V nh P(S)
CĐu trúc v nh trản P(S)
Ta xƠy dỹng cĐu trúc v nh trản P(S) b‹ng cĂch ành nghắa ph†p toĂn cºng (+) v ph†p toĂn nhƠn (Â) cĂc phƒn tò cıa P(S) nhữ sau:
Trong õ, A 4 B = (A n B) [ (B n A) l hiằu Łi xứng cıa A v B Ta d„ d ng ki”m tra t‰nh hổp lỵ cıa hai ph†p toĂn trản v (P(S); +; Â) l v nh giao hoĂn, phƒn tò ỡn và l S, phƒn tò 0 l t“p rỉng ; Vợi mồi
A 2 P(S) ta câ A 2 = A:A = A \ A = A Do â, (P(S); +; ¢) l v nh Bul hœu h⁄n.
Vợi mỉi t“p A 2 P(S), ta gồi t“p A 0 = S Ă A l phƒn bũ cıa A trong
S Tł ành nghắa cıa ph†p toĂn cºng, ta cõ ngay:
CĐu trúc thứ tỹ trản P(S)
Trữợc h‚t, ta cõ quan hằ thứ tỹ thổng thữớng • trản v nh P(S) dỹa trản quan hằ bao h m cĂc t“p hổp nhữ sau:
Vợi mồi A; B 2 P(S) ta nõi A • B khi A à B.
Hi”n nhiản • l quan hằ thứ tỹ bº ph“n trản P(S).
Sau Ơy, chúng ta xem x†t mºt quan hằ thứ tỹ khĂ thú và trản hằ tĐt cÊ cĂc t“p hổp con cõ cũng sŁ phƒn tò cıa t“p S.
Thứ tỹ n†n trản hằ cĂc k-t“p con cıa n-t“p S
Vợi A 2 P(S), ta °t jAj l sŁ phƒn tò cıa t“p A.
Khi õ, vợi mỉi k 2 f0; 1; : : : ; ng, ta gồi mức thứ k cıa P(S) l t“p hổp P k (S) = fA à S : jAj = kg gỗm tĐt cÊ cĂc k-t“p con cıa n-t“p S.
Trản P k (S) ta xĂc ành quan hằ thứ tỹ < S nhữ sau:
Vợi mồi A; B 2 P k (S) ta nõi A < S B n‚u phƒn tò lợn nhĐt cıa A + B thuºc B Tức l
A < S B , max (A + B) 2 B , max (AnB) < max (BnA)
Ta dũng kỵ hiằu A • S B ” ch¿ A < S B ho°c A ã B Quan hằ • S ữổc gồi l thứ tỹ n†n trản P k (S) Ta cõ th” thĐy ngay P k (S) ữổc s›p tŁt dữợi thứ tỹ n†n BƠy giớ ta x†t mºt sŁ t‰nh chĐt quan trồng cıa thứ tỹ n†n trản P k (S).
– T‰nh chĐt 1:Vợi A; B 2 P k (S) ta cõ A < S B , B 0 < S A 0
Nhữ v“y, phƒn bũ cıa cĂc t“p trong P k (S) l cĂc t“p trong P nĂk (S) v dữợi thứ tỹ n†n chúng ữổc s›p x‚p theo thứ tỹ ngữổc l⁄i Chflng h⁄n, vợi S
= f1; 2; 3; 4; 5g, dÂy cĂc phƒn tò cıa P 3(S) v dÂy cĂc phƒn bũ cıa chúng trong P 2(S) ữổc s›p x‚p dữợi thứ tỹ n†n nhữ sau:
– T‰nh chĐt 2: Trong dÂy cĂc phƒn tò cıa P k (S) s›p x‚p dữợi thứ tỹ n†n, vợi mỉi sŁ nguyản dữỡng m; m • n ta cõ: TĐt cÊ cĂc k-t“p con ch¿ chứa cĂc sŁ nhọ hỡn sŁ m •u ứng trữợc tĐt cÊ cĂc k-t“p con cõ chứa sŁ m.
T‰nh chĐt n y ữổc suy ra ngay tł ành nghắa cıa thứ tỹ n†n c¡c k-t“p con Nh÷ v“y, và tr‰ cıa t“p A 2 P k (S) trong s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n cụng ch‰nh l và tr‰ cıa A 2 P k (S ) trong s›p x‚p
P k (S 0 ) dữợi thứ tỹ n†n, ð Ơy S 0 = f1; 2; : : : ; n A g vợi n A = max A.
– T‰nh chĐt 3: Phƒn tò lợn nhĐt cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n l t“p fn; n ¡ 1; : : : ; n ¡ k + 1g – T‰nh chĐt 4: Cho A à P k (S), ta gồi t“p A 0 = fA 0 = SĂA : A 2 Ag l phƒn bũ cıa A Khi õ, n‚u A = fA 1 ; A 2 ; : : : ; A m g thọa mÂn
A 1 < S A 2 < S : : : < S A m¡1 < S A m th… A 0 = fA 0 1 ; A 0 2 ; : : : ; A 0 m g, vợi A 0 i = S Ă A i v theo T‰nh chĐt 1 ta cõ
V“y n‚u A = fA 1 ; : : : ; A m g l m t“p ƒu tiản trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n th… A 0 = fA 0 1 ; A 0 2 ; : : : ; A 0 m g l m t“p cuŁi cũng trong sỹ s›p x‚p P nĂk (S) dữợi thứ tỹ n†n.
Bõng cıa t“p hổp trong P(S)
Cho A l k-t“p con cıa n-t“p S v A l mºt hằ bĐt ký cĂc k-t“p con cıa S.
Ta cõ cĂc khĂi niằm liản quan ‚n bõng cıa t“p hổp nhữ sau:
†Bõng cıa A l t“p hổp ÂA gỗm tĐt cÊ cĂc (k Ă 1)-t“p con cıa S m chúng ữổc chứa trong A ¢A = fB 2 P k¡1(S) : B ‰ Ag
†Bõng trản cıa A l t“p hổp rA gỗm tĐt cÊ cĂc (k + 1)-t“p con cıa S m chúng chứa A rA = fB 2 P k+1 (S) : A ‰ Bg
†Bõng cıa A l t“p hổp ÂA xĂc ành nhữ sau: ÂA = fB 2 P kĂ1 (S) : B ‰ A vợi A l t“p n o õ trong Ag
†Bõng trản cıa A l t“p hổp rA ữổc xĂc ành nhữ sau: rA = fB 2 P k+1(S) : A ‰ B vợi A l t“p n o õ trong Ag
† Vợi 1 • r • k, bõng cĐp r cıa A l t“p hổp  r A gỗm tĐt cÊ cĂc
(k Ă r)-t“p con cıa S m chúng ữổc chứa trong A ¢ r A = fB 2 P k¡r (S) : B ‰ Ag
† Vợi 1 • r • k, bõng cĐp r cıa t“p A l t“p hổp  r A ữổc xĂc ành theo cổng thức quy n⁄p  1 A = ÂA v  r+1 A =   r A Khi õ  r A l bõng cıa A ð mức thứ k Ă r Ă Â Â r A = fB 2 P kĂr (S) : B ‰ A vợi A l t“p n o õ trong Ag
† Vợi 1 • r • n Ă k, bõng trản cĐp r cıa A l t“p hổp r r A gỗm tĐt cÊ cĂc (k + r)-t“p con cıa S m chúng chứa A r r A = fB 2 P k+r (S) : A ‰ Bg
† Vợi 1 • r • n Ă k, bõng trản cĐp r cıa A l t“p hổp r r A ữổc xĂc ành theo cổng thức quy n⁄p r 1 A = rA v r r+1 A = r Ă r r A ¢
Khi â r r A l bõng trản cıa A ð mức thứ k + r. r r A = fB 2 P k+r (S) : A ‰ B vợi A l t“p n o õ trong Ag
Ta cõ ngay cĂc t‰nh chĐt v• bõng cıa t“p hổp trong P(S) nhữ sau:
? Vợi A k ( ) ta cõ: Â r A = k v r r ¡ n¡k r jr Aj = r r A
AàP S S 2A r A S ành lỵ I.1.1 Cho A à P k (S) l hằ cĂc k-t“p con n o õ cıa n-t“p
S Khi õ vợi mỉi sŁ nguyản dữỡng r; 1 • r • min fk; n Ă kg ta cõ : j¢ r Aj = jr r A 0 j v jr r Aj = j¢ r A 0 j
Chứng minh Vợi mỉi B 2 r r A, ta t…m ữổc t“p A 2 A thọa mÂn A
M°t kh¡c jBj = k + r; jB 0 j = jS ¡ Bj = n ¡ (k + r) = (n ¡ k) ¡ r Tł â suy ra B 0 2 Â r A 0 V“y cõ sỹ tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa t“p B 2 r r A v t“p B 0 = S ¡ B 2 ¢ r A 0 Do â jr r Aj • j¢ r A 0 j.
Ngữổc l⁄i, vợi mỉi t“p B 0 2 Â r A 0 ta t…m ữổc t“p A 0 2 A 0 sao cho
Ta l⁄i câ jB 0 j = (n¡k)¡r; jBj = jS ¡B 0 j = n¡(n¡k ¡r) = k +r Tł â suy ra B
2 r r A V“y cõ sỹ tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa t“p B 0 2 Â r A 0 v t“p B = S Ă B 0
2 r r A Do â j¢ r A 0 j • jr r Aj V“y j¢ r A 0 j = jr r Aj.
B‹ng c¡ch thay A bði A 0 ta câ j¢ r Aj = jr r A 0 j ¥
V nh B(n)
CĐu trúc v nh trản B(n)
Ta xƠy dỹng v nh Bul B(n) b‹ng cĂch ành nghắa ph†p toĂn cºng (+) v ph†p to¡n nh¥n (¢) nh÷ sau:
Vợi mồi x; y 2 B(n); x = (" n ; " nĂ1 ; : : : ; " 1); y = (" 0 n ; " 0 nĂ1 ; : : : ; " 0 1) x + y = (" n + " 0 n ; " n¡1 + " 0 n¡1 ; : : : ; " 1 + " 0 1) x:y = (" n " 0 n ; " n¡1 " 0 n¡1 ; : : : ; " 1 " 0 1) Trong õ, vợi mồi i = 1; 2; : : : ; n:
Chúng ta d„ d ng ki”m tra t‰nh hổp lỵ cıa hai ph†p toĂn trản v
(B(n); +; Â) l v nh giao hoĂn, phƒn tò ỡn và l 11:::1 , phƒn tò 0 l | {z }
CĐu trúc thứ tỹ trản B(n)
Trản v nh B(n) , chúng ta cõ quan hằ thứ tỹ bº ph“n quen thuºc ữổc xƠy dỹng dỹa v o ph†p toĂn nhƠn cĂc phƒn tò l :
Sau Ơy chúng ta x†t mºt thứ tỹ khĂc liản quan ‚n sỹ s›p x‚p cĂc dÂy
" n " nĂ1 : : : " 1 Trữợc h‚t, vợi mồi x 2 B(n); x = " n " nĂ1 : : : " 1, ta gồi h⁄ng cıa x l sŁ tỹ nhiản k = jxj = " n + " nĂ1 + : : : + " 1 Khi õ, vợi mỉi k 2 f0;
1; : : : ; ng ta gồi mức thứ k cıa B(n) l t“p hổp B(n; k) gỗm tĐt cÊ cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa B(n)
Ta ành nghắa trản B(n; k) thứ tỹ < L nhữ sau:
Ta cụng kỵ hiằu x • L y ” ch¿ x < L y ho°c x ã y Thứ tỹ < L gồi l thứ tỹ tł i”n trản B(n; k) D„ d ng ki”m tra ữổc B(n; k) s›p tŁt vợi thứ tỹ tł i”n.
