(Luận văn thạc sĩ) thực trạng năng lực cạnh tranh điểm đến du lịch núi bà đen, tỉnh tây ninh

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1:

Phức dưới (phức lùi) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số lùi theo tập chỉ số các số nguyên có dạng: thỏa

(1) Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (1) và viết đơn giản: và 0

n , tức là Im  Ker n Định nghĩa 1.1.2:

Phức trên (phức tiến ) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số tiến theo tập chỉ số các số nguyên có dạng:

n n 1 Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (2) và viết đơn giản và 0

Như vậy một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp được đánh số theo tập số nguyên Nếu phức có chiều tăng các chỉ số cùng chiều với chiều đồng cấu thì ta gọi đó là phức tiến Ngược lại, nếu phức có chiều tăng các chỉ số ngược chiều với chiều các đồng cấu thì ta gọi đó là phức lùi.

Ta có thể chuyển phức tiến thành phức lùi và ngược lại bằng cách đặt lại chỉ số n '  n

Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau:

n và  n  'n , khi đó ta được dãy phức lùi:

Trong luận văn này, hay phức K   K n ,

 chúng ta chỉ tập trung vào phức lùi Vì thế, khi nói n

 ta ngầm hiểu đây là phức lùi.

' ' n n Khi đó, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.2.1:

Một biến đổi dây chuyền f :

 n  n đó đồng nghĩa với biểu đồ sau đây giao hoán:

' là một họ các với mọi số nguyên n đồng cấu Điều kiện

K  n 1 n 1 n n n1 Để đơn giản, chúng ta thường lược bỏ phần chỉ số Tuy vậy, khi gặp mỗi hệ thức đồng cấu, ta phải ngầm hiểu rằng đó là đồng cấu với chỉ số nào.

Ta có một số tính chất sau:

 Tích đồng cấu của 2 biến

 đổi dây chuyền cũng là một biến đổi dây chuyền.

 1 K : K n  K n  cũng là một biến đổi dây chuyền. n

Với các phức và các biến đổi dây chuyền được định nghĩa như trên, ta định nghĩa được phạm trù các phức như sau. Định nghĩa :

Phạm trù các phức là phạm trù mà trong đó:

 Cấu xạ là các biến đổi dây chuyền.

 Phép hợp thành: là phép hợp 2 đồng cấu.

Cho phức K , ta định nghĩa

Khi đó, ta gọi H n  K  là modun đồng điều chiều n của phức tử trong H n  K  là một lớp tương đương có dạng x  x  Im  n1

' là một biến đổi dây

Theo định nghĩa của biến đổi dây chuyền thì biểu đồ trên giao hoán Do đó, f n  Ker n   Ker n và f n  Im  n 1   Im  n1 Vì thế, f n cảm sinh đồng cấu với

Với mỗi phần tử x  Im   H n  K , ảnh của chúng qua đồng cấu trên được xác định như sau f *  x  Im    H n  x  Im    f  x   Im  '

Ta dễ dàng chứng minh được đồng cấu được cảm sinh bởi f n có các tính chất sau:

Như vậy, H n là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các phức và các biến đổi dây chuyền đến phạm trù các modun Mỗi phức K ứng với modun đồng điều

H n  K  và mỗi biến đổi dây chuyền f thì ứng với đồng cấu modun H n  f  Hàm tử này ta gọi là hàm tử đồng điều.

Bây giờ, ta xét 2 biến đổi dây chuyền f , g : K  K '

 n được gọi là đồng luân dây chuyền của f , g

 n 1 s f g g n hay s : f g ) nếu nó thỏa điều kiện sau:

Thông thường, để đơn giản, người ta thường bỏ các chỉ số như sau:

Tuy nhiên, khi đọc vào hệ thức ta phải hiểu được nó ứng với đồng cấu nào trong sơ đồ.

Một số tính chất của đồng luân dây chuyền:

- Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương (nghĩa là quan hệ đồng có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu).

- Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ (nghĩa là nếu

: K  K' và f ', g ' : K '  K '' , đồng thời f g , f ' g ' thì khi đó f '

 K luân bảo toàn hàm tử đồng điều (nghĩa là nếu f g thì  

Cho f : K  K ' là ánh xạ dây chuyền Khi đó, ta nói f là tương đương đồng luân nếu tồn tại ánh xạ dây chuyền g : K '  K sao cho gf 1

Nếu f : K  đẳng cấu. là tương đương đồng luân thì f

1.6 Dãy đồng điều khớp Định nghĩa 1.6.1:

Dãy các modun và các đồng cấu modun f g được gọi là khớp tại B nếu ảnh của đồng cấu vào bằng với hạt nhân của đồng cấu ra (tức là

Một dãy các modun được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi modun trong dãy.

Cho dãy khớp ngắn các phức

Ta cần chứng minh Im f *  Kerg *

Ta có: g * f *   gf  *  0 *  0 Suy ra Im f *  Kerg *

Như vậy chỉ cần chứng minh Im f *  Kerg * Thật vậy, ta lấy b 

Do c C và g toàn cấu suy nên

Ta có: f *  a   f  a   b    b '   b  b  Im f *  Kerg *  Im f *

Cho dãy khớp ngắn các phức

g Khi đó, ta có dãy sau :

Ta cần chứng minh các điều sau:

11 i/Ta lấy c  Ker , b  g  1  c  ta có : g   b   g  b     c   0    b  Kerg  Im f

Nên f  1  b  tồn tại Do đó f  g  c 

1 1 tồn tại. ii/Ta chứng minh f

 c  lấy lớp được, tức là chứng minh f

g g g iii/Ta chứng minh tồn tại duy nhất f

Nếu có b 1 , b 2 : g  b 1   g  b 2   c , ta chứng minh

 nên : iv/ Hiễn nhiên  n là đồng cấu. v/ Chứng minh dãy (3) khớp tại H n  C  với mọi n

Ta cần chứng minh chiều ngược lại Im g  Ker n

Từ đó suy ra Im g *  Ker n

Dãy (4) trong bổ đề 1.6.3 là 1 dãy khớp dài.

