(Luận văn thạc sĩ) vành tự đồng cấu của p nhóm abel

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nhóm Abel

Nhóm là tập hợp G   được xác định bởi phép toán hai ngôi thỏa các điều kiện sau: Tính kết hợp (i) và tồn tại phần tử trung hòa 0 (ii), cho phép bất kỳ phần tử x nào đều có phần tử nghịch đảo  x  (iii).

Nếu nhóm G thỏa mãn x  y  y  x với mọix G thì G được gọi là nhóm Abel.

Trong luận văn này mọi nhóm được xét đều là nhóm Abel, nên để đơn giản khi ghi “nhóm” ta mặc nhiên hiểu là “nhóm Abel”. Định nghĩa 1.1.2 Tập con A của một nhóm G được gọi là nhóm con của G nếu thỏa mãn các điều kiện: i) A. ii) Với mọi a , b  A ta có a 

Nhóm con A của G được ký hiệu AG. Định nghĩa 1.1.3 Cho nhóm G và phần tử a G Cấp của phần tử a là số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na  0 Kí hiệu cấp của a là o  a .

Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta quy ước o  a    Định nghĩa 1.1.4 Cho G là một nhóm Với mỗi số tự nhiên m , đặt

3 Định nghĩa 1.1.5 Cho hai nhóm G và là đồng cấu nhóm nếu với mọi a , b G ta có

Tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ

G Một ánh xạ f : G  G được gọi f  a  b   f  a   f  b .

G đến G ký hiệu là Hom  G , G Ta cũng ký hiệu End G Hom  G , G

Nếu đồng cấu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì ta nói

(toàn cấu, đẳng cấu) nhóm. f là đơn cấu

Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6 Cho một họ không rỗng các nhóm G i , i  I Khi đó tập tích Descartes  G i cùng với phép toán định nghĩa iI

 x i , y i  G i iI tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp các nhóm G i , i  I Định lý 1.1.7 (Định lý về tính phổ dụng của tích trực tiếp) Cho họ nhóm

 X i  , khi đó với bất kỳ nhóm X , mỗi họ đồng cấu  f i : X  X i  được phân iI iI

Nói cách khác, tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu  p i :  X t  X i 

 tI  iI tồn tại và duy nhất một đồng cấu f : X   X t sao cho f i   p i f với mọi i  I tI

Chứng minh. Đồng cấu f được xây dựng theo công thức sau:

Với mọi f  f i   iI Khi đó hiển nhiên thỏa mãn điều kiện

Suy ra f là một đồng cấu.

X t sao cho p i h  f i thì khi đó với mọi x  X : tI h  x  

Suy ra h  f nghĩa là f là duy nhất. Định nghĩa 1.1.8 Cho một họ không rỗng các nhóm G i , i  I Tập con của

 , x i G i mà hầu hết trừ ra một số hữu hạn các thành iI iI phần x i

0 , là nhóm con trong  G i iI , gọi là tổng trực tiếp ngoài của các nhóm

G i , i  I và kí hiệu là  G i iI Định nghĩa 1.1.9 Cho họ i)  A i   G iI

 A i  iI là các nhóm con của nhóm G thỏa ii) Với mọi j  I ta có j

0. thì G gọi là tổng trực tiếp trong của các nhóm con A i ,i

Nhận xét 1.1.10 Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp ngoài là tương đương nhau.

 I trong và tổng trực tiếp a i iI

 a i  0 thì a i   0 iI iI iI với mọi i  I Định lý 1.1.13 (Định lý về tính phổ dụng của tổng trực tiếp) Cho họ không rỗng nhóm  X i  , khi đó với bất kỳ nhóm X , mỗi họ đồng cấu  f t : X t  X  iI luôn được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng  j t

Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu: f :  X t  

Chứng minh. Đồng cấu f được xây dựng như sau: t

Hiển fj  x   f t t nhiên với mọi t  I ta có fj i  f t vì với mọi x t  X t thì x t 

Ta có thể kiểm tra dễ dàng f là đồng cấu. g  f với mọi iI vì khi đó với mọi x   x t    j t  x t

 tI  tI tI f   x  Suy ra f là duy nhất.