Bõng cıa t“p hổp trản B(n)
BƠy giớ ta xem x†t cĂc khĂi niằm liản quan ‚n bõng cıa t“p hổp trản
B(n) GiÊ sò x 2 B(n; k); x = " n " nĂ1 : : : " 1 l phƒn tò h⁄ng k v
A à B(n; k) l t“p hổp bĐt ký cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa B(n) Khi õ:
† Bõng cıa x l t“p hổp Âx = fy 2 B(n; k-1) : y • xg
† Bõng cıa t“p A l t“p hổp ÂA ữổc xĂc ành bði ÂA = fy 2 B(n; k-1) : y • x vợi x l phƒn tò n o õ cıa Ag
† Bõng trản cıa x l t“p hổp rx = fy 2 B(n; k+1) : x • yg
† Bõng trản cıa t“p A l t“p hổp rA xĂc ành bði rA = fy 2 B(n; k+1) : x • y vợi x l phƒn tò n o õ cıa Ag
† Vợi 1 • r • k, bõng cĐp r cıa x l t“p hổp ¢ r x = fy 2 B(n; k-r) : y • xg
† Vợi 1 • r • k, bõng cĐp r cıa t“p A l t“p hổp  r A ữổc xĂc ành theo cổng thức quy n⁄p  1 A = ÂA v  r+1 A =   r A Khi õ  r A l bõng cıa A ð mức thứ k Ă r Ă Â Â r A = fy 2 B(n; k-r) : y • x vợi x l phƒn tò n o õ cıa Ag
† Vợi 1 • r • n Ă k, bõng trản cĐp r cıa x l t“p hổp r r x = fy 2 B(n; k+r) : x • yg
† Vợi 1 • r • n Ă k, bõng trản cĐp r cıa t“p A l t“p hổp r r A ữổc xĂc ành theo cổng thức quy n⁄p r 1 A = rA v r r+1 A = r r r A
Khi õ r r A l bõng trản cıa A ð mức thứ k + r Ă Â r r A = fy 2 B(n; k+r) : x • y vợi x l phƒn tò n o õ cıa Ag
Ta cõ cĂc t‰nh chĐt cỡ bÊn v• bõng cıa t“p hổp trong B(n; k) nhữ sau
2 Vợi x = " n " nĂ1 : : : " 1 2 B(n; k), cĂc phƒn tò cıa r r x ữổc t⁄o ra tł x b‹ng cĂch giœ nguyản k th nh phƒn b‹ng 1, thay r trong sŁ n Ă k th nh phƒn b‹ng 0 bði r sŁ 1 Nh÷ v“y jr r xj = ¡ n¡ r k ¢
. CĂc phƒn tò cıa  r x ữổc t⁄o ra tł x b‹ng cĂch giœ nguyản nĂk th nh phƒn b‹ng 0, thay r trong sŁ k th nh phƒn b‹ng 1 bði r sŁ
Quan hằ giœa v nh B(n) v v nh P(S)
V nh B(n) v v nh P(S) cõ mŁi liản hằ rĐt ch°t ch‡ vợi nhau, chúng ta hÂy x†t mºt sŁ t‰nh chĐt tữỡng ứng cıa hai v nh n y:
1) Vợi mỉi t“p A 2 P(S), ta xĂc l“p dÂy ngữổc a = " n " nĂ1 : : : " 1 b‹ng cĂch lĐy " i = 1 n‚u i 2 A v " i = 0 n‚u i 2= A DÂy ngữổc a xĂc ành nhữ trản l mºt phƒn tò cıa B(n) v ữổc gồi l phƒn tò ⁄i diằn hay dÂy ⁄i diằn cıa t“p A trong B(n) Nhữ v“y, chúng ta cõ mºt tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa mºt t“p con cıa n-t“p S vợi mºt phƒn tò ⁄i diằn cho nõ trong B(n) Hỡn nœa, ta cụng cõ mºt tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa mºt k-t“p con cıa n-t“p S vợi mºt phƒn tò ⁄i diằn h⁄ng k cıa nâ trong B(n; k).
2) Thứ tỹ n†n cĂc k-t“p con cıa S trong P k (S) tữỡng ứng vợi thứ tỹ tł i”n cĂc phƒn tò h⁄ng k trong B(n; k).
Th“t v“y, x†t cĂc k-t“p con A; B 2 P k (S) m cĂc phƒn tò ⁄i diằn cıa chóng trong
, Tł trĂi sang phÊi, và tr‰ khĂc nhau ƒu tiản trong dÂy ⁄i diằn cıa A v B l 0 Łi vợi dÂy a, 1 Łi vợi dÂy b.
Vợi cĂc mŁi liản k‚t ch°t ch‡ trản, cĂc T‰nh chĐt 1, 2 ,3, 4 trong mửc I.1.2 v ành lỵ I.1.1 Â ữổc chứng minh cho v nh P k (S) cụng úng cho v nh B(n; k) khi ta thay th‚ t“p A 2 P k (S) bði dÂy ⁄i diằn cıa nõ v thay th‚ thứ tỹ n†n b‹ng thứ tỹ tł i”n.
Bi”u di„n k-nhà thức v Bõng cıa o⁄n ƒu
Tł nhœng t‰nh ch§t cıa v nh Bul hœu h⁄n B(n) v P(S), chóng ta ti‚p tửc xem x†t mºt sŁ vĐn • cỡ bÊn cıa lỵ thuy‚t Combinatorial trản
† Cho A 2 P k (S), x¡c ành và tr‰ cıa A trong sü s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n Mºt cĂch tữỡng ứng, cho a = " n " nĂ1 : : : " 1 l phƒn tò h⁄ng k cıa B(n) , xĂc ành và tr‰ cıa a trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa B(n; k) dữợi thứ tỹ tł i”n.
† X¡c ành k-t“p con A cıa n-t“p S khi bi‚t và tr‰ m cıa A trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n Mºt cĂch tữỡng ứng, xĂc ành phƒn tò a " n " nĂ1 : : : " 1 2 B(n; k) khi bi‚t và tr‰ m cıa nõ trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa B(n; k) dữợi thứ tỹ tł i”n.
M°t khĂc, và tr‰ m cıa A 2 P k (S) trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa
P k (S) dữợi thứ tỹ n†n cụng ch‰nh l º lợn cıa t“p hổp gỗm A v cĂc t“p con ƒu tiản ứng trữợc A trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n Ngữổc l⁄i, vợi sŁ nguyản dữỡng m cho trữợc, t“p A ð và tr‰ m trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n ch‰nh l t“p ứng cuŁi cũng trong o⁄n ƒu tiản gỗm m t“p trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n Hi”n nhiản nhœng °c i”m trản cụng ữổc xĂc l“p trản B(n; k) dữợi thứ tỹ tł i”n ” thu“n tiằn cho viằc tr…nh b y cĂc k‚t quÊ, ta ữa ra cĂc khĂi niằm v kỵ hiằu sau :
Vợi A 2 P k (S), khi õ o⁄n ƒu cıa P k (S) ữổc k‚t thúc bði A l t“p hổp
F k (A) gỗm A v cĂc t“p con ƒu tiản ứng trữợc A trong sỹ s›p x‚p
Tữỡng tỹ, vợi dÂy a = " n " nĂ1 : : : " 1 2 B(n; k), ta gồi o⁄n ƒu cıa B(n; k) ữổc k‚t thúc bði a l t“p hổp F k (a) gỗm a v cĂc dÂy ƒu tiản ứng trữợc a trong sỹ s›p x‚p B(n; k) dữợi thứ tỹ tł i”n.
CuŁi cũng, vợi sŁ nguyản dữỡng m, ta kỵ hiằu F k (m) l o⁄n ƒu gỗm m phƒn tò cıa B(n; k) ho°c P k (S).
Cũng vợi hai vĐn • trản l cĂc k‚t quÊ liản quan ‚n bõng cũa t“p hổp.
Trữợc h‚t ta xem x†t bõng cıa mºt o⁄n ƒu qua viằc giÊi quy‚t cĂc vĐn
1 Bõng cıa mºt o⁄n ƒu cõ phÊi l mºt o⁄n ƒu khổng?
2 XĂc ành º lợn cıa bõng cıa mºt o⁄n ƒu.
3 Ănh giĂ º lợn cıa bõng cıa mºt o⁄n ƒu vợi º lợn cıa bõng cıa mºt t“p hổp bĐt ký m t“p hổp õ cõ cũng º lợn vợi o⁄n ƒu ang x†t.
Mºt sŁ b i to¡n mð ƒu
B i to¡n 1: Cho A = f4; 5; 6; 7g x¡c ành và tr‰ cıa A trong sü s›p x‚p P 4(S) dữợi thứ tỹ n†n.
Theo Tính chất 2, mức I.1.2 ta chỉ cần xét n = max A = 7, khi đó S = {f1; 2; : : : ; 7g} và dãy diễn biến của A là a = 1111000 2 ∈ B(7; 4) Hiện nhiên a là dãy cuối cùng trong sổ sắp xếp các phần tử của B(7; 4) được đưa ra thứ tự từ nhỏ đến lớn Vậy vị trí của A là: jF 4 (A) j = jF 4 (a) j = j B(7; 4) j = 4.
1 00:::0 l dÂy ứng ð và tr‰ cuŁi
} | {z s } cũng trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa B(r+s; r) dữợi thứ tỹ tł i”n, do â, và tr‰ cıa d¢y n y l m = jB(r+s; r)j = ¡ r+ r s ¢
B i to¡n 2: Cho A = f1; 3; 5; 6; 8g x¡c ành và tr‰ cıa A trong sü s›p x‚p P 5(S) dữợi thứ tỹ n†n.
GiÊi: Theo T‰nh chĐt 2, mửc I.1.2 ta ch¿ cƒn x†t n = max A = 8, khi õ S = f1; 2; : : : ; 8g DÂy ⁄i diằn cıa A l a = 10110101 2 B(8; 5) ” xĂc ành m = jF 5 (a) j ta ‚m sŁ cĂc dÂy ứng trữợc a trong sỹ s›p x‚p
B(8; 5) dữợi thứ tỹ tł i”n, cho ‚n khi g°p a:
† Trữợc h‚t l cĂc dÂy ứng ƒu tiản cıa B(8; 5) , chúng ữổc b›t ƒu bði sŁ 0, c¡c d¢y n y câ d⁄ng 0" 7 " 6 " 5 " 4 " 3 " 2 " 1 Câ ¡ 7
† Ti‚p theo l cĂc dÂy cõ d⁄ng 10" 6 " 5 " 4 " 3 " 2 " 1, chúng ữổc b›t ƒu bði
10 So sĂnh vợi a = 10110101, ta cƒn xĂc ành và tr‰ cıa a 1 = 110101 trong sỹ s›p x‚p B(6; 4) dữợi thứ tỹ tł i”n Trð l⁄i l“p lu“n ban ƒu Łi vợi a 1 110101 2 B(6; 4) ta câ:
† CĂc dÂy ứng ƒu tiản cıa B(6; 4) ữổc b›t ƒu bði 0, chúng cõ d⁄ng 0" 5 " 4 " 3 " 2 " 1 Câ ¡ 5
† Ti‚p theo l cĂc dÂy cõ d⁄ng 10" 4 " 3 " 2 " 1 , chúng ữổc b›t ƒu bði 10.
† CĂc dÂy ti‚p theo ữổc b›t ƒu bði 110, chúng cõ d⁄ng 110" 3 " 2 " 1 So sĂnh vợi a 1 = 110101, ta cƒn xĂc ành và tr‰ cıa a 2 = 101 trong sỹ s›p x‚p B(3; 2) dữợi thứ tỹ tł i”n Trð l⁄i l“p lu“n trản Łi vợi a 2 101 2 B(3; 2) ta câ:
† CĂc dÂy ứng ƒu tiản cıa B(3; 2) ữổc b›t ƒu bði 0, chúng cõ d⁄ng 0" 2 " 1 Câ ¡ 2
† Ti‚p theo l cĂc dÂy cõ d⁄ng 10" 1, chúng ữổc b›t ƒu bði 10 So sĂnh vợi a 2 = 101, ta cƒn xĂc ành và tr‰ cıa a 3 = 1 trong sỹ s›p x‚p B(1; 1) dữợi thứ tỹ tł i”n Hi”n nhiản và tr‰ cıa a 3 = 1 trong sỹ s›p x‚p (1; 1) dữợi thứ tỹ tł i”n l 1 QuĂ tr…nh
B i to¡n 3: Cho A = f3; 4; 5; 6; 9g x¡c ành và tr‰ cıa A trong sü s›p x‚p P 5(S) dữợi thứ tỹ n†n.
GiÊi: Theo T‰nh chĐt 2, mửc I.1.2, ta ch¿ cƒn x†t n = max A = 9, khi õ S = f1; 2; : : : ; 9g DÂy ⁄i diằn cıa A l a = 100111100 2 B(9; 5).
Theo l“p lu“n cıa B i to¡n 2 ta câ:
† CĂc dÂy ứng ƒu tiản cıa B(9; 5) ữổc b›t ƒu bði 0, chúng cõ d⁄ng 0" 8 " 7 " 6 " 5 " 4 " 3 " 2 " 1 Câ ¡ 8
† CĂc dÂy ti‚p theo ữổc b›t ƒu bði 10, so sĂnh vợi a = 100111100, ta cƒn xĂc ành và tr‰ cıa a 1 = 111100 trong sỹ s›p x‚p B(6; 4) dữợi thứ tỹ tł i”n Theo B i to¡n 1 và tr‰ â l ¡ 6
‚n ¥y, ta câ th” th§y ph÷ìng ph¡p gi£i quy‚t trong B i to¡n 2 v
B i to¡n 3 ph÷ìng ph¡p "bâc" dƒn c¡c sŁ 1 trong d¢y " n " n¡1 : : : " 1, tł tr¡i sang ph£i, cho ‚n khi g°p d¢y d⁄ng 11 : : : 1 00 : : : 0 Và tr‰ cıa | {z } |
{z } r s dÂy d⁄ng n y  ữổc xĂc ành theo nh“n x†t cıa B i toĂn 1.