Theo bổ đề 1.6.2, ta có dãy (4) đã khớp tại H n  B

Theo bổ đề 1.6.3, ta có dãy (4) đã khớp tại H n  C

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh dãy (4) khớp tại H

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh Im  n 1  Kerf *

 b  c  g  b  Khi đó, g  b  lấy lớp được, tức là c  H n 1  C  (Vì

Ta gọi dãy (4) là dãy

Kerf * nên (4) khớp tại H n  A  với mọi n Từ đó dẫn đến (4) đồng điều khớp.

HÀM TỬ TENXO

Hàm tử F là một quy luật,tương ứng với mỗi vật A trong phạm trù với một vật F  A  trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong phạm trù với một cấu xạ F    : F  A   F  B  trong phạm trù  Đồng thời, thỏa mãn hai điều kiện sau:

HT1: Với mỗi vật A trong phạm trù , ta có: F 1 A  1 F  A 

HT2: Với hai cấu xạ  : A  B và  : B  C , ta có F     F    F

Hàm tử hiệp biến khi xét trên hai phạm trù C và D, F được gọi là hàm tử phản biến từ C vào D khi F đưa mỗi đối tượng X thuộc phạm trù C thành một đối tượng FX thuộc phạm trù D và mỗi ánh xạ f: X → Y thuộc phạm trù C thành một ánh xạ Ff: FX → FY thuộc phạm trù D thỏa mãn: F(idX) = idFX và F(g∘f) = Fg∘Ff.

Phản hàm tử F là một quy luật,tương ứng với mỗi vật A trong phạm trù với một vật F  A  trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong phạm trùvới một cấu xạ F 

B   F  A  trong phạm trù  Đồng thời, thỏa mãn hai điều kiện sau:

HT1: Với mỗi vật A trong phạm trù

HT2: Với hai cấu xạ  : A  B và

Cho X là R  modun phải và Y là R  modun trái Định nghĩa 2.2.1:

Tích tenxo của 2 modun X và Y là nhóm abel K sao cho tồn tại 1 ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  K thỏa mãn điều kiện sau: với mỗi ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  G thì luôn tồn tại duy nhất một đồng cấu f : K G và f

   Ta ký hiệu tích tenxo của X và Y là X Y Ánh xạ  : X  Y  K trong định nghĩa trên còn được gọi là ánh xạ tenxo Như vậy theo định nghĩa, ta có biểu đồ sau đây giao hoán Định lý 2.2.2:

Tích tenxo của 2 modun khác 1 đẳng cấu )

Y luôn tồn tại và duy nhất (sai Định lý 2.2.3:

Cho họ  X i  là họ các R  modun iI modun trái Khi đó ta có đẳng cấu sau: phải và họ  Y i  iI là họ các

2.3 Tích tenxo của 2 đồng cấu:

Cho f : K R  X R là một R  modun phải và g : R L  R Ylà một

Theo định lý 2.2.2, tích tenxo K  L , X

Y xạ tenxo  1 : K  L  K  L và ánh xạ tenxo  2 : X Ta có sơ đồ sau: luôn tồn tại Vì thế tồn tại ánh

Trong đó  là ánh xạ song tuyến tính được xác định theo công thức sau:

Ánh xạ song tuyến tính τ2φ: K × L → X  Y đảm bảo sự tồn tại duy nhất của ánh xạ h: K  L → X  Y thỏa mãn hτ1 = τ2φ, được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, ký hiệu là h = f  g.

Một số tính chất của tích tenxo 2 đồng cấu. i Tích tenxo của 2 đồng cấu đồng nhất là 1 đồng cấu đồng nhất ii Nếu A  B C là các đồng cấu R- modun phải và f f ' g g'

D  E F là các đồng cấu R- modun trái thì:

 f ' f    g ' g    f ' g '  f  g  iii Tích tenxo của 2 toàn cấu cũng là một toàn cấu

Cho G là R-modun phải, ta xây dựng hàm tử như sau:

 Đặt tương ứng mỗi mỗi R-modun trái X với nhóm abel G  X 16

Với cách xây như vậy, và theo các tính chất của tích tenxo, ta có:

 Với mỗi đồng cấu modun f , g sao cho tích gf tồn tại thì

Như vậy, theo định nghĩa hàm tử,  G 1  G   là hàm tử hiệp biến.

Tương tự cách xây dựng trên ta hoàn toàn có thể xây dựng được một hàm tử

 C2 :   C : Mod R  Ab với C là một R- modun trái xác định trước. Định lý 2.4.1:

Các hàm tử là, nếu 0  M  cũng khớp.

  và   C  là các hàm tử khớp về bên phải

Nghĩa  P  0 là dãy khớp thì 2 dãy

Các hàm tử  G   và   C  bảo toàn tính khớp – chẻ đối với các dãy khớp ngắn và chẻ.

Modun dẹt phải G là một R-modun phải sao cho hàm tử  G là hàm tửkhớp Nghĩa là, nếu dãy 0GM

0M NP0 cũng khớp. khớp thì dãy Định nghĩa 2.4.4:

Modun dẹt trái C là một R-modun trái sao cho hàm tử  

 M NP0 cũng khớp. khớp thì dãy Định lý 2.4.5:

Vành hệ tử R vừa là một modun trái dẹt vừa là một modun phải dẹt, điều này có nghĩa là R là một modun dẹt.

PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR

3.1 Phép giải xạ ảnh Định nghĩa 3.1.1:

Modun P được gọi là với mỗi đồng cấu  : P 

  modun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu  :

Y luôn tồn tại một đồng cấu  : P 

Y , thì sao cho Định lý 3.1.2:

Mọi modun tự do đều là modun xạ ảnh. Định nghĩa 3.1.3:

G là một R-modun Khi đó, phép giải xạ ảnh của G là một dãy khớp

Trong đó, tất cả các modun X i đều là modun xạ ảnh

i Nếu tất cả các modun X i đều là modun tự do thì tự do.

X được gọi là phép giải Định lý 3.1.4:

Cho G là một R-modun Khi đó, luôn tồn tại phép giải tự do trên G

0 với F là một modun tự do

Với G là R-modun, ta có A 0

Như vậy, ta có dãy khớp 0  A 0 F 0 0G 0 f

1 A 1 với F là một modun tự do

Vì thế ta tiếp tục có dãy khớp

Tương tự như trên ta có các dãy sau khớp:

Do đó ta có dãy sau:

Ta chứng minh dãy (*) là dãy khớp

 Tại F n , n  0 : Ta có Im f n g n 1  Im f n  Kerg n 

 Tại F 0 : Ta có Im f 0 g 1  Im f 0  Kerg 0 Vậy (*) khớp tại

 Tại G : Do g 0 là toàn cấu nên (*) khớp tại G Như vậy, dãy (*) là phép giải tự do của G n 1 g n

Cho G là modun, phép giải xạ ảnh trên G luôn tồn tại. Định lý 3.1.5:

A, B là 2 modun và h : A  B là đồng cấu Giả sử, X là phép giải

A và Y là phép giải xạ ảnh của B Khi đó, luôn tồn tại phép biến đổi dây chuyền f : X Y với f 1  h

Cho A, B là 2 modun, X ảnh của B Nếu f , g : X Y đồng luân với g Định lý 3.1.7 : Định lý so sánh là phép giải xạ ảnh của A và Y là 2 biến đổi dây chuyền thỏa là phép giải xạ f 1  g 1 thì f

Cho modun G , G 'và đồng cấu  : G G ' VớiX   G và

 ' là phép giải xạ ảnh của G , G ' , thì khi đó, tồn tại một biến đổi dây

X 'G' chuyền f từ X vào X ' sao cho các hình vuông giao hoán Các biến đổi dây chuyền thỏa điều kiện trên thì tương đương đồng luân với nhau.

Hai phép giải xạ ảnh của cùng 1 modun X thì tương đương đồng luân.

Cho G , C là 2 modun trên vành hệ tử R X , Y lần lượt là phép giải xạ ảnh của X , Y

Khi đó, ta có dãy nửa khớp sau:

Mệnh đề 3.2.1: Nếu X , Y là 2 phép giải xạ ảnh của modun

Cho G , C là hai modun Ta định nghĩa:

Tor  G , C   H n n trong đó X là phép giải xạ ảnh trên G

Với n 1 thì TorG , C  ta có thể ghi thành

Với n  0 thì ta quy ước Tor 0  G , C   G  C

 1 được gọi là tích xoắn của

Một số tính chất cơ bản của Tor i Nếu C xạ ảnh thì Tor n  G , C   0 , với mọi n  1, G ii Nếu G xạ ảnh thì Tor n  G , C   0 , với mọi n  1, C iii Nếu G , C là 2 modun trên vành chính thì Tor n  G , C   0, n  2 iv Nếu G có phép giải xạ ảnh X thỏa X m  0,m  n

Cho A là một R module phải và dãy khớp ngắn 0 M P A 0 trong đó P là R module xạ ảnh Khi đó với mọi R module trái B , ta có:

Tor n  A , B   Tor n 1  M , B  với n 1 và Tor  A , B   Ker  f  i 

Sau đây, ta sẽ xây dựng tích xoắn của các đồng cấu.

R module tồn tại phép h : A trái biến

X , X ' lần lượt là các đổi dây chuyền giữa module phải và k : B phép giải xạ ảnh của A , X và X ' thỏa f 1 h

B ' là đồng cấu ' Khi đó, luôn

Bây giờ, ta lấy tenxo biến đổi dây chuyền f : X có phép biến đổi dây chuyền f  k   f n

'B' và vì thế f k cảm sinh ra đồng cấu  f  k  : Tor n  A ,

Tor n  A ', B ' k , ta Đồng cấu trên không phụ thuộc vào biến đổi dây chuyền vào các đồng cấu h và k Ta gọi đồng cấu đó là tích xoắn n hệ tử R và kí hiệu là Tor n  h , k  f , chỉ phụ thuộc chiều trên vành

1, ta không cần ghi chỉ số

Với các kết quả được nêu ở trên, ta nhận thấy theo

T or n là một hàm tử hiệp biến

Hàm tử T or được xây dựng như ở trên là hàm tử T or được xây dựng bởi phép giải xạ ảnh Ở chương sau, chúng ta sẽ xây dựng hàm tử T or trực tiếp bằng các phân hoạch bộ ba Đồng thời, chứng minh định lý quan trọng : “ Hàm tử T or được xây dựng bởi hai phương pháp là tương đương đồng luân”.

XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR

MODUN ĐỐI NGẪU

Cho A là một R  modun trái Đặt

Nhóm Hom ngoài như sau:

A, R  ở trên là một nhóm cộng abel Ta xác định phép nhân

Với mọi phần phần tử đồng cấu: f  Hom  A, R

 và r R Ta xác định f r là một fr :

Với phép nhân ngoài được

R  modun phải Thật vậy, ta kiểm

 R R fr  a   f  a .r xác định như trên, Hom tra 4 tiên đề modun:

M2: Với mọi phần tử f  Hom  A, R  , mọi phần tử f  rs  a   f  a  rs   f  a  r  s   fr  a 

M3: Với f , g  Hom  A, R  và r R ta có:

Như vậy, Hom  A, R  là một R-modun phải. Định nghĩa 1.1.1:

 được nói đến ở trên là đối ngẫu của modun A và ta kí hiệu là A *  Hom

Tương tự, ta cũng xây dựng được khái niệm modun đối ngẫu cho R  modun phải B

Khi nhắc đến phạm trù, ta luôn quan tâm đến vật và cấu xạ Nói riêng, trong phạm trù modun, ta quan tâm đến các modun và các đồng cấu modun Ở trên, ta đã xây dựng khái niệm đối ngẫu của modun Vậy câu hỏi đặt ra ở đây là đồng cấu có khái niệm đối ngẫu hay không ? Định nghĩa 1.1.2:

Cho A và A' là hai R  modun trái và f : A  A '

Khi đó, đối ngẫu của đồng cấu sau: f ta kí hiệu là f * và được xác định như f *  Hom  f ,1: A '*  A *

1.2 Các mệnh đề và định lý của modun đối ngẫu:

Chứng minh: là các R  modun trái Khi đó,

B là tổng trực tiếp của A và B nên ta có sơ đồ sau

A  j 1  A  B  j 2  B và A  p 1 A  B  p 2 B Các đồng cấu trên thỏa: p 1 j 1

Bây giờ ta lấy đối ngẫu các modun và các đồng cấu trên, nhờ tính chất của hàm tử Hom các đồng cấu sau khi lấy đối ngẫu cũng thỏa mãn các điều kiện trên.

Cho dãy khớp ngắn 0  A  B  C  0 Do hàm tử Hom  , R  là hàm tử phản biến và bảo toàn tính khớp trái, nên ta có dãy khớp sau:

Nói cách khác, nếu A  B thì  B A  *  C * là đẳng cấu với modun con của

B * bao gồm tất cả các đồng cấu f : B  R thỏa mãn điều kiện biến tất cả phần tử x  A thành phần tử 0 Khi đó ta gọi modun con này là cái linh hóa của A và kí hiệu là Annih A

A  k  A * , trong đó k là đơn cấu. Đối với mỗi R modun trái A , có một đồng cấu tự nhiên

 mỗi phần tử a  A , ta xác định đồng cấu a  với f  A * Như vậy  A  a    a

A thì  a là một ánh xạ tuyến tính của phần tử f  A * Định lý 1.2.2:

R  moduntrái xạ ảnh, hữu hạn sinh thì L là R modun

** là đẳng cấu. ảnh Khi đó, đồng cấu tự nhiên  : L  L phải,

Cho F là modun tự do hữu hạn sinh với cơ sở e 1 , e 2 , , e n thì ta xác định các phần tử e j  F * 1 , i  j với e j  e i   

0 Mỗi đồng cấu f :FR là duy nhất Mỗi phần tử trong f (e 1 ) , f (e 2 ) , , f (e n ) là cơ sở Ta đặt f (e i )  r i  R Khi đó: f   e r j j f  F

Và do đó, F * tự do với cơ sở e 1 , e 2 , , e n Xét  e 1 , e 2 , , e n thành cơ sở e 1 , e 2 , , e n Vì đây là ảnh xạ là đẳng cấu.

F là ánh xạ chuyển cơ sở từ chuyển cơ sở nên  F : F  F **

Nếu L là modun xạ ảnh, hữu hạn sinh thì khi đó tồn tại modun tự do hữu hạn sinh F sao cho

L với g toàn cấu và đồng thời F L

Do F tự do nên sinh Ta có F

F * là modun tự hạn sinh Đồng cấu chứng minh.

' cũng là modun xạ ảnh, hữu hạn xạ ảnh Từ đó suy ra L

* và ** ** ** , đẳng cấu này chuyển L

' LL'FF  L  L ' do, nên F * xạ ảnh Do F *  L *  L ' * nên L * xạ ảnh, hữu là đẳng cấu ( chứng minh ở trên ) nên do đó ta kết thúc Định nghĩa 1.2.3:

Cho A và C là các R modun trái Khi đó, ta có đồng cấu tự nhiên

Với mỗi phần tử f A * và phần như sau   f  c  a   f  a 

Ta dễ dàng kiểm tra được   f

 c tử c C , ta xác định  mọi phần tử a A

 là một đồng cấu từ A

Hơn thế nữa, đồng cấu nhờ tính chất của hàm tử này còn là song cộng tính và kết hợp trong với f tenxo.

Nếu L là R modun trái xạ ảnh hữu hạn sinh, thì là đẳng cấu tự nhiên:

Nếu V và W là các không gian vecto hữu hạn chiều, ta chọn L V *

C W Khi đó, L * V và theo mệnh đề trên thì cho ta đẳng

V  W  Hom  V * ,W  Vì thế, ta có thể xác định được tích tenxo của các không gian vecto bằng hàm tử Hom và đối ngẫu Ngoài ra, V W là không gian liên hợp của không gian các ánh xạ song tuyến tính từ tích V W tới trường hệ tử.

Bây giờ, ta chứng minh mệnh đề 1.2.4.

