Lý thuyết + vdmh bất phương trình mũ, bất phương trình logarit

HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CHỦ ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Định nghĩa: ▪ Bất phương trình mũ có dạng a x  b (hoặc ax  b, ax  b, a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: Nếu b  bất phương trình tương đương với ax  aloga b ▪ Với a  nghiệm bất phương trình x  log a b (Hình 1) ▪ Với  a  nghiệm bất phương trình x  log a b (hình 2) Hình ▪ Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình a  b cho bảng sau: x Tập nghiệm a1 ax  b 0a1 b0 ( log b0 a ( −; log b ) b; +  ) a Phương pháp đưa số ▪ f x g x Nếu gặp bất phương trình a ( )  a ( ) xét hai trường hợp: ▪ f x g x Trường hợp 1: Nếu a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) ▪ f x g x Trường hợp 2: Nếu  a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) Phương pháp đặt ẩn phụ ▪ 2f x f x Ta thường gặp dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p  0,(1) ▪ f x Đặt t = a ( ) , t  đưa pt ( 1) dạng phương trình bậc 2: mt + nt + p  ▪ Giải bất phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t  sau tìm nghiệm x ▪ f x f x f x f x m.a ( ) + n.b ( ) + p  , a.b = Đặt t = a ( ) , t  , suy b ( ) = t ▪ ▪ HQ MATHS – m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x)  Chia hai vế cho b f ( x) a đặt   b f ( x) =t 0 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – ▪ Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta xét bất phương trình dạng ax  b ▪ Nếu b  bất phương trình vơ nghiệm HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương pháp hàm số, đánh giá ▪ Định nghĩa ▪ Hàm số f gọi đồng biến K u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) ▪ Hàm số f gọi nghịch biến ( a; b ) ▪ Định lí, quy tắc: ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) f (u)  f ( v )  u  v ▪ Nếu hàm số f nghịch biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( a ) a ; b max f ( x ) = f ( b ) a ; b ▪ Nếu hàm số f nghịch biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( b ) max f ( x ) = f ( a ) a ; b a ; b ▪ Nhận xét Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm HQ MATHS – 0827.360.796 – ▪ với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D ▪ Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: x x 1 a)    32 2 2x 1 b)    x +1 9 b) x + x+1  3x + 3x −1 e) 5 c)   7 3x  3x − f) 11 x2 − x +1 x+6 5   7 2x −1  11x Lời giải −5 x x Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 1 1 1 a) Ta có:    32        x  −5 2 2 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −5 ) b) Điều kiện: x  −1 x 2x 2x 1 2x 2x   −2 x x +1 x +1     −2 x   + 2x   2x  + 1    x+1 x+1 9  x+1   2x ( x + ) x+1  x  −2 0  −1  x  5 c) Ta có:   7 x2 − x +1 5   7 2x −1  x − x +  2x −  x − 3x +    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) x d) Ta có: +2 x x +1 3 +3 x x −1 3  3.2  x      x  2 x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) e)  3x  x  3x 3x −        x 3x − 3x −    x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log )  (1; + ) f) Ta có: 11 x+6  11x 11 x+6 x  −6  x   x +      11x  x +  x    x   −6  x   x    −2  x      x +  x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −6;  HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −2 )  ( −1;0 ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) 16 x − x −  b) x − 3.2 x +  d) x + 4.5x −  10 x e) x 1  x +1 + −1 x 1 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp − 21− x c) f) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: x + ( m − 1) x + m  nghiệm x  Lời giải a) Đặt t = x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với t − t −   −2  t    t   x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;0 )  ( 1; + ) c) Đặt t = 