CĂc b i toĂn trản h…nh th nh cho ta ỵ tữðng ” giÊi quy‚t vĐn • thứ nh§t b‹ng ph÷ìng ph¡p "bâc" dƒn c¡c sŁ 1 trong d¢y " n " n¡1 : : : " 1, tł trĂi sang phÊi Và tr‰ m ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng tŒng cıa cĂc sŁ tŒ hổp CƠu họi °t ra l ta cõ th” giÊi quy‚t vĐn • thứ hai b‹ng cĂch " i ngữổc" lới giÊi cıa cĂc b i toĂn trản khổng? ” " i ngữổc " phữỡng phĂp trản, trữợc h‚t ta xem x†t sỹ bi”u di„n sŁ nguyản dữỡng m th nh tŒng cĂc sŁ tŒ hổp qua khĂi niằm bi”u di„n k-nhà thức cıa mºt sŁ.
Bi”u di„n k-nhà thức cıa mºt sŁ
ành lỵ II.2.1 Cho cĂc sŁ nguyản dữỡng m v k, khi õ cõ mºt sỹ bi”u di„n duy nhĐt sŁ m dữợi d⁄ng: m = à kk ả + à k kĂ11 ả +ÂÂÂ+ à tt ả a a a ¡ trong â a k > a k¡1 > ¢ ¢ ¢ > a t ‚ t ‚ 1
Cổng thức (II.1) gồi l bi”u di„n k-nhà thức cıa m.
Chứng minh Ta luổn luổn chồnữổc sŁ nguyản dữỡng a k lợn nhĐt sao cho ¡ a k k ¢
• m Nõi cĂch khĂc: 9a k 2 Z; a k ‚ 1 thọa m Ân à a k ả • m < à 1 + a k ả k k
< m th… 9a kĂ1 2 Z; a kĂ1 ‚ 1 thọa mÂn à a kĂ1 ả • m Ă à a k ả < à 1 + a kĂ1 ả k ¡ 1kk ¡ 1
GiÊ sò a k • a kĂ1 , khi õ m ‚ à a k ả + à a kĂ1 ả ‚ à a k ả + à a k ả = à 1 + a k ả kk ¡ 1kk ¡ 1k i•u n y trĂi vợi cĂch chồn a k Do õ a k > a kĂ1.
Ti‚p tửc quĂ tr…nh trản sau hœu h⁄n bữợc ta s‡ chồn ữổc sŁ nguyản dữỡng a t vợi t > 1 sao cho a t a k a ĂÂÂÂĂ à a t+1 ả à t ả = m Ă à k ả Ă à k kĂ1 1 ả t + 1 ¡ trong â a k > a k¡1 > ¢ ¢ ¢ > a t ‚ t > 1.
Ho°c chồn ữổc sŁ nguyản dữỡng a 1 sao cho à a a a àa ả
BƠy giớ ta chứng minh sỹ bi”u di„n sŁ m theo cổng thức (II.1) l duy nh§t b‹ng lþ lu“n quy n⁄p nh÷ sau:
1¢ l bi”u di„n duy nhĐt cıa m theo cổng thức (II.1) GiÊ sò ta  chứng minh ữổc sỹ bi”u di„n m theo cổng thức
X†t k = l v giÊ sò r‹ng m ữổc bi”u di„n theo cổng thức (II.1) dữợi 2 d⁄ng sau : m m à a l ả + à a lĂ1 ả à l ả à l Ă 1 b ả l + b l¡1 l l ¡ 1
N‚u a l 6= b l th… ta cõ th” giÊ sò a l < b l Khi õ m = à ll ả
= 1 + a l ¡ a l ¡ l = 1 + a l 1 < 1 + a l b l m i•u mƠu thuÔn n y chứng tọ khổng th” xÊy ra trữớng hổp a l =6 b l
Từ πa suy ra a1 = b1, nhưng nếu ta cần a11 = b11 thì yêu cầu a11 phải 2 lần Áp dụng quy luật hoán vị ta suy ra a = b với mọi cặp chỉ số (i1, i2, , in) (mỗi i1, i2, , in là chỉ số chạy từ 1 đến k) Vậy biểu diễn K-ký hiệu của m theo công thức (II.1) là duy nhất.
Trong chứng minh trản ta  sò dửng cổng thức quen thuºc â l : à l ả à l Ă 1 ả    à 0 ả à l ả n + n 1 + + n ¡ l = n + 1
BƠy giớ ta sò dửng phữỡng phĂp trong cĂc b i toĂn mð ƒu ” xem x†t ºĂ lợn cıa o⁄n ƒu trong trữớng hổp tŒng quĂt ” thu“n tiằn cho viằc tr… nh b y, vợi mỉi phƒn tò a = " n " nĂ1 : : : " 1 2 B(n; k), ta °t max a = max fi : " = 1g v kỵ hiằu z = 00 : : : 0. i k | {z } k ành lþ II.2.2 Cho a = " n " n¡1 : : : " 1 2 B(n; k), khi â m = jF k (a) j ho n to n ữổc xĂc ành dữợi d⁄ng mºt bi”u di„n k-nhà thức.
Chứng minh Ta x†t hai khÊ nông sau: z N‚u k = 1 th… a 2 B(n; 1), khi õ tỗn t⁄i r 2 f1; 2; : : : ; ng sao cho
" r = 1 v " i = 0 8i 6= r Ta cõ a = z nĂr 1z rĂ1, v“y a ứng ð và tr‰ cuŁi cũng trong sỹ s›p x‚p B(r; 1) dữợi thứ tỹ tł i”n Do õ jF 1 (a) j = jB(r; 1)j = z N‚u k > 1 th… tỗn t⁄i cĂc sŁ n 1 ; n 2 ; : : : ; n k 2 f1; 2; : : : ; ng trong õ
" i = 0 8 i 2= fn 1 ; n 2 ; : : : ; n k g Khi â max a = n k Theo T‰nh ch§t
2, mửc I.1.2 ta cõ th” xem a 2 B(nk ; k) Ta cõ cĂc trữớng hổp sau: a) N‚u n = n + 1 8i = 1; 2; : : : ; k ¡ 1 th… a = 11 : : : 1 00 : : : 0 l¢ d¢y i+1i | {z } | {z } ứng cuŁi cũng trong sỹ s›p x‚p B(nk ; k)
V“y F k (a) = B(nk ; k) v m = jF k (a) j = jB(nk ; k)j k n k ¡k dữợi thứ tỹ tł i”n. à n k ả k b) N‚u trữớng hổp trản khổng úng th… tỗn t⁄i i 2 f1; 2; : : : ; kĂ1g sao cho n i +1 < n i+1 GiÊ sò t l ch¿ sŁ nhọ nhĐt sao cho 1+n t < n t+1.
Ta thỹc hiằn quĂ tr…nh sau:
† °t m k = n k ¡ 1, M 0 = fb 2 B(nk ; k) : max b • m k g = B(mk ; k) khi õ vợi mồi b 2 M 0 ta suy ra b < L a, hay b 2 F k (a) V“y M 0 à F k (a) v jM 0 j = jB(mk ; k)j • jF k (a) j = m < jB(nk ; k)j = àn k ả k hay à k k ả
† Phƒn tò cıa F k (a) Ă M 0 cõ d⁄ng " n k z n k Ă1 + b; b 2 B(n k-1 ; k-1) °t m k¡1 = n k¡1 ¡ 1 v
Khi õ, M 0 \ M 1 = ;; M 1 à F k (a) Ă M 0 ‰ B(nk-1 ; k-1) v jM 1 j = jB(m k-1 ; k-1)j • jF k (a) ¡ M 0 j < jB(n k-1 ; k-1)j hay jM 1 j = à k Ă 1 ả • m Ă à k k ả < à k kĂ1 1 ả = à k 1 Ă m k 1 m n 1 + m k ¡ ¡ ¡
Khi õ M 2 à F k (a) Ă M 0 [ M 1 ‰ B(nk-2 ; k-2) v M 0 ; M 1 ; M 2 ổi mºt rới nhau Ta cõ jM 2 j = jB(mk-2 ; k-2)j • jF k (a) ¡ M 0 [ M 1 j < jB(nk-2 ; k-2)j hay • m Ă à k ả Ă à k Ă 1 ả
† B‹ng cĂch xƠy dỹng nhữ trản, ta thu ữổc cĂc t“p ti‚p theo l M 3 ;
M 4 ; : : : ; M kĂtĂ1 — Ơy, vợi mỉi r 2 f1; 2; : : : ; k Ă t Ă 1g, ta °t m k¡r = n k¡r ¡ 1 v
Tł â suy ra jM r j • jF k (a) ¡ M 0 [ M 1 [ ¢ ¢ ¢ [ M r¡1 j < jB(nk-r ; k-r)j
† B¥y gií, ta x¥y düng t“p M k¡t nh÷ sau:
Khi õ cĂc phƒn tò cıa M kĂt cõ d⁄ng: u = " n k z n k Ă1 + " n kĂ1 z n kĂ1 Ă1 + Â Â Â + " n t+1 z n t+1 Ă1 + g vợi g 2 B(n t ; t)
Theo cĂch chồn t, ta cõ n t Ă j = n tĂj 8j = 1; : : : ; t Ă 1, do õ n t th nh phƒn cuŁi trong a = " n " n¡1 : : : " n t +1 " n t " n t ¡1 : : : " n 1 " n 1 ¡1 : : : " 1 phÊi l 11 : : : 1 00 : : : 0 V… v“y vợi mồi g 2 B(nt ; t) ta luổn cõ
Tức l u 2 F k (a), hay u 2 M kĂt Do õ jM kĂt j = jB(nt ; t)j.
Tł cĂch xƠy dỹng, ta cõ cĂc t“p M j ; j = 0; 1; : : : ; k Ă t ổi mºt ríi nhau, F k (a) = M 0 [ M 1 [ ¢ ¢ ¢ [ M k¡t¡1 [ M k¡t v m = jF k (a) j
1 • t • n t = m t < m t+1 < : : : < m k V“y sỹ bi”u di„n m = jF k (a) j theo cổng thức (II.3) l k- nhà thức cıa m.
Dỹa v o sỹ bi”u di„n k-nhà thức, chúng ta cõ th” xĂc ành ữổc t“p con k-phƒn tò cıa n-t“p S khi bi‚t và tr‰ m cıa nõ trong dÂy cĂc phƒn tò cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n. ành lỵ II.2.3 GiÊ sò sŁ nguyản dữỡng m cõ bi”u di„n k-nhà thức l m = à a ả + àa kĂ1 1 ả +ÂÂÂ+à a ả ; a k > Â Â Â > a t ‚ t ‚ 1 (II.4) k k k t t ¡ Khi õ t“p A 2 P k (S) t⁄i và tr‰ m trong dÂy cĂc phƒn tò cıa P k (S) s›p x‚p dữợi thứ tỹ n†n ữổc xĂc ành nhữ sau:
Chứng minh Ta cõ A l t“p cuŁi cũng cıa F k (m) V… v“y ” xĂc ành
A, ta lƒn lữổt ‚m cĂc t“p trong F k (m) nhữ sau:
† ¡ a k k ¢ t“p ƒu tiản l cĂc k-t“p con cıa t“p f1; 2; : : : ; a k g à S.
† ¡ a kĂ1Â t“p ti‚p theo l cĂc k-t“p con cıa S, chúng ữổc t⁄o th nh k¡1 b‹ng cĂch gh†p thảm f1 + a k g v o mỉi (k Ă 1)-t“p con cıa t“p f1; 2; : : : ; a k¡1 g.
† ¡ a kĂ2Â t“p ti‚p theo l cĂc k-t“p con cıa S, chúng ữổc t⁄o th nh k¡2 b‹ng cĂch gh†p thảm f1 + a k ; 1 + a kĂ1 g v o mỉi (k Ă 2)-t“p con cıa t“p f1; 2; : : : ; a k¡2 g.
