(Luận văn thạc sĩ) bóng của tập hợp trên vành bul hữu hạn

Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc Chuyản ng nh i SŁ B´NG CÕA T P HÑP TR N V NH BUL HÚU H N Ng÷íi thüc hi»n : HO NG CNG CHC Ngữới hữợng dÔn : TS.TR N HUY N Ng y thĂng 10 nôm 2004 LIC MèN Trữợc tiản, tổi xin chƠn th nh b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc nhĐt n thy hữợng dÔn, Tin sắ Trn Huyản, thuc Trữớng i Hồc Sữ Phm Th nh ph Hỗ Ch Minh, ngữới thy khÊ knh  d nh nhiãu cổng sức v thới gian quỵ bĂu hữợng dÔn tổi tng bữợc trản ữớng nghiản cứu khoa hồc vợi tĐt cÊ niãm say mả Nhng k‚t qu£ lu“n v«n n y l khỉng th” câ ÷ỉc n‚u khỉng câ sü t“n t… nh v t¥m huy‚t cıa thƒy Tỉi cơng xin vỉ cịng bi‚t ìn PGS-TS Bịi T÷íng Tr‰, PGS-TS M Vinh Quang, PGS-TS Bũi XuƠn HÊi v tĐt cÊ Quỵ Thy, Cổ Khoa To¡n-Tin håc Tr÷íng ⁄i Håc S÷ Ph⁄m Th nh ph Hỗ Ch Minh, nhng ngữới thy  tn tnh d⁄y dØ v truy•n ⁄t cho tỉi nhœng ki‚n thøc toĂn hồc ht sức giĂ tr niãm am mả vổ tn i vợi ToĂn hồc Tổi xin chƠn th nh c£m ìn Ban Gi¡m Hi»u, PhỈng Khoa Håc Cỉng Ngh» - Sau ⁄i Håc, Khoa To¡n-Tin håc cıa Tr÷íng i Hồc Sữ Phm Th nh ph Hỗ Ch Minh, Ban Gi¡m Hi»u Tr÷íng Trung håc Thüc h nh- HSP Th nh ph Hỗ Ch Minh Quỵ Thy, Cổ v cĂc bn ỗng nghiằp  khổng ngng ng viản, gióp ï, t⁄o måi i•u ki»n thu“n lỉi v• tinh thn cụng nhữ vt chĐt cho tổi quĂ trnh thüc hi»n lu“n v«n n y T¡c gi£ lu“n v«n LI NI U Dữợi sỹ phĂt trin ca khoa hồc v cổng nghằ thổng tin, lỵ thuyt Combinatorics nhanh chõng ÷ỉc quan t¥m v ph¡t tri”n ” ¡p øng c¡c yảu cu ca thỹc tin T nôm 1928, sau Sperner cổng b mt nh lỵ rĐt àp vã giĂ trà cüc ⁄i cıa h» ìn x‰ch c¡c t“p cıa t“p hœu h⁄n S, Combinatorics l⁄i c ng thu hút ữổc sỹ ỵ ca rĐt nhiãu nh ToĂn hồc H ng lot cĂc kt quÊ nghiản cứu vã h» c¡c t“p cıa mºt t“p hœu h⁄n ÷ỉc cæng bŁ Mºt nhœng b i to¡n thi‚t thüc v thú v ca lỵ thuyt Combinatorics l giÊi quyt vĐn ã cỹc tr ca hằ cĂc ca mºt t“p hœu h⁄n m chóng thäa m¢n mºt t nh chĐt n o õ Nghiản cứu lợp cĂc b i toĂn n y, Kruskal v Katona  ữa v chøng minh mºt k‚t qu£ r§t quan trång v hu ch, nh lỵ Kruskal-Katona vã giĂ tr nhọ nhĐt cıa bâng cıa t“p hỉp Trong qu¡ tr…nh sß dưng v m rng nh lỵ trản, ngữới ta thu ữổc nhiãu kt quÊ lỵ thú, nhiãu vĐn ã mợi nÊy sinh cn giÊi quyt, nhĐt l xem xt lợp c¡c b i to¡n v• cüc trà v ¡nh gi¡ º lỵn cıa t“p hỉp v nh Bul hœu h⁄n Trong lu“n v«n n y, chóng ta xem x†t mºt c¡ch cư th” v s¥u s›c hìn c¡c k‚t qu£ li¶n quan ‚n bâng cıa mºt t“p hỉp v nh Bul hu hn ỗng thới, cụng ÷a c¡c k‚t qu£ ¡nh gi¡ º lỵn cıa bõng, m rng thảm cĂc kt quÊ Â t ữổc cụng nhữ cĂc hữợng nghiản cứu tip theo Lun vôn gỗm chữỡng Chữỡng I : Trnh b y c¡c kh¡i ni»m v c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa hai v nh Bul hœu h⁄n quen thuºc l v nh P(S) v B(n) Ch÷ìng II : C¡c k‚t qu£ x¡c ành º lỵn cıa mºt o⁄n ƒu v bâng cıa mºt o⁄n ƒu sü s›p x‚p cĂc phn tò ca v nh Bul dữợi thứ tỹ tł i”n Ch÷ìng III : Tr…nh b y chøng minh nh lỵ cỡ bÊn v cĂc kt quÊ ca nõ, ỗng thới ữa mt hữợng m rng phm vi nghiản cứu nh lỵ quan trồng n y Chữỡng IV : C¡c k‚t qu£ ¡nh gi¡ ¡nh gi¡ bâng cıa mt hổp thổng qua viằc Ăp dửng nh lỵ cì b£n v bâng cıa mºt o⁄n ƒu v nh Bul hœu h⁄n Do thíi gian v tr…nh º câ h⁄n, lu“n v«n khỉng tr¡nh khäi nhœng sai sât V vy, tổi rĐt mong nhn ữổc sỹ thổng cÊm, giúp ù v nhng gõp ỵ quỵ bĂu ca Quỵ Thy, Cổ, cĂc bn ỗng nghiằp v ồc giÊ Mưc lưc I C¡c kh¡i ni»m cì b£n tr¶n v nh Bul hœu h⁄n I.1 V nh P(S) I.1.1 CĐu trúc v nh trản P(S) I.1.2 CĐu trúc thứ tỹ trản P(S) I.1.3 Bâng cıa t“p hæp P(S) V nh B(n) I.2.1 C§u tróc v nh tr¶n B(n) I.2.2 C§u tróc thø tü tr¶n B(n) I.2.3 Bâng cıa t“p hỉp tr¶n B(n) 2 6 7 Quan h» giœa v nh B(n) v v nh P(S) I.2 I.3 II Bi”u di„n k-nhà thøc v Bâng cıa o⁄n ƒu II.1 Mºt sŁ b i to¡n mð ƒu II.2 Bi”u di„n k-nhà thøc cıa mºt sŁ II.3 Bâng cıa o⁄n ƒu 10 11 14 23 III nh lỵ cì b£n v• Bâng cıa t“p hỉp v sü mð rng phm vi ứng dửng 29 III.1 ToĂn tò nƠng Sj III.2 nh lỵ cỡ bÊn vã bõng cıa t“p hæp III.3 Mt hữợng m rng phm vi ứng dửng ca nh lỵ cỡ bÊn 29 35 IV V i k‚t qu£ ¡nh gi¡ bâng cıa o⁄n ƒu IV.1 CĂc nh lỵ vã php cng dữợi IV.2 Mt ữợc lữổng lỹc lữổng ca on ƒu thỉng qua bâng 46 46 55 40 Ch÷ìng I C¡c kh¡i ni»m cì b£n tr¶n v nh Bul hœu hn Lợp cĂc v nh Bul hu hn cõ rĐt nhiãu tnh chĐt quan trồng v lỵ thú, nhng tnh chĐt õ ữổc th hiằn rê nhĐt hai v nh Bul hœu h⁄n quen thuºc sau ¥y: Cho S l t“p hỉp hœu h⁄n câ n phƒn tß, v nh Bul hu hn P(S) ữổc xƠy dỹng trản t“p t§t c£ c¡c t“p cıa t“p S Cho s nguyản dữỡng n, v nh Bul hu hn B(n) , ữổc xƠy dỹng trản hổp B(n) xĂc ành nh÷ sau B(n) = f("n; "n¡1; : : : ; "1) : "i = ho°c "i = vỵi i = 1; 2; : : : ; ng Ta gåi t“p S câ n phƒn tß l n-t“p S, gỗm k phn tò ca S l k-tp ca S.Vợi n-tp S cho trữợc, d„ d ng ki”m tra ÷ỉc v nh P(S) v v nh B(n) l flng cĐu vợi Hỡn na, mồi v nh Bul hu hn ãu flng cĐu vợi hai v nh trản V vy, tũy theo tng vĐn ã cử th, viằc xem xt chúng ữổc thỹc hi»n tr¶n v nh P(S) ho°c v nh B(n) m sü lüa chån n y khỉng ÷a ‚n sü thay i n o i vợi kt lun chung trản lợp c¡c v nh Bul hœu h⁄n Trong ch÷ìng n y, ữa mt s khĂi niằm liản quan ‚n bâng cıa t“p hæp v nh Bul hœu h⁄n thổng qua viằc xem xt cĐu trúc thứ tỹ trản v nh P(S) v v nh B(n) I.1.V nh P(S) I.1 V nh P(S) Cho S l t“p hỉp hœu h⁄n n phƒn tß, n ‚ 1; n Z, ” ìn gi£n ta x†t S = f1; 2; : : : ; ng Khi â, P(S)=fA j A Sg l tĐt cÊ cĂc ca n S Nhữ vy, s phn tò ca P(S) l Nu khổng cõ g nhm lÔn, ta kỵ hiằu A = fa1; a2; : : : ; akg µ S l A = a1a2 : : : ak I.1.1 CĐu trúc v nh trản P(S) Ta xƠy dỹng cĐu trúc v nh trản P(S) bng cĂch nh nghắa php toĂn cng (+) v php toĂn nhƠn (Â) cĂc phn tò ca P(S) nhữ sau: Vợi mồi A; B P(S) A+B =A4B A:B =A\B Trong â, A B = (A n B) [ (B n A) l hi»u Łi xøng cıa A v B Ta d d ng kim tra tnh hổp lỵ ca hai php toĂn trản v (P(S); +; Â) l v nh giao ho¡n, phƒn tß ìn l S, phƒn tß l t“p rØng ; Vỵi måi A P(S) ta câ A = A:A = A \ A = A Do â, (P(S); +; ¢) l v nh Bul hœu h⁄n Vỵi mØi t“p A P(S), ta gåi t“p A = S ¡ A l phƒn bị cıa A S Tł ành ngh¾a cıa ph†p to¡n cºng, ta câ ngay: 0 A + B = A + B vỵi måi A; B P(S) I.1.2 CĐu trúc thứ tỹ trản P(S) Trữợc ht, ta cõ quan hằ thứ tỹ thổng thữớng ã trản v nh P(S) düa tr¶n quan h» bao h m c¡c hổp nhữ sau: Vợi mồi A; B P(S) ta nõi A ã B A B Hin nhiản ã l quan hằ thứ tỹ b phn trản P(S) Sau ¥y, chóng ta xem x†t mºt quan h» thứ tỹ khĂ thú v trản hằ tĐt cÊ cĂc t“p hỉp câ cịng sŁ phƒn tß cıa t“p S I.1.V nh P(S) Thø tü n†n tr¶n h» c¡c k-t“p cıa n-t“p S Vỵi A P(S), ta °t jAj l sŁ phƒn tß cıa t“p A Khi â, vỵi mØi k f0; 1; : : : ; ng, ta gåi møc thø k cıa P(S) l hỉp Pk(S) = fA µ S : jAj = kg gỗm tĐt cÊ cĂc k-tp ca n-tp S Tr¶n Pk(S) ta x¡c ành quan h» thø tü