Nếu L là môđun tự do với cơ sở e1, e2, , en thì cơ sở đối ngẫu là e1*, e2*, , en* Mọi phần tử trong F* © đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng ei* © với các hằng số © © Phép đồng cấu f: F → C được xác định bởi f(∑ ei © ei) = f là đồng cấu từ F vào C và f(ej) = cj với j = 1, , n Vì F tự do nên ảnh của f là C.

 , f  e 2  , , f  e n  là cơ sở Như vậy  F là ánh xạ chuyển cơ sở nên là đẳng cấu.

Nếu L là xạ ảnh hữu hạn sinh, ta chứng minh tương tự như định lý 1 Từ đó ta có được kết quả cần chứng minh.

Ta kết thúc chứng minh mệnh đề 1.2.4 ở đây.

Cho A và B cấu tự nhiên  : A *

 : là hai modun trên vành giao hoán Khi đó, ta có một đồng

B  AB xác định với mỗi đồng cấu

Cho L và B là hai hữu hạn sinh Khi đó, tồn modun trên vành giao hoán tại một đẳng cấu tự nhiên:

K Trong đó, L xạ ảnh và

Do L là modun xạ ảnh, hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 1.2.4, ta có :

Như vậy chính là tích của các đẳng cấu nên cũng đẳng cấu Vậy, ta kết thúc chứng minh ở đây.

XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR

G là R modun phải và C và kết thúc bởi C , kí hiệu là là R

 , L, modun trái Ta lập một bộ ba mở

 L là phức các R modun phải xạ ảnh hữu hạn sinh có độ dài là

 : L G là một biến đổi dây chuyền từ phức L vào phức tầm thường G

: L G thực chất chính là đồng cấu : L 0 G thỏa mãn

C là biến đổi dây chuyền từ * ( L

: L L  Hom R  L , R  liên hợp của L , L : L0 L1 Ln ) vào phức tầm thường C

* thực chất là đồng cấu * C thỏa mãn 0

Tập tất cả các bộ ba mở ảnh hữu hạn sinh có độ dài n ta ký hiệu là  đầu bởi G và kết thúc bởi C 0 như trên, ta ký hiệu là   G , C với L

 hay là phức xạ để đơn giản

2.2 Quan hệ toàn đẳng trên tập các bộ ba

Với bộ ba sinh có độ dài là

L,  và L ' là một phức các R modun phải xạ ảnh hữu hạn

L ' là biến đổi dây chuyền thì s * : L '* L * cũng là một biến đổi

L ' là biến đổi dây chuyền nên biểu đồ sau đây giao hoán.

* k 1 k k k k 1 k k k k k 1 Đồng cấu k : L * k L * k ta có đẳng thức

1 được xác định theo công thức  k  

 s *   s *  k k 1 k k Đẳng thức trên chứng tỏ biểu đồ sau đây cũng giao hoán

Vì thế, s * : L '*  L * cũng là một biến đổi dây chuyền. Định nghĩa 2.2.2:

Ta nói  , L ,     ', L ',  ' nếu tồn tại biến đổi dây chuyền s

: L cho các biểu đồ sau đây giao hoán:

Do 2 biểu đồ trên giao hoán, nên ta có các đẳng thức sau:

Quan hệ của 2 bộ ba trên được viết dưới dạng đồng nhất thức sau:

Ta gọi nó là đồng nhất thức trượt.

Từ quan hệ đồng nhất  đã nêu trên, có thể mở rộng thành quan hệ toàn đẳng cho các bộ ba trong  Đây là quan hệ tương đương bé nhất bảo toàn đồng nhất thức trượt Hai bộ ba được gọi là toàn đẳng nếu một bộ ba suy được từ bộ ba còn lại sau khi thực hiện hữu hạn lần đồng nhất thức trượt Để đơn giản, thay vì viết t1  t2, ta viết t1  t2 với t1, t2 là các bộ ba trong .

Vì quan hệ toàn đẳng là quan hệ tương đương nên nó thực hiện sự phân lớp tập các bộ ba  thành một tập các lớp tương đương các bộ ba toàn đẳng với nhau. Định nghĩa 2.2.3:

Tập thương trên ta ký hiệu là Tor n R  G , C  Để đơn giản ta có thể viết là Tor n  G , C  Các phần tử trong Tor n  G , C

Lớp được ký hiệu là cls (μ, L, ν), trong đó (μ, L, ν) là bộ ba đại diện của lớp Để đơn giản, các phần tử này có thể được viết dưới dạng (μ, L, ν) thay vì cls (μ, L, ν).

2.3 Tổng trực tiếp của hai phần tử của Tor n  G , C  :

Do L 1 , L 2 là các phức xạ ảnh hữu hạn sinh, nên L 1  L 2 cũng là phức xạ ảnh hữu hạn sinh.

:L G là các biến đổi dây chuyền nên

 1  2 : L  L  G  G cũng là một biến đổi dây chuyền.

Do  1 : L  C, 2 :L C là các biến đổi dây chuyền nên

 1  gọi là tổng trực tiếp của t 1 và

2 1 t 2 cũng là một biến đổi dây chuyền.

Nếu t 1 toàn đẳng với t 1và t 2 toàn đẳng với t 2 thì

Chứng minh: toàn đẳng với

Do t 1 chứng minh tổng trực tiếp bảo toàn đồng nhất thức trượt. toàn đẳng với t 1và t 2 toàn đẳng với t 2nên ta có :

Trong đó, s 1 : L 1  L 1 ' và s 2 : L 2  L 2 ' là các biến đổi dây chuyền Do đó, s 1  s 2 : L 1  L 2  L 1 ' L 2 ' cũng là một biến đổi dây chuyền.

Như vậy, tổng trực tiếp bảo toàn đồng nhất thức trượt nên mệnh đề trên đã chứng minh xong.