Ti‚p tửc quĂ tr…nh cho ‚n l“p lu“n sau:
† ¡ a t t ¢ t“p ti‚p theo l cĂc k-t“p con cıa S, chúng ữổc t⁄o th nh b‹ng cĂch gh†p thảm f1 +a k ; 1 +a kĂ1 ; : : : ; 1 +a t+1 g v o mỉi t-t“p con cıa t“p f1; 2;
Rê r ng t“p cuŁi cũng cıa F k (m) l t“p cuŁi cũng trong quĂ tr…nh trản, tức A l t“p thứ à kk ả + à k kĂ11 ả +ÂÂÂ+ à tt ả a a a ¡
Theo T‰nh chĐt 3, mửc I.1.2 ta suy ra
A = f1 + a k ; 1 + a k¡1 ; : : : ; 1 + a t+1 ; a t ; a t ¡ 1; : : : ; a t ¡ t + 1g ¥ p dửng ành lỵ II.2.3 ta d„ d ng giÊi quy‚t cĂc v‰ dử minh hồa sau: V‰ dử 1: XĂc ành cĂc 3-t“p con cıa n-t“p S t⁄i cĂc và tr‰ 4; 5;
25 trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 3 (S) dữợi thứ tỹ n†n.
3 ¢ nản suy ra k = t = 3; a k = a t = 4 V“y t“p thứ 4 trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 3(S) dữợi thứ tỹ n†n l f4; 4 ¡ 1; 4 ¡ 2g = f4; 3; 2g
5 trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 3(S) dữợi thứ tỹ n†n l f1 + 4; 2; 2 ¡ 1g = f5; 2; 1g.
1¢ nản suy ra k = 3; a k = 4; t = 1; a t = 2 V“y t“p thứ 25 trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 3 (S) dữợi thứ tỹ n†n l f1 + 6; 1 + 3; 2g = f7; 4; 2g.
V‰ dử 2: XĂc ành và tr‰ cĂc t“p f2; 3; 5; 7g trong P 4(S) v f1; 3; 5;
6; 8g trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 5(S) dữợi thứ tỹ n†n.
V“y và tr‰ cıa A trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 4(S) dữợi thứ tỹ n†n l
V“y và tr‰ cıa B trong sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa P 5(S) dữợi thứ tỹ n†n l : ¡ a 5 5 ¢
= 32 Tł ành lỵ II.2.3, ta khổng ch¿ xĂc ành t“p A t⁄i và tr‰ m m cặn xĂc ành ữổc t“p k‚ ti‚p cıa A qua ành lỵ sau: ành lþ II.2.4 Cho A l k-t“p con cıa n-t“p S Khi â t“p k‚ ti‚p A trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n ữổc xĂc ành b‹ng cổng thức sau:
B = f1; : : : ; bg [ fa + 1g [ (A ¡ f1; : : : ; ag) (II.6) trong õ a l sŁ nguyản dữỡng nhọ nhĐt sao cho a 2 A; 1 + a 2= A v b = jA \ f1; : : : ; agj ¡ 1.
Chứng minh GiÊ sò A l t“p thứ m trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n v giÊ sò m cõ bi”u di„n k-nhà thức theo cổng thức (II.4) m = jF k (A) j = à k k ả + à k kĂ1 1 ả
+ Â Â Â + à t t ả ; a k > Â Â Â > a t ‚ t ‚ 1 a a a ¡ p dửng cổng thức (II.5) trong ành lỵ II.2.3, ta cõ
1g Nhữ v“y trong cổng thức (II.6), ta cõ a = a t ; b = t Ă 1
† N‚u t > 1 th… t“p B xĂc ành theo cổng thức (II.6) l :
B = f1 + a k ; 1 + a k¡1 ; : : : ; 1 + a t+1 ; 1 + a t ; t ¡ 1; : : : ; 1g p dửng ành lỵ II.2.3 ta suy ra và tr‰ cıa t“p B trong sỹ s›p x‚p
† N‚u t = 1 th… t“p B xĂc ành theo cổng thức (II.6) l :
Ta x†t 2 trữớng hổp: i) N‚u 1 + a 1 < a 2 th… Ăp dửng ành lỵ II.2.3, ta suy ra và tr‰ cıa t“p B trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n l :
= m + 1 ¡ ii) N‚u 1 + a 1 = a 2, ta giÊ sò s l ch¿ sŁ nhọ nhĐt sao cho
1 + a s < a s+1 p dửng ành lỵ II.2.3 ta suy ra và tr‰ cıa t“p B trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n l ả + à s m 0 = à k k ả + à k kĂ1 1 ả +ÂÂÂ+ à s + 1 a a a s+1 1 + a s ¡
Do cĂch chồn s ta cõ 1 + a i = a i+1 8i < s, v… v“y à1 + a s ả
V“y trong mồi trữớng hổp, t“p B xĂc ành theo cổng thức (II.6) l t“p k‚ ti‚p cıa A trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n Ơ
V‰ dử 3: Vợi A = f2; 3; 4g 2 P 3(S), Ăp dửng ành lỵ II.2.4 ta cõ a 4; b = 2 v t“p B k‚ ti‚p theo A l
Bâng cıa o⁄n ƒu
Trong mửc n y, ta x†t mŁi quan hằ giœa o⁄n ƒu vợi bõng cıa nõ.
Trữợc h‚t ta cõ nh“n x†t sau:
Cho n-t“p v m ; 1 m n GiÊ sò m cõ bi”u di„n k-nhà thức l : S 2 Z • • Ă k ¢ m = a a a
Khi õ ta cõ th” ‚m ữổc cĂc (k Ă 1)-t“p con cıa S m chúng ữổc chứa trong mºt k-t“p con n o õ cıa F k (m) nhữ sau:
(k Ă 1)-t“p con cıa n-t“p S, chúng ữổc t⁄o th nh b‹ng
† (k Ă 1)-t“p con cıa n-t“p S, chúng ữổc t⁄o th nh b‹ng k¡3 cĂch gh†p thảm f1 + a k ; 1 + a kĂ1 g v o mỉi (k Ă 3)-t“p con cıa t“p f1; : : : ; a k¡2 g.
(k Ă 1)-t“p con cıa n-t“p S, chúng ữổc t⁄o th nh b‹ng t¡1 cĂch gh†p thảm f1 + a k ; 1 + a kĂ1 ; : : : ; 1 + a t+1 g v o mỉi (t Ă1)-t“p con cıa t“p f1; : : : ; a t g.
Nhữ v“y, ta ‚m ữổc tĐt cÊ à k kĂ1 2 ả
+ Â Â Â + à t 1 ả Âm = à k a k 1 ả + a t a ¡ ¡ ¡ t“p con (k Ă 1) phƒn tò cıa n-t“p S nhữ th‚ Rê r ng cĂc (k Ă 1)-t“p con trản thuºc ÂF k (m) PhÊi chông Âm l lỹc lữổng cıa ÂF k (m)? Trong trữớng hổp t = 1 th… Âm = à k a k 1 ả + à k kĂ1 2 ả + Â Â Â + à 12 ả + à 01 ả ¡ a ¡ a a àk à
B‹ng cĂch rút gồn theo cổng thức Ă n k ¢
+ ¡ k¡1 ¢ ta câ th” k‚t lu“n bi”u di„n trản cıa Âm l bi”u di„n (k Ă 1)-nhà thức CĂc k‚t quÊ sau Ơy khflng ành Âm xĂc ành nhữ trản l º lợn cıa ÂF k (m). ành lþ II.3.1 Cho a = " n " n¡1 : : : " 1 2 B(n; k), khi â ¢F k (a) l o⁄n ƒu cıa B(n; k-1) v Âm = jÂF k (a) j ho n to n ữổc xĂc ành dữợi d⁄ng mºt bi”u di„n (k Ă 1)-nhà thức.
Chứng minh cıa ành lỵ II.3.1 ữổc thỹc hiằn b‹ng cĂch ti‚p tửc sò dửng cĂc k‚t quÊ Â ⁄t ữổc trong chứng minh cıa ành lỵ II.2.2
Chứng minh Vợi cĂc k‚t quÊ Â bi‚t trong ành lỵ II.2.2 ta cõ : z N‚u k = 1 th… F 1 (a) = B(r; 1) ) ¢F 1 (a) = ¢B(r; 1) = B(r; 0) Do õ m = jF1 (a) j = à 1 ả Âm = jÂF1 (a) j = à 0 ả r r z B¥y gií ta x†t k > 1:
† Trong trữớng hổp a) cıa chứng minh ành lỵ II.2.2, ta  ch¿ ra r‹ng F k (a) = B(nk ; k), do â ¢F k (a) = ¢B(nk ; k) = B(nk ; k-1) v m = jF k (a) j = jB(nk ; k)j = àn k ả k Âm = jÂF k (a) j = jB(n k ; k-1)j = à n k ả k
† Trong trữớng hổp b) cıa chứng minh ành lỵ II.2.2 ta  xĂc ành ữổcĂ 1 cĂc t“p M j vợi j = 0; 1; : : : ; k Ă t thoÊ
F k (a) = M 0 [ M 1 [ ¢ ¢ ¢ [ M k¡t m v = jF k (a) j = à m k ả + à m kĂ1 ả + Â Â Â + à m t+1 ả + à m t ả kk ¡ 1t + 1t l bi”u di„n k-nhà thức cıa m Tł cĂch xƠy dỹng M 0 ; M 1 ; : : : ; M kĂt ta suy ra vợi mồi r 2 f1; 2; : : : ; k Ă tg th… M 0 [ M 1 [ Â Â Â [ M r l mºt o⁄n ƒu cıa B(nk ; k) °t
Ta cõ N 0 ; N 1 : : : ; N kĂt ổi mºt rới nhau v 8j= 0; 1; : : : ; k Ă t jN j j = jB(m k-j ; k-j-1)j = à k j Ă 1 ả m k j ¡ ¡
Tữỡng tỹ nhữ cĂc t“p M 0 ; M 1 ; : : : ; M kĂt , vợi mồi r 2 f1; 2; : : : ; k Ătg th… N 0 [ N 1 [ ¢ ¢ ¢ [ N r l mºt o⁄n ƒu cıa B(nk ; k-1) Ta câ ¢(M 0 [ M 1) = N 0 [ N 1 ¢(M 0 [M 1 [M 2)=N 0 [N 1 [N 2 ¢ ¢ ¢ ¢(M 0 [ M 1 [ ¢ ¢ ¢ [ M k¡t ) = N 0 [ N 1 [ ¢ ¢ ¢ [ N k¡t
Do nh“n x†t ð phƒn ƒu v cổng thức (II.3) l bi”u di„n k-nhà thức nản cổng thức (II.7) l bi”u di„n (k Ă 1)-nhà thức Ơ
‚n Ơy, ta cõ th” ữa ra hằ quÊ quan trồng cıa ành lỵ II.2.2 v ành lỵ
Hằ quÊ II.3.2 Cho m l sŁ nguyản dữỡng v F k (m) l o⁄n ƒu gỗm m phƒn tò cıa B(n; k), khi õ ÂF k (m) cụng l o⁄n ƒu cıa B(n; k-1) Hỡn nœa n‚u m cõ bi”u di„n k-nhà thức m = à m k ả + à m kĂ1 ả + Â Â Â + à m t ả kk ¡ 1t trong â m k > ¢ ¢ ¢ > m t ‚ t ‚ 1 th… Âm = jÂF k (m) j = à m 1ả
+ àm 1 ả +ÂÂÂ+ à t m t 1 ả k k k k¡ 2 ¡ ¡ ¡ ¥ Dỹa trản chứng minh cıa ành lỵ II.2.2 v ành lỵ II.3.1 ta cõ thu“t to¡n ” x¡c ành m = jF k (a) j v ¢m = j¢F k (a) j khi bi‚t a 2 B(n; k) nh÷ sau:
B›t ƒu a = 0" n " n¡1 : : : " 1 =6 0; m := 0; ¢m := 0 t := min fj : 1 • j • max a; " j = 1; " j+1 = 0g XBữợc 1:
V‰ dử 4: Cho A = f1; 3; 5; 6; 8g 2 P 5(S), xĂc ành jF5 (A) j v jÂF5
Ta cõ " 8 = " 6 = " 5 = " 3 = " 1 = 1; t = 1 nản jF 5 (A) j = jF 5 (a) j = à 5 ả + à 4 ả + à 3 ả + à 2 ả + à 1 ả = 32
V‰ dử 5: Cho a = 11011100, xĂc ành jF5 (a) j v jÂF5 (a) j.
Nhữ v“y chúng ta  cõ ữổc cĂc k‚t quÊ liản quan ‚n º lợn cıa mºt o⁄n ƒu vợi º lợn cıa bõng cıa nõ trong v nh Bul hœu h⁄n B(n; k) hay
P k (S) VĐn • tỹ nhiản ữổc °t ra l xem x†t giĂ trà nhọ nhĐt cõ th” cõ cıa bõng cıa t“p bĐt ký cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa B(n) , tữỡng ứng, giĂ trà nhọ nhĐt cõ th” cõ cıa bõng cıa hằ bĐt ký cĂc k-t“p con cıa n-t“p S Nôm
1928, Sperner  chứng minh ữổc vợi hằ A bĐt ký cĂc k-t“p con cıa n-t“p S th… jÂAj ‚ jAj V“y trong cĂc hằ cĂc k-t“p con cıa n-t“p S cõ cũng lỹc lữổng, th… hằ n o cõ bõng nhọ nhĐt? Ta x†t mºt v‰ dử cử th” sau:
V‰ dử 6: Cho S = f1; 2; 3; 4; 5g, t“p con A = 134 2 P 3(S) v hằ A f124; 234; 245g Khi â ta câ
Qua nhi•u v‰ dử tữỡng tỹ, ta cõ th” Ănh giĂ ữổc bõng cıa hằ cĂc k- t“p con cıa n-t“p S b‹ng cĂch so sĂnh vợi bõng cıa o⁄n ƒu cõ cũng º lợn Chúng ta s‡ l m rê vĐn • n y trong chữỡng ti‚p theo. ành lþ cì b£n v• Bâng cıa t“p hổp v sỹ mð rºng ph⁄m vi ứng dửng
Trong chữỡng n y, chúng ta xem x†t cĂc k‚t quÊ Ănh giĂ º lợn cıa bõng cıa mºt t“p hổp bĐt ký cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa v nh B(n) v mºt hữợng mð rºng ph⁄m vi ứng dửng cıa cĂc k‚t quÊ õ.
ToĂn tò nƠng S j
Cho a = " n " nĂ1 : : : " 1 2 B(n), vợi mỉi j 2 f1; 2; : : : ; ng ta °t
– j a = a n‚u " j = 0 – j a 2 ¢a n‚u " j = 1 ắ j a = a n‚u " j = 1 ắ j a 2 ra n‚u " j = 0 ành nghắa 1 Cho A à B(n) v a = " n " nĂ1 : : : " j : : : " 1 2 A, vợi mỉi j 2 f2; : : : ; ng ta °t
S j a = ‰ ắ – a n‚u " = 0; " j = 1 v ắ 1 – j a = A a 1 j trong 1 cĂc trữớng hổp cặn l⁄i 2
VS j A = fS j a : a 2 Ag ToĂn tò S j ữổc gồi l toĂn tò nƠng tĂc ºng lản A.
Tł ành nghắa cıa toĂn tò nƠng S j ta cõ ngay jS j aj = jaj vợi mồi j ‚ 2.
BƠy giớ ta xem x†t mºt v i t‰nh chĐt cıa toĂn tò nƠng S j qua cĂc mằnh • sau.
Mằnh • III.1.1 Cho S j l toĂn tò nƠng v t“p A à B(n) Khi õ ta cõ jS j Aj
Chứng minh Ta cƒn ch¿ ra r‹ng: 8 a; b 2 A, n‚u a =6 b th… S j a =6 S j b.
2 A Do õ S j a =6 S j b Tữỡng tỹ cho trữớng hổp S j a = ắ 1 – j a v S j b = b.
Khi õ tł ành nghắa toĂn tò nƠng S j ta suy ra: " a 1 = " b 1 = 0 v
" a j = " b j = 1 V… a 6= b nản tỗn t⁄i i 2 f1; 2; : : : ; ng; i 6= 1; i 6 j sao cho " a i 6= " b i M°t khĂc " a i = " ắ i 1 – j a v " b i = " ắ i 1 – j b , do õ
" ắ i 1 – j a 6= " ắ i 1 – j b Tł õ suy ra S j a 6= S j b V“y jS j Aj = jAj. ¥
Tł ành nghắa, ta thĐy ngay toĂn tò nƠng S j phử thuºc rĐt nhi•u v o t“p hổp m nõ tĂc ºng lản Nõi cĂch khĂc, toĂn tò S j tĂc ºng rĐt khĂc nhau trản cĂc t“p khĂc nhau Tuy nhiản, mằnh • sau Ơy cho thĐy toĂn tò nƠng giœa nguyản quan hằ bao h m giœa cĂc t“p hổp.
Mằnh • III.1.2 Cho S j l toĂn tò nƠng v A; B à B(n) Khi õ, n‚u A à B th… S j A à S j B vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng.
Chứng minh X†t fi l mºt phƒn tò n o õ cıa S j A, khi õ tỗn t⁄i a 2 A sao cho fi = S j a Ta cõ cĂc khÊ nông sau
1 N‚u fi = a th… S j a = a Łi vợi t“p A, ta suy ra " a 1 = 1 ho°c " a j = 0 ho°c ắ 1 – j a 2 A Những khi õ ta cõ " a 1 = 1 ho°c " a j = 0 ho°c ắ 1 – j a 2 B, do
2 N‚u fi = ắ 1 – j a th… S j a = ắ 1 – j a Łi vợi t“p A Tł ành nghắa cıa
S j , ta suy ra " a 1 = 0; " a j = 1 v ắ 1 – j a 2= A Ta s‡ ch¿ ra r‹ng fi 2 S j B Th“t v“y, ta x†t cĂc trữớng hổp sau:
† N‚u ắ 1 – j a 2= B th… S j a = ắ 1 – j a Łi vợi t“p B Nhữ v“y fi ắ 1 – j a = S j a 2 S j B
† N‚u ắ 1 – j a 2 B th… S j fi = S j (ắ 1 – j a) 2 S j B M°t khĂc ta cõ fi
= ắ 1 – j a nản " fi 1 = 1; " fi j = 0, tł õ suy ra S j fi = fi Łi vợi t“p B Tł õ suy ra fi 2
Nhữ v“y trong mồi trữớng hổp ta •u suy ra fi 2 S j B, tức l S j A à
BƠy giớ ta xem x†t ‚n mºt t‰nh chĐt khĂ thú và cıa toĂn tò nƠng khi tĂc ºng lản bõng cıa mºt t“p hổp qua mằnh • sau.
Mằnh• III.1.3 Cho S j l toĂn tò nƠng, A à B(n) v a 2 A Khi õ, n‚u
S j a = a th… ÂS j a à S j ÂA, vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng.
Chứng minh Ta cõ a 2 A; a = " a n " a nĂ1 j
2 f2; 3; : : : ; ng Ta xem S j l toĂn tò
: : : " a j : : : " a 1 v S j a = a vợi mồi nƠng tĂc ºng lản ÂA, khi õ
Do v“y, viằc chứng minh ÂS j a à S j ÂA s‡ ữổc ho n th nh n‚u ta chứng minh ữổc S j b = b; 8 b 2 ÂS j a.
Ta cõ b 2 ÂS j a = Âa nản tỗn t⁄i i 2 f1; 2; : : : ; ng sao cho " a = 1 v i
† N‚u i = 1 v " b j = 1 th… " b 1 = " b i = 0; " b j = " a j = 1 nh÷ng khi â ắ 1 – j b = – j ắ 1 b = – j a 2 Âa à ÂA, do õ S j b = b.
† N‚u i =6 1 v i =6 j th… xÊy ra cĂc trữớng hổp sau:
" b 1 = 1 ho°c " b j = 0 Khi â, ta câ ngay S j b = b.
S j a = a nản ắ 1 – j a 2 A Tł õ suy ra ắ 1 – j b = ắ 1 – j (– i a) = – i (ắ 1 – j a) 2 ÂA
V“y trong mồi trữớng hổp ta •u cõ
K‚t quÊ trản ữa ‚n cho ta cƠu họi l cõ th” t…m ữổc k‚t quÊ tữỡng tỹ Łi vợi mºt t“p hổp hay khổng ? Tức l cõ th” cõ bao h m thức ÂS j A à S j ÂA Łi vợi mºt t“p con A à B(n) hay khổng ? ành lỵ sau khflng ành sỹ úng ›n cıa bao h m thức mong muŁn n y. ành lỵ III.1.4 Cho S j l toĂn tò nƠng v t“p con A à B(n) Khi õ ÂS j A à S j ÂA vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng.
Chứng minh Ta cõ ÂS j A = S a2A ÂS j a nản ành lỵ III.1.4 s‡ ữổc chứng minh khi ta ch¿ ra r‹ng: 8a 2 A ) ÂS j a à S j ÂA.
GiÊ sò a = " a n " a nĂ1 : : : " a 1 l phƒn tò n o õ cıa A.
N‚u S j a = a th… theo Mằnh • III.1.3, ta cõ ÂS j a à S j ÂA.
BƠy giớ ta giÊ sò S j a 6= a.
Khi õ " a = 0; " a = 1; ắ 1 – j a 2= A v S j a = ắ 1 – j a 1 j a) N‚u " b 1 = 0 th… b = – 1 (S j a) Th“t v“y, v… S j a = ắ 1 – j a nản " S 1 j a = 1 v " S j j a = 0 Do b 2 ÂS j a nản tỗn t⁄i k 2 f1; 2; : : : ; ng; k =6 j sao cho " S k j a = 1 v b = – k (S j a) Nh÷ng khi â ta suy ra
V“y b 2 ¢S j a , k = 1 hay b = – 1(S j a) Tł â ta câ b = – 1(S j a) = – 1(ắ 1 – j a) = – j a 2 ÂA ) S j b 2 S j ÂA
Do â b 2 ÂS j a = Â(ắ 1 – j a) ) b ⁄ 2 Âa à ÂA ) S j (b ⁄ ) 2 S j ÂA
XÊy ra cĂc khÊ nông sau :
† N‚u b 2= ÂA th… ắ 1 – j (b ⁄ ) = ắ 1 – j (ắ j – 1 b) = b 2= ÂA, tł õ suy ra S j (b ⁄ ) = ắ 1 – j (b ⁄ ) = b V“y b 2 S j ÂA.
† N‚u b 2 ÂA th… S j b 2 S j ÂA M°t khĂc b 2 Â(ắ 1 – j a) nản " b j 0, tł â suy ra S j b = b V“y b 2 S j ¢A.
Trong mồi trữớng hổp ta •u cõ:
Tức l ÂS j a à S j ÂA vợi mồi a 2 A i•u n y chứng tọ
Tł ành lỵ III.1.4 ta cõ ngay mºt k‚t quÊ so sĂnh º lợn cıa bõng cıa mºt t“p hổp vợi º lợn cıa bõng cıa t“p hổp õ khi  ữổc toĂn tò nƠng t¡c ºng nh÷ sau:
Hằ quÊ III.1.5 Cho S j l toĂn tò nƠng v A l t“p con n o õ cıa B(n).
Khi õ jÂS j Aj • jÂAj vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng.
Chứng minh Theo Mằnh • III.1.1 th… jS j ÂAj = jÂAj p dửng ành lỵ
III.1.4 ta cõ : ÂS j A à S j ÂA Tł õ suy ra j¢S j Aj • jS j ¢Aj = j¢Aj ¥ ành nghắa 2 Vợi A à B(n) Ta °t
D„ thĐy A 0 v – 1(A 1) = f– 1 a : a 2 A 1 g l cĂc t“p bĐt bi‚n Łi vợi S j Tł ành nghắa 2 ta suy ra A 0 \ A 1 = ;; jA 0 j + jA 1 j = jAj M°t khĂc, do j–
1(A 1)j = jA 1 j nản suy ra jA 0 j + j– 1(A 1)j = jAj Ta cõ mºt t‰nh chĐt cıa t“p bĐt bi‚n Łi vợi toĂn tò nƠng S j nhữ sau
Mằnh • III.1.6 Cho S j bi‚n Łi vợi S j , cõ nghắa l l toĂn tò nƠng v A à B(n) l t“p bĐt S j A
= A vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng Khi õ j¢A 0 j • j– 1(A 1)j v j– 1(A 1)j + j¢– 1(A 1)j • j¢Aj
Chứng minh LĐy e 2 ÂA 0 ; e = " e n " e nĂ1 : : : " e j : : : " e 1, khi õ tỗn t⁄i i >
Tł õ suy ra – 1 (ắ 1 e) 2 – 1 (A 1 ) hay e 2 – 1 (A 1 ) Nhữ v“y, ta  chứng minh ữổc 8 e 2 ÂA 0 ) e 2 – 1(A 1) Tức l ÂA 0 à – 1(A 1) hay jÂA 0 j • j–
BƠy giớ x†t B = fắ 1 b : b 2 – 1(A 1)g, ta cõ
ành lỵ cỡ bÊn v• bõng cıa t“p hổp
ành lỵ III.2.1 ( ành lỵ cỡ bÊn) Cho A à B(n; k) l t“p hổp gỗm m phƒn tò h⁄ng k bĐt ký cıa B(n) GiÊ sò m cõ bi”u di„n k-nhà thức l m = à kk ả + à k kĂ1 1 ả + Â Â Â + à t t ả a a ¡ a trong â a k > a k¡1 > ¢ ¢ ¢ > a t ‚ t ‚ 1 Khi â jÂAj ‚ à k a k 1 ả
Chứng minh N‚u ta tĂc ºng liản ti‚p v l°p l⁄i nhi•u lƒn cĂc toĂn tò nƠng S j ; j = 2; 3; : : : ; n lản A th… sau mºt sŁ hœu h⁄n lƒn tĂc ºng, ta thu ữổc mºt t“p hổp mợi A ⁄ cõ cĂc t‰nh chĐt sau:
1 Theo Mằnh • III.1.1 ta cõ jA ⁄ j = jAj = m
2 A ⁄ gỗm m phƒn tò h⁄ng k n o õ cıa B(n)
3 Vợi sỹ tĂc ºng cĂc toĂn tò nƠng S j ; j = 2; 3; : : : ; n nhữ trản th… sŁ lữổng cĂc dÂy " n " nĂ1 : : : " 1 ữổc sinh ra cõ " 1 = 1 s‡ tông lản v ‚n mºt lúc n o õ th… ta thu ữổc mºt t“p hổp m mồi sỹ tĂc ºng cıa cĂc toĂn tò nƠng S j lản t“p hổp õ s‡ khổng mang l⁄i bĐt ký mºt sỹ thay Œi n o nœa Ta cõ th” xem A ⁄ l t“p hổp cõ t‰nh chĐt trản, tức l S j (A ⁄ ) = A ⁄ vợi mồi j 2 f2; 3; : : : ; ng.
4 p dửng Hằ quÊ III.1.5 ta cõ j¢Aj ‚ j¢S j Aj ‚ j¢S j 0 (S j A)j ‚ j¢S j 00 ¡
CĂc t‰nh chĐt trản cho ta nh“n x†t : ành lỵ III.2.1 s‡ ữổc chứng minh cho t“p hổp A n‚u nhữ ta chứng minh ữổc cho t“p hổp A ⁄
Nhớ õ, bƠy giớ ta cõ th” giÊ sò thảm r‹ng S j A = A vợi mồi j 2 f2;
3; : : : ; ng Ta sò dửng lỵ lu“n quy n⁄p ” thỹc hiằn viằc chứng minh ành lỵ III.2.1 — Ơy, ta thỹc hiằn lỵ lu“n quy n⁄p trản hai ⁄i lữổng l cĂc sŁ nguyản dữỡng n v k, 1 • k • n.
X†t t“p hổp K = f(n; k) : 1 • k • n; n 2 Ng, ta xĂc l“p trản K thứ tỹ tł i”n giœa cĂc c°p (n; k) nhữ sau: Vợi mồi (n 1 ; k 1); (n 2 ; k 2) 2 K ta nâi (n 1 ; k 1) < (n 2 ; k 2) n‚u n 1 < n 2 ho°c n 1 = n 2 ; k 1 < k 2.
D„ thĐy K l t“p s›p tŁt theo thứ tỹ tł i”n nảu trản BƠy giớ ta chứng minh ành lỵ III.2.1 b‹ng lỵ lu“n quy n⁄p theo thứ tỹ cıa t“p hổp K.
† Vợi n = 1; k = 1 th… A à B(1; 1) v ÂA à B(1; 0) Do õ jÂAj jB(1; 0)j = 1 = ¡ m
V“y ành lþ III.2.1 óng cho tr÷íng hổp n = 1; k = 1, tức ành lỵ úng cho phƒn tò ƒu tiản cıa K l c°p (1; 1).
† GiÊ sò ành lỵ III.2.1 úng vợi mồi c°p (n; k) < (p; l), cõ nghắa l ành lỵ úng vợi mồi k khi n < p v úng vợi mồi k < l khi n = p.
† BƠy giớ ta chứng minh ành lỵ úng vợi c°p (p; l), tức l khi n = p v k = l th… ành lỵ úng vợi mồi t“p con A à B(p; l).
Th“t v“y, ta giÊ sò m = jAj cõ bi”u di„n l-nhà thức l m = jAj = à a l l ả
– (A ) < a l 1 + a lĂ1 Ă 1 + ả ¢ ¢ ¢ + a s ¡ 1 j 1 1 j à l Ă1 ả à l Ă 2 ả à s ¡ 1 th… tł jA 0 j = jAj ¡ j– 1 (A 1 )j, ta suy ra ¡ jA 0 j > •à a a a Ă
V… A 0 à B(p-1; l) nản Ăp dửng giÊ thi‚t quy n⁄p ta cõ j A
0 j ‚ àa l 1 + a lĂ1 Ă 1 ả+ ¢ ¢ ¢ + àa s Ă 1 > –(A ) j l Ă1 ả à l ¡ 2 s ¡ 1 ả j 1 1 i•u n y trĂi vợi k‚t quÊ trong Mằnh • III.1.6, v… v“yĂ
M°t khĂc – 1 (A 1 ) à B(p-1; l-1) nản Ăp dửng giÊ thi‚t quy n⁄p ta suy ra: j 1 1 j ‚ à l Ă 2 ả à l ¢–(A ) a l 1 +a l¡1 ¡ ¡ ¡
Theo Mằnh • III.1.6 ta cõ j¢Aj ‚ j– 1(A 1)j + j¢– 1(A 1)j à l a l
+ à l a lĂ1 2 ả ¡ ¡ à a s ả s Ă 1 ¥ p dửng k‚t quÊ cıa ành lỵ cỡ bÊn III.2.1, ta cõ ngay cĂc k‚t quÊ khĂ thó và sau:
Hằ quÊ III.2.2 Trong tĐt cÊ cĂc t“p con cõ cũng lỹc lữổng cıa B(n; k), o⁄n ƒu l t“p cõ bõng nhọ nhĐt Nõi cĂch khĂc, vợi bĐt ký t“p con A à B(n; k); jAj = m th… ta luổn cõ jÂAj ‚ jÂF k (m) j.
Chứng minh GiÊ sò jAj cõ bi”u di„n k-nhà thức l m = jAj = à a k ả + à a kĂ1 ả + Â Â Â + à a t ả kk ¡ 1t trong õ a k > a kĂ1 > Â Â Â > a t ‚ t ‚ 1 Theo Hằ quÊ II.3.2 ta cõ jÂF k (m) j = à k a k 1 ả
+ Â Â Â + à t a t 1ả à k ¡ ¡ ¡ p dửng ành lỵ III.2.1 ta cõ jÂAj ‚ à k a k
Hằ quÊ III.2.3 Vợi mồi t“p con A à B(n; k) ta luổn cõ ÂF k (jAj) à F kĂ1 (jÂAj)
Chứng minh Theo Hằ quÊ II.3.2 ta cõ ÂF k (jAj) l o⁄n ƒu cıa B(n; k-
1) Trong khi õ F kĂ1 (jÂAj) l o⁄n ƒu gỗm jÂAj phƒn tò cıa B(n; k-1)
V“y tł Hằ quÊ III.2.2 ta cõ jÂAj ‚ jÂF k (jAj) j ) F kĂ1 (jÂAj) ả ÂF k (jAj) ¥ Hằ quÊ III.2.4 Cho A à B(n; k), khi õ vợi mỉi sŁ nguyản dữỡng r • k ta câ ¢ r ¡
Chứng minh Trữớng hổp r = 1 Â ữổc chứng minh trong Hằ quÊ
III.2.3 GiÊ sò ta  chứng minh ữổc ¢ r ¡
F k (jAj) ¢ à F kĂr (j r Aj) vợi 1 • r < k n o õ Khi õ ¢ r+1 ¡
M°t khĂc, theo Hằ quÊ III.2.3 ta cõ ¢‡
F kĂr (j r Aj) ã à F kĂrĂ1 (jÂ( r A)j) = F kĂrĂ1 j r+1 Aj
Vợi sŁ nguyản dữỡng m, ta kỵ hiằu L k (m) l o⁄n cuŁi gỗm m phƒn tò cıa B(n; k)dữợi thứ tỹ tł i”n ho°c cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n.
Theo T‰nh chĐt 4, mửc I.1.2 ta cõ ¡ ¢ 0 ¡ ¢ 0
Hằ quÊ III.2.5 Cho A l hằ bĐt ký cĂc k-t“p con cıa n-t“p S Khi õ jrAj ‚ jrL k (jAj) j
Nõi cĂch khĂc, trong cĂc t“p con cũng º lợn cıa P k (S), o⁄n gỗm cĂc phƒn tò cuŁi cũng trong sỹ s›p x‚p cıa P k (S) dữợi thứ tỹ n†n l t“p cõ bõng trản nhọ nhĐt.
Chứng minh Ta cõ A 0 à P nĂk (S) v jA 0 j = jAj Theo ành lỵ I.1.1 ta câ: jrAj = j¢A 0 j v j¢F n¡k (jA 0 j) j = jr ¡
III.2.2 ta câ j¢A 0 j ‚ j¢F n¡k (jA 0 j) j ,jrAj ‚ jr ¡
F n¡k (jA 0 j) ¢ 0 j ,jrAj ‚ jrL k (jA 0 j) j = jrL k (jAj) j ¥
Hằ quÊ III.2.6 Cho t“p A à P k (S), khi õ rL k (jAj) à L k+1 (jrAj)
Chứng minh Ta x†t ph†p °t tữỡng ứng A 7!A 0 = S Ă A vợi mồi A 2
S Khi õ, theo T‰nh chĐt 4, mửc I.1.2, n‚u A ữổc Ănh x⁄ lản to n bº
A 0 th… F nĂk (jA 0 j) ữổc Ănh x⁄ lản to n bº L k (jAj) v ÂA 0 ữổc Ănh x⁄ lản to n bº rA V… v“y, tł ÂF nĂk (jA 0 j) à F nĂkĂ1 (jÂA 0 j) ta suy ra rL k (jAj) à L k+1 (jrAj) ¥
Nhữ v“y trong tĐt cÊ cĂc t“p con cõ cũng º lợn cıa B(n; k)ho°c
P k (S), o⁄n ƒu cõ bõng nhọ nhĐt, o⁄n cuŁi cõ bõng trản nhọ nhĐt.
Chúng ta ti‚p tửc xem x†t t‰nh chĐt lỵ thú n y trản cĂc cĂc t“p hổp rºng hỡn m sau Ơy l mºt v‰ dử.
Mºt hữợng mð rºng ph⁄m vi ứng dửng cıa ành lỵ cỡ b£n
Ta  chứng minh ữổc cĂc k‚t quÊ quan trồng v• bõng cıa t“p hổp, cƠu họi °t ra l trản cĂc t“p hổp cõ cĐu trúc gƒn giŁng B(n) th… cĂc k‚t quÊ n y cặn úng hay khổng? ” cõ cƠu trÊ lới, ta x†t t“p hổp sau ¥y:
Trong õ 1 • k 1 • Â Â Â • k n l cĂc sŁ nguyản dữỡng cho trữợc Nhữ v“y trong trữớng hổp 1 = k 1 = Â Â Â = k n th… B(k 1 ; : : : ; k n ) = B(n).
BƠy giớ ta xƠy dỹng trản B(k 1 ; : : : ; k n ) cĂc khĂi niằm cỡ bÊn ” thu“n lổi cho viằc xem x†t cĂc t‰nh chĐt v• bõng cıa t“p hổp.
CĂc khĂi niằm cỡ bÊn cıa B(k 1 ; : : : ; k n )
1 Vợi mồi x 2 B(k 1 ; : : : ; k n ); x = (x 1 ; : : : ; x n ) ta gồi h⁄ng cıa x l sŁ nguyản jxj = x 1 + Â Â Â + x n Vợi mỉi sŁ nguyản k ‚ 0, ta gồi mức thứ k cıa
B(k 1 ; : : : ; k n ) l t“p B k (k 1 ; : : : ; k n ) gỗm tĐt cÊ cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa
2 Trản t“p tĐt cÊ cĂc phƒn tò cõ cũng h⁄ng k, ta xĂc ành quan hằ thứ tỹ nhữ sau:
Vợi mồi a; b 2 B k (k 1 ; : : : ; k n ); a = (a 1 ; : : : ; a n ); b = (b 1 ; : : : ; b n ) ta nâi a < b n‚u a i < b i trong â i = min fj : 1 • j • n; a j =6 b j g Ta dũng kỵ hiằu a • b ” ch¿ a < b ho°c a ã b D„ thĐy B k (k 1 ; : : : ; k n ) ữổc s›p tŁt dữợi thứ tỹ • Ta gồi thứ tỹ n y l thứ tỹ tł i”n trản
3 Cho t“p hổp A à B k (k 1 ; : : : ; k n ), bõng cıa A l t“p hổp ÂA ữổc x¡c ành nh÷ sau ÂA =fx = (x 1 ; : : : ; x n ) : jxj = k Ă 1 v tỗn t⁄i i 2 f1; : : : ; ng
” (x 1 ; : : : ; x i¡1 ; x i + 1; x i+1 ; : : : ; x n ) 2 Ag ành lþ sau ¥y cho ta k‚t qu£ t÷ìng tü nh÷ trong ành lþ II.3.1. ành lỵ III.3.1 Cho k ‚ 1 v A à B k (k 1 ; : : : ; k n ), khi õ n‚u A l o⁄n ƒu cıa B k (k 1 ; : : : ; k n ) dữợi thứ tỹ tł i”n th… ÂA cụng l o⁄n ƒu cıa B kĂ1(k 1 ; : : : ; k n ) dữợi thứ tỹ tł i”n.
