Ứng dụng lý thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Ngọc Cường ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG HÌNH NĨN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Trang LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi đến Thầy PGS TS Lê Hồn Hóa lời cảm ơn sâu sắc chân thành tận tình giúp đỡ bảo Thầy dành cho suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Quốc Tế tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ Phịng Khoa học Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin kính gửi đến UBND tỉnh Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, Sở Nội vụ, Sở Giáo Dục Đào Tạo Bà Rịa – Vũng Tàu , Ban Giám Hiệu trường THPT Ngô Quyền lời cảm ơn chân thành giúp đỡ tạo điều kiện thuận tiện để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ trường THPT Ngơ Quyền đặc biệt Thầy Tổ Toán; bạn học viên cao học Tốn K19 ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi thời gian học tập làm luận văn Sau tơi xin kính gửi đến gia đình tơi người thân tất tình cảm u thương lịng tri ơn sâu sắc nhất, nơi tạo cho niềm tin nghị lực chỗ dựa vững giúp tơi hồn thành luận văn Trang Vì kiến thức thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận xét bảo Q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn đồng nghiệp Trang LỜI CAM ĐOAN Mặc dù q trình làm luận văn này, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học tác giả luận văn khóa trước, tơi có sử dụng số kết chứng minh để hoàn thành luận văn tơi xin cam đoan khơng chép luận văn có tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T LỜI CAM ĐOAN T T MỤC LỤC T T MỞ ĐẦU T T Chương NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN T T 1.1 Nón thứ tự sinh nón T T 1.2 Nón chuẩn T T 1.3 Nón qui 10 T T 1.4 Nón sinh 10 T T 1.5 Nón liên hợp 12 T T Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU 13 T T 2.1 Điểm bất động ánh xạ tăng 13 T T 2.2 Điểm bất động ánh xạ giảm 20 T T 2.3 Cặp điểm bất động ánh xạ đơn điệu hỗn tạp 22 T T Chương ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI T ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 25 T 3.1 Bất phương trình vi phân 25 T T 3.2 Tập hợp bất biến dòng 32 T T 3.3 Phương pháp nghiệm nghiệm 37 T T 3.4 Kỹ thuật lặp đơn điệu 42 T T 3.5 Phương pháp tựa nghiệm trên, tựa nghiệm 50 T T Trang KẾT LUẬN 56 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 T T Trang MỞ ĐẦU Luận văn chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân dạng (1) x′ = f ( t , x ) , x ( t0 ) = x0 Trong E khơng gian Banach, f ∈ C [ ¡ + × E , E ] f ( t , x ) hàm tựa đơn điệu không giảm theo x với t ∈ ¡ + liên quan đến nón K f ( t , x ) có tính chất tựa đơn điệu hỗn tạp Nội dung luận văn sử dụng năm phương pháp chứng minh tồn nghiệm phương trình (1) Bất phương trình vi phân Tập hợp bất biến dòng Phương pháp nghiệm nghiệm Kỹ thuật lặp đơn điệu Phương pháp tựa nghiệm tựa nghiệm Các phương pháp thường dùng chứng minh tồn điểm bất động khơng gian có thứ tự Nội dung luận văn trình bày lại tài liệu: Dajun Guo, V lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abstract Cones , Acadamic Press, INC, London 1988 Luận văn trình bày thành ba chương Chương I: Trình bày nón tính chất nón Chương II: Trình bày điểm bất động ánh xạ đơn điệu Chương III: Áp dụng phương pháp nghiên cứu tồn điểm bất động khơng gian có thứ tự vào phương trình vi phân phi tuyến Trang Chương NĨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 1/ Tập K không gian Banach thực E gọi nón nếu: i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K ∀λ ≥ iii) K ∩ ( − K ) ={θ } 2/ Nếu K nón thứ tự E sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K 3/ Nón K gọi (solid) có chứa điểm trong, tức K ≠ ∅ y − x ∈ K ta viết x = y 4/ Nón K ⊂ E gọi minihedral sup { x, y} tồn với cặp { x, y} bị chặn ( tức ∃w ∈ E : x ≤ w, y ≤ w ) 5/ Nón K ⊂ E gọi strong minihedral sup D tồn với tập bị chặn D ⊂ E Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “ ≤ ” thứ tự sinh nón K Khi đó: 1/ x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y ∀z ∈ E , ∀λ ≥ 2/ xn ≤ yn ( n ∈ ¥ * ) , lim x= x, lim y= y ⇒ x ≤ y n n n →∞ n →∞ 3/ Nếu { xn } dãy tăng, hội tụ x xn ≤ x ∀n ∈ ¥ * Chứng minh: 1/ Suy từ tính chất ii) định nghĩa nón 2/ Ta có xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K Trang ⇒ lim ( yn − xn ) =y − x n →∞ Do K tập đóng nên ( y − x) ∈ K hay x ≤ y 3/ Cho m → +∞ xn ≤ xn+ m , ta điều phải chứng minh 1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Nón K gọi nón chuẩn nếu: ∃N > : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2.1 Giả sử “ ≤ ” thứ tự sinh nón chuẩn K Khi đó: 1/ Nếu u ≤ v đoạn u , v := { x ∈ E : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn 2/ Nếu xn ≤ yn ≤ zn ( n ∈ ¥ * ) và= lim xn a= , lim zn a lim yn = a n →∞ n →∞ n →∞ 3/ Nếu dãy { xn } đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn = a n →∞ Chứng minh: 1/ ∀x ∈ u , v ⇒ θ ≤ x − u ≤ v − u ⇒ x−u ≤ N u −v ⇒ x ≤ u + N u−v 2/ Ta có xn ≤ yn ≤ zn ( n ∈ ¥ * ) ⇒ θ ≤ yn − xn ≤ zn − xn ⇒ yn − xn ≤ N zn − xn → Ta lại có yn =xn + ( yn − xn ) ⇒ lim y= lim ( xn + ( yn − xn )= ) a n n →∞ n →∞ 3/ Ta coi dãy { xn } tăng lim xn = a k →∞ k Vì xn ≤ xn ( n cố định, k đủ lớn) nên xn ≤ a ∀n ∈ ¥ * k Trang 10 Cho ε > , chọn k0 để xn − a < k0 ε N ( N số nói định nghĩa nón chuẩn) ∀n ≥ nk0 ,θ ≤ a − xn ≤ a − xnk ⇒ a − xn ≤ N a − xnk < ε Vậy lim xn = a 0 n →∞ 1.3 Nón qui Định nghĩa 1.3.1 Nón K gọi nón qui dãy tăng, bị chặn hội tụ Mệnh đề 1.3.1 Nón qui nón chuẩn Chứng minh: Giả sử K nón qui khơng nón chuẩn Khi ∀n ∈ ¥ *∃xn , yn : θ ≤ xn ≤ yn , xn > n yn xn = , xn = un Đặt ∞ Vì yn θ ≤ un ≤ , un= 1, < xn n ∞ ∑ < ∞ nên tồn v := ∑ n =1 n =1 Dãy sn := u1 + u2 + + un tăng, bị chặn v nên hội tụ Suy lim un= lim ( sn − sn−1 )= θ vơ lý un = n →∞ n →∞ 1.4 Nón sinh Định nghĩa 1.4.1 Nón K gọi nón sinh E= K − K hay ∀x ∈ E ∃u , v ∈ K : x =u − v Mệnh đề 1.4.1 Nếu K nón sinh tồn số M > cho ∀x ∈ E ∃u , v ∈ K : x =u − v, u ≤ M x , v ≤ M x Trang 43 Với η ∈ C [ J , E ] thỏa v0 ( t ) ≤ η ( t ) ≤ w0 ( t ) J , ta định nghĩa ánh xạ A Aη = u , u nghiệm (3.4.2) tương ứng với η Kết sau liên quan đến ánh xạ A có giá trị Bổ đề 3.4.1 Giả sử giả thiết ( A1 ) , ( A2 ) ( A3 ) thỏa Khi i) v0 ≤ Av0 w0 ≥ Aw0 ; ii) A đơn điệu [ v0 , w0 ] , mà η1 ,η2 ∈ [ v0 , w0 ] với η1 ≤ η2 Aη1 ≤ Aη Chứng minh: i) Giả sử Av0 = v1 Đặt p ( t ) = φ v1 ( t ) − v0 ( t )  p ( ) ≥ , φ ∈ K * Khi − Mp ( ( A2 ) ) p′ ≥ φ  f ( t , v0 ) − M ( v1 − v0 ) − f ( t , v0 )  = Vì p ( t ) ≥ p ( ) e − Mt ≥ J Vì φ ∈ K * tùy ý nên kéo theo v1 ≥ v0 J Chứng tỏ v0 ≤ Av0 Tương tự ta chứng minh w0 ≥ Aw0 ii) Lấy η1 ,η2 ∈ C [ J , E ] thỏa η1 ≤ η2 J giả sử Aη1 = u1 , Aη = u2 Ta đặt p ( t ) = φ u2 ( t ) − u1 ( t )  p ( ) ≥ , φ ∈ K * Suy ( theo ( A3 ) ) p′ =φ  f ( t ,η ) − M ( u2 − η ) − f ( t ,η1 ) + M ( u1 − η1 )  ≥ φ −  M (η − η1 ) − M ( u2 − η ) + M ( u1 − η1 )  = − Mp Do p ( t ) ≥ p ( ) e − Mt ≥ J , suy Aη1 ≤ Aη2 (đpcm) Do bổ đề 2.4.1, ta xác định dãy {vn } , {wn } sau: Trang 44 = Avn−1 wn = Awn−1 Dễ thấy {vn } , {wn } dãy đơn điệu thỏa ≤ wn , wn ∈ [ v0 , w0 ] Ta chứng minh tồn dãy {vn } , {wn } mà hội tụ J Bổ đề 3.4.2 Với giả thiết bổ đề 3.4.1, nón K nón chuẩn dãy {vn } , {wn } bị chặn đều, liên tục đồng bậc compact tương đối J Chứng minh: Vì nón K chuẩn nên dẫn đến {vn } , {wn } bị chặn (do {vn } , {wn } ∈ [ v0 , w0 ] ) Điều kéo theo tính liên tục đồng bậc dãy f ánh xạ tập bị chặn thành tập bị chặn ( theo ( A1 ) ) B ( t ) = {vn ( t )}n =0 B′ ( t ) = {vn′ ( t )}n=0 m ( t ) = α ( B ( t ) ) ∞ Bây ta đặt ∞ Khi ta có   v ( t ) − v ( t − h ) ∞  ∞ n D m (t ) ≤ α   n   ≤ α conv {vn′ ( t )}n =0  h n =0   ( ( −  ))  Vì ta có D − m ( t ) ≤ lim α  U B′ ( x )  , J h = [ t − h, t ] ⊂ J h →0 +        Jh      Hiển nhiên α  U B′ ( s )  ≤ α  U{ f ( t , vn−1 ( t ) )}  + 2M α  U{vn ( t )}n=0  n =1 J J J  h   ≤α  f   ∞ h ∞ h        J , B s  U ( )    + M α  U B ( s )   Jh     Jh    ( L + 2M )α  U B ( s )   Jh  Tính liên tục đồng bậc ( t ) dẫn đến D − m ( t ) ≤ ( L + 2M ) m ( t ) , t ∈ J Trang 45 ( ) Vì m ( ) α = = ( u0 , v0 ( ) ) nên m ( t ) = J {vn ( )}n=0 α= ∞ Suy {vn ( t )} compact tương t ∈ J Tương tự {wn ( t )} compact tương t ∈ J (đpcm) Bây ta áp dụng định lý Ascoli cho dãy {vn } , {wn } chứa dãy {vn } , k {w } hội tụ J Vì dãy {v } , {w } đơn điệu nên dãy {v } , {w } n nk n n n hội tụ đơn điệu hàm liên tục, tức là, lim v ( t ) = ρ ( t ) n →∞ lim w ( t ) = r ( t ) J n →∞ Dễ dàng suy từ (3.4.2) ρ ( t ) r ( t ) nghiệm (3.4.1) J Cuối ρ ( t ) , r ( t ) nghiệm nhỏ lớn (3.4.1) Lấy u ( t ) nghiệm (3.4.1) J cho u ∈ [ v0 , w0 ] Giả sử ≤ u ≤ wn J φ u ( t ) − vn+1 ( t )  để p ( ) ≥ , φ ∈ K * Đặt p ( t ) = Khi theo ( A3 ) giả thiết ≤ u , ta có − Mp p′ = φ  f ( t , u ) − f ( t , ) + M ( vn+1 − )  ≥  − M ( u − ) + M ( vn+1 − )  = Điều dẫn đến vn+1 ≤ u J Tương tự ta chứng minh u ≤ wn+1 J Vì u ∈ [ v0 , w0 ] nên cách quy nạp ta có ≤ u ≤ wn J với n Do cách lấy giới hạn n → ∞ ta ρ ( t ) ≤ u ( t ) ≤ r ( t ) J Chứng tỏ ρ ( t ) , r ( t ) nghiệm nhỏ lớn (3.4.1) J Ta vừa chứng minh kết sau mà tương ứng với định lý 3.3.1 Trang 46 Định lí 3.4.1 Cho K nón chuẩn giả sử ( A1 ) , ( A2 ) ( A3 ) thỏa Khi tồn dãy đơn điệu {vn } , {wn } mà hội tụ đơn điệu nghiệm nhỏ lớn ρ ( t ) , r ( t ) tương ứng (3.4.1) [ v0 , w0 ] Tức là, u nghiệm (3.4.1) [ v0 , w0 ] v0 ≤ v1 ≤ ≤ ≤ ρ ≤ u ≤ r ≤ wn ≤ ≤ w1 ≤ w0 J Hệ 3.4.1 Nếu nghiệm (3.4.1) giả thiết định lý 3.3.1 dẫn tới ρ= ( t ) u= ( t ) r ( t ) J Nhận xét 3.4.1 Nếu f tựa đơn điệu liên quan tới K K nón solid tồn nghiệm cực trị đưa phần 3.1 Nói cách khác K khơng solid hàm f ánh xạ J × K lên E tồn nghiệm cực trị biết Xem Deimling Lakshmikantham [1] Nhận xét 3.4.2 Giả sử E = ¡ n K = ¡ n+ , nón chuẩn Cho f ( t , u ) hàm tựa đơn điệu không giảm theo u với t ∈ J , tức v ≤ u ui = vi ⇒ fi ( t , v ) ≤ fi ( t , u ) Hơn nữa, với i, i = 1, 2, , n fi ( t , v1 , , ui , , ) − f i ( t , v1 , , vi , , ) ≥ − M ( ui − vi ) , v0i ( t ) ≤ vi ≤ ui ≤ w0i ( t ) Khi kết luận định lý 3.4.1 với điều kiện ( A2 ) thỏa Trong trường hợp này, từ hai bổ đề f kéo theo f ( t , u ) − f ( t , v ) ≥ − M ( u − v ) v0 ≤ v ≤ u ≤ w0 mà tương ứng với ( A3 ) Do giả sử điều kiện cuối tính tựa đơn điệu Trang 47 (quasimonotonocity) f gộp vào Tất nhiên ta khơng cần ( A1 ) E = ¡ n Tiếp theo xem kết tương ứng với định lý 3.3.2 Chúng ta bắt đầu liệt kê giả thiết sau: ( A4 ) ( A5 ) f ( t , u1 ) − f ( t , u2 ) ≤ L u1 − u2 , t ∈ J , u1 , u2 ∈ [ v0 , w0 ] v0 , w0 ∈ C1 [ J , E ] với v0 ( t ) ≤ w0 ( t ) J cho tồn M > thỏa φ v0′ − f ( t ,σ ) + M ( v0 − σ )  ≤ , φ  w0′ − f ( t ,σ ) + M ( w0 − σ )  ≥ , với σ ∈ [ v0 , w0 ] φ ∈ K * Nhận xét 3.4.3 Nếu f liên tục điều kiện ( A1 ) khơng cần thiết Vì