3x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với 3t −  1     t   −1  x  t + 3t − 3t −  t + Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −1;1 d) Ta có: x + 4.5x −  10 x  x − 10 x + 4.5x −   x (1 − 5x ) − (1 − 5x )  (  − 5x )(  1 − 5x   5 x  x  x  2 −   2 x −4 0     x x  1 −   5  x  2 −   2 x   ) 1 4 x   1 x  4 HQ MATHS – 0827.360.796 – 2x  x  b) Ta có: x − 3.2 x +    x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;0 )  ( 2; + ) e) Điều kiện: x  Ta có: x − 21− x 1 x − 2 x  ( ) Đặt t = x Do x   t  t  t  ( )  t −   t − t −    t      t  x    x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = 0;1) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – f) Đặt log x − log x   Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp log x  0  x  −1 bất phương trình 0  log x ( log x − 1) x  log x  t2 − t  −m nghiệm t  t +1 cho thành: t + ( m − 1) t + m  nghiệm t   Xét hàm số g ( t ) = t − + 2 , t  3, g ' ( t ) = −  0, t  t +1 t + ( )  3; + ) g ( ) = Yêu cầu toán tương đương Hàm số đồng biến −m  3 m− 2 Lời giải x x x 3.2 x + 7.5x + 1 1   a) Ta có 3.2 + 7.5  49.10 −   49    +   +    49 x 10 5 2  10  x x x x x x 1 1   Xét hàm số f ( x ) =   +   +   , x  5 2  10  x x x 1  1  1  1  1  1 Mặt khác: f  ( x ) =   ln   + 7.  ln   + 2.  ln    0, x  5  5 2 2  10   10   Hàm số f ( t ) nghịch biến Mặt khác f ( −1) = 49  f ( x )  f ( −1)  x  −1 Vậy nghiệm bất phương trình x  −1 b) Ta có: m.4 x + ( m − 1).2 x + + m −   m  4.2 x + (1) x + 4.2 x + Đặt 2x = t , t   Bất phương trình ( 1)  m  Xét hàm số f (t ) = 4t + t + 4t + 4t + −4t − 2t ,  t  0; + f '( t ) = có ( ) t + 4t + t + 4t + ( )  0,  t  (0; +)  Hàm số f ( t ) nghịch biến khoảng (0; + ) Ta có bảng biến thiên HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – a) Giải bất phương trình 3.2 x + 7.5x  49.10 x − b) Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4 x + ( m − 1).2 x + + m −  nghiệm với x  c) Cho bất phương trình x − 2018m.2 x−1 + − 1009m  Tìm giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để bất phương trình cho có nghiệm là? Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Từ ta có  f ( t )  1, t  ( 0; + ) m  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Để (1) nghiệm với x thuộc tập c) Đặt t = x ( t  ) Khi bất phương trình trở thành t − 1009mt + − 1009m   1009m  t2 + t +1 t2 + t + 2t − , t  ( 0; + ) có f  ( t ) = Xét hàm số f ( t ) = , t +1 ( t + 1) t = Giải phương trình: f  ( t ) =  t + 2t − =   t = −3  ( L ) Bất phương trình có nghiệm 1009 m  f ( t ) =  m  ( 0; + ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có bảng biến thiên: 1009 Vậy m = số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu toán “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ▪ Định nghĩa: ▪ Bất phương trình lơgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc log a x  b , log a x  b , log a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: ▪ Ta xét bất phương trình dạng log a x  b ▪ Nếu a  log a x  b  x  ab (Hình 1) ▪ Nếu  a  log a x  b   x  ab (Hình 2) ▪ Hình Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình log a x  b cho bảng sau: Tập nghiệm 0a1 a1 xa b  x  ab HQ MATHS – 0827.360.796 – log a x  b Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ▪ ▪ Phương pháp đưa số ▪ Nếu gặp bất phương trình log a f ( x )  log a g ( x ) xét hai trường hợp: ▪  g ( x )  Trường hợp Nếu a  bất phương trình   f x  g x ( ) ( )  ▪  f ( x )  Trường hợp Nếu  a  bất phương trình    f ( x )  g ( x ) ▪ Phương pháp đặt ẩn phụ ▪ Nếu gặp bất phương trình m.log 2a f ( x ) + n log a f ( x ) + p  0, (1) ▪ Đặt t = log a f ( x ) , đưa ( 1) dạng mt + nt + p  ; giải tìm t từ tìm nghiệm x ▪ Ngồi ra, cịn sử dụng linh hoạt quy tắc hàm số, phương pháp đánh giá nêu phương trình mũ, phương trình logarit bất