Khi â ành lþ III.3.1 trð th nh ành lþ II.3.1.
BƠy giớ ta x†t trữớng hổp khổng tƒm thữớng, tức l khổng ỗng thới xÊy ra dĐu flng thức trong dÂy 1 • k 1 • Â Â Â • k n
GiÊ sò a = (a 1 ; : : : ; a n ); b = (b 1 ; : : : ; b n ) l 2 phƒn tò cũng h⁄ng k Ă 1 cıa B(k 1 ; : : : ; k n ) thọa mÂn a < b v b 2 ÂA Ta s‡ ch¿ ra a 2 ÂA Tł b 2 ÂA ta suy ra tỗn t⁄i j • n sao cho (b 1 ; :::; b j + 1; :::; b n ) 2 A V… a < b nản ta t…m ữổc ch¿ sŁ i nhọ nhĐt thọa mÂn a i < b i Ta x†t cĂc trữớng hổp sau:
Do A l o⁄n ƒu v (b 1 ; :::; b j + 1; :::; b n ) 2 A ta suy ra
2 i < j, khi õ xÊy ra hai trữớng hổp:
Do A l o⁄n ƒu v (b 1 ; :::; b j + 1; :::; b n ) 2 A ta suy ra
(b) a i + 1 = b i Khi õ xÊy ra hai khÊ nông sau: fi): Tỗn t⁄i r > i m a r < k r , khi â
Do A l o⁄n ƒu v (b 1 ; :::; b j + 1; :::; b n ) 2 A ta suy ra
M°t khĂc, jaj = jbj nản ta phÊi cõ b = (b 1 ; :::; b i¡1 ; b i ; k i+1 ; :::; k t ¡ 1; :::; k n ) vợi t n o õ thọa i + 1 • t • n V… j > i nản j phÊi l t, cõ nghắa l
Tł â suy ra a = (b 1 ; :::; b i¡1 ; b i ¡ 1; k i+1 ; :::; k n ) 2 ¢A. ành lỵ ữổc chứng minh xong Ơ
BƠy giớ chúng ta cõ th” thĐy l⁄i k‚t quÊ cıa ành lỵ cỡ bÊn trản t“p
B k (k 1 ; : : : ; k n ) khi n = 2 qua ành lþ sau. ành lỵ III.3.2 Cho A à B k (k 1 ; k 2) l t“p cĂc phƒn tò h⁄ng k bĐt ký cıa B(k 1 ; k 2) Khi õ jÂAj ‚ jÂF k (jAj) j, trong õ F k (jAj) l o⁄n ƒu gỗm jAj phƒn tò ƒu tiản trong sỹ s›p x‚p B k (k 1 ; k 2) dữợi thứ tỹ tł i”n.
Chứng minh N‚u A = B k (k 1 ; k 2) th… ta cõ ngay i•u cƒn chứng minh ¢A = ¢B k (k 1 ; k 2) = ¢F k (A)
BƠy giớ ta giÊ sò A B k (k 1 ; k 2) v k ‚ 1.
N‚u k • k 1 th… cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa B(k 1 ; k 2) ữổc s›p x‚p dữợi thứ tü tł i”n nh÷ sau
N‚u k > k 1 th… cĂc phƒn tò h⁄ng k cıa B(k 1 ; k 2) ữổc s›p x‚p dữợi thứ tü tł i”n nh÷ sau
Ta cõ th” xem A l hổp cıa cĂc o⁄n tŁi ⁄i B i ổi mºt rới nhau, mỉi o⁄n tŁi ⁄i B i n y l mºt dÂy cĂc phƒn tò n o õ ứng k‚ ti‚p nhau trong dÂy s›p x‚p cıa B k (k 1 ; k 2) nảu trản V… A B k (k 1 ; k 2) nản B i 6= B k (k 1 ; k 2) vợi mồi i Trữợc h‚t ta cõ cĂc nh“n x†t sau:
Nh“n x†t 1: X†t B l mºt o⁄n tŁi ⁄i n o õ cıa A Khi õ ta luổn cõ j¢Bj ¡ jBj ‚ 0
(i) N‚u B cõ chứa (0; k) hay B l mºt o⁄n ƒu cıa B k (k 1 ; k 2) th…
B = f(0; k); : : : ; (h; k ¡ h)g trong â h < min fk; k 1 g Ta suy ra bâng cıa B l ¢B = f(0; k ¡ 1); (1; k ¡ 2); : : : ; (h ¡ 1; k ¡ h); (h; k ¡ h ¡ 1)g
Nh÷ v“y n‚u B l mºt o⁄n ƒu th… j¢Bj ¡ jBj = 0.
(ii) N‚u B khổng chứa (0; k) th… ta cõ
Do õ, n‚u B l o⁄n tŁi ⁄i th… jÂBj Ă jBj ‚ 0 Trữợc h‚t ta cõ cĂc nh“n x†t sau:
Nh“n x†t 2: X†t B1 ; B2 l c¡c o⁄n tŁi ⁄i ríi nhau cıa A, khi â ¢B1 \¢B2 =;
Th“t v“y, giÊ sò B2 l o⁄n ứng sau B1, khi õ
— ¥y r; s; t; u ‚ 0; r + s + t + u • min fk; k 1 g Do B1 ; B2 l c¡c o⁄n tŁi ⁄i rới nhau nản t > 2 Theo Nh“n x†t 1, ÂB1 l mºt o⁄n cõ phƒn tò ứng cuŁi l (r + s; k Ă r Ă s Ă 1), ÂB2 l mºt o⁄n cõ phƒn tò ứng ƒu l (r + s + t
(r + s + t + u ¡ 1) ¡ (r + s) = t + u ¡ 1 > 2 ¡ 1 = 1 do â (r + s; k ¡ r ¡ s ¡ 1) < (r + s + t + u ¡ 1; k ¡ r ¡ s ¡ t ¡ u). i•u n y chứng tọ ÂB1 \ ÂB2 = ;.
M°t khĂc, A = i B i nản ÂA = i ÂB i v jAj = i jB i j.
Tł Nh“n x†t 2 ðS trản ta suy ra j j P j ¢B j
CuŁi cũng F k (jAj) l o⁄n ƒu nản theo Nh“n x†t 1(i) ta cõ j¢F k (jAj) j ¡ jF k (jAj) j = 0
V“y j¢Aj ¡ jAj ‚ 0 = j¢F k (jAj) j ¡ jF k (jAj) j hay j¢Aj ‚ j¢F k (jAj) j ¥ Theo ành lþ III.3.1 ta câ bâng cıa mºt o⁄n ƒu l⁄i l mºt o⁄n ƒu, do â ¢F k (jAj) l o⁄n ƒu cıa B k¡1(k 1 ; k 2) V“y tł ành lþ III.3.2 ta suy ra ngay k‚t qu£ sau:
Hằ quÊ: Cho sŁ nguyản k > 1, khi õ vợi mồi t“p con A à B k (k 1 ; k 2), ta luổn cõ ÂF k (jAj) à F kĂ1 (jÂAj) :Ơ
i k‚t qu£ ¡nh gi¡ bâng cıa o⁄n ƒu 46
CĂc ành lỵ v• ph†p cºng dữợi 46 IV.2 Mºt ữợc lữổng lỹc lữổng cıa o⁄n ƒu thổng qua bõng 55
Theo Hằ quÊ III.2.2 cıa ành lỵ cỡ bÊn III.2.1 ta  cõ k‚t quÊ : jÂF k (m) j • jÂAj vợi mồi A à B(n; k); jAj = m.
BƠy giớ, n‚u A bi”u di„n ữổc dữợi d⁄ng A = A 1 [A 2, trong õ A 1 ; A 2 l cĂc t“p con cıa B(n; k) thọa mÂn A 1 \A 2 = ;; jA 1 = m 1 j; jA 2 = m 2 j th… tł ¢A = ¢A 1 [ ¢A 2 ta suy ra ngay j¢Aj • j¢A 1 j + j¢A 2 j
Trong trữớng hổp n y ta cõ m = m 1 + m 2, k‚t hổp vợi cĂc bĐt flng thức ð trản ta suy ra j¢F k (m 1 + m 2) j • j¢A 1 j + j¢A 2 j (IV.1)
CƠu họi °t ra l n‚u khi ta thay A 1 bði o⁄n ƒu F k (jA 1 j) = F k (m 1) v A 2 bði o⁄n ƒu F k (jA 2 j) = F k (m 2) th… bĐt flng thức IV.1 cặn úng hay khổng ? ành lỵ sau s‡ cho chúng ta cƠu trÊ lới v• vĐn • n y. ành lỵ IV.1.1 ( ành lỵ v• ph†p cºng dữợi) Vợi mồi sŁ nguyản d÷ìng m 1 ; m 2 ta câ j¢F k (m 1 + m 2) j • j¢F k (m 1) j + j¢F k (m 2) j.
Chứng minh Nhớ T‰nh chĐt 2, mửc I.1.2 ta cõ th” chồn n ı lợn ” xem x†t sỹ s›p x‚p cĂc phƒn tò cıa B(n; k) dữợi thứ tỹ tł i”n.