max α ( f ( t , B ) ) ( f ( J × B )) = J Nhận xét 3.4.4 Nếu thêm điều kiện σ thỏa mãn ( A5 ) cho với φ ∈ K * , φ ( w0 ( t ) − σ ) = φ ( v0 ( t ) − σ ) = điều kiện ( A5 ) thu hẹp thành điều kiện (3.3.4) Bây giả sử f thỏa ( A3 ) dễ dàng chứng tỏ A2 ⇒ A5 Với η ∈ C [ J , E ] cho v0 ( t ) ≤ η ( t ) ≤ w0 ( t ) J xác định ánh xạ A : Aη = u , u = u ( t ) nghiệm (3.4.2) tương ứng với η Liên quan đến ánh xạ A ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.4.3 Giả sử giả thiết ( A1 ) ( A5 ) thỏa Khi A ánh xạ cung [v0 , w0 ] lên Chúng minh: Lấy η ∈ C [ J , E ] thỏa η ∈ [ v0 , w0 ] u = Aη Trang 48 Với φ ∈ K * tùy ý, đặt p ( t ) = φ u ( t ) − v0 ( t )  p ( ) ≥ với σ ∈ [ v0 , w0 ] p′ ≥ φ  f ( t ,η ) − M ( u − η ) − f ( t , σ ) + M ( v0 − σ )  ( ( A5 ) ) Chọn σ = η , ta có p′ ≥ − Mp suy p ( t ) ≥ p ( ) e − Mt ≥ J Điều chứng tỏ v0 ( t ) ≤ u ( t ) J Lý luận tương tự ta chứng minh u ( t ) ≤ w0 ( t ) J Do = u Aη ∈ [ v0 , w0 ] Vì η tùy ý nên ta có điều phải chứng minh Do bổ đề 3.4.3, ta định nghĩa dãy un = Aun−1 với u0 = v0 w0 thỏa un ∈ [ v0 , w0 ] J Do bổ đề 3.4.2 định lý Ascoli ta kết luận tồn dãy hội tụ {un } Giả sử un ( t ) − un−1 ( t ) → n → ∞ , rõ ràng giới hạn dãy nghiệm (3.4.1) J ( theo định nghĩa {un } ) : suy lựa chọn dãy không quan trọng dãy đầy đủ {un ( t )} hội tụ nghiệm u ( t ) J cho u ( t ) ∈ [ v0 , w0 ] J Do vậy, đủ để m ( t ) lim sup un ( t ) − un−1 ( t ) chứng minh m ( t ) = J , = n →∞ Bổ đề 3.4.4 Cho K nón chuẩn cho giả thiết ( A1 ) , ( A4 ) ( A6 ) thỏa Khi m ( t ) = J Chứng minh: Vì f ánh xạ tập bị chặn thành tập bị chặn nên ta cho f ( t , u ) ≤ N với t ∈ J u ∈ [ v0 , w0 ] Khi với t1 , t2 ∈ J un ( t1 ) − un−1 ( t1 ) ≤ un ( t2 ) − un−1 ( t2 ) + N t1 − t2 Trang 49 ≤ m ( t2 ) + N t1 − t2 + ε với n lớn, ε > cho trước Do m ( t1 ) ≤ m ( t2 ) + N t1 − t2 + ε Vì t1 , t2 thay đổi cho ε > tùy ý nên ta thu ⇒ m ( t ) liên tục J m ( t1 ) − m ( t2 ) ≤ N t1 − t2 Bây ( A4 ) cho ta t un−1 ( t ) − un ( t ) ≤ ∫  f ( s, un ( s ) ) − f ( s, un −1 ( s ) ) + M un ( s ) − un −1 ( s ) + M un+1 ( s ) − un ( s )  ds t ≤ ∫ ( L + M ) un ( s ) − un−1 ( s ) + M un+1 ( s ) − un ( s )  ds Với t cố định, t ∈ ( 0, T ] , tồn dãy số nguyên n1 < n2 < , cho un+1 ( t ) − un ( t ) → m ( t ) n= nk → ∞ = m* ( s ) lim un ( s ) − un−1 ( s ) tồn ( giới hạn ) J n= nk →∞ t Vì dẫn đến m ( t ) ≤ ( L + 2M ) ∫ m ( s ) ds J ( m* ( s ) ≤ m ( s ) ) ⇒ m ( t ) ≤ m ( ) e( L + M )t , t∈J Vì m ( ) = nên ta có m ( t ) = J ( điều phải chứng minh ) Như ta vừa chứng minh kết sau Định lý 3.4.2 Giả sử nón K nón chuẩn điều kiện ( A1 ) , ( A4 ) ( A5 ) thỏa Khi tồn nghiệm u ( t ) (3.4.1) J cho v0 ( t ) ≤ u ( t ) ≤ w0 ( t ) J với điều kiện v0 ( ) ≤ u0 ≤ w0 ( ) Trang 50 Hệ 3.4.2 Cho E = R n ( A4 ) , ( A5 ) thỏa Khi tồn nghiệm (3.4.1) J cho u ( t ) ∈ [ v0 , w0 ] với điều kiện v0 ( ) ≤ u0 ≤ w0 ( ) 3.5 Phương pháp tựa nghiệm trên, tựa nghiệm Trong phần này, ta xét dạng tổng qt f (3.4.1) có tính chất tựa đơn điệu hỗn tạp Để xác định lớp xấp xỉ nghiệm nghiệm phù hợp với yêu cầu chúng ta, ta giả sử f có phân tích dạng f ( t , u ) = f ( t , u ) + f1 ( t , u ) + f ( t , u ) (3.5.1) Trong f , f1 , f ∈ C [ Ω, E ] , Ω = ( t , u ) ∈ J × E : t ∈ J  v0 ≤ u ≤ w0 Định nghĩa 3.5.1 Cho v0 , w0 ∈ C1 [ J , E ] Khi v0 , w0 gọi cặp tựa nghiệm tựa nghiệm (3.4.1) v0′ ≤ f ( t , v0 ) + f1 ( t , v0 ) + f ( t , w0 ) , v ( ) ≤ u0 ,   w0′ ≥ f ( t , w0 ) + f1 ( t , w0 ) + f ( t , v0 ) , w ( ) ≥ u0  (3.5.2) Nếu (3.5.2), đẳng thức xảy ra, v0 , w0 gọi tựa nghiệm (3.4.1) Rõ ràng người ta xác định, dựa định nghĩa 3.5.1, cặp tựa nghiệm lớn tựa nghiệm nhỏ (3.4.1) Chúng ta cần dạng mạnh cặp tựa nghiệm tựa nghiệm (3.4.1) Định nghĩa 3.5.2 Cho v0 , w0 ∈ C1 [ J , E ] thỏa v0 ( t ) ≤ w0 ( t ) J Khi v0 , w0 gọi cặp tựa nghiệm tựa nghiệm mạnh (3.4.1) tồn M > cho Trang 51 φ v0′ − f ( t ,σ ) − f1 ( t , v0 ) − f ( t , w0 ) + M ( v0 − σ )  ≤ 0,   φ  w0′ − f ( t ,σ ) − f1 ( t , w0 ) − f ( t , v0 ) + M ( w0 − σ )  ≥ 0. (3.5.3) Với σ cho v0 ( t ) ≤ σ ≤ w0 ( t ) , t ∈ J φ ∈ K * Để thuận tiện ta liệt kê giả thiết sau: ( A1 ) với tập bị chặn ( A2 ) B E , α ( f ( J × B ) ) ≤ Lα ( B ) ; f ( t , u1 ) − f ( t , u2 ) ≤ L u1 − u2 , ( t , u1 ) , ( t , u2 ) ∈ Ω ; ( A3 ) f1 ( t , u ) không giảm theo u f ( t , u ) không tăng theo u liên quan đến nón K ; ( A4 ) f ( t , u1 ) − f ( t , u2 ) ≥ − M ( u1 − u2 ) với ( t , u1 ) , ( t , u2 ) ∈ Ω u2 ≤ u1; ( A5 ) với φ ∈ K * bất kỳ, 0 φ ( u1 − u2 ) = t ∈ J , φ ( f ( t , u1 ) − f ( t , u2 ) ) = Nếu f thỏa (3.5.1) , ( A3 ) , ( A4 ) ( A5 ) , ta nói f ánh xạ tựa đơn điệu hỗn tạp Với η1 ,η2 ∈ C [ J , E ] cho η1 ,η2 ∈ [ v0 , w0 ] Xét phương trình vi phân tuyến tính u′ += Mu σ ( t ) ,= u ( ) u0 (3.5.4) Trong σ ( t ) = f ( t ,η1 ( t ) ) + f1 ( t ,η1 ( t ) ) + f ( t ,η ( t ) ) + Mη1 ( t ) Với η1 ,η2 ∈ C [ J , E ] cho η1 ,η2 ∈ [ v0 , w0 ] , ta định nghĩa ánh xạ A : [ v0 , w0 ] → C [ J , E ] , định : A [η1 ,η ] = u (3.5.5) Trong u = u ( t ) nghiệm (3.5.4) J Bổ đề 3.5.1 Cho v0 , w0 ∈ C1 [ J , E ] với v0 ( t ) ≤ w0 ( t ) J Giả sử ( a ) (3.5.2), ( A1 ) , ( A3 ) ( A4 ) thỏa ( b ) (3.5.3), ( A1 ) ( A3 ) thỏa Khi A ánh xạ đoạn nón [ v0 , w0 ] thành Trang 52 Trong trường hợp ( a ) , A có thêm tính chất đơn điệu hỗn tạp [v0 , w0 ] , tức là: A[η1 ,η2 ] ≤ A[η2 ,η1 ] η1 ≤ η2 η1 ,η2 ∈ [ v0 , w0 ] Chứng minh: Lấy η1 ,η2 ∈ C [ J , E ] thỏa η1 ,η2 ∈ [ v0 , w0 ] u = A[η1 ,η2 ] u = u ( t ) nghiệm (3.5.4) J Ta đặt= p φ ( u − v0 ) với φ ∈ K * ý p ( ) ≥ Nếu ( a ) thỏa, ta có p′ ≥ φ  f ( t ,η1 ) + f1 ( t ,η1 ) + f ( t ,η ) − M ( u − η1 ) − f ( t , v0 ) − f1 ( t , v0 ) − f ( t , w0 )  ≥ φ  − M (η1 − v0 ) + f1 ( t , v0 ) + f ( t , w0 ) − M ( u − η1 ) − f1 ( t , v0 ) − f ( t , w0 )  = − Mp Nếu ( b ) thỏa, ta có: Với σ cho v0 ( t ) ≤ σ ≤ w0 ( t ) , p′ ≥ φ  f ( t ,η1 ) + f1 ( t ,η1 ) + f ( t ,η ) − M ( u − η1 ) − f ( t , σ ) − f1 ( t , v0 ) − f ( t , w0 ) − M ( v0 − σ )  Chọn σ = η1 , ta có: p′ ≥ φ  f ( t ,η1 ) + f1 ( t , v0 ) + f ( t , w0 ) − M ( u − η1 ) − f ( t ,η1 ) − f1 ( t , v0 ) − f ( t , v0 ) + M ( v0 − η1 )  = − Mp Do đó, hai trường hợp, ta nhận p ( t ) ≥ p ( ) e − Mt ≥ J Vì φ ∈ K * tùy ý nên chứng tỏ v0 ≤ u J Lý luận tương tự ta u ≤ w0 J Vì ta có A[ v0 , w0 ] ⊂ [ v0 , w0 ] Phần lại chứng minh A đơn điệu hỗn tạp Lấy η1 ≤ η2 , u1 = A[η1 ,η2 ] u2 = A[η2 ,η1 ] Trang 53 Đặt= p φ ( u2 − u1 ) ý p ( ) ≥ , φ ∈ K * Khi đó, sử dụng ( A3 ) ta thu được: φ  f ( t ,η2 ) + f1 ( t ,η2 ) + f ( t ,η1 ) − M ( u2 − η ) − f ( t ,η1 ) p′ = − f1 ( t ,η1 ) − f ( t ,η ) + M ( u1 − η1 )  ≥ φ −  M (η − η1 ) − M ( u2 − η ) + M ( u1 − η1 )  = − Mp Như phần trước, điều chứng tỏ p ( t ) ≥ J Do A[η1 ,η2 ] ≤ A[η2 ,η1 ] Vậy bổ đề chứng minh Do bổ đề 3.5.1, ta xác định dãy {vn } ,{wn } sau: vn+1 = A [ , wn ] , wn+1 = A [ wn , ] , wn ∈ [ v0 , w0 ] Kết sau liên quan đến dãy {vn } ,{wn } có nghĩa Chứng minh chúng tương tự kết tương ứng phần 3.4 Bổ đề 3.5.2 Cho K chuẩn giả thiết bổ đề 3.5.1 thỏa Khi dãy {vn } ,{wn } bị chặn đều, liên tục đồng bậc compact tương đối J Bổ đề 3.5.3 Cho K nón chuẩn giả thiết ( b ) bổ đề 3.5.1 thỏa Nếu ( A2 ) thỏa m ( t ) = J m ( t ) lim sup wn ( t ) − wn−1 ( t ) Trong m ( t ) lim sup ( t ) − vn−1 ( t )= = n →∞ n →∞ Trong trường hợp ( a ) , người ta dễ thấy {vn } ,{wn } dãy đơn điệu cho v0 ≤ v1 ≤ ≤ ≤ wn ≤ ≤ w1 ≤ w0 J Do đó, trường hợp này, dãy {vn } ,{wn } hội tụ đơn điệu hàm liên tục ρ r , tức là: = lim ( t ) ρ= ( t ) , lim wn ( t ) r ( t ) J n →∞ n →∞ Trang 54 Trong trường hợp ( b ) xẩy ra, bổ đề (3.5.2) (3.5.3) ( A2 ) cho phép ta kết luận dãy {vn } ,{wn } hội tụ ρ ( t ) , r ( t ) tương ứng J Khi đó, dễ thấy từ (3.5.4) ρ ( t ) , r ( t ) tựa nghiệm nhỏ tựa nghiệm lớn (3.4.1) J trường hợp Bây phát biểu kết Định lý 3.5.1 Cho K nón chuẩn v0 , w0 ∈ C1 [ J , E ] với v0 ( t ) ≤ w0 ( t ) J Nếu giả thiết ( a ) (3.5.2), ( A1 ) , ( A3 ) ( A4 ) thỏa tồn dãy {vn } ,{wn } hội tụ đơn điệu cặp tựa nghiệm nhỏ tựa nghiệm lớn ( ρ , r ) (3.4.1) J , nghĩa là, ( u1 , u2 ) cặp tựa nghiệm cho v0 ≤ u1 , u2 ≤ w0 J v0 ≤ v1 ≤ ≤ ≤ ρ ≤ u1 , u2 ≤ r ≤ wn ≤ ≤ w1 ≤ w0 J , với điều kiện v0 ( ) ≤ u0 ≤ w0 ( ) Nếu thêm ( a ) , điều kiện ( A2 ) thỏa ρ= ( t ) r= ( t ) u ( t ) v0 ≤ u ≤ w0 J Nếu giả thiết ( b ) , (3.5.3), ( A1 ) , ( A2 ) ( A3 ) thỏa tồn nghiệm u ( t ) (3.4.1) J cho v0 ( t ) ≤ u ( t ) ≤ w0 ( t ) J với điều kiện v0 ( ) ≤ u0 ≤ w0 ( ) Chứng minh: Theo bổ đề ( A2 ) nên dẫn đến trường hợp ( b ) , ρ= ( t ) r= ( t ) u ( t ) v0 ( t ) ≤ u ( t ) ≤ w0 ( t ) J Trong trường hợp ( a ) ta phải chứng minh ( ρ , r ) cặp tựa nghiệm nhỏ lớn (3.4.1) J Để kết thúc, lấy ( u1 , u2 ) cặp tựa nghiệm (3.4.1) cho u1 , u2 ∈ [ v0 , w0 ] J Giả sử với số nguyên k > đó, ta có vk −1 ≤ u1 , u2 ≤ wk −1 J Trang 55 Khi đó, đặt= p φ ( u1 − vk ) ý p ( ) = , ta nhận = p′ φ  f ( t , u1 ) + f1 ( t , u1 ) + f ( t , u2 ) − f ( t , vk −1 ) − f1 ( t , vk −1 ) − f ( t , wk −1 ) + M ( vk − vk −1 )  ≥ − Mp Suy p ( t ) ≥ chứng tỏ vk ≤ u1 J Lý luận tương tự chứng tỏ vk ≤ u1 , u2 ≤ wk J Vì v0 ≤ u1 , u2 ≤ w0 J giả thiết nên kéo theo (bằng cách quy nạp) ρ ≤ u1 , u2 ≤ r J , chứng tỏ ( ρ , r ) cặp tựa nghiệm nhỏ lớn (3.4.1) J Nếu ( A2 ) xẩy ta dễ dàng thiết lập ρ= ( t ) r= ( t ) u ( t ) v0 ≤ u ≤ w0 J Vậy định lý chứng minh Trang 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày năm phương pháp để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach có thứ tự Mỗi phương pháp có ứng dụng vào tồn nghiệm tương ứng với giả thiết hàm f Luận văn cung cấp số phương pháp đại khảo sát tồn nghiệm phương trình vi phân trừu tượng khơng gian có thứ tự Qua luận văn tơi học phương pháp nghiên cứu khoa học (Đọc, tìm hiểu, truy cập tài liệu) Tơi hy vọng có điều kiện nghiên cứu tiếp đề tài Trang 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lakshmikantham, V , and Leela, S [1] Nonlinear differential equations in abstract spaces, Pergamon Oxford, 1981 [2] Cone valued Lyapunov function, Nonlinear Anal ,1(1977),pp 215-222 [3] On the method of upper and lower solution in abtract cnnes, Ann Polon Math ,42(1983), pp.159-164 [4] Differential and Integral Inequalities, Vol I-II, Academic Press, New York, 1969 [5] Method of quasi-upper and solution in abtract cones, Nonlinear Anal ,6(1982), pp 833-838 Nguyễn Bích Huy, Giải Tích Phi Tuyến ... định lý chứng minh (2.3.4) Trang 25 Chương ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 3.1 Bất phương trình vi phân Để... ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI T ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 25 T 3.1 Bất phương trình vi phân 25 T T 3.2 Tập hợp bất. .. 1988 Luận văn trình bày thành ba chương Chương I: Trình bày nón tính chất nón Chương II: Trình bày điểm bất động ánh xạ đơn điệu Chương III: Áp dụng phương pháp nghiên cứu tồn điểm bất động khơng