Cho  : G  G ',  trái tương ứng Khi đó,

 C ' cảm là các đồng cấu

R sinh ra các ánh xạ modun phải và R modun

* , * được xác định như sau:

Các đồng cấu * , *ta gọi là các ánh xạ cảm sinh từ các đồng cấu ,

Như vậy, các ánh xạ  * ,  * bảo toàn đồng nhất thức trượt nên nó bảo toàn quan hệ toàn đẳng. Định nghĩa 2.4.1:

Cho  : G  G ',  : C  C ' là các đồng cấu R modun phải và R modun trái tương ứng Khi đó các ánh xạ:

Trong đó, với cls  , L ,   Tor n  G ,

Ta gọi  * ,  * là các ánh xạ cảm sinh từ

Với 2 phần tử t 1   1 , L , 1 1  và t 2  2 ,L 2 , 2  định một phép toán hai ngôi trên Tor n  G , C  như sau: t  t

C là các đồng cấu tổng.

1 2 1 1 2 Để kiểm tra phép toán trên là phép toán hai ngôi trên Tor n

2 , 1 ,2 là các biến đổi dây chuyền nên  1  2 :L 1 L 2 GG và  1  2 :  L 1  L 2  *  C C cũng là các biến đổi dây chuyền Hơn nữa, là các  2 đồng cấutổngnên  G 12 :L 1 L

    : L 1  L 2 *  C cũng là một biến đổi dây chuyền.

L là các phức xạ ảnhhữu hạnsin

0n ên cũng là phức xạ ảnh hữu hạn sinh chiều dài n Vì thế G

1 2 G 1 2 C 1 2 n Ở các phần trước ta đã chứng minh được t t

2 bảo toàn đồng nhất thức

1 trượt và  G  ,  C  cũng bảo toàn đồng nhất thức trượt nên phép toán hai

* * ngôi ở trên cũng bảo toàn đồng nhất thức trượt Và do đó, phép toán được định nghĩa ở trên là hợp lý.

Phép toán hai ngôi trong định nghĩa trên có tính chất kết hợp.

Do tổng trực tiếp có tính chất kết hợp nên

Bây giờ, ta chứng minh G G 1 2 3 G 1 G 2 3.

Lấy  l 1 , l 2 , l 3    L 1  L 2   L 3  L 1   L 2  L 3  Khi đó, ta có :

Do tính kết hợp trong modun phải G nên ta có:

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

Vậy, ta đã chứng minh được t  t

 1 1  ngôi được định nghĩa ở trên có tính chất kết hợp.

Phép toán hai ngôi trên có tính chất giao hoán.

2 1 2 1 t  t      , L 2 Xét các đồng cấu sau:

Khi đó, ta có giao hoán:

 * là các biến đổi dây chuyền do các biểu đồ sau đây

1 đổi dây chuyền Do đó, ta có:

Ta dể dàng kiểm tra được

Như vậy, ta đã chứng minh được phép toán hai ngôi này có tính chất giao hoán.

Phép toán hai ngôi này trong Tor n  G , C  có phần tử 0 và mọi phần tử trong Tor n  G , C  có phần tử đối.

Xét phần tử  0,0,0  Tor G , C n   Thành phần 0 ở giữa chính là phức các modun 0 có chiều dài là n

Như vậy  0,0,0  Tor  G , C  là phần tử 0 trong Tor G , C

Các bộ ba trong Tor G , C

 có một thành phần bằng 0 cũng là phần tử 0. n 

Thật vậy, ta xét biến đổi dây chuyền sau:

Xét biến đổi dây chuyền :

Như vậy, ta đã chứng minh được, phần tử t    , L , Tor n  G ,

C  là phần tử 0 nếu có ít nhất một thành phần trong ba thành phần trên bằng 0.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh mọi phần tử trong Tor G , C

 đều có phần tử n  đối Lấy t    , L , Tor n  G , C  Xét phần tử   , L , Tor n  G ,

Phần tử này là phần tử đối của t , ta ký hiệu là t Thật vậy: t   t     G         , L  L,  C        0, L 

Như vậy, ta đã chứng minh được trong Tor G , C

 có phần tử 0 và mọi n  phần tử trong

 đều có phần tử đối. n 

Từ các mệnh đề trên, ta suy ra tập Tor G , C

 với phép toán hai ngôi như n  đã định nghĩa là một nhóm abel Như vậy, ta đã xây dựng được cấu trúc nhóm abel cho tập Tor

 Hơn thế nữa, các phần tử trong Tor G , C

 có tính chất n n  cộng tính theo cả và nghĩa là:

Ta chứng minh T or n cộng tính theo

Xét ánh xạ chéo  L : L  L  L có đối ngẫu là  * : L *  L * 

Tương tự, ta cũng chứng minh được Tor cộng tính theo n

Tiếp theo ta sẽ xây dựng cấu trúc modun cho này, trước hết ta cần xác định phép nhân ngoài thỏa các tiên đề phải. Để thực hiện điều của R-modun trái,

Nếu G là một T R song modun thì với mọi phần tử k : G G với  k  g   kg , g G trở thành một R đồng cấu.

Ta dễ dàng kiểm tra tính đồng cấu của ánh xạ trên Thật vậy, ta có:

Như vậy, ta đã chứng minh được ánh xạ

Mệnh đề 2.5.2: k được xác định ở trên là một

Cho G là một T R song modun và C là R modun trái Khi đó,

 có thể trang bị cấu trúc T modun trái với phép nhân ngoài được n  xác định như sau:

Mệnh đề trên ta có thể tự kiểm tra thông qua 4 tiên đề của modun trái.

Tương tự với các xây dựng trên, nếu C là một R S song modun thì s S , ánh xạ s : C C với  s  c   cs , c C trở thành một R đồng cấu.Khi đó, tập Tor n  G , C  có thể được trang bị cấu trúc S modun phải với phép nhân ngoài như sau:

Từ các mệnh đề trên, ta có định lý: Định lý 2.5.3:

Nếu G là một T R song modun và C cũng là một R thì khi đó,

Nếu G là một T R song modun thì Tor n  G , C  là một theo mệnh đề trên.

Nếu C là một R S song modun thì Tor G , C

 là một n  theo cách xây dựng như trên. song modun modun trái modun phải

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh với mỗi phần tử và mỗi phần tử t    , L ,  Tor n  G , C  thì ta có: k T , mỗi phần tử s

R modun trai Theo như phần trước, , cảm sinh ra các ánh xạ * , * Ta có thể kiểm tra bằng định nghĩa đồng cấu nhóm, các ánh xạ nhóm Các đồng cấu nhóm cảm sinh bởi mệnh đề sau: cảm sinh này cũng là các đồng cấu có tính chất được thể hiện trong

Với 1 , 2 : G G ' là các R modun phải và 1 , 2 : C C ' là các đồng cấu R modun trái thì khi đó:

Do các phần tử trong T or có tính cộng tính nên n

Thực hiện tương tự, ta cũng chứng minh được

T or n là hàm tử hiệp biến.

Ta cố định biến thứ nhất, khi đó ta có Tor G, 

 là một hàm tử hiệp biến n  từ phạm trù các R modun trái vào phạm trù các nhóm abel Thật vậy, ta đặt tương ứng

Mỗi vật C trong phạm trù R Mod tương ứng với vật phạm trù Ab

Mỗi cấu xạ : CC ' tương ứng với cấu xạ

Bây giờ, ta kiểm tra 2 tiên đề về hàm tử là HT1 và HT2:

 HT1: Với mọi vật C R Mod , ta có 1 C :C C tương ứng với

 là hàm tử hiệp biến. n 

Tương tự nếu ta cố định biến thứ hai thì khi đó Tor , C

 cũng là một hàm n  tử hiệp biến từ phạm trù Mod

R vào phạm trù các nhóm abel Thật vậy, ta đặt tương ứng:

: G G ' tương ứng với cấu xạ  * : Tor n  G , C   Tor n  G

Bây giờ, ta kiểm tra 2 tiên đề về hàm tử là HT1 và HT2:

 HT1: Với mọi vật G Mod R , ta có 1 G :G G tương ứng với

 HT2: Với : G G và : G G khi đó : G G

Do đó, T or là hàm tử hiệp biến theo cả 2 biến Hơn nữa, T or n n còn là hàm tử cộng tính theo hai biến.

SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH

Ở mục trước, hàm tử T or n được xây dựng trực tiếp thông qua phép phân hoạch bộ ba Trong khi đó, ở chương 1, hàm tử T or n được xây dựng thông qua phép giải xạ ảnh Vậy mối quan hệ giữa hai hàm tử T or n được xây dựng bằng hai phương pháp này là gì?

Định lý 3.1 khẳng định rằng hai hàm tử đồng luân T o r n được xây dựng theo hai cách khác nhau thực chất là tương đương nhau Điều này có nghĩa là chúng xác định cùng một phép đồng luân giữa hai đối tượng topo bất kỳ Định lý quan trọng này đóng vai trò nền tảng cho toàn bộ lý thuyết đồng luân, cung cấp một nền tảng vững chắc để nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của đồng luân trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

Tồn tại đẳng cấu tự nhiên G  R C  Tor 0  G , C 

Mỗi phần tử g G xác định ánh xạ g

R G là các R modun phải theo thức  g  r 

 gr với r R Tương tự, mỗi phần tử c C cũng xác định ánh

: R R * C là các R modun trái theo đẳng thức

C và tuyến tính trong Như vậy, ánh xạ g  c   g ,

R , C  là đồng cấu các nhóm abel từ G C vào Tor 0  G,C

 Đồng cấu này là đồng cấu tự nhiên và nó biến mỗi phần tử  g i  c i  G 

C thành bộ ba   ,F,   Trong đó, F là modun tự do với các phần tử sinh là e i

,  e  g v  e   c Đồng thời thỏa mãn đẳng thức  i  i và i i

Bây giờ, ta xây dựng ánh xạ ngược từ

 có thể được viết như là bộ ba

0 modun tự do hữu hạn sinh và các đồng cấu

Do F là modun tự do hữu hạn sinh nên ta chọn cơ sở của F là e , e , , e

1 , e 2 m và xác định được cơ sở đối ngẫu e , , e của F * Ta đặt:

Bây giờ, xét s : F F ' e và e ' lần lượt là cơ sở của

F và F ' Khi đó, i j ta có: s

 e  e j ' r ji i j trong đó  r ji  là ma trận các phần tử thuộc vành hệ tử R Khi đó:

Như vậy, ta đã chứng minh được ở trên xác định tốt Đồng thời, nếu

F F ' thì không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trong F Và vì là ánh xạ ngược của ánh xạ ở trên nên từ đó suy ra

Ta kết thúc chứng minh ở đây.

Cho L là một R nhiên  : Hom R

 modun phải xạ ảnh hữu hạn sinh Khi đó, tồn tại đẳng

*,C   L R C vàđược xác định theo đẳng thức

    1,L,   Do đó, mỗi phần tử t

 trong đó là đồng cấu nào đó đi

L,C  từ L * có biểu diễn duy nhất dưới đến C

Do tính chất cộng tính nên là đồng cấu tự nhiên Bây giờ, ta chứng minh là đẳng cấu:

Theo mệnh đề trong modun đối ngẫu, ta có vậy, để chứng minh là đẳng cấu, ta sẽ chứng minh hơn là chứng minh là ánh xạ đồng nhất. là đẳng cấu tự nhiên Như là đẳng cấu, và cụ thể

Nếu L R thì theo định nghĩa các ánh xạ, tích là ánh xạ đồng nhất.

Các hàm tử có tính chất cộng tính nên kết luận trên cũng đúng với L là các modun tự do hữu hạn sinh.

Với modun L xạ ảnh hữu hạn sinh thì L là hạng tử trực tiếp của 1 modun tự do hữu hạn sinh F nào đó Các ánh xạ , là các ánh xạ tự nhiên nên nó biến

48 các hạng tự trực tiếp vào hạng tử trực tiếp Như vậy, kết luận trên cũng đúng với L xạ ảnh hữu hạn sinh.

Vậy ta có được điều phải chứng minh. Định lý 3.2:

C Đối với phép giải : XG của modun G R và đối với R modun trái thì tồn tại đồng cấu:

C , n  0,1, n R n trong đó, xạ ảnh thì là đồng cấu tự nhiên trên là đẳng cấu tự nhiên trên

Với mỗi phần tử t Tor  n  G , C thì t  

Theo định lý so sánh thì có biến đổi dây chuyền h : L X

Cách đặt trên là hợp lý, vì h n : L n

Hơn nữa, phần tử  h n , L n ,   là chu trình trong X C vì:

Lớp đồng điều của chu trình này chỉ phụ thuộc vào

 X là một biến đổi dây chuyền khác thì tồn tại đồng luân h n '  h n  s n  s n1 

 cộng với một phần tử n n bờ.

 trong đó s : L  L ' nào đó, là các phần tử bằng nhau trong T or h ' : L ' X thì h ' s : n Nếu trong T or

Bây giờ, ta chứng minh tính đồng cấu của Tức là chứng minh

X sinh ra biến đổi dây chuyền   h 1  h 2  : L 1  L 2  X Vậy là đồng cấu.

Tính nhiên của với biến đổi tự nhiên của trong trong G được suy ra dây chuyền h : L X

A được suy ra trực tiếp từ định từ nhận xét f : X X ' trên cho ta biến đổi dây chuyền fh nghĩa.Tính tự

Tiếp theo, ta chứng minh Để chứng minh  là

L là toàn cấu. toàn cấu, ta

C  cầnchỉ sao cho ra với mọi

Vì y là phần tử trong H n

 nên y có dạng y   x i  c i i1 m tử cơ sở của

X n ' là modun sinh bởi x các Ta đặt các phần tử i i

51 m  Ker  n 1 tham gia trong  x i  c i Khi đó, X n ' là modun con tự do hữu hạn i1 sinh của X n và đồng thời X n ' cũng là hạng tử trực tiếp của X n Ta có:

'' với X n '' là modun sinh bởi các phần tử còn lại trong cơ sở của X n và không tham m i  n . gia trong  i x  c  Ker  1 i1

Do đó, ta có : i n : X n '  X n là phép nhúng và đồng thời dãy

''0 là dãy khớp chẻ ra nên dãy

''C  0 cũng là dãy khớp chẻ ra và i n  1: X n ' C  X n C là phép nhúng.

Ta có X n ' là modun hữu hạn sinh nên   X n ' cũng là modun hữu hạn sinh.

Ta đặt X n1 ' là modun tự do hữu hạn sinh của X n1 và đồng thời chứa   X n '  Tương tự quá trình trên ta xây dựng được X n2 ' Tiếp tục xây dựng ta có dãy:

Trong đó  k ' là các đồng cấu thu hẹp của  k trên X k ' và do vậy nên  k 1 '  k '  0Như vậy, dãy trên cũng là một phức trên G Các phép nhúng i k : X k '  X k cảm sinh ra phép nhúng i k  1 C : X k ' C  X k C Do đó, i 1 là biến đổi dây chuyền

Theo định lý trên, ta có thể viết dưới dạng 

 Theo hệ quả thì chu trình này có ' C  Tor trong đó 1: X n

'  X n ' và  : X n '  C Khi đó, ta chọn

Cuối cùng, ta chứng minh đơn cấu.

Giả sử t 0 , tức là chu trình  h n , L n ,  có bờ trong X A Do đó,

 h n , L n ,  cũng có bờ trong X'A với X ' X là một phức tự do hữu hạn sinh của X

Ta chọn X ' chứa h  L  Khi đó, biến đổi dây chuyền h : L X sinh ra biến đổi dây chuyền h ' : L X ' và

 n n là một bờ của một dây chuyền n 1 chiều của X ' A Theo hệ quả của định lý

1, ta viết dây chuyền này được dưới dạng  1, X n1 ,  Trong đó, : X n 1

Do tính duy nhất của biểu diễn trong hệ quả của định lý nên

Giả sử 0 X ' là phần từ X 0 đến X n của phức n ' ' đến X n 1 của phức X ' Khi đó,

1 là các biến đổi dây chuyền Phần tử xuất phát t 

Vậy t 0 Do đó,đơn cấu nên là đẳng cấu.

Ta kết thúc chứng minh ở đây. và

1 n  Vậy ta đã chứng minh được tồn tại một đẳng cấu tự nhiên từ hàm tử

X  A  với X là một phép giải xạ ảnh của G Trong chương

Tor một, ta đã xây dựng hàm tử Tor bằng dãy đồng điều Định lý ta vừa nêu đã chứng minh, 2 hàm tử Tor được xây dựng ở chương 1 và chương 2 là tương đương đồng luân với nhau.