GiÊ sò phƒn tò cuŁi cũng cıa F k (m 1 ) cõ d⁄ng 00 : : : 0 " h " hĂ1 : : : " 1 Nõi cĂch khĂc, n‚u n nĂ1 h 1 l phƒn tò | {z } F k 1 n¡h
" " :::" :::" cuŁi còng cıa h (m ) th… h l ch¿ sŁ lợn nhĐt thọa mÂn " h = 1 Gồi B l t“p gỗm m 2 phƒn tò ƒu tiản cıa B(n; k) cõ d⁄ng " n " nĂ1 : : : " h+1 00 : : : 0 Khi õ F k (m 1)\B = ;
Ta x†t mºt ph†p bi‚n Œi trản cĂc phƒn tò cıa B nhữ sau:
Ph†p bi‚n Œi trản cho ta sỹ tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa mºt phƒn tò cıa B vợi mºt phƒn tò cıa F k (m 2) i•u õ cụng dÔn tợi cõ sỹ tữỡng ứng 1 Ă 1 giœa mºt phƒn tò cıa ÂB vợi mºt phƒn tò cıa ÂF k (m 2) Tł õ suy raj ¢Bj = j¢F k (m 2 ) j Ta câ j¢¡
M°t khĂc B [ F k (m 1) à B(n; k) v jB [ F k (m 1) j = m 1 + m 2 p dửng Hằ quÊ III.2.2 ta cõ j¢¡
Trong trữớng hổp °c biằt khi m 1 = m; m 2 = 1 ta cõ hay jÂF k (m + 1) j • jÂF k (m) j + k Tuy nhiản, trong trữớng hổp n y bĐt flng thức cặn cõ th” ữổc Ănh giĂ tŁt hỡn nhữ trong ành lỵ sau: ành lỵ IV.1.2 Cho cĂc sŁ nguyản dữỡng m v k Khi õ j¢F k (m + 1) j • j¢F k (m) j + k ¡ 1
Chứng minh GiÊ sò m cõ bi”u di„n k-nhà thức l m = à a k ả + à a kĂ1 ả + Â Â Â + à a t ả kk ¡ 1t trong õ a k > a kĂ1 > Â Â Â > a t ‚ t ‚ 1 Theo cổng thức (II.5) trong ành lỵ II.2.3 ta suy ra t“p thứ m trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ n†n l
Theo k‚t quÊ trong chứng minh cıa ành lỵ II.2.4 v cổng thức (II.6) ta cõ hai trữớng hổp sau:
† Trữớng hổp t > 1, khi õ t“p thứ m + 1 ữổc xĂc ành theo cổng thức
Theo ành lỵ II.2.3 ta suy ra à t t ả + à t Ă1 ả m + 1 = à kk ả
† Trữớng hổp t = 1, khi õ m = à a k ả + à a kĂ1 ả + Â Â Â + à a 1 ả kk ¡ 11
Theo cổng thức (II.6) ta cõ t“p thứ m + 1 l :
– N‚u 1 + a 1 < a 2 th… tł ành lþ II.2.3 ta suy ra
– N‚u 1 + a 1 = a 2 th… tỗn t⁄i sŁ nguyản dữỡng s l ch¿ sŁ nhọ nhĐt sao cho 1 + a s < a s+1 Theo chứng minh cıa ành lỵ II.2.4 ta cõ m + 1 = à kk ả
Theo cĂch chồn s ta cõ 1 + a j = a j+1 vợi j = 1; Â Â Â ; s Ă 1 Tł õ suy ra 1 + a a s 1 ả
Tõm l⁄i, ta cõ bĐt flng thức so sĂnh lỹc lữổng bõng cıa hai o⁄n ƒu liản ti‚p nhau cıa B(n; k) l jÂF k (m + 1) j • jÂF k (m) j + k Ă 1 Ơ
BƠy giớ ta xem x†t mºt mŁi liản hằ giœa jÂF k (m 1 + m 2) j vợi º lợn cıa bõng cıa o⁄n ƒu ð mức thĐp hỡn qua ành lỵ sau. ành lỵ IV.1.3 ( ành lỵ mð rºng ph†p cºng dữợi) Cho cĂc sŁ nguyản dữỡng m 1 ; m 2 Khi õ j¢F k (m 1 + m 2) j • max fm 2 ; j¢F k (m 1) jg + j¢F k¡1 (m 2) j
Chứng minh Trữợc h‚t vợi mỉi i 2 S = f1; : : : ; ng ta kỵ hiằu F k (m) i l t“p hổp gỗm m t“p ƒu tiản trong sỹ s›p x‚p P k (S) dữợi thứ tỹ
„ n†n m cĂc t“p õ khổng chứa i Mºt cĂch tữỡng ứng, F k (m) i l t“p hổp gỗm m dÂy ƒu tiản cõ d⁄ng " n " nĂ1 : : : " i+10" iĂ1 : : : " 1 trong sỹ s›p x‚p B(n; k)dữợi thứ tỹ tł i”n X†t A à B(n; k) cõ d⁄ng
„ \ n 1 : 2 F k¡1 ( 2 ) m m ; m 1 ắ a a m „ 1 th§y j¢F k (m 1) j = j¢F k (m 1) j Ta câ ngay ¢A = ¢F k (m 1) 1„ [ F k¡1 (m 2) 1„ [ n ắ 1 a : a 2 ÂF kĂ1 (m 2) 1„ o
† N‚u m 2 • jÂF k (m 1 ) j th… F kĂ1 (m 2 ) 1 à ÂF k (m 1 ) 1 Khi õ jÂAj = jÂF k (m 1) 1 „ j + fl n ắ 1 a : a 2 ÂF kĂ1 (m 2 ) o fl
† N‚u m 2 > jÂF k (m 1 ) j th… ÂF k (m 1 ) 1 à F kĂ1 (m 2 ) 1 Do õ jÂAj = jF kĂ1 (m 2) 1„ j + fl n ắ 1 a : a 2 ÂF kĂ1 (m 2 ) 1 „ o fl j ¡ fl j fl
Sau Ơy ta x†t mºt trữớng hổp m bĐt flng thức trong ành lỵ IV.1.3 xÊy ra dĐu flng thức n õ l khi m 1 = Ă n k ¢
1¢. ành lþ IV.1.4 Cho v < ¡ k¡1 ¢ khi â fl n ả + v ảfl = à k n 1 ả + jÂF kĂ1 (v) j ÂF k àà k ¡ fl fl fl fl
GiÊ sò v cõ bi”ufl di„n (k Ă 1)-nhà thức nhữ sau v = a +ÂÂÂ+à a
+ v cõ bi”u di„n k-nhà thức l n n a +ÂÂÂ+à a à k ả + v = à k ả + à k kĂ1 1 ả t t ả ¡
+    + a 1ả fl  F k àà k ả + v ảfl Ă + à k à t t fl fl ¡ ¡ fl fl
Sò dửng cĂc k‚t quÊ ⁄t ữổc trong hai ành lỵ trản, ta cho mºt Ănh giĂ khĂc liản quan ‚n bõng cıa o⁄n ƒu th” hiằn trong ành lþ sau ¥y : ành lỵ IV.1.5 Cho m ; m thọa 0
• ¡ n ¢ • m + m Khi õ m 1 + m 2 Ă à k 1 2 1 2 k 12 fl  F k à ảảfl • jÂF k (m 1 ) j + jÂF k (m 2 ) j Ă à k Ă 1 ả fl n fl n fl fl
1 2 k n v jÂF k (m 2) j = à k Ă 1 ả à k n 1 ả + fl ÂF k à m 1 + m 2 Ă à k ảảfl = jÂF k (m 2 ) j + jÂF k ¡ fl n fl fl fl j
† BƠy giớ ta giÊ sò n ả • m 1
p dửng ành lỵ IV.1.4 ta cõ nản m 1 + m 2 Ă Ă k  k fl ÂF k+1 àà n + 1 n ảảfl = à n + 1 k + 1ả + m1 + m2 Ă àk k fl fl fl fl m 1 + m 2 fl + ¢F k fl fl à fl fl fl
Thay ¡ n+1  n Ă n  v o cổng thức IV.2 ta ữổc k+1 ¡ ¡ k ¢ = k+1 fl ÂF k+1 àà k + 1 ả + m 1 + m 2 ảfl = à k ả fl n fl n + 1 fl fl fl ÂF k à m 1 + m 2 Ă àn ảảfl (IV.3) fl fl + k fl fl fl fl fl fl
M°t kh¡c, theo ành lþ IV.1.3 ta câ fl ÂF k+1 àà k + 1 ả + m 1 + m 2 ảfl • jÂF k (m 2 ) j fl n fl fl fl flÂF k àà n ả + fl + max ‰mfl2; k + 1 fl f l f l ảflắ fl (IV.4) p dửng ành lỵ IV.1.4 ta cõ ảfl = à k ả + jÂF k (m 1 ) j > m 2 fl ÂF k+1 àà k + 1 ả + m 1 fl n fl fl fl n fl fl
+ m 1 ảflắ =flÂF k àà k + 1 ả + m 1 ảfl max ‰ m 2 ; fl n fl fl n fl fl fl fl n fl fl fl =fl + ¢F k (m 1) j fl à k ả j
Do õ cổng thức IV.4 trð th nh fl  F k+1 àà k + 1 ả + m 1 + m 2 ảfl • jÂF k (m 2 ) j + à k ả + jÂF k (m 1 ) j fl n fl fl fl n
K‚tfl hổp vợi cổng thức IV.3 ta suyfl à k ra ả + fl ÂF k à m 1 + m 2 Ă à k ảảfl • jÂF k (m 2 ) j+ à k ả +jÂF k (m 1 ) j n + 1 fl n fl n fl fl hay fl  F k à m 1 fl + m 2 Ă à n k ảảfl fl • jÂF k (m 2 ) j + jÂF k (m 1 ) j Ă à k n 1 ả fl fl ¡ fl fl ànhfl lỵ ữổc chứng minh xong.fl ành lþ IV.1.5 công l mºt mð rºng kh¡c cıa ành lþ v• ph†p cºng ¥ dữợi do kĂ1 n = jÂF k n k j Tuy nhiản, bĐt flng thức cıa ành lỵ ¡ ¢ khổng khi ta thay n bði mºt sŁ s n o õ m
IV.1.5 câ ¡ cặn  óng hay ¡¡ ¢¢ s thọa mÂn 0 < s • m 1 + m 2 ; s < Ă n k ¢
V‰ dử sau Ơy cho thĐy khổng phÊi lúc n o cụng cõ bĐt flng thức k j¢F k (m 1 + m 2 ¡ s)j • j¢F k (m 1) j + j¢F k (m 2) j ¡ j¢F k (s) j(|)
Thay v o bĐt flng thức (|) ta cõ i•u vổ lỵ: 9 • 6 + 10 Ă 9 = 7 Vợi k‚t quÊ ⁄t ữổc trong ành lỵ IV.1.5 chúng ta ti‚p tửc Ănh giĂ º lợn cıa bõng cıa t“p A Łi vợi bõng cıa o⁄n ƒu khi phƠn ho⁄ch A th nh cĂc t“p con ríi nhau qua ành lþ sau : ành lỵ IV.1.6 GiÊ sò A l hằ cĂc k-t“p con cıa t“p S = S 1 [ S 2 trong â S 1 \ S 2 = ;; jS 1 j • jS 2 j • n; n k • jAj • n k + jS k 2 j v A cõ t‰nh chĐt: Vợi mồi A 2 A th… A à S 1 ho°c A Ă Â àS 2 Ă Â Khi õ Ă Â jÂAj ‚ à k n 1 ả + fl ÂF k à jAj Ă à k ảảfl ¡ fl n fl fl fl
Chứng minh Ta °t fl fl
A 2 = fA 2 A : A à S 2 g v m i = jA i j Ta câ ngay A 1 \ A 2 = ;; A 1 [ A 2 = A , m 1 + m 2 = jAj Hìn nœa, tł S 1 \ S 2 = ; ta suy ra P k¡1(S 1) \ P k¡1(S 2) = ;, do â ÂA 1 \ ÂA 2 = ; Ta giÊ sò 0 • m 1 • m 2.
N‚u m 1 = 0 th… tł gi£ thi‚t suy ra n k • jAj = jA 2 j, do â ta ph£i câ jS j jAj ¡ ¢ n j Aj ‚ ¡ ¡ ¢
1 • 2 • à k ả • jAj 1 2 • à k ả à k p dửng ành lỵ IV.1.5 ta cõ j¢F k (m 1) j + j¢F k (m 2) j ‚
,j¢F k (m 1) j + j¢F k (m 2) j ‚ à k n 1 ả + fl ÂF k ¡ fl n + fl ¢F k à k 1 fl ¡ ả fl fl fl fl à à ảảfl n fl fl à k flm 1 +m 2 ¡ àảảfl jAj ¡ n fl (⁄) k fl p dửng Hằ quÊ III.2.2 cıa ành lỵ cỡ bÊn ta cõ fl j¢A i j ‚ j¢F k (jA i j) j = j¢F k (m i ) j; i = 1; 2:
M°t kh¡c j¢Aj = j¢(A 1 [A 2)j = j¢A 1 j+j¢A 2 j ‚ j¢F k (m 1) j+j¢F k (m 2) j(⁄⁄) Tł (⁄) v (⁄⁄) ta câ jÂAj ‚ à k n 1 ả + fl ÂF k à jAj Ă à k ảảfl ¡ fl n fl fl fl fl fl
IV.2 Mºt ữợc lữổng lỹc lữổng cıa o⁄n ƒu thổng qua bâng ành lỵ sau cho ta mºt ữợc º lợn m cıa o⁄n ƒu F k (m) khi so sĂnh vợi lỹc lữổng cıa bõng cıa nõ v lỹc lữổng cıa bõng mºt o⁄n ƒu ð mức k + 1. ành lỵ IV.2.1 GiÊ sò sŁ nguyản dữỡng m cõ bi”u di„n k-nhà thức l m = à a a kĂ1 1 ả a
Gồi s l ch¿ sŁ nhọ nhĐt sao cho a M = à k + 1 Ă ả + à k Ă s > s °t ả + ÂÂÂ+ à s + 1 ả a k a k 1 a s a) j¢F k+1 (M) j • jF k (m) j < j¢F k+1 (M + 1) j b) jF k (m) j = j¢F k+1 (M + m) j ¡ j¢F k (m) j
M = à k + 1 ả a k a k 1 a s l bi”u di„n (k + 1)-nhà thức cıa M p dửng Hằ quÊ II.3.2 ta suy ra jÂF k+1 (M) j = à k k ả
M + 1 = à k + 1 ả + à a k a k 1 a s s l bi”u di„n (k + 1)-nhà thức cıa M + 1 nản à s s ả
Do cĂch chồn s, ta cõ
V“y jF k (m) j = m = j¢F k+1 (M + m) j ¡ j¢F k (m) j ¥ B‹ng cĂch mð rºng ành lỵ ph†p cºng dữợi cıa bõng cĂc o⁄n ƒu v sò dửng cĂc k‚t quÊ Â ⁄t ữổc chúng ta cõ th” dÔn tợi nhi•u vĐn • thú và khĂc v• bõng cıa mºt t“p hổp trong v nh Bul hœu h⁄n, m trữợc h‚t l cĂc vĐn • liản quan ‚n viằc Ănh giĂ º lợn cıa bõng Chflng h⁄n sỹ mð rºng sau Ơy cıa ành lỵ ph†p cºng dữợi m viằc giÊi quy‚t nõ vÔn cặn ” ngọ l mºt v§n • nh÷ th‚ : °t [a; b] k l mºt o⁄n cıa B(n; k) cõ phƒn tò ƒu tiản l a v phƒn tò cuŁi còng l b Khi â n‚u j[a; b] k j = j[a; b 1] k j + j[a; b 2] k j th… câ hay khổng bĐt flng thức sau jÂ[a; b] k j • jÂ[a; b 1 ] k j + jÂ[a; b 2 ] k j?