3x.2 x = log  log 3x + log 2 x =  x log + x2 = 2 x =  x ( log + x ) =   Phương trình có hai nghiệm: x = , x = − log  x = − log c) 5x.8 x −1 x  log = 500  5x.2 x−3 + log 2 x−3 x x −1 x = 53.2  5x − 3.2 x−3 x =  ( x − ) log + x−3   =  log  5x − 3.2 x  =   x = x−3 log 2 =   x  x = − log HQ MATHS – 0827.360.796 – x a) 35 = 53 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ Giải phương trình sau: Phương trình có hai nghiệm: x = , x = − log d) 2x −4 = x−2  log 2 x −4  ( x − )( x + − log ) = ( ) = log x −2  x2 − log 2 = ( x − ) log x =   x = log − “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương trình có hai nghiệm: x = , x = log − VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) Giải phương trình 3x + x = 5x b) Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình x tử S −3 x+ − 2x − x−2 = x − Số phần c) Tìm tập hợp giá trị m để phương trình x + ( − m ) x − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) x x x x 3 4 3  4 a) + =    +   =    +   − = (1) 5  5 5  5 x x x 3 4 Xét hàm số f ( x ) =   +   − , x  5  5 x x 3 4 Ta có: f  ( x ) =   ln +   ln  0, x  5 5  hàm số f ( x ) nghịch biến  f ( x ) = có tối đa nghiệm tập số thực Mà f ( ) =  phương trình ( 1) có nghiệm x = b) x −3 x+ − 2x − x−2 = 2x − (1)  x2 − x + + x − 3x + = x − x−2 + x2 − x − Xét hàm số f ( u ) = 2u + u Ta có: f  ( u ) = 2u.ln +  0, u  ( ) (  Hàm số f ( u ) = 2u + u đồng biến ) Do (1)  f x2 − 3x + = f x2 − x −  x2 − 3x + = x2 − x −  x = Vậy S có phần tử c) x + ( − m ) x − m =  m = Xét hàm số f ( x ) = x + 3.2 x 2x + 12 x.ln + x.ln + 3.2 x.ln x + 3.2 x  f x =  0, x  ( 0;1) có ,  x  0;1 ( ) ( ) x 2x + +1 ( )  Hàm số f ( x ) đồng biến ( 0;1) Ta có bảng biến thiên: HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – x Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải x HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm  m  Vậy m  ( 2; ) VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) Giải phương trình 3x+1 + x+1 = 32 x+1 − 42 x+1 b) Giải phương trình x +1 = 2− x c) Cho a, b số thực thỏa mãn a  a  , biết phương trình a x − = 2cos ( bx ) có ax nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp a x − 2a x ( cos bx + ) + = Lời giải a) x +1 +4 x +1 =3 x +1 +4 x +1 3 x +1 − x + = x + − x + ( 1) Nhận xét x = nghiệm phương trình ( 1) x +1 x +1  x +1 − x +1  3  Với x  , ta có: x +  x +   x +1 VT   VP nên x +1  x +1 − x +1  4  phương trình ( 1) vơ nghiệm phương trình ( 1) vơ nghiệm Vậy x = nghiệm b) Điều kiện xác định: x  x2   x2 +   x +1  hay VT  x   − x   − x  hay VP  2 x2 +1 = VT =  x=0 Suy VT   VP , phương trình có nghiệm  VP = 2 − x = Vậy x = nghiệm c) Ta có a2 x − 2a x ( cos bx + ) + =  a x − +  x   a2 − x  a2    x  = 4cos bx   a − x   2 a        bx  =  cos +  x a    2x bx  a − x = 2cos  bx = 4cos  x a  a − = −2cos bx x   a2 Nếu phương trình ( 1) phương trình ( ) có nghiệm chung x0 2cos  cos HQ MATHS – 0827.360.796 – 3x +1  32 x +1  3x +1 − 32 x +1  Với x  , ta có: x +  x +   x +1 VT   VP nên x +1  x +1 − x +1  4  ( 1) (2) bx0 bx = −2cos 2 x0 bx0 bx =  a − x =  x0 =  cos = (Vơ lí) 2 a2 Do phương trình ( 1) phương trình ( ) khơng có nghiệm chung “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Mặt khác theo giả thiết phương trình ( 1) phương trình ( ) có nghiệm phân biệt HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy phương trình cho có 14 nghiệm phân biệt PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT HQ MATHS – 10 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương trình logarit có dạng log a x = b ( a  0, a  1) ➢ Nếu log a x = b  x = ab Phương trình đưa số Cho  a  Khi đó: •  f ( x )  ( g ( x )  ) log a f ( x ) = log a g ( x )    f ( x ) = g ( x ) • log a f ( x ) = g ( x )  f ( x ) = a g ( x ) (mũ hóa) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp • Phương pháp đặt ẩn phụ: • Phương trình có dạng P ( log a f ( x ) ) = với  a  Đăt t = log a f ( x ) P ( log a f ( x ) ) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ P (t ) = Phương pháp đánh giá ❖ Quy tắc Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) HQ MATHS – 0827.360.796 – ❖ Bước 1: Xác định x = x0 nghiệm phương trình  x  x0 ❖ Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  x  x0 ❖ Kết luận x = x0 nghiệm ❖ Quy tắc Giải phương trình f ( x ) = g ( x )  f ( x )  m , x  D  f ( x )  m  g ( x ) , x  D ❖ Xét tập xác định D ta có  g x  m ,  x  D ( )  ❖ Phương trình thỏa mãn f ( x ) = g ( x ) = m ❖ Áp dụng tương tự với tốn bất phương trình f ( x )  g ( x ) ❖ Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số lượng giác ❖ Ta có: sin x  −  1;1 ; cos x  −  1;1 ❖ Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x + b sin x = c có nghiệm a2 + b2  c ❖ Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt ❖ Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm phương trình bậc … • Ngồi ra, sử dụng phương pháp hàm số dạng tập phương trình mũ Việc sử dụng linh hoạt phương pháp giúp em tối ưu việc giải toán “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 11 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải phương trình sau: ( ) b) log x + log x + log8 x = 11 a) ln x − = ln x c) log d) log ( x − 1) = + log x x.log x.log x = f) log ( x − 1) + log ( x + 1) = e) log x = 2log ( x + )  1+ x=  x −1 x −1 ln ( x − 1) = ln x  ln =0 =  x2 − x − =   x x  1− x =  2 ( loai ) b) Điều kiện: x  1 log x + log x + log8 x = 11  log x + log x + log x = 11 11  log x = 11  log x =  x = 64 c) Điều kiện: x  log 3 x.log x.log x =  log x.log x log x =  ( log x ) =  log x =  x = d) Điều kiện:  x  HQ MATHS – 0827.360.796 – x  a) Điều kiện:   x 1  x −1  Với x  : Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải x = 1+ log ( x − 1) = + log x  log ( x − 1) = log 2 x  x − = x  x − x − =    x = −   Vậy S = + 2;1 − e) Điều kiện: x  − , x   x = 3x +  x = −2 log x = 2log ( 3x + )  x = ( 3x + )     x = −3x −  x = −1 So sánh điều kiện ta có phương trình có nghiệm x = −1 f) Điều kiện: x  Ta có: log ( x − 1) + log ( x + 1) =  log ( x − 1) =  x − =  x =  x = Vậy S = 3 HQ MATHS – 12 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ Giải phương trình sau: b) 2log x + 3log x = a) log32 x − 2log3 x − = c) log 22 ( x ) − log ( 2x) = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp d) Tìm tất giá trị tham m để phương trình log ( x ) − 2m log ( x ) + m − = có tích hai nghiệm phương trình 16 Lời giải a) Điều kiện: x  Đặt log x = t , ( t  )  x=3 t Với t = − 2  log x = − 2  x = 31−2 Với t = + 2  log3 x = + 2  x = 31+ 2 x  b) Điều kiện:  Đặt log x = t , t  x   t = Phương trình 2log x + 3log x = trở thành: 2t + =  2t − 7t + =   t = t  Với t =  log x =  x = Với t = 1  log x =  x = 2 c) Điều kiện: x  Ta có: log 22 ( x ) − log ( x ) =  (1 + log ( x ) ) − log ( x ) − = x = log ( x ) =  1 Vậy S = 2;   log ( x ) =    x =  8 log ( x ) = −2  HQ MATHS – 0827.360.796 – t = − 2 Phương trình log32 x − 2log3 x − = trở thành t − 2t − =   t = + 2 2 d) Điều kiện xác định: x  Đặt t = log x Phương trình trở thành (1 + t ) − 2mt + m − =  t + (1 − m ) t + m = (1) Phương trình cho có nghiệm x1 ; x2 phương trình (1) có nghiệm t1 ; t2  3− m  Khi  '   m − 3m +     3+ m   “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 13 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Theo giả thiết (1 − m ) =  m = ( thoa man ) x1 x2 = 16  log x1 x2 = log 16  t1 + t2 =  − VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) Giải phương trình log x + log ( x + 1) = ( ) b) Tìm số nghiệm phương trình log3 − x − = log ( x − x + ) )   x − +  log  + 8  x −1  d) Có tất cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x2 − x −3 −log3 = 5−( y + 4)   4 y − y − + ( y + 3)  Lời giải a) Nhận xét x = nghiệm phương trình  log x  Với x  , ta có   log x + log ( x + 1)  hay VT  VP nên phương trình log x +  ( )   vô nghiệm  log x  Với x  , ta có   log x + log ( x + 1)  hay VT  VP nên phương trình log x +  ( )   vô nghiệm Vậy x = nghiệm x −1   x     x  82 b) Điều kiện xác định: 9 − x −  x  82   x − x +  TM ( )  ( ) VT = log − x −  log = 2 VP = log ( x − x + ) = log ( x − 1) +   log =    VT =  x −1 = Suy VT   VP Do phương trình có nghiệm    x =1  VP = x −1 = Vậy x = nghiệm x −  c) Điều kiện xác định:   x  VT = log x −1  Ta có x   x −   ( ) x − +  log ( ) = 1 1 +8  x −1 x −1   VP = log3  +   log3 =  x −1  HQ MATHS – 14 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( HQ MATHS – 0827.360.796 – c) Tìm số nghiệm phương trình log HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  x−2 =0 VT =   x=2 Suy VT   VP Do phương trình có nghiệm  = VP =   x −1 Vậy x = nghiệm 3 x2 − x −3 −log3 = 5−( y + 4)  d) Ta có:  4 y − y − + ( y + 3)  Do x − x −  0, x  3 x − x −3 x − x −3 = 5− y −  1, x   5− y −   − y −   y  − Với y  −3 , ta có bất phương trình ( )  −4 y + y − + ( y + 3)   y + y   y  −3  x = −1  y = −3  x − x − =   x = Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3) , ( −1; −3) VÍ DỤ Giải phương trình sau: ( ) ( ) log x = log ( x + ) có nghiệm x = a , tính giá trị log 7a f) Tìm số nghiệm phương trình biểu thức x + 2.3log2 x = HQ MATHS – 0827.360.796 – e) Tìm số nghiệm phương trình log3 − x − = log ( x − x + ) Biết phương trình Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Biến đổi phương trình (1) ta (1) ( 2) g) Tìm tất giá trị thực m để phương trình x3 − 3x + + log3 m = có hai nghiệm phân biệt? log 22 x − log x − = m ( log x − 3) có h) Tìm tất giá trị thực m để phương trình nghiệm thuộc 32; + ) i) Lời giải t t (1) log5 x = t  x =  x =   a) log x = log ( x + )    t t t log ( x + ) = t  x + = 5 + = ( ) t t t t 5 1 5 1 Ta có ( )    +   = Xét hàm số f ( t ) =   +   , t  7 7 7 7 t t 5 1 f ' ( t ) =   ln +   ln  0, t  7 7  Hàm số f ( t ) nghịch biến Mà f ( t ) =  f ( t ) = f (1) nên t = nghiệm phương trình ( ) Từ (1) ta có x = “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 15 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( ) Do log5 7a = log5 + log5 a = log5 + 2log a = log + 2log 5 = + log b) Điều kiện xác định: x  Ta có: x + 2.3log2 x =  2.3log2 x = − x Xét hàm số f ( x ) = 2.3log x , x  ( 0; + ) 2 f  ( x ) = 3log2 x.log  0, x  ( 0; + )  Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; + ) (1) x Xét hàm số g ( x ) = − x, x  ( 0; + ) g  ( x ) = −1  0, x  ( 0; + )  Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; + ) ( ) c) Điều kiện xác định: m  Ta có: x3 − 3x + + log3 m =  − x3 + 3x − = log m  x = −1 Xét hàm số f ( x ) = − x + 3x − có f  ( x ) = −3x + 3, f  ( x ) =   x = Ta có bảng biến thiên: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt hai đồ thị y = − x + 3x + y = log m phải cắt điểm   m = 3−4 m= log m = −4 1     m  Dựa vào bảng biến thiên, ta có  Vậy 81  ;1  m =  81  log m =  m = d) Đặt log x = t x  32  t  t − t − = m ( t − 3)  m = Ta có phương trình: Xét hàm số f ( t ) = t2 − t − t −3 −5t + t2 − t −  0, t  5; + ) , t  5; + ) có f  ( t ) = 2 t −3 ( t − 3) t − t − Ta có bảng biến thiên: HQ MATHS – 16 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Mà f (1) = g (1) nên x = nghiệm Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Từ (1) ( )  phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nghiệm HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm  m  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 17