phương trình mũ Việc sử dụng đa dạng phương pháp giúp em tối ưu hóa toán trở nên đơnvẫn giản dễ dàng “Sen nởvà ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: ( ) a) log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + ) b) + log ( x − )  log x2 − 3x + c) 2log x +  − log ( x − ) d) log x2 − x −  log 0,5 ( x − 1) + ( ) e) log ( log ( x − 1) )  2 a) Điều kiện: x  − Ta có: log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + )  5x +  3x +  x   x    Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình là: S =  − ;    ( ) log x − 3x + − log ( x − )  b) Ta có: + log ( x − )  log x2 − 3x +    x  ( ) log ( x − 1)     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2; )  x  HQ MATHS – 0827.360.796 – c) Ta có: 2log x +   x +  − log ( x − )   x −  log x + + log x −  ) ) 2(  2(  x  x   x     2x3  x − x −  −2  x  ( x + 1)( x − )  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2;  d) Điều kiện : x  ( ) ( ) log x − x −  log 0,5 ( x − 1) +  log  x − x − ( x − 1)     1 −  x   x − x − ( x − 1) −   x − x − x     x  + ( ) ) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1 − 2;0   1 + 2; +    2 x −   x  e) Điều kiện:  log (2 x − 1)  Ta có: log ( log ( x − 1) )   log ( log ( x − 1) )  log 1 2 log (2 x − 1)  0  x −     1 x  2 x −  log (2 x − 1)  HQ MATHS – 10 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  1;   2 VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: b) log x − log x  a) log 02 ,2 x − 5log ,2 x  −6 c) 2log2 x − 10 x log x +3 0 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải a) Điều kiện: x  1 x 125 25 log 0,2 − 5log 0,2 x  −6   log 0,2 x   b) Điều kiện : x  0; x  1; x  log x − log x   log x  0  x  −1 0  log x ( log x − 1) x  log x  c) Điều kiện: x  (*) Đặt u = log x  x = 2u −u +   2u − 10 2u +  (1) t  −5 (l) u  2  u   u2    Đặt t = 2u , t  (1)  t + 3t − 10    t  u  Với u   log x   x  Với u  −1  log x  −1  x  Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x   x  VÍ DỤ a) Tìm số nghiệm phương trình log ( )   x − +  log  + 8  x −1  HQ MATHS – 0827.360.796 – ( ) Bất phương trình cho trở thành 2u − 10 2u b) Có tất cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x2 − x − −log3 = 5−( y + )   4 y − y − + ( y + )  c) Có số nguyên dương m đoạn −  2018; 2018  cho bất phương trình (10x ) m+ log x 10  10 11 log x 10 với x  ( 1;100 ) Lời giải x −  x2 a) Điều kiện xác định:  x −  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 11 HQ MATHS – 0827.360.796 – VT = log ( Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ) x − +  log ( ) = Ta có x   x −   x −1 1 x −1 +89   VP = log  +   log =  x −1   x−2 =0 VT =  Suy VT   VP Do phương trình có nghiệm   x=2 = VP =   x −1 Biến đổi phương trình ( 1) ta Do x − x −  0, x  3 x2 − x − x2 − x − = 5− y −  1, x   − y −   − y −   y  −3 Với y  −3 , ta có bất phương trình ( )  −4 y + y − + ( y + )   y + y   y  −3  x = −1  y = −3  x − x − =   x = Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3 ) , ( −1; −3 ) c) (10x ) m+ log x 10 11  10 10 log x  log x  11  m+  ( log x + 1)  log x 10  10   ( log x + 10 m )( log x + 1) − 11log x   10 m ( log x + 1) + log x − 10log x  Do x  ( 1;100 )  log x  ( ; ) 10m ( log x + 1) + log x − 10log x   10m  Đặt t = log x , t  ( ; ) Xét hàm số f ( t ) = Đạo hàm: f  ( t ) = 10 − 2t − t ( t + 1) 10t − t , t  ( 0; ) t +1  t  ( 0; )  Hàm số f ( t ) đồng biến Do f ( )  f ( t )  f ( )   f ( t )  Để 10m  10log x − log x log x + 16 10log x − log x 16 m với x  ( 1;100 ) 10 m  15 log x + 8  Do m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn  15  HQ MATHS – 12 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – 3 x2 −2 x −3 −log = 5−( y + 4) (1)  b)  4 y − y − + ( y + )  ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy x = nghiệm