Cao độ của một phần tử Định nghĩa 1.1.14 Cho x là một phần tử bất kỳ của nhóm nguyên tố.

 Nếu n  * là số nguyên, không âm lớn nhất sao cho gọi là p - độ cao của x Ký hiệu p - độ cao của x là h p  x 

Nhận xét 1.1.15 Cho x là một phần tử bất kỳ của nhóm nguyên tố Khi đó h p  x   n khi và chỉ khi n

G p và p là một số thì n được p là một số

Nhóm xoắn Định nghĩa 1.1.16 Nhóm G được gọi là nhóm xoắn nếu với mọi xG , tồn tại m * sao cho m x

Ví dụ 1.1.17 Nhóm thương là một nhóm xoắn. Định nghĩa 1.1.18 Cho G là một nhóm xoắn Với mỗi số nguyên tố p, đặt p-

Khi đó G p là một nhóm con của G và được gọi là p – thành phần của G

Mệnh đề 1.1.19 Cho G là một nhóm xoắn Khi đó G   G p với G p là các p thành phần của G

Ta chứng minh G   G p Thật vậy, với mọi x G , vì G là nhóm xoắn p nên tồn tại m  * sao cho mx  0 Giả sử m  p 1 e

1 nên tồn tại l  , i  1, k sao cho

0 Vậy G p   G p  0 q  p với mọi i  1, n Định nghĩa 1.1.20 Cho G là một nhóm Nhóm con A của nhóm con hoàn toàn bất biến của G nếu mọi f EndG ta có f

Ví dụ 1.1.21 Cho G là nhóm, T  G    a  G 

 G  là nhóm con hoàn toàn bất biến của G.

Chứng minh. được gọi là

Lấy f EndG bất kỳ Khi đó, với mọi a T  G

 Vậy T  G  là nhóm con hoàn toàn bất biến của G Định lý 1.1.22 Các p - thành phần của nhóm xoắn toàn bất biến của G

G là các nhóm con hoàn

 sử G p là một p p , tồn tại k  x G p Vậy

- thành phần sao cho p k x là nhóm con của G Lấy f EndG bất kỳ Khi đó, với

  0 hoàn toàn bất biến của G n

Nhóm bị chặn Định nghĩa 1.1.23 Một nhóm G được gọi là bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên sao cho o

G bị chặn thì có số nguyên dương n sao cho với mọi bị chặn khi và chỉ khi n G 

Ví dụ 1.1.25. a) Cho G là một nhóm Với mỗi số tự nhiên m chặn. b) Với mỗi số tự nhiên m thì nhóm thương m  

 m cũng là nhóm bị chặn.

Một số kết quả của lý thuyết tập hợp

Lực lượng của tập hợp

Cho X là một tập hợp.

Ta kí hiệu X Exp X là tập hợp tất cả các tập con của X Định lý 1.2.1 (Định lý Cantor) Cho

Exp X  X là lực lượng của tập hợp X

X là tập hợp bất kỳ Khi và đó

Mệnh đề 1.2.2 khẳng định rằng giữa các tập hợp vô hạn thì tập hợp các số tự nhiên là tập hợp có lực lượng vô hạn nhỏ nhất, được ký hiệu là ℵ₀ = ℕ Định lý 1.2.3, hay định lý bình phương lực lượng, nêu rằng lực lượng của tập hợp X vô hạn bằng lực lượng của X x X.

Hệ quả 1.2.5 Cho Y là một tập hợp vô hạn, X là tập hợp bất kỳ thỏa mãn

X  Y Khi đó X  Y  Y Định lý 1.2.6 Cho X là một tập hợp vô hạn Khi đó lực lượng tập hợp các tập con hữu hạn của X bằng lực lượng của X

Gọi S là tập hợp các tập con hữu hạn của X Ta xây dựng được  như sau

Hiển nhiên  là ánh xạ và là đơn ánh, suy ra X  S

Gọi S n là tập hợp gồm tất cả những tập con của X có

Khi đó S  S n Mặt khác, với mỗi số nguyên dương n, ta n

F : X n  S nhiều nhất n phần tử. xây dựng F như sau:

1 2 n 1 2 n là ánh xạ và là toàn ánh, suy ra S n  X n  X Do đó

SX , suy ra X  S Định lý đã được chứng minh.

Cho tập hợp X   , nếu trên X xây dựng được quan hệ thứ tự “  ” thì ta nói

X là tập được sắp Hơn nữa, nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất thì ta nói X là tập được sắp tốt. Định nghĩa 1.2.7 Cho   X ,  và   Y ,  là hai tập được sắp tốt Ánh xạ f : X Y được gọi là tăng ngặt nếu với mọi x 1 , x 2  X , x 1  x 2 thì f  x 1   f  x 2 

10 Ánh xạ tăng ngặt. f : X Y được gọi là đồng dạng khi và chỉ khi f là song ánh và f f : X

 và Y được gọi là đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ đồng dạng Y Kí hiệu X Y

Dễ dàng kiểm tra quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp tốt là quan hệ tương đương Do đó lớp các tập được sắp tốt sẽ được chia thành các lớp tương đương đội một không giao nhau theo quan hệ đồng dạng. Định nghĩa 1.2.9 Mỗi lớp tương đương các tập được sắp tốt (theo quan hệ đồng dạng) được gọi là một tự số.

Tự số hữu hạn chính là các số tự nhiên, còn tự số vô hạn đầu tiên là tự số được biểu diễn bởi tập hợp số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường, ký hiệu là N.

Mọi tự số  đều có tự số liên kề phía sau nó là  1 Tuy nhiên không phải tự số nào cũng có tự số liền kề phía trước, những tự số như vậy được gọi là tự số giới hạn, ví dụ như  là tự số giới hạn.

TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN

Định nghĩa và một số tính chất của tự đồng cấu của nhóm Abel

Cho G là một nhóm Trên tập tất cả các tự đồng cấu của G , ký hiệu End G , ta xét phép toán cộng và phép toán nhân như sau: Với cặp tự đồng cấu bất kỳ f , g EndG , tổng  f  g 

 là ánh xạ từ G tới G xác định theo công thức:

 cũng là các tự đồng cấu của G Hơn nữa End G cùng phép cộng và phép nhân ở trên là một vành, gọi là vành tự đồng cấu của nhóm

Từ định nghĩa, hiển nhiên F là đồng cấu vành.

Ta chứng minh F là đơn cấu Cho f End thỏa F

Khi đó, vì f End nên f

Ta chứng minh F là toàn cấu Thật vậy, với mọi n  m , tồn tại sao cho

Hiển nhiên F là đồng cấu vành.

Ta chứng minh F là đơn cấu Cho f  End m thỏa F  f f 1

  0 Khi đó, vì f  End m nên f

Ta chứng minh F là toàn cấu Thật vậy, với mọi n  m , tồn tại sao cho f 1  n

Mệnh đề 2.1.3 Cho đẳng cấu nhóm f :A C Khi đó ánh xạ f * : End A  End C

Là một đẳng cấu vành Ta nói f : A  C cảm sinh f * : End A  End C

Ta chứng minh f * là đồng cấu vành Với

 f  f 1 Vì f là đẳng cấu nên  

 Do đó f * là đơn cấu.

