HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HÀM SỐ LŨY THỪA Định nghĩa Hàm số y = x với gọi hàm số lũy thừa Tập xác định Tập xác định hàm số y = x là: Hàm số y = x với ( ) = x có đạo hàm với x x −1 10 Đạo hàm hàm hợp u ( x ) = u −1 ( x ) u ( x ) 11 Tính chất đồ thị hàm lũy thừa 12 Đồ thị hàm số y = x với ( a ) nhận Ox làm tiệm cận ngang, nhận Oy làm tiệm cận đứng Khi a đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp D = số nguyên dương D = số nguyên âm D = không nguyên Đạo hàm hàm lũy thừa HQ MATHS – 0827.360.796 – 13 Đồ thị hàm số lũy thừa y x qua điểm I (1;1) 14 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: y x 3, y x 2, y x 15 HÀM SỐ MŨ 16 Định nghĩa 17 Hàm số y = a x với a 0, a gọi hàm số mũ với số a 18 Tập xác định tập giá trị 19 Tập xác định: D = 20 Tập giá trị: T = ( 0; + ) 21 Tính đơn điệu đồ thị f x g x 22 Khi a hàm số y = a x đồng biến, ta có a ( ) a ( ) f ( x ) g ( x ) HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp f x g x 23 Khi a hàm số y = a x nghịch biến, ta có a ( ) a ( ) f ( x ) g ( x ) Đồ thị nhận Ox tiệm cận ngang, qua điểm (0;1) (1;a ), nằm phía trục hồnh (y a x 0, 24 Đạo hàm x ) ( a ) = a ln a ( a ) = u.a ln a ( u ) = n uu' ( e ) = e x x n n n −1 u u x x ( e ) = u.e u u HÀM SỐ LOGARIT HQ MATHS – 0827.360.796 – Định nghĩa Hàm số dạng y = log a x , ( a 0; a 1) gọi hàm số logarit số a Tập xác định tập giá trị Tập xác định: D = ( 0; + ) Tập giá trị: T = Tính đơn điệu đồ thị Khi a hàm số y = log a x đồng biến D , nếu: log a f ( x ) log a g ( x ) f ( x ) g ( x ) Khi a hàm số y = log a x nghịch biến D , nếu: log a f ( x ) log a g ( x ) f ( x ) g ( x ) 10 Đạo hàm u ( log x ) = x.ln1 a ( log u ) = u.ln a ( ln x ) = 1x ( x ) ( ln u ) = uu a a “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Tìm tập hợp giá trị m để hàm số y = ( m2 − 3m + 1) nghịch biến khoảng ( −; + ) x 3− 3+ ;3 A 0; 2 C ( −;0 ) ( 3; + ) 3− 3+ ; + \ 0;3 B −; D ( 0;3) Hàm số nghịch biến khoảng ( −; + ) m2 − 3m + 3+ 3 + m m3 2 m − 3m + 3− 3− m − 3m m 0 m 0 m VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = ex Mệnh đề đúng? cos x A y ''− y = y ' tan x C y '' = y ' tan x B y '' = −2 y ' tan x D y ''+ y = y ' tan x Lời giải Chọn A Ta có: y ' = e x ( cos x + sin x ) cos x = y + y tan x ex ex ex +2 tan x + tan x cos x cos x cos x = y + y tan x + y tan x y ''− y = ( y + y tan x ) tan x = y '.tan x Đạo hàm cấp hai: y '' = y '+ y '.tan x + (1 + tan x ) = VÍ DỤ 3: Cho hàm số y = Có số nguyên m (−10;10) ( x − m) ln ( x − 2(3m − 1) x + 9m ) để hàm số xác định khoảng (2; +) ? A 12 B 18 C 11 D Lời giải Chọn A Hàm số cho xác định khoảng (2; +) khi: HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Chọn A Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m x − m 2 x − 2(3m − 1) x + 9m , x (2; +) x − 2(3m − 1) x + 9m , x (2; +) x − 2(3m − 1) x + 9m x − 2(3m − 1) x + 9m m Với (*) 2 g ( x) = x − 2(3m − 1) x + 9m 0, x (2; +) Xét ' = (3m − 1) − 9m2 = − 6m Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m Trường hợp 1: m Khi g ( x) 0, x (2; +) ' = − 6m m Trường hợp 2: m= ' = − 6m = Ta có g ( x) = x = 3m − = − (2; +) Khi g ( x) 0, x (2; +) m ' Khi g ( x) 0, x (2; +) x1 x2 1.g (2) 9m2 − 12m + m x + x m 1 2 Kết hợp trường hợp ta có giá trị m thỏa (*) m m Với (**) x − 2(3m − 1) x + 9m 1, x (2; +) HQ MATHS – 0827.360.796 – m Trường hợp 3: m Gọi x1 ; x2 ( x1 x2 ) nghiệm phương ' = − 6m trình g ( x) = Ta có g '( x) = x − 2(3m − 1) = x = 3m − Nếu 3m − m ta có bảng biến thiên : 1 m Khi (**) 1 m 1 6m − “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Nếu 3m − m ta có bảng biến thiên : m m2 Do 2 x − 2(3m − 1) x + 9m 1, x (2; +) Hàm số cho xác định khoảng (2; +) m m Vậy m (−10;10) m −9, −8, , 2 Suy có 12 giá trị nguyên m thỏa đề m VÍ DỤ 4: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y = xác m ln x − ln x + + m Tính P = 2a + 3b A P = −10 C P = 10 B P = D P = −4 Lời giải Chọn A Điều kiện: x Đề hàm số xác định khoảng ( 0; + ) thi phương trình m ln x − 2ln x + + m = vô nghiệm với x (0; +) Trường hợp 1: m = phương trình trở thành −2ln x + = x = e Vậy m = không thỏa mãn Trường hợp 2: m đặt t = ln x , x ( 0; + ) t Phương trình m ln x − 2ln x + + m = trở thành mt − 2t + + m = Để phương trình vơ nghiệm = ( −2 ) − 4m ( + m ) −4m2 − 12m + m −; HQ MATHS – −3 − 13 −3 + 13 ; + 2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – định khoảng (0; +) Gọi a S , b S số nguyên dương nhỏ số nguyên âm lớn Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m m 1 Khi (**) 1 9m − 12m + HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Do a = 1; b = −4 P = 2a + 3b = − 12 = −10 VÍ DỤ 5: Với số thực dương a , b để đồ thị hàm số y = a + bx − có đường tiệm x−2 b cận, tìm giá trị lớn biểu thức P = log ( a +1) A −2 B C D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải Chọn A a Do a , b nên hàm số ln có tập xác định D = − ; + \ 2 b Ta có lim y = đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x →+ Mà y = a + bx − a + bx − , đặt f ( x ) = a + bx − = x−2 ( x − ) a + bx + ( ) Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận f ( ) = a + 2b = nên x ) HQ MATHS – 0827.360.796 – b = y ta suy x + y = P = log x y , (do a x x Lại có = + + y 3 x y x y y 2 x x = Vậy P = log x y log x = −2 Dấu xảy y = x Đặt a + = x , a = b = “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS –