Lý thuyết + vdmh hàm số lũy thừa, mũ và logarit

HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HÀM SỐ LŨY THỪA Định nghĩa Hàm số y = x với   gọi hàm số lũy thừa Tập xác định Tập xác định hàm số y = x là: Hàm số y = x với   ( ) =  x có đạo hàm với x  x  −1  10 Đạo hàm hàm hợp u ( x )  =  u −1 ( x ) u ( x ) 11 Tính chất đồ thị hàm lũy thừa 12 Đồ thị hàm số y = x với ( a  ) nhận Ox làm tiệm cận ngang, nhận Oy làm tiệm cận đứng Khi a  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp D =  số nguyên dương D =  số nguyên âm D =  không nguyên Đạo hàm hàm lũy thừa HQ MATHS – 0827.360.796 – 13 Đồ thị hàm số lũy thừa y x qua điểm I (1;1) 14 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: y x 3, y x 2, y x 15 HÀM SỐ MŨ 16 Định nghĩa 17 Hàm số y = a x với a  0, a  gọi hàm số mũ với số a 18 Tập xác định tập giá trị 19 Tập xác định: D = 20 Tập giá trị: T = ( 0; + ) 21 Tính đơn điệu đồ thị f x g x 22 Khi a  hàm số y = a x đồng biến, ta có a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp f x g x 23 Khi  a  hàm số y = a x nghịch biến, ta có a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) Đồ thị nhận Ox tiệm cận ngang, qua điểm (0;1) (1;a ), nằm phía trục hồnh (y a x 0, 24 Đạo hàm x )  ( a ) = a ln a  ( a ) = u.a ln a  ( u ) = n uu'  ( e ) = e x x n n n −1 u u x x  ( e ) = u.e u u HÀM SỐ LOGARIT HQ MATHS – 0827.360.796 – Định nghĩa Hàm số dạng y = log a x , ( a  0; a  1) gọi hàm số logarit số a Tập xác định tập giá trị Tập xác định: D = ( 0; + ) Tập giá trị: T = Tính đơn điệu đồ thị Khi a  hàm số y = log a x đồng biến D , nếu: log a f ( x )  log a g ( x )  f ( x )  g ( x ) Khi  a  hàm số y = log a x nghịch biến D , nếu: log a f ( x )  log a g ( x )  f ( x )  g ( x ) 10 Đạo hàm   u ( log x ) = x.ln1 a  ( log u ) = u.ln a  ( ln x ) = 1x ( x  )  ( ln u ) = uu a a  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Tìm tập hợp giá trị m để hàm số y = ( m2 − 3m + 1) nghịch biến khoảng ( −; + ) x  3−   3+  ;3  A  0;    2     C ( −;0 )  ( 3; + )   3−   3+ ; +  \ 0;3 B  −;        D ( 0;3) Hàm số nghịch biến khoảng ( −; + )  m2 − 3m +   3+ 3 + m  m3 2    m − 3m +      3−    3− m − 3m  m  0  m    0  m  VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = ex Mệnh đề đúng? cos x A y ''− y = y ' tan x C y '' = y ' tan x B y '' = −2 y ' tan x D y ''+ y = y ' tan x Lời giải Chọn A Ta có: y ' = e x ( cos x + sin x ) cos x = y + y tan x ex ex ex +2 tan x + tan x cos x cos x cos x = y + y tan x + y tan x  y ''− y = ( y + y tan x ) tan x = y '.tan x Đạo hàm cấp hai: y '' = y '+ y '.tan x + (1 + tan x ) = VÍ DỤ 3: Cho hàm số y = Có số nguyên m  (−10;10) ( x − m) ln ( x − 2(3m − 1) x + 9m ) để hàm số xác định khoảng (2; +) ? A 12 B 18 C 11 D Lời giải Chọn A Hàm số cho xác định khoảng (2; +) khi: HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Chọn A Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m  x − m    2  x − 2(3m − 1) x + 9m  , x  (2; +)   x − 2(3m − 1) x + 9m  , x  (2; +)  x − 2(3m − 1) x + 9m   x − 2(3m − 1) x + 9m    m  Với  (*) 2  g ( x) = x − 2(3m − 1) x + 9m  0, x  (2; +) Xét  ' = (3m − 1) − 9m2 = − 6m Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m  Trường hợp 1:    m  Khi g ( x)  0, x  (2; +)   ' = − 6m  m  Trường hợp 2:  m=   ' = − 6m = Ta có g ( x) =  x = 3m − = −  (2; +) Khi g ( x)  0, x  (2; +)   m   '    Khi g ( x)  0, x  (2; +)  x1  x2   1.g (2)   9m2 − 12m +   m  x + x m  1   2   Kết hợp trường hợp ta có giá trị m thỏa (*) m  m  Với  (**)  x − 2(3m − 1) x + 9m  1, x  (2; +) HQ MATHS – 0827.360.796 – m  Trường hợp 3:   m  Gọi x1 ; x2 ( x1  x2 ) nghiệm phương   ' = − 6m  trình g ( x) = Ta có g '( x) = x − 2(3m − 1) =  x = 3m − Nếu  3m −   m ta có bảng biến thiên : 1  m  Khi (**)   1 m  1  6m − “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Nếu  3m −  m  ta có bảng biến thiên : m   m2 Do  2  x − 2(3m − 1) x + 9m  1, x  (2; +) Hàm số cho xác định khoảng (2; +)  m  m   Vậy m  (−10;10)  m  −9, −8, , 2 Suy có 12 giá trị nguyên m thỏa đề m   VÍ DỤ 4: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y = xác m ln x − ln x + + m Tính P = 2a + 3b A P = −10 C P = 10 B P = D P = −4 Lời giải Chọn A Điều kiện: x  Đề hàm số xác định khoảng ( 0; + ) thi phương trình m ln x − 2ln x + + m = vô nghiệm với x  (0; +) Trường hợp 1: m = phương trình trở thành −2ln x + =  x = e Vậy m = không thỏa mãn Trường hợp 2: m  đặt t = ln x , x  ( 0; + )  t  Phương trình m ln x − 2ln x + + m = trở thành mt − 2t + + m = Để phương trình vơ nghiệm   = ( −2 ) − 4m ( + m )    −4m2 − 12m +   m   −;  HQ MATHS –  −3 − 13   −3 + 13 ; +     2    “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – định khoảng (0; +) Gọi a  S , b  S số nguyên dương nhỏ số nguyên âm lớn Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m   m 1 Khi (**)   1  9m − 12m + HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Do a = 1; b = −4  P = 2a + 3b = − 12 = −10 VÍ DỤ 5: Với số thực dương a , b để đồ thị hàm số y = a + bx − có đường tiệm x−2 b cận, tìm giá trị lớn biểu thức P = log ( a +1) A −2 B C D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải Chọn A  a  Do a , b  nên hàm số ln có tập xác định D =  − ; +  \ 2  b  Ta có lim y =  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x →+ Mà y = a + bx − a + bx − , đặt f ( x ) = a + bx − = x−2 ( x − ) a + bx + ( ) Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận f ( ) =  a + 2b = nên x  ) HQ MATHS – 0827.360.796 – b = y ta suy x + y =  P = log x y , (do a  x x Lại có = + + y  3 x y  x y   y  2 x x =    Vậy P = log x y  log x   = −2 Dấu xảy    y = x   Đặt a + = x , a =   b =  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS –