(Luận văn thạc sĩ) nhóm abel hổn hợp hạng không xoắn 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Tốn học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1” cá nhân thực hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy, hồn tồn khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ báo, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người Cảm ơn ln giúp đỡ tận tình suốt q trình tơi thực luận văn Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy khoa Tốn – Tin, đặc biệt thầy tổ Đại số tận tình dạy trang bị cho kiến thức vô q báu để tơi hồn thành luận văn Cảm ơn q thầy Phịng sau đại học tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập thực luận văn trường Sau cùng, không nhắc tới bạn học viên lớp cao học Đại số khóa 27, người học tập, nghiên cứu thời gian vừa qua Sự giúp đỡ, động viên bạn vô quý báu tơi Xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để tơi hồn thiện luận văn cách tốt TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL 1.2 MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG .5 1.3 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ CHƯƠNG MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 2.1 NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 2.2 CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 10 2.3 BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU GỌN 19 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN ĐẾM ĐƯỢC 24 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 * Ký hiệu DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n|a,  n m,n | a  A B A B  Ý nghĩa Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ A B A B A B a  a1 , a2 , hp* Ước chung lớn hai số nguyên m n A nhóm B A o a chia hết (không chia hết) cho n a  A nhóm thực B Nhóm thương A theo nhóm B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Tổng trực tiếp nhóm A nhóm B Cấp nhóm A Cấp phần tử a Nhóm sinh phần tử a1 , a2 , p-cao độ tổng quát a LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm Abel hỗn hợp nhóm Abel mà có chứa phần tử cấp vô hạn phần tử khác cấp hữu hạn Nhóm Abel hỗn hợp xem lớp nhóm tổng quát nhóm Abel Một hướng tiếp cận nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp G xem mở rộng phần xoắn T nhóm khơng xoắn G T Khơng khó để thấy trường hợp cần xem xét nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, nhóm thương G T nhóm khơng xoắn hạng Rotman J [1], Megibben C [2], Myshkin V.I [3] chứng minh nhóm đếm lớp này, bất biến nhóm xoắn T với lớp tương đương ma trận cao độ H(G) tạo thành hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem xét tốn liên quan tới lớp nhóm Mục đích đề tài Nghiên cứu trình bày có hệ thống kết quan trọng nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất liên quan tới tính chia hết, cao độ lý thuyết nhóm Abel - Các bất biến nhóm Abel xoắn - Ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn - Cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn đếm Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái niệm nhóm Abel, số lớp nhóm Abel quan trọng trình bày sơ lược Thêm vào số khái niệm tự số quan hệ thứ tự tập hợp Chương 2: Ma trận cao độ cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Đây nội dung luận văn bao gồm phần Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất số khái niệm liên quan nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Phần 2.2 giới thiệu cao độ ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky nhóm Abel hỗn hợp thu gọn Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn đếm CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp A   với phép tốn hai ngơi “+” gọi nhóm nếu: (1) x  Phép tốn “+” có tính chất kết hợp, có nghĩa  y  z x   y    z với x , y , z  A Tồn phần tử  A cho x    x  x với x  A x có nghĩa Mọi phần tử x  A có phần tử đối, ký hiệu (2) (3)   x  x Nếu phép tốn “+” có tính giao hốn, có nghĩa x  y  y  x với x,y A A gọi nhóm Abel Trong luận văn này, nhóm ta xét nhóm Abel Vì để đơn giản, thay ghi “nhóm Abel” ta ghi “nhóm” Định nghĩa 1.1.2 Cho A nhóm Tập G   A gọi nhóm A x  y G với x , y G Định nghĩa 1.1.3 Cho A nhóm G nhóm  a  G | a  A với a  A , đặt a  G  a  x | x G, A G a G   b G   phép toán   a  b  G với b  A nhóm, gọi nhóm thương G A Định nghĩa 1.1.4 A Với phần tử Cho A nhóm, B C nhóm A Ta nói A tổng trực tiếp B C A  B C B  C  Mệnh đề 1.1.5 Nhóm A tổng trực tiếp hai nhóm B C a  b  c với b  với a  A , có có cách biểu diễn B c C Định nghĩa 1.1.6 Cho A B nhóm Ta có định nghĩa sau: