BÀI tập CHUYÊN đề học PHẦN TOÁN CAO cấp a3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA MÔI TRƯỜNG & KHOA HỌC TỰ NHIÊN  BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP A3 Nhóm thực : Nhóm Lớp : MTH-204-CIS Giảng viên giảng dạy : ThS PHAN QUÝ Đà Nẵng, 11/2021 STT Họ Tên Mã số sinh viên Phần thực Nguyễn Duy Nhật Tân (Nhóm trưởng) 25211114104 A.1 ,B.1, Bài tập 21, Làm slide Trần Quang Dũng 25211204414 Bài tập Phan Trọng Huy 25211216464 Nguyễn Lam Trường 25211217426 A.2 B.2, Bài tập 21, Tổng kết tài liệu Bài tập 19 Huỳnh Tấn Phát 25211415827 Bài tập Trần Văn Nhân 25211215742 Bài tập Nguyễn Văn Thành Nam 25211217060 Bài tập 25 Võ Đại Duy 25211211139 Bài tập 16, Bài tập 17 Trần Anh Quân 25211200029 10 Nguyễn Đắc Trung 25212104467 A.1,B.2,Bài tập 3,Bài tập Bài tập 22, Bài tập 23 11 Nguyễn Văn Tấn 25211200654 Bài tập 24 12 Huỳnh Văn Thuận 25214302052 13 Nguyễn Anh Quốc 25211202854 B.2,Bài tập 1,Bài tập Bài tập 11, Bài tập 12 14 Đỗ Anh Duy 25211202243 15 Nguyễn Vĩnh Long 25211200855 16 Đặng Thị Hồng Nhung 25201204533 17 Trần Thị Thu Hiền 25204311706 18 Lê Gia Bảo 25211208903 A.1,Bài tập 15, Tổng kết tài liệu Bài tập 13, Bài tập 14,Làm slide B.2, Bài tập 20 19 Lê Hoàng Hải 25211209252 Bài tập 9,Bài tập 10 20 Thái Quang Hòa 25211208370 Bài tập 21 Trần Đức Duy 25211203378 Bài tập 26, Bài tập 27 Ghi chú: -A,B mục lớn A.1 ,B.1, Bài tập 21, Làm slide A.2,B.2, Bài tập 18 A XÂY DỰNG BÀI TỐN TỪ THỰC TẾ Bài tốn 1: Trộn hai bể Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn nước trong bể T2 thả 150 lb phân bón vào Tuần hồn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t thời gian lượng phân bón bể T1 T2 thay đổi Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số lại bên T2? BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Bi toỏn 2: Mch in Tỡm I1 v I2 mạch.Giả sử thời điểm t=0 I1=0 I2=0 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán 1: Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn nước trong bể T2 thả 150 lb phân bón vào Tuần hồn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t thời gian lượng phân bón bể T1 T2 thay đổi Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số cịn li bờn T2? BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Bi lm Vi mi bể thời gian lượng phân bón thay đổi lấy lượng vào(inflow) trừ cho lượng ra(outflow).Nên có: 2 – y1 y1’= Lượng vào/ phút- lượng /phút= y1’ 100 100 Tương tự với bể 2: 2 – y2 y2’= Lượng vào/ phút- lượng ra/phút = y2 100 100 Tương đương với : y1’=-0.02 y1 +0.02 y2 y2’=0.02 y1 -0.02 y2 Ta có: + λ1=0 −1 = -0.04 25 Với λ1=0 chọn nghiệm p1=1 p2=1 + λ2= y11=1 e =1 y21=1 e =1 −1 = -0.04 chọn nghiệm p1=-1 p2=1 25 y12= -1 e−0.04 t = - e−0.04 t y22= e−0.04 t = e−0.04 t Với λ2= Từ ta cú 0.04 t y1= C1 - e C2 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 y2=C1+ e−0.04 t C2 Nhìn vào biểu đồ cho ta thấy với y1(0)=0 y2(0)=150 Nên ta lại có: C1-C2=0 C1+C2=150 =>C1=C2=75 Vậy y1= 75 - e−0.04 t 75 (bể 1) y2=75+ e−0.04 t 75 (bể 2) Nhìn vào giả thiết: Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số cịn lại bên T2 Lượng phân bón ban đầu T2 150lb để giả thiết T1 có 50lb T2 có 100lb Nên: 75 - e−0.04 t 75 =50 => t =27,47 Vậy cần 27,47 phút để thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số cịn lại bên T2 Bài tốn 2: Tìm I1 I2 mạch.Giả sử thời điểm t=0 I1=0 I2=0 Bài làm Với nửa bên trái: -Điện áp giảm cun cm: V=L di1 =L I1=1 I1= I1 dt BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 -in ỏp qua cun cm: R1 (I1- I2)=4(I1- I2) (I1- I2 I1 I2 chạy ngược chiều qua cuộn cảm) Theo định luật Kirchhoff: Tổng điện áp mạch điện áp chung Nên ta có : I1’+4(I1- I2) =12 => I1’=12- I1 +4 I2 (1) Với nửa bên phải: -Điện áp qua cuộn cảm: +R2 I2=6 I2 + R1 (I2- I1)=4(I2- I1) 1 ∫ I dt = ∫ I dt=4 ∫ I dt -Điện áp qua tụ điện: 0.25 C Theo định luật Kirchhoff: Tổng giá trị điện áp dọc theo vịng Ta có: I2+4 I2-4 I1+4 ∫ I dt=0 10 I2 - I1 + ∫ I dt=0 Từ (1) ta có => I2’ =-1,6 I1 + 1,2 I2 + 4.8 Vậy: - I1’=- I1 + I2 + 12 - I2’ =-1.6 I1 + 1.2 I2 + 4.8 Ta có: + λ1=−2 + λ2=−4/5=-0.8 Với λ1=−2 chọn p1=2 p2=1 I11=2 e−2 t I21=1 e−2 t = e−2 t Với λ2=-0.8 chọn p1=1.25 p2=1 I12=1.25 e−0.8 t I22=1 e−0.8t = e−0.8t Vậy I1=2 e−2 t C1 + 1.25 e−0.8 t C2 I2= e−2 t C1+ e−0.8t C2 Lại xét phương trình đặc trưng: - a1 + a2 + 12=0 -1.6 a1 + 1.2 a2 + 4.8=0 => a1=3 a2 =0 Vậy I1=2 e−2 t C1 + 1.25 e−0.8 t C2 +3 I2= e−2 t C1+ e−0.8t C2 Theo giả thiết: Giả sử thời điểm t=0 thỡ I1=0 v I2=0 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Ta cú: 2C1 + 1.25.C2 + =0 C1 + C2 =0 =>C1=-4 C2=4 Vậy : + I1=-8 e−2 t I2=-4.C1+ e−0.8t e−0.8 t +3 C ÁP DỤNG Bài tập : (Huỳnh Văn Thuận) y1’ = y1 + 2y2 y2’ = 2y1 + y2 Lời giải: |1−2 λ | =0 1− λ  λ2−2 λ−3=0 λ 1=−1  λ 2=3 det(A – λ I) =  [ Với λ1=−1 - [ ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] 1−(−1) p1 = 1−(−1 ) p 2 p 1+ p 2=  p1+ p =  p 1+ p 2= p 1=−1 Ta chọn nghiệm: p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x =−1 e−1 t=−e−t y =1 e−1 λ =e−t - Với λ2=3 ta có hệ phương trình: { { { [1−3 ][ ] p1 p = =1 l: [00 ] BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3  1+2 p 2=0 {−22 p p1−2 p 2=0 p1 − p2 =  { p 1=1 p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=3 là: x =1e 3.t =e t y=1 e t=e3 t Tóm lại nghiệm tổng quát hệ phường trình vi phân là: −t 3t x =−C1 e +C e −t 3t y=C e + C2 e Ta chọn nghiệm: { { Bài tập : (Huỳnh Văn Thuận) y1’ = -y1 + 4y2 y2’ = 3y1 - 2y2 Lời giải: |−1−3 λ | =0 −2−λ  λ2 +3 λ−10=0 λ 1=−5  λ2=2 Với λ1=−5 ta có hệ phương trình: det(A – λ I) =  [ - [ ][ ] [ ] −1−(−5) p1 = −2−(−5 ) p p 1+ p 2=   p1 + p2 = p 1+3 p 2=0 p 1=−1 Ta chọn nghiệm: p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x =−1 e−5 t=−e−5t y =1 e−5 λ =e−5 t - Với λ2=2 ta có hệ phương trình: { { { [−13−2 ][ ] p1 −2−2 p −3 p 1+4 p =0  p 1− p2=0 { =  λ=−5 là: [00] p1 - p =0 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { Ta chọn nghiệm: p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=2 là: 2t x= e y =e t Tóm lại nghiệm tổng quát hệ phường trình vi phân là: 2t x =−C1 e−5t + C e y=C e−5 t +C e t p 1= { { Bài tập : (Trần Anh Quân) { ' y =4 y 1+ y ' y 2=4 y + y Lời giải:  Ta có phương trình đặc trưng: [4−λ4 ] =0 4−λ  λ2−8 λ+12=0 λ=6 (nghiệm đơn )  λ=2(nghiệm đơn ) det ( A – λ I )=0  [  Với λ=6 [4−6 { ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] p1 =0 −6 p −2 p + p 2=0 p1−2 p2=0  −2 p 1+ p2 =0 Ta chọn nghiệm p 1=1  p 2=2 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x=1 e 6.t x =e t  y=2 e6 t y=2 e6 t  { { { =6 l: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { p1 + p2=0 p1 + p2=0  p 1+ p 2=0 Ta chọn nghiệm p 1=1  p 2=−3 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=2 là: x=1 e−2.t x=e−2 t  −2.t y=−3 e y=−3 e−2 t  Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là:  { { { { −2 t 2t x =2.C e +C e −2 t 2t y=C e −3 C e Bài tập 17: (Võ Đại Duy) { y'1=6 y 1+ y ' y 2= y 1+6 y Lời giải:  Ta có phương trình đặc trưng: [−λ+6 ] =0 −λ+  λ2−12 λ+ 27=0 λ=3 (nghiệm đ ơn )  λ=9(nghiệm đ ơn ) det ( A – λ I )=0  [  Với λ=3 ta có hệ phương trình: [−3+6 { ][ ] [ ] p1 =0 −3+6 p2 p1 +9 p2=0 p1 +3 p2=0  p 1+ p 2=0  Ta chọn nghi ệm  { p 1=1 p 2=−3 Vậ y nghiệ m củ a hệ phươ ng trỡnh vi phõn ng vi =3 l: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { { 3.t 3t x=1 e x=e  y=−3 e3 t y=−3 e t  Với λ=9 ta có hệ phương trình: [−9+6 ][ ] [ ] p1 = −9+6 p −3 p1 +9 p2=0  p1 −3 p2 =0  p1−3 p2=0 { Ta chọn nghi ệm: { p 1=3 p 2=1  Vậ y nghiệ m củ a hệ phươ ng trình vi phân ứng với λ=9 là: { x=3 e 9.t y=1 e9 t { x =3 e9 t y=e t   Tóm lạ i nghiệ m tổng quát phương trình vi phân là: { 3t 9t x=C e +3 C e 3t 9t y=−3 C e +C e Bài tập 18: (Nguyễn Vĩnh Long) y1’ = 3y1 + 2y2 y2’ = 2y1 + 3y2 y1(0)= 1, y2(0)= Lời giải: | | 3−λ =0 det(A – λ I) =  3−λ  λ2−6 λ+5=0 λ1=1  λ 2=5 [ - Với λ1=1 ta có hệ phương trình: [3−12 ][ ] p1 −1 p2 p1 + p 2=0  p1 + p 2=0 { = Ta chọn nghiệm: [00]  p1+ p = { p 1=1 p 2=1 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Vy nghim ca h phng trỡnh vi phõn ng với y 1=−1 e1 x =−e x y 2=1 e1 x =e x - Với λ2=5 ta có hệ phương trình: { [3−52 ][ ] p1 3− p { = λ=5 là: p1− p2 =  { p 1=1 p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x 5x y 1=1 e =e Ta chọn nghiệm: là: [00] −2 p1 +2 p 2=0 p1−2 p2=0  λ=1 { { 5x 5x y 2=1 e =e Tóm lại nghiệm tổng quát hệ phường trình vi phân là: x 5x y 1=−C e + C e x 5x y 2=C1 e + C2 e Thay y1(0)= 1, y2(0)= ta được: { 1=−C e 0+ C2 e5.0 0=C e 0+C2 e5.0 { −1 C 2= C 1= Bài tập 19: (Nguyễn Lam Trường) y'1 = y1 + y '2 = y1 - y2 y2 Lời giải: - Với y (0) = y (0) = BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 - { Lấy phép biến đổi Laplace vào hệ phương trình vi phân ta có : L [ y '1 ]=[ y +2 y 2] { L[ y ] =[ y 1− y 2] ' => { s X ( s)− y1 ( 0) =2 X ( s)+ Y (s) s Y ( s ) − y 2( )=5 X ( s)−Y (s) => s X ( s)−0=2 X ( s) +2 Y (s ) s X (s )−7 =5 X ( s )−Y (s) - Giải hệ phương trình tiếp tuyến ta có : D= D= D= - −2 [s−2 −5 s+1] [07 −2 s+1] [s−2 −5 ] = s 2− s −12 = ( s + )(s - 4) = - 14 = 7s - 14 Vậy ta thu nghiệm : { Dx −2 = + D s+3 s−4 Dy − Y (s ) = = D s+3 s−4 X ( s )= Bài tập 20: (Lê Gia Bảo) y1 ' y2 = y1 + y2 ’ = -0.5 y – 1.5 y2 Lời giải: ( ) 25 Viết lại ma trận: y’ = Ay = y −0.5 −1.5 Thay y = xe ʎt , ta có : y’ = ʎ xe ʎt Nếu bỏ hàm mũ, ta : Ax = ʎx Do ta có phương trình đặc trưng sau : 2−ʎ | A - ʎI | = = | | −1.5−ʎ −0.5  ʎ – 0.5ʎ - 0.5 = (ʎ - 1)(ʎ + 0.5) = Ta có: (2 - ʎ) x + x =0 • Với ʎ = -0.5 => 2.5 x • Với ʎ = => + x = Vậy ta nhận x + x = Vậy ta nhận (2) x x(1) = = BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 (51) (21) BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Ta cú : (21) e0.5 t + C2 y= C1  y1 −0.5 t = -2 C1 e - C2 e t  y2 = C e−0.5t • Với y (0) = -12 + C2 e y (0) t (−51) et Với C1 , = Ta hpt : Giải hpt ta C1 =−4 C2 =4 −0.5 t Vậy kết : y = e -20 e t ; y C2 số tùy ý { −2C 1−5 C2 =12 C 1+ C2=0 −0.5 t = -4 e + et Bài tập 21: (Phan Trọng Huy,Nguyễn Duy Nhật Tân,Đỗ Anh Duy) BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Li gii: L c n hi: F= k Δl Theo định luật II Newton: F= m a nên Trọ ng lực: P=mg Do đó: k Δl = mg Xét khồối m1: Ta có gia tồốc đạo hàm cấốp quãng đường nên: d2 y =-k1y1 – k2(y1-y2) m1 d t2  m1.y1’’ = -(k1+k2)y1 -k2y2  m1.y1’’+(k1+k2)y1 +k2y2=0 −(k 1+k ) k2 y  y1’’= + (1) m1 m1 Tương t ự khồối m2: m2y’’=k2(y1-y2) m2k2’’-k2y1+k2y2=0 (k y 1) k2 y  y2’’= (2) m2 m2 Ta có: Từ (1) (2) kêốt hợ p k1=3, k2=2, m1=1, m2=1 ta có: y 1' ' =−5 y 1+2 y '' y =2 y 1−2 y −5 y y 1' ' = −2 y y2' ' Ta có: y’’=Ay Đặt λ=ω2 Mà theo ra: y=x e ωt -> y’= ω x e ωt -> y’’= ω2 x e ωt = λ x e ωt =A x e ωt -> λ x = A x −5−λ λ 2+7 λ +6=0 -> det ( A- λI ) = −2−λ = -> λ =-1 λ =-6 Với λ =-1 ta có: −4 x −4 x 1+ x 2=0 => −1 x 2 x 1−x 2=0 x 1=1 Chọn => x= x 2=2 Với λ =-6 ta có: −1 x x 1+2 x 2= => x2 x +4 x =0 { [ ] [ ][ ] | [ [ { ][ ] ][ ] { | [] { BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Chn Ta cú: {xx1=2 2=1 =-1 => =-6 => => x= [−21] ω2 =-1 => ω =+-i ω =-6 => ω =+-i √6 Vậy nghiệm pt là: √ω t √ω 2t với ω 12=−1, ω 22=−6 y 1=C 1∗e −2C 2∗e 2 ω2 t y 2=2C 1∗e√ ω1 t −C 2∗e √ với với ω =−1, ω =−6 { Bài tập 22: (Nguyễn Đắc Trung) { ' y 1= y ' y 2=−9 y Lời giải:  Ta có phương trình đặc trưng: [0−λ −1 ] =0 0−λ  λ2 +1=0 λ=i  λ=−i det ( A – λ I )=0  [  Với λ=i [0−−i1 { ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] p1 = 0 − i p2 −i p1 + p 2=0 −p 1−i p2=0  p1+ i p 2=0 Ta chọn nghiệm p 1=−i  p2=1  { Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x =−i e i t x =−i e i t  i t y =1.e y=ei t { {  Với λ=−i λ=i là: ta có h phng trỡnh: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { [ ][ ] [ ] 0−(−i) p1 = −1 0−(−i ) p i p 1+1 p2=0 −1 p1 +i p2=0  p1−i p2=0 Ta chọn nghiệm p1=i  p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với −i t −i t x=i e x =i e  −i t −i t y=1 e y=e  { { { λ=−i là:  Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: { −i t i.t x =−i C1 e +i C e i.t −i t y=C e + C2 e Bài tập 23: (Nguyễn Đắc Trung) { y 1' =2 y1 + y y'2=5 y 1−2 y Lời giải:  Ta có phương trình đặc trưng: [2−λ5 ] =0 −2− λ  λ − 9= λ=3  λ=−3 det ( A – λ I )=0  [  Với λ=3 [2−3 { ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] p1 =0 −2−3 p2 − p1− p2 =0 p1−5 p2=0  p1− p2=0 Ta chn c nghim BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { p 1=1 p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với 3.t 3.t x=1 e x=e  3.t 3.t y=1 e y =e { {  Với λ=−3 { [ λ=i là: ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] 2−(−3) p1 = 0 −2−(−3) p2 p1 +1 p 2=0 p1 +i p2=0  p1+ p2 =0 Ta chọn nghiệm −1 p 1=  p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−i là: −1 −3.t −1 −3.t x= x= e e 5  y =1 e−3 t y =e−3.t  { { {  Tóm lại nghiệm tổng qt phương trình vi phân là: { −1 −3.t C e t −3.t y=C1 e +C e x =C1 e3.t Bài tập 24: (Nguyễn Văn Tấn) y1’ = 1y1 + 3y2 y + y2 y1(0)= 12, y2(0)= Gii: y2 = BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 λ det(A – λ I) =  1− λ  λ2−2 λ=0 λ 1=0  λ2=2 | | =0 [ Với λ1=0 ta có hệ phương trình: - [ ][ ] [ ] 1−0 p1 1−0 p2 p 1+3 p2=0  p +1 p2=0 { 0 =  p1+3 p =0 { p 1=−3 p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với y 1=−3 e0 t=−3 y 2=1 e 0.t=1 - Với λ2=2 ta có hệ phương trình: Ta chọn nghiệm: { [ ][ ] 1−2 p1 1− p = −1 p1 +3 p2=0  p −1 p 2=0 { là: λ=2 là: [00] p1−3 p2 =  { p 1=3 p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với y 1=3 e2 t=3 e t Ta chọn nghiệm: λ=0 { { 2.t 2t y 2=1 e =e Tóm lại nghiệm tổng qt hệ phường trình vi phân là: 2t y 1=9 C +3 C e 2t y =C +C e Thay y1(0)= 12, y2(0)= ta c: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 { 12=9 C1 + C e 2=C1 +C e t 2t { C 1=1 C 2=1 Bài tập 25: (Nguyễn Văn Thành Nam) {  ' y 1= y ' y 2= y Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: [0−λ1 ] =0 0−λ  λ2−1=0 λ=1  λ=−1 det ( A – λ I )=0  [  Với λ=¿ ta có hệ phương trình: [0−11 ][ ] [ ] p1 =0 0−1 p2 −1 p1 + p2=0  p1 −1 p2=0  p1− p2=0 Ta chọn nghiệm p 1=1  p 2=1 { { Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x=1 e 1.t x=et  1.t t y=1 e y =e { {  Với λ=−1 λ=i là: ta cú h phng trỡnh: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 [ { ][ ] [ ] 0−(−1) p1 = 0 0−(−1 ) p2 p1 + p2=0 p 1+1 p2=0  p1+ p 2=0 Ta chọn nghiệm p 1=−1  p 2=1  { Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x =−1 e−1 t x =−e−t  −1.t y=1 e y=e t { { λ=i là:  Tóm lại nghiệm tổng qt phương trình vi phân là: { −t t x =C e −C e t −t y=C e + C e Thay y1(0)= 0, y2(0)= ta được: { 0=C e 0−C e−0 −0 2=C e +C e C 1=1 C 2=1 { Bài tập 26: (Trần Đức Duy) {  ' y 1=−2 y 1+ y y'2=−2 y 1−2 y Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: [−2−λ −2 ] =0 −2− λ  λ2 + λ+8=0 det ( A – λ I )=0 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Vi =12 i [[ λ=−2−2 i λ=−2+2 i ta có hệ phương trình: [−22 i 22i] [ pp ]=[00 ] { 2i p1 +2 p 2=0  −2 p1 +2 i p2=0  p1−i p2=0 Ta chọn nghiệm p1=i  p 2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−2−2 i là: (−2 −2 i)t x=i e x =i e(−2−2 i)t  (−2−2i )t y=1 e y=e(−2−2i )t { { {  Với λ=−2+2i [−2i −2 ta có hệ phương trình: ][ ] [ ] p1 = −2i p2 { −2i p 1+2 p2=0 −2 p1−2i p2=0  p1+ i p 2=0 Ta chọn nghiệm p 1=−i  p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−2+2i x =(−i) e(−2 +2 i)t x =(−i) e(−2 +2 i)t  y=1 e(−2+ 2i )t y=e(−2 +2i )t  { { {  Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: { − 2+2 i) t x =C1 i e(−2−2 i)t +C (−i).e ( y=C1 e(−2−2 i) t−C2 e(−2+2 i)t Bài tập 27: (Trần Đức Duy) { ' y 1=−6 y 11 y y'2=9 y 16 y BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 l: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 Li gii: Ta cú phng trỡnh c trng:  Với λ=−9 [−−96− λ ] −1 =0 − 6− λ  λ2 +12 λ+27=0 λ=−9  λ=−3 ta có hệ phương trình: det ( A – λ I )=0  [ [−93 −13 ] [ pp ] =[00 ] { p1− p2 =0  −9 p 1+3 p2=0  p 1− p 2=0 Ta chọn nghiệm p 1=  p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−9 1 x = e(−9).t x = e(−9).t 3  y =1 e(−9).t y =e(−9) t { { { {  Với λ=−3 là: ta có hệ phương trình: −1 p =0 [−3 −9 −3] [ p ] [ ] { (−3) p 1−p 2=0  −9 p1−3 p2=0  p 1+ p2=0 Ta chọn nghiệm −1 p 1=  p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ng vi { { =3 l: BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3 BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3BI.tỏưp.CHUYN.ỏằã.hỏằãc.PHỏƯN.TOãN.CAO.cỏƠp.a3