Mặt khác, với  EndC tùy ý, xét   f   1  f  End A Khi đó f

Vậy f * là đồng cấu vành từ End A đến End C

Bổ đề 2.1.4 Cho nhóm C và họ nhóm  A i  với I là tập chỉ số tùy ý, khi đó iI ta có đẳng cấu nhóm

Với mọi i I , với mọi f  Hom   A i , C

, gọi j i là phép nhúng từ A i vào

Khi đó fj i Hom  A i , C  Bây giờ ta định nghĩa:

Khi đó, ta có họ

Theo Định lý tính phổ dụng của tổng trực tiếp tồn tại duy nhất đồng cấu f từ  A i vào C thỏa iI fj i   f i với mọi i  I , do đó 

Bổ đề 2.1.5 Cho nhóm A đó ta có đẳng cấu nhóm f   

 jJ với J là tập chỉ số tùy ý, khi

Chứng minh Với mọi với mọi f Hom  A,  C

 j là phép chiếu từ  C j jJ và C j

 Hom  A, C j  Bây giờ ta định nghĩa:

  là đồng cấu Với mọi

Khi đó, ta có họ iI

A  C j  Theo Định lý tính phổ dụng của tích trực tiếp tồn tại duy nhất đồng f từ A vào  C j thỏa  j f  f j với mọi j  J , do đó jJ

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.4 và Bổ đề 2.1.5, ta có:

Hệ quả 2.1.7 Cho G A với A là các nhóm con hoàn toàn bất biến của iI i i

Khi đó ta có đẳng cấu nhóm

Theo Bổ đề 2.1.4, ta có End

Mặt khác, với mỗi biến hoàn toàn của i

 bất suy kỳ Do ra f

Hệ quả 2.1.8 Cho G là nhóm xoắn và G p là các số nguyên tố) Khi đó ta có đẳng cấu nhóm End G 

Chứng minh. p - thành phần của End G p

Do G là nhóm xoắn nên theo Định lý 1.1.17 ta có G  G p Mặt khác, theo Định lý 1.1.20, G p là các nhóm con hoàn toàn bất biến của G Vậy theo Hệ quả 2.1.7 thì End G   End G p p

Tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn

Định lý 2.2.1 ([3], [4]) Mọi nhóm bị chặn là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic.

Hệ quả 2.2.2 Mọi p - nhóm bị chặn là tổng trực tiếp của các p - nhóm cyclic.

Mệnh đề 2.2.3 Giả sử A   A i , với A i

, B là nhóm bất i iI kỳ Khi đó, với mọi bộ các phần tử  b i  , b i  B thỏa o  b i 

Ta xây dựng ánh xạ  như sau:

Quy tắc trên thực sự là một ánh xạ Thật vậy, giả sử  k i e i    k i e i iI iI thì

0 Mà A A iI i nên theo Tính chất 1.1.11, với mọi i 

 k i   k i  b i   0 Suy ra k i b i   k i b i với mọi một ánh xạ.

Vậy  là một đồng cấu nhóm.

Hệ quả 2.2.4 Cho p là số nguyên tố, A là nhóm cyclic bậc nhóm bất kỳ Khi đó

Khi đó, mỗi đồng cấu 

Hơn nữa, với mỗi b B  p     m , tồn tại duy nhất một đồng cấu   Hom  A, B 

Mệnh đề 2.2.5 Ta có đẳng cấu nhóm

Giả sử p m    e m Ta xây dựng ánh xạ F như sau:

Với mọi f , g  Hom  p m ; p n   , ta có p n

Giả sử f Ker F Khi đó f

Ta chứng minh Im F   p m  Thật vậy: p n

 p   n thì p m a 0 Suy ra o   a  p m Theo Mệnh đề 2.2.3 thì có duy nhất đồng cấu f  Hom

   p p n p n p k (vì đều là nhóm cyclic cấp p k ).

Bổ đề 2.2.6 Cho họ không rỗng các p - nhóm 

Ta chứng minh a i  A i , i  I Khi đó

 iI i   iI   i  iI p m  a i  0 Suy ra  p m a i  0 Theo Tính chất 1.1.11 thì a  A iI iI

Bổ đề 2.2.7 Cho  A i  lượng bằng nhau Khi đó  iI

  là một họ vô hạn các nhóm cyclic khác 0 có lực 

Gọi E là tập hợp các tập con hữu hạn của A i iI

Vì I vô hạn nên theo Định lý

Hơn nữa A i là nhóm cyclic nên A 

Với J là tập con hữu hạn bất kỳ của I , ta xây dựng F như sau:

Ta sẽ chứng minh F là một ánh xạ Giả sử  i  i i a  a  

Vậy từ (1) và (2) suy ra  

Hom  A, B  là p - nhóm bị Chứng minh. là các p chặn bởi

- nhóm lần lượt bị chặn bởi k

   p , với k  min m , n p m và p n Khi đó

 bất kỳ Với mọi aA, ta có p k f  a 

Tóm tại, p k f  a   0, với mọi Hom  A, B  là p - nhóm bị chặn bởi p k

Bổ đề 2.2.9 Cho A là một p - nhóm

Giả sử a  pA Khi đó tồn tại a A sao cho a  pa Vì a   A 

 ma  b , với m  và b  B Từ đó, ta có a  pma  pb, suy ra a  pma  pb  a

Do đó a  pma  0 hay a  pma

Bổ đề 2.2.10 khẳng định rằng khi cho số nguyên tố p, nhóm cyclic A bậc p^m và nhóm B là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic bậc p^n, đặt k = min{m, n} Khi đó, với mọi đồng cấu f từ A vào B, ta luôn có f(α) = β với α là lũy thừa bậc k của phần tử sinh của A và β là lũy thừa bậc k của phần tử sinh của B.

Chứng minh 1) T heo Bổ đề

2) Trước hết, ta chứng minh f  p k s Hom  A, B  Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.8 thì Hom  A, B  bị chặn bởi p k nên với mọi g  Hom  A, B  thì p k g  0 Mặt khác, vì o  f   p s nên p s f  0

Suy ra p s f  p k g với mọi g  Hom  A, B  hay f  p k   s g với mọi g  Hom  A, B

Bây giờ, ta chứng minh f  p k  s 1 f  p k   s   1 g Theo

 sao nên thiết o  f   p s  p s1 Vậy f  p k  s 1 Hom  A, B .

Mệnh đề 2.2.11 Cho p là tổng trực tiếp của  nhóm

- là một số nguyên tố, A là nhóm cyclic bậc cyclic bậc p n Khi đó ta có đẳng cấu nhóm

Trường hợp 1:  hữu hạn Khi đó B  

Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có Hom  p m ; p n     p n p k

Theo Hệ quả 2.2.4, ta có Hom  A, B 

  Theo Bổ đề 2.2.6, ta có

  p n  p m  , mà p n  p m  là các nhóm cyclic và

  Vậy vô hạn nên theo

Theo Bổ đề 2.2.8, ta có Hom  A, B 

 là p - nhóm bị chặn bởi hoặc bằng p k Do đó p k nên tổng trực tiếp của các p- nhóm cyclic bậc bé hơn

Giả sử I hữu hạn thì  p k iI có lực lượng hữu hạn, điều này mẫu thuẫn vì

 có lực lượng vô hạn Do đó I vô hạn, nên theo

Vậy Hom  A, B    p k ta có đẳng cấu nhóm

Theo Bổ đề 2.1.4, ta có

Theo Mệnh đề 2.2.11, ta có

Ghi chú 2.2.13 Cho G là một p - nhóm bị chặn bởi p m Khi đó, theo Hệ quả 2.2.2 thì

A m Đến đây, ta có định lý quan trọng sau: Định lý 2.2.14 Cho G là một p - nhóm bị chặn bởi p m và

A m , với A i là tổng trực tiếp của  i nhóm cyclic bậc p i với mọi i  1, m Khi đó ta có đẳng cấu nhóm với Hom  A i ; A j   

Theo Định lý 2.1.6 thì End G   Hom  A i ; A j  Theo Mệnh đề 2.2.12 thì i , j1